υναµική ανάλυση κατασκευών από σκυρόδεµα ή φέρουσα τοιχοποιία µε σύγχρονες υπολογιστικές µεθόδους

υναµική ανάλυση κατασκευών από σκυρόδεµα ή φέρουσα τοιχοποιία µε σύγχρονες υπολογιστικές µεθόδους Γ.. Χατζηγεωργίου Λέκτορας. Τµήµα Μηχανικών Περιβάλλοντος, ΠΘ..Ε. Μπέσκος Καθηγητής. Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών, Πανεπιστήµιο Πατρών. Λέξεις κλειδιά: µέθοδος πεπερασµένων στοιχείων, µέθοδος συνοριακών στοιχείων, θεωρία βλάβης του συνεχούς µέσου, σκυρόδεµα, φέρουσα τοιχοποιία. Περίληψη: Στο παρόν άρθρο παρουσιάζονται οι µέθοδοι συνοριακών πεπερασµένων στοιχείων όπως αυτές χρησιµοποιούνται για τη δυναµική ανάλυση των τρισδιάστατων κατασκευών από ψευδο-ψαθυρά υλικά όπως σκυρόδεµα ή φέρουσα τοιχοποιία. Η µηχανική συµπεριφορά των υλικών αυτών προσοµοιώνεται µε τη βοήθεια της θεωριών βλάβης του συνεχούς µέσου. Το µοντέλο υλικού που παρουσιάζεται λαµβάνει υπόψη όλα τα βασικά χαρακτηριστικά του σκυροδέµατος κάτω από δυναµική καταπόνηση όπως τη διαφορετική απόκριση σε θλίψη εφελκυσµό, την αποµείωση της δυσκαµψίας µε την αύξηση του φορτίου, την παρουσία φθίνοντος κλάδου στο διάγραµµα τάσης-παραµόρφωσης, την ευαισθησία στο ρυθµό παραµόρφωσης στην ανακυκλιζόµενη φόρτιση. Το µοντέλο υλικού εισάγεται ανεξάρτητα σε δύο γενικά τρισδιάστατα προγράµµατα πεπερασµένων συνοριακών στοιχείων για την αντιµετώπιση δυναµικών προβληµάτων. Η αξιοπιστία οι δυνατότητες των µεθοδολογιών που προτείνονται γίνονται φανερές µέσω χαρακτηριστικών αριθµητικών παραδειγµάτων. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο προσδιορισµός της συµπεριφοράς µιας κατασκευής για δυναµικά (όπως π.χ. σεισµικά) φορτία είναι απαραίτητη για την εκτίµηση της αντοχής της τον εντοπισµό των περιοχών εκείνων όπου µπορούν να εµφανισθούν βλάβες. Όµως, η ανάλυση πολύπλοκων κατασκευών από σκυρόδεµα ή τοιχοποιία απαιτεί τη χρήση αριθµητικών µεθόδων, όπως αυτές των συνοριακών των πεπερασµένων στοιχείων. Με αυτές µπορούν να αντιµετωπιστούν δυναµικές αναλύσεις των κατασκευών για ελαστική ή ανελαστική συµπεριφορά του υλικού τους (Zenkewcz & Taylor 99, Beskos 995). Ελαστικές αναλύσεις κατασκευών από σκυρόδεµα ή φέρουσα τοιχοποιία µπορούν να γίνουν χωρίς δυσκολία µε εφαρµογή δισδιάστατων τρισδιάστατων προγραµµάτων συνοριακών πεπερασµένων στοιχείων, τα οποία όµως παρέχουν λύσεις που δεν ανταποκρίνονται πλήρως στην πραγµατικότητα. Αντίθετα, αξιόπιστες λύσεις παρέχονται µόνο από ανελαστικές αναλύσεις οι οποίες συνδυάζουν τις παραπάνω µεθόδους µε κάποιο προσοµοίωµα ανελαστικής συµπεριφοράς των υλικών. Τα υπάρχοντα προσοµοιώµατα µηχανικής συµπεριφοράς ψευδο-ψαθυρών υλικών όπως το σκυρόδεµα η τοιχοποιία µπορούν µε επιτυχία να περιγραφούν µε µοντέλα που απορρέουν από τη θεωρία βλάβης. Στο παρόν άρθρο εξετάζεται το µοντέλο βλάβης FOM (Hazgeorgou e al. ) το οποίο έχει προταθεί από τους