Βέλτιστη Σχεδίαση Γραμμικών Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ & ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Βέλτιστη Σχεδίαση Γραμμικών Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Μέθοδοι Βέλτιστου Πλάτους & Έλεγχος μέσω εσωτερικού μοντέλου ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΠΑΠΑΚΑΝΔΕΡΑΚΗΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 7

Βέλτιστη Σχεδίαση Γραμμικών Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Μέθοδοι Βέλτιστου Πλάτους & Έλεγχος μέσω εσωτερικού μοντέλου ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΠΑΠΑΚΑΝΔΕΡΑΚΗΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 7

Πρόλογος Η παρούσα διπλωματική εργασία μπορεί να χωριστεί σε τέσσερις ενότητες, κάθε μια εκ των οποίων αποτελείται από επιμέρους κεφάλαια. Στην πρώτη ενότητα γίνεται παρουσίαση και ανάλυση της μεθόδου ελέγχου του Βέλτιστου Πλάτους (Μ.Ο), στην δεύτερη ενότητα γίνεται ανάλυση της μεθόδου ελέγχου μέσω Εσωτερικού Μοντέλου (I.M.C) και στην τρίτη αναλύεται η μέθοδος στο πεδίο του χρόνου των Ziegler και Nichol (ΖΝ Ste reone Method). Αναλυτικότερα για την κάθε ενότητα έχουμε: Μέθοδος Του Βέλτιστου Πλάτους Αρχίζει με την θεωρητική ανάπτυξη της μεθόδου όπου δίνονται οι γενικές αρχές που διέπουν την μέθοδο, ορίζεται το σύστημα κλειστού βρόχου καθώς και οι συναρτήσεις μεταφοράς που προκύπτουν από αυτό. Στην παρ.. ακολουθεί η μαθηματική ανάλυση της μεθόδου με παρουσίαση του κριτηρίου σχεδίασης, ενώ στην παρ.. γίνεται η εφαρμογή της μεθόδου για συγκεκριμένο φυσικό σύστημα, αποτελούμενο από τέσσερα μηδενικά, πέντε πόλους και χρονική καθυστέρηση, που από δω και στο εξής θα είναι το γενικό φυσικό σύστημα. Στο ίδιο κεφάλαιο υπολογίζονται τα κέρδη των ελεγκτών της μεθόδου. Κατόπιν στην παρ..3, παρουσιάζονται τρία παραδείγματα φυσικών συστημάτων που τα ελέγχουμε με την παραπάνω μέθοδο και σχεδιάζονται οι αποκρίσεις τους στο χρόνο, για την έξοδο και τα σήματα ελέγχου κατά την επιβολή βηματικής αναφοράς και διαταραχών, καθώς επίσης εξετάζεται και το φάσμα της συνάρτησης μεταφοράς κλειστού βρόχου του συστήματος. Τα συστήματα που εξετάζουμε είναι μη ελάχιστης φάσης και διακρίνονται σε σύστημα με πραγματικούς πόλους και πραγματικά μηδενικά (παρ..3.), με πραγματικούς πόλους και μιγαδικά μηδενικά (παρ..3.) και με πραγματικούς πόλους και μηδενικά δεξιού μιγαδικού επιπέδου (παρ..3.3). Στην παρ..4 τώρα, γίνεται η μελέτη της μεταβολής του αναλογικού κέρδους στην ποιότητα ελέγχου, όπου κρατώντας αμετάβλητο τον ελεγκτή, βλέπουμε τί επίδραση έχει μια τυχαία μεταβολή του κέρδους στον έλεγχο. Προχωρώντας στην παρ..5, γίνεται απ ευθείας αντιστάθμιση των πόλων από μηδενικά και βλέπουμε πως συμπεριφέρεται η μέθοδος όταν ελέγξουμε το ίδιο φυσικό σύστημα στην ακριβή του μορφή και στην αντισταθμισμένη. Εξετάζεται ο έλεγχος PI με σύστημα που έχει έναν κύριο πόλο και σύστημα με δυο ίσους κύριους πόλους και σχεδιάζεται σε κοινό διάγραμμα τόσο το ακριβές όσο και το αντισταθμισμένο. Τα ίδια γίνονται και για τον ελεγκτή PID με συστήματα που έχουν έναν κύριο πόλο, δύο ίσους κύριους και τρεις ίσους και κύριους. Τέλος στην παρ..6 γίνεται η μελέτη της αντιστάθμισης για τους ελέγχους που προηγήθηκαν. Μέθοδος Του Εσωτερικού Μοντέλου Η ενότητα αυτή ξεκινά με την θεωρητική ανάπτυξη της μεθόδου όπου ορίζεται η δομή του συστήματος κλειστού βρόχου και μέσω αυτής οι συναρτήσεις μεταφοράς. Στην παρ.. ακολουθεί ο ορισμός του μοντελοποιημένου συστήματος (προσεγγιστικό), καθορίζεται ο συνιστώμενος ελεγκτής, εξηγούνται οι λόγοι που έχει αυτή τη μορφή και πως υπολογίζεται η σταθερά φίλτρου αυτού. Στις παρ...,..,..3 παρουσιάζονται τρία παραδείγματα φυσικών συστημάτων που τα ελέγχουμε με την παραπάνω μέθοδο. Αυτά είναι σε απόλυτη αντιστοιχία με αυτά που εξετάσαμε v

στην πρώτη ενότητα, άρα είναι μη ελάχιστης φάσης και διακρίνονται σε, σύστημα με πραγματικούς πόλους και πραγματικά μηδενικά (παρ...), με πραγματικούς πόλους και μιγαδικά μηδενικά (παρ...), με πραγματικούς πόλους και μηδενικά δεξιού μιγαδικού επιπέδου (παρ...3). Η παρ.. είναι σε διαφορετική λογική απ όλη την ενότητα, αφού εξετάζεται ο έλεγχος μέσω εσωτερικού μοντέλου με ελεγκτή δυο βαθμών ελευθερίας και προσδιορίζονται οι μέθοδοι υπολογισμού του εσωτερικού και εξωτερικού ελεγκτή. Στην παρ..3 αναλύεται μια μέθοδος ελέγχου που προκύπτει απ τις προαναφερθείσες και καθώς χρησιμοποιεί την δομή του συστήματος ελέγχου μέσω εσωτερικού μοντέλου και τον συνιστώμενο απ αυτήν ελεγκτή, αλλά προσδιορίζει τη σταθερά του IMC ελεγκτή με εφαρμογή των συνθηκών βελτιστοποίησης με απευθείας εφαρμογή της μεθόδου του βέλτιστου πλάτους. Στο ίδιο κεφάλαιο αποδεικνύεται ένα θεώρημα που καθορίζει την τιμή της σταθεράς αυτής και παρέχονται οι έλεγχοι για δυο συστήματα με την «καθαρή» μέθοδο IMC και την προαναφερθείσα. Ακολουθεί η παρ..4 όπου για περιορισμένο αριθμό συστημάτων επιχειρείται η προσέγγιση του IMC ελεγκτή, μέσω ελεγκτή PI ή PID και παρατίθεται ένα παράδειγμα για την κατανόηση της θεωρίας. Σε αναλογία με την παρ..4, η παρ..5 ασχολείται με τη μελέτη της μεταβολής του αναλογικού κέρδους στην ποιότητα ελέγχου, όπου κρατώντας αμετάβλητο τον IMC ελεγκτή, βλέπουμε τι επίδραση έχει η μεταβολή του κέρδους στον έλεγχο. Τέλος, στην παρ. 6 παρουσιάζεται μια νέα σκέψη που αφορά στην χρήση ενός ελεγκτή lag στη δομή αυτομάτου ελέγχου μέσω εσωτερικού μοντέλου. Αντί δηλαδή να ελέγξουμε το φυσικό σύστημα με τον συνιστώμενο ελεγκτή IMC, το ελέγχουμε με έναν πολύ απλούστερο ελεγκτή lag προσδιορίζοντας τις παραμέτρους του μέσω της μεθόδου του βέλτιστου πλάτους. Παρατίθεται και αποδεικνύεται ένα θεώρημα που καθορίζει το πεδίο τιμών της άδηλης δυναμικής για τις οποίες ο παραπάνω έλεγχος υφίσταται. Μέθοδος των Ziegler Nichol Το κεφ. 3 όπως και τα προηγούμενα ξεκινά με την θεωρητική ανάπτυξη της μεθόδου όπου ορίζεται η δομή του συστήματος κλειστού βρόχου της μεθόδου. Μετά στην παρ. 3. ακολουθεί ο αλγόριθμος προσδιορισμού των παραμέτρων του ελεγκτή μέσω της βηματικής απόκρισης του φυσικού συστήματος, ενώ ακολουθεί η παρ. 3. όπου γίνεται η εφαρμογή της μεθόδου για το συγκεκριμένο γενικό φυσικό σύστημα, που έχει παρουσιαστεί μέχρι τώρα και ακολουθούν τρία συστήματα, κατ αντιστοιχία με αυτά των προηγούμενων ενοτήτων. Συγκριτική παρουσίαση των μεθόδων Σε αυτή την ενότητα γίνεται μια ομαδοποίηση των συμπερασμάτων που έχουν προκύψει μέχρι τώρα και παρουσιάζονται συγκριτικές γραφικές παραστάσεις των τριών μεθόδων. Μετά τη διευκρίνηση της αδυναμίας της μεθόδου των ZN να ελέγξει πολύπλοκα συστήματα, αναλύονται στην παρ. 4. οι βασικές μέθοδοι ελέγχου MO και IMC. Θεσσαλονίκη, Νοέμβριος 7 Γεώργιος Εμμ. Παπακανδεράκης vi

Ευχαριστίες Αφιερώνεται στη μνήμη των Γεωργίου και Αικατερίνης Παπακανδεράκη Σε τέτοιες περιπτώσεις οι ευχαριστίες μπορεί να γίνουν κοινοτοπίες, αν δεν προέρχονται από την καρδιά του γράφοντος. Η ενότητα αυτή υπάρχει όχι εθιμοτυπικά, αλλά ουσιαστικά. Όλες οι σελίδες που ακολουθούν στηρίχθηκαν πάνω στα πρόσωπα που αναφέρονται σ αυτήν εδώ. Θέλω από καρδιάς να ευχαριστήσω άτομα από τρεις χώρους: από την Οικογένειά μου, το Πολυτεχνείο και το Στρατό. Από το Στρατό, όλους τους αξιωματικούς που έδειξαν κατανόηση και επιείκεια, όταν αντί να εκτελώ τα προβλεπόμενα ήμουν με ένα υπολογιστή υπό μάλης και συγκεκριμένα τον διοικητή του 49 ΤΔΒ Λεωνίδα Καραχούντρη που με διευκόλυνε πολλές φορές, σε μέρες δύσκολες. Από το Πολυτεχνείο, τον επιβλέποντα καθηγητή μου και πρόεδρο της σχολής Νικόλαο Ι. Μάργαρη, για την καθοδήγησή του, για το γεγονός ότι σε περίοδο που με είχε κυριεύσει το άγχος μου ανέθεσε τη διπλωματική και κατόπιν, παρόλο που έφυγα για το στρατό μη έχοντας βγάλει κανένα αποτέλεσμα δεν με πίεσε ποτέ και με τη συμπεριφορά του με βοήθησε να παραμείνω συγκεντρωμένος και ήρεμος. Η διπλωματική αυτή όμως, δεν θα είχε αυτή τη μορφή αν δεν υπήρχε ο μεταπτυχιακός φοιτητής Κώστας Παπαδόπουλος. Θέλω τώρα που μου δίνεται η ευκαιρία να τον ευχαριστήσω πολύ, για τις ώρες από τον προσωπικό και επιστημονικό του χρόνο που απλόχερα διέθεσε για ένα φοιτητή που μέχρι τότε δεν είχε δείξει και την μεγαλύτερη αξιοπιστία, για τις ιδέες του και την εν γένει στάση του και για τη αποφασιστική συμβολή του στο περιεχόμενο της διπλωματικής. Τέλος, θέλω να εκφράσω την ευγνωμοσύνη μου για την άπειρη ηθική, ψυχολογική και υλική στήριξη της οικογένειάς μου σε όλη τη ζωή μου μέχρι τώρα. Η ευγνωμοσύνη αυτή γιγαντώνεται αν αναλογιστεί κανείς ότι, ιδιαίτερα κατά το παρελθόν έτος με το συνδυασμό στρατού και διπλωματικής, ήρθαν πολλάκις αντιμέτωποι με κακότροπες συμπεριφορές, ιδιόρρυθμες αποφάσεις και έντονη κυκλοθυμία. Πατέρα σε ευχαριστώ για την γαλαντομία και την ψυχραιμία σου, Μητέρα για την κατανόηση και την αγάπη σου, αλλά πάνω απ όλα Άντζελα, σε ευχαριστώ που με ανέχεσαι, σ ευχαριστώ που υπάρχεις. «Πάντα είναι η κορυφή ψηλά κι ας είναι χιονισμένη, βράχο βαράει η θάλασσα μα πάντα βράχος μένει» vii

viii

Περιεχόμενα Πρόλογος... v Ευχαριστίες...vii Περιεχόμενα.... Κεφάλαιο : Θεωρητική Ανάλυση της μεθόδου.... Μαθηματική Ανάλυση της μεθόδου... 4. Εφαρμογή της μεθόδου για τον έλεγχο φυσικών συστημάτων με πραγματικούς πόλους και χρονική καθυστέρηση... 6.3 Παραδείγματα συστημάτων με πραγματικούς πόλους και χρονική καθυστέρηση....3. Φυσικό σύστημα με πραγματικά μηδενικά και πραγματικούς πόλους....3. Φυσικό σύστημα με μιγαδικά μηδενικά και πραγματικούς πόλους πολλαπλότητας Ν 4.3.3 Φυσικό σύστημα με πραγματικά μηδενικά στο δεξί μιγαδικό ημιεπίπεδο... 8.4 Μελέτη της μεταβολής του αναλογικού κέρδους του φυσικού συστήματος στην ποιότητα του ελέγχου... 3.5 Έλεγχος με απευθείας αντιστάθμιση... 3.6 Μελέτη της αντιστάθμισης... 38.6. PI ελεγκτής... 38.6. PID ελεγκτής... 43. Κεφάλαιο : Θεωρητική Ανάλυση της μεθόδου... 49. Έλεγχος μέσω εσωτερικού μοντέλου με ελεγκτή ενός βαθμού ελευθερίας ( DoF IMC Control)... 5.. Εφαρμογή DoF ελεγκτή μέσω εσωτερικού μοντέλου σε συστήματα με πραγματικά μηδενικά, πραγματικούς πόλους και χρονική καθυστέρηση... 53.. Εφαρμογή σε συστήματα με μιγαδικά μηδενικά και πραγματικούς πόλους πολλαπλότητας Ν... 55..3 Εφαρμογή DoF ελεγκτή μέσω εσωτερικού μοντέλου σε συστήματα με πραγματικά μηδενικά στο δεξί μιγαδικό ημιεπίπεδο... 6. Έλεγχος μέσω εσωτερικού μοντέλου με ελεγκτή δύο βαθμών ελευθερίας ( DoF IMC Control)... 66.3 Έλεγχος ΙΜC DoF με απευθείας εφαρμογή της μεθόδου του βέλτιστου πλάτους... 7.4 Εξαγωγή των παραμέτρων των ελεγκτών PI, PID από την εφαρμογή ελέγχου μέσω εσωτερικού μοντέλου... 8.5 Μελέτη της μεταβολής του αναλογικού κέρδους του φυσικού συστήματος στην ποιότητα ελέγχου... 86.6 Εφαρμογή της μεθόδου του εσωτερικού μοντέλου με την χρήση ελεγκτή lag.... 9 3. Κεφάλαιο 3: Θεωρητική Ανάλυση της μεθόδου... 99 3. Προσδιορισμός Παραμέτρων ελεγκτή με βάση τη Ziegler Nichol Ste Reone Method... 3. Εφαρμογή της μεθόδου για τον έλεγχο φυσικών συστημάτων με πραγματικούς πόλους, μηδενικά και χρονική καθυστέρηση...

