Ασκήσεις Γενικής Μετεωρολογίας Κεφάλαιο 3 ο. Θερµοδυναµική
Πρώτο Θερµοδυναµικό Αξίωµα Οι διάφορες µεταβολές που παρατηρούνται µέσα στην ατµόσφαιρα είναι συνέπεια της µετατροπής µιας µορφής ενέργειας σε άλλη. Κατά τις µεταβολές αυτές τροποποιούνται τα θερµοδυναµικά χαρακτηριστικά του συστήµατος σύµφωνα µε τους νόµους της θερµοδυναµικής. Το ποσό της θερµότητας που προσφέρεται σ ένα σύστηµα u w q 1) Αυξάνει την εσωτερική ενέργεια του συστήµατος 2) Μετατρέπεται σε έργο Πρώτο Θερµοδυναµικό Αξίωµα: q=u+w Πρώτο Θερµοδυναµικό Αξίωµα Έστω ότι η εσωτερική ενέργεια u του αέρα και οι ειδικές θερµότητές του εξαρτώνται µόνο από τη θερµοκρασία. Άλλες µορφές του 1 ου θερµοδυναµικού αξιώµατος: u w Με παραγώγιση της καταστατικής και χρήσης της σχέσης Mayer Ειδική Θερµότητα υπό σταθερή ΠΙΕΣΗ ΟΓΚΟ R a =
Άσκηση 3.1: Πρώτο Θερµοδυναµικό Αξίωµα Ποιο ποσό θερµότητας ανταλλάσσει µε το περιβάλλον ένα ανερχόµενο δείγµα αέρα αν η θερµοκρασία του ελαττώνεται µε ρυθµό 0.98 ο C/100m; ίδεται η ειδική θερµότητα του ξηρού αέρα C p =1005 J/Kgr.gra Σύµφωνα λοιπόν µε το 1 ο Θερµοδυναµικό Αξίωµα ισχύει: q= C p T αp= C p T α( ρgz) βάσει της υδροστατικής εξίσωσης. Ισχύει ακόµα αρ= 1 Εποµένως: q= C p Τ+ gz q = C Τ p + g= C p γ+ g όπου γ η κατακόρυφη θερµοβαθµίδα z z Άσκηση 3.1: Πρώτο Θερµοδυναµικό Αξίωµα Εφαρµογή της σχέσης για τα δεδοµένα της άσκησης: q = 1005J/Kgr.gra*( 0.0098gra/m) + 9.81m/sec2 z q = 9.85J/Kgr.m+ 9.81m/sec2 z
Άσκηση 3.1: Πρώτο Θερµοδυναµικό Αξίωµα Όµως 1m/sec2 =1J/Kgr.m Εποµένως: q = 0.04J/Kgr.m= 0.04cal/Kgr.m z 4.18 q = 9.6*10 3cal/Kgr*m= 0.96cal/Kgr*100m z q 1cal/Kgr*100m z Άσκηση 3.2: Εντροπία s=q/t (1) (1) (1) υναµική Θερµοκρασία: την θερµοκρασία Θ που αποκτά ο ξηρός αέρας όταν µεταφερθεί αδιαβατικά (δεν έχουµε ανταλλαγή ποσοτήτων θερµότητας µε το περιβάλλον) στην πίεση των mb.
Άσκηση 3.2: Εντροπία s=q/t (1) (1) (1) Εποµένως: s 1 =C p lnθ 1 +c s 2 =C p lnθ 2 +c και s 1 -s 2 = C p ln(θ 1 /Θ 2 ) µε Θ 1, Θ 2 τις αντίστοιχες δυναµικές θερµοκρασίες (2) Άσκηση 3.2: Εντροπία s=q/t Ισχύει: Θ= T P R α C pα Εξίσωση Poisson: µαθηµατική έκφραση του 1 ου θερµοδυναµικού αξιώµατος για τις αδιαβατικές µεταβολές του ξ.α. Για Τ 2 =Θ και Ρ 2 =mb. Θ 1 = 293 970 0.288 και Θ 2 = 263 1020 0.288 και µε αντικαστάσ η στην (2) προκύπτει : (s 1 s ) = 2.94*10 2cal/gr.gra άρα s s > 0 s > s 2 1 2 1 2
Άσκηση 3.3: Μεταβολή της Θερµοκρασίας κατά την κατολίσθηση µιας αέριας µάζας. Θ= T P 0.288 = 53 Θ 2 = 308oK = 35oC 500 R α C pα Εξίσωση Poisson: µαθηµατική έκφραση του 1 ου θερµοδυναµικού αξιώµατος για τις αδιαβατικές µεταβολές του ξ.α. Για Τ 2 =Θ και Ρ 2 =mb. Άσκηση 3.4: Ανοδικές Κινήσεις Αερίων Μαζών
Άσκηση 3.4: Ανοδικές Κινήσεις Αερίων Μαζών Για την ίδια ελάττωση της πιέσεως µεγαλύτερη θα είναι η πτώση της θερµοκρασίας στον ξ.α. απ ότι στον υγρό ΣΕ ΜΙΑ Α ΙΑΒΑΤΙΚΗ ΜΕΤΑΒΟΛΗ τους. Άσκηση 3.4: Ανοδικές Κινήσεις Αερίων Μαζών