συγγραφείς έχει δοκιµαστεί µε επιτυχία σε πλήθος αναλύσεων υπό σύνθετα δυναµικά φορτία. Στην παρούσα εργασία παρουσιάζεται αρχικά το µοντέλο βλάβης FOM. Κατόπιν εξετάζεται η εφαρµογή του µοντέλου στη µέθοδο των συνοριακών στοιχείων κατόπιν στη µέθοδο των πεπερασµένων στοιχείων. Η εργασία ολοκληρώνεται µε δύο αριθµητικά παραδείγµατα εφαρµογής µε τα βασικά συµπεράσµατα που προκύπτουν από τις προτεινόµενες µεθοδολογίες ανάλυσης. 5ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 5-7 Οκτωβρίου, 6

ΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΒΛΑΒΗΣ FOM Στην ενότητα αυτή εξετάζεται το προσοµοίωµα βλάβης FOM για το σκυρόδεµα, το οποίο έχει προταθεί από τους συγγραφείς. Με το προσοµοίωµα FOM λαµβάνονται υπόψη όλα τα βασικά χαρακτηριστικά του σκυροδέµατος γενικότερα των υλικών µε ψευδο-ψαθυρή µορφή αστοχίας (τοιχοποιία, κεραµικά υλικά κ.α.), όπως: η διαφορετική συµπεριφορά σε εφελκυσµό θλίψη, η αποµείωση της δυσπαραµορφωσιµότητας της αντοχής µε την αύξηση της καταπόνησης η αύξηση της θλιπτικής αντοχής κάτω από διαξονική ή τριαξονική θλιπτική εντατική κατάσταση. η επιρροή του ρυθµού παραµόρφωσης στην εφελκυστική θλιπτική αντοχή η ανακυκλιζόµενη φόρτιση Η εφαρµογή του FOM απαιτεί την εκτέλεση των παρακάτω πέντε βηµάτων : Βήµα : Προσδιορίζονται οι ενεργές από τις κύριες παραµορφώσεις < ε < ε > ε > όταν ε > ε > ε > ε < < ε όταν ε > ε () καθώς οι ισοδύναµες παραµορφώσεις ~ ε < ε > ε ~ > ε < () Βήµα : Προσδιορίζονται οι ενεργές οι κύριες τάσεις < σ < σ > σ > όταν σ > σ > σ > σ < < σ όταν σ > σ (3) Ορίζονται επίσης οι ποσότητες σ 3 3 > σ < σ ~ ( > σ < ) (4) { ε } [ D ] { < σ > } { ε } [ ] { > σ < } D (5) Βήµα 3: Προσδιορίζονται οι παράµετροι α α - των παραµορφώσεων α k k k α k k k (6α) 5ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 5-7 Οκτωβρίου, 6

k µε 3 3 ε ( ε ε ) ε ( ε ε ) H k H ( ) ~ ε ( ) ~ ε (6β) H H για ( ε ε ) > ( ε ε ) H H για ( ε ε ) < ( ε ε ) (7) Βήµα 4: Προσδιορίζεται η ισοδύναµη ενεργή εφελκυστική τ θλιπτική τ τάση τ K { < σ > } [ ]{ < σ > } R T D, τ (Kσ τ ) D µε R R f D f 3 oc oc (8) Βήµα 5: Προσδιορίζονται οι παράµετροι για την εκκίνηση την εξέλιξη της βλάβης r f E r R f c 3 R (9) Για την εξέλιξη των παραµέτρων βλάβης απαιτείται ο προσδιορισµός των παραµέτρων Α, Α - Β - οι οποίες καθορίζουν τον πτωτικό κλάδο του διαγράµµατος τάσεων παραµορφώσεων (Hazgeorgou e al. ). Προσδιορίζονται οι νόµοι εξέλιξης για τους δείκτες βλάβης τ A r e r d τ d τ B r r ( A ) A e τ () Ο συνολικός δείκτης βλάβης τελικά προκύπτει από τις σχέσεις (6) () ως d α d α - d - () Ο τανυστής των ολικών τάσεων προκύπτει ως {} σ d) {} σ ( d) [ D]{ ε} ( () Η σχέση () χρησιµοποιείται για τον υπολογισµό του τέµνοντος µητρώου δυσκαµψίας σε κάθε χρονικό βήµα. Η οριακή επιφάνεια βλάβης για το προσοµοίωµα FOM για τη δισδιάστατη περίπτωση έντασης παρουσιάζεται στο Σχήµα. 5ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 5-7 Οκτωβρίου, 6 3

