Κοινωνικά Δίκτυα Θεωρία Παιγνίων

Κοινωνικά Δίκτυα Θεωρία Παιγνίων Ν. Μ. Σγούρος Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων, Παν. Πειραιώς sgouros@unipi.gr

Ορισμοί Ένα Παίγνιο (game) ορίζεται ως μια δραστηριότητα με τα ακόλουθα τρία χαρακτηριστικά: Υπάρχει ένα σύνολο από συμμετέχοντες στους οποίους αναφερόμαστε ως παίκτες. Κάθε πάικτης διαθέτει ένα σύνολο από επιλογές για το πως θα συμπεριφερθεί. Κάθε στοιχείο αυτού του συνόλου αποτελεί μια πιθανή στρατηγική (strategy) για τον συγκεκριμένο παίκτη. Για καθεμία επιλογή στρατηγικής κάθε παίκτης λαμβάνει μια ανταμοιβή (payoff) η οποία μπορεί να εξαρτάται από τις στρατηγικές που επιλέγουν όλοι οι παίκτες που συμμετέχουν στο συγκεκριμένο παίγνιο. Στη γενική περίπτωση οι ανταμοιβές εκφράζονται ως αριθμοί.

Υποθέσεις Η ανταμοιβή αποτιμά πλήρως όλες τις επιδιώξεις του παίκτη σε κάθε στρατηγική Κάθε πάικτης έχει πλήρη γνώση της δομής του παιγνίου. Αυτό σημαίνει ότι κάθε παίκτης γνωρίζει όλες τις στρατηγικές που έχει διαθέσιμες και την ανταμοιβή που λαμβάνει με την εφαρμογή οποιασδήποτε από αυτές όπως και όλους τους υπόλοιπους παίκτες, τις διαθέσιμες στρατηγικές τους και τις αντίστοιχες ανταμοιβές τους. Κάθε παίκτης επιλέγει μια στρατηγική με σκοπό να μεγιστοποιήσει την ανταμοιβή του. Η επιλογή του βασίζεται στην αντίληψη που έχει για τις στρατηγικές που χρησιμοποιούν οι υπόλοιποι παίκτες. Χαρακτηρίζουμε μια τέτοια συμπεριφορά ως ορθολογική. Επομένως η έννοια της ορθολογικής συμπεριφοράς εμπεριέχει την επιδίωξη κάθε παίκτη να βελτιστοποιήσει την ανταμοιβή που λαμβάνει και τη δυνατότητα που έχει να επιλέξει με επιτυχία μια οποιαδήποτε στρατηγική.

Κυρίαρχη Στρατηγική Όταν ένας παίκτης διαθέτει μια στρατηγική η οποία είναι αυστηρά καλύτερη από όλες τις στρατηγικές που είναι διαθέσιμες σε αυτόν (δηλαδή η ανταμοιβή που προσφέρει είναι μεγαλύτερη από όλες τις άλλες πιθανές ανταμοιβές) τότε αυτή αποτελεί μια αυστηρά κυρίαρχη στρατηγική. Αν ένας παίκτης διαθέτει μια αυστηρά κυρίαρχη στρατηγική σε ένα παίγνιο τότε είναι υποχρωμένος να την εφαρμόσει ώστε η συμπεριφορά του να παραμείνει ορθολογική.

Το Δίλημμα του Φυλακισμένου Δύο ύποπτοι ανακρίνονται από την αστυνομία σε διαφορετικά γραφεία επειδή υπάρχουν υποψίες ότι έχουν διαπράξει από κοινού μια διάρρηξη. Οι ενδείξεις που είναι διαθέσιμες δεν επαρκούν για την απαγγελία μίας τέτοιας κατηγορίας σε οποιονδήποτε από τους δύο. Επειδή όμως και οι δύο ύποπτοι αντιστάθηκαν κατά τη σύλληψη τους μπορεί να κατηγορηθούν για αντίσταση κατά της αρχής που επιφέρει μικρότερη τιμωρία από αυτήν της διάρρηξης και συνεπάγεται φυλάκιση ενός έτους. Σε καθέναν από τους υπόπτους ο ανακριτής λέει τα ακόλουθα: «Αν ομολογήσεις την από κοινού διάρρηξη και ο συνεργός σου δεν ομολογήσει τότε θα σε απελευθερώσουμε και ο συνεργός σου θα καταδικαστεί σε φυλάκιση 10 ετών.αν και οι δύο ομολογήσετε την διάρρηξη τότε και οι δύο θα καταδικαστείτε σε 4ετή φυλάκιση. Αν κανένας από τους δυό σας δεν ομολογήσει τότε θα τιμωρηθείτε με μονοετή φυλάκιση. Η ίδια πρόταση έχει γίνει και στον συνεργό σου. Δέχεσαι να ομολογήσεις ή όχι;»

