ιακριτά Μαθηματικά Ι https://www.icsd.aegean.gr/t.tzouramanis/courses/dm1 ttzouram@aegean.gr Πέμπτη 8 εκεμβρίου 2016 Θεόδωρος Τζουραμάνης Επίκουρος Καθηγητής ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων ιμελείς Σχέσεις 2 Καρτεσιανό Γινόμενο Μεταξύ Συνόλων Ορισμός: Το καρτεσιανό γινόμενο δυο διαφόρων του κενού συνόλων Α και Β είναι το σύνολο το οποίο αποτελείται από όλα τα διατεταγμένα ζεύγη (a, b) όπου a A και b B. ΑxΒ = { (a, b): a A, b B} Καρτεσιανό Γινόμενο Μεταξύ Συνόλων Εάν Α = {a, b, c} και Β = {1, 2}, τότε το καρτεσιανό γινόμενο των A, B είναι ΑxΒ ={(a, 1),(a, 2),(b, 1),(b, 2),(c, 1), (c, 2)} Γενίκευση: ιμελής Σχέση R Ορισμός: Μια (διμελής) σχέση R από το σύνολο S στο σύνολο Τ είναι ένα υποσύνολο του SxT. Όταν R SxT και (s, t) R, τότε λέμε ότι το στοιχείο s σχετίζεται με το στοιχείο t και συμβολίζουμε srt. Στην περίπτωση όπου S = T, οπότε R S 2, λέμε ότι έχουμε μια σχέση στο σύνολο S. Πίνακας Σχέσης R Ορισμός: Εάν R είναι μία σχέση ανάμεσα σε δύο σύνολα, τότε ορίζουμε τον πίνακα της σχέσης ως τον ακόλουθο πίνακα με στοιχεία r ij, όπου: r ij = 1 αν (s i, t j ) R 0 αλλιώς 5 6 1
Πίνακας Σχέσης R Εάν S={s 1,s 2,s,s } και Τ ={t 1,t 2,t,t,t 5 }, έστω ότι ορίζουμε τη σχέση: R = {(s 1, t 2 ), (s 2, t 1 ), (s 2, t 2 ), (s 2, t 5 ), (s, t 1 ), (s,t ), (s,t 5 )} SxT Πίνακας Σχέσης R (παράδειγμα εναλλακτικός συμβολισμός) Εάν S={s 1,s 2,s,s } και Τ ={t 1,t 2,t,t,t 5 }, έστω ότι ορίζουμε τη σχέση: R = {(s 1, t 2 ), (s 2, t 1 ), (s 2, t 2 ), (s 2, t 5 ), (s, t 1 ), (s,t ), (s,t 5 )} SxT Τότε ο πίνακας της σχέσης R θα είναι: Τότε ο πίνακας της σχέσης R θα είναι: 7 8 Σχέση R (παραδείγματα) H σχέση < στο σύνολο των ακεραίων ορίζεται ως εξής: Λέμε ότι ο ακέραιος n είναι μικρότερος από τον ακέραιο m εάν η διαφορά τους m n είναι φυσικός αριθμός. n < m m n N Η σχέση < είναι υποσύνολο του Z 2 και περιέχει ως στοιχεία κάποια διατεταγμένα ζεύγη της μορφής: (2, 5), (, 5), (-, 7), αλλά δεν περιέχει τα: (5,1), (8, 6), (, ), κτλ. εύτερος συμβολισμός: Σχέση R (παραδείγματα - συνέχεια) H σχέση ορίζεται με παρόμοιο τρόπο. ={(n, m): m, n Z, m n N {0} } Z 2 ιαπιστώνεται εύκολα ότι η σχέση έχει τις εξής ιδιότητες: n n ανακλαστική ιδιότητα n m, m n n=m αντισυμμετρική ιδιότητα n m, m p n p <={(n, m): m, n Z, m n N } Z 2 μεταβατική ιδιότητα 9 10 Ανακλαστική & Μη-ανακλαστική Ιδιότητα Η σχέση R ονομάζεται ανακλαστική, αν x S, (x, x) R ή ισοδύναμα, αν ισχύει xrx. Η σχέση ονομάζεται μη-ανακλαστική, εάν x S, (x, x) R. Σημείωση: Μια σχέση που δεν ικανοποιεί την ανακλαστική ιδιότητα, δεν είναι απαραίτητα μη-ανακλαστική. 11 Ανακλαστική & Μη-ανακλαστική Ιδιότητα Έστω το σύνολο S={a,b,c}καιοισχέσεις R 1,R 2 και R που ορίζονται σε αυτό (S 2 ): R 1 = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, c)}, R 2 = {(a, a), (b, c), (c, c)}, R = {(a, b), (b, c), (c, a)} Να βρεθεί ποιες σχέσεις είναι ανακλαστικές και ποιες είναι μη-ανακλαστικές. 12 2