Σχήµα : Η οριακή επιφάνεια του προσοµοιώµατος βλάβης FOM Το µοντέλο FOM που αναπτύχθηκε µπορεί να αντιµετωπίσει επιτυχώς στατικά προβλήµατα. Στην περίπτωση δυναµικών προβληµάτων όπως οι σεισµικές αναλύσεις πρέπει να ληφθεί υπόψη τόσο η επιρροή του ρυθµού παραµόρφωσης όσο της ανακυκλιζόµενης φόρτισης. Για περισσότερες λεπτοµέρειες βλ. Hazgeorgou e al.. 3 Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ (ΜΣΣ) H διατύπωση του µη-γραµµικού δυναµικού προβλήµατος σε ολοκληρωτική µορφή δίνεται από τη σχέση [4-6] c u ( ξ,) u ( ξ,x) p ( X,) dγ( X) p ( ξ,x) u ( X,) dγ( X) ρ Γ Ω u Γ p ( ξ,x) && u ( X,) dω( X) ε ( ξ,x) σ ( X,) dω( X) Ω k k (3) όπου σ είναι ο τανυστής των τάσεων, p το διάνυσµα των επιφανειακών τάσεων, b οι δυνάµεις σώµατος, ρ η πυκνότητα & u& οι επιταχύνσεις. Η σχέση 3 αποτελεί την ταυτότητα του Somglana για το δυναµικό ανελαστικό πρόβληµα. Στην παρούσα εργασία υιοθετείται η τριδιάστατη θεµελιώδης λύση του Kelvn, η οποία για τις µετατοπίσεις έχει τη µορφή u ( ξ,x) {(3 4ν) δ 6π( ν)gr r r },, (4) Αντίστοιχα, η θεµελιώδης λύση για το διάνυσµα των επιφανειακών δυνάµεων ορίζεται από τη σχέση [( ν) δ 3r r ] r p ( ξ,x) ( ν)(r n r n ),,,, (5) 8π( ν)gr n για τις ανηγµένες παραµορφώσεις ως ( ξ,x) {( ν)(r,k δ r, δk ) r,δ k 3r, r, r, k} 6 π( ν)gr ε k (6) 5ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 5-7 Οκτωβρίου, 6 4

Γενικά, η ΜΣΣ οδηγεί στην διακριτοποίηση µόνο του συνόρου της κατασκευής. Όµως, η υιοθέτηση της ελαστοστατικής θεµελιώδους λύσης, ως της απλούστερης δυνατής, απαιτεί εξαιτίας των αδρανειακών όρων την εσωτερική διακριτοποίηση ενός φορέα. Η εσωτερική διακριτοποίηση είναι ούτως ή άλλως αναπόφευκτη στις περιοχές που αναπτύσσεται ανελαστική συµπεριφορά. Για την εφαρµογή της ΜΣΣ σε τρισδιάστατα δυναµικά ανελαστικά προβλήµατα, ο όγκος Ω της κατασκευής χωρίζεται σε ΕV γραµµικά εξαεδρικά στοιχεία όγκου µε ΝV κόµβους το σύνορο Γ χωρίζεται σε ΕΒ γραµµικά τετραπλευρικά συνοριακά στοιχεία µε ΝΒ κόµβους. Μετά την παραπάνω διακριτοποίηση, η εξίσωση 3 γράφεται ως c u ( ξ,) ρ EV n Ωn EB m Γm * u( ξ,x) ΦdΓ p (X,) * u( ξ,x) ΦdΩ && u (X,) EV ε n Ωn EB m Γm * k * p( ξ,x) ΦdΓ u (X,) ( ξ,x) ΦdΩ σ p k (X,) (7) η οποία γράφεται συνοπτικά ως c u EB EB EV EV { G } p { H} u { M} u& { Q} m m m p & σ (8) Η παραπάνω σχέση αποτελεί ένα σύστηµα 3 εξισώσεων όπου εµφανίζονται m k 3 ΝV άγνωστες µετατοπίσεις στον όγκο Ω της κατασκευής εκ των οποίων οι 3 ΝΒ αναφέρονται στο συνόρο Γ 3 ΝΒ άγνωστες επιφανειακές δυνάµεις. 