Condorcet winner. (1) Αν U j (x) > U j (y) τότε U i (x) > U i (y) και (2) Αν U i (y) > U i (x) τότε U j (y) > U j (x).

Transcript

1 Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Άνοιξη 2012 Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης ηµόσια Οικονοµική ΙI Η διαδικασία της ψηφοφορίας Ως µεθόδου παροχής των δηµοσίων αγαθών (για τα ιδιωτικά αγαθά, ο µηχανισµός των τιµών). Για τα δηµόσια αγαθά: Η θεωρία κοινωνικής επιλογής (social choice theory) προσδιορίζει την προτίµηση ολόκληρης της κοινωνίας για κάποιο συγκεκριµένο θέµα µέσα από τις ατοµικές προτιµήσεις των ατόµων Η διαδικασία της ψηφοφορίας είναι ένας τέτοιος τρόπος-µηχανισµός προσδιορισµού των προτιµήσεων ολόκληρης της κοινωνίας. Κάθε µηχανισµός είναι επιθυµητό να παρέχει σταθερό αποτέλεσµα (το αποτέλεσµα να µην µεταβάλλεται, και να µην έχουµε κύκλους). Έστω τρία άτοµα Α, Β, Γ που το καθένα έχει προτιµήσεις που ικανοποιούν την µεταβατική ιδιότητα. Ο Α έχει προτιµήσεις: α > β > γ (και α > γ) Ο Β έχει προτιµήσεις: γ > α > β (και γ > β) Ο Γ έχει προτιµήσεις: β > γ > α (και β > α) (Ι) Σύµφωνα µε τον κανόνα της πλειοψηφίας: Για 2 άτοµα α > β, για 2 άτοµα β > γ και για 2 άτοµα γ > α. Ενώ οι ατοµικές προτιµήσεις είναι µεταβατικές, οι προτιµήσεις των τριών σαν σύνολο δεν ικανοποιούν την µεταβατική ιδιότητα. Έχουµε το Condorcet Paradox. Υπάρχει κάποιος τρόπος που να αθροίσουµε τις ατοµικές αξιολογήσεις για µια σειρά από επιλογές και να σχηµατίσουµε µια ενιαία κοινωνική αξιολόγηση γι αυτές τις επιλογές; Σύµφωνα µε το Arrow s Impossibility Theorem, δεν είναι δυνατόν να φτάσουµε σ ένα αποτέλεσµα που να ικανοποιεί όλους. Κάθε τέτοιο σύστηµα θα πρέπει να ικανοποιεί τις ακόλουθες υποθέσεις:

2 (Υ1) Η Πρόσθεση µίας ακόµα επιλογή δεν επηρεάζει την αρχική αξιολόγηση για τις αρχικές επιλογές. (Υ2) Η κοινωνική αξιολόγηση δεν πρέπει να προσδιορίζεται από τις προτιµήσεις ενός µόνο ανθρώπου. (Υ3) Η κοινωνική αξιολόγηση θα πρέπει να συµπίπτει µε τις ατοµικές αξιολογήσεις όταν αυτές είναι κοινές. (Υ4) Η κοινωνική αξιολόγηση δεν θα πρέπει να αποκλείει καµία ατοµική αξιολόγηση. (Υ5) Εάν µια οµάδα προτιµά Α > Β και Β > Γ τότε και Α > Γ. Σύµφωνα µε το Arrow s Impossibility Theorem, δεν είναι δυνατόν να φτιάξουµε µια µέθοδο κοινωνικής αξιολόγησης (όταν υπάρχουν περισσότερες από δύο επιλογές) δηλαδή µια συνάρτηση κοινωνικής ευηµερίας (social welfare function), που να ικανοποιεί όλες τις παραπάνω υποθέσεις. Θα πρέπει εποµένως να επικεντρωθούµε µηχανισµούς µε λιγότερα επιθυµητά χαρακτηριστικά. Ο κανόνας της πλειοψηφίας Το