Κεφάλαιο 4. Κεφάλαιο 4: Συγκριτικές γραφικές παραστάσεις των μεθόδων... 3 4. Σύγκριση Βέλτιστου Πλάτους MO, Εσωτερικού Μοντέλου IMC και Ziegler Nichol ZN... 3 4. Σύγκριση MO και IMC με ευρύτερη την έννοια της άδηλης δυναμικής... 8 Βιβλιογραφία... 37

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ ΒΕΛΤΙΣΤΟΥ ΠΛΑΤΟΥΣ. Κεφάλαιο : Θεωρητική Ανάλυση της μεθόδου Η σχεδίαση συστημάτων αυτομάτου ελέγχου με την μέθοδο του βέλτιστου πλάτους είναι μια σχετικά νέα διαδικασία []. Με βάση αυτήν την μέθοδο, τα συστήματα αυτομάτου ελέγχου πρέπει να σχεδιάζονται με τέτοιον τρόπο ώστε το μέγιστο συντονισμού του πλάτους της συνάρτησης μεταφοράς κλειστού βρόχου να είναι ελάχιστο. Αυτό σημαίνει ότι, για να είναι το σύστημα ασυμπτωτικά ευσταθές και βέλτιστο ως προς την δυναμική του συμπεριφορά, το πλάτος της συνάρτησης μεταφοράς κλειστού βρόχου πρέπει να είναι ίσο με την μονάδα σε όσο γίνεται μεγαλύτερη περιοχή συχνοτήτων. Η θεωρία αναπτύσσεται λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι, η πλήρης γνώση του φυσικού συστήματος που θέλουμε να ελέγξουμε, είναι πρακτικά αδύνατη. Η έκφραση ποσοτικά της άγνοιας αυτής, γίνεται δυνατή με την εισαγωγή της έννοιας της άδηλης δυναμικής (unmodelled dynamic), η οποία και καθορίζει τελικά την συμπεριφορά του συστήματος αυτομάτου ελέγχου. Από ένα τέτοιο σύστημα αξιώνουμε: η έξοδός του να παρακολουθεί την είσοδο αναφοράς και να απορρίπτονται οι διαταραχές. Οι δύο αυτές αξιώσεις επιτυγχάνονται κατά κανόνα επιβάλλοντας στο φυσικό σύστημα αρνητική ανάδραση της εξόδου του, παρόλο που η ύπαρξη θορύβων και διαταραχών δεν επιτρέπει την ικανοποίηση των αξιώσεων αυτών στον μέγιστο βαθμό. Αναλυτικότερα τώρα, θεωρούμε το σύστημα αυτομάτου ελέγχου του Σχ.. Επειδή στο φυσικό σύστημα G επιβάλλεται ανάδραση, το σύστημα αυτομάτου ελέγχου λέγεται και σύστημα κλειστού βρόχου. Σχήμα Λειτουργικό διάγραμμα συστήματος κλειστού βρόχου

Κεφάλαιο Το σύστημα αυτό, εκτός από το φυσικό σύστημα G, περιέχει τον ελεγκτή G c και τη βαθμίδα ανάδρασης H ( ) k h. Η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος κλειστού βρόχου, η οποία από δω και πέρα θα αναφέρεται ως συνάρτηση μεταφοράς κλειστού βρόχου, δίνεται από την ( ). y( ) K Gc G F cl = = ( ) r( ) + K ( ) K ( ) G ( ) G ( ) h c Η ποσότητα F ( ) = K ( ) G ( ) G ( ) ( ) FP c που αντιστοιχεί στη συνάρτηση μεταφοράς από το σφάλμα ελέγχου e( ) μέχρι την έξοδο του συστήματος y( ), ονομάζεται συνάρτηση μεταφοράς της ευθείας διαδρομής. Επίσης, η συνάρτηση F ( ) = K ( ) K ( ) G ( ) G ( ) ( 3) ol h c ονομάζεται συνάρτηση μεταφοράς ανοικτού βρόχου και είναι η συνάρτηση μεταφοράς από την είσοδο r () μέχρι την έξοδο της βαθμίδας ανάδρασης ym(), αν το κύκλωμα μετά την ανάδραση είναι ανοικτό. Βάσει των εξισώσεων ( ) και ( 3) η ( ) μπορεί να γραφεί: F FP F cl = + F ol ( 4) και αν θεωρήσουμε ότι το κέρδος ανοικτού βρόχου είναι αρκετά μεγάλο ( K ), η ( 4) θα γίνει F cl K ( ( 5) ) h Η παραπάνω σχέση εξηγεί τη σημασία της ανάδρασης, καθώς με την αρνητική ανάδραση το σύστημα αυτομάτου ελέγχου γίνεται ανεξάρτητο από το ελεγχόμενο φυσικό σύστημα και εξαρτάται μόνο από την βαθμίδα ανάδρασης, όταν το κέρδος ανοικτού βρόχου είναι πολύ μεγάλο. Τούτο σημαίνει ότι, πέρα από τυχόν ατέλειες του, ένα φυσικό σύστημα μπορεί να λειτουργήσει άψογα, αν η βαθμίδα ανάδρασης έχει ποιοτική κατασκευή και το κέρδος του ανοικτού βρόχου είναι πολύ μεγάλο σε σχέση με τη μονάδα. Τι εννοείται όμως όταν γίνεται λόγος για ποιοτική κατασκευή της βαθμίδας ανάδρασης; Για να εξηγηθεί αυτό θα πρέπει να αναφερθεί η έννοια της ευαισθησίας του συστήματος ως προς τις μεταβολές των παραμέτρων. Αρχικά, θα ασχοληθούμε με την ευαισθησία του συστήματος κλειστού βρόχου ως προς τις μεταβολές της βαθμίδας ανάδρασης. Είναι, F -K cl h K Gc G Fol SH = = - ( 6) + K ( ) K ( ) G ( ) G ( ) + F και αν ισχύει F (), η ( 6) γίνεται ol F cl H h c ol S - ( 7) Η σημασία της ( 7) είναι πολύ μεγάλη, καθώς εξασφαλίζει ότι, κάθε μεταβολή στην βαθμίδα ανάδρασης μεταφέρεται αυτούσια στην έξοδο. Βάσει αυτών καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι σε ένα σύστημα κλειστού βρόχου η ευαισθησία του φυσικού συστήματος ή γενικότερα, η ευαισθησία των βαθμιδών της ευθείας διαδρομής μεταφέρεται στην διαδρομή ανάδρασης. Αυτό σημαίνει ότι η επιτυχία του συστήματος αυτομάτου ελέγχου εξαρτάται από το πόσο επιμελώς κατασκευασμένη είναι η βαθμίδα ανάδρασης.

Κεφάλαιο Επίσης ορίζονται, η ευαισθησία του συστήματος κλειστού βρόχου ως προς τις μεταβολές εξόδου του φυσικού συστήματος και εκφράζει τη μεταβολή της εξόδου αν εμφανιστεί διαταραχή στην έξοδο του συστήματος κλειστού βρόχου, y( ) S o = = ( 8) d ( ) + F ( ) o ol η αντίστοιχη ως προς τις μεταβολές εισόδου, που εκφράζει τη μεταβολή της εξόδου αν εμφανιστεί διαταραχή στην είσοδο του συστήματος κλειστού βρόχου, y G d + F S i = = = So G i ol ( 9) και η συνάρτηση ευαισθησίας σήματος ελέγχου, u K K G r + F h c S u = = = Kh K So Gc ol ( ) Είδαμε παραπάνω ότι από ένα σύστημα κλειστού βρόχου, αξιώνουμε η έξοδός του να παρακολουθεί την είσοδο αναφοράς και παράλληλα να απορρίπτονται οι διαταραχές. Η συνθήκη απόρριψης των διαταραχών είναι, S ( jω ) ( ) o ενώ αντίθετα, για την ικανοποιητική παρακολούθηση της εισόδου απαιτείται Fcl ( jω ) ( ) Προσθέτοντας όμως κατά μέλη τις ( 4), ( 8) και επειδή κάθε σύστημα κλειστού βρόχου μπορεί να αναχθεί σε ένα ισοδύναμο σύστημα με μοναδιαία ανάδραση, όπως φαίνεται στο Σχ.,, προκύπτει η θεμελιώδης εξίσωση του συστήματος κλειστού βρόχου: F ( ) + S ( ) = ( 3) cl o Σχήμα : Μετασχηματισμός του λειτουργικού διαγράμματος συστήματος κλειστού βρόχου σε λειτουργικό διάγραμμα με μοναδιαία ανάδραση 3

Κεφάλαιο Το γεγονός ότι ισχύει η σχέση ( 3), δεν σημαίνει ότι σε ένα μεγάλο μέτρο της συνάρτησης μεταφοράς κλειστού βρόχου αντιστοιχεί πάντοτε ένα μικρό μέτρο της ευαισθησίας, διότι η σχέση ( 3) είναι διανυσματική. Όπως φαίνεται από το διανυσματικό διάγραμμα στο Σχ. 3, η παραπάνω διαπίστωση θα μπορούσε να συμβαίνει μόνο όταν το όρισμα φ cl της συνάρτησης μεταφοράς κλειστού βρόχου F cl είναι πολύ μικρό. Σχήμα 3: Λειτουργικό διάγραμμα συστήματος κλειστού βρόχου Βάσει όλων αυτών, συμπεραίνουμε ότι η έξοδος παρακολουθείται και οι διαταραχές απορρίπτονται όταν F ( jω ) o ( 4) cl που σημαίνει ότι, η ζώνη διέλευσης συχνοτήτων του συστήματος κλειστού βρόχου πρέπει να είναι άπειρη και ότι το διάγραμμα πλάτους δεν πρέπει να παρουσιάζει μέγιστο συντονισμού. Στο σημείο αυτό πρέπει να διευκρινιστεί ότι η απόκριση εξόδου του συστήματος κλειστού βρόχου παρουσία όλων των εισόδων (είσοδος αναφορά, διαταραχές εισόδου εξόδου) δίνεται απ την σχέση: y( ) = F ( ) [ r( ) + d ( ) - k d ( ) ] + S ( ) d ( ) ( 5) cl i h n o o Σύμφωνα μ αυτήν, αν ισχύει η ( 4) ενισχύονται οι θόρυβοι. Δηλαδή, η παρακολούθηση της εισόδου προκαλεί την ενίσχυση των θορύβων που είναι σήματα σχετικά υψηλής συχνότητας. Άρα το μέτρο της συνάρτησης μεταφοράς πρέπει να φθίνει με την αύξηση της συχνότητας. Αυτό όμως με τη σειρά του προκαλεί ενίσχυση των διαταραχών, που είναι σήματα χαμηλής συχνότητας. Επομένως το πρόβλημα του αυτομάτου ελέγχου είναι ένα πρόβλημα διαχείρισης του συχνοτικού περιεχομένου των θορύβων και των διαταραχών, ώστε να παρακολουθείται η είσοδος και να απορρίπτονται οι διαταραχές, χωρίς να ενισχύονται οι θόρυβοι. Αυτός είναι ο λόγος, που στον αυτόματο έλεγχο οι μέθοδοι ανάλυσης και σχεδίασης του πεδίου της συχνότητας υπερτερούν των αντίστοιχων μεθόδων του πεδίου του χρόνου και γι αυτό ο αυτόματος έλεγχος είναι ένα πρόβλημα του πεδίου της συχνότητας.. Μαθηματική Ανάλυση της μεθόδου Για την εξαγωγή των παραμέτρων του βέλτιστου ελεγκτή θα θεωρήσουμε ότι η συνάρτηση κλειστού βρόχου του συστήματος ελέγχου που δίνεται στο Σχ. περιγράφεται από την παρακάτω σχέση F m 5 4 3 N ( ) bm +... + b5 + b4 + b3 + b + b + b D( ) n 5 4 3 a +... + a + a + a + a + a+ a = = n 5 4 3 (. ) 4

Κεφάλαιο F cl 7 6 5 4 3 N( )... + b 7 + b 6 + b 5 + b 4 + b 3 + b + b + b D( ) 8 7 6 5 4 3... a a a a a a a a a = + + + + + + + + + (. ) 8 7 6 5 4 3 Αντικαθιστώντας με = j ω στην παραπάνω σχέση προκύπτει ότι: 7 6 5 4 3... + b7( jω) + b6( jω) + b5( jω) + b4( jω) + b3( jω) + b( jω) + b( jω) + b 8 7 6 5 4 3 8 ω 7 ω 6 ω 5 ω 4 ω 3 ω ω ω Fcl( jω)... + a ( j ) + a ( j ) + a ( j ) + a ( j ) + a ( j ) + a ( j ) + a ( j ) + a ( j ) + a (. 3) Όπως αναφέραμε στην προηγούμενη παράγραφο, η μέθοδος του βέλτιστου πλάτους απαιτεί το πλάτος της συνάρτησης μεταφοράς κλειστού βρόχου να είναι ίσο με τη μονάδα σε όσο το δυνατό ευρύτερη περιοχή συχνοτήτων, δηλαδή: Fj ( ω) (. 4) F( jω) = N ( j ω) Dj ( ω) (. 5) F( jω) ( ω) = N j Dj ( ω) (. 6) Κατόπιν αναλύεται το πολυώνυμο του παρονομαστή και προκύπτει ότι: 8 7 6 5 4 3 8 7 6 5 4 3 D( jω)... + a ω - ja ω -a ω + ja ω + a ω - ja ω -a ω + ja ω + a (. 7) 8 6 4 6 4 [ + + ] + [ + + ] Dj ( ω) aω -aω aω -aω a jω -aω aω -aω a (. 8) 8 6 4 7 5 3 Τελικά μετά από πράξεις : [ ] [ ] 6 4 8 7 8 6 6 4 8 5 7 Dj ( ω) aω + a - aa ω + a + aa - aa ω + [ a a a - a a - a a ] ω [ a a a a a - a a - a a ] 8 5 3 7 8 6 4 8 6 4 7 3 5 ω + + + + + [ - - ] [ - ] [ - ] 6 4 5+ 3 6 4 ω + + 4 3 ω + ω + aa a aa aa a aa aa a aa a (. 9) Όμοια και για το πολυώνυμο του αριθμητή προκύπτει ότι: [ ] [ ] [ ] 4 8 7 6 5 7 5 3 7 6 4 6 4 7 3 5 N( jω) b ω + b -b b ω + b + b b -b b ω + b b + b -bb -b b ω + [ - - ] [ - ] [ - ] 6 4 5+ 3 6 4 ω + + 4 3 ω + ω + bb b bb bb b bb bb b bb b (. ) Αντικαθιστώντας στην (. 6) τις (. 9) και (. ) προκύπτει ότι: F( jω) = N( jω) Dj ( ω) 4... + [ bb 4 + b -bb 3 ] ω + [ b -bb ] ω + b [ ] [ ] [ ] 6 4... + a3 + a5a - a4a ω + a4a + a - αα3 ω + a - aa ω + a (. ) Τελικά από την εξίσωση των ομοβάθμιων όρων ως προς ω προκύπτει η απλή μορφή των εξισώσεων βελτιστοποίησης. 5

Κεφάλαιο a = b (. ) - = - a a a b bb (. 3) - 3 + 4 = - 3 + 4 a a a a a b b b b b (. 4) 3 + 5-6 - 4 = 3 + 5-6 - 4 a a a a a a a b bb b b b b (. 5) 4 8 6-7 - 3 5 4 8 6-7 - 3 5 a + aa + aa aa aa = b + bb + bb bb bb (. 6) 5 3 7-8 - 6 4 5 3 7-8 -6 4 a + a a a a a a = b + b b b b b b (. 7) 6 + 4 8-5 7 = 6-5 7 a a a a a b b b (. 8) 7 8 6 7 a a a = b (. 9) από όπου προσδιορίζονται κάθε φορά τα κέρδη του ελεγκτή. Για τον προσδιορισμό των αγνώστων παραμέτρων του ελεγκτή χρησιμοποιούμε κάθε φορά ισάριθμες εξισώσεις.. Εφαρμογή της μεθόδου για τον έλεγχο φυσικών συστημάτων με πραγματικούς πόλους και χρονική καθυστέρηση Ακολουθεί ανάλυση για τον έλεγχο φυσικού συστήματος με την μέθοδο του βέλτιστου πλάτους. Για τον σκοπό αυτό θα επιλέξουμε φυσικό σύστημα αποτελούμενο από 4 μηδενικά, 5 πόλους και χρονική καθυστέρηση, που καλύπτουν το σύνολο σχεδόν των συστημάτων που συναντούμε στην βιβλιογραφία, ώστε η ανάλυση να είναι από τη μια πλευρά, μαθηματικά εύκολα προσεγγίσιμη και απ την άλλη όσο πιο γενική γίνεται. Το φυσικό σύστημα έτσι περιγράφεται απ την (. ) ( + T )( + T )( + T )( + T ) ( + T )( + T )( + T )( + T )( + T ) z z z3 z4 -T d G ( ) k e = 3 4 5 (. ) όπου ο μικρότερος πόλος θα παίζει τον ρόλο της άδηλης δυναμικής κάθε φορά. Ο ελεγκτής που επιλέγουμε είναι ένας PID (ολοκληρωτικός αναλογικός διαφορικός), καθώς οι PI (ολοκληρωτικός αναλογικός) και I (ολοκληρωτικός) προκύπτουν απ τον πρώτο, θέτοντας y = και y = x = αντίστοιχα. Έτσι θα έχουμε, όπου G c X = T + T Y + X + Y = T ( + T ) n = T T n v i v c (. ) (. 3) και η T c αφορά στην άδηλη δυναμική του ελεγκτή, την οποία από δω και πέρα θα τη συμβολίζουμε με T 6. Ο ελεγκτής PID έχει τέτοια μορφή στον αριθμητή, ώστε αν προκύψουν τα Tn, T v μιγαδικά να μην υπάρχει πρόβλημα. Η συνάρτηση μεταφοράς ευθείας διαδρομής θα είναι τότε, ( + Tz)( + Tz)( + Tz3)( + Tz4)( + X + Y ) F ( ) = G ( ) G ( ) = k T + T + T + T + T + T + T e FP c T 3 4 5 d i 6 (. 4) 6

