Υδραυλική των Υπόγειων Ροών

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 4: Υδραυλική των πηγαδιών Καθηγητής Κωνσταντίνος Λ. Κατσιφαράκης Αναπληρωτής Καθηγητής Νικόλαος Θεοδοσίου Καθηγητής Περικλής Λατινόπουλος ΑΠΘ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Υδραυλική των πηγαδιών

Ορισμοί και γενικότητες (1/4) Πηγή: Ξυγγόπουλος Α., Οι τοιχογραφίες του Αγίου Νικολάου Ορφανού, Αθήνα 1964, σελίδα 46, Πίνακας 90. 5

Ορισμοί και γενικότητες (/4) Χειροκίνητη αντλία νερού. Πηγή: Προσωπικό Αρχείο Κ. Κατσιφαράκη. 6

Ορισμοί και γενικότητες(3/4) Πτώση στάθμης : s(x, y, t) Σχήμα 1: Πτώση στάθμης σε υπόγειους υδροφορείς: (α) με ελεύθερη επιφάνεια (β) με πίεση. Πηγή: Π. Λατινόπουλος,, Υπηρεσία Δημοσιευμάτων ΑΠΘ, 1986, σελ.100. 7

Ορισμοί και γενικότητες(4/4) Let us do everything as simply as possible, but then, no more simply than that A. Einstein 8

Υπόθεση οριζόντιας ροής (1/) Σχήμα : Εξαιρέσεις της υπόθεσης οριζόντιας ροής: (α) άντληση από φρεάτιο υδροφορέα με σημαντική πτώση στάθμης (β) ροή σε πηγάδι μερικής διείσδυσης σε περιορισμένο υδροφορέα. Πηγή: Π. Λατινόπουλος 1986, σελ.101. 9

Υπόθεση της μόνιμης ροής (/) Σε έναν άπειρης έκτασης υδροφορέα, θεωρητικά δεν είναι δυνατόν να υπάρξει μόνιμη ροή, αφού αντλούμε συνεχώς νερό από το πηγάδι, άρα ο κώνος πτώσεως αυξάνεται συνεχώς. Πρακτικά μετά από κάποιο χρονικό διάστημα, η πρόσθετη πτώση στάθμης γίνεται ανεπαίσθητη. Έτσι μπορούμε να ορίσουμε την ακτίνα επιρροής του πηγαδιού με τον ακόλουθο τρόπο: Ακτίνα επιρροής ενός πηγαδιού είναι η απόσταση πέρα από την οποία η ροή δεν επηρεάζεται από τη λειτουργία του πηγαδιού αυτού. Αξίζει να σημειωθεί ότι στα μόνιμα φαινόμενα δεν υπεισέρχεται η αποθηκευτικότητα. 10

Μόνιμες ροές σε πηγάδια Πηγάδι σε περιορισμένο υδροφορέα (1/) Σχήμα 3: Πηγάδι σε περιορισμένο υδροφορέα Πηγή: Π. Λατινόπουλος 1986, σελ.103. 11

Μόνιμες ροές σε πηγάδια Πηγάδι σε περιορισμένο υδροφορέα (/) d φ dr 1 r dφ dr 0 d s dr s C 1 1 r ds dr lnr C 0 πr Tds dr o (Darcy) (s 0 για r R) s o πt R ln r (σχέση του Dupuit) s 1 s o πt r ln r 1 (σχέση του Thiem) s s o o πt ln r r o 1 1

Ακτίνα του πηγαδιού Μπορεί να χρησιμοποιηθεί με ασφάλεια μόνο στην περίπτωση ανεπένδυτης γεώτρησης, οπότε είναι ίση νε την ακτίνα της οπής της γεώτρησης. Στις συνηθισμένες περιπτώσεις, όπου οι αντλήσεις γίνονται από διάτρητα τμήματα σωληνώσεων των γεωτρήσεων και ιδιαίτερα όταν υπάρχουν αμμοχαλικώδη φίλτρα, η στάθμη του νερού μέσα στο πηγάδι είναι σε διαφορετικό βάθος από τη στάθμη της πιεζομετρικής επιφάνειας εξωτερικά του πηγαδιού. Σε αυτές τις περιπτώσεις το r 0 που υπεισέρχεται στις εξισώσεις είναι μεγαλύτερο από την ακτίνα της γεώτρησης. 13

Μόνιμες ροές σε πηγάδια Πηγάδι σε φρεάτιο υδροφορέα (1/) Σχήμα 4: Πηγάδι σε φρεάτιο υδροφορέα. Πηγή: Π. Λατινόπουλος 1986, σελ.106. 14

Μόνιμες ροές σε πηγάδια Πηγάδι σε φρεάτιο υδροφορέα (/) πrhq r σταθ. dh πrhk dr o (Darcy) hdh C 1 lnr C h H H o πk h h o dr r o lnr C πk o R ln πk r o R ln πk r o (h H για r R) (h h o για r r ) o (σχέση Dupuit - Forchheimer) s o πkh1 s H ln R r (s H h) s o πt R ln r (T KH) 15

Μόνιμες ροές σε πηγάδια-πηγάδι σε περιορισμένο υδροφορέα με διαρροή (1/7) Σχήμα 5: Πηγάδι σε περιορισμένο υδροφορέα με διαρροή. Πηγή: Π. Λατινόπουλος 1986, σελ.108. 16