Κανονική Μορφή

Βέλτιστη Απάντηση Έστω δύο πάικτες 1 και 2 και F είναι η στρατηγική που επιλέγει ο 1 ενώ S είναι η στρατηγική που επιλέγει ο 2. Τότε υπάρχει ένα κελί (F, S) στον πίνακα του παίγνιου που αντιστοιχεί στις συγκεκριμένες επιλογές. Συμβολίζουμε με P1(F, S) και P2(F, S) τις ανταμοιβές που λαμβάνουν οι 1 και 2 αντίστοιχα σύμφωνα με το συγκεκριμένο κελί. Η F για τον 1 ορίζεται ως μια βέλτιστη απάντηση για την S του παίκτη 2 αν η F καταλήγει σε μια ανταμοιβή που είναι τουλάχιστον εξίσου καλή με οποιαδήποτε άλλη στρατηγική που μπορεί να εφαρμόσει ο 1 έναντι της S, δηλαδή: P1(Κ, S) P1(F, S) για οποιαδήποτε στρατηγική Κ του 1 τέτοια ώστε Κ F Αν για την F ισχύει ότι: P1(Κ, S) < P1(F, S) για οποιαδήποτε στρατηγική Κ του 1 τέτοια ώστε Κ F τότε η F αποτελεί μια αυστηρά βέλτιστη απάντηση του 1 απέναντι στην S του 2. Ορίζουμε ότι μια στρατηγική για τον 1 είναι κυρίαρχη (dominant) όταν αποτελεί την βέλτιστη απάντηση απέναντι σε όλες τις στρατηγικές του 2. Μια στρατηγική του 1 είναι αυστηρά κυρίαρχη (strictly dominant) όταν αποτελεί την αυστηρά βέλτιστη απάντηση του 1 απέναντι σε όλες τις στρατηγικές του 2.

Ισορροπία κατά Nash Σε ένα παίγνιο με δύο παίκτες, 1 και 2, ορίζουμε ότι μια στρατηγική F για τον παίκτη 1 και μια στρατηγική S για τον πάικτη 2 βρίσκονται σε ισορροπία κατά Nash (Nash equilibrium) όταν η F αποτελεί μια βέλτιστη απάντηση στην S και το αντίστροφο. Αν οι δύο πάικτες επιλέξουν ένα τέτοιο ζευγάρι στρατηγικών τότε κανένας από τους δυό τους δεν έχει συμφέρον να μεταβάλλει την στρατηγική του όταν ο άλλος παίκτης δεν προβεί σε κάτι τέτοιο, επομένως οι δύο στρατηγικές βρίσκονται σε ισορροπία.

Παράδειγμα Έστω ότι υπάρχουν δύο εταιρείες λογισμικού Π1 και Π2 οι οποίες θέλουν να υποβάλουν προσφορές για την ανάπτυξη εφαρμογών σε τρεις πιθανές εταιρείες A, B και C. Κάθε εταιρεία λογισμικού μπορεί να επιλέξει να υποβάλλει προσφορά σε μία μόνο από τις τρεις αυτές εταιρείες. Αν οι Π1 και Π2 επιλέξουν να υποβάλουν προσφορές στην Α τότε αυτή θα μοιράσει τις εφαρμογές ισομερώς σε καθεμία τους. Η Π1 είναι αρκετά μικρή και δεν είναι σε θέση να υποβάλει προσφορά μόνη της σε κάποια εταιρεία. Αν μόνο η Π2 υποβάλει προσφορά σε μια από τις Β και C τότε θα πετύχει να πάρει τη δουλειά. Αν οι Π1 και Π2 υποβάλουν απο κοινού προσφορές σε μια από τις B και C τότε αυτές θα μοιράσουν ισομερώς τις εφαρμογές στις Π1 και Π2. Οι Π1 και Π2 θα πρέπει να συνεργαστούν για να υποβάλουν προσφορά στην Α. Το ποσό που έχει προϋπολογίσει ότι χρειάζεται η Α είναι 8 ενώ το ποσό για καθεμία από τις B και C είναι 2.