Κεφάλαιο Αν την χρονική καθυστέρηση την αναλύσουμε σε σειρά Mac Laurin θα έχουμε, 3 4 T d Td 3Td 4Td d e = + T + + + +... (. 5) 6 4 Κρατώντας τους 3 πρώτους όρους θα είναι : T T d + d + d e T (. 6) και κανονικοποιώντας ως προς T δηλαδή η (. 5) γίνεται όπου F ( ) = k FP ' t d td + ' d + ' ' = T (. 7) e t (. 8) T td = d T. Κανονικοποιώντας επίσης την (. 4) θα πάρουμε: Tz Tz Tz3 Tz4 X Y + + + + + + T T T T T T T T T T T T5 T6 td ' t d T T T T T + + + + T T i 3 4 + + + + Αν για λόγους απλότητας γράψουμε = και κάνουμε τις αντικαταστάσεις, Tzi tzi =, i =,,3,4 T Tj tj =, j =,,3,4,5,6 T Ti X Y ti =, x =, y = T T T td n = td, n = η (. 9) θα γίνει τελικά: F FP = k t + t + t + t + t + t + t + n + n (. 9) (. ) ( + tz)( + tz)( + tz3)( + tz4)( + x + y ) i 3 4 5 6 (. ) Κάνοντας τους πολλαπλασιασμούς στον αριθμητή και στον παρανομαστή της (. ), θα προκύψουν γινόμενα που τ αντικαθιστούμε από τις παρακάτω συντομεύσεις: 4 4 q = tzi, q = ( tzitzj ), i= i j= 4 4 q3 = ( tzitzjtzk ), q4 = tzi, i j k= i= (. ) για τον αριθμητή και 7

Κεφάλαιο 6 6 = ti, = ( tit ), j i= i j= 6 6 3 = ( titjtk ), 4 = ( titjtktl ), i j k= i j k l= 6 6 5 = ( titjtktltm ), 6 = ti i j k l m= i= για τον παρανομαστή. (. 3) Η συνάρτηση μεταφοράς ευθείας διαδρομής τότε θα γίνει, 3 4 ( + q + q + q 3 + q 4 )( + x+ y) 3 4 5 6 3 4 5 6 F FP = k t + + + + + + + n + n i (. 4) Κάνοντας τις πράξεις και τις αντικαταστάσεις, w = n +, w = n + n +, w3 = n + n + 3, w4 = n + n3 + 4, w5 = n3 + n4 + 5, w6 = n4 + n5 + 6, w7 = n5 + n6, w8 = n 6 (. 5) θα πάρουμε την τελική έκφραση της F FP : F ( ) k FP = 6 5 4 3 qy 4 + ( qy 3 + qx 4 ) + ( qy + qx 3 + q4) + ( qy + qx + q3) + ( y+ qx + q) + ( x+ q) + 8 7 6 5 4 3 t w + w + w + w + w + w + w + w + i 8 7 6 5 4 3 (. 6) Από την θεωρία αυτομάτου ελέγχου, η συνάρτηση μεταφοράς κλειστού βρόχου σε ένα σύστημα ελέγχου με ανάδραση δίνεται από τον τύπο: F cl = F FP kf ( (. 7) + ) h FP Αν αντικαταστήσουμε στην (. 6) την (. 5) θα λάβουμε την συνάρτηση κλειστού βρόχου στην παρακάτω μορφή: F cl 6 5 4 3 b 6 + b 5 + b 4 + b 3 + b + b + b 9 8 7 6 5 4 3 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + + + = a a a a a a a a a a (. 8) όπου οι παραπάνω συντελεστές προκύπτουν από τους εκτελούμενους πολλαπλασιασμούς και δίνονται στην επόμενη σελίδα. 8

Κεφάλαιο b6 = kq4y b5 = k( q3y + q4x) b4 = k( qy + q3x + q4) b3 = k( qy + qx + q3) b = k( y + qx + q) b = k ( + ) x q b = k a9 = w8ti a8 = w7ti a7 = w6ti a6 = w5ti a5 = wt 4 i + kkqy h 3 a4 = w3ti + khk( qy + q3x) a3 = wti + khk( qy + qx + q3) a = wti + khk( y + qx + q) a = ti + khk( x + q) a = k hk (. 9) Στην συνέχεια, για τον προσδιορισμό των κερδών του ελεγκτή, θα γίνει εφαρμογή των συνθηκών βελτιστοποίησης: η Συνθήκη Βελτιστοποίησης: a = b k = (. ) h η Συνθήκη Βελτιστοποίησης: a b = ( aa bb) t = k ( w q x ) (. ) i a b + ( a4a b4b) = ( a3a b3b) + + = + + + + 3 3 3η Συνθήκη Βελτιστοποίησης: xw [ ( q w) w q ] yw [ q ] w( w wq w q ) wq q w (. ) 3 5 6 4 3 5 6 4 4η Συνθήκη Βελτιστοποίησης: a + ( a a a a a a ) = b + ( bb b b b b ) [ ] [ ] x w w + w w w q w q + y q w w q = 4 3 3 3 3 3 4 4 5 3 3 3 w w + w q ww + wq + w + w w wwq + wq (. 3) Από την (. ) προσδιορίζεται το k h, ενώ τα ti, x, y θα προκύψουν από τις (. ), (. ) και (. 3). Οι εν λόγω εξισώσεις μπορούν να ξαναγραφούν όπως παρακάτω: xa + yb + t C = E xa + yb + t C = E xa + yb + t C = E i i 3 3 i 3 3 (. 4) όπου οι συντελεστές των αγνώστων, δίνονται από την (. 5). 9

Κεφάλαιο A = w( q - w) + w -q A = w -w4 + ww3 -w3q - wq3 A3 = k B = w - q B = q3 -w3 -wq B3 = C = C = C3 = E = w(-w + wq + w + q) - wq + q3 - w3 E = -w w + w q - w w + w q + w + w w - w w q + w q E3 = k ( w q) 4 4 5 3 3 3 (. 5) Τα κέρδη του ελεγκτή PID μπορούν να προσδιοριστούν από το 3x3 γραμμικό σύστημα που ακολουθεί στην επόμενη σελίδα: C x E Α Β C y E Α Β = 3 3 C3 t i E Α Β 3 (. 6) Πολλαπλασιάζοντας από αριστερά με τον αντίστροφο του 3x3 προκύπτει ότι - C E x Α Β y = Α Β C E t i 3 3 C 3 E Α Β 3 - Α Β C Dx x = C Α Β E or x = D 3 3 C Α Β 3 - Α Β C Dy y = C Α Β E or y = D 3 3 C Α Β 3 - Α Β C Dt i ti = C Α Β E3 or ti = D 3 3 C Α Β 3 (. 7) (. 8) όπου

Κεφάλαιο Α Β C B C E A C E Α Β E D = Α Β C, D = B C E, D = A C E, D = Α Β E Α Β C B C E A C E A B E x y ti 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 (. 9) Μέσω αυτών των εξισώσεων θα προκύψουν τα xyt,, i και από την (. 3) τα ζητούμενα, tn, t v. οπότε στο τέλος αυτών των υπολογισμών θα έχουμε προσδιορίσει επακριβώς τα κέρδη του ελεγκτή PID ti, tn, t v. Αν θέλουμε να πάρουμε τα κέρδη του ελεγκτή PI ή I, δεν έχουμε παρά να θέσουμε στις παραπάνω εξισώσεις y = και y = x =, αντίστοιχα. Ενδιαφέρον παρουσιάζει η διερεύνηση της περίπτωσης που ο πίνακας F = Α Β Α Β Α Β C C C 3 3 3 (. 3) δεν είναι αντιστρέψιμος, δηλαδή η ορίζουσα D είναι μηδέν. Τότε σύμφωνα με τα γνωστά από την θεωρία των γραμμικών συστημάτων το σύστημα δεν έχει μοναδική λύση, δηλαδή δεν μπορεί να οριστεί ο ελεγκτής PID άρα δεν έχουμε έλεγχο. Μια τέτοια διερεύνηση, δηλαδή εύρεση πεδίου τιμών των πόλων και των μηδενικών του φυσικού συστήματος, για το οποίο δεν επιτυγχάνεται έλεγχος αν και είναι ενδιαφέρουσα, είναι έξω από τις ανάγκες της παρούσας ανάλυσης αφού είναι αρκετά δύσκολή σε απλά συστήματα, πόσο μάλιστα στο δικό μας που είναι αρκετά πολύπλοκο..3 Παραδείγματα συστημάτων με πραγματικούς πόλους και χρονική καθυστέρηση Στην προηγούμενη παράγραφο παρουσιάστηκε ο έλεγχος με χρήση PID ελεγκτή ένα γενικό φυσικό σύστημα αποτελούμενο από τέσσερα μηδενικά και πέντε πόλους. Έγινε προσπάθεια δηλαδή, τόσο ο έλεγχος όσο και το σύστημά να είναι δομημένα όσο το δυνατό πιο γενικά γίνεται. Η προηγούμενη ανάλυση παρέχει το πλεονέκτημα ότι, έχοντας γενικές εξισώσεις για τις παραμέτρους, μηδενίζοντας και τροποποιώντας στοιχεία αυτών μπορούμε να εξετάσουμε ποικιλία παραδειγμάτων. Θα ασχοληθούμε με συστήματα, μη ελάχιστης φάσης. Τα μη ελάχιστης φάσης έχουν μηδενικά στο Δεξί Μιγαδικό Ημιεπίπεδο, σε αντίθεση με τα ελάχιστης φάσης και με αποτέλεσμα να εισάγουν μια πρόσθετη καθυστέρηση φάσης, που ενισχύει την καθυστέρηση φάσης η οποία εισάγεται από τους πόλους του Αριστερού Μιγαδικού Ημιεπιπέδου. Σημείωση: Η άδηλη δυναμική όπως έχει ειπωθεί εκφράζει ποσοτικά την άγνοιά μας για το φυσικό σύστημα. Συνήθως λαμβάνεται ως ποσοστό του κύριου πόλου του φυσικού συστήματος, πχ το ένα δέκατο ή εκατοστό αυτού.για λόγους κοινής αναφοράς, σε όλα τα παραδείγματα που ακολουθούν θα την θεωρήσουμε ίση με το / του κύριου πόλου T : T T =..3. Φυσικό σύστημα με πραγματικά μηδενικά και πραγματικούς πόλους Στο σημείο αυτό θα εξετάσουμε ένα αντιπροσωπευτικό φυσικό σύστημα, που περιέχει πραγματικά μηδενικά και πραγματικούς πόλους. Θα θεωρήσουμε το φυσικό σύστημα που

Κεφάλαιο αποτελείται από μηδενικά, τέσσερις πόλους και χρονική καθυστέρηση. Είναι προφανές ότι το εν λόγω σύστημα αποτελεί υποπερίπτωση του γενικού (. ) για T T T (.3. ) z3 = z4 = 5 = Ασφαλώς όλες οι εξισώσεις της. θα ισχύουν με την προϋπόθεση ότι λαμβάνεται υπόψη η (.3. ), πράγμα που σημαίνει ότι από τις (. ) (. 6) προσδιορίζονται οι τιμές των κερδών του ελεγκτή PID. Αν πάλι αντί για έλεγχο PID, θέλουμε έλεγχο PI ή I αντίστοιχα δεν έχουμε παρά να θέσουμε y = και y = x = αντίστοιχα, στην έκφραση του ελεγκτή. Αν πάρουμε λοιπόν το φυσικό σύστημα, ( + )( +.5 ) - G = e (.3. ) ( + 4 )( + 3 )( + )( + ) θα έχουμε τις αποκρίσεις των σχημάτων (.3. ), (.3. ), (.3. 3), στις οποίες βλέπουμε ότι ο πιο γρήγορος ελεγκτής είναι ο PID, που έχει τη μικρότερη υπερύψωση και αποσβένει πιο γρήγορα τοις διαταραχές εισόδου και εξόδου επαναφέροντας την έξοδο στη μόνιμη κατάσταση ισορροπίας, απ τους PI και I αντίστοιχα. Ο αμέσως καλύτερος ελεγκτής είναι ο ελεγκτής PI. Επίσης παρατηρούμε ότι ο PID έχει μεγαλύτερο εύρος συχνοτήτων και ότι η επίδραση των διαταραχών στο σήμα ελέγχου είναι μικρότερη απ τους άλλους δυο ελεγκτές. Βάσει όλων των παραπάνω, συμπεραίνουμε ότι ο ελεγκτής PID είναι η καλύτερη επιλογή για τον έλεγχο του φυσικού συστήματος που δίνεται στην (.3. )..8.6.4..8.6.4. Control I, PI, PID Outut Signal PID PI I 3 4 5 6 7 8 9 Σχήμα.3. : Έξοδος συστήματος κλειστού βρόχου, διαταραχές εισόδου ( di( ), t = 5), διαταραχές εξόδου ( do( ), t = 9)

Κεφάλαιο 5 Control I, PI, PID Bode Magnitude PID PI I Magnitude (ab) 5 3 4 5 Frequency (rad/ec) Σχήμα.3. : Απόκριση συστήματος κλειστού βρόχου στο πεδίο της συχνότητας.5 Control I, PI, PID Control Signal PID PI I.5.5 3 4 5 6 7 8 9. Σχήμα.3. 3: Σήμα ελέγχου, διαταραχές εισόδου ( di( ), t = 5), διαταραχές εξόδου ( do( ), t = 9) 3

Κεφάλαιο.3. Φυσικό σύστημα με μιγαδικά μηδενικά και πραγματικούς πόλους πολλαπλότητας Ν Εδώ θα μελετήσουμε φυσικό σύστημα το οποίο παρουσιάζεται διεξοδικά στην [] : G τ + ζτ + = n, < ζ < ( + T ) (.3. ) όπου το ζ ονομάζεται συντελεστής απόσβεσης (daming ratio ) και ανάλογα με την τιμή του τα μιγαδικά μηδενικά πλησιάζουν (μικρό ζ) ή απομακρύνονται από τον φανταστικό άξονα (μεγάλο ζ ). Έτσι αν θεωρήσουμε τις τιμές τ =, ζ =.5, T =, n = 4 θα έχουμε το σύστημα: +. + - [ + (.5 - i) ][ + (.5 + i) ] = = 4 4 ( + ) ( + ) G ( ) e (.3. ) το οποίο θα ελέγξουμε με ελεγκτές PID, PI και I, όπως και πριν. Θέλουμε να φέρουμε όμως την (.3. ) στην παραγοντοποιημένη μορφή που εξετάζουμε μέχρι τώρα τα συστήματα: ( + Tz ) ( + Tzn ) G = (.3. 3) + T + T Ο παρανομαστής της (.3. ) είναι ήδη στην επιθυμητή μορφή, άρα θα ασχοληθούμε μόνο με τον αριθμητή. Επειδή έχουμε δυο μηδενικά, Tz & T z (δευτεροβάθμιο πολυώνυμο στον αριθμητή), αριθμητής της (.3. 3) μπορεί να γραφεί: m z z z z z z ( + T )( + T ) = ( T T ) + ( T + T ) + (.3. 4) Σκοπός μας είναι να φέρουμε την (.3. ) στην μορφή (.3. 4). Έτσι θα έχουμε: + ζ + = ( + a jb)( + a + jb) = + a + a + b = a + b + a a + b + Η (.3. 5) είναι στη μορφή της (.3. 4), άρα μπορούμε να γράψουμε: Tz + Tz = a a + b TT z z = ( a + b ) (.3. 5) (.3. 6) οπότε, απ την λύση του συστήματος θα προκύψουν τα μηδενικά της παραγοντοποιημένης μορφής: a ± jb a ± jb Tz = =, a + b a ± jb a jb a jb Tz = =, a + b a ± jb (.3. 7) Ο συντελεστής απόσβεσης ζ ορίζεται για πολυώνυμα δευτέρου βαθμού της μορφής D( ) = τ + ζτ +. Εάν ζ οι ρίζες του πολυωνύμου θα είναι συζυγείς μιγαδικές. Συντελεστές απόσβεσης μικρότεροι από.4 (αλλά μεγαλύτεροι του μηδενός) θεωρούνται μικροί, επειδή οι συναρτήσεις μεταφοράς της μορφής D ( έχουν ταλαντωτική απόκριση σε βηματική είσοδο. Ο μηδενικός συντελεστής ) απόσβεσης είναι χαρακτηριστικός σε συστήματα των οποίων η απόκριση εξόδου σε βηματική είσοδο, είναι συνεχώς ταλαντωτική (δηλ. δίχως απόσβεση του πλάτους της ταλάντωσης) 4

