Αρχές Εμβιομηχανικής ΜΕΡΟΣ I

ΜΕΡΟΣ I Αρχές Εμβιομηχανικής Fd Fs s rs rd d M d = r dsin( d) = (20 cm)sin(5 ) 2 cm M s = r s sin( s ) = (2 cm)sin(80 ) 2 cm Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή στην εμβιομηχανική ανάλυση Κεφάλαιο 2: Μηχανικές Ιδιότητες των Υλικών Κεφάλαιο 3: Εμβιομηχανική των Οστών Κεφάλαιο 4: Εμβιομηχανική των Σκελετικών Μυών Κεφάλαιο 5: Εμβιομηχανική των Χόνδρων Κεφάλαιο 6: Εμβιομηχανική των Τενόντων και των Συνδέσμων Κεφάλαιο 7: Εμβιομηχανική των Αρρώσεων 1

ΜΕΡΟΣ I Τ ο πρώτο μέρος εισάγει τον αναγνώστη στις βασικές αρχές που χρησιμοποιούνται σε αυτό το βιβλίο, για την κατανόηση της δομής και λειτουργίας του μυοσκελετικού συστήματος. Εμβιομηχανική είναι η μελέτη των βιολογικών συστημάτων με την εφαρμογή των νόμων της φυσικής. Σκοπός του πρώτου μέρους είναι να προβεί σε επισκόπηση των αρχών και των εργαλείων της μηχανικής ανάλυσης και να περιγράψει τη μηχανική συμπεριφορά των ιστών και των δομικών μονάδων που συνέτουν το μυοσκελετικό σύστημα. Οι συγκεκριμένοι στόχοι του μέρους αυτού είναι: Η επισκόπηση των αρχών που αποτελούν τα εμέλια της εμβιομηχανικής ανάλυσης μη παραμορφώσιμων σωμάτων Η επισκόπηση των μαηματικών προσεγγίσεων που χρησιμοποιούνται στην εκτέλεση της εμβιομηχανικής ανάλυσης μη παραμορφώσιμων σωμάτων Η εξέταση των εννοιών που χρησιμοποιούνται στον προσδιορισμό των υλικών ιδιοτήτων των παραμορφώσιμων σωμάτων Η περιγραφή των υλικών ιδιοτήτων των πρωτογενών βιολογικών ιστών που αποτελούν το μυοσκελετικό σύστημα: οστά, μύες, χόνδροι και πυκνός συνδετικός ιστός Η επισκόπηση των συστατικών και της συμπεριφοράς των αρρικών συμπλεγμάτων Έχοντας κατανοήσει της αρχές της ανάλυσης της εμβιομηχανικής και των εμβιομηχανικών ιδιοτήτων των πρωτογενών ιστών του μυοσκελετικού συστήματος, ο αναγνώστης α είναι έτοιμος να εφαρμόσει τις αρχές αυτές σε κάε περιοχή του σώματος για να κατανοήσει την μηχανική της φυσιολογικής κίνησης σε κάε περιοχή και να εκτιμήσει τα αποτελέσματα των διαταραχών στην παομηχανική της κίνησης.

