Κεφάλαιο 1o Θεωρία Παιγνίων Η θεωρία παιγνίων εξετάζει καταστάσεις στις οποίες υπάρχει αλληλεπίδραση µεταξύ ενός µικρού αριθµού ατόµων. Άρα σε οποιαδήποτε περίπτωση, αν ο αριθµός των ατόµων που συµµετέχουν είναι µικρός, εµείς θα πρέπει να χρησιµοποιήσουµε τα εργαλεία της θεωρίας παιγνίων, προκειµένου να αναλύσουµε τη συγκεκριµένη κατάσταση και να βρούµε µια ισορροπία ή µια λύση λογική. Από τα παραδείγµατα που έχουµε κάνει (ολιγοπώλιο, συµπεριφορά Cournot, συµπεριφορά Bertrand) βλέπουµε ότι σε κάθε ένα από τα παίγνια που εξετάζουµε θα πρέπει να λάβουµε υπόψη πως συµπεριφέρονται οι άλλοι όταν παίρνουν τις αποφάσεις τους, αφού η ισορροπία εξαρτάται από τις αποφάσεις όλων µαζί των εταιριών. Πέρα όµως από αυτό υπάρχουν πάρα πολλά παραδείγµατα από την καθηµερινή µας ζωή, από τις σχέσεις µεταξύ των ατόµων, από τις σχέσεις µεταξύ προϊσταµένων και υφισταµένων, από τις σχέσεις µέσα σε µια οικογένεια κ.λ.π. Οπουδήποτε υπάρχει µικρός αριθ- µός ατόµων χρειάζεται να δούµε πως αντιδρούν αυτά τα άτοµα και τι θα βγει από την αλληλεπίδραση τους. Τώρα, όπως και στη θεωρία των αποφάσεων (η οποία δεν είναι τίποτε άλλο παρά θεωρία παιγνίων, όπου υπάρχει µόνο ένας παίκτης) έτσι και στη θεωρία παιγνίων θα χρησιµοποιήσουµε δύο τρόπους παράστασης των παιγνίων: * το δέντρο και * τη µήτρα Πιο αναλυτικά: - Μορφή κανονική ή στρατηγική ή µήτρας. Είναι η πιο συνηθισµένη µορφή του παιγνίου. Λέγοντας στρατηγική εννοούµε ότι αυτό που περιγράφει το παίγνιο, είναι οι στρατηγικές κάθε παίκτη καθώς και τα αποτελέσµατα που προκύπτουν από κάθε συνδυασµό στρατηγικών αυτό µπορεί να γίνει µε τη µορφή µήτρας, όπου σε κάθε γραµµή της υπάρχει η στρατηγική του παίκτη 1, και σε κάθε στήλη της η στρατηγική του παίκτη 2. Στην περίπτωση που έχουµε 3 ή 4 ή 5 παίκτες µπορούµε να πάρουµε µήτρα περισσοτέρων διαστάσεων. Αναλυτική µορφή ή µορφή δέντρου. Σ αυτή τη δεύτερη µορφή εµφανίζονται όλες οι λεπτο- µέρειες της αλληλεπίδρασης των παικτών. Στο κεφάλαιο αυτό θα προσπαθήσουµε µέσα από παραδείγµατα να επεξηγήσουµε όσο το δυνατόν πληρέστερα τις δυο αυτές µορφές (στρατηγική µορφή και µορφή δέντρου), να περιγράψουµε τα στοιχεία που περιλαµβάνει ένα παίγνιο, καθώς και τις διαφορές που υπάρχουν µεταξύ της παράστασης ενός παιγνίου στην µορφή δέντρου και στη µορφή µήτρας. Ας ξεκινήσουµε λοιπόν. 1
Τι είναι η στρατηγική µορφή; Είναι πολύ απλά µια µήτρα για παράδειγµα ας υποθέσουµε ότι είµαστε σε ένα απλό παιχνίδι µε δύο παίκτες: τους 1 και 2. Ο παίκτης (1) έχει τις στρατηγικές Α και Β ενώ ο παίκτης (2) τις C και D. Στη µήτρα µπαίνουν επίσης τα αποτελέσµατα των στρατηγικών. Σε κάθε κουτάκι χρειαζόµαστε δυο νούµερα: π.