Κανονική Μορφή

Πολλαπλά Σημεία Ισορροπίας Δύο άτομα έχουν πάει για κυνήγι. Αν συνεργαστούν μεταξύ τους μπορούν να σκοτώσουν ένα ελάφι (το οποίο θα τους δώσει και τη μεγαλύτερη ανταμοιβή) ενώ αν δεν συνεργαστούν τότε καθένας από αυτούς μπορεί να σκοτώσει έναν λαγό. Αν οποιοσδήποτε από τους δύο προσπαθήσει να σκοτώσει μόνος του ένα ελάφι τότε δεν θα τα καταφέρει και ο άλλος θα μπορεί να σκοτώσει έναν λαγό.

Battle of the Sexes Ένα ζευγάρι θέλει να κανονίσει τη σαββατιατική έξοδο του. Ο άνδρας (Α) προτιμά να παρακολουθήουν μαζί έναν αγώνα μπάσκετ (στρατηγική Μ) ενώ η γυναίκα (F) προτιμά να πάνε στην όπερα (στρατηγική Ο).

Hawk & Dove Δύο ζώα, Ζ1 και Ζ2, ανταγωνίζονται για τον τρόπο με τον οποίο θα μοιράσουν ένα κομμάτι τροφής. Καθένα από τα ζώα μπορεί να επιλέξει να συμπεριφερθεί επιθετικά (η στρατηγική του γερακιού Γ) ή παθητικά (η στρατηγική του περιστεριού Π). Αν και τα δύο ζώα επιλέξουν τη στρατηγική Π τότε μοιράζονται ισομερώς την τροφή κα καθένα λαμβάνει μια ανταμοιβή ίση με 3. Αν δεν επιλέξουν την ίδια στρατηγική τότε το ζώο που επιλέγει την Γ παίρνει το μεγαλύτερο μέρος της τροφής με ανταμοιβή ίση με 5 ενώ το άλλο λαμβάνει ανταμοιβή ίση με 1. Αν και τα δύο ζώα επιλέξουν την στρατηγική Γ τότε καταστρέφουν την τροφή τους και καθένα λαμβάνει μηδενική ανταμοιβή..

Κανονική Μορφή

Μικτές Στρατηγικές Υπάρχουν παίγνια στα οποία δεν υφίστανται σημεία ισορροπίας με την χρήση καθαρών στρατηγικών. Η απλούστερη κατηγορία παίγνιων τα οποία έχουν τα συγκεκριμένα χαρακτηριστικά είναι γνωστή ως παίγνια επίθεσης-άμυνας (attackdefence games). Στην περίπτωση αυτή κάποιος από τους πάικτες μπορεί να επιλέξει μεταξύ δύο στρατηικών επίθεσης ενώ ο έτερος παίκτης έχει στη διάθεση του μία στρατηγική άμυνας για καθεμία από τις στρατηγικές επίθεσης. Αν ο αμυνόμενος επιλέξει τη σωστή στρατηγική άμυνας στη στρατηγική του επιτιθέμενου τότε λαμβάνει τη μεγαλύτερη ανταμοιβή από τους δυο, διαφορετικά η ανταμοιβή του επιτιθέμενου είναι μεγαλύτερη. Στο παίγνιο του Ταιριάσματος Νομισμάτων (Matching Pennies) υπάρχουν δύο παίκτες (Π1 & Π2) οι οποίοι επιλέγουν να εμφανίσουν μία από τις δύο όψεις (κορώνα-γράμματα) του νομίσματος που ο καθένας κρατά στα χέρια του. Σε περίπτωση που και οι δύο εμφανίσουν την ίδια όψη τότε ο Π2 παίρνει το νόμισμα του Π1 ενώ χάνει το δικό του σε κάθε άλλη περίπτωση.

Κανονική Μορφή

Εκτέλεση Πέναλτυ

Βελτιστοποίηση κατά Pareto Mια. επιλογή στρατηγικών, μια για κάθε παίκτη, είναι βέλτιστη κατά Pareto όταν δεν υπάρχει μία διαφορετική επιλογή στρατηγικών στην οποία όλοι οι πάικτες λαμβάνουν ανταμοιβές τουλάχιστον το ίδιο υψηλές και ένας παίκτης λαμβάνει μια ανταμοιβή η οποία είναι υψηλότερη. Μια επιλογή στρατηγικών που είναι βέλτιστη κατά Pareto δεν αποτελεί κατ ανάγκη και σημείο ισορροπίας κατά Nash. Tο σημείο ισορροπίας κατά Nash στο δίλημμα του φυλακισμένου δεν είναι βέλτιστο κατά Pareto. Η βέλτιστη κατά Pareto επιλογή θα ήταν και οι δύο φυλακισμένοι να μην ομολογήσουν.

