EnallassìmenoreÔma Ενα ασσόµενορεύµαείναιτορεύµαπουεπανα αµβάνεταιπεριοδικάστο χρόνοκαιδιαγράφειίσε θετικέ καιαρνητικέ επιφάνειε σεµιαπερίοδο. Συνηθίζουµεναχρησιµοποιούµεµικράγράµµαταγιαενα ασσόµεναµεγέθηκαιµεγά αγιασυνεχή.π.χ. iήi(t)γιατο ενα ασσόµενορεύµακαι Iγιατοσυνεχέ.Οµοίω, uήu(t)γιατηνενα ασσοµένητάσηκαι Uγιατηνσυνεχή. Τοηµίτονοείναιηπιοσυνηθισµένηκυµατοµορφήενα ασσοµένουρεύµατο γιατίείναιεύκο ονατηνπαράγουµεκαθώ επίση καιγιατίµπορούµεοποιαδήποτεά ηµορφήενα ασσοµένουρεύµατο νατηνανα ύσουµεσεάθροισµαηµιτόνωνµε διαφορετικάπ άτηκαισυχνότητε (ανά υση Fourier.)Ά ε κυµατοµορφέ πουµπορούµεναέχουµεείναιοιτετραγωνικοί ήτριγωνικοίπα µοίήκαιόποιοά οσχήµα,φτάνεινατηρείταιοπαραπάνωορισµό. y(t) y πλατος περιοδος θ/ω t Sqăma : Oi basikèc parĺmetroi miac hmitonikăc kumatomorfăc Μια ηµιτονική κυµατοµορφή περιγράφεται από τη σχέση y(t) = y sin(ωt θ) όπου y είναιτοπ άτο (ηµέγιστητιµήτη κυµατοµορφή )και φ = ωt θηφάση.ηκυκ ικήσυχνότητα ωσε rad/sec συνδέεταιµετηνγνωστήσυχνότητα fσε Hzαπότησχέση ω = πfκαιησυχνότητα fσυνδέεταιµετηνπερίοδο από τησχέση f = /. Παρατηρούµεεπίση ότισεένανπα µογράφοείναισυχνάπιοεύκο οναµετρήσουµετηναπόσταση απόκορυφήσεκορυφή (peak-to-peak)πουσχετίζεταιµετοπ άτο ω y p p = y.ηαρχικήφάση θ,για t =,φαίνεται και αυτή στο σχήµα(διακεκοµένη κυµατοµορφή). Ηενεργό τιµήείναιά οένασηµαντικόµέγεθο καιηπαρακάτωενότηταδίνειµιαπ ήρηπεριγραφή. Energìcimă Σεπεριοδικέ συναρτήσει, f(t) = f(tk), k =, ±, ±,...,µεπερίοδο,νόηµαέχειηενεργό τιµήτη συνάρτηση (rms - root mean square).αυτήείναιένα σταθερό πραγµατικό αριθµό (δενµεταβά εται)πουορίζεταιω : f rms = f(t) dt Ανησυνάρτηση f(t)είναιτοενα ασσόµενορεύµαπουδιαρρέειµιαωµικήαντίσταση(κατανα ωτή),ταθερµικάαποτε- έσµαταπουεµφανιζονταιστηναντίστασηείναιίδιαµεαυτάπουδηµιουργείκαιένασυνεχέ ρεύµαµετιµή f rms.πο ά απόταη εκτρικάόργαναπουχρησιµοποιούνταισεη εκτρικέ µετρήσει καιβασίζονταισταθερµικάαποτε έσµατατου η εκτρικούρεύµατο µετρούντηνενεργότιµή.εποµένω είναιχρήσιµοναµπορούµεναβρίσκουµετοπραγµατικόπ άτο τη κυµατοµορφή απότηνενεργότιµήκαιτοαντίστροφο. Οιπιοσυνηθισµένε κυµατοµορφέ είναιτοηµίτονο,οτετραγωνικό πα µό καιοτριγωνικό πα µό. Σταπαρακάτω β έπουµετησχέσηµεταξύτη f rms καιτη µέγιστη τιµή f τη συνάρτηση, f rms = K f γιατι τρει αυτέ περιπτώσει.
f(t) f(t) f(t) (/4,f ) f f f (,) / t / t (,) / t (3/4,-f ) Sqăma : rða paradeðgmata enallassomènou reômatoc.. f rms = Kf giahmðtono όπου f(t) = f sin(ωt). Εχουµετότε f rms = f(t) dt sin (ωt)dt = cos(ωt) dt = = dt εφόσον τα ηµίτονα µηδενίζονται. Οπότε cos(ωt)dt = ( ) 4ω [ = 4ω [sin(ωt)] = 4ω sin( π ) sin cos(ωt)d(ωt) = ] = f rms = f = f K =. f rms = Kf giatetragwnikìpalmì Εδώ έχουµε f για t < / f(t) = f για / t < / ( f(t) dt = f dt f dt = f / ) = f f rms = f(t) dt = f = f K =.3 f rms = Kf giatrigwnikìpalmì Εδώ έχουµε f(t) = 4f t για t < /4 f 4f t για /4 t < 3/4 4f 4f t για 3/4 t <
µε f(t) dt = /4 ( 4f t ) dt 3/4 /4 ( f 4f ) ( t dt 4f 4f ) 3/4 t dt /4 ( f 4f t ( ) 4f t dt = ) = 4f ( 4f ) [ t 3 3 ] /4 = ( 4 t 4 ) t ( ) ( ) 3 4f = f 3 4 3/4 /4 ( f 4f ) t dt = 4f ( [t] 3/4 /4 4 [ t 3 3 ] 3/4 /4 4 [ t ] 3/4 /4 ) =... = f 6 ( 4f 4f ) ( ) ( t t t = (4f ) = (4f ) t ) 3/4 ( 4f 4f ) ( [ t dt = (4f ) t 3 3 ] 3/4 [t] 3/4 [ t ] 3/4 ) =... = f Οπότετε ικά f rms = ( f(t) f dt = f 6 f ) = f 3 = f 3 K = 3 3 Mèsh arijmhtikă timă Σεπεριοδικέ συναρτήσει, f(t) = f(t k), k =, ±, ±,...,µεπερίοδο,νόηµαέχειεπίση καιηµέσηαριθµητική τιµήτη συνάρτηση πουορίζεταιω : f = f(t)dt Γιακαθαράενα ασσόµεναµεγέθηόπουηεπιφάνειαθετικώντιµώνείναιίσηµετηνεπιφάνειααρνητικώντιµών,ηµέση αριθµητική τιµή είναι. 4 Mèsh arijmhtikă timă anorjwmènou Επειδήπο έ φορέ κάνουµεανόρθωσηστοενα ασσόµενορεύµαήτάσηµπορούµεεπίση ναυπο ογίσουµετηνµέση αριθµητικήτιµήανορθωµένου.αυτήορίζεταιω f = f(t) dt = / / f(t) dt = / f(t) dt 5 IsqÔc kai Enèrgeia Ηστιγµιαίαισχύ γιακάποιοστοιχείοπουδιαρρέεταιαπόενα ασσόµενοη εκτρικόρεύµαείναιπά ι p(t) = u(t) i(t) καιεφόσονηισχύ είναιπάνταορυθµό µεταβο ή τη ενέργεια,ηενέργειαπου δίνει ή παίρνει κάποιοστοιχείο είναι w(t) = t p(t)d(t) 3
6 O puknwtăc sto enallassìmeno reôma Οπυκνωτή είναιέναη εκτρικόστοιχείοπουαποτε είταιαπόδυοαγώγιµε επιφάνειε (οπ ισµοί)µεδιη εκτρικόυ ικό ανάµεσάτου.εάνσυνδεθείκάποιαπηγήσταάκρατουπυκνωτή,οένα οπ ισµό θαφορτιστείµεθετικόφορτίοκαιο ά ο µεαρνητικό.τοο ικόφορτίοστονπυκνωτήείναιανά ογοµετηντάσησταάκρατου q = Cu όπουησταθεράανα ογία Cείναιηχωρητικότητατουπυκνωτήµεδιαστάσει coulombανά voltήfarad (F). i(t) i(t) u(t) - C u(t) - C (a) (b) Sqăma 3: SÔmbola puknwtÿn. Aplìc (a) kai polwmènoc (b). Ηδιαφοράφορτίουµεταξύτωνοπ ισµώνδηµιουργείέναη εκτρικόπεδίοπουµπορείνααποθηκεύσειενέργεια. όγω τη παρουσία τουµηαγώγιµουδιη εκτρικούµεταξύτωνοπ ισµών,δενυπάρχεικίνησηη εκτρικώνφορτίων(ρεύµα αγωγιµότητο )µεταξύτου. Ανόµω µεταβά εταιτοφορτίοστου οπ ισµού,τότεµεταβά εταικαιτοη εκτρικό πεδίοκαιηµεταβο ήαυτήείναι σαν ναδιέρχεταιρεύµα(ρεύµαµετατόπιση )µέσααπότονπυκνωτήπουεκφράζεταιω i = dq dt = C du dt Την παραπάνω σχέση µπορούµε να την αντιστρέψουµε και να έχουµε την τάση στα άκρα του πυκνωτή συναρτήσει του ρεύµατο πουτονδιαρρέει u(t) = C όπουθεωρούµεότι u( ) =.Τοπαραπάνωο οκ ήρωµαµπορούµενατο σπάσουµε σε u(t) = C t i dt C t t i dt t i dt = u(t ) C όπου u(t )είναιητάσησταάκρατουπυκνωτήαπότοφορτίοπουσυσσωρεύεταιτηνχρονικήπερίοδο έω t (αρχική συνθήκη). t t i dt Ηενέργειαπουαποθηκεύεταιστονπυκνωτήµπορείναυπο ογιστείαπότηνισχύπουδίνουµεσεαυτόν. Εχουµε εφόσον u( ) =. w C (t) = t p(t) = u(t)i(t) = Cu(t) du(t) dt Cu(t) du(t) t dt = Cu(t)du(t) = dt C u (t) u(t) u( ) = C u (t) J Οιδανικό πυκνωτή,ότανφορτιστείκαιαποµακρυνθείαπότηνπηγήφορτίσεω,διατηρείτοφορτίοτουεπ αόριστον. Εάναργότερασυνδεθείκάποιοφορτίοσταάκρατουοπυκνωτή θαεκφορτιστεί,παρέχοντα τηνη εκτρικήενέργεια πουέχειαποθηκεύσειυπότηνµορφήρεύµατο εκφορτίσεω. Οπραγµατικό πυκνωτή διαφέρειαπότονιδανικόµετην ύπαρξηµια µεγά η αντίσταση παρά η α. Μέσωαυτή γίνεταισταδιακήεκφόρτισηµεαργόρυθµόόποια ενέργεια έχει αποθηκευτεί στον πυκνωτή. Οιπυκνωτέ µπορείναέχουνσταθερήήµεταβ ητήτιµήµεσυνήθει τιµέ τη τάξεω των mfµέχρι pfκαιέχουνπο έ εφαρµογέ σταη εκτρικάκυκ ώµατα. ParĹdeigma 6. EĹnènacpuknwtăcmetĹsh VstaĹkratouèqeisusswreumènofortÐo 6 pcstoucoplismoôc tou poia eðnai h qwrhtikìthtĺ tou? Εχουµε C = Q U = 6 = 5 pf 4