Εισαγωγή στην Εμβιομηχανική Ανάλυση NDREW R. KRDUN, PH. D. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ...00 Μονάδες μέτρησης...00 Τριγωνομετρία...00 Σύστημα Συντεταγμένων...00 ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ...00 Δυνάμεις...00 Ροπή...00 Δύναμη Μυών...00 ΣΤΑΤΙΚΗ...00 Νόμοι του Νεύτωνα...00 Επίλυση Προβλημάτων...00 Απλά μυοσκελετικά προβλήματα...00 Σύνετα μυοσκελετικά προβλήματα...00 ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ...00 Περιστροφική και Μεταφορική Κίνηση...00 Μετατόπιση, Ταχύτητα και Επιτάχυνση...00 ΚΙΝΗΤΙΚH...00 Δυνάμεις Αδράνειας...00 Έργο, Ενέργεια και Ισχύς...00 Τριβή...00 ΠΕΡΙΛΗΨΗ...00 Μ ολονότι το ανρώπινο σώμα είναι ένα απίστευτα πολύπλοκο βιολογικό σύστημα αποτελούμενο από τρισεκατομμύρια κύτταρα, υπόκεινται στους ίδιους εμελιώδεις νόμους της μηχανικής που διέπουν τις απλές μεταλλικές ή πλαστικές δομές. Η μελέτη της απόκρισης των βιολογικών συστημάτων στις μηχανικές δυνάμεις αναφέρεται ως εμβιομηχανική. Παρόλο που δεν αναγνωρίζονταν ως επίσημη επιστήμη μέχρι τον 20ο αιώνα, η εμβιομηχανική είχε μελετηεί από ανρώπους όπως ο Λεονάρντο ντα Βίντσι, ο Γαλιλαίος και ο Αριστοτέλης. Η εφαρμογή της εμβιομηχανικής στο μυοσκελετικό σύστημα οδήγησε στην καλύτερη κατανόηση τόσο της λειτουργίας όσο και της δυσλειτουργίας των αρρώσεων, με αποτέλεσμα τη σχεδίαση βελτιωμένων βοηημάτων όπως συστήματα αρροπλαστικής των αρρώσεων και ορωτικά βοηήματα. Επιπρόσετα, βασικές έννοιες της μυοσκελετικής εμβιομηχανικής είναι σημαντικές για κλινικούς όπως οι οροπεδικοί, οι φυσικοεραπευτές και οι εργοεραπευτές. Η εμβιομηχανική συχνά αναφέρεται ως ο σύνδεσμος μεταξύ δομής και λειτουργίας. Ενώ ο εραπευτής αξιολογεί τον ασενή από κινησιολογική άποψη, είναι συχνά μη πρακτικό ή απαραίτητο να προχωρήσει σε ολοκληρωμένη εμβιομηχανική ανάλυση. Παρόλα αυτά η εμπεριστατωμένη γνώση τόσο της εμβιομηχανικής όσο και της ανατομίας είναι απαραίτητη για την κατανόηση των λειτουργιών του μυοσκελετικού συστήματος. Η εμβιομηχανική μπορεί επίσης να φανεί χρήσιμη σε μια κριτική αξιολόγηση σύγχρονων ή νέο προτεινόμενων μεόδων αξιολόγησης και εραπείας ασενών. Τέλος, μια βασική κατανόηση της εμβιομηχανικής είναι απαραίτητη για την κατανόηση της 3

4 Μέρος Ι / ΑΡΧΕΣ ΕΜΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ορολογίας που σχετίζεται με την κινησιολογία (ροπή στρέψης, ροπή, μοχλοβραχίονας). Οι σκοποί αυτού του κεφαλαίου είναι: Η επισκόπηση των βασικών μαηματικών αρχών που χρησιμοποιούνται στην εμβιομηχανική Η περιγραφή της δύναμης και της ροπής Η συζήτηση των αρχών της στατικής ανάλυσης Η παρουσίαση βασικών εννοιών της κινηματικής και κινητικής Η ανάλυση είναι περιορισμένη σε άκαμπτα σώματα. Η συζήτηση για τα παραμορφώσιμα σώματα γίνεται στα Κεφάλαιο 2 6. Το υλικό αυτού του κεφαλαίου είναι μια σημαντική παραπομπή για τα κεφάλαια ανάλυσης δυνάμεων σε όλο το κείμενο. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ Αυτό το κεφάλαιο παρατίεται ως επισκόπηση μερικών βασικών μαηματικών εννοιών που χρησιμοποιούνται στην εμβιομηχανική. Μολονότι ο αναγνώστης μπορεί να το παραλείψει εάν είναι εξοικειωμένος με αυτό το υλικό, α ήταν χρήσιμο να κάνει τουλάχιστον μια ανασκόπηση αυτού του κεφαλαίου. Μονάδες Μέτρησης Το πόσο σημαντικό είναι να περιλαμβάνονται οι μονάδες στις μετρήσεις είναι πέρα από κάε αμφιβολία. Οι μετρήσεις πρέπει να συνοδεύονται από μία μονάδα προκειμένου να έχουν φυσική σημασία. Μερικές φορές υπάρχουν περιπτώσεις όπου οι συγκεκριμένες μονάδες υπονοούνται. Αν ένας γιατρός ρωτήσει για το ύψος ενός ασενούς και η απάντηση είναι «5 6», μπορεί λογικά να υποτεεί ότι ο ασενής έχει ύψος 5 πόδια και 6 ίντσες. Ωστόσο, αυτή η ερμηνεία α ήταν ανακριβής εάν ο ασενής ήταν στην Ευρώπη, όπου χρησιμοποιείται το μετρικό σύστημα. Υπάρχουν επίσης περιπτώσεις όπου η έλλειψη μονάδων καιστά έναν αριμό εντελώς άχρηστο. Εάν στον ασενής είχε ζητηεί να εκτελέσει μία σειρά από ασκήσεις ανά δύο, ο ασενής δεν α είχε ιδέα εάν αυτό σήμαινε δύο ημέρες, δυο εβδομάδες δυο μήνες ή ακόμη δυο έτη. Οι μονάδες που χρησιμοποιούνται στην εμβιομηχανική μπορούν να χωριστούν σε δύο κατηγορίες. Υπάρχουν τα τέσσερα εμελιώδη μεγέη του μήκους, της μάζας, του χρόνου και της ερμοκρασίας, που ορίζονται βασισμένα σε παγκόσμια αποδεκτές σταερές. Κάε άλλο μέγεος εωρείται παράγωγο μέγεος και μπορεί να οριστεί σε σχέση με αυτά τα εμελιώδη μεγέη. Για παράδειγμα, η ταχύτητα ισούται με το μήκος διαιρούμενο δια του χρόνο και η δύναμη ισούται με τη μάζα πολλαπλασιαζόμενη επί το μήκος και διαιρούμενη δια του τετράγωνου του χρόνου. Ένας κατάλογος όλων των μεγεών και των μονάδων μέτρησης τους που απαιτούνται στην εμβιομηχανική βρίσκεται στον Πίνακα 1.1. Τριγωνομετρία Εφόσον οι γωνίες είναι τόσο σημαντικές στην ανάλυση του μυοσκελετικού συστήματος, η τριγωνομετρία είναι ένα πολύ χρήσιμο εμβιομηχανικό εργαλείο. Η αποδεκτή μονάδα μέτρηση γωνιών στην κλινική πρακτική είναι η μοίρα. Υπάρχουν 360 σε έναν κύκλο. Εάν μιλάμε για ένα μόνο τμήμα του κύκλου τότε η γωνία που σχηματίζεται είναι κάποιο κλάσμα των 360. Για παράδειγμα το ένα τέταρτο του κύκλου περιέχει γωνία 90. Παρόλο που σε γενικές γραμμές, η μονάδα που υιοετείται στο κείμενο αυτό είναι η μοίρα, οι γωνίες μπορούν επίσης να περιγραφούν με τον όρο του ακτινίου. Εφόσον σε κάε κύκλο υπάρχουν 2π ακτίνια, υπάρχουν 57.3 σε κάε ακτίνιο. Όταν χρησιμοποιείται αριμο- ΠΙΝΑΚΑΣ 