Μόνιμες ροές σε πηγάδια - Πηγάδι σε περιορισμένο υδροφορέα με διαρροή (/7) 17

Μόνιμες ροές σε πηγάδια - Πηγάδι σε περιορισμένο υδροφορέα με διαρροή (3/7) 18

Μόνιμες ροές σε πηγάδια-πηγάδι σε περιορισμένο υδροφορέα με διαρροή (4/7) Τροποποιημένες συναρτήσεις Bessel Λύσεις της εξίσωσης: x y xy x n y 0 19

Μόνιμες ροές σε πηγάδια-πηγάδι σε περιορισμένο υδροφορέα με διαρροή (5/7) Άσκηση Υδροφορέας υπό πίεση, πάχους 18 m και υδραυλικής αγωγιμότητας.6 10-3 m/s, περιορίζεται από κάτω από αδιαπέρατο πυθμένα, ενώ από πάνω από ημιπερατό στρώμα πάχους 3 m και υδραυλικής αγωγιμότητας 5.6 10-6 m/s. Ο υπερκείμενος φρεάτιος υδροφορέας εμφανίζει μια οριζόντια, σταθερής στάθμης, ελεύθερη επιφάνεια. Στον υπό πίεση υδροφορέα λειτουργεί πηγάδι άντλησης, εσωτερικής διαμέτρου 0.50 m, με παροχή 0.05 m 3 /s. Θεωρώντας ότι έχει αποκατασταθεί το μόνιμο φαινόμενο, ζητούνται: α) Να υπολογισθεί η πτώση στάθμης στην παρειά του πηγαδιού. β) Να υπολογισθεί η απόσταση r από τον άξονα του πηγαδιού στην οποία η πτώση στάθμης στον υδροφορέα είναι το 1/8 της αντίστοιχης τιμής στην παρειά του πηγαδιού. γ) Να υπολογισθεί η παροχή του υπόγειου νερού που περνάει από την κυλινδρική διατομή του υδροφορέα με ακτίνα r (που υπολογίσθηκε στο ερώτημα β). 0

Μόνιμες ροές σε πηγάδια-πηγάδι σε περιορισμένο υδροφορέα με διαρροή (6/7) Λύση Τ = bk = 18.6 10-3 = 4.68 10 - m/s λ = (Τb 1 /K 1 ) 1/ = 4.68 10-3/(5.6 10-6 ) = 158.34 m r 0 /λ = 1.58 10-3 << 1 1

Μόνιμες ροές σε πηγάδια-πηγάδι σε περιορισμένο υδροφορέα με διαρροή (7/7)

Μόνιμες ροές σε πηγάδια-πηγάδι σε περιορισμένο υδροφορέα με διαρροή (7α/7) 3

Μόνιμες ροές σε πηγάδια-πηγάδι σε φρεάτιο υδροφορέα με διαρροή (1/) Σχήμα 6: Πηγάδι σε φρεάτιο υδροφορέα με διαρροή. Πηγή: Π. Λατινόπουλος 1986, σελ.111. 4

Μόνιμες ροές σε πηγάδια-πηγάδι σε φρεάτιο υδροφορέα με διαρροή (/) C dc dr dh πtr dr φ h πr c (Darcy) (εξίσωση συνέχειας) d h dr 1 r dh dr φ h Tc 0 (h H για r και o για r r o ) h φ o K πt o (r λ) o r λ K 1 ( r λ ) (λ (Tc) 1 ) 5

Συστήματα πηγαδιών (1/3) Εφαρμογή της αρχής της επαλληλίας Ροή υπό πίεση s n s i i1 s 1 K n i1 i ln (x x i ) (y R y i ) n i1 i T ln R r i Ροή με ελεύθερη επιφάνεια H h 1 1 K n i1 i ln (x x i ) (y R y i ) 6

Συστήματα πηγαδιών (/3) Ειδική περίπτωση. Ίσες παροχές πηγαδιών σε ροή υπό πίεση 1 = = = n = 0 s n i1 0 T ln R r i n0 T ln R r * i όπου r * i r 1 r... r n 1/ n 7

Συστήματα πηγαδιών (3/3) Σχήμα 7: Γραμμή πηγαδιών σε περιορισμένο υδροφορέα. s i o πτ j j ln [ x R (y jα) ] 1 s i o πτ ln cosh π(x cosh π(x R) / α R) / α cos πy / α cos πy / α 8

Η μέθοδος των εικόνων (1/8) Η μέθοδος των εικόνων χρησιμοποιείται για την κατασκευή του μαθηματικού ομοιώματος σε ημιάπειρα πεδία ροής, στα οποία υπάρχουν ευθύγραμμα όρια. Στην ουσία είναι η διαδικασία με την οποία μπορούμε να αναχθούμε σε ένα ισοδύναμο άπειρο πεδίο ροής και να χρησιμοποιήσουμε τους γνωστούς τύπους υπολογισμού του υδραυλικού φορτίου και των ταχυτήτων, που ισχύουν σε αυτό. Το τίμημα που πληρώνουμε για να απαλλαγούμε από τα όρια είναι ότι στο ισοδύναμο άπειρο πεδίο υπάρχουν πολλαπλάσια πηγάδια από τα πραγματικά. Έτσι, αν στο πραγματικό πεδίο υπάρχει ένα ευθύγραμμο όριο και n πηγάδια, στο ισοδύναμο θα υπάρχουν συνολικά n πηγάδια. Τα πρόσθετα φανταστικά πηγάδια είναι συμμετρικά των πραγματικών ως προς το όριο, όπως φαίνεται στο σχήμα 1. Σε αυτό το γεγονός οφείλει η μέθοδος το όνομά της, αφού τα φανταστικά πηγάδια είναι «εικόνες» των πραγματικών ως προς το όριο. 9