ParĹdeigma 6. Apì ènan afìrtisto puknwtă dièrqetai o palmìc reômatoc tou sqămatoc. UpologÐste kai sqediĺste thntĺshstaĺkratou. I i(t) t Εχουµε και t t u(t) = u(t ) i dt = I C t C dt = It C για t u(t) = I C για t u(t) It/C t ParĹdeigma 6.3 H tĺsh sta Ĺkra enìc puknwtă 5 µf dðdetai apì thn kumatomorfă tou sqămatoc. UpologÐste kai sqediĺste thn kumatomorfă tou reômatoc. 4 V u(t) 6 8 t (ms) Στοπαραπάνωσχήµαηκυµατοµορφήτη τάση είναιδυοενωµέναευθύγραµµατµήµατα.τασηµείαπουδιακρίνουµεείναι (,), (6,4)και (8,)όπουηπρώτησυντεταγµένηείναιοχρόνο σε msκαιηδεύτερηητάσησε V. Ταδυοπρώτα σηµείαείναιταάκρατουπρώτουευθυγράµµουτµήµατο καιταδυοτε ευταίαταάκρατουδευτέρου. Εχουµε οιπόν 4 6 3 = u t u(t) = 4 3 t V για t 6 ms 4 6 3 8 3 = u t 8 3 u(t) = 3 (t 8 3 ) = 3 t96 V για 6 t 8 ms Εποµένω τορεύµαείναι i(t) = C du(t) dt 5 6 4 3 = 3 = ma για t 6 ms = 5 6 3 = 6 ma για 6 t 8 ms και η κυµατοµορφή του 5
ma i(t) 6 8 t (ms) -6 ma ParĹdeigma 6.4 UpologÐste thn enèrgeia pou èqei apojhkeuteð ston puknwtă tou prohgoumènou paradeðgmatoc thn qronikăstigmă t = 6 ms. w C (t) = C u (t) w C (6 ms) = 5 6 4 =.44 3 J =.44 mj Askhsh 6. Enac puknwtăc µf èqei susswreumèno fortðo 5 nc. PoiĹ eðnai h tĺsh sta Ĺkra tou? Askhsh6. HtĹshstaĹkraenìcpuknwtă 4 µfdðdetaiapìthnkumatomorfătousqămatoc. UpologÐstekai sqediĺste thn kumatomorfă tou reômatoc. u(t) [V] t 4 t (ms) Askhsh 6.3 UpologÐste thn enèrgeia pou èqei apojhkeuteð ston puknwtă thc prohgoômenhc Ĺskhshc thn qronikă stigmă t = ms. Απόταπαραπάνωγίνεταιφανερόότιένα ιδανικό πυκνωτή δενκατανα ώνειενέργεια,µόνοτηναποθηκεύει.οπραγµατικό όµω ( όγωτη ωµική αντίσταση πουσυµπερι αµβάνειεκκατασκευή )µπορείνακατανα ώσειενέργεια.επίση, παρατηρούµεότιότανητάσησταάκραενο πυκνωτήείναισταθερή(συνεχέ ρεύµα)τορεύµαείναιµηδέν. η.στο συνεχέ,οπυκνωτή φαίνεταισανανοικτόκύκ ωµα. 7 o phnðo sto enallassìmeno reôma Τοπηνίοείναιέναη εκτρικόστοιχείοπουαποτε είταιαπόέναναγωγότυ ιγµένοσυνήθω γύρωαπόκάποιονκυ ινδρικό πυρήνα.σύµφωναµετοφαινόµενοτη επαγωγή,εναµεταβα όµενοµαγνητικόπεδίοπουπροέρχεταιαπόµεταβα όµενο η εκτρικόρεύµα,προκα είτηνδηµιουργίατάση σταάκρατουπηνίουσύµφωναµε u(t) = L di(t) dt i(t) u(t) L Sqăma 4: SÔmbolo phnðou. όπουησταθεράανα ογία Lείναιηαυτεπαγωγήτουπηνίου(συνήθω συντοµεύεταιαπ ώ σεεπαγωγή)µεδιαστάσει volt-secondανά ampereήhenry (H). 6
Ησχέσηρεύµατο -τάση γίνεται i(t) = L t u(t)dt = i(t ) L t t u(t)dt Ηισχύ πουπαρέχεταισεέναπηνίοµπορείναχρησιµοποιηθείγιατηναποθήκευσηενέργεια ηοποίαδίδεταιαπότη σχέση: p(t) = u(t)i(t) = L di(t) i(t) dt εφόσον i( ) =. w L (t) = t L di(t) dt i(t) dt = t L i(t) di(t) = L i (t) i(t) i( ) = L i (t) J Οπω καιοπυκνωτή,τοπηνίοµπορείνααποθηκεύσηενέργεια,όχιόµω τόσοκα άόσοένα πυκνωτή.τοπραγµατικό πηνίοέχειεκκατασκευή µιαωµικήαντίστασησεσειρά,ηοποίαγρήγορααποροφάκαιδιασκορπίζειτηνενέργειατου πηνίου. ParĹdeigma 7. o reôma se èna phnðo mh èqei thn kumatomorfă tou parakĺtw sqămatoc. UpologÐste kai sqediĺste thn kumatomorfă thc tĺshc. i(t) [ma] 4 t [ms] ιακρίνουµε τα δυο ευθύγραµµα τµήµατα που διέρχονται από τα σηµεία (, ), (, ) και (4, ). Η µαθηµατική περιγραφή τη κυµατοµορφή τουρεύµατο είναι = i t i(t) = t ma για t ms εποµένω 4 = i t 4 u(t) = L di(t) dt i(t) = (t 4) = t 4 ma για t 4 ms 3 = mv για t ms = 3 = mv για t 4 ms u(t) [mv] 4 t [ms] - ParĹdeigma 7. oreômaseènaphnðo mheðnai i(t) = sin(377t) A. ProsdiorÐstethntĹshstophnÐokajÿc epðshc kai thn apojhkeumènh enèrgeia. Εχουµε u(t) = L di(t) dt = 3 cos(377t) 377 =.58 cos(377t) V w L (t) = L i (t) = 4 3 sin (377t) J 7
i(t) [ma] 3 4 t [ms] Askhsh 7. o reôma se èna phnðo 5 mh èqei thn kumatomorfă tou parapĺnw sqămatoc. UpologÐste kai sqediĺste thn kumatomorfă thc tĺshc. Askhsh 7. ProsdiorÐste thn enèrgeia pou apojhkeôetai sto magnhtikì pedðo tou phnðou thc prohgoumènhc Ĺskhshc gia t =.5 ms. Απόταπαραπάνωγίνεταιφανερόότιέναιδανικόπηνίοδενκατανα ώνειενέργεια,µόνοτηναποθηκεύει.γιατοπραγµατικό βέβαιαδενισχύειαυτό. Επίση,παρατηρούµεότιόταντορεύµαπουδιέρχεταιαπότοπηνίοείναισταθερό,ητάσηστα άκρατουείναιµηδέν. η.στοσυνεχέ,τοπηνίοφαίνεταισανβραχυκύκ ωµα. 8 SunduasmoÐ puknwtÿn kai phnðwn 8. Puknwtèc se seirĺ u(t) C C C 3 C n - - -... - i(t) u (t) u (t) u 3 (t) u n (t) u(t) - i(t) C ολ Από τον κανόνα τάσεων του Kirchhoff στο βρόχο έχουµε u(t) = u (t) u (t) u 3 (t)... u n (t) = n ( k= C k ) i k (t)dt u k (t ) = t t C ol = n ( ) k= δη.πυκνωτέ σεσειράείναισανωµικέ αντιστάσει παρά η α. C k n ( ) t k= C k t i(t)dt u(t ) 8. PuknwtècparĹllhla u(t) i(t) -... i (t) i (t) i 3 (t) i n (t) C - C - C 3 -... C n u(t) i(t) - C ολ Από τον κανόνα ρευµάτων του Kirchhoff στον επάνω κόµβο έχουµε i(t) = i (t) i (t) i 3 (t)... i n (t) = n k= ( ) du(t) C k dt C ol = n k= C k δη.πυκνωτέ παρά η αείναισανωµικέ αντιστάσει σεσειρά. 8
8.3 Epagwgèc se seirĺ u(t) L L L 3 L n - - -... - u (t) u (t) u 3 (t) u n (t) u(t) i(t) L ολ i(t) Από τον κανόνα τάσεων του Kirchhoff στο βρόχο έχουµε u(t) = u (t) u (t) u 3 (t)... u n (t) = δη.επαγωγέ σεσειράείναισανωµικέ αντιστάσει σεσειρά. n k= ( ) di(t) L k dt L ol = n k= L k 8.4 EpagwgècparĹllhla i(t)... i (t) i (t) i 3 (t) i n (t) i(t) u(t) L L L 3 L n u(t) L ολ... Από τον κανόνα ρευµάτων του Kirchhoff στον επάνω κόµβο έχουµε n ( t ) i(t) = i (t) i (t) i 3 (t)... i n (t) = u(t)dt i k (t ) = L k t k= L ol = n ( ) k= δη.επαγωγέ παρά η αείναισανωµικέ αντιστάσει παρά η α. L k n ( ) t k= L k t u(t)dt i(t ) Askhsh 8. UpologÐste tic isodônamec qwrhtikìthtec kai epagwgèc sta parakĺtw diktuÿmata. 3 µf 4 µf 4 µf C ολ µf µf 4 µf (a) 3 µf µf C ολ 4 µf 4 µf (b) 4 µf 4 mh 4 mh 4 mh L ολ 6 mh 6 mh 6 mh L ολ 4 mh 6 mh 6 mh 4 mh 4 mh 6 mh (d) (c) 9