1.1: Μονάδες μέτρησης που χρησιμοποιούνται στην εμβιομηχανική Μέγεος Μετρικό (σύστημα) Βρετανικό (σύστημα) Μετατροπή Μήκος Μέτρο (m) πόδι 1 ft = 0.3048 μέτρα Μάζα κιλό (kg) 1 slug 1 slug = 14.59 kg Χρόνος Δευτερόλεπτα (s) Δευτερόλεπτα (s) 1 s = 1 s Θερμοκρασία Κελσίου ( ο C) Φαρενάιτ ( ο F) 1 ο F = (9/5) ο + 32 ο Δύναμη Νιούτον (Ν = Kg m/s 2 ) Λίβρα (1lb = slug Ft/s 2 ) 1 L = 4.448 N Πίεση Πασκάλ (Pa = N/m 2 ) Λίβρες ανά τετραγωνική ίντσα (psi = lb/in 2 ) 1 psi = 6895 Pa Ενέργεια Τζάουλ (j = N m) Πόδι επί λίβρα (ft-lb) 1 ft-lb = 1.356 J Ισχύς Βατ (Watt) (W = J/s) Ιπποδύναμη 1 hp = 7457 Watt

Κεφάλαιο 1 / ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΜΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 5 b ψ μηχανή, είναι πολύ σημαντικό να προσδιορίζεται αν είναι ρυμισμένη σε μοίρες ή σε ακτίνια. Επιπρόσετα, μερικά προγράμματα υπολογιστών όπως το Microsoft Excel, χρησιμοποιούν ακτίνια για την εκτέλεση τριγωνομετριών υπολογισμών. Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι πολύ χρήσιμες στην εμβιομηχανική για την ανάλυση δυνάμεων στις συνισταμένες τους, συσχετίζοντας γωνίες και αποστάσεις σε ένα ορογώνιο τρίγωνο (τρίγωνο που περιέχει μια γωνία 90 ). Οι πιο εμελιώδεις από αυτές τις σχέσεις (ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη) φαίνονται στην Εικόνα 1.1Α. Hμίτονο είναι η απέναντι πλευρά δια την υποτείνουσα, συνημίτονο είναι η προσκείμενη πλευρά δια την υποτείνουσα και εφαπτομένη είναι η απέναντι πλευρά δια την προσκείμενη πλευρά. Μολονότι μπορούν να χρησιμοποιηούν αριμομηχανές για τον υπολογισμό αυτών των συναρτήσεων, μερικές σημαντικές τιμές που αξίζουν απομνημόνευση είναι: ημ (0 ) = 0, ημ (90 ) = 1 (Εξίσωση 1.1) συν (0 ) = 1, συν (90 ) = 0 (Εξίσωση 1.2) εφ (45 ο ) = 1 (Εξίσωση 1.3) Επιπλέον, το Πυαγόρειο εώρημα δηλώνει πως σε ένα ορογώνιο τρίγωνο, το άροισμα των τετραγώνων των πλευρών που σχηματίζουν την ορή γωνία ισούται με το τετράγωνο της υποτείνουσας. (Εικ. 1.1Α). Μολονότι χρησιμοποιούνται σπανιότερα, υπάρχουν επίσης εξισώσεις που σχετίζουν τις γωνίες με τα μήκη των πλευρών για τρίγωνα που δεν περιέχουν ορή γωνία (Εικ. 1.1Β). Ανάλυση διανυσμάτων c a a c φ b Α. Τριγωνομετρικές εξισώσεις: ημ () = b c συν () = a c εφ () = a b Πυαγόρειο Θεώρημα: a 2 + b 2 = c 2. Νόμος Συνημίτονων a 2 + b 2 2abσυν () = c2 Νόμος Ημίτονων: b = a = c ημψ ημφ ημ Εικόνα 1.1: Βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις. Αυτές είναι μερικές από τις βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις που είναι χρήσιμες στην εμβιομηχανική. Α. Ορογώνιο τρίγωνο. Β. Ένα τυχαίο τρίγωνο. Οι εμβιομηχανικές παράμετροι μπορεί να αναπαρασταούν είτε σαν βαμωτά (μονόμετρα) είτε