θεώρηµα του May Σύµφωνα µε το Θεώρηµα του May, αν έχουµε µόνο δύο επιλογές κάθε φορά, ο κανόνας της πλειοψηφίας είναι ο µόνος που ικανοποιεί τις υποθέσεις: Της ανωνυµίας (όλοι οι ψηφοφόροι έχουν το ίδιο βάρος). Της ουδετερότητας (όλες οι επιλογές έχουν το ίδιο βάρος). Της αποφασιστικότητας (η επιλογή θα πρέπει να καταλήξει σ ένα αποτέλεσµα). Της θετικής ανταπόκρισης (αν αυξηθούν οι ψήφοι για την επιλογή που επικρατεί, η επιλογή θα συνεχίσει να επικρατεί). Ο νικητής αλά Condorcet Αν έχουµε περισσότερες από δύο επιλογές τότε µπορούµε να εφαρµόσουµε τον κανόνα της πλειοψηφίας επιλέγοντας κάθε φορά µεταξύ δύο εναλλακτικών. Π. χ. Αν θέλω να επιλέξω µεταξύ των {α, β, γ}, µπορώ να συγκρίνω το α µε το β και το νικητή µε το γ.

3 Ο Condorcet winner: Το α είναι ένας Condorcet winner αν το α προτιµάται από το β και το α προτιµάται από το γ. Όµως η παρακάτω διαδικασία είναι χρήσιµη όταν οι προτιµήσεις είναι ενός συγκεκριµένου τύπου. Έτσι, στην περίπτωση του Condorcet Paradox δεν υπάρχει Condorcet winner. Θεωρήµατα του διάµεσου ψηφοφόρου Όταν οι προτιµήσεις των ατόµων έχουν µία κορυφή και η απόφαση στηρίζεται σ ένα κριτήριο, τα θεωρήµατα του διάµεσου ψηφοφόρου µας δίνουν επαρκείς συνθήκες για την ύπαρξη Condorcet winner. Παράδειγµα: Η τοποθεσία µιας στάσης αυτοκινήτων που επιθυµούν οι κάτοικοι ενός δρόµου µε προτιµήσεις τύπου Hotelling (ο καθένας θέλει την στάση όσο πιο κοντά γίνεται στη δική του τοποθεσία. Το αποτέλεσµα της ψηφοφορίας (µέσω διαδοχικών συγκρίσεων) είναι η στάση να γίνει στο κέντρο του δρόµου. Το θεώρηµα του διάµεσου ψηφοφόρου Έστω ότι υπάρχει µονός αριθµός ψηφοφόρων και η απόφαση στηρίζεται σ ένα µόνο κριτήριο. Αν οι ψηφοφόροι έχουν µία κορυφή, τότε οι προτιµήσεις του διάµεσου (από πλευράς προτιµήσεων) ψηφοφόρου αποτελούν τον Condorcet winner. Εφαρµογή: Στο πολιτικό σύστηµα. Πού τοποθετούνται τα κόµµατα; Με βάση την αρχή της ελάχιστης διαφοροποίησης του Hotelling. (Τα πολιτικά κόµµατα τείνουν στο κέντρο). Μια άλλη παραλλαγή του παραπάνω Θεωρήµατος Έστω ότι οι ψηφοφόροι στα αριστερά προτιµούν αριστερές επιλογές περισσότερο από τους ψηφοφόρους στα δεξιά. ηλαδή, Έστω ή ιδιότητα The single crossing property: Για κάθε δύο ψηφοφόρους i και j έτσι ώστε i < j (ο i είναι στα αριστερά του j) και για κάθε δύο επιλογές x και y τέτοιες ώστε x < y (η x είναι στα αριστερά από την y). Και η ιδιότητα (1) Αν U j (x) > U j (y) τότε U i (x) > U i (y) και (2) Αν U i (y) > U i (x) τότε U j (y) > U j (x). Μισοί ψηφοφόροι είναι στ αριστερά του διάµεσου ψηφοφόρου και µισοί στα δεξιά του.