9 FĹsorec Σταπροηγούµεναείδαµεταδιπο ικάστοιχείαπυκνωτή καιπηνίοκαθώ επίση καιτηνπεριγραφήρεύµα τάσησταάκρα του.μαζίµετηνγνωστήωµικήαντίστασηκαιτι πηγέ ενα ασσοµένουρεύµατο,ταστοιχείααυτάθααποτε έσουν του δοµικού ίθου τωνκυκ ωµάτωνστοµάθηµααυτό. Ηπεριγραφήρεύµα τάσηπερι αµβάνειπαραγώγου και ο οκ ηρώµαταεποµένω ηεφαρµογήκανόνων Kirchhoffοδηγείσεο οκ ηρωδιαφορικέ εξισώσει γιατι κυµατοµορφέ τάση ρεύµατο σεένακύκ ωµα. Οτανοιδιεγέρσει τάση καιρεύµατο σεένακύκ ωµαπουπεριέχειγραµµικάστοιχεία (, L, C)είναιπεριοδικέ συναρτήσει τουχρόνου,µπορούµενακάνουµεµετασχηµατισµό Fourierκαιναµετατρέψουµετι ο οκ ηρωδιαφορικέ εξισώσει σεα γεβρικέ. Ηπαραπάνωπαρατήρησηισχύειγιαοποιεσδήποτεπεριοδικέ συναρτήσει καιδενπεριορίζεται µόνοσεηµιτονικέ. Οτανεπιπ έονηδιέγερσηαφοράµόνονηµιτονικέ συναρτήσει µια συχνότητα καιενδιαφερόµαστεµόνονγιατην σταθερήκαιµόνιµητε ικήκατάσταση (steady-state)τάση ρεύµατο σταστοιχείατουκυκ ώµατο τότεµπορούµενα απ οποιήσουµετηνκατάστασηακόµαπερισσότερο.ηηµιτονικήδιέγερσησεγραµµικόκύκ ωµαέχεισαναποτέ εσµατην εµφάνισηηµιτονικώνρευµάτων τάσεωνσταστοιχείατου,µεσυχνότηταίδιαµετησυχνότητατη διέγερση α άµε διαφοράστοπ άτο καιστηφάση.χρειαζόµαστε οιπόνέναντρόποναπεριγράψουµεπ άτο καιφάσηκαινααγνοήσουµε τηνκοινήσυχνότητα.οτρόπο αυτό επιτυγχάνεταιµετηχρήσηµιγαδικώναριθµών. A=A m sin(ωtθ) ωtθ θ t Sqăma 5: Migadikì diĺnusma kai h probolă tou. Ενα µιγαδικό αριθµό µπορείναπαρασταθείσεένακαρτεσιανόσύστηµασυντεταγµένωνµεέναδιάνυσµα.οοριζόντιο άξονα είναιοιπραγµατικοίαριθµοίκαιοκατακόρυφο οιφανταστικοί. Ηγωνίαπουσχηµατίζειτοδιάνυσµαµετον οριζόντιοάξοναείναιηφάσητουκαιτοµέτροτουδιανύσµατο είναιτοπ άτο του(ηµέγιστητιµήτου).ανθεωρήσουµε τοδιάνυσµαναπεριστρέφεταιµεκυκ ικήσυχνότητα ωµετηνορθήφορά(αντίστροφαµετηφοράδεικτώνρο ογιού) καιπροβά ουµε(ξεδιπ ώσουµε)τηντροχιάτουδιανύσµατο στοχρόνο,έχουµετηνεικόνατουσχήµατο 5. Ο ατα ηµιτονοειδή ρεύµατα µπορούµε να τα αναγάγουµε σε περιστρεφόµενα διανύσµατα τα οποία περιστρέφονται µε την ίδια γωνιακήταχύτητα.παγώνοντα ταµιγαδικάδιανύσµατα(αγνοούµετονχρόνο)µπορούµενασυγκεντρωθούµεµόνοστι µεταξύτωνσχέσει καιναδούµετι διαφορέ σεπ άτο καιφάση. Εναηµιτονικόµέγεθο (π.χ.τάσηήρεύµα) A(t) = A m cos(ωt θ)µπορούµενατογράψουµε { A(t) = A m cos(ωt θ) = e A m e j(ωtθ)} = e {A m e jθ e jωt} όπουχρησιµοποιήσαµετησχέσητου Euler e jφ = cos φ j sin φ. ιατηρώντα µόνοτοπ άτο καιτηφάσηεφαρµόζουµε την αντιστοιχία A m cos(ωt θ) A m e jθ Μπορούµεέτσιναεκφράσουµεκάθετάσηκαιρεύµασεένακύκ ωµα,ναεφαρµόσουµεκανόνε Kirchhoffµεµιγαδικά µεγέθη,να ύσουµετι α γεβρικέ εξισώσει πουπροκύπτουνκαιστοτέ ο ναεπιστρέψουµεστοπεδίοτουχρόνου χρησιµοποιώντα τηνπαραπάνωαντιστοιχία. Γιατηνεφαρµογήτωνανωτέρωχρειαζόµαστεακόµατι γενικευµένε αντιστάσει (εµπεδήσει )τωνωµικώναντιστάσεων,πυκνωτώνκαιπηνίωνπουυπάρχουνστοκύκ ωµα.αυτέ είναι ωµικήαντίσταση χωρητικήαντίσταση(πυκνωτή ) επαγωγικήαντίσταση(πηνίο) jωc jωl
i(t) I m e jϕ i(t) I m e jϕ u(t) U m e jθ jωc u(t) U m e jθ jωl Sqăma 6: Sqèsh tĺshc kai reômatoc se puknwtèc kai phnða. Χρήσιµε είναιεπίση οισχέσει τάση καιρεύµατο γιαπυκνωτέ καιπηνία. Στααπ άκυκ ώµατατουσχήµατο 6 κάνουµετι αντιστοιχίε πουφαίνονται.γιατονπυκνωτή U m e jθ I m e jφ = jωc U m I m e j(θ φ) = j ωc = ωc e jπ/ θ φ = π/ φ = θ π/ Οπότεγιατονπυκνωτήτορεύµαπροηγείταιτη τάση κατά 9 ήητάσηκαθυστερείτουρεύµατο κατά 9. Γιατοπηνίο U m e jθ I m e jφ = jωl U m I m e j(θ φ) = ωl e jπ/ θ φ = π/ φ = θ π/ Οπότεγιατοπηνίοτορεύµακαθυστερείτη τάση κατά 9 ήητάσηπροηγείταιτουρεύµατο κατά 9. Υπενθυµίζονταιεπίση οισχέσει απότηντριγωνοµετρία ( cos(θ) = sin θ π ) ( sin(θ) = cos θ π ) cos(θ) = cos(π θ) = cos(θ π) sin(θ) = sin( θ) ανθέ ουµεναµετατρέψουµεηµίτονασεσυνηµίτονακαιτοαντίστροφο. Επειδήσεµετρήσει δου εύουµεκυρίω µεενεργέ τιµέ ορίζουµετηναντιστοιχία A m cos(ωt θ) A rms e jθ = A καιονοµάζουµετοµέγεθο Ȧφάσορα (phasor). Στηβιβ ιογραφίαθαβρείτεεπίση τηναντιστοίχισηµετοπ άτο A m καιόχιτηνενεργότιµή. Ησχέσηπουσυνδέειαυτού του ορισµού είναι A rms = A m /,µιααπ ήα αγήκ ίµακα. Μπορείεπίση ναδείτεά ασύµβο αγιατονφάσορα,π.χ. Aκαθώ επίση και A rms e jθ = A rms /θ Παρατηρούµεεπίση ότικάναµετηναντιστοιχίαφάσορα κυµατοµορφή,µετοσυνηµίτονοτη κυµατοµορφή. οθέντο ενο φάσορα,γιαναβρούµετηναντίστοιχηκυµατοµορφή,πο /ζουµετονφάσοραµε e jωt καιπαίρνουµετοpragmatikìµέρο τουαποτε έσµατο.θαµπορούσαµεεπίση ναορίσουµετηναντιστοιχίαβάσειτουηµιτόνου.παρατηρούµε τότε ότι και { A(t) = A m sin(ωt θ) = Im A m e j(ωtθ)} = Im {A m e jθ e jωt} A m sin(ωt θ) A rms e jθ οθέντο τότεενο φάσορα,γιαναβρούµετηναντίστοιχηκυµατοµορφή,πο /ζουµετονφάσοραµε e jωt καιπαίρνουµε τοfantastikìµέρο τουαποτε έσµατο. Στηνπράξηχρησιµοποιούµετηναντιστοιχίαπουβο εύεικα ίτεραστο συγκεκριµένοπρόβ ηµα. ParĹdeigma 9. Duo kumatomorfèc tĺshc dðdontai apì tic sqèseic u (t) = sin(34t 45 ) V kai u (t) = 6 sin(34t 5 ) V Na breðte th suqnìthta twn tĺsewn, th diaforĺ fĺshc metaxô touc kai na grĺyete touc fĺsorec.
Ησυχνότητα fσε Hzείναι Ηδιαφοράφάση είναι f = ω π = 34 π = 5 Hz 45 ( 5 ) = 6 δη.ηu (t)προηγείταιτη u (t)κατά 6 ήηu (t)έπεταιτη u (t)κατά 6.Οιφάσορε µεβάσητοηµίτονοείναι U = /45 = 8.485 /45 και U = 6 / 5 = 4.43 / 5 ParĹdeigma 9. Duo kumatomorfèc tĺshc dðdontai apì tic sqèseic u (t) = sin(377t 6 ) V kai u (t) = 6 cos(377t 3 ) V Na breðte th suqnìthta twn tĺsewn, touc fĺsorec kai th diaforĺ fĺshc metaxô touc. Ησυχνότητα fσε Hzείναι f = ω π = 377 = 6 Hz π ια έγουµεφάσορε µεβάσητοηµίτονο,οπότεοικυµατοµορφέ γράφονται u (t) = sin(377t 6 ) V καιοιφάσορε είναι Ηδιαφοράφάση είναι και u (t) = 6 sin(377t 3 8 9 ) = 6 sin(377t 6 ) V U = /6 = 8.485 /6 και U = 6 / 6 = 4.43 / 6 6 ( 6 ) = δη.ηu (t)προηγείταιτη u (t)κατά ήηu (t)έπεταιτη u (t)κατά. ParĹdeigma 9.3 StoparakĹtwkÔklwmaeÐnai u(t) = sin(68t 5 ), = kωkai C = 3 µf. NabreÐtethn empèdhsh pou blèpei h phgă kajÿc kai tic kumatomorfèc tĺshc kai reômatoc sta stoiqeða tou kuklÿmatoc. u(t) i(t) C Ησυχνότητατουενα ασσοµένου(τάση καιρεύµατο )είναι f = 68/(π) = Hz.Οφάσορα τη τάση (µεβάση τοηµίτονο)είναι U = (/ ) /5 = 7.7 /5 V. Ηεµπέδησηπουβ έπειηπηγήείναιηενσειράεµπέδησητη ωµική καιχωρητική αντίσταση Z = jωc = j 884 6 = j53.8 = 3.4 / 7.96 Ω Τορεύµαστονβρόχοπουδιέρχεταικαιαπότηνωµικήαντίστασηκαιαπότονπυκνωτή(κανόνα τάσεων Kirchhoff)είναι Ητάσησταάκρατη ωµική αντίσταση είναι Ητάσησταάκρατουπυκνωτήείναι I = U Z = 4.57 j4.56 = 6.46 /4.96 ma i(t) = 6.46 sin(68t 4.96 ) ma = 8.833 sin(68t 4.96 ) ma U = I = 4.57 j4.56 = 6.46 /4.96 V u (t) = 6.46 sin(68t 4.96 ) V = 8.833 sin(68t 4.96 ) V U C = I I X C = jωc =.59 j.46 = 3.35 / 47.4 V u C (t) = 3.35 sin(68t 47.4 ) V = 4.688 sin(68t 47.4 ) V Γιαεπιβεβαίωσηχρησιµοποιούµετοπρόγραµµα SPICEµετοακό ουθο netlistκαιαποτέ εσµα
