ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ Αλγ ε β ρ α Β Λυ κ ε ί ο υ Γενικής Παιδειασ Α Τό μ ο ς 3η Εκ δ ο σ η
Πρόλογος Το βιβλίο αυτό έχει σκοπό και στόχο αφενός μεν να βοηθήσει τους μαθητές της Β Λυκείου να κατανοήσουν καλύτερα την ύλη της Άλγεβρας, αφετέρου δε να αποτελέσει χρήσιμο βοήθημα για τους συναδέλφους. Κάθε κεφάλαιο αποτελείται από ενότητες, καθεμία από τις οποίες περιέχει: Ι. Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων Πλήρης θεωρία η οποία συνοδεύεται από σχόλια και παρατηρήσεις προκειμένου να αναδειχθούν τα «σκοτεινά» σημεία της. ΙΙ. Μεθοδολογίες Εφαρμογές Έγινε προσπάθεια ώστε όλες οι ασκήσεις να ενταχθούν σε ένα πλαίσιο μεθοδολογιών. Πιστεύοντας ότι δεν υπάρχουν εύκολες ή δύσκολες ασκήσεις αλλά μόνο ασκήσεις οι οποίες μπορούν να επιλυθούν με κατάλληλη μεθοδολογία, δημιουργήσαμε (για πρώτη φορά στα ελληνικά βιβλιογραφικά δεδομένα) κατηγορίες οι οποίες βοηθούν τους μαθητές να αυτενεργήσουν προκειμένου να λύσουν εφαρμογές κάθε επιπέδου δυσκολίας. ΙΙΙ. Εφαρμογές εμπέδωσης & εμβάθυνσης Κάθε λυμένη εφαρμογή συνοδεύεται από παρόμοιες εφαρμογές για λύση. Όπου κρίνεται απαραίτητο υπάρχουν και επιπλέον εφαρμογές για λύση, ώστε ο μαθητής να αποκτήσει μεγαλύτερη εμπειρία. ΙV. Ερωτήσεις κατανόησης Ερωτήσεις τύπου σωστό-λάθος, πολλαπλής επιλογής και αντιστοίχισης οι οποίες στοχεύουν να ελέγξουν τις γνώσεις που έχει αποκτήσει ο μαθητής. V.Φύλλα αξιολόγησης Στο τέλος κάθε παραγράφου υπάρχει φύλλο αξιολόγησης με στόχο τον έλεγχο των γνώσεων που αποκτήθηκαν. Στο τελευταίο τμήμα του βιβλίου υπάρχουν απαντήσεις υποδείξεις όλων των εφαρμογών, των ερωτήσεων κατανόησης και των διαγωνισμάτων. Ευελπιστώντας ότι η προσπάθεια αυτή θα βρει το στόχο της, παραδίδουμε το πόνημα αυτό στην αυστηρή κρίση των μαθητών και συναδέλφων καθηγητών. Νίκος Τάσος Μαθηματικός M.Sc.
