6 Ταλαντώσεις 6.1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση σε µία ιάσταση 6.1.1 Ελατήριο σε οριζόντιο επίπεδο Υποθέτουµε ότι το ελατήριο έχει αρχικό µήκος µηδέν, ιδανικό ελατήριο. F=-kx x K M x Σχήµα 6.1 ιαστάσεις µεγεθών : k d x dt Λύση της διαφορικής εξίσωσης κίνησης : = kx, Νόµος του Νεύτωνα d x dt = k x, ω = k, ω = d x dt = ω x Nt eter k Nt Kg eter sec. xt) = A cosωt) + B sinωt) Οι συναρτήσεις cosωt) και sinωt) ικανοποιούν, είναι λύσεις, της προηγούµενης διαφορικής εξίσωσης και το άθροισµα των δύο συναρτήσεων ικανοποιεί τη διαφορική εξίσωση. x = A cosωt) + B sinωt) = ) A + B A A + B cosωt) + B A + B sinωt) = x sinωt + φ ) sin φ = k A A + B, cos φ B = A + B x = A + B Αρχικές συνθήκες : x) = x 1 και v) = v 1 Χρησιµοποιώντας τα x 1, v 1 ϐρίσκουµε τα A, B ή x, φ.
13 Ταλαντώσεις x = A +B φ B A Σχήµα 6. Η ενέργεια διατηρείται, η δυναµική ενέργεια του ελατηρίου είναι : Ux) = 1 kx E = 1 v + 1 E = 1 kx kx σταθερή E = 1 ω x Μέση Κινητική και υναµική Ενέργεια Ορίζουµε τη µέση χρονική τιµή µιας ποσότητας At) A = 1 T T At)dt K = 1 T T = 1 1 T ω x U = 1 T T Kt)dt = 1 T T T 1 v t)dt cos ωt + φ ) dt = 1 4 ω x 1 kx sin ωt + φ ) dt = 1 4 ω x K = U και E = E = K + U Παρατήρηση T cos ωt + φ ) dt = T. Ελατήριο κατακόρυφα σε οµογενές ϐαρυτικό πεδίο Στην ϑέση x = στο σχήµα το ελατήριο έχει το ϕυσικό του µήκος. x= x F=-kx B=g x Σχήµα 6.3
6.1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση σε µία ιάσταση 131 Εξίσωση κίνησης Θέτουµε y = x g k dy dt = dx dt και d x dt d x dt d y dt = kx + g = k = d x dt x k g ) d y dt yt) = y sin ωt + φ ) xt) = y sin ωt + φ ) + g k Ταλάντωση µε συχνότητα ω γύρω από το σηµείο x Ισ = g k. Στο σηµείο x Ισ έχουµε kx Ισ = g = k y = ω y άρα το σηµείο x Ισ είναι το σηµείο ισορροπίας του συστήµατος, όπου η δύναµη του ϐάρους ισούται µε τη δύναµη του ελατηρίου. Εξετάζουµε το σύστηµα ενεργειακά : Ux 1 ) Ux ) = x x F ολ dx = kx)dx + x 1 x 1 x Ux 1 ) Ux ) = 1 kx 1 1 kx + gx x 1 ) x 1 gdx Ορίζουµε Ux = ) = Ux) = 1 kx gx, παραβολή E Ux) x Ισ x U Σχήµα 6.4 d U dx du dx du dx = = kx g για x = x Ισ x Ισ = g k = k > ευσταθής ισορροπία
13 Ταλαντώσεις Ux) = 1 kx gx = 1 kx kx Ισ x ± 1 kx Ισ Ux) = 1 k x x ισ) + U, U = 1 kx Ισ Εποµένως για την εξίσωση κίνησης έχουµε Ταλάντωση µε συχνότητα γύρω από τη ϑέση ισορροπίας x Ισ. d x dt = F x) = du dx = kx x Ισ) ω = k = 1 d U dx 6.1. Κίνηση Συστηµάτων κοντά σε µια ϑέση Ευσταθούς Ισορροπίας Το σύστηµα περιγράφεται από µία συνάρτηση δυναµικής ενέργειας Ux) F = du dx Εάν έχουµε ένα σηµείο x ισ ευσταθούς ισορροπίας ελάχιστο της δυναµικής ενέργειας) dux = x