Η μέθοδος των εικόνων (/8) Σχήμα 8: Εφαρμογή της μεθόδου εικόνων για πηγάδι κοντά σε όριο δεξαμενής. Πηγή: Π. Λατινόπουλος 1986, σελ.143. 30

Η μέθοδος των εικόνων (3/8) Σχήμα 9: Εφαρμογή της μεθόδου εικόνων για πηγάδι κοντά σε όριο δεξαμενής. 31

Η μέθοδος των εικόνων (4/8) Εφαρμογή της μεθόδου εικόνων για πηγάδι κοντά σε όριο δεξαμενής. Ροή υπό πίεση s o πτ R ln r o πτ R ln r' o πτ r' ln r o 4πΤ ln (x (x x x o o ) ) y y s 1 K n i1 i ln (x (x x x i i ) ) (y (y y y i i ) ) Ροή με ελεύθερη επιφάνεια H h 1 1 K n i1 i ln (x (x x x i i ) ) (y (y y y i i ) ) 3

Η μέθοδος των εικόνων (5/8) Σχήμα 10: Εφαρμογή της μεθόδου εικόνων για πηγάδι κοντά σε αδιαπέρατο όριο. Πηγή: Π. Λατινόπουλος 1986, σελ.145. 33

Η μέθοδος των εικόνων (6/8) Σχήμα 11: Εφαρμογή της μεθόδου εικόνων για πηγάδι κοντά σε αδιαπέρατο όριο. 34

Η μέθοδος των εικόνων (7/8) Εφαρμογή της μεθόδου εικόνων για πηγάδι κοντά σε αδιαπέρατο όριο Ροή υπό πίεση s o πτ R ln r o πτ R ln r' o πτ R ln rr' o 4πΤ ln [(x x o ) 4 R y ][(x x o ) y ] Ροή με ελεύθερη επιφάνεια H h 1 1 K n i1 i ln (x x i ) (y y i ) R (x x i ) (y y i ) 35

Η μέθοδος των εικόνων (8/8) Υδροφορέας μεταφορικότητας Τ=510-3 m /s, περιορίζεται από κάτω από οριζόντιο αδιαπέρατο πυθμένα, ενώ από πάνω από οριζόντιο ημιπερατό στρώμα με συντελεστή αντίστασης c = 510 7 s. Από το πηγάδια Α και Β, που βρίσκονται κοντά σε λίμνη (όπως φαίνεται σε κάτοψη στο σχήμα), αντλείται συνολική παροχή =0.09 m 3 /s. Πώς πρέπει να κατανεμηθεί η παροχή στα αυτά πηγάδια, ώστε να παρουσιάζεται ίση πτώση στάθμης στις παρειές τους; Πόση είναι αυτή η πτώση στάθμης; Δίνεται ότι οι ακτίνες των πηγαδιών είναι r A = r B = 0.0 m, ενώ η ροή θεωρείται μόνιμη. 40 A Λίμνη 30 85 B 36

Η μέθοδος των εικόνων (9/8) 37

Η μέθοδος των εικόνων (10/8) 40 A Λίμνη 30 85 B 38

Η μέθοδος των εικόνων (11/8) 40 A Λίμνη 30 85 B 39

Η μέθοδος των εικόνων (11α/8) 40 A Λίμνη 30 85 B 40

Η μέθοδος των εικόνων (1/8) Για να γίνουν εργασίες σε ξηρό πυθμένα στην ορθογωνική εκσκαφή ΑΒΓΔ, που φαίνεται σε τομή και κάτοψη στο σχήμα, θα κατασκευασθεί ένα πηγάδι, στο μέσο της πλευράς ΑΒ ή στο μέσο της ΓΔ ή στο μέσο της ΔΑ. α) Σε ποιο σημείο πρέπει να κατασκευασθεί το πηγάδι αυτό, ώστε να μη μπαίνει νερό σε κανένα σημείο της εκσκαφής με το μικρότερο δυνατό κόστος άντλησης; β) Πόσο είναι αυτό το ελάχιστο κόστος και πόση η αντίστοιχη αντλούμενη παροχή; Δίνεται ότι: α) Ο συντελεστής σχετικής διαπερατότητας του υδροφορέα είναι Κ= 5.3 10-5 m/s. β) Η ακτίνα του πηγαδιού είναι r = 0.0 m και γ) Το κόστος C δίνεται από τον τύπο: C = A ΔH w όπου A είναι ένας σταθερός συντελεστής, η αντλούμενη παροχή και ΔH w η απόσταση της επιφάνειας του εδάφους από τη στάθμη του νερού στο πηγάδι. Σημείωση: Δώστε το αποτέλεσμα για το κόστος ως συνάρτηση του συντελεστή Α. 41