χ. το τι πετυχαίνει ο παίκτης (1) όταν ακολουθεί τη στρατηγική Α, τη στιγµή που ο παίκτης (2) ακολουθεί τη στρατηγική C. Το πρώτο παριστάνει το τι πετυχαίνει ο παίκτης (1), ενώ το δεύτερο το τι πετυχαίνει ο παίκτης (2). Έτσι για παράδειγµα το (7, 9) µας δίνει το αποτέλεσµα όταν οι στρατηγικές είναι Α και C. Αντίστοιχα έχουµε τα άλλα νούµερα στα υπόλοιπα κουτιά. 2 C D 1 A 7, 9 3, 10 B 9, 19 0, -7 Η ερώτηση βέβαια, σε ένα τέτοιο παίγνιο, είναι τί περιµένουµε να συµβεί. Με άλλα λόγια, τί στρατηγική θα ακολουθήσει ο παίκτης (1) και τί στρατηγική θα ακολουθήσει ο παίκτης (2) σε µια λογική κατάσταση, σε µια ισορροπία. Για να µπορέσουµε να δώσουµε απάντηση στο ερώτηµα αυτό θα πρέπει πρώτα να ορίσουµε κάποιες επιλύσεις των παιγνίων. Τώρα, γιατί λέγεται στρατηγική αυτή η µορφή; Γιατί αυτό που εµφανίζεται είναι οι στρατηγικές κάθε παίκτη καθώς και τα αποτελέσµατα που πετυχαίνει. Τι δεν εµφανίζεται; εν εµφανίζεται για παράδειγµα η χρονική στιγµή, ποιος είναι πρώτος, ποιος δεύτερος, αν παίζουνε µαζί.θα δούµε λοιπόν στη συνέχεια της ανάλυσής µας τι χάνεται στην περίπτωση της στρατηγικής µορφής. Ποια είναι τα στοιχεία ενός παιγνίου; (όλα τα παρακάτω στοιχεία εµφανίζονται στην αναλυτική µορφή όχι όµως στην κανονική). (1) Όλοι οι παίκτες (ίσως ένας από αυτούς είναι η τύχη). (2) Τι κινήσεις - επιλογές διαθέτει κάθε παίκτης κάθε φορά που καλείται να αποφασίσει. (3) Πότε µπορεί να πάρει τις αποφάσεις του, κάθε παίκτης. (4) Τί πληροφόρηση έχει κάθε παίκτης όταν παίρνει την απόφαση του. (5) Τα αποτελέσµατα κάθε «παρτίδας» (payoffs) - κάτι που παίζεται και φτάνει σε ένα σηµείο, τελειώνει και όταν τελειώσει παίρνει ο καθένας το µερίδιο του. 2
Στην αναλυτική µορφή - στην µορφή δέντρου εµφανίζονται όλα τα στοιχεία (1) - (5). Στη στρατηγική µορφή λείπουν τα (3) και (4) γιατί προφανώς στη στρατηγική µε τη µορφή µήτρας δεν υπάρχει ο χρόνος (είναι στατικό / άχρονο), και επιπλέον δε γνωρίζουµε τί πληροφόρηση έχει ο κάθε παίκτης. Το µόνο που εµφανίζεται είναι οι στρατηγικές, τα αποτελέσµατα (pay off) και οι παίκτες. Στο παράδειγµα της µήτρας οι επιλογές είναι και οι στρατηγικές. Στο δέντρο η στρατηγική είναι κάτι πολύ πιο πολύπλοκο και θα δούµε τώρα ακριβώς τι είναι. Ας ξεκινήσουµε λοιπόν από το πιο απλό παίγνιο που υπάρχει και το οποίο λέγεται zero-sum game (παιγνίδι µηδενικού αθροίσµατος). Παίγνιο µηδενικού αθροίσµατος είναι το παίγνιο όπου έ- νας παίκτης κερδίζει και ο άλλος χάνει. Πληρώνει δηλαδή ο ένας τον άλλο. Σε αυτά τα παίγνια όπου το άθροισµα αποτελεσµάτων είναι µηδέν δεν χρειάζεται να έχουµε δύο νούµερα γιατί ότι κερδίζει ο ένας χάνει ο άλλος. Οπότε µπορούµε να το απλοποιήσουµε. (Πάνω σε αυτό το παίγνιο θα δούµε τα διάφορα στοιχεία και έτσι θα αρχίσουµε σιγά - σιγά να βλέπουµε τις πιθανές λύσεις, πριν προχωρήσουµε την ανάλυση µας σε βάθος) Ας υποθέσουµε λοιπόν ότι έχουµε δύο παίκτες: τους (I) και (II). Ο παίκτης I παίζει πρώτος και έχει δύο επιλογές στην διάθεση του: l και r κατόπιν, ακολουθεί ο παίκτης II όπου και αυτός έχει δυο επιλογές: R και L. Τα αποτελέσµατα του παιγνίου είναι G (Gain) και L (Lose). Το G (αφού µιλάµε για zero-sum game) σηµαίνει ότι κερδίζει ο πρώτος παίκτης και χάνει ο δεύτερος ενώ το L σηµαίνει ότι ο πρώτος παίκτης χάνει και κερδίζει ο δεύτερος. 3