4 Έτσι, σύµφωνα µε την παραπάνω ιδιότητα, για κάθε δύο επιλογές x και y τέτοιες ώστε x < y, αν ο διάµεσος ψηφοφόρος προτιµά την x, όλοι οι ψηφοφόροι στ αριστερά του προτιµούν την x και αν ο διάµεσος ψηφοφόρος προτιµά την y, όλοι οι ψηφοφόροι στα δεξιά του προτιµούν την y. Έτσι υπάρχει πάντα µια πλειοψηφία που συµφωνεί µε τον διάµεσο ψηφοφόρο, και η επιλογή του διάµεσου ψηφοφόρου αποτελεί και τον Condorcet winner. Έτσι το δεύτερο θεώρηµα του διάµεσου ψηφοφόρου: Έστω ότι υπάρχει µονός αριθµός ψηφοφόρων και η απόφαση στηρίζεται σ ένα µόνο κριτήριο. Αν οι προτιµήσεις των ψηφοφόρων ικανοποιούν την single crossing property, οι προτιµήσεις του διάµεσου ψηφοφόρου αποτελούν τον Condorcet winner. Οι δύο ιδιότητες: single crossing property και προτιµήσεις που έχουν µία κορυφή δεν είναι ταυτόσηµες. Utility U1 U2 U3 Policy spectrum Στο πιο πάνω διάγραµµα οι προτιµήσεις ικανοποιούν την single crossing property αλλά οι προτιµήσεις του 2 δεν έχουν µία κορυφή. Έχουµε: ο 3 είναι στα αριστερά του 2 που είναι αριστερά του 1 και η α είναι στα αριστερά της β που είναι αριστερά της γ Για τον 1 έχουµε: α < β < γ Για τον 2 έχουµε: β < γ < α Για τον 3 έχουµε: γ < β < α

5 Έχουµε: U 2 (α) > U 2 (β) τότε και U 3 (α) > U 3 (β). U 2 (γ) > U 2 (β) τότε U 1 (γ) > U 1 (β). Τα Θεωρήµατα του διάµεσου ψηφοφόρου δεν εξαρτώνται από την ένταση των προτιµήσεων των ατόµων κι έτσι δεν υπάρχει κίνητρο για να πει κανείς ψέµατα. Η καλύτερη στρατηγική των ψηφοφόρων είναι να ψηφίσουν σύµφωνα µε τις προτιµήσεις τους. Έστω ένας ψηφοφόρος στ αριστερά του διάµεσου ψηφοφόρου: Αν υποκριθεί πως οι προτιµήσεις του είναι ακόµα πιο αριστερά, δεν επηρεάζει τη θέση του διάµεσου ψηφοφόρου και εποµένως και το αποτέλεσµα της ψηφοφορίας. Αν υποκριθεί πως οι προτιµήσεις του είναι πιο δεξιά, είτε το αποτέλεσµα παραµένει το ίδιο (ο διάµεσος ψηφοφόρος είναι ο ίδιος) είτε το τελικό αποτέλεσµα µετακινείται περισσότερο από αυτό που αυτός δεν προτιµά. Ψηφοφορία µε περισσότερα του ενός κριτήρια (z,y) Π.χ. Η ώρα που περνά το λεωφορείο (z) και η θέση της στάσης (y). Μονοκόρυφες προτιµήσεις (για ένα κριτήριο) δεν οδηγούν υποχρεωτικά σε ιεράρχηση προτιµήσεων οι οποίες είναι µεταβατικές όταν έχουµε δύο κριτήρια.