V ac 7.7 5 k C 3u.ac lin.print ac Vm() Vp() Vm() Vp().end Index frequency vm() vp() --------------------------------------------------------------------------------.e,.e 7.7e.67994e- -------------------------------------------------------------------------------- Index frequency vm() vp() --------------------------------------------------------------------------------.e,.e 3.3383e -8.35e- Ηπηγήτάση ορίζεταιµετονφάσοράτη (ενεργό τιµήκαιφάσησεµοίρε )καισαρώνονταιοισυχνότητε µόνογια τηντιµή Hz.Τοαποτέ εσµαείναιοιφάσορε (ενεργό τιµήκαιφάσησεακτίνια)τωντάσεωνστου κόµβου και.πράγµατι, vp() 8/π = 5,ηφάσητη πηγή και vp() 8/π = 47.53 ηφάσηστηχωρητικότητα.οµοίω, συγκρίνουµετι κυµατοµορφέ (σχ.7,8)πουπαράγειτο SPICEµετι εκφράσει πουυπο ογίσαµεεµεί. 8 6 4 u [V] 4 6 8....3.4.5.6.7.8.9. t [s] Sqăma 7: Kumatomorfă SPICE kai upologismìc dikìc mac gia thn tĺsh thc phgăc. Oi kumatomorfèc tautðzontai arketĺ kalĺ mediaforĺsto3oă4odekadikìyhfðo(hdiaforĺdendiakrðnetaistosqăma). 8 8 6 6 4 4 u [V] uc [V] 4 6 8 4....3.4.5.6.7.8.9. t [s] 6....3.4.5.6.7.8.9. t [s] Sqăma 8: Kumatomorfèc SPICE kai upologismìc dikìc mac gia tic tĺseic sthn wmikăc antðstash kai ton puknwtă. DiakrÐnetai mia mikră diaforĺ sthn arqă tou qrìnou lìgw tou ìti to SPICE upologðzei kai ta metabatikĺ fainìmena upojètontac ìti èqoume mhdenikèc arqikèc sunjăkec. Το netlist που χρησιµοποιήσαµε για τα γραφήµατα(σχ. 7, 8) είναι: 3
Vin sin( -.467 ) k C 3u.tran m..print tran V() V().options nopage.end Εδώορίσαµετηνπηγήτάση σανηµίτονοµεπ άτο V,συχνότητα f = Hzκαικαθυστέρησηστοχρόνο t d = θ/ω = (5π/8)/(πf). Σαρώνουµεµετάτοχρόνοαπόµέχρι. sµεβήµα msκαιπαίρνουµετι τιµέ τάση στου κόµβου και.στοπαραπάνω netlistέχουµεεπι έξειναέχουµεεκτύπωσητιµώνχωρί κενά.print tran V() V().options nopage α άθαµπορούσαµεεπίση ναέχουµεδηµιουργίαγραφική παράσταση (εάνχρησιµοποιούσαµε winspice)µετηνεντο ή.plot tran V() V() ParĹdeigma 9.4 Sto parakĺtw kôklwma èqoume timèc stoiqeðwn = Ω, C = µf, L = 5 mh kai suqnìthta phgăc f = khz.nabrejoôn.hempèdhshpoublèpeihphgă.. Oi kumatomorfèc tĺshc kai reômatoc sta stoiqeða tou kuklÿmatoc. 3. o dianusmatikì diĺgramma tĺsewn. 4. o kôklwma èqei qwrhtikă ă epagwgikă antðstash kai giatð? o E i L C Ηεµπέδησηπουβ έπειηπηγήείναιηενσειράεµπέδησητη ωµική,επαγωγική καιχωρητική αντίσταση Z = jωl jωc = j94.478 j59.55 =. j64.97 = 9. / 3.986 Ω Τορεύµαστονβρόχοπουδιέρχεταικαιαπότι τρει εµπεδήσει (κανόνα τάσεων Kirchhoff)είναι I = U Z =.736 j.4567 =.839 /3.986 A Ηκυµατοµορφήτουρεύµατο πουδιέρχεταιαπόό αταστοιχείατουκυκ ώµατο είναι Ηκυµατοµορφήτη τάση τη πηγή είναι i(t) =.839 sin(683.t 3.986 ) A =.86 sin(683.t 3.986 ) A u(t) = sin(683.t) = 4.4 sin(683.t) V Ηκυµατοµορφήτη τάση σταάκρατη ωµική αντίσταση είναι U = I = 7.358 j45.668 = 83.88 /3.986 V u (t) = 8.6 sin(683.t 3.986 ) V Ηκυµατοµορφήτη τάση σταάκρατουεπαγωγέαείναι U L = I X L = 43.4 j66.3 = 79.55 /.99 V u L (t) =.8 sin(683.t.99 ) V Ηκυµατοµορφήτη τάση σταάκρατουπυκνωτήείναι U C = I X C = 7.68 j.979 = 33.5 / 57.4 V u C (t) = 88.8 sin(683.t 57.4 ) V 4
U L U I φ U U C Οιφάσορε µπορούνναπαρασταθούνσανδιανύσµαταστοµιγαδικόεπίπεδο.εποµένω,οικανόνε Kirchhoff,πουαναφέρονταισεα γεβρικάαθροίσµατατάσεωνήρευµάτων,αντιστοιχούντώρασεδιανυσµατικάαθροίσµατα.ταδιαγράµµατα που σχηµατίζονται στο µιγαδικό επίπεδο ονοµάζονται διανυσµατικά διαγράµµατα τάσεων ή/και ρευµάτων και βοηθούν στην εποπτεία των σχέσεων µεταξύ των τάσεων ή/και ρευµάτων. Στοπαρώνπρόβ ηµαπαίρνουµεσαναναφορά(παρά η οµεοριζόντιοάξονα)τορεύµαστοβρόχο.ητάσηστηνωµική αντίστασηείναισεφάση, άραείναικαιαυτήπαρά η ηστονοριζόντιοάξονα. Ηφάσητη επαγωγική τάση είναι 9,άραείναιπαρά η ηστονκατακόρυφοάξοναπρο ταεπάνω. Ηφάσητη χωρητική τάση είναι 9,άραείναι παρά η ηστονκατακόρυφοάξοναπρο τακάτω. Για f = khzκαιτι τιµέ τωνδοθέντωνστοιχείωνηχωρητική τάσηέχειµεγα ύτεροµέτρο, άραυπερισχύει. Οκανόνα τάσεωντου Kirchhoffπουισχύειγιατου φάσορε είναι U = U U L U C όπω φαίνεταιστοαριστερότµήµατουσχήµατο. Μπορούµεεπίση αντίτουναµεταφέρουµετηναρχήτωνδιανυσµάτωνστηναρχήτωναξόνων,νααρχίζουµεέναδιάνυσµα εκείπουτε ειώνειτοπροηγούµενο(όπω κάνουµεµεαθροίσµατακανονικώνδιανυσµάτων).ηπαρα αγήαυτήφαίνεται στοδεξιότµήµατουσχήµατο. Τοκύκ ωµαέχειχωρητικήαντίστασηεφόσον ImZ = ωl /(ωc) = 64.97 Ω <. ParĹdeigma 9.5 StoparakĹtwkÔklwmaèqoume u(t) = cos(377t 9 ) V.NabrejoÔn.Hempèdhshpoublèpeihphgă.. Oi kumatomorfèc tĺshc kai reômatoc sta stoiqeða tou kuklÿmatoc. 3. o dianusmatikì diĺgramma tĺsewn. I =4Ω U U - U L - L=5.9mH - U C C=36µF Ησυχνότητατουενα ασσοµένουείναι ω = 377 rad/s f = ω/(π) = 6 Hzκαιοφάσορα τη τάση µεβάσητο συνηµίτονοείναι U = /9 = j V. Ηεµπέδησηπουβ έπειηπηγήείναιηενσειράεµπέδησητη ωµική,επαγωγική καιχωρητική αντίσταση Z = jωl jωc = 4 j6 j = 4 j4 = 5.66 /45 Ω Τορεύµαστονβρόχοπουδιέρχεταικαιαπότι τρει εµπεδήσει (κανόνα τάσεων Kirchhoff)είναι I = U Z =.5 j.5 =. /45 A i(t) =. cos(377t 45 ) A = 3 cos(377t 45 ) A Ηκυµατοµορφήτη τάση σταάκρατη ωµική αντίσταση είναι U = I = 6 j6 = 8.485 /45 V u (t) = cos(377t 45 ) V 5
Ηκυµατοµορφήτη τάση σταάκρατουεπαγωγέαείναι U L = I jωl = 9 j9 =.73 /35 V u L (t) = 8 cos(377t 35 ) V Ηκυµατοµορφήτη τάση σταάκρατουπυκνωτήείναι U C = I/(jωC) = 3 j3 = 4.43 / 45 V u C (t) = 6 cos(377t 45 ) V U L = 6I M 9 o U U U L U U = 4I M o I 45 o U C = I M 9 o U C Sqăma 9: Dianusmatikì diĺgramma tĺsewn. Γιατοδιανυσµατικόδιάγραµµατωντάσεωνστοπαρώνπρόβ ηµα,µπορούµεναπάρουµετορεύµατουβρόχουσανδιάνυσµα αναφορά (φάση )καινακατασκευάσουµετοαριστερόδιάγραµµαστοσχ.9. Μετάαπότι πράξει όπουφαίνεταιότι τορεύµαβρόχουέχειφάση 45 µπορούµεαπ ώ ναπεριστρέψουµεαριστεράτοδιάγραµµακατά 45 (δεξιόδιάγραµµα). Οισχέσει µεταξύτωντάσεωνδενα άζουν. ParĹdeigma 9.6 NaupologistoÔnoitĹseickaitareÔmatastoparakĹtwkÔklwmaìtan U = 4 /6 V. I 4 Ω 8 Ω U U j6 Ω U -j4 Ω I I 3 Ηεµπέδησηπουβ έπειηπηγήείναι Z = 4 Βήµα-βήµαταυπό οιπαµεγέθηείναι j6(8 j4) 4 j48 88 j336 = 4 = 4 = 8.35 j4.94 = 9.64 /3.964 Ω j6 8 j4 8 j 68 I = U Z = 4 /6 9.64 /3.964 =.499 /9.36 A U = U 4 I = 6.63 /78.435 V I = U j6 =.7 /.565 A I 3 = I I =.88 /5 A U = I 3 ( j4) = 7.73 /5 V ParĹdeigma 9.7 NaupologisteÐhtĹshthcphgăcstoparakĹtwkÔklwmaìtan I 4 = 3 /45 A. I Ω Ω j Ω -j Ω U I I 3 I 4 U 4 Ω U -j5 Ω 8 Ω j5 Ω I 5 6