σαν διανυσματικά μεγέη. Ένα βαμωτό μέγεος αντιπροσωπεύεται απλά και μόνο από το μέτρο του. Η μάζα, ο χρόνος και το μήκος είναι παραδείγματα βαμωτών μεγεών. Ένα διανυσματικό μέγεος περιγράφεται γενικά από το μέτρο και την κατεύυνση του. Επιπλέον, μια πλήρης περιγραφή του διανύσματος περιλαμβάνει τη φορά του και το σημείο εφαρμογής του. Οι δυνάμεις και η ροπή είναι παραδείγματα διανυσματικών μεγεών. Σκεφτείτε την περίπτωση ενός ανρώπου βάρους 160lb που κάεται σε μια καρέκλα για 10 δευτερόλεπτα. Η δύναμη που το βάρος του ανρώπου εξασκεί στην καρέκλα αναπαρίσταται από ένα διάνυσμα με μέτρο (160 λίβρες), διεύυνση (κάετη), φορά (προς τα κάτω) και σημείο εφαρμογής (το κάισμα της καρέκλας). Ωστόσο, ο χρόνος που κάεται στην καρέκλα είναι βαμωτό μέγεος και αντιπροσωπεύεται μόνο από το μέτρο του (10 δευτερόλεπτα). Για την αποφυγή συγχύσεων στο κείμενο, χρησιμοποιούνται αναπαραστάσεις με έντονα τυπογραφικά στοιχεία για διάκριση διανυσματικών (Α) από βαμωτά μεγέη. Εναλλακτικές αναπαραστάσεις για τα διανύσματα συναντώνται στη βιβλιογραφία (και στη σχολική τάξη, όπου είναι δύσκολη η χρήση έντονα τυπωμένων γραμμάτων) συμπεριλαμβανομένων της υπογράμμιση του γράμματος (Α), τη σημείωση γραμμής πάνω από το γράμμα (Ā) ή ενός βέλους πάνω από το γράμμα ( ). Το μέτρο δοσμένου διανύσματος (Α) αναπαρίσταται από το ίδιο γράμμα χωρίς έντονο τυπογραφικό στοιχείο (Α). Κατά κύριο λόγο, η πιο συχνή χρήση διανυσμάτων στην εμβιομηχανική γίνεται για την αναπαράσταση δυνάμεων όπως οι δυνάμεις των μυών, της αντίδρασης των αρρώσεων καώς και δυνάμεων της αντίστασης. Αυτές οι δυνάμεις μπορούν να αναπαρασταούν γραφικά χρησιμοποιώντας μιας γραμμής με ένα βέλος στο ένα της άκρο. (Εικ. 1.2Α). Το μήκος της γραμμής αντιπροσωπεύει το μέτρο της, η γωνιακή έση αντιπροσωπεύει την διεύυνση της, η έση του άκρου με το βέλος αντιπροσωπεύει τη φορά της, η έση του άλλου άκρου αντιπροσωπεύει το σημείο εφαρμογής της. Εναλλακτικά, αυτό το ίδιο διάνυσμα μπορεί να αναπαρασταεί μαηματικά με τη χρήση είτε πολικών συντεταγμένων είτε με διανυσματική ανάλυση. Οι πολικές συντεταγμένες αναπαριστούν το μέτρο και την κατεύυνση του διανύσματος άμεσα. Στις πολικές συντεταγμένες το ίδιο διάνυσμα α ήταν να είναι 5Ν στις 37 ο από το οριζόντιο επίπεδο (Εικ. 1.2Β). Με τη διανυσματική ανάλυση, το διάνυσμα αναλύεται στις σχετικές συνιστώσες και στους δύο άξονες. Σε αυτό το παράδειγμα, το διάνυσμα Α αναλύεται στις συνιστώσες του Α χ = 4Ν και Α ψ = 3Ν (Εικ. 1.2 Γ). Συχνά είναι χρήσιμο να αναλύεις διανύσματα στις συνιστώσες τους όταν αυτά συμπίπτουν με ανατομικές διευύνσεις. Μπορεί έτσι οι άξονες χ και ψ να αντιστοιχούν στην ανώτερη και κατώτερη διεύυνση αντίστοιχα.