6 Condorcet winner Y x1 x3 x2 z2 z1 z3 Z τοποθεσία Έστω ότι η πιο επιθυµητή τοποθεσία για τον 1 είναι η z1. Όσο µετακινούµαι από το z1 στον z, η χρησιµότητά µου µειώνεται. Η καµπύλη αδιαφορίας για τον 1 (ως προς τα z, y) είναι ο κύκλος γύρω από το z1. Έστω οι προτιµήσεις των τριών ατόµων για το z: Ο 1: z1 > z2 > z3 Ο 2: z2 > z3 > z1 Ο 3: z3 > z1 > z2 Το Θεώρηµα του διάµεσου ψηφοφόρου (για το z) δεν µπορεί να εφαρµοστεί, και η ψηφοφορία µε βάση την πλειοψηφία δεν δίδει µεταβατικές προτιµήσεις: Όπως έχουµε δείξει (συνθήκη Ι σελ. 1) οι πιο πάνω προτιµήσεις δεν οδηγούν σε µεταβατικές κοινωνικές προτιµήσεις µε βάση την ψηφοφορία (αν και οι ατοµικές προτιµήσεις όπως φαίνονται από το πιο πάνω διάγραµµα είναι µονοκόρυφες). Για το z κριτήριο, ο διάµεσος είναι ο z1, ενώ για το y είναι ο z3. Επιλογή του τρόπου ψηφοφορίας Η αλλαγή του τρόπου ψηφοφορίας αλλάζει και το αποτέλεσµα αν δεν υπάρχει Condorcet winner.

7 Ο 1: α > β > γ Ο 2: β > γ > α Ο 3: γ > α > β Στο πιο πάνω παράδειγµα οι 1 και 2 προτιµούν το α από το β, οι 2 και 3 προτιµούν το γ από το α, και οι 1 και 3 προτιµούν το β από το γ. Έτσι ο νικητής επηρεάζεται από τον τρόπο που γίνεται η ψηφοφορία. Ο α είναι ο τελικός νικητής, αν πρώτα συγκριθούν το β µε το γ... Το πιο πάνω συµβαίνει αν οι ψηφοφόροι είναι ειλικρινείς. Τι συµβαίνει αν οι ψηφοφόροι επιλέγουν στρατηγικά; Αν πρώτα συγκριθούν το β µε το γ, ο 2 µπορεί να ψηφίσει γ αντί για β. Έτσι τελικά συγκρίνουµε το γ µε το α., και νικητής είναι το γ. Σύµφωνα µε τον Miller αν όλες οι επιλογές περιλαµβάνονται στην ατζέντα αυτού που θέτει την ψηφοφορία, το σύνολο των αποτελεσµάτων που τελικά προκύπτει από διαφορετικές διαδοχικές (ανά δύο) ψηφοφορίες, δεν επηρεάζεται από το αν οι ψηφοφόρου επιλέγουν µε ειλικρίνεια ή επιλέγουν στρατηγικά. Το σύνολο των αποτελεσµάτων που τελικά προκύπτει από διαφορετικές διαδοχικές (ανά δύο) ψηφοφορίες ανήκουν στο top cycle. Αν υπάρχει Condorcet winner το top cycle περιλαµβάνει µόνο αυτό ως στοιχείο. Αν έχουµε το Condorcet Paradox το top cycle περιλαµβάνει όλες τις επιλογές {α, β, γ}. Σε στρατηγική ψηφοφορία το β µπορεί να προκύψει αν επιλεγεί το β στην σύγκριση του γ µε το β, το γ στη σύγκριση του γ µε το α, και το γ στη σύγκριση του γ µε το β. Πρόβληµα µε το top cycle. Μπορεί να ανήκουν σ αυτό αποτελέσµατα που είναι κυριαρχούµενα κατά Pareto. Πχ αν προσθέσω µια επιλογή δ (µε γ > δ για κάθε ψηφοφόρο): Ο 1: α > β > γ > δ Ο 2: γ > δ > α > β Ο 2: β > γ > δ > α