ισ ) dx =, d Ux ισ ) dx > Αναπτύσσουµε τη δυναµική ενέργεια σε σειρά Taylor γύρω από το σηµείο x ισ dux Ux) = Ux ισ ) + ισ ) x x ισ ) + 1 dx Για x x ισ 1 κρατάµε µόνο τον πρώτο µη-µηδενικό όρο Θέτουµε Νόµος του Νεύτωνα : F = du dx d Ux ισ ) dx x x ισ ) +... Ux) = Ux ισ ) + 1 d Ux ισ ) dx x x ισ ) k = U x ισ ) = d Ux ισ ) dx > Ux) = Ux ισ ) + 1 kx x ισ) F = kx x ισ ) d x dt = kx x ισ) Εποµένως έχουµε ταλάντωση γύρω από τη ϑέση ισορροπίας x ισ µε συχνότητα ω = k = 1 U x ισ ) Εφαρµογή Κεντρικό δυναµικό δίνεται από τη σχέση α) Βρείτε για ποια τιµή του r έχουµε ισορροπία U = a r n + b r, a, b > ϐ) Για ποιες τιµές του n η ισορροπία αυτή είναι ευσταθής ; γ) Βρείτε την περίοδο της ταλάντωσης που εκτελεί ένα σώµα µάζας που ϐρίσκεται κοντά στο σηµείο της ευσταθούς ισορροπίας. Υποθέτουµε ότι το σώµα κινείται µόνο ακτινικά.
6.1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση σε µία ιάσταση 133 Λύση: α) du dr = Ισορροπία ακρότατο πρώτη παράγωγος = du = na dr r=r ϐ) Ευσταθής ισορροπία ελάχιστο d Ur ) dr > d U dr U r ) = 1 r 4 + 1)na = n r n+ na b rn+1 r 3 r n+1 = b r 3 + 6b r 4 = 1 r 4 6b ) 6b n + 1) na r n r n = na b ) nn + 1)a r n = 1 r 4 6b bn + 1)) U r ) = b r 4 3 n + 1)) > > n γ) Περίοδος ταλάντωσης µάζας γύρω από το σηµείο ευσταθούς ισορροπίας r. U r ) = b n) r 4 = k > για n < και r n = na b, ω = k ω = k Ur ) = b ) r n 1 < E r 1 r r Ur) Ur ) Σχήµα 6.5 διότι Ur 1 ) =, r1 n = b a r n = b na > r n 1 = b a n > 1 Γενικά η δύναµη ορίζεται ως εξής F = U
134 Ταλαντώσεις όταν γνωρίζουµε τη δυναµική ενέργεια Ur). Οταν η δυναµική ενέργεια εξαρτάται µόνο από το r = r τότε F = du dr ˆr µε ακτινική κατεύθυνση. Ο νόµος του Νεύτωνα για την κίνηση είναι d r dt το σώµα δεν περιστρέφεται και εκτελεί µόνο ακτινική κίνηση έχουµε d r είναι 6.1.3 Απλό εκκρεµές d r dt = du dr dt = F ωστόσο στην περίπτωση που = d r ˆr. Τελικά η εξίσωση κίνησης dt O -θ θ θ B T θέση ισορροπίας Σχήµα 6.6 r θ B + T = d r dt Χρησιµοποιούµε πολικές συντεταγµένες r, θ) = a v = dr dt = l dθ dt ˆθ όπου l το µήκος του νήµατος και η µάζα του σφαιριδίου. Το νήµα είναι αβαρές και µη εκτατό. a = d r dt = dv ) dt = l d θ dt ˆθ dθ l ˆr dt T = T ˆr, B = g sin θ ˆθ + g cos θˆr ) dθ l = T + g cos θ dt l d θ dt = g sin θ Χρησιµοποιούµε τη δεύτερη εξίσωση για να προσδιορίσουµε την κίνηση : θ = g l sin θ = ω sin θ ω = g l ω = Μέγιστη γωνία απόκλισης από την κατακόρυφο ϑέση ισορροπίας) είναι η θ. Το σώµα κάνει ταλάντωση περιοδική κίνηση από τη γωνία θ µέχρι τη γωνία θ. Αναπτύσσουµε τη συνάρτηση sin θ γύρω από τη ϑέση ισορροπίας θ = g l sin θ = θ θ3 3! + θ5 5! +...
