ιάσταση του Krull Χ. Χαραλάμπους Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη Ιανουάριος, 2017 Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, 2017 1 / 27
Ορισμοί Εστω R (αντιμεταθετικός) δακτύλιος. Ορισμός Η διάσταση του Krull συμβολίζεται με dim(r) και είναι dim(r) = sup{n : P 0 P 1 P n, P i Spec(R)}. Εστω M ένα R-module. Ορισμός Αν M = 0, τότε θέτουμε dim(m) = 1. Αν M 0 τότε dim(m) = dim(r/ ann(m)). Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, 2017 2 / 27
ιάσταση Παράδειγμα 1 Αν k είναι σώμα, τότε dim(k) = 0. 2 Αν R = k[x], τότε dim(r) = 1. 3 Εστω R = k[x, y], I = x 3, x 2 y και M = R/I. Αφού I = x 2 x 3, y, κάθε πρώτος P του R περιέχει το I = ann(m), περιέχει επίσης τον ελάχιστο πρώτο x. Άρα dim(m) = 1. Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, 2017 3 / 27
ιάσταση Παρατήρηση dim(r) = sup dim(r P ). P Spec(R) Απόδειξη. P 0 R P P 1 R P PR P αντιστοιχεί σε πρώτη αλυσίδα στον R: P 0 P 1 P. Ορισμός height(p) := dim(r P ). Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, 2017 4 / 27
ιάσταση Παρατήρηση Υπάρχουν δακτύλιοι της Noether με άπειρη διάσταση. Παράδειγμα (Nagata) Εστω R = k[x 1, x 2,...], P 1 = x 1, P 2 = x 2, x 3, P 3 = x 4, x 5, x 6,... και έστω S = R \ P i. Τότε ο T = S 1 R είναι δακτύλιος της Noether με μέγιστα ιδεώδη τα P i T. Ας κατασκευάσουμε μία αλυσίδα μήκους 3 στον T. 0 x 4 T x 4, x 5 T P 3 T. Με τον ίδιο τρόπο, μπορούμε να κατασκευάσουμε αλυσίδες μήκους i, για κάθε i N. Άρα dim(t) =. Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, 2017 5 / 27
Κύρια Συμπεράσματα Θεώρημα Αν (R, m) είναι δακτύλιος της Noether, τότε dim(r) <. Θεώρημα Εστω R δακτύλιος της Noether. dim(r[x 1,..., x n ]) = dim(r) + n. Θεώρημα Αν k είναι σώμα, R ακεραία περιοχή, πεπερασμένα παραγόμενη k-άλγεβρα με σώμα κλασμάτων Q, τότε dim(r) είναι ο βαθμός υπερβατικότητας του Q πάνω από το k. Επίσης, αν P Spec(R), τότε height(p) + dim(r/p) = dim(r). Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, 2017 6 / 27
height(q) + dim(s/q) δεν είναι πάντα dim(s). Παράδειγμα Εστω k σώμα, R = k[x, y, z], I = xy, xz, P = x + 1, y, z (I P) και S = R/I. Ο δακτύλιος S δεν είναι ακεραία περιοχή. Αφού I = x y, z και x x, y x, y, z, βλέπουμε ότι dim(s) 2. Επίσης S/P = R/P = k dim(s/p) = 0. Για το ύψος του P, height(p), υπολογίζουμε την dim(s P ). S P = (k[x, y, z]/ xy, xz ) P = (k[x, y, z]/ y, z ) P dim S P = 1. Άρα height(p) + dim(s/p) dim(s). Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, 2017 7 / 27
Κύρια Θεωρήματα Θεώρημα (Λήμμα Κανονικοποίησης της Noether) Εστω k ένα σώμα, R μία πεπερασμένα παραγόμενη k-άλγεβρα, dim(r) = n και P 0 P 1 P n, όπου P i Spec(R). Υπάρχουν z 1,..., z n R αλγεβρικά ανεξάρτητα, έτσι ώστε S = k[z 1,..., z n ] R να είναι ακέραια επέκταση και P i S = z 1,..., z i. Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, 2017 8 / 27