3 ΝV άγνωστες επιταχύνσεις στον όγκο Ω του σώµατος εκ των οποίων οι 3 ΝΒ αναφέρονται στο συνόρο Γ 6 ΝV άγνωστες ανελαστικές τάσεις στον όγκο Ω του σώµατος εκ των οποίων οι 6 ΝΒ αναφέρονται στο συνόρο Γ Η σχέση 8 εφαρµόζεται για όλους τους κόµβους, οπότε προκύπτουν συνολικά 3 NV εξισώσεις, οπότε τελικά το σύστηµα γράφεται { } p [ H] { u() } [ G] { p() } [ M] { u& () } [ Q] σ () & (9) Η µη-γραµµική (ανελαστική) δυναµική ανάλυση οποιασδήποτε κατασκευής, µε τη µέθοδο των συνοριακών στοιχείων κάνοντας χρήση της ελαστοστατικής θεµελιώδους λύσης, καταλήγει στη σχέση (9). Η σχέση αυτή αποτελεί την εξίσωση κίνησης µε την επίλυσή της προσδιορίζονται όλα τα άγνωστα µεγέθη, αφού πρώτα έχουν οριστεί πλήρως τα διάφορα µητρώα. Για περισσότερες λεπτοµέρειες βλ. Χατζηγεωργίου, Hazgeorgou and Beskos a,b. 5ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 5-7 Οκτωβρίου, 6 5

4 Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ (ΜΠΣ) Με την εφαρµογή της µεθόδου των πεπερασµένων στοιχείων (ΜΠΣ) η κατασκευή διακριτοποιείται σε ΝΕ πεπερασµένα στοιχεία µε ΝΝ κόµβους συνολικά. Η εξίσωση κίνησης της κατασκευής µετά την εφαρµογή της ΜΠΣ είναι [, 4] [ M ]{} u& [ C]{} u& { R} { F} & () όπου [Μ], [C] είναι τα µητρώα µάζας απόσβεσης, αντίστοιχα, {R} {R(u)} είναι το διάνυσµα των εσωτερικών δυνάµεων αντίστασης (για γραµµική ελαστική συµπεριφορά {R} [K]{u}, όπου [Κ] είναι το µητρώο δυσκαµψίας), {} & u&, {} u& {u} είναι τα διανύσµατα της επιτάχυνσης, της ταχύτητας της µετατόπισης της κατασκευής αντίστοιχα, {F} είναι το διάνυσµα των εξωτερικών φορτίων. Για την επίλυση της παραπάνω εξίσωσης απαιτείται η εφαρµογή ενός σχήµατος αριθµητικής ολοκλήρωσης στο πεδίο του χρόνου. Στην παρούσα εργασία υιοθετείται η µέθοδος βηµατικής ολοκλήρωσης Newmark. Η επίλυση του συστήµατος των εξισώσεων µε την µέθοδο αυτή απαιτεί την εφαρµογή δύο οµάδων βηµάτων (βλ. πίνακα ) όπου η πρώτη αντιστοιχεί στους αρχικούς υπολογισµούς ενώ η δεύτερη επαναλαµβάνεται σε κάθε χρονικό βήµα. ΠΙΝΑΚΑΣ : Μέθοδος Newmark για µη-γραµµική δυναµική ανάλυση Βήµα : επιλογή των παραµέτρων β γ. Επιλέγονται οι τιµές β/4 γ/ οι οποίες αντιστοιχούν στην περίπτωση της µέσης επιτάχυνσης Βήµα : υπολογίζονται οι αρχικές συνθήκες του προβλήµατος µε βάση την εξίσωση κίνησης θέτοντας π.χ. u & u {} & { } {} { } u u Βήµα 3: Επιλέγεται το χρονικό βήµα. Βήµα 4: υπολογίζεται το διάνυσµα των ενεργών εξωτερικών φορτίων από τη σχέση 4 { Rˆ } { R} [ M]{ u& } [ C]{ u& } eff & () Βήµα 5: υπολογίζεται το ενεργό µητρώο δυσκαµψίας από τη σχέση D 4 [ Kˆ eff ] [ K ] [ C] [ M] () όπου [K D ] είναι το τέµνον µητρώο δυσκαµψίας για τον προσδιορισµό του οποίου είναι απαραίτητη η γνώση της βλάβης d (βλ. ενότητα ) σε κάθε πεπερασµένο στοιχείο. Βήµα 6: προσδιορίζεται η διαφορά των µετατοπίσεων µε την εφαρµογή της τροποποιηµένης επαναληπτικής µεθόδου Newon-Raphson (βλ. πίνακα ) Βήµα 7: υπολογίζονται οι νέες τιµές των µετατοπίσεων, ταχυτήτων επιταχύνσεων { u } { u } { u} { u& } { u& } { u& } {&& u } {&& u } { && u} µε { u &} { u} { u& } 4 4 { & u } { u} { u& } { } & u (3) 5ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 5-7 Οκτωβρίου, 6 6