Αν το παιχνίδι πάει προς τα κάτω αποφασίζει ο παίκτης II µεταξύ L και R. Αν αποφασίσει R χάνει αυτός και κερδίζει ο πρώτος, ενώ αν αποφασίζει L ξαναπαίζει ο παίκτης II. Ας προσπαθήσουµε τώρα να βρούµε, στο συγκεκριµένο αυτό παίγνιο το οποίο παριστάνεται σε αυτή την αναλυτική µορφή, ποιοι είναι οι παίκτες, οι επιλογές κ.λ.π.. Εδώ έχουµε δύο παίκτες: I και II. Πρώτα παίζει ο I, µετά o ΙΙ, µετά ξαναπαίζει ο II και στη συνέχεια τελειώνει το παιγνίδι ο I. Τί επιλογές διαθέτει κάθε παίκτης σε κάθε περίπτωση που µπορεί να κληθεί να αποφασίσει; Όπως βλέπουµε και οι δυο παίκτες έχουν από δυο επιλογές κάθε φορά που παίζουν. Μπορούσαµε για παράδειγµα να προσθέσουµε και µια τρίτη επιλογή ενδιάµεση, όπως φαίνεται στο διάγραµµα 2 που ακολουθεί. Επίσης µπορεί οι επιλογές του παίκτη να είναι τελείως διαφορετικές κάθε φορά που θα παίζει π.χ. (r 1, L 1 ) ή (r 2, L 2 ). [ Tώρα για παράδειγµα υποθέτουµε ότι έχουµε δύο παίχτες µε επιλογές δεξιά και αριστερά. Σηµασία έχει ότι η επιλογή του I θα επηρεάσει και τον I και τον II. Άρα οι στρατηγικές αυτές έχουν διαφορετικό όνοµα, δηλαδή δεν είναι το ίδιο πράγµα ]. 4
r R r: στρατηγική παίκτη Ι R: στρατηγική παίκτη II Όπως βλέπουµε σε αυτό το δέντρο, την πρώτη περίοδο αποφασίζει ο παίκτης I, την περίοδο δύο αποφασίζει ο παίκτης II, την περίοδο τρία, αν δεν έχει τελειώσει το παιγνίδι, αποφασίζει ο παίκτης II και την περίοδο τέσσερα, αν δεν έχει τελειώσει το παιγνίδι, αποφασίζει ο παίκτης I. Άρα το πότε µπορεί να πάρει αποφάσεις ο κάθε παίκτης φαίνεται καθαρά στο δέντρο. Τι πληροφόρηση έχει ο κάθε παίκτης όταν παίρνει την απόφαση του; Στο πιο πάνω δέντρο, ξέρει τα πάντα. ηλαδή αν φτάσουµε στο σηµείο (Α) ο παίκτης II ξέρει ότι ο παίκτης I πήρε απόφαση r και ο ίδιος ο II είχε πάρει προηγουµένως µια απόφαση L. Άρα σ αυτό το παιχνίδι υπάρχει πλήρη πληροφόρηση, γεγονός που σηµαίνει ότι κάθε παίκτης ξέρει όλη την ιστορία του παιχνιδιού. Τα α- ποτελέσµατα βέβαια κάθε «παρτίδας» φαίνονται καθαρά στους τελικούς κλάδους. (Βλέπουµε ότι στην µορφή δέντρου υπάρχουν όλα τα στοιχεία που αντιστοιχούν σε ένα παίγνιο.) 5
Πριν κάνουµε οτιδήποτε άλλο ας κάνουµε µια προσπάθεια να λύσουµε αυτό το παίγνιο. Αν δεν ξέραµε τίποτα από θεωρία παιγνίων τι θα λέγαµε; Πως θα λύναµε αυτό το παίγνιο; εδοµένου του δέντρου τι θα προτείναµε σαν λύση αυτού του παιγνίου; Τι σηµαίνει λύση αυτού του παιγνίου; Σηµαίνει τί στρατηγική θα ακολουθήσει κάθε παίκτης σε κάθε στιγµή. Εδώ θα χρησιµοποιήσουµε αυτό που λέµε: «backward induction» (οπισθογενής