Κεφάλαιο Από τις αποκρίσεις που ακολουθούν παρατηρούμε ότι και πάλι ο πιο γρήγορος ελεγκτής είναι ο PID, που έχει τη μικρότερη υπερύψωση, αποσβένει πιο γρήγορα τις διαταραχές εισόδου και εξόδου, έχει μεγαλύτερο εύρος συχνοτήτων και η επίδραση των διαταραχών στο σήμα ελέγχου είναι μικρότερη απ τους άλλους δυο ελεγκτές. Βάσει όλων των παραπάνω, συμπεραίνουμε ότι ο ελεγκτής PID είναι η καλύτερη επιλογή για τον έλεγχο του φυσικού συστήματος που δίνεται στην (.3. )..8.6.4..8.6.4. Control I, PI, PID Outut Signal PID PI I 4 6 8 4 6 Σχήμα.3. : Έξοδος συστήματος κλειστού βρόχου, διαταραχές εισόδου ( di( ), t = 6), διαταραχές εξόδου ( do( ), t = ) Control I, PI, PID Bode Magnitude PID PI I Magnitude (ab) 5 3 3 4 Frequency (rad/ec) Σχήμα.3. : Απόκριση συστήματος κλειστού βρόχου στο πεδίο της συχνότητας 5

Κεφάλαιο.5 Control I, PI, PID Control Signal PID PI I.5 4 6 8 4 6 Σχήμα.3. 3: Σήμα ελέγχου, διαταραχές εισόδου ( di( ), t = 6), διαταραχές εξόδου ( do( ), t = ) Αλλάζοντας τώρα την τιμή του ζ από.5 σε.5 θα απομακρύνουμε τα μηδενικά από τον φανταστικό άξονα. Έτσι για τ =, ζ =.5, T =, n = 4 το σύστημα θα γίνει πλέον + + - [ + (.5 -.866i) ][ + (.5 +.866i) ] = = 4 4 ( + ) ( + ) G ( ) e (.3. 3) όπου βλέπουμε ότι η απόκριση παρουσιάζει βελτίωση σε σχέση με την αντίστοιχη του προηγούμενου παραδείγματος σε όλα τα χαρακτηριστικά που καθορίζουν την ποιότητα του ελέγχου..8.6.4..8.6.4. Control I, PI, PID Outut Signal PID 4 6 8 4 6 PI I Σχήμα.3. 4: Έξοδος συστήματος κλειστού βρόχου, διαταραχές εισόδου ( di( ), t = 6), διαταραχές εξόδου ( do( ), t = ) 6

Κεφάλαιο Control I, PI, PID Bode Magnitude PID PI I 5 Magnitude (ab) 5 3 3 4 Frequency (rad/ec) Σχήμα.3. 5: Απόκριση συστήματος κλειστού βρόχου στο πεδίο της συχνότητας Control I, PI, PID Control Signal.8.6 PID PI I.4..8.6.4.. 4 6 8 4 6 Σχήμα.3. 6: Σήμα ελέγχου, διαταραχές εισόδου ( di( ), t = 6), διαταραχές εξόδου ( do( ), t = ) 7

Κεφάλαιο.3.3 Φυσικό σύστημα με πραγματικά μηδενικά στο δεξί μιγαδικό ημιεπίπεδο Αν θεωρήσουμε τώρα το φυσικό σύστημα που έχει ένα μηδενικό στο δεξί ημιεπίπεδο, για παράδειγμα το G = 3 e (.3.3 ) 7 + 3 Αυτό μπορεί να γραφεί, ( + ( )) 3 ( + 3 ) G ( ) = e (.3.3 ) ώστε να το έχουμε στη γνωστή μορφή G + Tz ( T ) = + (.3.3 3) Αν όπως και στις προηγούμενες παραγράφους εφαρμόσουμε έλεγχο PID, PI και I θα δούμε ότι ο πρώτος ελέγχει πιο γρήγορα και πιο αποτελεσματικά, όσο αφορά στις διαταραχές, το σύστημα, ενώ χαρακτηριστικό των συστημάτων με μηδενικά στο ΔΗΠ είναι και η βύθιση της απόκρισης που παρατηρείται την χρονική στιγμή της εφαρμογής της εισόδου και των διαταραχών και που φαίνεται στα στιγμιότυπα των Σχ..3.3 και.3.3 3. Control I, PI, PID Outut Signal.8.6 PID PI I.4..8.6.4. 4 6 8 4 6 Σχήμα.3.3 : Έξοδος συστήματος κλειστού βρόχου, διαταραχές εισόδου ( di( ), t = 6), διαταραχές εξόδου ( do( ), t = ) 8

Κεφάλαιο Control I, PI, PID Outut Signal. PID PI I.5.5..5 4 6 8 4 6 8 3 3 Σχήμα.3.3 : Βύθιση της απόκρισης εξόδου μόλις εφαρμοστεί η βηματική είσοδος. Η ίδια βύθιση εμφανίζεται και την χρονική στιγμή t = 6 όπου έχουμε την εφαρμογή των διαταραχών εισόδου...5 Control I, PI, PID Outut Signal PID PI I.95.9.85.8 5 5 3 35 Σχήμα.3.3 3: Υπερύψωση της απόκρισης εξόδου μόλις εφαρμοστούν στο σύστημα οι διαταραχές εξόδου. 9

Κεφάλαιο 5 Control I, PI, PID Bode Magnitude PID PI I Magnitude (ab) 5 3 3 4 Frequency (rad/ec) Σχήμα.3.3 4: Απόκριση συστήματος κλειστού βρόχου στο πεδίο της συχνότητας.5 Control I, PI, PID Control Signal PID PI I.5.5.5 4 6 8 4 6 Σχήμα.3.3 5: Σήμα ελέγχου, διαταραχές εισόδου ( di( ), t = 6), διαταραχές εξόδου ( do( ), t = ) Αν τώρα προσθέσω άλλο ένα μιγαδικό μηδενικό στο ΔΗΠ, δηλαδή πάρω το σύστημα, G ( ) = e 7 ( ) ( + ) 3 3 (.3.3 4)

Κεφάλαιο θα είναι όπως και προηγουμένως:.5 Control I, PI, PID Outut Signal PID PI I.5.5 4 6 8 4 6 Σχήμα.3.3 6: Έξοδος συστήματος κλειστού βρόχου, διαταραχές εισόδου ( di( ), t = 6), διαταραχές εξόδου ( do( ), t = ) Control I, PI, PID Outut Signal..5 PID PI I..5.5. 8 4 6 8 4 Σχήμα.3.3 7: Βύθιση της απόκρισης εξόδου μόλις εφαρμοστεί η βηματική είσοδος. Επαναλαμβάνεται κατά την εφαρμογή των διαταραχών εισόδου.

Κεφάλαιο Control I, PI, PID Outut Signal.5. PID PI I.5.95.9.85.8 5 5 3 35 Σχήμα.3.3 8: Υπερύψωση της απόκρισης εξόδου μόλις εφαρμοστούν στο σύστημα οι διαταραχές εξόδου. Control I, PI, PID Bode Magnitude PID PI I 5 Magnitude (ab) 5 3 3 4 Frequency (rad/ec) Σχήμα.3.3 9: Απόκριση συστήματος κλειστού βρόχου στο πεδίο της συχνότητας

Κεφάλαιο.5 Control I, PI, PID Control Signal PID PI I.5.5.5 4 6 8 4 6 Σχήμα.3.3 : Σήμα ελέγχου, διαταραχές εισόδου ( di( ), t = 6), διαταραχές εξόδου ( do( ), t = ) Από τις αποκρίσεις φαίνεται ότι η προσθήκη ενός επιπλέον μηδενικού δεξιού επιπέδου, έχει ως αποτέλεσμα την αύξηση της υπερύψωσης και της βύθισης του συστήματος, κάτι που είναι λογικό καθώς με την προσθήκη του μηδενικού ΔΗΠ ενισχύεται η επίδραση των χαρακτηριστικών της μη ελάχιστης φάσης στο σύστημα..4 Μελέτη της μεταβολής του αναλογικού κέρδους του φυσικού συστήματος στην ποιότητα του ελέγχου Το φυσικό σύστημα με το οποίο ασχολούμαστε σε όλη αυτήν την ανάλυση, δίνεται από την (. ) και είναι το ( + T )( + T )( + T )( + T ) ( + T )( + T )( + T )( + T )( + T ) z z z3 z4 -Td G ( ) k e = 3 4 5 (.4 ) Στην παράγραφο αυτή μελετούμε την επίδραση των μεταβολών του αναλογικού κέρδους στον έλεγχο αυτού του συστήματος. Δηλαδή τι επιπτώσεις θα υπάρξουν στην έξοδο του συστήματος κλειστού βρόχου, αν αρχικά ελεγχθεί το σύστημα (που έχει αναλογικό κέρδος k με έναν ελεγκτή G c και κατόπιν (διατηρώντας τον ίδιο ελεγκτή) μεταβληθεί το k του φυσικού συστήματος σε k. Για αυτήν την διερεύνηση θα πρέπει να ορίσουμε ένα συγκεκριμένο φυσικό σύστημα και έστω το ( + )( + ) G = k e (.4 ) ( + 4 )( + 3 )( + )( + ) + T - Χρειαζόμαστε όμως μια παράμετρο με την οποία μπορούμε να μεταβάλλουμε κατά βούληση το αναλογικό κέρδος ανά πάσα στιγμή. Το k μπορεί να γραφεί k( + x ) (θεωρώντας γραμμική μεταβολή) ώστε μεταβάλλοντας το x να παίρνουμε ποσοστά μεταβολής του. Έτσι για k 3

Κεφάλαιο x =.3,.5, -.3, -.5 αυξάνουμε το k κατά 3%, και 5% και το μειώνουμε αντίστοιχα κατά τα ίδια ποσοστά. Το παραπάνω φυσικό σύστημα γι αυτήν την διερεύνηση γράφεται, ( + )( + ) G = k( + x) e (.4 3) ( + 4 )( + 3 )( + )( + ) + T - Η συγκριτική γραφική παράσταση της απόκρισης εξόδου του συστήματος κλειστού βρόχου λόγω των παραπάνω μεταβολών του κέρδους του αναλογικού ελεγκτή φαίνεται στο σχήμα.4, όπου γίνεται εμφανές ότι δεν έχουμε σφάλμα μόνιμης κατάστασης ισορροπίας (teady tate error) και ότι αύξηση του k οδηγεί σε πιο γρήγορο έλεγχο και μεγαλύτερο εύρος ζώνης συχνοτήτων αλλά ταυτόχρονα αυξάνει την υπερύψωση. Τα αντίθετα ακριβώς αποτελέσματα έχει η μείωση του αναλογικού κέρδους. Άρα είναι θέμα μηχανικού να βρει τη χρυσή τομή μεταξύ γρήγορου ελέγχου και χαμηλής υπερύψωσης. Μένει τώρα να δούμε γιατί δεν έχουμε teady tate error. Για λόγους απλότητας, το παραπάνω θ αποδειχθεί για ένα σύστημα πιο απλό από αυτό που εξετάζουμε και για ελεγκτή Ι. Το συμπέρασμα γενικεύεται για πιο πολύπλοκα συστήματα και που μπορεί να ελέγχονται με ελεγκτές PI και PID. Έστω λοιπόν το φυσικό σύστημα που ακολουθεί, G = k ( + T )( + T ) (.4 4) που το ελέγχουμε με τον ελεγκτή I : G c = T ( + T ) i c (.4 5) τα κέρδη του οποίου προσδιορίζονται μέσω των συνθηκών βελτιστοποίησης, με το ολοκληρωτικό κέρδος να δίνεται απ την (. ): t k ( T T T ) = + + (.4 6) i c Κατόπιν κρατάμε τον ίδιο ελεγκτή και μεταβάλλουμε το αναλογικό κέρδος, από k σε k = k ( + χ). Μένει να δούμε τι θα συμβεί στην συνάρτηση μεταφοράς κλειστού βρόχου του συστήματος. Είναι: k ( + χ) G = (.4 7) ( + T )( + T ) και G c = T ( + T ) Τότε, FP c i c (.4 8) F = G G (.4 9) F FP k ( + χ) = t ( + t )( + t )( + t ) i c (.4 ) Αν σε αυτήν αντικαταστήσουμε το t i από την (.4 7) θα έχουμε τελικά, F FP = k ( + χ) k t + t + t ( + t )( + t )( + t ) c c (.4 ) και βάσει των = t + t + t, = t t + t t + t t, = t t t (.4 ) c c c 3 c 4

Κεφάλαιο θα πάρουμε : F FP = ( + χ) 4 3 [ + + + ] k k 3 (.4 3) όπου αν απλοποιήσουμε τα k θα προκύψει: FFP = ( + χ) 4 3 + + + [ ] 3 (.4 4) F FP Όμως F cl = kf ( (.4 5) + ) h FP δηλαδή F cl = ( + χ) 4 3 + + + + k + χ [ ] 3 h (.4 6) Αλλά στο αρχικό φυσικό σύστημα, πριν την μεταβολή του κέρδους έχουμε προσδιορίσει μέσω των συνθηκών βελτιστοποίησης την βαθμίδα ανάδρασης ίση με τη μονάδα, δηλαδή k h = (.4 7) Τότε η (.4 6) θα γίνει: Fcl = ( + χ) 4 3 + + + + + χ [ ] 3 (.4 8) Στην τελική μορφή της συνάρτησης μεταφοράς κλειστού βρόχου παρατηρούμε ότι οι σταθεροί όροι του αριθμητή και του παρανομαστή είναι ίσοι, γεγονός που σημαίνει ότι δεν έχουμε σφάλμα μόνιμης κατάστασης ισορροπίας. Οι διαφορά στις αποκρίσεις που ακολουθούν οφείλεται στις μεταβολές του χ που αυξάνουν ή μειώνουν την υπερύψωση της απόκρισης. Control I: Control I Outut Signal.5.5 x= x=.3 x=.5 x=.3 x=.5 4 6 8 Σχήμα.4 : Έξοδος συστήματος κλειστού βρόχου, διαταραχές εισόδου ( di(), t = 5), διαταραχές εξόδου ( do( ), t = 9) 5

Κεφάλαιο 5 Control I Bode Magnitude x= x=.3 x=.5 x=-.3 x=-.5 Magnitude (ab) -5 - -5-3 - - 3 4 Frequency (rad/ec) Σχήμα.4 : Απόκριση συστήματος κλειστού βρόχου στο πεδίο της συχνότητας Control I Control Signal 3.5 x= x=.3 x=.5 x=.3 x=.5.5.5 4 6 8 Σχήμα.4 3: Σήμα ελέγχου, διαταραχές εισόδου ( di(), t = 5), διαταραχές εξόδου ( do( ), t = 9) Στο παραπάνω σχήμα βλέπουμε ότι η ευαισθησία εξόδου παρουσιάζει σφάλμα μόνιμης κατάστασης ισορροπίας. Αυτό γιατί στην S ( ) = K K [ F ( ) ] G ( ) (.4 9) u h cl c οι σταθεροί όροι του αριθμητή και του παρανομαστή δεν είναι ίσοι. 6

Κεφάλαιο Control PI: Control PI Outut Signal.8.6.4..8.6.4. x= x=.3 x=.5 x=.3 x=.5 5 5 3 35 4 45 5 55 Σχήμα.4 4: Έξοδος συστήματος κλειστού βρόχου, διαταραχές εισόδου ( di( ), t = 5), διαταραχές εξόδου ( do( ), t = 4) Control PI Bode Magnitude x= x=.3 x=.5 x=.3 x=.5 Magnitude (ab) 5 3 4 5 Frequency (rad/ec) Σχήμα.4 5: Απόκριση συστήματος κλειστού βρόχου στο πεδίο της συχνότητας 7

Κεφάλαιο 3.5 Control PI Control Signal x= x=.3 x=.5 x=.3 x=.5.5.5.5 5 5 3 35 4 45 5 55 Σχήμα.4 6: Σήμα ελέγχου, διαταραχές εισόδου ( di( ), t = 5), διαταραχές εξόδου ( do( ), t = 4) Control PID: Control PID Outut Signal.8.6.4..8.6.4. x= x=.3 x=.5 x=.3 x=.5 5 5 3 35 4 Σχήμα.4 7: Έξοδος συστήματος κλειστού βρόχου, διαταραχές εισόδου ( di( ), t = ), διαταραχές εξόδου ( do( ), t = 3) 8