Η μέθοδος των εικόνων (13/8) θάλασσα 6 Α Β 50 Δ Γ 30 85 8 89 4

Η μέθοδος των εικόνων (14/8) θάλασσα 6 Α Β 50 Δ Γ 30 H h 1 1 K π ln (x x (x x i i ) ) (y y (y y Θα πρέπει να ελεγχθούν και οι 3 περιπτώσεις τοποθέτησης του πηγαδιού. 85 8 89 α) Τοποθέτηση του πηγαδιού στο Ε (μέσο της ΑΒ). Κρίσιμα σημεία ελέγχου είναι το Γ (ή το Δ), που είναι το πιο απομακρυσμένο από το πηγάδι και το Α (ή το Β), που είναι το σχετικώς πιο απομακρυσμένο από το πηγάδι, από τα σημεία που είναι πλησιέστερα στη θάλασσα Έλεγχος στο Α 8 85 πk Έλεγχος στο Γ ln 14 15 15 501 πk ln(0.1) 501πK.119 i i ) ) 0.0393m 3 / s 8 85 πk ln 50 174 15 15 501 πk ln(0.99) 501πK 1.08 0.0691m 3 / s 43

Η μέθοδος των εικόνων (15/8) Η ελάχιστη απαιτούμενη παροχή, αν το πηγάδι τοποθετηθεί στο Ε, είναι: = 0.0691 m 3 /s Η στάθμη στη θέση του πηγαδιού για τη συγκεκριμένη παροχή είναι: H 85 K 0. ln 14 75 K ( 6.43) 75 670 4555 H 67.49m Άρα: ΔΗ w = 89-67.49 = 1.51 m και το αντίστοιχο κόστος άντλησης: C = A ΔH w =Α 0.0691 1.51= 1.486Α β) Τοποθέτηση του πηγαδιού στο Ζ (μέσο της ΓΔ). Κρίσιμο σημείο ελέγχου είναι το Α (ή το Β), που είναι το πιο απομακρυσμένο από το πηγάδι και συγχρόνως από τα πλησιέστερα στη θάλασσα. Είναι: 8 85 πk ln 50 174 15 15 501 πk ln(0.99) 501πK 1.08 0.0691m 3 / s H 85 K ln 0. 4 75 K ( 7.01) 75 915. 4309.78 H 65.65m 44

Η μέθοδος των εικόνων (16/8) Α 50 Δ Άρα: ΔΗ w = 89-65.65 = 3.35 m θάλασσα 6 Β Γ 30 και C = A ΔH w =Α 0.0691 3.35 = 1.613Α 85 8 89 β) Τοποθέτηση του πηγαδιού στο Η (μέσο της ΑΔ). Κρίσιμο σημείο ελέγχου είναι το Β, που είναι το πιο απομακρυσμένο από το πηγάδι και συγχρόνως από τα πλησιέστερα στη θάλασσα. Είναι: 8 85 K ln 5 149 30 30 501 K ln(0.57) 501K 1.359 0.0614m 3 / s 0. H 85 ln 75 ( 6.768) 75 495 4730 H 68.78m K 174 K Άρα ΔΗ w = 89-68.78 = 0. m και C = A ΔH w =Α 0.0614 0. = 1.4Α Συνεπώς το πηγάδι πρέπει να κατασκευασθεί στο μέσο της ΑΔ και η απαιτούμενη παροχή είναι = 0.0614 m 3 /s 45

Η μέθοδος των εικόνων (17/8) A 3 y A 1 Ο x A 4 Η μέθοδος των εικόνων ισχύει και σε ορισμένες περιπτώσεις τεμνομένων ευθύγραμμων ορίων. Για να είναι ακριβής η λύση πρέπει: α) Ο αριθμός των εικονικών πηγαδιών να είναι πεπερασμένος β) Το είδος τους (άντλησης ή φόρτισης) να είναι μονοσήμαντα ορισμένο και γ) Να μην τοποθετούνται εικονικά πηγάδια μέσα στο πραγματικό πεδίο ροής. A 46

Η μέθοδος των εικόνων (18/8) Η μέθοδος των εικόνων εφαρμόζεται και όταν το όριο διαχωρίζει δύο ζώνες του υδροφορέα με διαφορετική μεταφορικότητα. Αν Τ 1 και Τ είναι οι μεταφορικότητες των δύο ζωνών αντιστοίχως και το πηγάδι βρίσκεται στη ζώνη 1, τότε η πτώση στάθμης σε οποιοδήποτε σημείο (x,y) της ίδιας ζώνης δίνεται από τη σχέση: Αν το εξεταζόμενο σημείο βρίσκεται στην άλλη ζώνη (εν προκειμένω την ζώνη ), η πτώση στάθμης δίνεται από την ακόλουθη σχέση: 47

Η μέθοδος των εικόνων (19/8) Στο κτήμα ΑΒΓΔ, που φαίνεται σε κάτοψη στο σχήμα, θα κατασκευασθεί μία γεώτρηση ακτίνας r 0 = 0.5 m από την οποία θα αντλείται παροχή = 30 l/s. Σε ποιο σημείο του κτήματος πρέπει να κατασκευασθεί η γεώτρηση αυτή, ώστε η πτώση στάθμης στην παρειά της να είναι η μικρότερη δυνατή; Πόση είναι αυτή η πτώση στάθμης; Δίνεται ότι: α) Η ροή γίνεται υπό πίεση β) ο συντελεστής σχετικής διαπερατότητας του υδροφορέα είναι Κ = 10-5 m/s και το πάχος του α = 30 m. γ) Λόγω της μεγάλης διάρκειας της άντλησης μπορούν να χρησιμοποιηθούν οι τύποι για τη μόνιμη ροή. Αιτιολογήστε την απάντησή σας. 48