Εχουµε I 4 = 3 /45 Aοπότε: U = 4 I 4 = /45 V I U 5 = 8 j5 j =.44 /4.444 A I 3 = I 4 I 5 = 4.343 /38.48 A U = I 3 (5 j) U = 35.7 /55.3 V I = U j5 = 7. /45.3 A I = I I 3 = 7. /9.35 A U = I U = 96.47 /9.98 V ParĹdeigma 9.8 Na gðnei èna plărec poiotikì diĺgramma tĺsewn`entĺsewn sto parakĺtw kôklwma. I C I U U C I I 3 I 4 U C C U 3 3 U L U L.Αρχίζουµεπαίρνοντα σαναναφοράκάποιορεύµαόσογίνεταιπιοµακριάαπότου ακροδέκτε τροφοδοσία Α,Β καιδια έγουµε(αυθαίρετα)το I 4..Τοποθετούµεκατόπινταδιανύσµατατάσεωντουκ άδουπουδιαρέειτο I 4.Το U σεφάσηµετο I 4 καιτο U L σε 9 του I 4. 3. U U L = U 3 4.Τορεύµα I 3 είναισεφάσηµετην U 3. 5. I4 I 3 = I 6.Το U είναισεφάσηµετο I καιτο U C σε 9 του I. 7. U U C U 3 = U C 8.Τορεύµα I είναισε 9 του U C. 9.Και I I = I I I U U C U 3 U L U C I U I 4 I 3 7
Askăseic Askhsh. Na upologistoôn ta reômata sto parakĺtw kôklwma. I Ω -j4 Ω o j Ω Ω I 4 Ω I 3 j6 Ω Askhsh. NaupologisteÐhtĹshthcphgăcstoparakĹtwkÔklwmaìtan U = 8 /45 V. Ω -j Ω U j Ω Ω U Askhsh.3 Metatrèyte tic kumatomorfèc se fĺsorec kai na breðte th diaforĺ fĺshc metaxô touc. u (t) = cos(π4t 6 ) u (t) = 6 sin(π4t ) Askhsh.4 MetatrèytetoucfĹsorecsekumatomorfècgiaticsuqnìthtec f = 5 Hz, f = 4 Hz. U = 4 / 45 U = / U 3 = 8 / 6 U 4 = /3 Askhsh.5 Metatrèyte tic parakĺtw ekfrĺseic se fĺsorec kai kumatomorfèc. 5e j377t 6e j(4t ) e j(π6t 8 ) 4e j(t3 ) Askhsh.6 KĹnete tic prosjèseic. 3 /3 4 /3. /45 4 / 45 3. 6 / 5 /4 4. / /8 Askhsh.7 Na breðte to mètro kai th fĺsh twn parakĺtw empedăsewn kai na tic sqediĺsete sto migadikì epðpedo..5 j Ω.8 j.3 Ω.3 j.5 Ω j Ω Askhsh.8 Na breðte tic empedăseic pou èqoun ta parakĺtw stoiqeða:.phnðo Hsta Hz..Puknwtăc 5 µfsta 5 Hz. 3.Puknwtăc 5 µfsta 5 rad/s. 4. Wmikă antðstash 75 Ω sta 377 rad/s. 8
A Ω A 6 Ω 4 Ω 3 Ω 6 Ω j Ω j3 Ω -j Ω j4 Ω B -j4 Ω -j Ω B (a) (b) -j Ω Ω Ω A Ω -j Ω j Ω -j Ω Ω B j Ω (c) Askhsh.9 NabreÐtethnolikăempèdhshpoufaÐnetaiapìtaA,BstaparakĹtwkuklÿmata. Askhsh. Na breðte thn olikă agwgimìthta pou faðnetai apì ta A, B sta parakĺtw kuklÿmata. A. S A.5 S. S -j S.4 S -j.4 S j.5 S.4 S j.4 S B (a) B (b) A -j. S j.5 S j.5 S -j. S j.4 S B (c) Askhsh. Na breðte ton fĺsora thc tĺshc ston epagwgèa tou parakĺtw kuklÿmatoc. 7 µf 3-45 o ω=5 rad/s 5 Ω H 9
Askhsh. MetoreÔma I s sananaforĺ,sqediĺstetodianusmatikìdiĺgrammatĺsewnkaireumĺtwnstoparakĺtw kôklwma. U 4 Ω I s = o j4 Ω -j4 Ω U U 3 I I Askhsh.3 MethtĹsh U s sananaforĺ,sqediĺstetodianusmatikìdiĺgrammatĺsewnkaireumĺtwnstoparakĺtw kôklwma. I 4 Ω U s = o V U U j4 Ω -j Ω I I 3 Askhsh.4 Sto parakĺtw kôklwma prodiorðste thn timă thc epagwgăc ètsi ÿste to reôma sto brìgqo na eðnai sefĺshmethntĺshthcphgăc u(t) = 4 cos(377t 6 ) V Ω u(t) L 36 µf Askhsh.5 Sta 5 HzhempèdhshtwnstoiqeÐwnstoparakĹtwkÔklwmaeÐnai Z = 4 Ω, Z L = j Ωkai Z C = j8 Ω.ProdiorÐstetoreÔmastobrìgqoìtanhtĹshthcphgăceÐnai u(t) = 36 cos(53.3t 6 ) V u(t) L C
IsqÔc Οπω αναφέραµεσταπροηγούµεναηstigmiaðaisqôcγιακάποιοστοιχείοπουδιαρρέεταιαπόενα ασσόµενοη εκτρικό ρεύµα είναι p(t) = u(t) i(t) Γιαενα ασσόµενορεύµαηµιτονική µορφή όπου u(t) = U m cos(ωt φ u ) και i(t) = I m cos(ωt φ i ) ηστιγµιαίαισχύ γίνεται p(t) = U m I m cos(ωt φ u ) cos(ωt φ i ) = U [ ] mi m cos(φ u φ i ) cos(ωt φ u φ i ) [ ] p(t) = U rms I rms cos(φ u φ i ) cos(ωt φ u φ i ) Β έπουµεδη.ένατµήµαπουείναισταθερόµετοχρόνοκαιέναδεύτεροπουµεταβά εταιµετοχρόνο,α άµεδιπ άσια συχνότητααπόαυτήτουρεύµατο.παίρνοντα τηνµέσητιµήτη στιγµιαία ισχύο σεµιαπερίοδο έχουµετηνmèsh isqô P = t p(t)dt = t [ ] U rms I rms cos(φ u φ i ) cos(ωt φ u φ i ) dt t t P = U rms I rms cos(φ u φ i ) µια καιτοο οκ ήρωµαστο cos(ωt φ u φ i )έχειµέσητιµήµηδένκαιµηδενίζεται. Οπαράγων cos(φ u φ i )ονοµάζεταιsuntelestăcisqôoc.γιαφορτίαπουείναιωµικέ αντιστάσει όπουτάσηκαιρεύµα έχουντηνίδιαφάση,ηδιαφορά φ u φ i είναιµηδέν,άρατοσυνηµίτονοείναιµονάδακαιηµέσηισχύ αµβάνειτηµέγιστη τιµήτη. Γιαφορτίαπουείναιπυκνωτέ ήπηνίαόπουτάσηκαιρεύµαέχουνδιαφοράφάση 9,τοσυνηµίτονοείναι µηδένάρακαιηµέσηισχύ είναιµηδέν. Γιαφορτίαπουέχουνωµικά,χωρητικάκαιεπαγωγικάχαρακτηριστικάηµέση ισχύ έχειµιαενδιάµεσητιµή. Στο µιγαδική επίπεδο ορίζουµε την migadikă ă fainomènh isqô σαν όπουτο δη ώνεισυζυγήµιγαδικό.εποµένω Ṡ = U I Ṡ = U rms /φ u I rms / φ i = U rms I rms /φ u φ i e{ṡ} = U rmsi rms cos(φ u φ i ) = P και Im{Ṡ} = U rmsi rms sin(φ u φ i ) = Q καιτοπραγµατικόµέρο Pείναιηµέσηισχύ πουορίσαµεπαραπάνωενώτοφανταστικό QτοονοµάζουµεĹergoisqÔ. Suntonismìc. SuqnìthtasuntonismoÔ Οπω έχουµεδειµέχριτώραηεµπέδησησεένακύκ ωµαενα ασσοµένουρεύµατο εξαρτάταιαπότησυχνότητα. Στη µε έτητη απόκριση συχνότητα σεένακύκ ωµα,ταδυοκυκ ώµατατουπαρακάτωσχήµατο παίζουνσηµαντικόρό ο. I C L I U U G C L (a) (b) Sqăma : En seirĺ (a) kai parĺllhlo (b) kôklwma LC. Στοενσειράκύκ ωµα LCηεµπέδησηεισόδου(ηεµπέδησηπουβ έπειηπηγή)είναι Z(ω) = jωl jωc
ενώστοπαρά η οκύκ ωµα LCησύνθετηαγωγιµότηταεισόδου(ησύνθετηαγωγιµότηταπουβ έπειηπηγή)είναι Y (ω) = G jωc jωl Καιστι δυοπεριπτώσει τοφανταστικόµέρο µηδενίζεταιγιατηνσυχνότητα ω όταν ω L = ω C ω = LC f = π LC Ησυχνότητα f ονοµάζεταισυχνότητασυντονισµούκαισεαυτήτησυχνότητα,στοενσειράκύκ ωµαέχουµε Z = ενώστοπαρά η οκύκ ωµα Y = G.. Suntonismìc en seirĺ Α δούµεστοπαρακάτωενσειράκύκ ωµα,µεσυγκεκριµέναστοιχεία,πω µεταβά εταιηεµπέδησηκαιτορεύµαµετη συχνότητα. 5 Ω U = o V I µf 5 mh Η συχνότητα συντονισµού είναι ω = LC = 5 9 = rad/s f = Τοµέτροκαιηφάσητη εµπέδηση είναι ( Z(ω) = ωl ) ωc π LC = π = 38.3 Hz 5 9 [ ] ωl /(ωc) φ Z (ω) = tan Εφόσονθεωρούµετηντάσητη πηγή σταθερή, U = / Vτοµέτροκαιηφάσητουρεύµατο είναι I = U Z = ( ωl ) / φ Z ωc Για f = f έχουµε I = U Z = U =. / A U = I = / V U C = I jω C = / 9 V U L = I (jω L) = /9 V Β έπουµε(σχ.)ότιτοµέτροτη εµπέδηση έχειε άχιστοστησυχνότητασυντονισµού,ίσοµε Z min =.Β έπουµε επίση ότιηφάσητη εµπέδηση είναιµηδένγια f = f. Γιατορεύµα,β έπουµεότιστησυχνότητασυντονισµούέχει µέγιστοµέτροκαιφάσηίσηµετηδιαφοράφάση τη πηγή καιτη εµπέδηση.καιεφόσονηεµπέδησηέχειτότεφάση µηδέν,ηφάσητουρεύµατο είναιίδιαµετηφάσητη πηγή. Β έπουµεεπίση ότιοιτάσει πουαναπτύσσονταιστον πυκνωτήκαιπηνίοείναιίσουµέτρουκαιέχουν 8 διαφοράφάση. Ε ατώνοντα επίση τηνωµικήαντίστασηαπό = 5 Ωσε = 5 Ωπαρατηρούµεαυξηµένη οξύτητα σταακρότατατωνγραφηµάτων. Παρόµοιααποτε έσµατα ισχύουνγιαό αταενσειρά LCκυκ ώµατακαιεπειδήµπορούµεναπάρουµεµέγιστητιµήρεύµατο γιατησυχνότητα συντονισµού, ονοµάζουµε αυτόν τον συντονισµό, suntonismì èntashc.