Κύρια Θεωρήματα Εστω I ιδεώδες. Αν I = 0, τότε θέτουμε v(i) = 0. ιαφορετικά v(i) = min{n : I = g 1,..., g n, g i R}. Θεώρημα (Krull s Principal Ideal Theorem) Εστω ότι ο R είναι δακτύλιος της Noether και P Spec(R), τέτοιο ώστε a 1,..., a n P ελαχιστοτικά. Τότε height(p) n. Αντίστροφα, αν height(p) = n, τότε υπάρχει I, τέτοιο ώστε I P ελαχιστοτικά και v(i) = n. Παράδειγμα Εστω k σώμα, R = k[x, y]/ x 2. Τότε m = x, y είναι μέγιστο ιδεώδες και ο εγκλεισμός yr m είναι ελαχιστοτικός (γιατί;). Άρα height(m) 1. Αφού yr Spec(R) (γιατί;) height(m) = 1. Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, 2017 9 / 27
Κύρια Θεωρήματα Θεώρημα Αν (R, m) είναι δακτύλιος της Noether, τότε Παράδειγμα dim(r) = min{v(j) : J είναι m-πρωταρχικό}. Εστω k σώμα, R = k[x, y], m = x, y, I = x 3, x 2 y, T = R m /IR m. Τότε maxspec(t) = {m}. Το I δεν είναι m-πρωταρχικό, άρα dim(t) >0 (γιατί;). Επίσης yt = x 3, y είναι m-πρωταρχικό (γιατί;). Άρα dim(t) = 1 (γιατί;). Μπορείτε να βρείτε μία αλυσίδα πρώτων ιδεωδών του T μήκους 1; Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, 2017 10 / 27
Παραμετρικά ιδεώδη Ορισμός Εστω (R, m) τοπικός δακτύλιος της Noether. Το ιδεώδες I λέγεται παραμετρικό αν v(i) = dim(r) και το I είναι m-πρωταρχικό. Παράδειγμα ( Εστω T = k[x, y]/ x 3, x 2 y ιδεώδες του T. ) x,y. Το yt είναι παραμετρικό Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, 2017 11 / 27
Παραμετρικά ιδεώδη και διάσταση των R-modules Εστω (R, m) τοπικός δακτύλιος της Noether και M ένα πεπερασμένα παραγόμενο R-module. Το M είναι R-module και ταυτόχρονα R/ ann(m)-module. Πρόταση Αν το I/ ann(m) είναι παραμετρικό ιδεώδες για τον R/ ann(m), τότε το M/IM έχει σειρά σύνθεσης και είναι R-module της Noether και του Artin. Πρόταση dim(m) είναι ο ελάχιστος αριθμός d για τον οποίο υπάρχει ένα ιδεώδες I, με v(i) = d, τέτοιο ώστε M/IM να έχει πεπερασμένο μήκος. Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, 2017 12 / 27
Παραμετρικά ιδεώδη και διάσταση των R-modules Παράδειγμα Εστω R = k[x, y] x,y, J = x 3, x 2 y και M = R/J. Αφού ann(m) = J, ο δακτύλιος R/ ann(m) είναι ο δακτύλιος T = R/J. Γνωρίζουμε ότι dim(t) = dim(m) = 1. Το yt = x 3, x 2 y, y /J = x 3, y /J είναι παραμετρικό ιδεώδες για τον T. Το έχει σειρά σύνθεσης: N = M/ x 3, y M = R/ x 3, y 0 x 2, y / x 3, y x, y / x 3, y N. Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, 2017 13 / 27
ιάσταση και β.α.α. Εστω (R, m) τοπικός δακτύλιος της Noether και M π.π. R-module. Θεώρημα Αν 0 M M M 0 είναι μία β.α.α., τότε dim(m) max ( dim(m ), dim(m ) ). Αν a R, τέτοιο ώστε a / Z(M), τότε είναι β.α.α. 0 M M M/aM 0 Πόρισμα Αν a R, τέτοιο ώστε a / Z(M), τότε dim(m/am) = dim M 1. Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, 2017 14 / 27
Συναρτήσεις των Hilbert και Hilbert-Samuel Εστω (R, m, k) δακτύλιος της Noether, M 0 ένα πεπερασμένα παραγόμενο R-module και I ένα m-πρωταρχικό ιδεώδες του R. Τότε τα I n M/I n+1 M και M/I n M έχουν σειρά σύνθεσης για κάθε n N. Ορισμός Η συνάρτηση του Hilbert για το I και το M είναι H I,M : N Z 0, H I,M (n) = l(i n M/I n+1 M). Η συνάρτηση των Hilbert-Samuel για το I και το M είναι L I,M : N Z 0, H I,M (n) = l(m/i n+1 M). Όταν I = m, η k-διάσταση του module ταυτίζεται με το μήκος της σειράς σύνθεσης. Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, 2017 15 / 27