Η μέθοδος των εικόνων (0/8) Δ Γ Αδιαπέρατος εδαφικός σχηματισμός 0 100 70 Α Β 40 Λίμνη 49

Η μέθοδος των εικόνων (1/8) Στο ορθογωνικό αγροτεμάχιο ΑΒΓΔ, που φαίνεται σε κάτοψη στο σχήμα, λειτουργεί η γεώτρηση Ε, που βρίσκεται στο μέσο του, και από την οποία αντλούνται 40 l/s για αρδευτικούς σκοπούς. Σε ποιό σημείο του αγροτεμαχίου πρέπει να γίνει μια δεύτερη γεώτρηση, από την οποία θα αντλούνται άλλα 5 l/s, ώστε η πτώση στάθμης στην παρειά της να είναι η μικρότερη δυνατή; Πόση είναι αυτή η πτώση στάθμης (σε συνθήκες μόνιμης ροής); Δίνεται ότι: α) Η μεταφορικότητα του υποκείμενου υδροφορέα είναι Τ = 0.00 m /s β) Η ακτίνα της γεώτρησης είναι 0.5 m γ) Η ροή γίνεται παντού υπό πίεση. 50

Η μέθοδος των εικόνων (/8) Δ Γ 40 70 Ε 50 Λίμνη Α Β 30 Αδιαπέρατος εδαφικός σχηματισμός 51

Η μέθοδος των εικόνων (3/8) Ποια είναι η μέγιστη παροχή max που μπορούμε να αντλήσουμε μέσω του πηγαδιού Α από τον ημιάπειρο υδροφορέα, που φαίνεται σε κάτοψη στο σχήμα, ώστε να πληρούνται συγχρόνως οι ακόλουθοι περιορισμοί: α) Η πτώση στάθμης να μην ξεπερνά τα 31 m σε κανένα σημείο του υδροφορέα και β) Η πτώση στάθμης στην προστατευόμενη περιοχή να μην ξεπερνά τα 17 m. Δίνεται ότι: α) Το πάχος του υδροφορέα είναι α = 50 m και ο συντελεστής σχετικής διαπερατότητας Κ= 10-4 m/s β) Η ακτίνα του πηγαδιού είναι r 0 = 0.0 m και η ακτίνα επιρροής R = 3000 m γ) Η ροή είναι μόνιμη και γίνεται παντού υπό πίεση. Ως σημείο ελέγχου για την προστατευόμενη περιοχή να θεωρηθεί το Β, δηλαδή το πλησιέστερο στο πηγάδι. αδιαπέρατος εδαφικός σχηματισμός 50 50 40 Α Β προστατευόμενη περιοχή αδιαπέρατος εδαφικός σχηματισμός 5

Η μέθοδος των εικόνων (4/8) s ln K x x y y x x y y x x y y x x y y A A A A R 4 A A A A Η μέγιστη πτώση στάθμης εμφανίζεται στην παρειά του Α. Είναι: s A r 0 100 100 ln ln ln 9.616 3.401 3. 055 K R R R K 31 31.847( 19.473) 0.05 m 3 /s αδιαπέρατος εδαφικός σχηματισμός 50 40 Α 50 Β προστατευόμενη περιοχή αδιαπέρατος εδαφικός σχηματισμός 53

Η μέθοδος των εικόνων (5/8) Για το σημείο Β έχουμε: s B ln K 40 R ln 40 100 R 40 100 ln 40 R 17 K 3 3.317 3.18.806 0.04 m / s αδιαπέρατος εδαφικός σχηματισμός 50 40 Α 50 Β προστατευόμενη περιοχή αδιαπέρατος εδαφικός σχηματισμός 54

Η μέθοδος των εικόνων (6/8) Στο αγροτεμάχιο ΑΒΓΔ, που φαίνεται σε κάτοψη στο σχήμα, λειτουργεί η γεώτρηση Ε, από την οποία αντλείται παροχή Ε = 44 l/s. Σε ποιο σημείο του αγροτεμαχίου πρέπει να γίνει μια δεύτερη γεώτρηση, από την οποία θα αντλείται πρόσθετη παροχή 3 l/s, ώστε η πτώση στάθμης στην παρειά της να είναι η μικρότερη δυνατή; Πόση είναι αυτή η πτώση στάθμης; Δίνεται ότι: α) Το πάχος του υδροφορέα, που επικοινωνεί υδραυλικά με τη λίμνη είναι α = 50 m και ο συντελεστής σχετικής διαπερατότητας Κ= 10-4 m/s β) Η ακτίνα κάθε πηγαδιού είναι r0= 0.0 m γ) Η ροή είναι μόνιμη και γίνεται παντού υπό πίεση. δ) Οι συντεταγμένες των Α, Β, Γ, Δ και Ε (με άξονες συντεταγμένων τα όρια) είναι: Α (10,160), Β(10, 110), Γ(170,110), Δ(10,160) και Ε(145,135). 55