Άσκηση 3.4: Ανοδικές Κινήσεις Αερίων Μαζών T T = 0.288(1 0.2r) T = 293 0.288(1 0.2 * 0.02) = 275 o K Εφόσον στα hpa έχουµε κατάσταση κορεσµού αυτό σηµαίνει ότι : Τ = Τ = 275 o K Άσκηση 3.5: υναµική Θερµοκρασία Από τη σχέση: Θ = T P R α C pα προκύπτει Θ 500 = Τ 500 0.288 318oK = Τ 500 500 0.288 500 Τ 500 = 261 ok= -12oC
Άσκηση 3.6: Πρώτο Θερµοδυναµικό Αξίωµα Ισχύει: q= C p T αp (1ο θερµοδυναµικό αξίωµα) R α Τ και επειδή Ρ= ρr α Τ Ρα= R α Τ α= Ρ R Τ q= C α p T P Ρ q= C R α Τ P p T Ρ Άσκηση 3.6: Πρώτο Θερµοδυναµικό Αξίωµα Εφαρµογή της σχέσης για τα δεδοµένα της άσκησης: q= 0.24cal/gr. gra*( 6gra) 0.07cal/gr. gra *303gra*1hPa/hPa q= 1.44cal/gr-0.021cal/gr= -1.46cal/gr
Άσκηση 3.7: Ανοδικές Κινήσεις Αφού στα hpa θα πραγµατοποιηθεί συµπύκνωση = και σηµαίνει ότι: Τ Τ e(θ) =e s (θ ) Άσκηση 3.7: Ανοδικές Κινήσεις Εποµένως: Τ = Τ = 281οΚ = 8οC 0.288 = 300 άρα από την (1) προκύπτει και Τ 0.288 = 281οΚ = 8οC
Άσκηση 3.7: Ανοδικές Κινήσεις e(θ) =e s (θ ) 7.5*8 237.3+ 8 = 6.11*10 = 10.6hPa = e s () Άσκηση 3.8: Υπολογισµός ειδικής σταθεράς και ΜΒ κορεσµένου αέρα mb Μεταξύ των ειδικών σταθερών του υγρού και του ξηρού αέρα ισχύει: (1) e s(0 o C) = 6.11hPa και r s = 0.622 6.11 6.11 = = 0.0038gr/g r και R m = 287(J/kgr. gra) *(1+ 0.61 *0.0038) = 288J/Kgr.g ra
Άσκηση 3.8: Υπολογισµός ειδικής σταθεράς και ΜΒ κορεσµένου αέρα mb (2) Ισχύει m + m ΜΒ= υ α m m υ + α ΜΒ ΜΒ υ α = r+ 1 r + 1 18 29 =... άσκηση 2.9 Εποµένως ΜΒ= 29(1-0.61r) = 29(1-0.61*0.0038) = 28.93 Άρα ΜΒ υγρού < ΜΒ αέρα ξηρού αέρα Άσκηση 3.9: Παραγόµενο Έργο λυµένες
Άσκηση 3.9: Παραγόµενο Έργο Άσκηση 3.9: Παραγόµενο Έργο W= W=JQ=4.18Q
Άσκηση 3.10: Εµπειρική Σχέση Ferrel Ισχύει η εµπειρική σχέση Ferrel: Z(m)=121*(Θ-Θ ) Z(m)=121 * (Θ-Θ )=121 * (14-3)=121 * 11=1331m Άσκηση 3.11: Υπολογισµός Στάθµης Συµπύκνωσης 7.5*3.3 237.3+ 3.3 Για θ= 3.3οC ισχύει: e s = 6.11*10 = 7.74hPa Επίσης ΣΥ= e e e= ΣΥ*e s = 0.80*7.74= 6.19hPa s 7.5*θ 237.3+ θ Ισχύει ακόµα: e= e = 6.11*10 s(θ ) = 6.19hPa
Άσκηση 3.11: Υπολογισµός Στάθµης Συµπύκνωσης θ = 0.2oC Στη στάθµη συµπύκνωσης η θερµοκρασία θα είναι εποµένως Τ = 237,2oΚ και από την εξίσωση Poisson: T 0.288 0.288 P 237.2 = = P P= 931hPa T 969 276.3 969 θ = 0.2oC Άσκηση 3.11: Υπολογισµός Στάθµης Συµπύκνωσης Σηµείωση: Για τον υπολογισµό του σηµείου δρόσου µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε και τη σχέση:
Άσκηση 3.12: Μετατροπή υγρής στερεής κατάστασης Έστω m η συνολική µάζα της υδροσταγόνας και m 1 το ποσό της m που παγώνει τελικά. Για την µετατροπή της µάζας m 1 από υγρή σε στερεή κατάσταση απαιτείται ποσό θερµότητας Q 1 =m 1 L υ =m 1 * 80cal (1) όπου L υ η λανθάνουσα θερµότητα τήξης πήξης του νερού. Άσκηση 3.12: Μετατροπή υγρής στερεής κατάστασης Το ποσό αυτό αποδίδεται από την όλη µάζα της σταγόνας που βρίσκεται σε υπέρψυξη και είναι Q 2 =mc θ=m * 1* (0-(-8))=8m (cal) (2) ισχύει Q 1 =Q 2 και εποµένως 80m 1 =8m άρα m 1 / m = 8 / 80= 0.1= 10% Και συνεπώς θα παγώσει το 10% της ολικής µάζας της υδροσταγόνας.