επαγωγή). Γιατί; Γιατί αν φτάσει ποτέ το παιγνίδι στο σηµείο (Β) ο παίκτης II θα επιλέξει το R που τον οδηγεί σε σίγουρη νίκη. Άρα προφανώς ο παίκτης I δεν θα παίξει στην στρατηγική l. Η λογική εδώ είναι η εξής: Ο I ξέρει ότι ο παίκτης II είναι ορθολογικός. Στη θεωρία παιγνίων όπως και στα οικονοµικά, υπάρχει µια πολύ ισχυρή υπόθεση που λέγεται ορθολογισµός. ηλαδή ο κάθε παίκτης είναι ορθολογικός και το ίδιο πιστεύει και για τον αντίπαλό του επιπλέον πιστεύει ότι ο αντίπαλος του πιστεύει ότι αυτός ο ίδιος είναι ορθολογικός.. Και είναι αυτό που εµείς λέµε «κοινή γνώση». Άρα δεδοµένης αυτής της υπόθεσης ο παίκτης I ξέρει ότι ο II είναι ορθολογικός. Ένας ορθολογικός παίκτης αυτό που θα κάνει είναι να προσπαθήσει να κερδίσει. Ο παίκτης I ξέρει ότι ο II είναι ορθολογικός και ο II ξέρει ότι ο παίκτης I είναι ορθολογικός, οπότε για να δούµε τί θα γίνει αν υπάρχει ένας ορθολογικός παίκτης στην τελευταία κίνηση (c). Ο παίκτης I θα επιλέξει το r. Πάµε ένα βήµα πίσω στην κίνηση (Α). Ο παίκτης II ξέρει ότι ένας ορθολογικός παίκτης I θα επιλέξει r. Οπότε ξέρει ο II ότι αν επιλέξει L θα χάσει. Αν επιλέξει R πάλι έχασε. Ο,τιδήποτε και αν κάνει είναι το ίδιο. Οπότε και οι δυο πράξεις είναι ισοδύναµες. Τώρα πάµε πίσω, στην κίνηση (D). Ο II ξέρει ότι από κει και πέρα το χάνει το παιχνίδι. Αλλά και R να επιλέξει στην κίνηση (D), πάλι χάνει το παιχνίδι. Άρα ο παίκτης I ξέροντας ότι ο παίκτης II ξέρει ότι έχει χάσει το παιχνίδι θα παίξει r.(υποθέτουµε ότι ο II αναγκάζεται να παίξει αυτό το παιγνίδι έστω και αν είναι ορθολογικός). Σε αυτό το παιγνίδι ο παίκτης II είναι χαµένος από χέρι. Και πως το βρήκαµε αυτό; Με τη µέθοδο του backwards induction. Είδαµε λοιπόν ένα τρόπο µε τον οποίο µπορεί να λυθεί ένα παίγνιο όταν είναι στην αναλυτική του µορφή. Τώρα θα δούµε ένα άλλο απλό παράδειγµα που έχει ενδιαφέρον. Είναι η περίπτωση όπου υπάρχει ένας µονοπωλητής στην αγορά και ένας εν δυνάµει εισερχόµενος. Ε είναι η νέα εταιρεία που θέλει να µπει στην αγορά και Μ ο µονοπωλητής. Και τα αποτελέσµατα είναι: 6
Αυτή είναι µια αναλυτική µορφή παιγνίου. Οι επιλογές της εν δυνάµει εισερχόµενης εταιρείας είναι να εισέλθει ή όχι ενώ οι επιλογές του µονοπωλητή είναι αποδοχή του δυνάµει εισερχόµενου ή πόλεµος τιµών. Σε αυτή τη µορφή του παιγνίου µπορούµε εύκολα να δούµε: * τους παίκτες * τις επιλογές κάθε παίκτη * πότε παίρνει τις αποφάσεις κάθε παίκτης * η πληροφόρηση είναι πάλι τέλεια πληροφόρηση γιατί ο µονοπωλητής ξέρει αν µπήκε στον κλάδο η άλλη εταιρεία ή όχι. * τα αποτελέσµατα τα οποία φαίνονται στους τελικούς κλάδους. Εδώ πάλι τα πράγµατα είναι ξεκάθαρα. Η εν δυνάµει εισερχόµενη εταιρεία ξέρει ότι ο µονοπωλητής είναι ορθολογικός ξέρει δηλ. ότι ένας ορθολογικός µονοπωλητής αυτό που θα κάνει είναι να συγκρίνει το 50 µε το 0 και να προτιµήσει το 