56 Α Β Γ Δ λίμνη λίμνη (0,0) Ε Η μέθοδος των εικόνων (7/8) n 1 i i i i i i i i i i ) y y ( ) x x ( ) y y ( ) x x ( ) y y ( ) x x ( ) y y ( ) x x ( ln Ka 1 h π Δ Λύση Η πτώση στάθμης σε τυχόν σημείο (x,y) του πεδίου είναι:

Η μέθοδος των εικόνων (8/8) Αν κατασκευασθεί η νέα γεώτρηση στο Β, η πτώση στάθμης είναι: Δh Δ B h B 1 πka 31.847 B 0. ln 40 0 0 40 E ln 5 5 5 0.03 6.7 0.044( 1.636 ) 9. 1 (10 145 ) 45 m 5 (110 135 ) 65 Αν κατασκευασθεί η νέα γεώτρηση στο Δ, η πτώση στάθμης είναι: Δh Δ 1 πka Δ 0. ln 40 30 40 30 E ln 65 65 5 ( 10 145 ) (135 160 ) (160 135 ) (145 10 ) 5 Δh Δ 31.847 0.03 7.149 0.044( 1.07 8. 97 m 57

Μη μόνιμη ροή σε περιορισμένο υδροφορέα (1/6) Σχήμα 1: Πηγάδι σε περιορισμένο υδροφορέα. Πηγή: Π. Λατινόπουλος 1986, σελ.113. 58

Μη μόνιμη ροή σε περιορισμένο υδροφορέα (/6) S 1 T t r r r S s s 1 s T t r r r 59

Μη μόνιμη ροή σε περιορισμένο υδροφορέα (3/6) οριακές και αρχικές συνθήκες s(r,0) = 0 s(,t) = 0 60

Μη μόνιμη ροή σε περιορισμένο υδροφορέα (4/6) s o Wu 4πT u Sr 4Tt 61

Μη μόνιμη ροή σε περιορισμένο υδροφορέα (5/6) W(u) ln u n1 n ( 1) u n n! n s(r, t) o 4πT ln.5tt r S o πt ln 1.5(tT r S) 1 (u 0.01) 0 s 4T ln u 6

Μη μόνιμη ροή σε περιορισμένο υδροφορέα (6/6) Τιμές της συνάρτησης W(u) 63

Μη μόνιμες ροές σε πηγάδια - Παροχή μεταβλητή κατά βαθμίδες (1/3) s(r, t) 1 4πT n i1 ( i o i1 o Sr )W( 4T(t t i1 ) ) όταν t n1 t t n s(r, t n ) 1 4πT n i1 i o Sr W( 4T(t t i1 ) ) Sr W( 4T(t ) ti) (για t t n ) 64

Μη μόνιμες ροές σε πηγάδια - Παροχή μεταβλητή κατά βαθμίδες (/3) Σχήμα: Περιπτώσεις μεταβολής παροχής άντλησης. (α) αύξηση της αντλούμενης παροχής και (β) διακοπή της άντλησης. Πηγή: Π. Λατινόπουλος 1986, σελ.117. 65

Μη μόνιμες ροές σε πηγάδια - Παροχή μεταβλητή κατά βαθμίδες (3/3) Περιπτώσεις μεταβολής παροχής άντλησης: α) Αύξηση παροχής s( r, t) 1 o Sr W ( ) αν t t 4πT 4Tt 1 s( r, t) 1 o Sr W ( 4πT 4Tt o ) 4πT 1 o Sr W ( 4T ( t t 1 ) ) αν t t 1 β) Διακοπήτης άντλησης s( r, t) 1 o Sr W ( 4πT 4Tt ) αν t t 1 s( r, t) 1 o 4πT Sr W ( 4Tt Sr ) W ( 4T ( t t 1 ) ) αν t t 1 Για t t s( r, t) 1 1 o 4πT s υπολειμματική πτώση στάθμης t ln t t 1 ( για u 0. 01) 66

Μη μόνιμες ροές σε πηγάδια Ασκήσεις (1/9) Τα πηγάδια Α, Β και Γ, που φαίνονται σε κάτοψη στο σχήμα, έχουν ακτίνα r 0 = 0.5 m και μπορούν να αντλήσουν νερό από περιορισμένο υδροφορέα μεγάλης έκτασης. Ο υδροφορέας αυτός έχει μεταφορικότητα T =.5 10-3 m /s και αποθηκευτικότητα S = 10-4 Την χρονική στιγμή t = 0 αρχίζει άντληση με παροχή Β = 0.05 m 3 /s από το πηγάδι Β. Μισή ώρα αργότερα (t = 1800) αρχίζει άντληση με παροχή Α = 0.04 m 3 /s από το πηγάδι Α. Μετά από μισή ώρα ακόμη (t = 3600) αρχίζει άντληση παροχής Γ =από το πηγάδι Γ. Ποιά είναι η μεγαλύτερη δυνατή τιμή, που μπορεί να έχει η Γ, ώστε η πτώση στάθμης για t = 700s να μη ξεπερνά τα 3m σε κανένα σημείο του υδροφορέα; Α Β Γ 80 90 67