5 8 4 6 4 Z (Ω) 3 Zphase ( o ) - -4-6..4.6.8..4.6-8..4.6.8..4.6 f (khz) f (khz). 8.5 6 4 I (A)..5 Iphase ( o ) - -4-6..4.6.8..4.6-8..4.6.8..4.6 f (khz) f (khz) 5 8 4 6 4 Z (Ω) 3 Zphase ( o ) - -4-6..4.6.8..4.6-8..4.6.8..4.6 f (khz) f (khz) 8.5 6 4 I (A).5 Iphase ( o ) - -4-6..4.6.8..4.6-8..4.6.8..4.6 f (khz) f (khz) Sqăma : Mètro kai fĺsh empèdhshc kai reômatoc sunartăsei thc suqnìthtac gia = 5 Ω(epĹnw tèssera diagrĺmmata) kai = 5 Ω(kĹtwtèsseradiagrĹmmata). 3
Στησυχνότητασυντονισµούέχουµεµέγιστορεύµα I max, Z = και φ i = φ u οπότε U = I max και P max = I max. Στηνπράξη,στακυκ ώµατασυντονισµού,µα ενδιαφέρειµιαπεριοχήσυχνοτήτωνγύρωαπότησυχνότητασυντονισµού, f < f < f,πουτηνονοµάζουµεωφέ ιµηζώνη,όπουηπραγµατικήισχύ P P max /. Εχουµετότεγιατοµέτροτου ρεύµατο P P max / I I max Εποµένω,γιατι συχνότητε f,f όπουισχύειηισότητα,έχουµε οπότε I(f ) = I(f ) = U ( ωl ωc ( ωl ) ( ωc ωl ωc ) = U ) I I max ( ωl ) = ωc ω LC ωc = ω = C C 4LC LC ( ωl ) = ωc = (ω LC ωc)(ω LC ωc) ωc = L 4L LC ω LC ωc = ω = C C 4LC = LC L 4L LC όπουκρατήσαµεµόνοτι θετικέ συχνότητε πουέχουνφυσικήσηµασίακαιηδιάταξηείναι ω < ω. Ανπάρουµετο γινόµενοτων ω,ω ευρίσκουµεότι Ανπάρουµετηδιαφοράτου ω ω = LC = ω ή f f = 4π LC = f ω = ω ω = ή f = f f = L πl Ητε ευταίασχέσηµα δίνειτοεύρο τή ωφέ ιµη ζώνη συχνοτήτωνκαιβ έπουµεότιεξηγείταιτώραη οξύτητα που παρατηρήσαµε στο προηγούµενο παράδειγµα. Τι παραπάνωσχέσει γιατογινόµενοκαιτηδιαφοράτωνακροτάτωντη ωφέ ιµη ζώνη συχνοτήτωνµπορούµενατα υπο ογίσουµεεπίση καιαπόπρόσθεσηήαφαίρεσητωνσχέσεων ( ω L ) = και ω C ( ω L ) = ω C Απότησχέση I = U/Zέχουµε φ i = φ u φ Z.Εποµένω γιατι συχνότητε f,f έχουµε = φ Z (ω ) = tan ω L ω C = tan = 45 ω L και φ Z (ω ) = tan ω C φ u (ω ) φ i (ω ) = φ Z (ω ) = 45 και φ u (ω ) φ i (ω ) = φ Z (ω ) = 45 = tan = 45 Εναά οσηµαντικόµέγεθο στακυκ ώµατασυντονισµού,είναιοsuntelestăcpoiìthtocτουκυκ ώµατο πουορίζεται σαν µέγιστη ενέργεια που αποθηκεύεται στα L, C Q = π ενέργειαπουκατανα ώνεταιαναπερίοδοστην = π [w L(t) w C (t)] max P Γιατηνισχύπουκατανα ώνεταιαναπερίοδοστηνωµικήαντίσταση έχουµε P = I rms = (I m/)οπότεηενέργεια ανάπερίοδο είναι P = (I m/). Εάνηκυµατοµορφήτουρεύµατο πουκυκ οφορείστοενσειρα LCείναι i(t) = I m cos(ωt)τότεητάσηστονπυκνωτή είναι u(t) = U m cos(ωt 9 ) = U m sin(ωt). Εχουµε οιπόν w L (t) w C (t) = L i (t) C u (t) = L I m cos (ωt) C U m sin (ωt) Στησυχνότητασυντονισµούόπουέχουµεκαιτηνµέγιστηενέργειααποθηκεύσεω,έχουµεεπίση U m = I m /(ω C)και ω = /(LC),οπότε [w L (t) w C (t)] max = L I m cos (ω t) C I m ω C sin (ω t) = L I m cos (ω t) L I m sin (ω t) = L I m 4
Εποµένω οσυντε εστή ποιότητα Qγιατονενσειράσυντονισµό, Q s,είναι Q s = π L I m I m = π Lf = ω L = ω C = L C Τοεύρο τη ωφέ ιµη ζώνη συχνοτήτων fµπορείναγραφείτώραω f = πl = ω πlω = ω πq s = πf πq s = f Q s Εποµένω β έπουµεότιόσοµεγα ύτερο είναιοσυντε εστή Q s τόσοµικρότεροείναιτοεύρο ζώνη fπουσηµαίνει ότιηδυνατότηταεπι ογή µια συγκεκριµένη συχνότητα απότοκύκ ωµαγίνεταιµεγα ύτερη. Παρατηρούµεεπίση στονσυντονισµόότιγιαταµέτρατωντάσεων U(πηγή ), U L (πηνίου)και U C (πυκνωτή)έχουµε U L U = Iω L I = Q s και U C U = I ω CI = Q s που σηµαίνει ότι U L = Q s U και U C = Q s U δη.παρατηρούµεότιητάσηστονπυκνωτήκαιτοπηνίοείναιπο /σιοτη τάση τη πηγή κατά Q s.τοφαινόµενοαυτό το ονοµάζουµε kèrdoc tĺshc..3 SuntonismìcparĹllhloc Α δούµετώραστοπαρακάτωπαρά η οκύκ ωµα,µεσυγκεκριµέναστοιχεία,πω µεταβά εταιησύνθετηαγωγιµότητα καιητάσηµετησυχνότητα. I = o A 5 Ω 5 mh µf U Η συχνότητα συντονισµού είναι και εδώ Η σύνθετη αγωγιµότητα είναι µεµέτροκαιφάση Y (ω) = f = π LC = π = 38.3 Hz 5 9 Y (ω) = G jωc jωl = jωc jωl G ( ωc ) ωl [ ] ωc /(ωl) φ Y (ω) = tan G Εφόσονθεωρούµετορεύµατη πηγή σταθερό, I = / Aτοµέτροκαιηφάσητη τάση είναι I U = Y = ( G ωc ) / φ Y ωl Για f = f έχουµε I U = Y = I G = I = 5 / V I = U G = / A I L = U jω L = / 9 A 5
Y (S). e-4... f (khz) Yphase ( o ) 8 6 4 - -4-6 -8 e-4... f (khz) U (V) 5 45 4 35 3 5 5 5 e-4... f (khz) Uphase ( o ) 8 6 4 - -4-6 -8 e-4... f (khz) Y (S).. e-4... f (khz) Yphase ( o ) 8 6 4 - -4-6 -8 e-4... f (khz) U (V) 5 45 4 35 3 5 5 5 e-4... f (khz) Uphase ( o ) 8 6 4 - -4-6 -8 e-4... f (khz) Sqăma 3: Mètro kai fĺsh sônjethc agwgimìthtac kai tĺshc sunartăsei thc suqnìthtac gia = 5 Ω (epĺnw tèssera diagrĺmmata)kai = 5 Ω(kĹtwtèsseradiagrĹmmata). KaioiduoĹxonecthc Y eðnailogarijmikoðenÿseìlecticĺllec grafikèc parastĺseic mìno o Ĺxonac twn suqnotătwn eðnai logarijmikìc. 6
I C = U (jω C) = /9 A Καιεδώβ έπουµε(σχ.3)ότιτοµέτροτη σύνθετη αγωγιµότητα έχειε άχιστοστησυχνότητασυντονισµού,ίσοµε Y min = G. Β έπουµεεπίση ότιηφάσητη σύνθετη αγωγιµότητα είναιµηδένγια f = f. Ητάσησταάκρατων παρα ή ωνστοιχείων,στησυχνότητασυντονισµού,β έπουµεότιέχειµέγιστοµέτροκαιφάσηίσηµετηδιαφοράφάση τη πηγή ρεύµατο καιτη σύνθετη αγωγιµότητα.καιεφόσονησύνθετηαγωγιµότηταέχειτότεφάσηµηδέν,ηφάση τη τάση είναιίδιαµετηφάσητη πηγή ρεύµατο.β έπουµεεπίση ότιταρεύµαταπουαναπτύσσονταιστονπυκνωτή καιπηνίοείναιίσουµέτρουκαιέχουν 8 διαφοράφάση. Αυξάνοντα επίση τηνωµικήαντίστασηαπό = 5 Ω σε = 5 Ωπαρατηρούµεαυξηµένη οξύτητα σταακρότατατωνγραφηµάτων. Παρόµοιααποτε έσµαταισχύουνγια ό αταπαρά η α LCκυκ ώµατακαιεπειδήµπορούµεναπάρουµεµέγιστητιµήτάση γιατησυχνότητασυντονισµού, ονοµάζουµε αυτόν τον συντονισµό, suntonismì tĺshc. Μπορούµεκαιεδώναορίσουµετηνωφέ ιµηζώνησυχνοτήτωνµεάκρα P max /καιέχουµε ω ω = LC = ω ή f f = 4π LC = f Ηµαθηµατικήέκφρασητωνµεγεθώνστονπαρά η οσυντονισµόείναιακριβώ ίδιαµετι εκφράσει στονενσειρά συντονισµόανκάνουµετι αντικαταστάσει G, C L, L G(δυαδικότητα). Μπορούµεεποµένω νακάνουµε απότηναρχήπαρόµοιαµαθηµατικήανά υσηόπω καιστονενσειράσυντονισµό,ήναεκµετα ευτούµετηδυαδικότητα καιναγράψουµεαπ ευθεία ω = ω ω = G ή f = f f = G C πc Γιατοσυντε εστήποιότητο τουπαρα ή ουκυκ ώµατο Q p χρειαζόµαστεπά ιτηνισχύπουκατανα ώνεταιαναπερίοδο στηναγωγιµότητα G. Εχουµε P G = U rmsg = (U m/)gοπότεηενέργειαανάπερίοδο είναι P = (U m/)g. Εάνηκυµατοµορφήτη τάση στου δυοκόµβου τουπαρά η ου LCείναι u(t) = U m cos(ωt)τότετορεύµαστοπηνίο είναι i(t) = I m cos(ωt 9 ) = I m sin(ωt). Εχουµε οιπόν w L (t) w C (t) = L i (t) C u (t) = L I m sin (ωt) C U m cos (ωt) Στησυχνότητασυντονισµούόπουέχουµεκαιτηνµέγιστηενέργειααποθηκεύσεω,έχουµεεπίση I m = U m /(ω L)και ω = /(LC),οπότε [w L (t) w C (t)] max = L U m ω L sin (ω t) C U m cos (ω t) = C U m sin (ω t) C U m cos (ω t) = C U m Εποµένω οσυντε εστή ποιότητα Q p είναι Q p = π C U m U mg = π Cf G = ω C G = ω C = C ω L = L Τοεύρο τη ωφέ ιµη ζώνη συχνοτήτωνγιατηνµισήισχύ fµπορείναγραφείτώραω f = G πc = πc = ω πq p = πf πq p = f Q p Παρατηρούµεεπίση στονσυντονισµόότιγιαταµέτρατωνρευµάτων I(πηγή ), I L (πηνίου)και I C (πυκνωτή)έχουµε που σηµαίνει ότι I L I = U ω LUG = Q p I L = Q p I και και I C = Q p I I C I = Uω C UG = Q p δη.παρατηρούµεότιτορεύµαστονπυκνωτήκαιτοπηνίοείναιπο /σιοτουρεύµατο τη πηγή κατά Q p.τοφαινόµενο αυτό το ονοµάζουµε kèrdoc èntashc..4 MetasqhmatismoÐ L seirĺc ` parĺllhla Συχνάστηνανά υσηκυκ ωµάτωνµα διευκο ύνειοµετασχηµατισµό ενό ενσειρά Lσεπαρά η ηµορφή. οθέντο τωνενσειράστοιχείων, s,l s καιτη ειτουργική συχνότητα ωµπορούµεναβρούµεταισοδύναµα p,l p ω εξή : Οισύνθετε αγωγιµότητε τωνδιπό ωνείναι Y s = και Y p = s jωl s p jωl p 7