6.1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση σε µία ιάσταση 135 Εάν θ.1 σε ακτίνια, δηλαδή σε µοίρες 6, µπορούµε να κρατήσουµε µόνο το γραµµικό όρο και να αµελήσουµε την επίδραση των όρων θ 3, θ 5,... στην κίνηση θ = ω θ Απλή Αρµονική Ταλάντωση θt) = θ sin ω t + φ ) Περίοδος ταλάντωσης : ω = π g T = l T = π l g Εξίσωση κίνησης από τη στροφορµή : L N dl dt = N = r v = l dθ dt ˆr ˆθ = l dθ dt ẑ = r B = lg sin θẑ l d θ = lg sin θ dt θ = g l sin θ Υπολογισµός των περιόδων ταλάντωσης T για µεγάλη γωνία απόκλισης θ. O θ θ h H Σχήµα 6.7 E = K + U K = 1 v = 1 ) dθ l dt U = gh = gl 1 cos θ) = gl sin θ Η ενέργεια διατηρείται = EH) = gl 1 cos θ ) = gl sin θ 1 ) dθ l + gl1 cos θ) = gl 1 cos θ ) dt ) dθ = g cos θ cos θ ) = 4g dt l l g dθ dt = l sin θ sin θ sin θ θ ) sin
136 Ταλαντώσεις T/4 Ελλειπτικό ολοκλήρωµα πρώτου είδους. Αλλαγή µεταβλητής sin θ = sin θ sin u dt = 1 Πλήρες ελλειπτικό ολοκλήρωµα πρώτου είδους. l θ g dθ sin θ sin θ g T π/ l 4 = du 1 k sin u, k = sin θ Θα υπολογίσουµε το ολοκλήρωµα µε ανάπτυξη σε σειρά της συνάρτησης 1 k sin u) 1/ 1 k sin u ) 1/ = 1 + 1 k sin u + 3 8 k4 sin 4 u +... g T l 4 = π + k T = π π/ l g sin udu + 3k4 8 π/ sin 4 udu +... 1 + 1 θ 4 sin + 9 θ ) 64 sin4 +... Μερικές απλές σχέσεις που χρησιµοποιήθηκαν στους υπολογισµούς π/ sin udu = π 4 d sin θ ) = sin θ dsin u) dθ = sinθ /) cos udu cosθ/) cos θ = 1 sin θ sin u 6. Φθίνουσα και Εξαναγκασµένη Ταλάντωση 6..1 Λύση της απλής αρµονικής ταλάντωσης x = ω x Γραµµική οµογενής δευτέρου ϐαθµού µε σταθερούς συντελεστές. οκιµάζουµε σαν λύση την x = e ρt. x = ρ e ρt ρ = ω ρ = ±iω x = c 1 e iωt + c e iωt γενική λύση της διαφορικής) e iωt = cosωt) + i sinωt) x R c = c 1 x = c 1 + c 1) cosωt) + i c 1 c 1) sinωt) A = c 1 + c 1 R και B = i c 1 c 1) R x = A cosωt) + B sinωt) = x sinωt + φ )
6. Φθίνουσα και Εξαναγκασµένη Ταλάντωση 137 6.. Φθίνουσα ταλάντωση, δύναµη τριβής ανάλογη της ταχύτητας d x dt = kx bdx dt x + bx + kx = x = e ρt ρ + bρ + k = Λύνουµε το τριώνυµο ρ 1, = b ± 1 b 4k ρ 1, = b b ± ) k, ω = k Γενική λύση : ρ 1, = b ± ) b x = c 1 e ρ1t + c e ρt ιερεύνηση α) b 4k >, µεγάλη δύναµη τριβής, απεριοδική κίνηση ρ 1 = b b ρ 1, R και ρ = b + ) k < ) b k < c 1 + c xt) = c 1 e β1t + c e βt t = t Σχήµα 6.8 ρ 1 = β 1, ρ = β ϐ) b 4k <, µικρή δύναµη τριβής, περιοδική κίνηση όπου ω = ω b ) ρ 1, = b ± 1 ρ 1, = b ± i 4k b ) k ) b = b ± i ω xt) = c 1 e bt/ e i ωt + c e bt/ e i ωt x R c = c 1 xt) = x e bt/ sin ωt + φ )