50. εδοµένου ότι ο εισερχόµενος ξέρει ότι ο µονοπωλητής είναι ορθολογικός, αυτό που κάνει είναι να συγκρίνει το 0 µε το 40 και ν αποφασίσει να εισέλθει. Οπότε η είσοδος είναι ελεύθερη. Ας δούµε τώρα πως εισέρχεται στην ιστορία η πληροφόρηση. Θα εξετάσουµε ένα παράδειγµα όπου η πληροφόρηση δεν είναι τέλεια και θα δούµε τι πρέπει να κάνουµε στην περίπτωση αυτή ώστε να παραστήσουµε µια κατάσταση ατελούς πληροφόρησης. Ας υποθέσουµε λοιπόν ότι έχουµε δύο παίκτες: ο παίκτης Ι µπορεί να πάει είτε δεξιά, είτε αριστερά είτε ευθεία. 7
Ο παίκτης I έχει πλήρη πληροφόρηση Αν πάει δεξιά το παιχνίδι τελείωσε και οι δύο παίκτες κερδίζουν από 2. Αν πάει αριστερά ή ευθεία τότε αυτό δεν µπορεί να το ξέρει ο παίκτης ΙΙ, ο οποίος παρόλα αυτά θα πρέπει να αποφασίσει αν θα πάει ο ίδιος αριστερά ή δεξιά χωρίς να ξέρει τι έκανε ο προηγούµενος παίκτης. Ο παίκτης ΙΙ δεν ξέρει τι έκανε ο παίκτης Ι. Αυτό που µπορούµε να κάνουµε στην συγκεκριµένη περίπτωση είναι να βάλουµε τους δύο κόµβους απόφασης του ΙΙ µέσα σε µια έλλειψη, να τους συνδέσουµε δηλαδή µεταξύ τους µε αυτό τον τρόπο. Τους βάζουµε µέσα στο ίδιο σύνολο κόµβων. Με αυτό τον τρόπο όταν ο II πάρει την απόφασή του ξέρει αν το παιγνίδι έχει πάει προς τα κάτω ή αν έχει πάει προς το Α ή Ε. εν µπορεί όµως να διακρίνει µεταξύ του αριστερά και ευθεία. Οπότε ο παίκτης ΙΙ ξέρει τι έγινε µόνο όταν ο παίκτης Ι αποφασίσει δεξιά. Αν ο παίκτης Ι όµως αποφασίσει µεταξύ αριστερά και ευθεία, ο παίκτης ΙΙ δεν αντιλαµβάνεται τι έχει γίνει και πρέπει να πάρει µια απόφαση χωρίς να το γνωρίζει. Πρέπει όµως να πάρει µια απόφαση και για τους δύο κόµβους έτσι θα αποφασίσει να πάει είτε αριστερά είτε δεξιά, ανεξάρτητα από την απόφαση που έχει πάρει ο παίκτης Ι. Ο τρόπος λοιπόν που µπορούµε να το συµβολίσουµε είναι να βάλουµε τους δύο κόµβους απόφασης του ΙΙ, µέσα σε ένα σύνολο το οποίο λέγεται ΣΥΝΟΛΟ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ (information set) και µας δείχνει τι πληροφόρηση έχει ο παίκτης τη στιγµή που παίρνει την απόφασή του. Οπότε εδώ βλέπουµε πως εµφανίζεται το στοιχείο νούµερο 4 τί πληροφόρηση, δηλαδή, έχει ο κάθε παίκτης όταν παίρνει την απόφασή του. Τώρα για να δούµε τι συµβαίνει στα παίγνια όπου υπάρχει τέλεια πληροφόρηση. Στα παίγνια αυτά τα σύνολα πληροφόρησης έχουν ένα µόνο στοιχείο µέσα. ηλαδή ο παίκτης Ι όταν παίρνει την απόφαση του ξέρει πολύ καλά την ιστορία του παιχνιδιού (δεν υπήρχε προηγουµένως καµία ιστορί- 8
α). Οπότε ουσιαστικά ο κόµβος (Α) βρίσκεται σε ένα σύνολο πληροφόρηση που έχει ένα µοναδικό στοιχείο. Οι αποφάσεις πρέπει να παρθούν ανεξάρτητα για τον παίκτη Ι και ΙΙ και µε ένα τρόπο που να είναι λογικός (να έχει δηλαδή λύση). Στο προηγούµενο παράδειγµα που ο µονοπωλητής έχει τέλεια πληροφόρηση µπορούµε να βάλουµε ένα σύνολο γύρω από τον κόµβο (Β) έτσι ώστε αυτό το σύνολο πληροφόρησης να έχει ένα µόνο στοιχείο µέσα. Και αυτό σηµαίνει ότι ο µονοπωλητής ξέρει αν µπήκε ή αν δεν µπήκε στην αγορά η καινούργια εταιρεία. 9