Μη μόνιμες ροές σε πηγάδια Ασκήσεις (/9) Λύση Οι χαμηλότερες στάθμες εμφανίζονται στις παρειές των πηγαδιών. Χρειάζεται να ελεγχθεί η παρειά του Α; Στο σημείο Β έχω: s B 4 B 10 0.5 W 4T 3 4.510 700 A 4T 4 10 80 W 3 4.510 5400 4T 4 10 90 W 3 4.510 3600 0.05 3.14 10 n.5.510 0.5 3 10 700 4 0.04 3.14 10 W0.05 W 0.01185 3.14 10 68

Μη μόνιμες ροές σε πηγάδια Ασκήσεις (3/9) 69

1.593 Μη μόνιμες ροές σε πηγάδια Ασκήσεις (4/9) 0.04 15.684 3.8898 3.456 4.97 4.9551 103. 363 3.1410 Άρα, για s B = 3 έχουμε: 3.1410 3 9.951 103.363.0749 103.363 0.00 m 3 / s Στο σημείο Γ έχω: s 4T 4 10 0.5 W 3 4.510 3600 B 4T 4 10 90 W 3 4.510 700 A 4T 4 10 170 W 3 4.510 5400 70

Μη μόνιμες ροές σε πηγάδια Ασκήσεις (5/9) 3.1410 7 B A 10 W 1.1510 W 5.35 10 W 1.736 3.1410 3.1410 3.1410 14,99 B 3.1410 3.9378 A 3.1410.4043 477,39 6.7 3.063 Άρα, για s Γ = 3 έχουμε: 3 = 477.39 Γ +9.333 477.39 Γ =.667 Γ = 0.0475 m 3 /s Η μεγαλύτερη δυνατή τιμή για την Γ είναι η μικρότερη από τις, επομένως Γ = 0.0 m 3 /s 71

Τέστ (1/) Θέμα 1 ο (6 μονάδες) Για να γίνουν εργασίες σε ξηρό πυθμένα σε καθένα από τα ορθογωνικά οικόπεδα ΑΒΓΔ, που φαίνονται σε κάτοψη στα σχήματα α, β και γ, θα κατασκευασθεί γεώτρηση στο κέντρο τους (σημείο τομής των διαγωνίων τους). Σε ποιο σημείο (πιθανόν διαφορετικό για κάθε σχήμα) πρέπει να γίνει έλεγχος, ώστε να καθορισθεί η ελάχιστη απαιτούμενη παροχή άντλησης; Σε ποια από τις 3 εκσκαφές η ελάχιστη απαιτούμενη παροχή είναι η μεγαλύτερη; Θεωρήστε ότι οι υποκείμενοι υδροφορείς έχουν τα ίδια χαρακτηριστικά, οι εκσκαφές είναι ίσες και έχουν ίδιες αποστάσεις από τα όρια. Αιτιολογήστε τις απαντήσεις σας. 7

Τέστ (/) Θέμα ο (4 μονάδες) Θέλετε να υπολογίσετε την πτώση στάθμης σε μη μόνιμη ροή υπό πίεση σε υδροφορέα με μεταφορικότητα Τ= 10-3 m /s και αποθηκευτικότητα S = 10-4, σε απόσταση r 1 = 60 m από το πηγάδι τη χρονική στιγμή t= 1800 s. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον ακόλουθο τύπο: s 4T ln.5tt 1 r S 73

Μη μόνιμες ροές σε πηγάδια Ασκήσεις (6/9) Τα πηγάδια Α και Β, που απέχουν το ένα από το άλλο 10 m, έχουν ακτίνα r 0 = 0.5 m και αντλούν νερό από περιορισμένο υδροφορέα μεγάλης έκτασης. Ο υδροφορέας αυτός έχει μεταφορικότητα Τ=.5 10-3 m /s και αποθηκευτικότητα S = 0.0001 Τη χρονική στιγμή t = 0 αρχίζει άντληση παροχής Α = 0.05 m 3 /s από το πηγάδι Α. Μια ώρα αργότερα (t =3600 s) αρχίζει άντληση παροχής Β από το πηγάδι Β. Το κόστος άντλησης Κ, κάθε χρονική στιγμή, δίνεται από τη σχέση: K C s i i i1 Ποια είναι η μεγαλύτερη δυνατή τιμή της παροχής Β, ώστε το κόστος άντλησης μέχρι τη χρονική στιγμή t =700 s να μη ξεπερνά την τιμή C. Σημείωση: Οι παροχές Α και Β θα παραμείνουν σταθερές στο εξεταζόμενο χρονικό διάστημα. 74

Μη μόνιμες ροές σε πηγάδια Ασκήσεις (7/9) Λύση Κρίσιμη χρονική στιγμή είναι η t =700 s. Γιατί; Υπολογίζουμε τις πτώσεις στάθμης s A και s B για τη χρονική αυτή στιγμή. Είναι: 4 4 A 10 0.5 B 10 10 s A W W 3 3 4ππ 4.510 700 4ππ 4.510 3600 3 0.05.5.510 700 n W0.04 3.1410 B 4 0.5 10 3.1410 B 1.59 ln(6480000).6813 4.97 85.39 3.14 10 B 75

Μη μόνιμες ροές σε πηγάδια Στο πηγάδι Β έχουμε: Ασκήσεις (8/9) s B A 4πT 4 10 10 W 3 4.510 700 B 4πT 4 10 0.5 W 3 4.510 3600 0.05 3.14 10 B W(0.0) 3.14 10 3.5.510 n 0.5 10 4 3600 1.59 3.3547 3.14 0.01 B 14.99 5.341 477.39 B 76

Μη μόνιμες ροές σε πηγάδια Ασκήσεις (9/9) Με βάση τη σχέση που δίνεται για το κόστος έχουμε: B =0.031 m 3 /s (η άλλη ρίζα απορρίπτεται, διότι είναι αρνητική). 77

Παράδειγμα (1/6) 78

Παράδειγμα (/6) 79

Πηγάδι σε φρεάτιο υδροφορέα: r s r 1 r s t s T S r h r 1 r h t h T S r h r 1 r h t h K S Μη μόνιμες ροές σε πηγάδια - Φρεάτιοι υδροφορείς 84

Μη μόνιμες ροές σε πηγάδια Παραδείγματα Πηγάδι σε φρεάτιο υδροφορέα Θεωρείται ότι: (α) ομογενής και ισότροπος όσον αφορά στο Κ και στο S (β) για δοσμένη πτώση στάθμης η απόκριση του υδροφορέα με τη μορφή παροχής όγκου νερού από τα αποθηκευμένα αποθέματα είναι άμεση. Η θεώρηση αυτή δεν είναι ισχυρή αφού τα διάκενα δεν αδειάζουν στιγμιαία αλλά τροφοδοτούνται από πάνω από το νερό της ακόρεστης ζώνης. Επιπλέον πρόβλημα η μη γραμμικότητα της οριακής συνθήκης που ισχύει στην ελεύθερη επιφάνεια. 85

Μη μόνιμες ροές σε πηγάδια - Υδροφορείς με διαρροή Πηγάδια σε υδροφορείς με διαρροή: S T s t s r 1 r s r s Tc Οριακές συνθήκες : o για r r o και 0 για r s(r, t) W(u,r o W(u,r λ) 4πΤ λ) : συνάρτησηπηγαδιού για υδροφορέαμε διαρροή 86

Αποκλίσεις από τις ιδεατές συνθήκες ροής (1/3) Πηγάδι σε ανισότροπο υδροφορέα K' ( K xx K yy ) 1, r' x K'( K xx y K yy ) 1 Οι αποστάσεις x και y του σημείου όπου υπολογίζεται η πτώση στάθμης από το πηγάδι άντλησης μετρούνται κατά τις κύριες διευθύνσεις της υδραυλική αγωγιμότητας. Στις περιπτώσεις αυτές οι καμπύλες ίσης πτώσης στάθμης είναι ελλείψεις.

Αποκλίσεις από τις ιδεατές συνθήκες ροής (/3) Σχήμα 9: Πηγάδι μερικής διείσδυσης. Πηγή: Π. Λατινόπουλος 1986, σελ.18. Δs o o πτ (1 p) p ln(αh r o ) 1 p h H : ποσοστό διείσδυσης και e δ H : εκκεντρότητα 88

Δs o : πρόσθετη πτώση στάθμης Αποκλίσεις από τις ιδεατές συνθήκες ροής (3/3) όπου: p= h/h το ποσοστό διείσδυσης και α συνάρτηση του ποσοστού αυτού και της εκκεντρότητας e =d/η

Άσκηση 1 (1/)

Άσκηση 1 (/) ΔS 0 0 π Τ (1- p) p ah ln ro p=8/16=0.5 e=4/16=0.5 α=0.51( από πίνακα σελ.19) Έτσι 0 ΔS0-4 π (16x3x10 ) Για t 1 =30 έχουμε 0.5 0.5 ln 0.51x8 0.4 Για t =60 u =u 1 (30/60) = 5.144x10-11 -5 S r0 3.x10 x 0.4 u1 1.09x10-4 4 T t 4 x 16x 3x10 x 30x86400 1 ΔS 0 = 33.157 x 0 x.34 = 77 x 0-10 Από τους πίνακες (παράρτημα Α.) έχουμε: w 1 =.44 και w =3.1 Έτσι S 0(60) - S 0(30) 0 4 π Τ (3.1.44) 0 w - w 1-4 4 π16x3x10 ή 0.10 = 11.734 0 οπότε 0 = 8.87x10-3 m 3 /s Έτσι τελικά -3 8.87x10 x 3.1-3 S0(60) 77x8.87x10 3.40 0.68 4.08m -4 4 π16x3x10

Άσκηση (1/3)

Άσκηση (/3) Περίπτωση 1: (από πίνακα) Περίπτωση :

Άσκηση (3/3) Επίλυση Μόνιμης Ροής για πλήρη διείσδυση πηγαδιού Έτσι η συνολική πτώση στάθμης θα είναι: Περίπτωση 1: Περίπτωση : και η ποσοστιαία αύξηση της συνολικής πτώσης στάθμης:

Σημείωμα Αναφοράς Copyright. Κωνσταντίνος Κατσιφαράκης, Νικόλαος Θεοδοσίου, Περικλής Λατινόπουλος. «Υδραυλική των Υπόγειων Ροών. Ενότητα 4. Υδραυλική των πηγαδιών». Έκδοση: 1.0. Θεσσαλονίκη 014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:http://eclass.auth.gr/courses/ocrs179/

Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά - Παρόμοια Διανομή [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. [1] http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος ενότητας Επεξεργασία: Ιωάννης Αυγολούπης Θεσσαλονίκη, <Εαρινό Εξάμηνο 01-013>

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Σημειώματα

Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.