Περιεχόμενα ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1. Γραμμικά Συστήματα Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων...13 Μεθοδολογίες Εφαρμογές...17 Εφαρμογές Εμπέδωσης & Εμβάθυνσης...31 Ερωτήσεις κατανόησης...36 Φύλλο αξιολόγησης...39 2. Λύση & Διερεύνηση Συστήματος 2 2 Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων με Τρεις Αγνώστους Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων...41 Μεθοδολογίες Εφαρμογές...43 Εφαρμογές Εμπέδωσης & Εμβάθυνσης...65 Ερωτήσεις κατανόησης...74 Φύλλο αξιολόγησης...79 3. Μη Γραμμικά Συστήματα Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων...81 Μεθοδολογίες Εφαρμογές...81 Εφαρμογές Εμπέδωσης & Εμβάθυνσης...90 Φύλλο αξιολόγησης στα συστήματα...95 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 4. Μονοτονία Ακρότατα Συμμετρίες Συνάρτησης Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων...99 Μεθοδολογίες Εφαρμογές...103 Εφαρμογές Εμπέδωσης & Εμβάθυνσης...122 Ερωτήσεις κατανόησης...129 Φύλλο αξιολόγησης...135 5. Κατακόρυφη Οριζόντια Μετατόπιση Καμπύλης Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων...137 Μεθοδολογίες Εφαρμογές...139 Εφαρμογές Εμπέδωσης & Εμβάθυνσης...145 Φύλλο αξιολόγησης στις ιδιότητες συναρτήσεων...149 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 6. Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Γωνίας Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων...153 Μεθοδολογίες Εφαρμογές...160 Εφαρμογές Εμπέδωσης & Εμβάθυνσης...169 Ερωτήσεις κατανόησης...175 Φύλλο αξιολόγησης...181
7. Βασικές Τριγωνομετρικές ταυτότητες Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων...183 Μεθοδολογίες Εφαρμογές...185 Εφαρμογές Εμπέδωσης & Εμβάθυνσης...196 Ερωτήσεις κατανόησης...200 Φύλλο αξιολόγησης...203 8. Αναγωγή στο 1 ο τεταρτημόριο Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων...205 Μεθοδολογίες Εφαρμογές...207 Εφαρμογές Εμπέδωσης & Εμβάθυνσης...219 Ερωτήσεις κατανόησης...225 Φύλλο αξιολόγησης...229 9. Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων...231 Μεθοδολογίες Εφαρμογές...235 Εφαρμογές Εμπέδωσης & Εμβάθυνσης...259 Ερωτήσεις κατανόησης...265 Φύλλο αξιολόγησης...269 10. Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων...271 Μεθοδολογίες Εφαρμογές...272 Εφαρμογές Εμπέδωσης & Εμβάθυνσης...312 Ερωτήσεις κατανόησης...317 Φύλλο αξιολόγησης...321 11. Τριγωνομετρικοί αριθμοί αθροίσματος γωνιών Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων...323 Μεθοδολογίες Εφαρμογές...324 Εφαρμογές Εμπέδωσης & Εμβάθυνσης...355 Ερωτήσεις κατανόησης...363 Φύλλο αξιολόγησης...367 12. Τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας 2α Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων...369 Μεθοδολογίες Εφαρμογές...371 Εφαρμογές Εμπέδωσης & Εμβάθυνσης...401 Ερωτήσεις κατανόησης...407 Φύλλο αξιολόγησης...411 Απαντήσεις Υποδείξεις Λύσεις...413
Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
1 Γραμμικά συστήματα 1 Θεωρια Σε Μορφη Ερωτησεων Απαντησεων i. Τι ονομάζουμε γραμμική εξίσωση; ii. Τι παριστάνει μία γραμμική εξίσωση; Να συνοδεύσετε την απάντηση σας με κατάλληλα σχήματα. Απάντηση i. Κάθε εξίσωση που έχει τη μορφή: αx + βy = γ, με α, β, γ και x, y ονομάζεται γραμμική εξίσωση. ii. Μία γραμμική εξίσωση παριστάνει ευθεία γραμμή όταν α 0 ή β 0. Αυτό αποδεικνύεται ως εξής: Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: Περίπτωση 1η Αν β 0, τότε η εξίσωση γράφεται: αx + βy = γ βy = αx + γ y = α β x + γ β (1) Η εξίσωση αυτή παριστάνει ευθεία που έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = α β και τέμνει τον άξονα y y στο σημείο Α(0, γ β ) και τον άξονα x x στο σημείο Β( γ α, 0). Ειδικότερα Αν α 0, τότε η ευθεία τέμνει και τους δύο άξονες όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. γ β αx + βy = γ β 0 γ α Αν α = 0, τότε η εξίσωση (1) παίρνει τη μορφή y = γ β και επομένως παριστάνει ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα x x και τέμνει τον άξονα y' y στο σημείο Α(0, γ β ) όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. γ β αx + βy = γ, α = 0 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ 13