s P L p L s θεωρώντα ότιείναιίσε,έχουµε Y s = Y p s jωl s s (ωl s ) = p s s (ωl s ) = p = s (ωl s ) = s p s j ωl p [ ( ) ] ωls = s ( Q s) [ ωl s s (ωl s ) = L p = s (ωl s ) ( ) ] ( s ωl p ω = L s = L p ) L s ωl s Q s καιγιαµεγά α Q s (συνήθω Q s )έχουµε s p s Q s και L p L s Οιτε ευταίε σχέσει µετου συντε εστέ ποιότητα έχουνµεγά ηεφαρµογήσεκυκ ώµατασυντονισµού..5 MetasqhmatismoÐ C seirĺc ` parĺllhla s P C p C s Γιατονσυνδυασµό Cµπορούµεναεξισώσουµετι εµπεδήσει τωνδιπό ων,οπότε: s = s jωc s = p (ω p C p ) = p Q p Η,εξισώνοντα σύνθετε αγωγιµότητε p jωc p = p = s [ jωc s s = jωc s s p jωc p p jωc p = p = p( jω p C p ) jω p C p (ω p C p ) και C s = C p [ ] ( (ω p C p ) = C p ) Q p jωc s jω s C s = jωc s ω s C s (ω s C s ) = s jω s C s (ω s C s ) (ω s C s ) ] (ω s C s ) = s ( Q C s s) και C p = (ω s C s ) = C s (/Q s ) 8
.6 Pragmatikì parĺllhlo kôklwma LC Ταπαραπάνωκυκ ώµατασυντονισµούείναιγιαιδανικάπηνίακαιπυκνωτέ.στηνπράξη,τοπραγµατικόπηνίοαποτε είται απόµιαιδανικήεπαγωγήσεσειράµεµιαµικρήωµικήαντίστασηκαιοπραγµατικό πυκνωτή αποτε είταιαπόµιαιδανική χωρητικότηταπαρά η αµεµιαµεγά ηωµικήαντίσταση. Εναπραγµατικόπαρά η οκύκ ωµα LCπουτροφοδοτείται απόµιαπηγήτάση φαίνεταιστοσχ.4. U L L C C I L L C Sqăma 4:PragmatikìparĹllhlokÔklwma LCpoutrofodoteÐtaiapìmiaphgătĹshckaitoisodÔnamìtou.HantÐstash C eðnai sunăjwc polô megĺlh kai mporeð na paralhfjeð. Μεένανµετασχηµατισµότη πηγή τάση σερεύµατο καιτηνπαρά ηψητη C έχουµετοισοδύναµοκύκ ωµαδεξιά πουείναισχεδόνίδιοµετοιδανικόπαρά η ο LC.Ησύνθετηαγωγιµότηταείναι Y = G jωc L jωl = G jωc [ ] L jωl L = G L (ωl) L j ωl ωc (ωl) L (ωl) Στον συντονισµό ω a C = ω a L L (ω al) ω a = LC ( ) L = [ L C ] L LC L ω a = L C LC L β έπουµεδη.ότισυντονισµό επιτυγχάνεταισεχαµη ότερησυχνότητααπόότιστηνιδανικήπερίπτωσηκαιησύνθετη αγωγιµότητα είναι τότε Y a = G LC L = G Επίση,εάν (ωl) L,γιατηνωφέ ιµηπεριοχήσυχνοτήτων,έχουµε ω a C = ω a L L (ω al) ω ac = ω al (ω a L) ω ac = ω a L ω a = LC [ Y = G j ωc ] ωl οπότεµπορούµεναχρησιµοποιήσουµε(µεαρκετάκα ήακρίβεια)τι σχέσει πουισχύουνγιαταιδανικάπαρά η ο κύκ ωµα.γιατονσυντε εστήποιότητα π.χ.έχουµε C Q a = ω ac L G = G LC L και.7 AllagăklÐmakac Οτανσχεδιάζουµεκυκ ώµατασυντονισµού,θαχρειαστείπο έ φορέ,γιαδιαφόρου όγου,ναα άξουµετι τιµέ των στοιχείωνστοκύκ ωµα.επιθυµητότότεείναιτοκαινούργιοκύκ ωµαναέχειτηνίδιαήπο /σιασυχνότητασυντονισµού. Στηνπρώτηπερίπτωσηκάνουµεα αγήκ ίµακο µέτρου K M L K M L C C K M οπότεησυχνότητασυντονισµούκαιοισυντε εστέ ποιότητα παραµένουνίδιοι ω = L C = KM LC/K M = ω 9
Q s = ω L = ω K M L K M = Q s και Q p = ω L = K M ω K M L = Q p Στηνδεύτερηπερίπτωση,ησυχνότηταα άζειω ω = K F ω.οιωµικέ αντιστάσει είναιανεξάρτητε τη συχνότητα εποµένω δενα άζουν.γιατι επαγωγέ έχουµε Ταίδιαισχύουνκαιγιατι χωρητικότητε,οπότε ω L = ωl K F ωl = ωl L = L K F L L K F C C K F Η συχνότητα συντονισµού γίνεται τώρα ω = L C = = K F ω (L/KF )(C/K F ενώοισυντε εστέ ποιότητα δενα άζουν Q s = ω L = K Fω L K F = Q s και Q p = ω L = K F ω L = Q p.8 ParadeÐgmata ParĹdeigma. SekÔklwmasuntonismoÔmestoiqeÐa = Ω, L = H, C =.5 F,prosdiorÐstetictimèctwn stoiqeðwnìtangðneiallagăklðmakocmètroukatĺ K M = kaisuqnìthtackatĺ K F = 6. Γιατηνα αγήµέτρουέχουµε Καιγιατηνα αγήσυχνότητα = K M = Ω L = K M L = H C = C K M = 5 3 F = = Ω L = L K F = 4 H C = C K F = 5 9 F ParĹdeigma. GiatokÔklwmatousqămatoc,poiĹeÐnaihtimă Cpoujatofèreisesuntonismìsta 8 rad/s. UpologÐste epðshc ton suntelestă poiìthtac kajÿc kai to mètro thc tĺshc sta Ĺkra tou puknwtă. 3 Ω o V C mh Εχουµεσυντονισµόσειρά,άρα ω = C = = 3.86 µf LC L Q s = ω L ω = 8 3 3 Στοσυντονισµόέχουµεκέρδο τάση ίσοµετονσυντε εστήποιότητα,άρα = 6 U L U = Q s U L = Q s U = 6 = 6 V
ParĹdeigma.3 SekÔklwmasuntonismoÔseirĹcèqoume = Ω, L = mh, C = 5 µf. NaupologÐsetethn suqnìthta suntonismoô, ton suntelestă poiìthtac kai to eôroc thc wfèlimhc zÿnhc tou kuklÿmatoc. PoiĹ eðnai h allagăstonsuntelestăpoiìthtackaieôroczÿnhcìtanallĺxeihwmikăantðstashapì = Ωse =. Ω? Εχουµε ω = = LC 3 5 = 6 4 rad/s f = ω = 59.5 Hz π Q s = ω L = 4 3 = f = f = 59.5 = 59.5 Hz Q s Ηα αγήστην στηντιµή. Ωµα α άζειτο Qστηντιµήκαιτο fστηντιµή 5.95 Hz. ParĹdeigma.4 SekÔklwmaparĹllhlousuntonismoÔèqoume = kω, L = mh, C = 5 µf.naupologðsete thn suqnìthta suntonismoô, ton suntelestă poiìthtac kai to eôroc thc wfèlimhc zÿnhc tou kuklÿmatoc. ω = = LC 3 5 = 577.3 rad/s f 6 = ω = 9.9 Hz π Q p = ω C = 73. και f = f = 9.9 =.53 Hz Q p 73. ParĹdeigma.5 Ena radiìfwno eðnai suntonismèno sta 98 MHz sthn zÿnh twn FM. H allagă kanalioô epitugqĺnetai me thn allagă miac metablhtăc qwrhtikìthtac se èna parĺllhlo kôklwma suntonismoô. EĹn h epagwgă tou kuklÿmatoceðnai. µhkaito Q =,prosdiorðstetictimèctwn Ckai G. Εχουµε C = ω L = (π 98 6 ). 6 =.64 = 6.4 pf G = ω LQ =.35 4 = 35 µs.9 Askăseic Askhsh. SeenseirĹkÔklwmasuntonismoÔèqoume = Ω.NabrejoÔnoitimèc Lkai CètsiÿstetokÔklwma na èqei suqnìthta suntonismoô khz kai eôroc wfèlimhc zÿnhc khz. Na brejoôn katìpin ta Ĺkra thc wfèlimhc zÿnhc kai o suntelestăc poiìthtac tou kuklÿmatoc. Askhsh. Sto parakĺtw kôklwma na prosdioristeð h timă thc C ètsi ÿste na èqoume suntonismì. UpologÐste katìpinticallagècstastoiqeðaìtanallĺxoumeklðmakasthsuqnìthtamesuntelestăsuqnìthtac K F =. 4cost V C 6 Ω 4 Ω 4 H Askhsh.3 StoparakĹtwkÔklwmaupologÐstethnsuqnìthtasuntonismoÔkajÿckaithnempèdhsh Z AB sto suntonismì.dðdontai = 5 Ω, = 3 Ω, C = 4 µfkai L = mh.ektimăsatetonsuntelestăpoiìthtac.
A L C B Askhsh.4 Se parĺllhlo kôklwma suntonismoô prosdiorðste tic timèc twn stoiqeðwn gia suqnìthta suntonismoô f =.5 khzkai Q p = 5. DÐnetaitomètrothcphgăcreÔmatoc AkajÿckaitomètrothctĹshcstaĹkratwn stoiqeðwn thn stigmă tou suntonismoô V.
Mègisth metaforĺ mèshc ă pragmatikăc isqôoc Εστωότιενδιαφερόµαστεγιατηνµέγιστηµεταφοράπραγµατική ισχύο Pσεκάποιοφορτίο Z L απόκάποιοκύκ ωµα. Τοπρώτοβήµαείναιοµετασχηµατισµό τουκυκ ώµατο σεισοδύναµοκατά heveninοπότεέχουµετοπαρακάτωσχήµα (αριστερά) Z H I L Z L = L X L U H Z L U L X L θ ZL L Οιεµπεδήσει είναι Z H = H jx H και Z L = L jx L ενώτορεύµαπουδιέρχεταιαπότοφορτίο Z L είναι Απότοδιαιρέτητάση έχουµε Ηπραγµατικήισχύ πουκατανα ώνεταιστο Z L είναι I L = U H Z H Z L Z L U L = Z H Z L U H P L = U L,rms I L,rms cos(θ v θ i ) = U L,rms I L,rms cos(θ ZL ) = U L I L L Z L Οπότε P L = Z L Z H Z L U H U H Z H Z L L Z L = U H L Z H Z L = U H L ( H L ) (X H X L ) Θέ ουµετι τιµέ των L, X L γιατι οποίε έχουµεµέγιστη P L,δη. και P = U H L (X H X L ) [ X L (H L ) (X H X L ) ] = X L = X H P = U [ H [(H L ) (X H X L ) ] L ( H L ) ] [ L (H L ) (X H X L ) ] = ήτε ικά, ( H L ) (X H X L ) = L = H Z L = Z H Τοπαραπάνωακρότατοοδηγείσεµέγιστοόπω µπορείναφανείαπότοπρόσηµοτη ορίζουσα τωνµερικώνπαραγώγων τη P L.Τοµέγιστοαυτόείναι P max = U H 4 H Γιατηνπερίπτωσηόπουτοφορτίοείναικαθαράωµικό,δη. X L = ενώ X H,έχουµε dp L = U [ H [(H L ) XH ] L( H L ) ] [ d L (H L ) XH] = H H L L X H H L L = L = καιηµέγιστηπραγµατικήισχύ είναιτότε P max = U H Z H H H X H = Z H
Hlektroteqnia E.. ParĹdeigma. StoparakĹtwkÔklwmanabrejeÐtofortÐo Z L giatoopoðoèqoumemègisthpragmatikăisqôapì to kôklwma kajÿc epðshc kai h timă thc mègisthc pragmatikăc isqôoc. j Ω 4 o A Ω 4 Ω Z L Αφαιρούµεπρώτατοφορτίο Z L καιαπ οποιούµετοκύκ ωµα,ευρίσκοντα τοισοδύναµοκατά hevenin. j Ω Ω j Ω 4 o A Ω 4 Ω 8 o V 4 Ω Z H = 4( j) 4 j = 8 4j 6 j 6 j 6 j = 48 j 4 j4 j8 5 6j = 36 37 =.45 j.43 Ω άρα Z L = Z H =.45 j.43 Ω.Η U H είναιητάσησταάκρατη 4 Ωκαιµεένανδιαιρέτητάση έχουµε U H = 4 4 j 8 3 / / = 6.83 /9.46 = 5.6 / 9.46 V οπότε P max = U H 4 H = 5.6 4.45 = 4.9 W ParĹdeigma. StoparakĹtwkÔklwmanabrejeÐtofortÐo Z L giatoopoðoèqoumemègisthpragmatikăisqôapì to kôklwma kajÿc epðshc kai h timă thc mègisthc pragmatikăc isqôoc. j4 Ω -j Ω A U x U x Ω Z L 4 o V B Τοκύκ ωµαπεριέχειµιαεξαρτηµένηπηγήτάση εποµένω χρειαζόµαστεναβρούµετηντάση U AB oc µεανοικτού ακροδέκτε Α,Βκαιτορεύµαβραχυκυκ ώσεω I AB sc.