ηλαδή αν δε το ήξερε θα είχαµε: Με άλλα λόγια, τέλεια πληροφόρηση σηµαίνει ότι το δέντρο είναι έτσι, ώστε κάθε σύνολο πληροφόρησης να έχει ένα και µοναδικό στοιχείο µέσα του. Στο παίγνιο που είδαµε ότι ο παίκτης Ι επέλεγε µεταξύ r και l, όλοι οι κόµβοι ανήκαν σε σύνολα πληροφόρησης που είχαν ένα κόµβο µέσα. Άρα είχαµε τέλεια πληροφόρηση. Ας δούµε τώρα ένα άλλο παράδειγµα. Ας υποθέσουµε ότι έχουµε ένα κλάδο µε δύο επιχειρήσεις: τις Α και Β. Η επιχείρηση Α έχει τη δυνατότητα να εισάγει ένα καινούργιο προϊόν ή όχι. Κατόπιν η επιχείρηση Α παίρνει απόφαση να λανσάρει ή όχι µια διαφήµιση για το προϊόν. Και αυτή την απόφαση µπορεί να την πάρει είτε εισάγει είτε όχι το καινούριο προϊόν. Μπορεί δηλαδή να κάνει διαφήµιση είτε πάνω στο παλιό, είτε πάνω στο καινούριο (προϊόν). Η επιχείρηση Β ξέρει αν έχει εισαχθεί το καινούριο προϊόν ή όχι, αλλά αυτό που δεν ξέρει είναι αν η Α αποφάσισε να διαφηµίσει το καινούριο προϊόν ή το παλιό. Άρα η επιχείρηση Β ξέρει αν το παιχνίδι έχει πάει προς τα πάνω ή προς τα κάτω (διάγραµµα 9). 10
Τώρα µπορεί να έχουµε και άλλες περιπτώσεις αυτού του παιγνίου. Για παράδειγµα αν η επιχείρηση Β δεν ξέρει τίποτα, δεν ξέρει δηλαδή, αν έχει εισαχθεί ή όχι το καινούριο προϊόν ούτε ξέρει αν έχει γίνει η διαφήµιση ή όχι, τότε θα έχουµε όλους τους κόµβους απόφασης της επιχείρησης Β σε ένα σύνολο πληροφόρησης (διάγραµµα 10). Στην περίπτωση αυτή η Β πρέπει να πάρει απόφασή, για το αν θα κάνει ή όχι διαφήµιση, χωρίς να ξέρει τίποτα ουσιαστικά δεν ξέρει που έχει φτάσει το παιγνίδι. Ένα άλλο παράδειγµα ατελούς πληροφόρησης είναι να ξέρει αν θα συµβεί ή όχι διαφήµιση αλλά να µην ξέρει αν έχει γίνει εισαγωγή ή όχι του προϊόντος (διάγραµµα 11). Στην περίπτωση αυτή έχουµε δύο σύνολα πληροφόρησης από τα οποία φαίνεται ότι η επιχείρηση Β µπορεί να διακρίνει µεταξύ διαφήµισης ή όχι αλλά δεν µπορεί να διακρίνει αν έχει εισαχθεί ή όχι το προϊόν. 11
Το σύνολο πληροφόρησης ορίζεται για κάθε παίκτη κάθε φορά που παίρνει κάποια απόφαση. Αν είχαµε: 12
τότε αυτό θα σήµαινε ότι η ίδια η επιχείρηση δεν ξέρει τι έχει κάνει. Μπορεί δηλ. την απόφασή της να την έχει πάρει στο παρελθόν και στην περίπτωση που έχουµε µεγάλο δέντρο να µην θυµάται τι έπραξε για το λόγο αυτό θα πρέπει να βάλουµε την έλλειψη. Ποιο είναι το νόηµα του να βάζουµε µέσα σε µια έλλειψη τους κόµβους; Το νόηµα είναι ότι σε ένα σύνολο πληροφόρησης ο παίκτης πρέπει να πάρει µια µοναδική απόφαση. Αν η επιχείρηση Β δεν ξέρει τι έχει συµβεί στο παρελθόν, δηλαδή δεν ξέρει αν βρίσκεται στην εισαγωγή ή όχι του νέου προϊόντος, τότε δεν µπορεί να πάρει άλλη απόφαση για την περίπτωση που θα βρισκόταν πάνω και άλλη γι