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Περίπτωση 2η Αν β = 0 (οπότε α 0) τότε η εξίσωση αx + βy = γ γράφεται: αx = γ x = γ α Επομένως η εξίσωση αυτή παριστάνει ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα y y και τέμνει τον άξονα x x στο σημείο Β( γ α, 0 ) όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. αx + βy = γ, β = 0 γ α i. Στη γραμμική εξίσωση αx + βy = γ: τα x, y λέγονται άγνωστοι, τα α, β λέγονται συντελεστές των αγνώστων, το γ λέγεται σταθερός όρος. ii. Σε μια ευθεία με εξίσωση: (ε) : y = αx + β ο αριθμός α ονομάζεται συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας και ισούται με την εφαπτομένη της γωνίας ω που σχηματίζει η (ε) με τον άξονα x x, δηλαδή: α = εφω iii. Αν μια ευθεία (ε) είναι παράλληλη στον άξονα x x έχει εξίσωση (ε) : y = y 0 και συντελεστή διεύθυνσης α = 0. iv. Αν μια ευθεία (ε) είναι κάθετη στον άξονα x x έχει εξίσωση (ε) : x = x 0 και δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης. v. Μια ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων, δηλαδή από το σημείο Ο(0, 0), και έχει συντελεστή διεύθυνσης, έχει εξίσωση: (ε) : y = αx vi. Δύο ευθείες με εξισώσεις: (ε 1 ) : y = α 1 x + β 1 και (ε 2 ) : y = α 2 x + β 2 είναι παράλληλες ή ταυτίζονται αν και μόνο αν ισχύει: α 1 = α 2 Ειδικότερα: αν α 1 = α 2 και β 1 = β 2 οι ευθείες (ε 1 ), (ε 2 ) ταυτίζονται, αν α 1 = α 2 και β 1 β 2 οι ευθείες (ε 1 ), (ε 2 ) είναι παράλληλες. 2 Τι ονομάζουμε λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; Απάντηση Κάθε ζεύγος αριθμών (x 0, y 0 ) που επαληθεύει μια γραμμική εξίσωση ονομάζεται λύση της γραμμικής εξίσωσης. 14 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ
1. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ i. Μία γραμμική εξίσωση αx + βy = γ έχει: άπειρο πλήθος λύσεων αν α 0 ή β 0 (ή α = β = γ = 0, οπότε είναι ταυτότητα) και είναι αδύνατη αν α = β = 0 και γ 0. ii. Κάθε ζεύγος της μορφής: ( γ αx x, αποτελεί λύση της γραμμικής εξίσωσης. β ) (, β 0 ή γ βy α, y), α 0 3 i. Τι ονομάζουμε γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους; ii. Τι ονομάζουμε λύση ενός συστήματος; iii. Πως ερμηνεύεται γεωμετρικά μία λύση ενός συστήματος; Απάντηση i. Όταν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις: αx + βy = γ και α x + β y = γ και ζητάμε τις κοινές λύσεις αυτών, τότε λέμε ότι έχουμε ένα γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους και γράφουμε: { αx + βy = γ α x + β y = γ ii. Λύση ενός γραμμικού συστήματος δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους ονομάζουμε κάθε διατεταγμένο ζεύγος (x 0, y 0 ) που επαληθεύει τις εξισώσεις του. iii. Όπως είδαμε και στην πρώτη ερώτηση της θεωρίας κάθε εξίσωση ενός συστήματος είναι εξίσωση ευθείας. Γεωμετρικά λοιπόν, μία λύση ενός συστήματος παριστάνεται από το κοινό σημείο των ευθειών του συστήματος. i. Το γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους πιο σύντομα το λέμε γραμμικό σύστημα 2 2. ii. Το σύστημα: { αx + βy = 0 α x + β y = 0 ονομάζεται ομογενές και δεν είναι ποτέ αδύνατο αφού έχει πάντα λύση την (x 0, y 0 ) = (0, 0). Ενδέχεται βέβαια να έχει και άπειρες λύσεις. 4 Ποια συστήματα ονομάζονται ισοδύναμα; Απάντηση Δύο συστήματα που έχουν τις ίδιες λύσεις ονομάζονται ισοδύναμα. ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ 15