138 Ταλαντώσεις xt) για φ = π/ x e bt/ Σχήµα 6.9 Ενεργειακή µελέτη Εάν ορίσουµε την µηχανική ενέργεια στιγµιαία ως συνήθως Et) = Kt) + Ut) έχουµε : Et) = 1 v + 1 kx de dv = v dt dt + kxdx dt de dt = dv ) dt + kx v = bv v = bv = F τϱ v άρα η απώλεια ενέργειας είναι ίση µε το έργο της δύναµης τριβής. Πρόβληµα Σώµα µάζας είναι δεµένο στην άκρη οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k. Ο συντελεστής τριβής µεταξύ µάζας και οριζοντίου επιπέδου είναι σταθερός και ίσος µε µ. Την χρονική στιγµή t = δίνεται στην µάζα αρχική ταχύτητα v. Βρείτε την µετατόπιση xt) του ταλαντωτή σαν συνάρτηση του χρόνου. Σε πόσο χρόνο ϕτάνει η µάζα πρώτη ϕορά στο ακρότατο σηµείο ; Πόση ταχύτητα έχει η µάζα στη ϑέση ισορροπίας µετά από µία πλήρη ταλάντωση ; Λύση: Επειδή η δύναµη τριβής F T εξαρτάται από την κατεύθυνση της κίνησης λύνουµε την εξίσωση κίνησης χωριστά για κάθε ένα από τα τέσσερα µέρη µιας πλήρους ταλάντωσης. ι) Εάν A 1 η µέγιστη αποµάκρυνση από την ϑέση ισορροπίας, µελετάµε την κίνηση για < x < A 1 καθώς το σώµα κινείται προς το ακρότατο A 1. Η δύναµη τριβής είναι F T = µg. Η εξίσωση κίνησης είναι : x = kx + F T = kx µg x = k x µg = ω x + µg ) όπου = k. Ορίζοντας την νέα µεταβλητή y = x + µg η εξίσωση κίνησης γίνεται : Η λύση της εξίσωσης κίνησης είναι : όπου µπορούµε να γράψουµε ω = π T. Αρχικές συνθήκες y = ω y yt) = A cos ω t + B sin ω t y t) = ω A sin ω t + ω B cos ω t x) = y) = A = µg ω x ) = y ) = v ω B = v B = v ω
6. Φθίνουσα και Εξαναγκασµένη Ταλάντωση 139 Η λύση για την µετατόπιση xt) είναι : xt) = yt) µg ω και για την ταχύτητα του σώµατος ϐρίσκουµε : = µg cos ω t + v sin ω t µg ω vt) = x µg v t) = ω sin ω t + ω cos ω t ω Γράφουµε την λύση µε ένα διαφορετικό τρόπο ο οποίος µπορεί να µας δώσει περισσότερες πληροφορίες yt) = A cos ω t + B sin ω t = ) A + B A A + B cos ω B t + A + B sin ω t και όπου sin φ = Η ταχύτητα της µάζας είναι = y sin φ cos ω t + cos φ sin ω t) = y sinω t + φ ) xt) = y sinω t + φ ) µg ω y = A + B = µ g ω 4 + v ω A A + B, cos φ B = A + B tan φ = A B = µg v ω vt) = x t) = ω y cosω t + φ ) Η ταχύτητα της µάζας είναι µηδέν όταν cosω t 1 + φ ) = εκείνη την χρονική στιγµή sinω t 1 + φ ) = 1 και το ελατήριο έχει την µέγιστη απαµάκρυνση A 1 όπου A 1 = y µg ω = µ g Άρα η µάζα ϕτάνει στο ακρότατο A 1 όταν ικανοποιείται η εξίσωση Ενεργειακή µελέτη του προβλήµατος : ω t 1 + φ = π t 1 = ω 4 + v µg π ω φ ω = T 4 φ π T W ɛλ A 1 + W T A 1 = K = 1 v W ɛλ A 1 = U) UA 1 ) = 1 ka 1, W T A 1 = µga 1 1 ka 1 µga 1 = 1 v v = k A 1 + µga 1 = ω A 1 + µga 1 Η λύση της τελευταίας εξίσωσης είναι : A 1, = µg ± 1 4µ g + 4 v = µg µ ± g 4 + v κρατάµε µόνο την ϑετική λύση. Άρα η µέγιστη αποµάκρυνση του ελατηρίου από την ϑέση ισορροπίας είναι : A 1 = µg µ + g 4 + v Η δύναµη του ελατηρίου στο ακρότατο είναι F ελ = ka 1 ενώ η δύναµη της τριβής ειναι F T = µg. Οι δύο δυνάµεις έχουν αντίθετη κατεύθυνση. Εάν F T > F ελ τότε το σώµα παραµένει ακίνητο στην ϑέση x = A 1.
14 Ταλαντώσεις ιι) Μελέτη της κίνησης καθώς το σώµα επιστρέφει για πρώτη ϕορά στη ϑέση ισορροπίας, < x < A 1. Υποθέτουµε ότι F T < F ελ δηλαδή µg < ka 1, το σώµα αρχίζει να κινείται προς την ϑέση ισορροπίας και ϕτάνει εκεί µε ταχύτητα v 1. Υπολογίζουµε την ταχύτητα v 1 από το ϑεώρηµα µεταβολής της κινητικής ενέργειας : έχουµε : W ɛλ A 1 + W T A 1 = 1 v 1 1 ka 1 µga 1 = 1 v 1 v 1 = k A 1 µga 1 v = k A 1 + µga 1 k A 1 = v µga 1 v 1 = v 4µgA 1 < v Λύση της εξίσωσης κίνησης για την κίνηση του σώµατος απο x = A 1 x = και υπολογισµός του χρόνου κίνησης t : x = k x + µg = ω x µg ) µε αρχικές συνθήκες xt = ) = A 1, vt = ) =. Ορίζουµε την νέα µεταβλητή y = x µg και η εξίσωση κίνησης γίνεται y = ω ω y. Λύνουµε την νέα εξίσωση κίνησης ως προς y και χρησιµοποιώντας τις αρχικές συνθήκες ϐρίσκουµε την λύση για την µετατόπιση x. yt) = A cos ω t + B sin ω t, y t) = ω A sin ω t + ω B cos ω t y) = A = A 1 µg, y ) = x ) = B = x µg ω Υπολογίζουµε τον χρόνο κίνησης : = A 1 µg ω xt ) = A 1 µg ) cos ω t + µg Εχουµε ήδη δεχτεί ότι ka 1 > µg άρα A 1 > µg k = µg ω ) cos ω t x = A 1 µg ) cos ω t + µg = cos ω t = µg ω A 1 µg ω cos ω t < ω t > π t > T 4 ιιι) Μελέτη της κίνησης καθώς το σώµα κινείται σε αρνητικές τιµές της αποµάκρυνσης από τη ϑέση ισορροπίας µέχρι το ακρότατο για x = A και πίσω στη ϑέση ισορροπίας x =. Το σώµα µαζας κινείται προς τα αριστερα αρνητικά x) µε αρχική ταχύτητα v) = v 1 και ϕτάνει µέχρι τη ϑέση x = A όπου µε ϐάση τα προηγούµενα ερωτήµατα έχουµε : A = µg + µ g ω 4 + v 1 ω < A 1 Εάν ka > µg τότε το σώµα ϑα κινηθεί προς τα δεξιά µέχρι τη ϑέση ισορροπίας όπου ϑα ϕτάσει µε ταχύτητα : v = v 1 4µgA < v 1 Εά υποθέσουµε τέλος ότι µg = ka T τότε κάποια στιγµή το σώµα ϑα ακινητοποιηθεί όταν A n < A T. 6..3 Εξαναγκασµένη ταλάντωση d x dt = kx bdx dt + F t) F t) = περιοδική δύναµη = F sinωt) Η λύση xt) είναι άθροισµα της λύσης της οµογενούς εξίσωσης χωρίς την εξωτερική δύναµη και µια µερική λύση της εξίσωσης µε την εξωτερική δύναµη F t). xt) = x οµογ t) + x εξ t)