Κεφάλαιο Control PID Bode Magnitude x= x=.3 x=.5 x=.3 x=.5 Magnitude (ab) 4 6 8 3 4 5 Frequency (rad/ec) Σχήμα.4 8: Απόκριση συστήματος κλειστού βρόχου στο πεδίο της συχνότητας 3 Control PID Control Signal.5.5.5.5 x= x=.3 x=.5 x=.3 x=.5 5 5 3 35 Σχήμα.4 9 Σήμα ελέγχου, διαταραχές εισόδου ( di( ), t = ), διαταραχές εξόδου ( do( ), t = 3) Σε αυτό το σημείο θα πρέπει να γίνει η επισήμανση ότι, η αυξομείωση του αναλογικού κέρδους που επιχειρήθηκε είναι αρκετά μεγάλη, σχεδόν οριακή, αλλά έγινε ακριβώς για λόγους μελέτης της συμπεριφορά του συστήματος σε αυτές τις συνθήκες. Παρατηρούμε ότι οι μορφές των αποκρίσεων και για τους τρεις ελέγχους είναι στην ίδια λογική που περιγράψαμε στην αρχή του κεφαλαίου, δηλαδή με την αύξηση του κέρδους έχουμε αύξηση της υπερύψωσης και μείωση του χρόνου ανόδου και απόσβεσης των διαταραχών. Επίσης παρατηρούμε ότι προχωρώντας από τον 9

Κεφάλαιο έλεγχο I στον PI και μετά στον PID το σύστημα αποκρίνεται όλο και πιο γρήγορα και γι αυτό το λόγο οι χρονικές στιγμές της επίδρασης των διαταραχών διαφέρουν από έλεγχο σε έλεγχο..5 Έλεγχος με απευθείας αντιστάθμιση Με τον όρο αντιστάθμιση εννοούμε την απαλοιφή πόλου από μηδενικό και αντιστρόφως. Η αντιστάθμιση είναι μια διαδικασία, που χρησιμοποιείται ευρύτατα στη σχεδίαση συστημάτων ελέγχου χωρίς όμως να μπορεί να επιτευχθεί ποτέ στην πραγματικότητα. Θα μελετηθούν οι ελεγκτές PI και PID και όχι ο Ι, καθώς δεν μπορεί να αντισταθμίσει τον κύριο πόλο του φυσικού συστήματος, αφού δεν περιέχει μηδενικό στη συνάρτηση μεταφοράς του. Στον έλεγχο PI θα χρησιμοποιήσουμε ένα σύστημα με πόλους και άδηλη δυναμική και θα εξεταστούν δυο περιπτώσεις: Στην πρώτη θα υπάρχει ένας κύριος πόλος, ενώ στην δεύτερη ένας πόλος πολλαπλότητας δύο. Αντίστοιχα, στον έλεγχο PID το σύστημα αποτελείται από τρεις πόλους και άδηλη δυναμική. Θα εξεταστούν οι περιπτώσεις, ενός κύριου πόλου, κύριων αλλά ίσων και ενός πόλου πολλαπλότητας τρία. Σε κάθε σύστημα εφαρμόζεται χρονική καθυστέρηση, ενώ η άδηλη δυναμική θα θεωρείται κάθε φορά ίση με το του κύριου πόλου. Ελεγκτής PI: Έστω το φυσικό σύστημα με πόλους και χρονική καθυστέρηση το οποίο και θα ελέγξουμε με ελεγκτή PI. G k = (.5 ) ( + T )( + T )( + T ) Θα εξετάσουμε δυο περιπτώσεις και θα πάρουμε τις αποκρίσεις που φαίνονται στα σχήματα: η περίπτωση: Ο T ως κύριος πόλος. G = ( + )( + )( +. ) (.5 ) PI control Outut Signal.8.6.4..8.6.4. Otimal Comenated 5 5 3 35 Σχήμα.5 : Έξοδος συστήματος κλειστού βρόχου, διαταραχές εισόδου ( di( ), t = ), διαταραχές εξόδου ( do( ), t = 3) 3

Κεφάλαιο PI control Bode Magnitude Otimal Comenated 4 Magnitude (ab) 6 8 3 4 5 Frequency (rad/ec) Σχήμα.5 : Απόκριση συστήματος κλειστού βρόχου στο πεδίο της συχνότητας 3.5 PI control Control Signal Otimal Comenated.5.5.5.5 5 5 3 35 Σχήμα.5 3: Σήμα ελέγχου, διαταραχές εισόδου ( di( ), t = ), διαταραχές εξόδου ( do( ), t = 3) Παρατηρούμε ότι το μηδενικό του ελεγκτή αντισταθμίζει πλήρως τον κύριο πόλο και γι αυτό το λόγο οι δυο αποκρίσεις διαφέρουν ελάχιστα. Μειώνοντας την τιμή του κύριου πόλου, όχι όμως τόσο που να πάψει να είναι κύριος, το σύστημα παρουσιάζει αργοπορία, μεγαλύτερη υπερύψωση και καθυστέρηση στην απόσβεση των διαταραχών εισόδου και καθυστέρηση στην απόσβεση των διαταραχών εξόδου καθώς και μείωση του εύρους ζώνης συχνοτήτων, σε σχέση με το αρχικό σύστημα. 3

Κεφάλαιο η περίπτωση: T = T G = ( + ) ( +. ) (.5 3) PI control Outut Signal.8.6.4..8.6.4. Otimal Comenated 5 5 3 35 4 45 5 55 6 Σχήμα.5 4: Έξοδος συστήματος κλειστού βρόχου, διαταραχές εισόδου ( di( ), t = 5), διαταραχές εξόδου ( do( ), t = 45) PI control Bode Magnitude Otimal Comenated 5 Magnitude (ab) 5 4 6 Frequency (rad/ec) Σχήμα.5 5: Απόκριση συστήματος κλειστού βρόχου στο πεδίο της συχνότητας 3

Κεφάλαιο.5 PI control Control Signal Otimal Comenated.5.5 5 5 3 35 4 45 5 55 6 Σχήμα.5 6: Σήμα ελέγχου, διαταραχές εισόδου ( di( ), t = 5), διαταραχές εξόδου ( do( ), t = 45) Σ αυτές τις αποκρίσεις φαίνεται καθαρά ότι όταν έχουμε δυο κύριους πόλους, δηλαδή πόλους με τιμές που βρίσκονται πολύ κοντά, ο ελεγκτής PI επειδή έχει ένα μηδενικό, καταφέρνει ν αντισταθμίσει μόνο τον ένα κύριο πόλο. Γι αυτό ακριβώς το λόγο οι γραφικές παραστάσεις του ακριβούς και του αντισταθμισμένου διαφέρουν τόσο σε αντίθεση με το προηγούμενο παράδειγμα που ταυτίζονταν σχεδόν πλήρως. Αν αυξήσουμε την τιμή του διπλού κύριου πόλου το σύστημα έχει γρηγορότερο χρόνο ανόδου, μικρότερη υπερύψωση και γρηγορότερη απόσβεση των διαταραχών εισόδου εξόδου καθώς και αύξηση του εύρους ζώνης συχνοτήτων, σε σχέση με το αρχικό σύστημα. Επίσης αν οι κύριοι πόλοι δεν είναι ίσοι αλλά διαφέρουν, για παράδειγμα T = 4 και T =, οι αποκρίσεις τείνουν να ταυτιστούν διότι το μηδενικό του ελεγκτή θα αντισταθμίσει το μεγαλύτερο πόλο, οπότε έχουμε την η περίπτωση. Ελεγκτής PID: Έστω το φυσικό σύστημα με 3 πόλους και χρονική καθυστέρηση το οποίο και θα ελέγξουμε με ελεγκτή PID. G k = (.5 4) ( + T )( + T )( + T )( + T ) 3 Εδώ θα εξετάσουμε τρεις περιπτώσεις και θα πάρουμε τις αποκρίσεις που φαίνονται στα παρακάτω σχήματα : η περίπτωση: Ο T ως κύριος πόλος. G = (.5 5) ( + )( + )( +.5 )( +. ) 33

Κεφάλαιο PID control Outut Signal.8.6.4..8.6.4. Otimal Comenated 4 6 8 4 6 8 3 Σχήμα.5 7: Έξοδος συστήματος κλειστού βρόχου, διαταραχές εισόδου ( d (), t = 5), διαταραχές εξόδου ( d (), t = 5) i o PID control Bode Magnitude Otimal Comenated 4 Magnitude (ab) 6 8 3 4 5 Frequency (rad/ec) Σχήμα.5 8: Απόκριση συστήματος κλειστού βρόχου στο πεδίο της συχνότητας 34

Κεφάλαιο.5 PID control Control Signal Otimal Comenated.5.5.5 4 6 8 4 6 8 Σχήμα.5 9: Σήμα ελέγχου, διαταραχές εισόδου ( di(), t = 5), διαταραχές εξόδου ( d (), t = 5) o Ο ελεγκτής PID έχει δυο μηδενικά. Το ένα εξ αυτών αντισταθμίζει τον κύριο πόλο και το άλλο τον αμέσως μικρότερο. Έτσι στην έξοδο θα απομείνει μόνο ο μικρότερος πόλος και η άδηλη δυναμική. Αυτός είναι ο λόγος που οι αποκρίσεις διαφέρουν ελάχιστα αν αναλογιστούμε και την κλίμακα που χρησιμοποιούμε. Τα συμπεράσματα, στην περίπτωση της μείωσης του κύριου πόλου, είναι τα ίδια με αυτά της περίπτωσης του ελεγκτή PI. η περίπτωση: Οι T, T ως κύριοι πόλοι με T = T G = ( + )( + )( +.5 )( +. ) (.5 6) PID control Outut Signal.8.6.4..8.6.4. Otimal Comenated 5 5 Σχήμα.5 : Έξοδος συστήματος κλειστού βρόχου, διαταραχές εισόδου ( d (), t = 5), διαταραχές εξόδου ( d (), t = 3) i o 35

Κεφάλαιο PID control Bode Magnitude Otimal Comenated 4 Magnitude (ab) 6 8 3 4 5 6 Frequency (rad/ec) Σχήμα.5 : Απόκριση συστήματος κλειστού βρόχου στο πεδίο της συχνότητας.5 PID control Control Signal.5.5.5 Otimal Comenated 5 5 Σχήμα.5 : Σήμα ελέγχου, διαταραχές εισόδου ( di(), t = 5), διαταραχές εξόδου ( d (), t = 3) o Τώρα τα δυο μηδενικά του ελεγκτή PID αντισταθμίζουν τους δυο κύριους πόλους και οι αποκρίσεις ταυτίζονται σχεδόν απόλυτα. 3 η περίπτωση: T = T = T 3 G ( ) (. ) = + 3 + (.5 7) 36

Κεφάλαιο Σε αυτή τη περίπτωση ο ελεγκτής δεν καταφέρνει ν αντισταθμίσει όλους τους κύριους πόλους με αποτέλεσμα να έχουμε εμφανή διαφοροποίηση των αποκρίσεων του ακριβούς συστήματος με το αντισταθμισμένο. PID control Outut Signal.8.6.4..8.6.4. Otimal Comenated 3 4 5 6 7 Σχήμα.5 3: Έξοδος συστήματος κλειστού βρόχου, διαταραχές εισόδου ( d (), t = 5), διαταραχές εξόδου ( d (), t = 5) i o PID control Bode Magnitude Otimal Comenated 4 Magnitude (ab) 6 8 3 4 Frequency (rad/ec) Σχήμα.5 4: Απόκριση συστήματος κλειστού βρόχου στο πεδίο της συχνότητας 37

Κεφάλαιο.5 PID control Control Signal Otimal Comenated.5.5.5 3 4 5 6 7 Σχήμα.5 5: Σήμα ελέγχου, διαταραχές εισόδου ( d (), t = 5), διαταραχές εξόδου ( d (), t = 5) o i.6 Μελέτη της αντιστάθμισης.6. PI ελεγκτής Στην παρακάτω ανάλυση θα γίνει προσπάθεια διερεύνησης της μεθόδου του βέλτιστου πλάτους για το πότε γίνεται αντιστάθμιση όταν το φυσικό σύστημα έχει έναν κύριο πόλο και πότε όχι. Το φυσικό σύστημα περιγράφεται από την (.6. ) G = k ( + T )( + T ) (.6. ) G c + Tn = T ( + T ) i c (.6. ) Αντικαθιστώ με T = T και με T3 = T οπότε και η συνάρτηση ευθείας διαδρομής γίνεται c F FP k + Tn = T ( + T )( + T ) ( + T ) i 3 (.6. 3) Αν 3 = T = T + T + T (.6. 4) i 3 i= 4 = T T = T T + T T + T T (.6. 5) i j 3 3 i j= 38

Κεφάλαιο 3 3 = i = 3 i= T T T T (.6. 6) η συνάρτηση ευθείας διαδρομής γίνεται k( + Tn ) F FP = 3 T + + + i 3 κανονικοποιούμε με = T οπότε και T d =, t άρα F FP i = i k( + tn ) ( ) = 3 t ( w + w + w + ) i 3 Τελικά η συνάρτηση μεταφοράς που προκύπτει είναι ίση με (.6. 7) T T και 3 w = T, w = T, w = T 3 3 (.6. 8) F cl kt n + k ( ) = 4 3 tw + tw + tw + ( t + k k t ) + k k i 3 i i i h n h (.6. 9) Εφαρμόζοντας συνθήκες βελτιστοποίησης στην (.6. 9) προκύπτει ότι τα κέρδη του PI ελεγκτή είναι ίσα με k = (.6. ) h t = k ( w -t ) (.6. ) i n t n 3 - + 3 w - w w w w w = (.6. ) Στη συνέχεια θα γίνει διερεύνηση του κέρδους 3 μεταβλητών με (, 3) T T t = =, n f t t f T T. t n T T = n θεωρώντας τη ως συνάρτηση δυο Για να μεταβάλουμε τα ορίσματα της συνάρτησης t n θα κρατήσουμε τον πόλο T σταθερό και θα ορίσουμε ένα πεδίο τιμών για τις T, T 3 το οποίο όμως να ανταποκρίνεται στην πραγματικότητα του φυσικού συστήματος και του ελεγκτή. Υπενθυμίζεται ότι T3 = Tc και T = T. Παρακάτω θα γράψουμε την (.6. ) σε διαφορετική μορφή έτσι ώστε να φαίνεται και η μεταβολή των λόγων. t n 3 3-3 - T T + T T T T = (.6. 3) Αντικαθιστούμε στην (.6. 3) τις (.6. 4), (.6. 5), (.6. 6) 39

Κεφάλαιο t n 3 3 3 3 3 3 - T 3 T T T + + 3 + 3 + 3 T T T - TT TT T T T T + + + + + + T T T T T T T T T T T T T T T + = ή διαφορετικά t n 3 3 3 3 3 3 T T - T T T T T T T T + + + + + + + T T T T T T T T T T = 3 3 3 T T + + - T T T T + + T T T T T T (.6. 4) αντικαθιστώντας με tn = f ( x, y ) και x T T = T, 3 y = T τότε η (.6. 4) γίνεται 3 ( + x + y) - ( + x + y)( x + y + xy) + xy tn = f ( x, y) = ( + x + y) -( x + y + xy) (.6. 5) Όμοια για το ολοκληρωτικό κέρδος προκύπτει ότι t = k ( w -t ) δηλαδή i n ή t = k t i - n T + + T T T t = k t 3 i - n T T T t = k + + t 3 i - n T T (.6. 6) (.6. 7) (.6. 8) t = k ( + x + y -t ) (.6. 9) i n Οπότε και αντικαθιστώντας τελικά στην (.6. 5) έχουμε ότι 3 ( ) - ( ) + x + y + x + y x + y + xy + xy t = + + - i k x y ( + x + y) -( x + y + xy) (.6. ) Αρχικά θα θεωρήσουμε ότι x [., ] και y [., ] διακριτοποιώντας το κάθε διάστημα με T dx =. και dy =.. Τα παραπάνω πεδία τιμών σημαίνουν ότι [., ] και T T 3 [., ] ή και σε μορφή ανισώσεων T T. T (.6. ) 4

Κεφάλαιο T 3. T (.6. ) ή διαφορετικά.t T T (.6. 3).T T T (.6. 4) 3 πράγμα που σημαίνει ότι η χειρότερη περίπτωση είναι να έχουμε τόσο την άδηλη δυναμική του ελεγκτή όσο και του φυσικού συστήματος ίσες με τον κύριο πόλο του φυσικού συστήματος..6.4. tn.8.6.8.6 t.4...4 t3.6.8 Σχήμα.6. : Μεταβολή του κέρδους t και t 3 t n συναρτήσει των μεταβολών Το πρώτο συμπέρασμα από το παραπάνω διάγραμμα είναι ότι για μικρές τιμές του λόγου t και t 3 η τιμή του t n πλησιάζει τη μονάδα. Το παραπάνω σημαίνει ότι για τιμές του λόγου t. και t 3. προκύπτει ότι t n γεγονός που σημαίνει ότι όταν έχουμε ένα κύριο πόλο (επειδή t., t 3. ) τότε Tn T. t t n...3.4.5.6.7.8.9..3.77.7.444.758.55.67.66.763..3.4.9.9.537.866.74.753.96.895.3.77.9.39.43.686.8.443.97.47.369.4.7.9.43.64.9.5.67.55.697.39.5.444.537.686.9.86.54.96.44.978.3564.6.758.866.8.5.54.895.3.786.334.389.7.55.74.443.67.96.3.7.387.374.467.8.67.753.97.55.44.786.387.364.444.4693.9.66.96.47.697.978.334.374.444.4633.566.763.895.369.39.3564.389.467.4693.566.5683 t 3 4