6 Μέρος Ι / ΑΡΧΕΣ ΕΜΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ. Γραφική μέοδος Μέτρο Φορά ΠΛΑΙΣΙΟ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΥΝΑΜΕΩΝ 1.1 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΔΥΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ Διεύυνση Πρόσεση 2 διανυσμάτων: Α + Β Σημείο εφαρμογής. Πολικές συντεταγμένες = 5 N = 37 φ Μέοδος Α: Γραφική = 5N = 2.8N = 37 φ = 45 Γ. Συνιστώσες Εικόνα 1.2: Διανύσματα. Α. Γενικά, ένα διάνυσμα έχει ένα μέτρο, διεύυνση, σημείο εφαρμογής και φορά. Μερικές φορές το σημείο εφαρμογής δεν σημειώνεται συγκεκριμένα στην εικόνα. Β. Μια αναπαράσταση πολικών συντεταγμένων. Γ. Μια αναπαράσταση συνιστωσών. x Μολονότι η γραφική παράσταση των διανυσμάτων είναι χρήσιμη για τους οπτικούς σκοπούς, η αναλυτική αναπαράσταση είναι πιο βολική όταν προσέτουμε και πολλαπλασιάζουμε διανύσματα. Προσέξτε ότι πληροφορίες σχετικά με τη διεύυνση (πάνω και δεξιά) του διανύσματος εμπεριέχονται στην πληροφορία αυτή. Ένα διάνυσμα με το ίδιο μέτρο και διεύυνση όπως αυτό που αναπαρίσταται στην Εικόνα. 1.2 Γ, αλλά με αντίετη φορά (κάτω και αριστερά) αναπαριστάται από το Α χ = 4Ν και Α ψ = 3Ν ή 5Ν στις 217. Η περιγραφή της πληροφορίας σχετικά με το σημείο εφαρμογής α συζητηεί αργότερα σε αυτό το κεφάλαιο. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ x = 4 N y = 3 N y y C C ψ C y C x x Μέοδος Β: Πολικών Συντεταγμένων φ φ x C y y Νόμος Συνημίτονων Νόμος Συνημίτονων: Α2 + Β2 2ΑΒσυν(+φ) = C2 C = 5.4 N Νόμος Ημίτονων ημψ = C ημ(+φ) ψ = 31 Επομένως, η γωνία που δημιουργεί το C με τον οριζόντιο άξονα είναι 68 ( = ψ + ) Μέοδος Γ: Συνιστώσες x Αχ = Αεφ() = 4Ν Αψ = Αημ() = 3Ν Βχ = -Βσυν(φ) = -2Ν Βψ = Βημ(φ) = 2Ν Cx = Αχ + Βχ = 2Ν Cψ = Αψ + Βψ = 5Ν Όταν μελετάμε τη μυοσκελετική εμβιομηχανική είναι συνηισμένο να έχουμε περισσότερες από μια δυνάμεις να μελετήσουμε. Έτσι, είναι σημαντικό να καταλάβουμε πως δουλεύουμε με περισσότερες από δύο δυνάμεις. Όταν προσέτουμε ή αφαιρούμε δύο διανύσματα πρέπει να λάβουμε υπόψη κάποιες σημαντικές ιδιότητες. Η πρόσεση των διανυσμάτων είναι αντιμεταετική: Α + Β = Β + Α (Εξίσωση 1.4) Α Β = Α + ( Β) (Εξίσωση 1.5) Η πρόσεση των διανυσμάτων είναι προσεταιριστική: Α + (Β + C) = ( + ) + C (Εξίσωση 1.6) Σε αντίεση με τα μονόμετρα μεγέη, τα οποία μπορούν απλά να προστεούν, τόσο το μέτρο όσο και η διεύυνση πρέπει να λαμβάνονται υπόψη στα διανύσματα. Η λεπτομερής διαδικασία πρόσεσης δύο διανυσμάτων (Α+Β = C) φαίνεται στο Πλαίσιο 1.1. για την γραφική αναπαράσταση, την αναπαράσταση πολικών