6. Φθίνουσα και Εξαναγκασµένη Ταλάντωση 141 x οµογ t) = x ϕθιν t) = ce bt/ sin ωt + φ ) x οµογ t ) και παραµένει µόνο η λύση που οφείλεται στην εξωτερική δύναµη x εξ t) = A sinωt) + B cosωt) xt) = A sinωt) + B cosωt) για t τ = b Αντικαθιστούµε την xt) και τις παραγώγους στη διαφορική εξίσωση και υπολογίζουµε τους συντελεστές A, B. x t) = ωa cosωt) ωb sinωt) x t) = ω A sinωt) ω B cosωt) [ ω A ωbb + ka ] sinωt) + [ ω B + ωba + kb ] cosωt) = F sinωt) { ω A ωbb + ka = F ω B + ωba + kb = Από τη δεύτερη εξίσωση έχουµε A = k + ω B A = ω ωb b/)ω B, όπου ω = k και από την πρώτη εξίσωση παίρνουµε ω ω ) B = b F b ω ) A = ω + ω ) b F ω ω ) ) ω + ω ) Απόκρισή του συστήµατος στην εξωτερική δύναµη x = x sin ωt + φ ) όπου x = A + B x = F / [ ) ] 1/ b ω + ω ) tan φ = B A = b/)ω ω ω Η γωνία φ είναι πάντα αρνητική ω < ω π < φ < ω > ω π < φ < π Μέγιστη απορόφηση ενέργειας από το σύστηµα όταν η δύναµη είναι σε ϕάση µε την ταχύτητα διότι dw dt = F v v = dx dt = ωx cosωt + φ) όταν ω ω έχουµε φ π και η ταχύτητα είναι v ωx sinωt) σε ϕάση µε την δύναµη. Μέγιστο πλάτος ταλάντωσης : dx = dω ω=ωax
14 Ταλαντώσεις x x ax ω ax /ω 1 ω=ω ) ω/ω Σχήµα 6.1 Συντονισµός για ω ω ax, x = µέγιστο ω ax = ω x,ax = F b b 1 ω b /4 ) 1/ b x,ax, φ π Παρατήρηση : Οταν b = παίρνουµε B = και x = A sinωt) όπου A = F Εφαρµογή : εξαναγκασµένη ταλάντωση χωρίς απόσβεση 1 ω ω. Απλός αρµονικός ταλαντωτής έχει µάζα και ιδιοσυχνότητα ταλάντωσης ω. Την χρονική στιγµή t = καθώς ο ταλαντωτής περνά από τη ϑέση ισορροπίας µε ταχύτητα v ασκείται εξωτερική περιοδική δύναµη F t) = F cos ωt. α) Βρείτε την µετατόπιση xt) του ταλαντωτή από την ϑέση ισορροπίας. ϐ) Υποθέτωντας ότι ω ω δηλαδή ω = ω + δω και δω ϐρείτε την εξίσωση κίνησης του ταλαντωτή. α) Η εξίσωση κίνησης του ταλαντωτή υπό την επίδραση και της εξωτερικής δύναµης είναι : ϑέτοντας k = η εξίσωση κίνησης γίνεται : x = kx + F t) x + k x = F cos ωt x + x = F cos ωt Η Γενική Λύση της εξίσωσης κίνησης είναι το άθροισµα της Λύσης της Οµογενούς εξίσωσης συν µία Μερική Λύση λόγω της εξωτερικής δύναµης : xt) = A 1 cos ω t + B 1 sin ω t + A cos ωt x t) = ω A 1 sin ω t + ω B 1 cos ω t ωa sin ωt x t) = ω A 1 cos ω t ω B 1 sin ω t ω A cos ωt Με αντικατάσταση στην εξίσωση κίνησης ϐρίσκουµε ότι : ω A + A = F A = F 1 ω ω Παρατήρηση : Εάν προσθέσουµε στη λύση και τον όρο B sin ωt µπορούµε να δείξουµε εύκολα ότι τελικά έχουµε B =.