Κεφάλαιο Πίνακας.6. : Τιμές του κέρδους tn συναρτήσει των μεταβολών t και t Αν θεωρήσουμε τώρα διαφορετική διακριτοποίηση μικραίνοντας ακόμη περισσότερο το όριο του πεδίου τιμών των x, y θεωρώντας ότι x [., ] και y [., ] με dx =. και dy =. τότε προκύπτει η εικόνα του παρακάτω που φαίνεται στο Σχήμα.6..8.6.4 tn..8.6.8.8.6.6.4.4. t. Σχήμα.6. : Μεταβολή του κέρδους t3 tn συναρτήσει των μεταβολών t και t Παρατηρούμε ότι για το κέρδος t n ισχύει για μεγαλύτερη επιφάνεια όπου ικανοποιείται η συνθήκη t n, γεγονός που σημαίνει αντιστάθμιση. Αυτό οφείλεται γιατί έχουμε θεωρήσει ακόμη μεγαλύτερη περιοχή για την οποία ο κύριος πόλος T παραμένει κύριος κάνοντας τη θεώρηση ότι (.T T T ) και. 4

Κεφάλαιο.8.6.4 tn..8.6.8..6.4.4.6..8 t t3 Σχήμα.6. : Μεταβολή του κέρδους t tn συναρτήσει των μεταβολών και t 3.6. PID ελεγκτής Στην ενότητα αυτή θα δουλέψουμε για λόγους απλότητας με το σύστημα που περιγράφεται από την G ( ) = k ( + T )( + T )( + T ) (.6. ) Ο έλεγχος του οποίου θα γίνει με χρήση PID ελεγκτή που περιγράφεται από την (.6. ) Gc ( ) = + X + Y Ti ( + Tc ) (.6. ) Ο αριθμητής τίθεται σε αυτή τη μορφή μήπως και προκύψουν μιγαδικά μηδενικά. Η συνάρτηση μεταφοράς κλειστού βρόχου η οποία προκύπτει είναι Fcl ( ) = k ( + X + Y ) Ti ( + T )( + T ) ( + Tc ) ( + T ) + kh k ( + X + Y ) (.6. 3) Για την οποία γίνεται η προσέγγιση μεταξύ των άδηλων δυναμικών του φυσικού συστήματος και ελεγκτή TΣ = Tc + T (.6. 4) Οπότε και η συνάρτηση μεταφοράς κλειστού βρόχου αποκτά τη μορφή Fcl ( ) 43 k ( + X + Y ) Ti ( + T )( + T )( + TΣ ) + kh k ( + X + Y ) (.6. 5)

Κεφάλαιο ή ky + kx + k Fcl() 4 3 TT T T + T [ T T + T T + T T ] + [ T( T + T + T ) + k k Y ] + [ T + k k X ] + k k i Σ i Σ Σ i Σ h i h h (.6. 6) εφαρμόζοντας συνθήκες βελτιστοποίησης πλάτους για τη συνάρτηση μεταφοράς κλειστού βρόχου προκύπτουν: Από την η : k = (.6. 7) h Από την η : i h i Σ h h [ T + k k X ] -[ T ( T + T + T ) + k k Y ] k k = ( k X) -k k Y = ( + + - ) T k k T T T X (.6. 8) i h Σ Από την 3 η : [( T + T + T ) -[ T T + T T + T T ]] X -( T + T + T ) Y = Σ Σ Σ Σ = ( T + T + T )[( T + T + T ) - [ T T + T T + T T ]] + T T T Σ Σ Σ Σ Σ (.6. 9) Από την 4 η : Σ Σ T T T T T TΣ T TΣ - X T TΣ Y + + + + + T T T T TT T T T TTT T TΣ Σ Σ Σ Σ = ( + + ) T T T T T T T T + + - ( + + ) T T T T T T TT T T (.6. ) Οι (.6. 9) & (.6. ) μπορούν να ξαναγραφούν όπως παρακάτω: X Y + + q q + + q + + q = + + q + + q q + + q + q T [ - ] - [ - ] T X T Y (.6. ) [ ( q + + q ) - q ( + + q ) ] + q = ( + + q )( [ q + + q ) - q ( + + q ) ] όπου T = T T και q = T Σ T (.6. 3) (.6. 4) (.6. ) 44

Κεφάλαιο Αν θεωρήσω ότι =.3 αντιστάθμιση θα έχω αν και μόνο αν, και σχεδιάσω την μεταβολή των Tn Tn T = = T & & Tv = T T v =.3 T Tn Tv & T T ως προς T Σ, πλήρη T (.6. 5) Αυτό συμβαίνει μόνο στην περιοχή της κανονικοποιημένης ολικής κατανεμημένης σταθεράς χρόνου του συστήματος που δίνεται κατά προσέγγιση απ την ανίσωση TΣ <.5 (.6. 6) T όπως φαίνεται και στο Σχ..6.. T /T =,3.5 T n /T.5 T v /T -.5..4.6.8..4.6.8 Σχήμα.6. : Μεταβολή του κέρδους T Σ /T X Y Αν θεωρήσω πάλι =.3, και σχεδιάσω την μεταβολή των & T T αντιστάθμιση θα έχω αν και μόνο αν X T.3 n T = = T & & Tv = T Y =.3 T Αυτό όπως φαίνεται και στο Σχ..6. βλέπουμε ότι δεν μπορεί να συμβεί. TΣ ως προς, πλήρη T (.6. 7) 45

Κεφάλαιο.5 T /T =,3 X/T.5 Y/T.5..4.6.8..4.6.8 Σχήμα.6. : Μεταβολή του κέρδους T Σ /T Τέλος αν και πάλι θεωρήσω =.3 και σχεδιάσω την μεταβολή των πλήρη αντιστάθμιση θα έχω αν και μόνο αν Tn Tv & T T ως προς T T Σ, Tn Tn T = = T & & Tv = T T v = T (.6. 8) Αυτό συμβαίνει μόνο στην περιοχή της κανονικοποιημένης ολικής κατανεμημένης σταθεράς χρόνου του συστήματος που δίνεται κατά προσέγγιση απ την ανίσωση TΣ <.5 (.6. 9) T όπως φαίνεται και στο Σχ..6. 3. 4 3.5 T /T =,3 3.5 T v /T.5 T n /T.5 -.5..4.6.8..4.6.8 Σχήμα.6. 3: Μεταβολή του κέρδους 46

Κεφάλαιο 47

48

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΈΛΕΓΧΟΣ ΜΕΣΩ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ (INTERNAL MODEL CONTROL). Κεφάλαιο : Θεωρητική Ανάλυση της μεθόδου Στην ενότητα αυτή θα ασχοληθούμε με την μελέτη συστημάτων για τον έλεγχο των οποίων χρησιμοποιείται η μέθοδος μέσω εσωτερικού μοντέλου (Internal Model Control, IMC) [],[]. Θα παρουσιάσουμε την μέθοδο ελέγχου με χρήση εσωτερικών ελεγκτών ενός βαθμού ελευθερίας για ευσταθή συστήματα μιας εισόδου μιας εξόδου. Για τη μοντελοποίηση του συστήματος κλειστού βρόχου υποθέτουμε ότι έχουμε ένα αξιόπιστο μοντέλο του φυσικού συστήματος, που διαφέρει από αυτό ως προς την άδηλη δυναμική (Unmodelled Dynamic). Επίσης, δεν υπάρχουν περιορισμοί στην είσοδο του φυσικού συστήματος. Η παραπάνω δομή ελέγχου που παρουσιάζεται στο Σχήμα, είναι η βασική δομή ελέγχου μέσω εσωτερικού μοντέλου. με την προϋπόθεση πάντα ότι το ( ) (προσεγγιστικό ή μοντελοποιημένο σύστημα ή model) είναι όσο το δυνατόν πιστότερη αναπαράσταση του μοντέλου ( ) (φυσικό σύστημα ή roce) και παρουσιάστηκε στην [3]. Σχήμα : Έλεγχος μέσω εσωτερικού μοντέλου Σύστημα κλειστού βρόχου Η μεγάλη χρησιμότητα αυτής δομής, είναι ότι μας δίνει τη δυνατότητα να επικεντρωθούμε μόνο στη σχεδίαση του ελεγκτή χωρίς να μας ενδιαφέρει η ευστάθεια του φυσικού συστήματος. Ένας 49

Κεφάλαιο εύκολος τρόπος για να δημιουργήσουμε τις συναρτήσεις μεταφοράς του συστήματος είναι να ξανασχεδιάσουμε τη παραπάνω δομή σαν ένα απλό σύστημα ανάδρασης, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, και μετά να εφαρμόσουμε τον απλό κανόνα: «Η συνάρτηση μεταφοράς μεταξύ οποιασδήποτε εισόδου και εξόδου, προκύπτει απ την ευθεία διαδρομή μεταξύ εισόδου και εξόδου διαιρεμένη με το ένα συν τον βρόχο αρνητικής ανάδρασης» Σχήμα : Εναλλακτική αναπαράσταση του συστήματος κλειστού βρόχου Βάσει αυτού του σχήματος και του κανόνα, προκύπτουν οι συναρτήσεις μεταφοράς του συστήματος κλειστού βρόχου, του IMC ελέγχου. Ορίζουμε τις παρακάτω συναρτήσεις μεταφοράς: «Ελεγκτής Ανάδρασης» c «Κλειστού Βρόχου» F cl «Ευαισθησία Εξόδου» S o «Ευαισθησία Ελέγχου» u( ) q( ) = = e( ) -q y( ) ( ) c( ) ( ) q( ) r( ) + ( ) c( ) + q( ) ( ) ( ) = = = y( ) ( ) d = = d( ) + c u r «Ευαισθησία αναφοράς» q + c - S u = = = Fcl u - c d + c d S ud = = = -So c [ ] ( ) ( ) ( 3) ( 4) ( 5) Απ τις παραπάνω εξισώσεις προκύπτει: F cl ( ) q( ) = ~ ( 6) + [ ( ) - ( ) ] q( ) y = ( ) q( ) + ( - ) q r ( 7) 5

Κεφάλαιο ( - ( ) q( ) ) d και y( ) = d + ( ( ) - ( ) ) q( ) ( 8) Mε βάση τη [], ιδανικός ελεγκτής είναι αυτός ο οποίος καταφέρνει, () η έξοδος του φυσικού συστήματος να παρακολουθεί την είσοδο αναφοράς : y( ) F cl = = ( ) q( ) = ( 9) r( ) () να αποσβένει τις διαταραχές εξόδου y( ) S o = = d( ( ) = ( ) ( ) ) Από τις ( 9),( ) συμπεραίνουμε ότι για να ικανοποιούνται αυτές θα πρέπει να ισχύουν οι, ( ) q( ) = ( ) και ( ) Έτσι, για τέλειο έλεγχο θα πρέπει πρώτα ο ελεγκτής να αντιστρέφει πλήρως το φυσικό σύστημα, το οποίο με τη σειρά του θα πρέπει να είναι τέλειο και να διαφέρει ελάχιστα από το πραγματικό φυσικό σύστημα, δηλαδή από αυτό που μπορούμε να προσδιορίσουμε στην πράξη με μετρήσεις. Το τελευταίο θα το ονομάζουμε από δω και πέρα, «προσεγγιστικό σύστημα».. Έλεγχος μέσω εσωτερικού μοντέλου με ελεγκτή ενός βαθμού ελευθερίας ( DoF IMC Control) Θα κάνουμε μια πρώτη απόπειρα ελέγχου μέσω εσωτερικού μοντέλου θεωρώντας ένα φυσικό σύστημα πρώτης τάξης με χρονική καθυστέρηση το οποίο περιγράφεται από την (. ). Θα θεωρήσουμε σε πρώτη φάση ότι το μοντέλο μας προσεγγίζει με ακρίβεια το φυσικό σύστημα. Επίσης για λόγους σύνδεσης με το προηγούμενο κεφάλαιο ισχύουν οι παρακάτω ισοδυναμίες : ( ) G ( ), q( ) G ( ) και q( ) G ( ). G = k e + T - Η αντίστροφη συνάρτηση μεταφοράς του φυσικού συστήματος είναι, + k G ( ) e T d c ~ ~ c (. ) T T = d (. ) Η παραπάνω όμως εξίσωση δεν μπορεί να είναι αποδεκτή καθώς το μόνο που μπορεί να γίνει αντιληπτό στην πραγματικότητα από τον ελεγκτή, είναι το αντίστροφο του αναλογικού κέρδους Td του φυσικού συστήματος. Αυτό γιατί ο όρος e παριστάνει μια μη αντιληπτή πρόβλεψη των μελλοντικών τιμών της εξόδου, ενώ ο όρος + T παριστάνει μια επίσης μη αντιληπτή διαφόριση της εξόδου του φυσικού συστήματος που αφενός δεν είναι υλοποιήσιμη. T LT d f e f ( t + T d ) H υλοποίηση λοιπόν ενός τέτοιου ελεγκτή, ο οποίος να αντιστρέφει τελείως το φυσικό σύστημα της (. ), είναι αδύνατη και για το λόγο αυτό επιλέγεται η συνάρτηση μεταφοράς του ελεγκτή να είναι της μορφής: 5

Κεφάλαιο G c + T = k ( + f) (. 3) Το f ονομάζεται σταθερά χρόνου του φίλτρου και έχει τέτοια τιμή, έτσι ώστε να αποφεύγουμε την υπερβολική ενίσχυση θορύβου και να διορθώνουμε τα τυχόν λάθη μοντελοποίησης του φυσικού συστήματος. Το πλάτος της εξόδου αυξάνει από / k στις χαμηλές συχνότητες, σε T / f k στις υψηλές, ενώ η φάση μεταβάλλεται από σε tan T / f, στις χαμηλές και στις υψηλές συχνότητες αντίστοιχα. Η επιλογή του όρου f του φίλτρου του ελεγκτή, εξαρτάται από τί θόρυβο επιτρέπεται να έχουμε στο σύστημα, αλλά και από τα λεγόμενα modeling error. Βάση της [], για ν αποφύγουμε μεγάλη ενίσχυση θορύβου συνίσταται να επιλέγεται το f έτσι, ώστε το κέρδος του ελεγκτή στις υψηλές συχνότητες να μην είναι μεγαλύτερο από το πλάσσιο του κέρδους στις χαμηλές συχνότητες. Αυτό το κριτήριο που εκφράζεται από την ανίσωση (. 8) προέρχεται από την πρακτική που εφαρμόζεται στη σχεδίαση PID ελεγκτών για βιομηχανικές εφαρμογές. Σε αυτές τις εφαρμογές προβλέπεται ότι ο λόγος του κέρδους των ελεγκτών στις υψηλές συχνότητες προς το κέρδος στις χαμηλές συχνότητες δεν πρέπει να είναι μεγαλύτερος από. Για ελεγκτές που είναι ρητές συναρτήσεις, αυτό το κριτήριο μπορεί να εκφραστεί και από την ανίσωση: Gc Gc (. 4) Γενικότερα, μπορούμε να πούμε ότι στην περίπτωση που το φυσικό σύστημα περιγράφεται από ρητή συνάρτηση της μορφής N ( ) T G d = e (. 5) D( ) και το προσεγγιστικό του από μια αντίστοιχη, N ( ) T G d = e (. 6) D ( ) ο ελεγκτής εξαρτάται κυρίως από τα χαρακτηριστικά του πολυωνύμου N ( ). Ο συνιστώμενος ελεγκτής IMC είναι ο G D ( ) = (. 7) N ( ) ( + f) c_ IMC r όπου το r ονομάζεται σχετική τάξη (relative order) και προκύπτει, αν από την τάξη του πολυωνύμου του παρονομαστή D () αφαιρέσουμε την τάξη του πολυωνύμου του αριθμητή N (), ενώ f είναι η σταθερά του φίλτρου του ελεγκτή που ορίσαμε πιο πάνω. Αν μάλιστα αντικαταστήσουμε την (. 7) στην (. 5), θα προκύψει η ανίσωση που πρέπει να ικανοποιεί η σταθερά f, ώστε να αποφεύγεται η ενίσχυση των θορύβων, f D( ) N ( ) r lim r (. 8) N D 5