8 Υπάρχει κύκλος: 2 προτιµούν το β από το γ, 2 προτιµούν το α από το β, και 2 προτιµούν το δ από το α. Όµως όλοι προτιµούν το γ από το δ και άρα έχουµε έναν πλήρη κύκλο, αν και γ > δ για κάθε ψηφοφόρο. Σύµφωνα µε τον McKelvey, αν δεν υπάρχει Condorcet winner το top cycle είναι πολύ µεγάλο και µπορεί να περιλαµβάνει ακόµα και όλες τις επιλογές. Άρα, το αποτέλεσµα µιας ψηφοφορίας µπορεί να είναι οτιδήποτε (άρα και η δύναµη αυτού που θέτει τους κανόνες της ψηφοφορίας είναι πολύ µεγάλη). Ακόµα, το αποτέλεσµα µιας τέτοιας ψηφοφορίας δεν έχει πρακτική αξία. Σύµφωνα µε τον Fishburn όταν οι προτιµήσεις προκύπτουν µε τυχαίο και ανεξάρτητο τρόπο από το σύνολο των δυνητικών προτιµήσεων η πιθανότητα Condorcet winner τείνει στο µηδέν καθώς αυξάνει ο αριθµός των δυνητικών προτιµήσεων. Άλλες διαδικασίες οι οποίες επιλέγουν τον Condorcet winner όταν αυτός υπάρχει αποτελούν το uncovered set. Μια επιλογή x γίνεται covered αν υπάρχει µια άλλη επιλογή y έτσι ώστε η y να προτιµάται από την x (από την πλειοψηφία) και η y κερδίζει κάθε επιλογή z την οποία η x κερδίζει. Αν η x είναι κυριαρχούµενη κατά Pareto από µια επιλογή τότε η x γίνεται covered. Το uncovered set είναι το σύνολο των επιλογών που δεν είναι covered. Στο πιο πάνω παράδειγµα η δ δεν ανήκει στο uncovered set. Η δ γίνεται covered από την γ γιατί η δ είναι χειρότερη από την γ για όλους τους ψηφοφόρους. Το uncovered set είναι υποσύνολο του top cycle. Εναλλακτικοί τρόποι του κανόνα της πλειοψηφίας Η ψηφοφορία αλά Borda: Αν έχουµε n επιλογές, ο ψηφοφόρος δίνει στην πρώτη του επιλογή n ψήφους, στην δεύτερη n 1 και ούτω καθεξής. Όποια επιλογή λαµβάνει την υψηλότερη βαθµολόγηση είναι ο νικητής. Η µέθοδος είναι απλή και σχεδόν πάντα δίνει νικητή ακόµα και όταν δεν υπάρχει Condorcet winner. Η µέθοδος αυτή παραβιάζει την υπόθεση (Υ1): Η Πρόσθεση µίας ακόµα επιλογή δεν επηρεάζει την αρχική αξιολόγηση για τις αρχικές επιλογές. Εποµένως δεν θα πρέπει να χρησιµοποιείται σαν µέθοδος ψηφοφορίας (το αποτέλεσµα της ψηφοφορίας µπορεί εύκολα να αλλάξει αν προσθέσουµε ή αφαιρέσουµε επιλογές). Έστω επτά ψηφοφόροι.