αυτήν που θα βρισκόταν κάτω. Θα πάρει µια µοναδική απόφαση για όλους τους κόµβους που ανήκουν στο ίδιο σύνολο πληροφόρησης. Τι άλλο στοιχείο µπορούµε να βάλουµε στην περιγραφή των παιγνίων; Στο στοιχείο (1) (βλέπε σελίδα 3) όταν αναφερόµαστε στους παίκτες, θα πρέπει να λάβουµε υπόψη µας ότι ένας από αυτούς µπορεί να είναι και η τύχη. Που σηµαίνει ότι µπορεί να έχουµε και αβεβαιότητα. ηλαδή είτε στην αρχή του παιγνίου, είτε στο ενδιάµεσο µπορεί να υπάρχει κάποια κίνηση της ίδιας της τύχης, όπου αποφασίζει µε κάποιες πιθανότητες να γίνει κάτι ή κάτι διαφορετικό. Γενικότερα θα λέγαµε ότι α- ποφάσεις σε ένα παίγνιο παίρνουν τόσο οι ενεργητικοί παίκτες όσο και η τύχη που είναι ο παθητικός παίκτης (πηγαίνει µε κάποιες πιθανότητες µεταξύ των τυχαίων γεγονότων). 13
Ας δούµε τώρα ένα πολύ απλό παράδειγµα. Ας υποθέσουµε ότι υπάρχουν δύο εταιρείες (η 1 και η 2) οι οποίες παράγουν computers και ότι υπάρχουν δύο είδη δισκετών: µεγάλες και µικρές. Αν οι δυο εταιρείες βγάζουνε computers τα οποία είναι συµβατά, τα κέρδη τους θα είναι θετικά, ενώ αν είναι ασύµβατα θα έχουν απώλειες. Αλλά το πόσο µεγάλα θα είναι τα κέρδη τους, εξαρτάται από το αν οι δισκέτες θα είναι µεγάλες ή µικρές. Η επιχείρηση 1 αποφασίζει µεταξύ µεγάλης ή µικρής δισκέτας. Στη συνέχεια η επιχείρηση 2 αποφασίζει µεταξύ µεγάλης ή µικρής ξέροντας τι έχει κάνει η επιχείρηση 1. Τώρα αν οι δυο επιχειρήσεις δεν καταφέρουν να συντονιστούν τότε και οι δύο θα έ- χουν απώλειες. Τούτο γίνεται περισσότερο κατανοητό µε τη βοήθεια του ακόλουθου παραδείγµατος. Ας υποθέσουµε λοιπόν ότι έχουµε µια πόλη στην οποία υπάρχουν 3 τηλέφωνα. Η χρησιµότητα κάθε ενός από τα άτοµα που κατέχει ένα τηλέφωνο είναι µικρή γιατί ο καθένας µπορεί να καλέσει µόνο τους υπολοίπους δύο. Αν στην ίδια πόλη υπάρχουνε 10000 τηλέφωνα, τότε η χρησιµότητα του ενός ατόµου είναι πολύ µεγαλύτερη. Αυτό το φαινόµενο λέγεται net-work externalities. Τώρα γιατί έχει σχέση αυτό µε το παράδειγµα µας; Γιατί αν οι δισκέτες είναι µεγάλες ή µικρές επηρεάζουν τη χρησιµότητα των προγραµµάτων των computers. Αν µικρές οι δισκέτες και των δύο είναι τότε µπορεί να χρησιµοποιηθεί το software όλων των computers. Αν όµως η µια επιχείρηση έχει µικρές δισκέτες και η άλλη µεγάλες, τότε αυτή που έχει µεγάλες δισκέτες µπορεί να χρησιµοποιήσει το software που έχει µεγάλες δισκέτες και αυτή που έχει µικρές το software µε µικρές δισκέτες. Άρα τα άτοµα θα έχουν µικρότερη ζήτηση και για τα δύο είδη computers. Εδώ έχουµε την τύχη, τον παθητικό παίκτη, να αποφασίζει µεταξύ των κερδών (10, 10) ή (0, 0) µε αντίστοιχες πιθανότητες (0.2) και (0,8). Στον κλάδο της τύχης µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τη θεωρία του προσδοκώµενου κέρδους έτσι ώστε να βρούµε το προσδοκώµενο κέρδος που είναι (2, 2) και να συνεχίσουµε προκειµένου