ΠΙΝΑΚΑΣ : Η τροποποιηµένη επαναληπτική µέθοδος Newon-Raphson Βήµα : θέτονται αρχικές τιµές για τις παραµέτρους { u }, { F }, { } ( ) () R () Βήµα : επαναλαµβάνονται µέχρι συγκλίσεως οι ακόλουθες σχέσεις D [ K ]{ u (k)} { R (k)} { u (k)}... { u (k ) } { u (k) } { u (k)} D { Q (k)} { F(k) } { F(k ) } ([ Kˆ eff ] [ K ]){ u (k)} { R } { R } { Q } (k ) (k) (k) (4) 5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ 5. Σεισµική ανάλυση φράγµατος Στο πρώτο παράδειγµα εξετάζεται η σεισµική ανάλυση ενός φράγµατος βαρύτητας µε τη ΜΠΣ. Το φράγµα αποτελείται από σκυρόδεµα µε µέτρο ελαστικότητας Ε3. GPa, λόγο Posson ν., πυκνότητα ρ6 kg/m 3, εφελκυστική αντοχή f.5 MPa, ενέργεια θραύσης G f 5. N/m, θλιπτική αντοχή f c 3._MPa f c(-d).5 f c. Το έδαφος θεµελίωσης του φράγµατος είναι βράχος του οποίου οι µηχανικές ιδιότητές του, χωρίς βλάβη της γενικότητας, είναι οι ίδιες µε αυτές του σκυροδέµατος. Πρέπει να σηµειωθεί ότι η σεισµική καταπόνηση του φράγµατος µπορεί να οδηγήσει σε ανελαστική συµπεριφορά του εδάφους θεµελίωσης. Για το λόγο αυτό, εκτός από το φράγµα διακριτοποιείται η κοντινή περιοχή του βραχώδους εδάφους. Για την αποφυγή ανάκλασης κυµάτων στα τεχνητά εδαφικά σύνορα, χρησιµοποιούνται ιξώδη απορροφητικά σύνορα. Η γεωµετρία η διακριτοποίηση του φράγµατος του υπό εξέταση τµήµατος του εδάφους παρουσιάζονται στο Σχήµα. Η συµπεριφορά του φράγµατος εξετάζεται υπό συνθήκες επίπεδης παραµόρφωσης. Σχήµα : Σεισµική ανάλυση φράγµατος βαρύτητας Για την εδαφική κίνηση επιλέγεται η οριζόντια η κατακόρυφη συνιστώσα του σεισµού που καταγράφηκε στο φράγµα Koyna της Ινδίας το έτος 967, οι οποίες πολλαπλασιάζονται µε τον συντελεστή 3.5. Για λόγους σύγκρισης παρατίθενται τα αποτελέσµατα των Yazdch e al. 999, 5ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 5-7 Οκτωβρίου, 6 7

οι οποίοι αντιµετώπισαν το ίδιο πρόβληµα, κάνοντας χρήση ενός δισδιάστατου υβριδικού σχήµατος ΜΣΣ-ΜΠΣ. Από την σύγκριση των αποτελεσµάτων (βλ. Σχήµα 3) προκύπτει ότι η παρούσα µεθοδολογία µπορεί να προσδιορίσει επιτυχώς την ανελαστική συµπεριφορά κατασκευών από σκυρόδεµα κάτω από σεισµική φόρτιση, λαµβάνοντας υπόψη την αλληλεπίδραση µε το έδαφος θεµελίωσης. (α) (β) Σχήµα 3: Περιοχές ανάπτυξης βλάβης α) παρούσα ανάλυση β) Yazdch e al. (999) 5. Σεισµική ανάλυση της ιστορικής γέφυρας της Άρτας Στο παράδειγµα αυτό εξετάζεται η σεισµική απόκριση της ιστορικής γέφυρας της Άρτας µε τη ΜΣΣ. Η κατασκευή αποτελείται από τέσσερις κύριες αψίδες µε ανοίγµατα 3.95m, 5.83m, 5.43m 6.6 m, αντίστοιχα. Οι παράµετροι του υλικού της λιθόκτιστης αυτής κατασκευής θεωρήθηκαν µε τις εξής τιµές: µέτρο ελαστικότητας Ε 3.GPa, λόγος Posson ν., θλιπτική αντοχή f c 3 MPa, διαξονική θλιπτική αντοχή f cd 34.8 MPa, µονοαξονική εφελκυστική αντοχή f.3 MPa, ενέργεια