9 Οι 3 έχουν προτιµήσεις: α > β > γ, οι 2 έχουν προτιµήσεις: γ > α > β, οι 2 έχουν προτιµήσεις: β > γ > α. εν υπάρχει Condorcet winner αφού για 5 από τους 7 ισχύει α > β, για 5 από τους 7 ισχύει β > γ και για 4 από τους 7 ισχύει γ > α. Η ψηφοφορία αλά Borda δίνει νικητή την α µε 15 ψήφους. Έχουµε α > β > γ. Έστω ότι εισάγουµε την επιλογή δ. Έστω ότι έχουµε Οι 3 έχουν προτιµήσεις: δ > α > β > γ, οι 2 έχουν προτιµήσεις: γ > δ > α > β, οι 2 έχουν προτιµήσεις: β > γ > δ > α. Η ψηφοφορία αλά Borda δίνει νικητή την δ µε 22 ψήφους. Έχουµε δ > γ > β > α. Η Υ1 παραβιάζεται αφού η αρχική κατάταξη έχει αλλάξει. Η ψηφοφορία µε βάση την πλειοψηφία. ίνουµε 1 για την επιλογή που προτιµάµε περισσότερο και µηδέν για όλες τις άλλες. Οι 2 έχουν προτιµήσεις: α > β > γ, οι 3 έχουν προτιµήσεις: β > α > γ, οι 4 έχουν προτιµήσεις: γ > α > β Σύµφωνα µε τον παραπάνω κανόνα, νικητής είναι η γ. Όµως η γ δεν αποτελεί τον Condorcet winner που είναι η α. Η α κερδίζει και την β και την γ. Η ψηφοφορία για έγκριση (approval voting) Η πιο πάνω ψηφοφορία οδηγεί συχνά τα άτοµα να ψηφίσουν στρατηγικά: Αν η πρώτη τους επιλογή είναι απίθανο να κερδίσει, ψηφίζουν κάτι άλλο για να εµποδίσουν την νίκη µιας ακόµα χειρότερης επιλογής. Στη ψηφοφορία για έγκριση (approval voting) των Brams και Fishburn, ο ψηφοφόρος ψηφίζει όσες επιλογές θέλει. Νικητής είναι η πρόταση µε τους περισσότερους ψήφους.

10 Η µέθοδος αυτή απαιτεί µια µόνο ψηφοφορία (όχι ανά δύο συγκρίσεις). Οι 3 έχουν προτιµήσεις: α > β > γ, ο 1 έχει προτιµήσεις: β > α > γ, ο 1 έχει προτιµήσεις: γ > β > α Αν οι ψηφοφόροι ψηφίζουν την πρώτη και τη δεύτερη επιλογή τους (βάζοντας τις 1), νικητής είναι η β µε πέντε ψήφους (η α παίρνει 4 και η γ παίρνει 1). Όµως η β δεν αποτελεί τον Condorcet winner που είναι η α. Η α κερδίζει και την β και την γ (εδώ λαµβάνουµε υπόψη και τις τρεις επιλογές). Runoff voting Η διαδικασία αυτή χρησιµοποιείται σε πολλές περιπτώσεις. Σύµφωνα µε την διαδικασία αυτή, µόνο η πιο επιθυµητή επιλογή λαµβάνεται υπόψη. Αν δεν υπάρχει πλειοψηφία, υπάρχει ένας δεύτερος γύρος µε τις δύο πιο επικρατέστερες επιλογές. Οι 2 έχουν προτιµήσεις: α > β > γ, οι 3 έχουν προτιµήσεις: β > α > γ, οι 4 έχουν προτιµήσεις: γ > α > β Σύµφωνα µε τον παραπάνω κανόνα, στον πρώτο γύρο νικητής είναι η γ µε 4 ψήφους. Στον δεύτερο γύρο έχουµε τις επιλογές β και γ. Αυτοί που υποστήριζαν την α τώρα υποστηρίζουν την β, και έτσι η β κερδίζει. Όµως η β δεν αποτελεί τον Condorcet winner που είναι η α. Η α κερδίζει και την β και την γ. Η µέθοδος αυτή δεν ικανοποιεί ούτε την αρχή της θετικής ανταπόκρισης (αν αυξηθούν οι ψήφοι για την επιλογή που επικρατεί, η επιλογή θα συνεχίσει να επικρατεί). Οι 6 έχουν προτιµήσεις: α > β > γ, οι 5 έχουν προτιµήσεις: γ > α > β, οι 4 έχουν προτιµήσεις: β > γ > α, οι 2 έχουν προτιµήσεις: β > α > γ.