Κοινωνική Βελτιστοποίηση Μια επιλογή στρατηγικών χαρακτηρίζεται ως κοινωνικά βελτιστοποιημένη (socially optimal) όταν το άθροισμα των αποζημιώσεων που λαμβάνουν οι παίκτες σε αυτήν είναι το μέγιστο μεταξύ όλων των πιθανών επιλογών στρατηγικών. Επιλογές στρατηγικών που είναι κοινωνικά βελτιστοποιημένες είναι και βέλτιστες κατά Pareto το αντίστροφο όμως δεν ισχύει πάντα. Δύο Παίκτες Α, Β Δύο Πιθανά Αποτελέσματα (1) Α=3, Β=3 (Pareto, ~Social) (2) Α=1, Β=100 (Pareto, Social)

Δυναμικά Παίγνια Σε αρκετά παίγνια οι επιλογές στρατηγικής γίνονται σε στάδια: κάποιοι παίκτες επιλέγουν πρώτοι στρατηγικές, οι υπόλοιποι παρατηρούν τις επιλογές που έγιναν και αποφασίζουν και αυτοί με τη σειρά τους για τις στρατηγικές που θα εφαρμόσουν κ.ο.κ. Τέτοιου είδους παίγνια χρακτηρίζονται ως δυναμικά (dynamic). Στην κατηγορία των δυναμικών παίγνιων ανήκουν το σκάκι, αρκετά παιχνίδια με τράπουλα ή διάφορες διαδικασίες διαπραγματεύσεων.

Παράδειγμα Έχουμε δύο εταιρείες λογισμικού Ε1 και Ε2. Έστω ότι η Ε2 ασχολείται με την ανάπτυξη εφαρμογών σε κοινωνικά δίκτυα και κατέχει δεσπόζουσα θέση στη συγκεκριμένη αγορά ενώ η Ε1 ασχολείται με εφαρμογές πολυμέσων αλλά θέλει να επεκταθεί και στην αγορά των κοινωνικών δικτύων. Η πρώτη επιλογή στο παίγνο ανήκει στην Ε1 η οποία αποφασίζει αν θα εισέλθει ή όχι στην αγορά των κοινωνικών δικτύων. Αν η Ε1 αποφασίσει να μην εισέλθει τότε το παίγνιο τερματίζεται, η Ε1 λαμβάνει μηδενική ανταμοιβή ενώ η Ε2 λαμβάνει την ανταμοιβή που αντιστοιχεί στη δεσπόζουσα θέση της (έστω 2). Αν η Ε1 αποφασίσει να εισέλθει τότε η Ε2 έχει δυο επιλογές: είτε να συνεργαστεί με την Ε1 οπότε και οι δύο μοιράζονται την αγορά ισομερώς και λαμβάνουν ανταμοιβή ίση με 1 είτε να κινηθεί εναντίον της Ε1 αρχίζοντας έναν πόλεμο τιμών με την Ε1. Στην τελευταία περίπτωση οι Ε1 και Ε2 λαμβάνουν αρνητική ανταμοιβή ίση με -1.

Εκτεταμένη Μορφή

Εξελικτικά Παίγνια Η συμπεριφορά πολλών οργανισμών στη φύση περιλαμβάνει την αλληλεπίδραση τους με άλλους οργανισμούς και η επιβίωση καθενός από αυτούς τους οργανισμούς στηρίζεται στον τρόπο με τον οποίο αλληλεπιδρά με τους άλλους. Επομένως η αρμοστικότητα (fitness) ενός οργανισμού, δηλαδή η ικανότητα του να παράγει απογόνους και να αυξάνει έτσι την αντιπροσώπευση του στον πληθυσμό, δεν μπορεί να εκτιμηθεί ξεχωριστά αλλά θα πρέπει να υπολογιστεί στο πλαίσιο του πληθυσμού μέσα στον οποίο ζει. Η συμπεριφορά ενός οργανισμού μπορεί να αναλυθεί στα πλαίσια της θεωρίας παιγνίων αν θεωρήσουμε ότι τα γονιδιακά καθορισμένα χαρακτηριστικά και τα είδη συμπεριφοράς ενός οργανισμού αντιστοιχούν στις στρατηγικές του ενώ η αρμοστικότητα του αντιστοιχεί στην ανταμοιβή που λαμβάνει και εξαρτάται απο τα γονιδιακά χαρακτηριστικά και τα είδη συμπεριφοράς (δηλαδή τις στρατηγικές) των οργανισμών με τους οποίους έρχεται σε επαφή.