θραύσης G f N/m πυκνότητα ρ 7 kg/m 3. Η γέφυρα καταπονείται µε τα πρώτα 5 sec του σεισµού ElCenro (Imperal Valley, 94) ο οποίος πολλαπλασιάζεται µε κατάλληλους συντελεστές ώστε να ικανοποιεί τις διατάξεις του ΕΑΚ για µέγιστη επιτάχυνση για την Άρτα ίση µε.6g. Οι περιοχές ανάπτυξης βλαβών καθώς η απόκριση του σηµείου Α παρουσιάζονται στο Σχήµα 4. Α Σχήµα 4: Περιοχές ανάπτυξης βλάβης απόκριση κορυφής (σηµείο Α) 5ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 5-7 Οκτωβρίου, 6 8

6 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Τα βασικά συµπεράσµατα της παρούσας εργασίας συνοψίζονται παρακάτω: Προτείνεται ένα καταστατικό προσοµοίωµα το οποίο µπορεί να περιγράψει επιτυχώς τη µηχανική συµπεριφορά του σκυροδέµατος όπως τη διαφορετική συµπεριφορά σε εφελκυσµό θλίψη, την αποµείωση της δυσπαραµορφωσιµότητας της αντοχής µε την αύξηση της καταπόνησης, την αύξηση της θλιπτικής αντοχής κάτω από διαξονική ή τριαξονική θλιπτική εντατική κατάσταση, την επιρροή του ρυθµού παραµόρφωσης στην εφελκυστική θλιπτική αντοχή την επιρροή στην ανακυκλιζόµενη φόρτιση. Το προσοµοίωµα αυτό µπορεί µε κατάλληλους φαινοµενολογικούς συντελεστές να χρησιµοποιηθεί για την τοιχοποιία. Αναπτύσσεται η µέθοδος των συνοριακών στοιχείων για την περίπτωση δυναµικών ανελαστικών αναλύσεων των κατασκευών από σκυρόδεµα ή τοιχοποιία. Εξετάζεται η µέθοδος των πεπερασµένων στοιχείων για την περίπτωση δυναµικών ανελαστικών αναλύσεων των κατασκευών από σκυρόδεµα ή τοιχοποιία. Παρουσιάστηκαν δύο παραδείγµατα εφαρµογής των προτεινόµενων µεθόδων όπου αναπτύχθηκαν τα πλεονεκτήµατα οι δυνατότητες τους. ΑΝΑΦΟΡΕΣ Beskos D.E.. 995. Dynamc nelasc srucural analyss by boundary elemen mehod, Arch. of Compu. Mehods n Engng, Vol., pp.55 87. Ηazgeorgou, G.D., Beskos, D.E., Theodorakopoulos, D.D. & Sfakanaks, M.. A smple concree damage model for dynamc FEM applcaons. Inernaonal Journal of Compuaonal Engneerng Scence,, pp. 67-86. Hazgeorgou G.D. & Beskos D.E.. a. Dynamc elasoplasc analyss of 3-D srucures by he doman/boundary elemen mehod, Compuers & Srucures, Vol. 8, pp. 339-347. Hazgeorgou G.D. & Beskos D.E. b. Dynamc response of 3-D damaged solds and srucures by BEM, Compuer Modelng n Engneerng and Scence, Vol. 3, No. 6, pp. 79-8. Χατζηγεωργίου, Γ... Σεισµική ανελαστική ανάλυση υπογείων κατασκευών µε συνοριακά πεπερασµένα στοιχεία, ιδακτορική ιατριβή, Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών, Πανεπιστήµιο Πατρών. Yazdch, M., Khall, N. & Vallappan, S. 999. Non-lnear sesmc behavour of concree gravy dams usng coupled fne elemen-boundary elemen echnque, Inernaonal Journal for Numercal Mehods n Engneerng, 44, pp. -3. Zenkewcz, O. C. & Taylor, R. L. 99. The Fne Elemen Mehod, Vol. -, 4 h ed., Mc Graw Hll, London. 5ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 5-7 Οκτωβρίου, 6 9