Συμμετρική & Αντισυμμετρική Ιδιότητα Η σχέση R ονομάζεται συμμετρική, αν η παρουσία του (x, y) στο R συνεπάγεται και την παρουσία του (y, x) στο R, x, y S, ή ισοδύναμα, εάν ισχύει: (x, y) R (y, x) R ή xry yrx ΗσχέσηR ονομάζεται αντισυμμετρική, αν η ταυτόχρονη παρουσία των (x, y) και (y, x) στο R συνεπάγεται την ισότητα των x και y, x,y S, ήισοδύναμα, αν ισχύει: (x, y) R και (y, x) R x = y xry και yrx x = y ή 1 Συμμετρική & Αντισυμμετρική Ιδιότητα Έστω το σύνολο S={a,b,c}καιοισχέσεις R,R 5,R 6 και R 7 που ορίζονται σε αυτό: R = {(a, a), (b, c), (c, b)}, R 5 = {(b, a), (a, c), (c, b)} R 6 = {(a, a), (c, c)}, R 7 = {(a, b), (a, c), (c, a)} Να βρεθεί ποιες σχέσεις είναι συμμετρικές και ποιες είναι αντισυμμετρικές. 1 Μεταβατική Ιδιότητα Η σχέση R ονομάζεται μεταβατική, αν η ταυτόχρονη παρουσία των (x, y) και (y, z) στο R συνεπάγεται την παρουσία του (x, z) στο R, x,y,z S, ήισοδύναμα, αν ισχύει: (x, y) R και (y, z) R (x, z) R ή xry και yrz xrz Μεταβατική Ιδιότητα Έστω η σχέση R 8 = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, c)} που ορίζεται επί του συνόλου S={a,b,c}. Να εξεταστεί αν η σχέση είναι μεταβατική. Να σχεδιαστεί ο πίνακας της σχέσης R 8. 15 16 Σχέση R και Πίνακας Σχέσης R (ασκήσεις) 1. Έστω το σύνολο S = {s 1, s 2, s, s } και η σχέση R που ορίζεται από τον παρακάτω πίνακα: Σχέση R και Πίνακας Σχέσης R (ασκήσεις - συνέχεια) 2. Έστω το σύνολο S={s 1,s 2,s } και η σχέση R που ορίζεται από τον παρακάτω πίνακα: Μελετώντας τον πίνακα, να βρεθεί ποιες από τις ιδιότητες των σχέσεων ικανοποιεί ησχέσηr. 17 Μελετώντας τον πίνακα, να βρεθεί ποιες από τις ιδιότητες των σχέσεων ικανοποιεί ησχέσηr. 18
Σχέσεις (ασκήσεις) 1. Έστω οι παρακάτω πέντε σχέσεις στο σύνολο S = {1, 2,, }: a. R 1 = {(1,1), (1,2), (2,), (1,), (,)} b. R 2 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (,), (,)} c. R = {(1,), (2,1)} d. R = SxS (η γενικήσχέση) Να προσδιοριστεί ποιες από τις ιδιότητες των σχέσεων ικανοποιούν οι σχέσεις R 1, R 2, R και R. 19 Σχέσεις (ασκήσεις - συνέχεια) 2. Έστω οι παρακάτω σχέσεις: a. Ησχέση (μικρότερο ή ίσο) επί του συνόλου Z των ακεραίων b.η σχέση (καθετότητα) επί του συνόλου L των ευθειών του επιπέδου c. Ησχέση (παραλληλία) επί του συνόλου L των ευθειών του επιπέδου. d.η σχέση/(διαιρετότητα) επί του συνόλου Ν των φυσικών αριθμών (στη σχέση αυτή είναι x/y εάν υπάρχει z: x/y=z, με x, y, z N). Να προσδιοριστεί ποιες από τις ιδιότητες των σχέσεων ικανοποιούν οι σχέσεις αυτές. 20 Κατευθυνόμενα Γραφήματα * Έστω το σύνολο S={1,2,,}και η σχέση R = {(1,2), (2,2), (2,), (,2), (,), (,1), (,)} S 2 1 2 Κατευθυνόμενα Γραφήματα Έστω το σύνολο S={1,2,,}και η σχέση R = {(1,1), (2,2), (2,), (,2), (,2), (,)} Να σχεδιαστεί ο πίνακας και το κατευθυνόμενο γράφημα της σχέσης R. Να εξεταστεί αν η σχέση R είναι ανακλαστική, μη-ανακλαστική, συμμετρική, αντισυμμετρική και μεταβατική. Κατευθυνόμενο Γράφημα της σχέσης R 21 22 Σχέσεις Ισοδυναμίας Ορισμός: Έστω R μια σχέση στο μη κενό σύνολο S. Η σχέση R ονομάζεται σχέση ισοδυναμίας επί του S αν είναι ανακλαστική, συμμετρική και μεταβατική. Ακριβολογώντας, η σχέση R ονομάζεται σχέση ισοδυναμίας επί του S αν ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες: Σχέσεις Ισοδυναμίας (παραδείγματα) 1. Έστω η παρακάτω σχέση επί του συνόλου S = {1, 2, }: R = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (,)} Να εξεταστεί εάν η σχέση R είναι σχέση ισοδυναμίας επί του S. a S, ara (ανακλαστική) Εάν arb τότε bra (συμμετρική) Εάν arb και brc τότε arc (μεταβατική) 2 2
ιακριτά Μαθηματικά Ι ιμελείς Σχέσεις - Πέρας Παρουσίασης - Θεόδωρος Τζουραμάνης Επίκουρος Καθηγητής ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 5