11 Εδώ δεν υπάρχει Condorcet winner. Το α > β, το γ > α, το β > γ. Σύµφωνα µε τη µέθοδο αυτή, στον πρώτο γύρο υπάρχει ισοπαλία της α µε τη β µε 6 ψήφους. Στον δεύτερο γύρο οι υποστηρικτές της γ ψηφίζουν α που τελικά κερδίζει τη β. Αν όµως οι υποστηρικτές στην τέταρτη κατηγορία, αλλάξουν τις προτιµήσεις τους υπέρ της α και έχουµε οι 2 έχουν προτιµήσεις: α > β > γ. Στην περίπτωση αυτή η α χάνει. Σύµφωνα µε τον παραπάνω κανόνα, στον πρώτο γύρο δεν υπάρχει νικητής. Στον δεύτερο γύρο έχουµε τις επιλογές α και γ. Αυτοί που υποστήριζαν την β τώρα υποστηρίζουν την γ, και έτσι η γ κερδίζει. Το παράδοξο της ψηφοφορίας Γιατί να ψηφίσει κάποιος; Η συµµετοχή στην ψηφοφορία έχει ένα κόστος C. Έστω ότι στην ψηφοφορία συµµετέχουν δύο κόµµατα. Το κόµµα 1 δίνει αναµενόµενο όφελος Ε1 και το κόµµα 2 δίνει αναµενόµενο όφελος Ε2 στον ψηφοφόρο. Έστω Β = Ε1 Ε2 > 0. Αν ο ψηφοφόρος πιστεύει πως το κόµµα 1 θα κερδίσει, δεν θα πάει να ψηφίσει ο ίδιος για να µην έχει το κόστος που συνεπάγεται η ψηφοφορία. Με ανάλογο τρόπο δεν θα πάει να ψηφίσει αν πιστεύει πως το κόµµα 2 θα κερδίσει. Ο ψηφοφόρος θα πάει να ψηφίσει µ όνο αν πιστεύει πως θα είναι ο οριακός ψηφοφόρος. Αν η πιθανότητα ισοψηφίας είναι Ρ, το αναµενόµενο κέρδος αν ο ψηφοφόρος ψηφίσει είναι Ρ * Β. Ο ψηφοφόρος θα ψηφίσει αν Ρ * Β > C. Η πιθανότητα κάποιος ψηφοφόρος να είναι ο οριακός ψηφοφόρος µειώνεται όσο ο αριθµός των ψηφοφόρων αυξάνει, και αυξάνει όσο το αποτέλεσµα της ψηφοφορίας γίνεται πιο αβέβαιο. Έστω ότι ο δυνητικός αριθµός ψηφοφόρων είναι Ν. Ένας ψηφοφόρος αποφασίζει να ψηφίσει µε πιθανότητα ρ. Στην ψηφοφορία συµµετέχουν δύο κόµµατα. Ποσοστό σ1 των ψηφοφόρων υποστηρίζει το κόµµα 1 (αν ψηφίσει θα ψηφίσει το κόµµα 1). Ανάλογα, ποσοστό σ2 των ψηφοφόρων υποστηρίζει το κόµµα 2.