Κεφάλαιο.. Εφαρμογή DoF ελεγκτή μέσω εσωτερικού μοντέλου σε συστήματα με πραγματικά μηδενικά, πραγματικούς πόλους και χρονική καθυστέρηση Από εδώ και στο εξής θεωρούμε ότι η γνώση μας για το φυσικό σύστημα δεν είναι πλήρης, πράγμα που θα εκφράζουμε με την ύπαρξη μιας άδηλης δυναμικής (unmodelled dynamic) σε αυτό. Αν τώρα από το φυσικό σύστημα διαγράψουμε την άδηλη δυναμική, αυτό που απομένει ονομάζεται προσεγγιστικό. Θα εξετάσουμε το φυσικό σύστημα με το οποίο ασχοληθήκαμε στην παράγραφο.3 που αποτελείται από μηδενικά, 4 πόλους και χρονική καθυστέρηση (.. ). ( + )( +.5 ) - G = e (.. ) ( + 4 )( + 3 )( + )( + ) και έστω το προσεγγιστικό αυτού ( + ) G = e ( + 4 )( + 3 )( + ) - (.. ) δηλαδή, κατά τη μέτρηση της εξόδου είναι πρακτικά αδύνατη η μοντελοποίηση του συστήματος με όλες τους παράγοντές του, γεγονός που εκφράζεται σε άγνοια για τον μικρότερο πόλο και μηδενικό. Για το λόγο αυτό το παραπάνω σύστημα είναι της μορφής της εξίσωσης (. 6), άρα και ο IMC ελεγκτής θα δίνεται από την (. 7). Έτσι θα έχουμε, G c ( + 4 )( + 3 )( + ) = ( + )( + f) (.. 3) Μένει τώρα να δούμε για ποιες τιμές της σταθεράς του φίλτρου f ο ελεγκτής δίνει καλύτερες αποκρίσεις: Control IMC Outut Signal.8.6.4..8.6.4. f =. f =.5 f = 5 5 3 35 4 45 5 Σχήμα.. : Έξοδος συστήματος κλειστού βρόχου, διαταραχές εισόδου ( d (), t = ), διαταραχές εξόδου ( d (), t = 4) i o 53

Κεφάλαιο Control IMC Bode Magnitude f =. f =.5 f = Magnitude (ab) 4 6 8 3 4 5 Frequency (rad/ec) Σχήμα.. : Απόκριση συστήματος κλειστού βρόχου στο πεδίο της συχνότητας.5 Control IMC Control Signal f =. f =.5 f =.5.5 5 5 3 35 4 45 5 Σχήμα.. 3: Σήμα ελέγχου, διαταραχές εισόδου ( di(), t = ), διαταραχές εξόδου ( d (), t = 4) o Παρατηρούμε ότι η οριακή τιμή της σταθεράς του φίλτρου, που επιλέγεται μέσω του κριτηρίου της ανίσωσης (..8), δίνει την πιο γρήγορη απόκριση εξόδου με την γρηγορότερη απόσβεση των διαταραχών και μεγαλύτερο εύρος συχνοτήτων αλλά με αυξημένη υπερύψωση, όχι όμως τόσο που να έχουμε πρόβλημα στον έλεγχο. Με την αύξηση της σταθερά προκύπτουν αποκρίσεις πιο αργές αλλά με μικρότερη υπερύψωση. Επιλέγεται σαν καλύτερος έλεγχος αυτός με την οριακή τιμή στην σταθερά φίλτρου. 54

Κεφάλαιο.. Εφαρμογή σε συστήματα με μιγαδικά μηδενικά και πραγματικούς πόλους πολλαπλότητας Ν H δεύτερη περίπτωση που εξετάζουμε είναι όταν το πολυώνυμο του αριθμητή του προσεγγιστικού συστήματος N ( ) -T d G = e (.. ) D ( ) δηλαδή το N ( ), περιέχει μιγαδικές ρίζες. Για να περιέχει όμως το N ( ) μιγαδικές ρίζες θα πρέπει μετά τις παραγοντοποιήσεις να προκύπτουν γινόμενα της μορφής T + T ζ + (.. ) όπου το ζ που είναι ο συντελεστής απόσβεσης (daming ratio: για λεπτομέρειες βλέπε υποσημείωση.3.), παίρνει τιμές στο διάστημα ζ. Συντελεστής απόσβεσης με τιμές μεγαλύτερες από του διαστήματος ζ.4 (low daming ratio) παράγουν αποκρίσεις με συνεχή ταλαντωτική μορφή, όπως θα δούμε παρακάτω. Αν σχεδιάσουμε έναν ελεγκτή με τη μορφή D ( ) G c = r (.. 3) N ( ) ( + f) τότε είναι πολύ πιθανό ένας τέτοιος ελεγκτής να ενισχύει το θόρυβο στις ενδιάμεσες συχνότητες. Για την αντιμετώπιση αυτού του προβλήματος υπάρχουν δυο λύσεις:. Αύξηση της σταθεράς f του φίλτρου του ελεγκτή. Όμως αύξηση της τάξης του φίλτρου ισοδυναμεί με την εν σειρά σύνδεση βαθμίδων καθυστέρησης, με αποτέλεσμα το σύστημα κλειστού βρόχου να γίνεται αργό, αυξάνοντας το χρόνο teady tate του συστήματος. Γι αυτό η λύση αυτή γενικά δεν συνίσταται.. Η δεύτερη λύση είναι να αντιστρέψουμε τα μιγαδικά μηδενικά που προκαλούν αυτή την υπερύψωση και όχι τα μηδενικά με τους χαμηλούς συντελεστές απόσβεσης. Τώρα η μορφή του ελεγκτή θα είναι G c D ( ) = N ( ) ( + f) r (.. 4) όπου το N () έχει την μορφή του N () της (.. 3) αλλά ο συντελεστής απόσβεσης (daming ratio) τώρα είναι αυξημένος, ώστε να αποφευχθεί ο θόρυβος που δημιουργεί ο ελεγκτής (.. 3). Για καλύτερη κατανόηση του προβλήματος παραθέτουμε το παρακάτω παράδειγμα: Έστω ότι το φυσικό σύστημα με δυο μηδενικά και τέσσερις πόλους που περιγράφεται απ την + ζgt + T T d n ( + T ) G ( ) = k e (.. 5) Τότε σύμφωνα με όλα αυτά που είπαμε στην δεύτερη λύση ο ελεγκτής που επιλέγουμε θα είναι ο G c ( + T ) = k [ + ( ζ w) T + T ] ( + f) G n n (.. 6) με το w να παριστάνει τον συντελεστή αύξησης του αρχικού daming ratio που απαιτείται, ώστε να αποσβεστεί ο θόρυβος των μεσαίων συχνοτήτων. Δηλαδή, 55

Κεφάλαιο ζ Gc = w ζ (.. 7) G Μιλώντας τώρα πιο συγκεκριμένα, θα ορίσουμε όπως και στην.3. το προσεγγιστικό σύστημα,. - G + + = e 3 ( + ) (.. 8) και έστω άδηλη δυναμική ο ένας από τους 4 πόλους. Τότε ελεγκτής που δίνεται από την (.. 6) θα είναι: G c = ( +. + ) 3 ( + ) ( + f) (.. 9) με το f που προκύπτει από την (. 8), να επιλέγεται f /. (.. ) Η απόκριση συχνότητας αυτού του ελεγκτή δίνεται στο Σχ..., όπου φαίνεται ότι το πλάτος έχει μέγιστο στα 38. Αυτό σημαίνει ότι, για να μειωθεί η ενίσχυση των θορύβων στις συχνότητες γύρω από το., κατά παράγοντα όπως προβλέπεται από την θεωρία, απαιτείται να γίνει επιλογή ενός μεγάλου f (γύρω στο ). Όμως ένας τέτοιος ελεγκτής θα οδηγήσει σε υπερβολικά μεγάλο χρόνο αποκατάστασης. Έτσι όπως θα δούμε, ένας ελεγκτής της ίδιας μορφής με αυτόν της (.. 9) αλλά με διαφορετική τιμή του daming ratio στον παρανομαστή δίνει πολύ πιο γρήγορη απόκριση. 4 Bode Diagram 3 Magnitude (ab) Frequency (rad/ec) Σχήμα.. : Θόρυβος στις μεσαίες συχνότητες Ένας τέτοιος ελεγκτής είναι ο, G c ( + ) = k + 3 [ ζgc + ](. ) (.. ) που ενώ έχει την ίδια παράμετρο ελεγκτή που περιγράφεται στην (.. ), επιτυγχάνεται μείωση της αιχμής της απόκρισης συχνότητας του ελεγκτή στον επιθυμητό συντελεστή (και χαμηλότερα), θέτοντας ζ Gc =. και ζ Gc =.5. 56

Κεφάλαιο Έτσι λοιπόν βάση όλης της ανάλυσης που προηγήθηκε, θα ελέγξουμε το φυσικό σύστημα +. + - [ + (.5 - i) ][ + (.5 + i) ] - 4 ( + ) 4 ( + ) G ( ) = e = e (.. ) με τους ελεγκτές : 3 ( + ) G c = ( +. + )( + f) 3 ( + ) G c = ( +.5 + )( + f) (.. 3) (.. 4) Οι ελεγκτές αυτοί προκύπτουν επιλέγοντας κάθε φορά και άλλο προσεγγιστικό σύστημα. Έτσι, για να έχω τον ελεγκτή G c θα πρέπει, από τις μετρήσεις που κάνω στο φυσικό σύστημα για την μοντελοποίηση του, να το προσδιορίζω στη μορφή του προσεγγιστικού G ( ), όπου +. + = 3 ( + ). G ( ) e Ομοίως, διενεργώντας άλλες μετρήσεις καταλήγουμε στο, +.5 + 3 ( + ) G ( ) = e Παρατηρούμε ότι αυξάνουμε το daming ratio από ζ =. σε ζ =.5. Σκοπός είναι να δούμε τί επίδραση έχει αυτό στον έλεγχο, όπως επίσης και την επίδραση του f σ αυτόν. Αναλυτικά για τον κάθε ελεγκτή θα έχουμε τις αποκρίσεις:.8.6.4..8.6.4. Controller Gc Outut Signal f =.3 f = f = 4 6 8 4 6 8 Σχήμα.. : Έξοδος συστήματος κλειστού βρόχου με διαταραχές εισόδου ( d (), t = 8) και διαταραχές εξόδου ( d ( ), t = 4),( ζ =.) i o 57

Κεφάλαιο Controller Gc Bode Magnitude f =.3 f = f = Magnitude (ab) 4 6 8 3 4 Frequency (rad/ec) Σχήμα.. 3: Απόκριση συστήματος κλειστού βρόχου στο πεδίο της συχνότητας, ζ =..5 Controller Gc Control Signal f =.3 f = f =.5.5.5 4 6 8 4 6 8 Σχήμα.. 4: Σήμα ελέγχου, διαταραχές εισόδου( i(), = 8) διαταραχές εξόδου ( d ( ), t = 4), ( ζ =.) o d t και Αφού σημειωθεί ότι το σύστημα που δίνεται από την (.. ), αποτελεί μια οριακή περίπτωση καθώς τα μηδενικά του βρίσκονται πάνω στον φανταστικό άξονα, επισημαίνεται ότι για την οριακή τιμή της σταθεράς φίλτρου οι αποκρίσεις είναι πιο γρήγορες αλλά με μεγάλη υπερύψωση ταλάντωση και αργή απόσβεση των διαταραχών. Στην ουσία το σύστημα δεν ελέγχεται. Αυξάνοντας την σταθερά του φίλτρου, παίρνουμε καλύτερες αποκρίσεις, που υστερούν σε ταχύτητα ανόδου αλλά υπερτερούν σε όλα τα άλλα χαρακτηριστικά, γεγονός που μας οδηγεί στο 58

Κεφάλαιο συμπέρασμα ότι, για μεγαλύτερες τιμές της σταθεράς φίλτρου καταφέρνουμε τελικά να ελέγξουμε το σύστημα. Αυξάνοντας τώρα τον συντελεστή απόσβεσης της ταλάντωσης είναι λογικό να προκύψουν αποκρίσεις με μεγαλύτερη ταλάντωση τόσο ως προς το πλάτος όσο και ως προς την διάρκεια, με τα προηγούμενα συμπεράσματα να εξακολουθούν να ισχύουν..5 Controller Gc Outut Signal f =.3 f = f =.5.5.5 5 5 5 3 35 4 Σχήμα.. 5: Έξοδος συστήματος κλειστού βρόχου με διαταραχές εισόδου ( di( ), t = 5) και διαταραχές εξόδου ( do( ), t = 3), ( ζ =.5) Controller Gc Bode Magnitude f =.3 f = f = Magnitude (ab) 4 6 8 3 4 Frequency (rad/ec) Σχήμα.. 6: Απόκριση συστήματος κλειστού βρόχου στο πεδίο της συχνότητας, ζ =.5 59

Κεφάλαιο 3.5 Controller Gc Control Signal f =.3 f = f =.5.5.5.5 5 5 5 3 35 4 45 Σχήμα.. 7: Σήμα ελέγχου, διαταραχές εισόδου ( di( ), t = 5) και διαταραχές εξόδου ( do( ), t = 3), ( ζ =.5) Επομένως το φυσικό σύστημα θα ελεγχθεί καλύτερα αν το προσεγγιστικό σύστημα έχει μικρή τιμή συντελεστή απόσβεσης στον αριθμητή και για τον ελεγκτή επιλεχθεί σχετικά μεγάλη σταθερά φίλτρου...3 Εφαρμογή DoF ελεγκτή μέσω εσωτερικού μοντέλου σε συστήματα με πραγματικά μηδενικά στο δεξί μιγαδικό ημιεπίπεδο Τώρα θα εξετάσουμε την περίπτωση που το σύστημα εκτός των άλλων περιέχει και μηδενικά στο Δεξί ΗμιεπίΠεδο (ΔΗΠ). Όταν δηλαδή το N () περιέχει παράγοντες της μορφής: ( T + ) ( T T ζ + ) (..3 ) ή με T και ζ μεγαλύτερα του μηδενός, η αντιστροφή του αριθμητή του φυσικού συστήματος στον ελεγκτή είναι ασταθής. Σε αυτήν την περίπτωση ο ελεγκτής δεν μπορεί να είναι της μορφής (. 7). Η βέλτιστη σχεδίαση με κριτήριο το δείκτη λειτουργίας ISE (μέσο τετραγωνικό σφάλμα) σύμφωνα με την [], είναι η αντιστροφή του όρου του αριθμητή με μηδενικά στο αριστερό ημιεπίπεδο και η προσθήκη πόλων στα συμμετρικά σημεία (ως προς τον φανταστικό άξονα) των μηδενικών του δεξιού ημιεπιπέδου. Αναλυτικότερα ας υποθέσουμε ότι μετά τις παραγοντοποιήσεις, ο αριθμητής του προσεγγιστικού συστήματος N () χωρίζεται στους παρακάτω παράγοντες: N () = N () N () (..3 ). + Το N () περιέχει τα μηδενικά του ΑΗΠ δηλ. τα μηδενικά ελάχιστης φάσης και σαν παράγοντας αντιστρέφεται κανονικά στον ελεγκτή. Αντίθετα το N+ () περιέχει τα μηδενικά του ΔΗΠ (μη ελάχιστης φάσης) δηλαδή όρους της μορφής: ( T + )( T -Tζ + ), με T & ζ (..3 3) 6

Κεφάλαιο και δεν μπορεί ν αντιστραφεί. Για να λυθεί αυτό το πρόβλημα θα πρέπει, αντί του παράγοντα N ( ) +, να εισαχθεί ο όρος N ( ) + στον παρανομαστή της Gc ( ), δηλαδή πόλοι που είναι αντισυμμετρικοί σε σχέση με τα «ασταθή» μηδενικά (mirror image of the right half lane), στο μιγαδικό επίπεδο. Έτσι έχοντας το προσεγγιστικό σύστημα, N N D + T d (..3 4) G = k e ο ISE otimal controller (βέλτιστος IMC ελεγκτής) σύμφωνα με την [] θα έχει την παρακάτω μορφή: G c = D ' ( + ) kn ( ) N ( ) f + r (..3 5) Η απόκριση του συστήματος της εξίσωσης (..3 5) έχει βέλτιστο δείκτη λειτουργίας ISE όταν f = και χειρότερο δείκτη ISE όταν f. Στην περίπτωση που έχουμε f =, η απόκριση της εξόδου είναι ένα ολοπερατό φίλτρο, όσο το πλάτος της απόκρισης είναι ίσο με τη μονάδα για όλες τις συχνότητες. Θα ασχοληθούμε με δυο παραδείγματα: ( + Tz ) ( + T ) + T G ( ) = k e 3 (..3 6) και ( + T )( + T ) ( + T ) + T z z 3 ( ) G ( ) = k e (..3 7) όπου η T εκφράζει την άδηλη δυναμική του φυσικού συστήματος την οποία αγνοούμε στο προσεγγιστικό και θα την θεωρήσουμε ίση, για παράδειγμα, με το /6 του πολλαπλού πόλου. Στην πρώτη περίπτωση έχουμε ένα σύστημα με ένα μηδενικό στο δεξί ημιεπίπεδο, ενώ στην δεύτερη προσθέτουμε και ένα μηδενικό ελάχιστης φάσης. Οι αντίστοιχοι ελεγκτές θα είναι, 3 ( + T ) G c = k( + Tz )( + f) ( + T ) και G c = k ( + T )( + T )( + f) z z 3 (..3 8) Για T = 3, Tz = Tz =, Tz = 3 και T =.5 (..3 9) έχουμε τις αποκρίσεις που ακολουθούν στην επόμενη σελίδα. Όπως είδαμε και στην παράγραφο.3.3 το χαρακτηριστικό των συστημάτων μη ελάχιστης φάσης είναι η βύθιση της απόκρισης που παρατηρείται την χρονική στιγμή της εφαρμογής της εισόδου και των διαταραχών κάτι που φαίνεται στα στιγμιότυπα των Σχ...3 και..3 3. Παρατηρούμε ότι η οριακή τιμή της σταθεράς του φίλτρου δίνει την πιο γρήγορη απόκριση εξόδου με την γρηγορότερη απόσβεση των διαταραχών και μεγαλύτερο εύρος συχνοτήτων (βλέπε Σχ...3 έως..3 5) όπως είδαμε και στην... Με την αύξηση της σταθερά προκύπτουν αποκρίσεις με μικρότερη υπερύψωση αλλά πιο αργές στον χρόνο ανόδου και στην απόσβεση των διαταραχών. Επιλέγεται σαν καλύτερος έλεγχος αυτός με την οριακή τιμή στην σταθερά φίλτρου και αυτό δεν αλλάζει ούτε όταν προσθέσουμε μηδενικό ελάχιστης φάσης στο 6