Παράδειγμα Παράδειγμα Εστω k σώμα, R = k[x] x, m = x και M = R/ x 2. M/mM = k, mm/m 2 M = kx, m 2 M/m 3 M = 0,... H m,m (0) = 1, H m,m (1) = 1, H m,m (2) = 0, H m,m (n) = 0, n 2. Επίσης M/mM = R/ x, M/m 2 M = R/ x 2, M/m 3 M = R/ x 2,... L m,m (0) = 1, L m,m (1) = 2, H m,m (n) = 2, n 1. Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση του Hilbert συμφωνεί με το μηδενικό πολυώνυμο για n 0 ενώ η συνάρτηση των Hilbert-Samuel συμφωνεί με το σταθερό πολυώνυμο 2, για n 0 Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, 2017 16 / 27
Κύριο Θεώρημα Θεώρημα Υπάρχουν p(x), q(x) Q[x], τέτοια ώστε p(n) = H I,M (n) και q(n) = L I,M (n), για n 0. Επιπλέον dim(m) = deg(q(x) = 1 + deg(p R (x)). Το p R (x) ονομάζεται πολυώνυμο του Hilbert για I και M. Παράδειγμα Εστω k σώμα, R = k[x, y] x,y. Τότε m n /m n+1 =k k x n +k x n 1 ȳ+ +k ȳ n H R (n) = n+1 p R (x) = x+1. Αφού dim k R/m n = 1 + 2 + + n 1 = q(x) = (x 2 x)/2. (n 1)n 2 = n2 n 2 Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, 2017 17 / 27
Για την απόδειξη του κυρίως Θεωρήματος Για να αποδείξει κανείς το κύριο θεώρημα πρέπει πρώτα να αναπτύξει τη θεωρία για τους βαθμωτούς δακτυλίους, να ορίσει μία αντίστοιχη συνάρτηση του Hilbert για βαθμωτούς δακτυλίους, να αποδείξει ότι η συνάρτηση του Hilbert είναι πολυωνυμική και τέλος να αποδείξει ότι συμφωνεί με την αρχική συνάρτηση του Hilbert στον τοπικό δακτύλιο. Οι διαφάνειες που ακολουθούν σκιαγραφούν το πέρασμα αυτό. Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, 2017 18 / 27
Βαθμωτοί δακτύλιοι και modules Ορισμός Ο δακτύλιος S = n=0 S n λέγεται βαθμωτός αν S n είναι υποομάδα του S, για n Z 0 και S m S n S m+n, για m, n Z 0. Το S-module M = n=k M n λέγεται βαθμωτό S-module, αν M n είναι υποομάδα του M, για n Z k και S m M n M n+m, για m Z 0 και n k. Παράδειγμα R = k[x] = k + kx + kx 2 + είναι βαθμωτός δακτύλιος και είναι βαθμωτό R-module. M = R/ x 3 = k + k x + k x 2 Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, 2017 19 / 27
Τοπικοί δακτύλιοι αντιστοιχούν σε βαθμωτούς δακτυλίους είναι βαθμωτό πεπ.παραγ. gr I (R)-module. Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, 2017 20 / 27 Ορισμός Εστω (R, m, k) δακτύλιος της Noether, M 0 ένα πεπ.παραγ. R-module. Ορίζουμε τον δακτύλιο gr I (R) = R/I I/I 2 με άθροισμα ανά συντεταγμένη και πολλαπλασιασμό (a + I n )(b + I m ) = ab + I n+m. Η αβελιανή ομάδα με εξωτερικό πολλαπλασιασμό gr I (M) = M/IM IM/I 2 M, (a + I n )(m + I t M) = am + I n+t M
Προσαρτημένος δακτύλιος του ιδεώδους I Πρόταση Εστω I ιδεώδες του R. Αν I = a 1,..., a r, τότε gr I (R) = R/I[ā 1,..., ā r ], όπου ā i := a i + I 2. Παράδειγμα Αν R = k[x], I = x, τότε R = gr I (R). Εστω R = k[x], I = x 3, R 0 = R/I. Τότε gr I (R) = R 0 I/I 2 = R 0 [a], a := x 3 + I 2. Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, 2017 21 / 27