Hlektroteqnia E.. j4 Ω Γ -j Ω j4 Ω -j Ω U x I U x Ω U x I U x Ω I sc 4 o V 4 o V (a) (b) Γιατηντάση U AB oc έχουµετοκύκ ωµα (a)καιβ έπουµεότι U AB oc = U Γ. Μεκανόνατάσεωντου Kirchhoffστον µοναδικόβρόγχοτουκυκ ώµατο καινόµοτου Ohmστην Ωέχουµε I( j4) 4 / U } x = U x = I 4( j) I = 4 I = j = j A εποµένω U Γ = I 4 = j 4 = 3 j V Γιατορεύµαβραχυκυκ ώσεω I AB sc έχουµετοκύκ ωµα (b)καιµεµέθοδοοφθα µών I ( j4) I sc = 4 U x I I sc ( j) = 4 U x = ( I sc I ) I = I sc ( j) 4I ( j) 4I sc = 4 I I sc ( j) = 4 } I ( j4) I sc = 4 ( I sc I ) I I sc ( j) = 4 I ( j) I sc = I I sc ( j) = και [ ( j) I sc ]( j) I sc = ( j) I sc I sc = I sc = j = j A } } Οπότε Z H = U AB oc (3 j) = I AB sc ( j) = 5 5j 5 Z L = j Ω P max = U H 4 H = 4 =.5 W = j Ω ParĹdeigma.3 NabrejeÐhempèdhshfortÐou Z L giathnopoðaèqoumemègisthkatanĺlwshmèshcisqôocapìto kôklwma tou sqămatoc kajÿc epðshc kai h timă thc mègisthc autăc isqôoc. 4 Ω j5 Ω o V 8 Ω Z L -j6 Ω Μεανοικτού ακροδέκτε καιβραχυκυκ ωµένητηνπηγήτάση Z H = j5 4 (8 j6) = j5 4(8 j6) =.933 j4.467 Ω 4 8 j6 Μεανοικτού ακροδέκτε καιενεργήτηνπηγήτάση,η U H βρίσκεταιαπότονδιαιρέτητάση U H = j6 4 8 j6 = 7.333 j.333 = 7.454 /.3 V 3
Οπότε και Z L = Z H =.933 j4.467 Ω P max = U H 4 H = 7.454 4.933 = 4.735 W ParĹdeigma.4 NabrejeÐtowmikìfortÐo L giatoopoðoèqoumemègisthkatanĺlwshmèshcisqôocapìto kôklwma tou sqămatoc kajÿc epðshc kai h timă thc mègisthc autăc isqôoc. 4 Ω -j3 Ω 5 3 o V j Ω L Μεανοικτού ακροδέκτε καιβραχυκυκ ωµένητηνπηγήτάση Z H = (4 j3) j = j(4 j3) = 9.4 j.353 Ω j 4 j3 Μεανοικτού ακροδέκτε καιενεργήτηνπηγήτάση,η U H βρίσκεταιαπότονδιαιρέτητάση Οπότε και U H = j j 4 j3 5 /3 =.485 /4.36 5 /3 = 7.76 /34.36 V P max = L = Z H = 9.4.353 = 4.54 Ω U H 7.76 = Z H H 4.54 9.4 = 78.63 W ParadeÐgmata anĺlushc isqôoc ParĹdeigma. Na brejeð h mèsh isqôc pou aporofĺtai apì thn empèdhsh Z tou parakĺtw kuklÿmatoc. 6 o V I Ω j Ω Z Εχουµε οπότε I /6 /6 = = j.88 /45 = 3.535 /5 A P = U Z,rms I Z,rms cos(θ v θ i ) = 3.535 cos(6 5 ) = 5 W Θαέχουµετοίδιοαποτέ εσµαανπαρατηρήσουµεότιηµέσηήπραγµατικήισχύ κατανα ώνεταιµόνοαπότοωµικότµήµα µια εµπέδηση.οπότεητάσησταάκρατη ωµική αντίσταση µεδιαιρέτητάση είναι και U = j /6 = 7.7 /5 V P = U,rms I,rms = 7.7 3.535 = 5 W Στηντε ευταίασχέσηδενχρειάστηκεναυπο ογίσουµεσυνηµίτονοεφόσονσεωµικήαντίστασητάσηκαιρεύµαείναιεν φάσει και το συνηµίτονο είναι µονάδα. 4
ParĹdeigma. Gia to kôklwma tou sqămatoc na upologisteð h olikă mèsh isqôc pou parĺgetai kai katanalÿnetai apì ta stoiqeða tou. U 45 o V I 4 Ω I Ω I -j Ω Εχουµε I /45 = = 3 /45 A και /45 /45 I = = 4 j.36 / 6.565 = 5.367 /7.565 A I = I I = 3 /45 5.367 /7.565 = 3.88 j7. = 8.6 /6.3 A Οιωµικέ αντιστάσει κατανα ώνουνισχύ P 4 = U I = 3 = 36 W και P = I = 5.367 = 57.6 W ενώοπυκνωτή (ιδανικό )όχι.ησυνο ικήισχύ πουκατανα ώνεταιείναι Η πηγή παράγει ισχύ καιόπω περιµένουµε P = P. P = 36 57.6 = 93.6 W P = U I cos(45 6.3 ) = 8.6 cos( 7.3 ) = 93.6 W ParĹdeigma.3 OmoÐwc kai edÿ, na upologisteð h olikă mèsh isqôc pou parĺgetai kai katanalÿnetai apì ta stoiqeða tou kuklÿmatoc. I j Ω I 3 3 o V I 6 o V Ω Εχουµε I /3 = = 6 /3 A ji 3 6 / = /3 I 3 = /3 6 / 4.39 j6 = = 7.436 / 36.6 A j j Ηαντίσταση Ωκατανα ώνειισχύ I = I I 3 = 6 /3 7.436 / 36.6 =.96 j.39 =.8 / 7.89 A P = U I = 6 = 7 W Ηπηγή 6 Vκατανα ώνεικαιαυτήισχύ(φοράτουρεύµατο I 3 ) P 6 = UI cos(θ u θ i ) = 6 7.436 cos(36.6 ) = 36 W 5
άρα P = 7 36 = 8 W εφόσονοεπαγωγέα (ιδανικό )δενκατανα ώνειισχύ. Ηά ηπηγή,παράγειισχύ P =.8 cos(3 7.89) = 8 W καιόπω περιµένουµε P = P. Parènjesh Οσυντε εστή ισχύο σεκάποιοφορτίο Lορίζεταιω ΣΙ = P U rms I rms = cos(θ u θ i ) = cos θ ZL όπου Z L ηεµπέδησητουφορτίου. Για θ ZL = έχουµεκαθαράωµικόφορτίοκαισι =. Για θ ZL = ±9 έχουµε καθαράάεργοφορτίο(χωρητικόήεπαγωγικό)καισι =. Μπορούµεεπίση ναέχουµεσι = καιγιαφορτίοµε µιγαδικήεµπέδησηφτάνειοιτιµέ τη χωρητική καιεπαγωγική αντίσταση πουπεριέχειναδίνουν θ ZL = γιακάποια συγκεκριµένησυχνότητα ειτουργία. Για 9 < θ ZL < υπερισχύειηχωρητικήαντίστασηενώγια < θ ZL < 9 υπερισχύειηεπαγωγική. Επειδή cos(θ ZL ) = cos( θ ZL )ξεχωρίζουµετι δυοπαραπάνωπεριπτώσει έγοντα ότιοσιprohgeðtaiήustereðanaforikĺ me th fĺsh tou reômatoc se sqèsh me th fĺsh thc tĺsewc. Γιαχωρητικέ αντιστάσει Cόπουτο ρεύµαπροηγείταιτη τάση,οσιπροηγείται,ενώγιαεπαγωγικέ αντιστάσει Lόπουτορεύµαυστερείτη τάση,ο ΣΙ βρίσκεται σε υστέρηση. èloc parènjeshc ParĹdeigma.4 Ena biomhqanikì fortðo katanalÿnei 88 kw me suntelestă isqôoc(si).77 se ustèrhsh apì thn tĺsh trofodosðac 48 Vrms. H grammă metaforĺc apì thn gennătria paroqăc èqei antðstash.8 Ω. PoiĹ eðnai h isqôcpouprèpeinaparèqeihgennătriaupìautècticsunjăkec?poiĺjaeðnaihisqôcanauxăsoumetonsise.9se ustèrhsh apì thn tĺsh trofodosðac?.8 Ω I rms U s P L = 88 kw ΣΙ =.77 σε υστερηση 48 V rms Εχουµε I rms = P L 88 3 = = 59.3 Arms ΣΙU rms.77 48 Εποµένω ηισχύ πουπρέπειναπαρέχεταιαπότηγεννήτριαείναι P S = P L.8I rms = 88.8 59.3 = 88 5379.4 = 93.38 kw ΕάναυξήσουµετοΣΙµεσταθερήτητάσητροφοδοσία τη συσκευή στα 48 V,έχουµε I rms = P L 88 3 = = 3.7 Arms ΣΙU rms.9 48 καιηισχύ πουπρέπειναπαρέχεταιτώρααπότηγεννήτριαείναι P S = P L.8I rms = 88.8 3.7 = 88 339.6 = 9.3 kw Παρατηρούµε εδώ ότι η γεννήτρια στην πρώτη περίπτωση πρέπει να παράγει 93.38 kw για να τροφοδοτήσει τη συσκευή/- φορτίοµε 88 kwενώστηδεύτερηπερίπτωσηηαναγκαίαπαραγωγήείναι 9.3 kw. Γιαχαµη όσιέχουµεαυξηµένε απώ ειε σεθερµότηταστι γραµµέ µεταφορά µεαντίστοιχηαύξησηστοκόστο παραγωγή. Στηβιοµηχανία,τασυνήθηφορτία ειτουργούνµεσισευστέρηση. Εποµένω µιαµέθοδο διόρθωση τουσιείναι ητοποθέτησηχωρητικώναντιστάσεωνπαρά η αστοφορτίοµεαποτέ εσµατηναύξησητουσικαι ιγότερε απώ ειε στηνπαραγωγήη εκτρική ενέργεια. 6