6. Φθίνουσα και Εξαναγκασµένη Ταλάντωση 143 Αρχικές συνθήκες Η λύση για την µετατόπιση xt) είναι : x) = A 1 + A = A 1 = A = F xt) = 1 ω ω v) = v ω B 1 = v B 1 = v ω F ω ω ) cos ωt cos ω t) + v ω sin ω t ϐ) Ζητάµε το όριο της xt) όταν ω = ω + δω και δω. Επειδή το δω είναι µία µικρή ποσότητα αναπτύσσουµε την συνάρτηση συνηµίτονο σε σειρά cos ωt = cosω t + δωt) = cos ω t sinω t)δωt 1 cosω t)δωt) και κρατάµε µόνο τον γραµµικό ως προς δω όρο. Ο όρος που είναι ανάλογος του δω) δεν συνεισφέρει στο όριο δω. Για τον παρονοµαστή της αρχικής έκφρασης έχουµε : ω ω = ω + ω)ω ω) = ω + δω) δω) ω δω στο όριο όπου δω. Αντικαθιστώντας στην αρχική συνάρτηση xt) της µετατόπισης ϐρίσκουµε : xt) = F ω δω cos ω t δωt sin ω t cos ω t) + v ω sin ω t xt) = F ω δω δωt) sin ω t + v ω sin ω t xt) = F ω t sin ω t + v ω sin ω t xt) = v ω + F ω t) sin ω t 6..4 Ηλεκτρικά κυκλώµατα R, L, C α) Κύκλωµα L, C V L + V C = L di dt + Q C = I = dq dt L d Q dt + Q C = Q = 1 LC Q Q = Q sin ω t + φ ) ω = 1 LC L +Q -Q C ϐ) Κύκλωµα R, L, C σε σειρά
144 Ταλαντώσεις V L + V R + V C = L di dt + IR + Q C = R = R 1 + R, I = dq dt L R 1 R C Φθίνουσα ταλάντωση L d Q dt + R dq dt + Q C = Q = Q e Rt/L sin ωt + φ ), ω = 1 LC ) R L γ) Κύκλωµα R, L, C και εξωτερική πηγή V t) = V sinωt) V L + V R + V C = V t) L di dt + IR + Q C = V sinωt) R = R 1 + R, I = dq dt L Vt) R 1 C R Συντονισµός ω = 1 LC R L µέγιστο Q LQ + RQ + Q C = V sinωt) Q = Q sin ωt + φ ) V /L Q = [ R ) ω L + ω 1 ) ] 1/ LC I = dq dt = ωq cos ωt + φ ) V ω/l I = ωq = [ R ) ω L + ω 1 ) ] 1/ LC R ) L V = I ω L ω + ω 1 ) LC V = I R + Lω 1 ) = ZI ωc ω = 1 LC µέγιστο I
6.3 Εφαρµογή για τη σύνθεση ταλαντώσεων διακρότηµα) 145 i) K M K M K ii) x 1 x Σχήµα 6.11 6.3 Εφαρµογή για τη σύνθεση ταλαντώσεων διακρότηµα) ύο µάζες 1 = = ολισθαίνουν χωρίς τριβή σε οριζόντιο επίπεδο, υπό την επίδραση τριών ελατηρίων µε k 1 = k = k 3 = k. α) Υποθέστε ότι για t = οι µάζες ϐρίσκονται στις ϑέσεις ισορροπίας τους και v 1 = v. Βρείτε τη ϑέση της κάθε µάζας συναρτήσει του χρόνου και τη συχνότητα της ταλάντωσης. ϐ) v 1 = v για t = παρόµοια ερωτήµατα). γ) v 1 =, v =, x = a, y = για t = παρόµοια ερωτήµατα). Οι εξισώσεις κίνησης είναι Αθροίζουµε : Αφαιρούµε : d x 1 dt = kx 1 + k x x 1 ) d x dt = kx k x x 1 ) d dt x 1 + x ) = kx 1 + x ) d dt x 1 x ) = 3kx 1 x ) Ορίζουµε τις νέες µεταβλητές A = x 1 + x και B = x 1 x µε εξίσωση κίνησης Λύση των διαφορικών εξισώσεων : d A dt d B dt = ka ω A = k = 3kB ω B = 3k At) = A 1 sin ω A t + A cos ω A t Bt) = B 1 sin ω B t + B cos ω B t Γυρνάµε πίσω στα x 1, x : At) + Bt) x 1 t) = = 1 [A 1 sin ω A t + B 1 sin ω B t + A cos ω A t + B cos ω B t] At) Bt) x t) = = 1 [A 1 sin ω A t B 1 sin ω B t + A cos ω A t B cos ω B t]
146 Ταλαντώσεις Απάντηση στην περίπτωση α) µε x 1 t = ) =, x t = ) =, v 1 t = ) = v t = ) { x 1 ) = A + B = x ) = A B = A =, B = x 1 t) = A 1 sin ω At + B 1 sin ω Bt x t) = A 1 sin ω At B 1 sin ω Bt v 1 = dx 1 dt v = dx dt = ω A A 1 cos ω At + ω B B 1 cos ω Bt = ω A A 1 cos ω At ω B B 1 cos ω Bt A 1 v 1 ) = v ) ω A + ω B = ω A + ω B ω A A 1 = A 1 = διότι ω A x 1 t) = B 1 sin ω Bt x t) = B 1 sin ω Bt δηλαδή το σύστηµα ταλαντεύεται µε x 1 t) = x t) και µε συχνότητα ω B. B 1 A 1 B 1 Οµοια απαντάµε στην περίπτωση ϐ) όπου ϐρίσκουµε x 1 t) = A 1 sin ω At x t) = A 1 sin ω At δηλαδή το σύστηµα ταλαντεύεται µε x 1 t) = x t) και µε συχνότητα ω A = k/, σαν να µην υπάρχει το µεσαίο ελατήριο. Απάντηση στην περίπτωση γ) µε v 1 ) =, v ) =, x 1 ) = a, x ) = { v 1 ) = ω A A 1 + ω B B 1 = v ) = ω A A 1 ω B B 1 = A 1 =, B 1 = x ) = A = B x 1 t) = A cos ω At + cos ω B t) x t) = A cos ω At cos ω B t) x 1 ) = a = A = A A = a cos ω A t + cos ω B t = cos ω B ω A t cos ω B + ω A t cos ω A t cos ω B t = sin ω B ω A t sin ω B + ω A t [ )] ) ωb ω A ωb + ω A x 1 t) = a cos t cos t [ )] ) ωb ω A ωb + ω A x t) = a sin t sin t
6.3 Εφαρµογή για τη σύνθεση ταλαντώσεων διακρότηµα) 147 t t Σχήµα 6.1: ιακρότηµα