να λύσουµε το πρόβληµα µε τις κλασικές µεθόδους. Αυτό εδώ το πρόβληµα είναι ένα πρόβληµα απλού συντονισµού (pure coordination problem). Και η λύση βέβαια είναι απλή. Όταν ο 2 ξέρει ότι ο 1 έχει επιλέξει µεγάλη προφανώς δεν θα επιλέξει µικρή αν πάλι ξέρει ότι ο 1 έχει επιλέξει µικρή τότε και ο ίδιος θα επιλέξει µικρή. Όπως φαίνεται και από το διάγραµµα ο 1 θα επιλέξει µικρή αφού έτσι πετυχαίνει περισσότερα κέρδη. Φαίνεται λοιπόν ότι οι δυο εταιρείες συντονίζονται, και µάλιστα συντονίζονται στο «καλό» αποτέλεσµα: στο (2, 2) και όχι στο (1, 1). 14
Ο τρόπος επίλυσης ενός δέντρου γίνέται µε την οπισθογενή επαγωγή (backwards induction) µόνο στην περίπτωση που έχουµε τέλεια πληροφόρηση. Ας δούµε τώρα το ίδιο παίγνιο όταν η απόφαση είναι ταυτόχρονη. Οι δύο εταιρείες πρέπει να πάρουν την ίδια στιγµή απόφαση για το αν θα παράγουν µεγάλη ή µικρή δισκέτα. Τα πράγµατα εδώ έχουν αλλάξει και έτσι τώρα δεν µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τη µέθοδο της οπισθογενούς επαγωγής ( backwards induction), αφού δεν έχουµε πλέον τέλεια πληροφόρηση. Έτσι θα πρέπει να βάλουµε τους δύο κόµβους στους οποίους αποφασίζει η εταιρεία 2 µέσα σε µια έλλειψη (διάγραµµα 14) και προφανώς η λύση τώρα δεν θα είναι µόνο το (2, 2). Εδώ το αποτέλεσµα δεν βγαίνει εύκολα και για το λόγο αυτό θα πρέπει να χρησιµοποιήσουµε κάποια άλλη µέθοδο επίλυσης η µέθοδος αυτή είναι η ισορροπία κατά Nash, όπου ο καθένας παίρνει την καλύτερη απόφαση δεδοµένου τι έχει κάνει ο άλλος. Με άλλα λόγια κάθε παίκτης απαντά µε τον καλύτερο δυνατό τρόπο στο τι έκανε ο άλλος. Το πρόβληµα αυτό είναι ισοδύναµο µε µια ταυτόχρονη απόφαση, διότι όταν ο 1 αποφασίζει δεν ξέρει τι έχει κάνει ο 2 - και όταν ο 2 αποφασίζει δεν ξέρει τι έχει κάνει ο 1. Το παίγνιο αυτό µπορεί να παρασταθεί µε µια µήτρα. 15
Στην περίπτωση αυτή όλα τα στοιχεία των παιγνίων είναι σηµαντικά και µπορούν να αλλάξουν τελείως το αποτέλεσµα του παιγνίου. Βλέπουµε λοιπόν ότι άλλη θα είναι η ισορροπία όταν οι α- ποφάσεις παίρνοντας µε ένα τρόπο διαδοχικό και άλλη όταν οι αποφάσεις παίρνονται ταυτόχρονα. Τι σηµαίνει ταυτόχρονα; Σηµαίνει ότι όταν ο ένας παίκτης παίρνει την απόφαση του δεν ξέρει τι έχει κάνει ο άλλος και αντίστροφα. εν µπορούν να συντονιστούν ταυτόχρονα και να πάρουν µια απόφαση, γιατί είµαστε σε αυτό που λέµε Non - Cooperative Game Theory. Τελειώνοντας το πρώτο αυτό κεφάλαιο θα λέγαµε ότι γενικά η θεωρία παιγνίων διαιρείται σε δύο κατηγορίες παιγνίων: Non-cooperative (µη-συνεργατικά παίγνια) Cooperative (συνεργατικά όπου οι αποφάσεις λαµβάνονται από κοινού). Τα παίγνια που χρησιµοποιούµε πολύ στα οικονοµικά είναι κυρίως µη συνεργατικά (που αναλύουµε εδώ), όπου ο κάθε 16
παίκτης είναι ένα άτοµο που ορθολογικά αποφασίζει να µεγιστοποιήσει κάποια συνάρτηση χρησι- µότητας / κέρδους. 17