Παράδειγμα Έστω ότι υπάρχει ένα είδος σκαθαριού στη φύση η αρμοστικότητα του οποίου εξαρτάται από την ικανότητα του να βρίσκει τροφή. Τα συγκεκριμένα σκαθάρια συγκεντρώνονται σε πηγές τροφής και καθένα προσπαθεί να καταναλώσει όση περισσότερη τροφή μπορεί. Ας υποθέσουμε επίσης ότι λόγω μιας γενετικής μετάλλαξης εμφανίζονται στον πληθυσμό σκαθάρια τα οποία έχουν μεγαλύτερες διαστάσεις από τα ήδη προϋπάρχοντα. Τώρα ο πληθυσμός των σκαθαριών αποτελέιται από δύο είδη: τα μεγάλα (Μ) και τα μικρά (Ν) σκαθάρια. Το μειονέκτημα των μεγάλων σκαθαριών είναι ότι λόγω του μεγαλύτερου σώματος τους έχουν πιο απαιτητικό μεταβολισμό και επομένως χρειάζονται περισσότερη τροφή από τα μικρότερα. Τα πλεονέκτημα τους είναι ότι λόγω πάλι των μεγάλων σωματικών τους διαστάσεων σε περιπτώσεις κατά τις οποίες μια ποσότητα τροφής διεκδικείται από ένα μεγάλο και ένα μικρό σκαθάρι το μεγάλο καταφέρνει να πάρει το μεγαλύτερο μέρος της τροφής.

Πίνακας

Ανάλυση Εξελικτικά σταθερές στρατηγικές (evolutionary stable strategies) = γενετικά προσδιορισμένες στρατηγικές οι οποίες εδραιώνονται μόλις κυριαρχήσουν σε έναν πληθυσμό. Για τα σκαθάρια η αρμοστικότητα κάθε σκαθαριού εξαρτάται από το μέσο όρο των αποζημιώσεων που λαμβάνει κατά την αλληλεπίδραση του με ένα άλλο σκαθάρι. Τότε ορίζουμε ως εξελικτικά σταθερή μια στρατηγική η οποία όταν εφαρμόζεται από ολόκληρο τον πληθυσμό ενός είδους οδηγεί στην εξαφάνιση μετά από ορισμένες γενιές οποιοδήποτε μικρό σύνολο από εισβολείς οι οποίοι χρησιμοποιούν μια διαφορετική στρατηγική. Σε ένα παίγνιο ορίζουμε την αρμοστικότητα ενός οργανισμού στον πληθυσμό ως την αναμενόμενη ανταμοιβή που λαμβάνει κατά την αλληλεπίδραση του με ένα τυχαίο άλλο μέλος του πληθυσμού. Μια στρατηγική Τ εισβάλει στην στρατηγική S στο επίπεδο x, όπου x ένας μικρός θετικός αριθμός όταν υπάρχει ένα x ποσοστό του πληθυσμού που εφαρμόζει την T ενώ το υπόλοιπο 1-x εφαρμόζει την S. Τέλος χαρακτηρίζουμε μια στρατηγική S ως εξελικτικά σταθερή όταν υπάρχει ένας μικρός θετικός αριθμός y τέτοιος ώστε για κάθε στρατηγική Τ που εισβάλει στην S στο επίπεδο x με x < y να ισχύει ότι η αρμοστικότητα των οργανισμών που χρησιμοποιούν την S να είναι αυστηρά μεγαλύτερη από την αρμοστικότητα όσων εφαρμόζουν την Τ.

Ανάλυση Είναι η Ν εξελικτικά σταθερή όταν εισβάλει η Μ; Υποθέτουμε ότι για ένα μικρό θετικό x, το x τμήμα του πληθυσμού χρησιμοποιεί την Μ ενώ το 1-x χρησιμοποιεί την Ν. α(μ) = 5(1-x) +1x = 5 4x α(μ) = 8(1-x) +3x = 8 5x α(μ)>α(ν) άρα η Ν δεν είναι εξελικτικά σταθερή

Ανάλυση Είναι η Μ εξελικτικά σταθερή όταν εισβάλει η Ν; Υποθέτουμε ότι για ένα μικρό θετικό x, το x τμήμα του πληθυσμού χρησιμοποιεί την Ν ενώ το 1-x χρησιμοποιεί την Μ. α(ν) = 5x +1(1-x) = 1+4x α(μ) = 8x +3(1-x) =3+5x α(μ)>α(ν) άρα η Μ είναι εξελικτικά σταθερή