12 Ισχύει 0 σ1 + σ2 1. Αν σ1 + σ2 < 1, κάποιοι δεν υποστηρίζουν κανένα κόµµα και απέχουν από την ψηφοφορία. Έστω ότι στην ψηφοφορία το κόµµα 1 παίρνει Χ1 ψήφους και το κόµµα 2 Χ2 ψήφους. Ποια είναι η πιθανότητα ένας επιπλέον ψηφοφόρος (του 1) να αλλάξει το αποτέλεσµα της ψηφοφορίας; Αυτό συµβαίνει αν χωρίς αυτόν Χ1 = Χ2 (και µε αυτόν το 1 κερδίζει) ή αν Χ1 = Χ2-1 (και µε αυτόν έχουµε ισοπαλία). Αν υπάρξει ισοπαλία τότε κάθε κόµµα κερδίζει µε πιθανότητα 1/2. Η πιθανότητα ένας ψηφοφόρος του 1 να είναι ο οριακός ψηφοφόρος είναι: Ρ = ½ Pr( X1 = X2) + ½ Pr(X1 = X2 1) Αν χωρίς τον ψηφοφόρο είχαµε Χ1 = Χ2 και η πιθανότητα νίκης ήταν 1/2 τότε µε τον ψηφοφόρο η πιθανότητα αυτή γίνεται 1 (δηλαδή αυξάνει κατά 1/2). Αν χωρίς τον ψηφοφόρο είχαµε Χ1 = Χ2-1και η πιθανότητα νίκης ήταν 0 τότε µε τον ψηφοφόρο η πιθανότητα αυτή γίνεται 1/2 (δηλαδή αυξάνει κατά 1/2). Έστω ότι Ν = 3, σ1 = 1/3, σ2 = 2/3 και ρ = 1/2. Η πιθανότητα ενός επιλέον ψηφοφόρου να επηρεάσει το αποτέλεσµα της ψηφοφορίας δίνεται: Ρ = ½ [Pr( X1 = X2 = 0) + Pr( X1 = X2 = 1)] + ½ [Pr(X1 = 0, X2 =1) + Pr(X1 =1, X2 =2)] = ½ [1/8 + 2/8] + ½ [2/8 +1/8] = 3/8. Π.χ.: Pr( X1 = X2 = 0) = Pr( ο 1 ψηφοφόρος του πρώτου κόµµατος δεν πάει να ψηφίσει και κανένας από τους 2 ψηφοφόρους του δεύτερου κόµµατος δεν πάει να ψηφίσει) = 1/2 * 1/2 * 1/2 = 1/8. Pr( X1 = X2 = 1) = Pr( ο 1 ψηφοφόρος του πρώτου κόµµατος πάει να ψηφίσει και (είτε ο πρώτος από το δεύτερο κόµµα πάει να ψηφίσει και ο δεύτερος δεν πάει είτε συµβαίνει το αντίστροφο)) = = 1/2 * 2*(1/2 * 1/2) = 2/8. [Οι άλλες δύο πιθανότητες προκύπτουν µε τον ίδιο τρόπο.]

13 Έτσι, ένας ψηφοφόρος επιλέγει να ψηφίσει αν V = 3/8 B C > 0. Γενικότερα, Η πιθανότητα κάποιος ψηφοφόρος να είναι ο οριακός ψηφοφόρος µειώνεται όσο ο αριθµός των ψηφοφόρων αυξάνει. Η πιθανότητα κάποιος ψηφοφόρος να είναι ο οριακός ψηφοφόρος αυξάνει όσο το σ1 πλησιάζει το σ2 (το αποτέλεσµα της ψηφοφορίας γίνεται όλο και πιο αβέβαιο). Για Ν µεγάλο και ρ µικρό, ρ * Ν = n δίνει τον δυνητικό αριθµό των ψηφοφόρων που ψηφίζουν. Η πιθανότητα κάποιος ψηφοφόρος να είναι ο οριακός ψηφοφόρος δίνεται από την σχέση: P= n(2σ 1 σ 2 σ 1 σ 2) 0.5 e σ1 + σ ( πn( σ1σ 2) ) σ1 0.5 Η Ρ είναι φθίνουσα συνάρτηση του n. Για κάθε σ1, η Ρ αυξάνει όσο πιο κοντά είναι το σ1 µε το σ2. 1 Αν σ1 = σ2 έχουµε: Ρ = 0. 5 (2πn). είτε την ανάλυση στο: J. Hindriks and G.D. Myles, Intermediate Public Economics pages