Κεφάλαιο σύστημα, πράγμα που αυξάνει την υπερύψωση αλλά αποσβένει πιο γρήγορα τις διαταραχές, άρα οδηγεί σε καλύτερο έλεγχο (βλέπε Σχ...3 6 έως..3 9). G Outut Signal.5.5 f =.3 f = f = 3 4 5 6 7 8 Σχήμα..3 : Έξοδος συστήματος κλειστού βρόχου με διαταραχές εισόδου ( d (), t = 3) και διαταραχές εξόδου ( d (), t = 6). i o.6 G Outut Signal.4. -. -.4 -.6 -.8 f =.3 f = f = 9.5.5.5.5 3 3.5 Σχήμα..3 : Βύθιση της απόκρισης εξόδου μόλις εφαρμοστεί η βηματική είσοδος. 6

Κεφάλαιο. G Outut Signal.8.6.4..98.96 f =.3 f = f = 59 59.5 6 6.5 6 6.5 6 6.5 63 Σχήμα..3 3: Υπερύψωση της απόκρισης εξόδου μόλις εφαρμοστούν στο σύστημα οι διαταραχές εξόδου. 5 G Bode Magnitude f =.3 f = f = Magnitude (ab) 5 5 3 4 5 Frequency (rad/ec) Σχήμα..3 4: Απόκριση συστήματος κλειστού βρόχου στο πεδίο της συχνότητας 63

Κεφάλαιο.5 G Control Signal.5.5 f =.3.5 f = f = 3 4 5 6 7 Σχήμα..3 5: Σήμα ελέγχου, διαταραχές εισόδου ( d (), t = 3) και διαταραχές εξόδου ( d (), t = 6). o i.5 G Outut Signal.5.5 f =.3 f = f =.5 3 4 5 6 7 Σχήμα..3 6: Έξοδος συστήματος κλειστού βρόχου με διαταραχές εισόδου ( d (), t = 3) και διαταραχές εξόδου ( d (), t = 6). i o 64

Κεφάλαιο. G Outut Signal..8.6.4..98.96.94 f =.3 f = f = 3 3.5 3 3.5 3 Σχήμα..3 7: Αργοπορία της απόκρισης εξόδου να αποσβέσει τις διαταραχές εισόδου. G Bode Magnitude f =.3 f = f = Magnitude (ab) 4 6 8 3 4 5 Frequency (rad/ec) Σχήμα..3 8: Απόκριση συστήματος κλειστού βρόχου στο πεδίο της συχνότητας 65

Κεφάλαιο.5 G Control Signal f =.3 f = f =.5.5.5 3 4 5 6 7 Σχήμα..3 9: Σήμα ελέγχου, διαταραχές εισόδου ( di( ), t = 3) και διαταραχές εξόδου ( do( ), t = 6).. Έλεγχος μέσω εσωτερικού μοντέλου με ελεγκτή δύο βαθμών ελευθερίας ( DoF IMC Control) Στα συστήματα που εξετάστηκαν στα προηγούμενα κεφάλαια θεωρείται ότι οι διαταραχές εξόδου επιβάλλονται απ ευθείας χωρίς να παρεμβάλλεται άλλη διάταξη, δηλαδή d =. Με αυτή τη θεώρηση είναι σχετικά εύκολη η σχεδίαση του ελεγκτή ώστε να απορρίπτει τις βηματικές διαταραχές καθώς το μέγεθός τους είναι αναμενόμενο. Όταν όμως οι διαταραχές πριν να επιβληθούν στην έξοδο του συστήματος, μεταβάλλονται μέσω μη μοναδιαίων συναρτήσεων μεταφοράς ( d ), η απόρριψή τους από το σύστημα αυτομάτου ελέγχου δεν είναι εύκολη. Σε αυτές τις περιπτώσεις επιλέγεται η χρήση συστημάτων αυτομάτου ελέγχου με έναν εξωτερικό και έναν εσωτερικό ελεγκτή, όπως φαίνεται στο Σχ... Σχήμα. : Γενική δομή ενός συστήματος IMC βαθμών ελευθερίας ( DOF). 66

Κεφάλαιο Στη συνέχεια παρουσιάζεται η μεθοδολογία σχεδίασης ελεγκτών για ένα σύστημα αυτομάτου ελέγχου εσωτερικού μοντέλου με δύο βαθμούς ελευθερίας. Θεωρείται ότι το φυσικό σύστημα έχει την εξής γενική μορφή: ( + T )( + T )( + T )( + T ) N ( + T )( + T )( + T )( + T )( + T ) D d = k e = e z z z3 z4 -T -Td 3 4 5 (. ) Το προσεγγιστικό μοντέλο ( ) του παραπάνω φυσικού συστήματος ( ) θεωρείται ότι είναι απλούστερης ή ίδιας μορφής σε σχέση με αυτή του ( ): N = D e -T d (. ) Επίσης θεωρείται ότι ( ) = ( ) (. 3) d Όπως φαίνεται στο Σχήμα. το σύστημα αυτομάτου ελέγχου αποτελείται από δύο ελεγκτές: Ο εξωτερικός ελεγκτής q r έχει σαν στόχο την παρακολούθηση της εισόδου του συστήματος από την έξοδο και ως εκ τούτου υπολογίζεται σαν ένας απλός ελεγκτής ενός βαθμού ελευθερίας. Η διαφορά σε σχέση με τον έναν βαθμό ελευθερίας έχει να κάνει με τη σταθερά του ελεγκτή f που λόγω της έλλειψης σημάτων θορύβου δεν έχει περιορισμό στην τιμή της. Ο εσωτερικός ελεγκτής qq d έχει σαν στόχο την απόρριψη όλων των διαταραχών και θεωρείται ότι αποτελείται από δύο επιμέρους όρους: τον q(, f ) και τον qd (, f ). Ο όρος q(, f ) υπολογίζεται σύμφωνα με το σχεδιασμό του ελεγκτή ενός βαθμού ελευθερίας για την αντιστροφή του προσεγγιστικού μοντέλου. Δηλαδή ο ελεγκτής q(, f ) θα έχει τη μορφή: q (, f) = D ( + ) N ( ) f q r (. 4) όπου r είναι η σχετική τάξη της συνάρτησης μεταφοράς του προσεγγιστικού φυσικού συστήματος. Ο όρος q (, f ) δίνεται από τον γενικό τύπο: d a i i= qd (, f, a) = n, a = ( f + ) q d n i (. 5) όπου n είναι το πλήθος των πόλων του ( d ) που πρέπει να αντισταθμιστούν από τα μηδενικά του ( ) qq d. Τότε είναι: n n i -T - d i Td a i e a i N e D i= i= d r n r n D N ( + fq) ( fqd + ) ( + fq) ( fqd + ) ( - ( ) qq ( ) ) - - = = = n n r n -Td i r+ n -Td i q qd i i i= i= r n = r+ n ( + fq) ( fqd + ) ( + f ) ( + f ) ( f + ) - e a ( + f ) - e a (. 6) 67

Κεφάλαιο Η σταθερά χρόνου f qd ( που είναι ίση με τη σταθερά χρόνου της μονάδας του φίλτρου q( )) παίρνει μία τυχαία τιμή εκκίνησης (συνήθως ίση με την τιμή που χρησιμοποιήθηκε για την q( )). Υπολογίζονται οι τιμές των σταθερών a i με την επίλυση της εξίσωσης (. 7), για όλες τις n τιμές των πόλων της d. ( - qq (, ε, a )) = (. 7) d = τi όπου τ i είναι η σταθερά χρόνου τάξης i που αντιστοιχεί στον πόλο τάξης i της d.. Αν κάποιοι από τους πόλους τ, τ( = τreal ± τimi ) είναι συζυγείς μιγαδικοί, εξετάζεται ο ένας από τους συζυγείς πόλους, μηδενίζοντας το πραγματικό και το φανταστικό μέρος της σχέσης (. 7).. Αν κάποιος από τους πόλους τ, τ, είναι πολλαπλός τάξης r, τότε η σχέση (. 7) παραγωγίζεται μέχρι βαθμού ίσου με ( r ), όπως φαίνεται στη σχέση (. 8). Για παράδειγμα αν d ( ) = ( τ + ) j r, - (,, ) ( ( ) qq f a ) d = = τ i k d d k - qqd (, f, a) = =, k =,,..., r - (. 8) ( ) τ i Για n =, και = η μορφή του ελεγκτή γίνεται: τ q (, f, a) = d a + f + q d (. 9) όπου ο συντελεστήςa α υπολογίζεται από τη σχέση (. 7) ως εξής: r+ Td ( + f ) ( a + ) e ( ( ) qq d ) = = = r + ( + f ) = r+ Td = ( + f ) ( a + ) e = r+ T d ( f) ( a ) e + + = (. ) T r+ d e f a ( + ) = [ T d r+ ] a = e + f 68

Κεφάλαιο Για n =, και = τ, = η μορφή του ελεγκτή γίνεται: τ a + a+ qd (, f, a) = ( f + ) qd (. ) 3. Αν οι πόλοι τ, τ είναι δύο απλοί πραγματικοί πόλοι, οι συντελεστές a, a υπολογίζονται από το γραμμικό σύστημα που προκύπτει από τη σχέση (. 7): d = = d = = ( ( ) qq ( ) ) ( ( ) qq ( ) ) r+ Td ( + f ) ( a + a + ) e = r+ Td ( + f ) ( a + a + ) e = T d r+ a + a = e ( + f ) T d r+ a + a = e ( + f ) (. ) Από το παραπάνω γραμμικό σύστημα προκύπτει ότι οι συντελεστές είναι ίσοι με: + + + a = + e f + T d r+ T d r+ e ( + f) e ( + f) a a = + T d r+ T d r+ T ( ) ( ) d r+ e f e f e ( f) T d r+ T d r+ T ( ) ( ) d r+ e + ε e + f ( + ) (. 3) Όπως είδαμε στην περίπτωση αν οι πόλοι τ, τ( = τreal ± τimi ) είναι συζυγείς μιγαδικοί, τότε εξετάζεται ο ένας από τους συζυγείς πόλους, μηδενίζοντας το πραγματικό και το φανταστικό μέρος της σχέσης (. 7). Οι όροι a, aυπολογίζονται από το γραμμικό σύστημα που ακολουθεί: 69

Κεφάλαιο r+ T = + + + = d ( qqd ) = ( f) ( a a ) e T d r+ a + a = e ( + f) Td( r+ iim) r+ r im r im r im a ( + i ) + a ( + i ) = e ( + ( + i ) f ) r im r im r im a ( + i ) + a ( + i ) = A r im r a a + a + ia ( + a = A + ia r im im) r im a a + a = A a r im + a im = A im r im r r (. 4) Από τη λύση του γραμμικού συστήματος υπολογίζονται οι όροι α και α. a + a = A a r im + a im = A im ( r im ) r r A A a = A a = im r r im im( r im ) r im im ra im (. 5) Αν ο πόλος τ, είναι πολλαπλός τάξης, τότε η σχέση (.. 7) παραγωγίζεται μία φορά, όπως φαίνεται στη σχέση (. 5). Για παράδειγμα αν d = ( τ + ) j qq f a = ( (,, )) d = τ i (. 6) d d ( qq d(, f, a)) = = τ i Οπότε οι συντελεστές a, a υπολογίζονται από το αντίστοιχο γραμμικό σύστημα: ( ( ) qq d ) = d d = ( ( ) qq ( ) ) d = = 7

Κεφάλαιο r+ Td ( + f ) ( a + a + ) e = T d r+ e ( r + ) f( + f) ( a + a atd at d Td) = T d r+ a + a = e ( + f ) = A T r+ d + d = + + + d = d a ( T ) a ( T ) e ( r ) f( ε) T B (. 7) a = A a a( Td ) + A a ( Td) = B a = A a a = B A( T d) ( Td + Td) (. 8) Στη συνέχεια ρυθμίζεται η τιμή της σταθεράς f για την επίτευξη χαμηλής ενίσχυσης των σημάτων θορύβου και υπολογίζονται ξανά οι τιμές των σταθερών παραμέτρων a i. Αυτή η διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρι τον υπολογισμό τιμών για τις σταθερές a που αντιστοιχούν σε σταθερά f που προκαλεί χαμηλή ενίσχυση θορύβου..3 Έλεγχος ΙΜC DoF με απευθείας εφαρμογή της μεθόδου του βέλτιστου πλάτους Σε αυτήν την παράγραφο ελέγχουμε το σύστημα με την μέθοδο IMC, με την διαφορά ότι την σταθερά φίλτρου του ελεγκτή δεν την προσδιορίζουμε πλέον βάσει της ανίσωσης (. 4), αλλά μέσω των συνθηκών βελτιστοποίησης της συνάρτησης μεταφοράς κλειστού βρόχου που προκύπτει από την εφαρμογή της μεθόδου του εσωτερικού μοντέλου. Θεωρείται η γενική μορφή του φυσικού συστήματος με πέντε πόλους και τέσσερα μηδενικά που ακολουθεί: ( + Tz)( + Tz)( + Tz3)( + Tz4) T G = d k e (.3 ) ( + T )( + T )( + T )( + T )( + T ) 3 4 5 Το προσεγγιστικό μοντέλο του παραπάνω συστήματος θεωρείται ότι περιλαμβάνει τα δυο κύρια ( + Tz3)( + Tz4) μηδενικά και τους τρεις κύριους πόλους, δηλαδή η G = είναι η ( + T4)( + T5) συνάρτηση μεταφοράς της άδηλης δυναμικής του συστήματος : = ( + T )( + T ) ( + T )( + T )( + T ) z z T G ( ) k e 3 d (.3 ) Θέλουμε να υπολογίσουμε τον ελεγκτή PID, ώστε το σύστημα κλειστού βρόχου για τον έλεγχο μέσω εσωτερικού μοντέλου που δίνεται στο Σχήμα (.3 ), να είναι να είναι τύπου. 7

Κεφάλαιο Σχήμα.3 : Δομή του συστήματος Αυτομάτου Ελέγχου Οι συναρτήσεις μεταφοράς του φυσικού συστήματος G, του προσεγγιστικού μοντέλου G ( ) και του συστήματος κλειστού βρόχου F ( ), είναι αντίστοιχα: cl ( + T )( + T )( + T )( + T ) ( + T )( + T )( + T )( + T )( + T ) z z z3 z4 T d G ( ) = k e 3 4 5 (.3 3) ( + T )( + T ) ( + T )( + T )( + T ) z z T G ( ) = k e 3 d (.3 4) F cl yr () Gcin() G() = = ~ r () + G ( )[ G ( ) - G ( )] cin (.3 5) Αντικαθιστώντας τις σχέσεις (.3 3) και (.3 4) στην (.3 5) η συνάρτηση μεταφοράς κλειστού βρόχου γίνεται: y r Νum_ Fcl F CL = = (.3 6) r( ) Den_ F ( ) όπου Num F = G k + T + T + T + T _ cl cin z z z 3 z 4 cl Den _ F ( ) = ( + T )( + T )( + T )( + T )( + T ) + cl 3 4 5 + G ( )[ k ( + T )( + T )( + T )( + T ) - k ( + T )( + T )( + T )( + T )] cin z z z 3 z 4 z z 4 5 (.3 7) Ο ελεγκτής που πρόκειται να χρησιμοποιηθεί είναι της μορφής: G cin ( + T)( + T)( + T3) = r = G ( ) ( + f ) k ( + T )( + T ) ( + f ) z z (.3 8) όπου f : η σταθερά χρόνου του φίλτρου και r : η σχετική τάξη της συνάρτησης μεταφοράς του προσεγγιστικού συστήματος G ( ). 7