Βαθμωτοί δακτύλιοι της Noether Θεώρημα Ο S = n=0 S n είναι δακτ. Noether αν και μόνο αν ο S 0 είναι δακτ. Noether και S = S 0 [a 1,..., a t ], με a i ομογενή βαθμού 1. Αν ο S είναι δακτ. της Noether και το M = n=k M n είναι πεπ. παραγ. S-module, τότε για n k, το M n είναι S 0 -module της Noether και του Artin. Πόρισμα Αν (R, m, k) είναι δακτ. της Noether, M 0 πεπ. παραγ. R-module με ann(m) = 0, και I ένα παραμετρικό ιδεώδες για το M, τότε l(i n M/I n+1 M) <. Απόδειξη. Ο gr I (R) είναι δακτ. της Noether και gr I (M) είναι πεπ. παραγ. gr I (R)-module. Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, 2017 22 / 27
Βαθμωτοί δακτύλιοι και συνάρτηση του Hilbert Εστω S 0 δακτύλιος του Artin και S = n 0 S n μία πεπερασμένα παραγόμενη βαθμωτή S 0 -άλγεβρα. Εστω M = n=k M n ένα πεπερασμένα παραγόμενο S-module. Η συνάρτηση του Hilbert για το M είναι: H M : Z N, H M (n) = l(m n ). Θεώρημα Εστω ότι S = S 0 [a 1,..., a t ], όπου S 0 δακτ. του Artin και deg(a i ) = 1. Εστω ότι M πεπ. παραγ. S-module. Υπάρχει P M (x) Q[x], τέτοιο ώστε deg P M (x) <t και P M (n) = H M (n), για n 0. Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, 2017 23 / 27
Παραδείγματα Παράδειγμα 1 Εστω k σώμα. Τότε H k (0) = 1 και H k (n) = 0, για n >0. Άρα P k (x) = 0. 2 Εστω k σώμα, R = k[x]. Τότε R = k + kx + kx 2 + H R (n) = 1, n N P R (x) = 1. 3 Εστω k σώμα, R = k[x] και M = R/ x 3. Τότε M = k + k x + k x 2. H M (n) = 0 για n 0 P M (x) = 0. 4 Εστω k σώμα, R = k[x, y]. Τότε R = k + (kx + ky) + (kx 2 + kxy + ky 2 ) +, συνεπώς H R (n) = n + 1 (για n 0), άρα P R (x) = x + 1. Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, 2017 24 / 27
Πίσω στους τοπικούς δακτυλίους Θεώρημα Εστω (R, m) δακτ. της Noether, M 0 ένα πεπερασμένο παραγόμενο R-module. Αν I είναι ένα ιδεώδες του R, τέτοιο ώστε M/IM να έχει σειρά σύνθεσης, τότε η συνάρτηση H I,M είναι ίση με την H gri (M). Πόρισμα Υπάρχει P I,M (x) Q[x], τέτοιο ώστε P I,M (n) = H I,M (n), για n 0, και deg P I,M (x) <v(i). Το P I,M (n) ονομάζεται πολυώνυμο του Hilbert. Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, 2017 25 / 27
ιάσταση και πολυώνυμο του Hilbert Εστω ότι R είναι τοπικός δακτύλιος της Noether, M 0 είναι πεπερασμένα παραγόμενο R-module και I παραμετρικό ιδεώδες του M. 0 I n M/I n+1 M M/I n+1 M M/I n M 0, Πόρισμα Υπάρχει Q I,M (x) Q[x], τέτοιο ώστε Q I,M (n) = L I,M (n), για n 0, και deg Q I,M (x) = 1 + deg P I,M (x) v(i). Ο βαθμός του Q I,M (x) είναι ο ίδιος για όλα τα παραμετρικά ιδεώδη I του M. Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, 2017 26 / 27
Συνάρτηση των Hilbert-Samuel και β.α.α. Θεώρημα Αν 0 M M M 0 είναι β.α.α. από πεπ. παραγ. R-modules και I ιδεώδες του R, τέτοιο ώστε l(m/im) <. Τότε υπάρχει F(x) Q[x], τέτοιο ώστε Q I,M (x) = Q I,M (x) + Q I,M (x) F(x), deg F(x) <deg Q I,M (x) και ο συντελεστής του μεγιστοβάθμιου όρου του F(x) είναι μη αρνητικός. Άρα Θεώρημα deg Q I,M (x) = max(deg Q I,M (x), Q I,M (x)). dim(m) = deg Q I,M (x) = 1 + deg Q I,M (x). Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, 2017 27 / 27