Κεφάλαιο 1 / ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΜΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 7 C Μέτρο του C: C = ημ() Κατεύυνση του C: κάετα ως προς και το Α και το Β. συντεταγμένων και τη ανάλυση διανυσμάτων. Η γραφική αναπαράσταση χρησιμοποιεί τη μέοδο «το τέλος του πρώτου γίνεται αρχή του δεύτερου». Το πρώτο βήμα είναι να σχεδιάσετε το πρώτο διάνυσμα, Α. Στη συνέχεια το δεύτερο διάνυσμα Β, σχεδιάζεται έτσι ώστε η αρχή του να συμπέσει με το τέλος του πρώτου διανύσματος. Το διάνυσμα (C) που αντιπροσωπεύει το άροισμα των δύο αυτών διανυσμάτων δημιουργείται αν ενώσουμε την αρχή του Α με το τέλος του Β. Αφού η πρόσεση των διανυσμάτων είναι αντιμεταετική, α παίρναμε το ίδιο αποτέλεσμα εάν το Β ήταν το πρώτο διάνυσμα. Όταν χρησιμοποιούμε τις πολικές συντεταγμένες τα διανύσματα σχεδιάζονται ακριβώς όπως και στην γραφική μέοδο και μετά χρησιμοποιείται ο νόμος των συνημίτονων για τον προσδιορισμό της αριμητικής τιμής του C και ο νόμος των ημίτονων για τον προσδιορισμό της διεύυνσης του C (βλ. Εικ. 1.1 για τους ορισμούς των νόμων αυτών). Στη μέοδο της ανάλυσης διανυσμάτων, κάε διάνυσμα αναλύεται στις αντίστοιχες χ και ψ συνιστώσες. Κάε συνιστώσα αναπαριστά την αριμητική τιμή του διανύσματος σε αυτή την κατεύυνση. Οι συνιστώσες χ και ψ αροίζονται: C x = x + x (Εξίσωση 1.7) C ψ = Α ψ + Β Ψ (Εξίσωση 1.8) Το διάνυσμα C μπορεί είτε δοεί είτε σε σχέση με τις συνιστώσες C x και C ψ ή να μετατραπεί σε αριμητική τιμή C με χρήση του Πυαγόρειου εωρήματος και διεύυνση με τη χρήση της τριγωνομετρίας. Αυτή η μέοδος είναι η πιο αποτελεσματική από τις τρεις που έχουμε μέχρι τώρα παρουσιάσει και είναι αυτή που χρησιμοποιείται στο κείμενο. ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ Εικόνα 1.3: Εξωτερικό γινόμενο. Το C αναπαριστάται ως το εξωτερικό γινόμενο των και Β. Σημειώστε ότι τα Α και Β α μπορούσαν να αποτελούν οποιαδήποτε δυο διανύσματα στο συγκεκριμένο επίπεδο ενώ το C α διατηρούσε την ίδια κατεύυνση. Ο πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος με έναν αριμό είναι πιο απλός. Ουσιαστικά, κάε συνιστώσα του διανύσματος πολλαπλασιάζεται μόνη της με τον αριμό έχοντας σαν αποτέλεσμα ένα νέο διάνυσμα. Για παράδειγμα εάν το διάνυσμα της Εικόνας 1.2 πολλαπλασιαστεί με το 5, το αποτέλεσμα είναι x = 5 x 4 = 20Ν και Α ψ = 5 x 3 = 15Ν. Άλλος τύπος πολλαπλασιασμού διανυσμάτων είναι το εξωτερικό γινόμενο, στο οποίο δύο διανύσματα πολλαπλασιάζονται μεταξύ τους, δίνοντας ένα άλλο διάνυσμα (C= x ). Η διεύυνση του C είναι τέτοια ώστε να είναι ταυτόχρονα κάετη στο Α και στο Β. Η αριμητική τιμή του C υπολογίζεται ως C = x x ημ (), όπου είναι η γωνία μεταξύ του Α και του Β, και το x δηλώνει αριμητικό πολλαπλασιασμό. Αυτές οι σχέσεις απεικονίζονται στην Εικόνα 1.3. Το εξωτερικό γινόμενο χρησιμοποιείται παρακάτω σε αυτό το κεφάλαιο για τον υπολογισμό της ροπής των αρρώσεων. Συστήματα συντεταγμένων Μια τρισδιάστατη ανάλυση είναι απαραίτητη για την πλήρη αναπαράσταση της ανρώπινης κίνησης. Τέτοιες αναλύσεις απαιτούν ένα σύστημα συντεταγμένων, το όποιο αποτελείται από ανατομικούς άξονες: μετωπιαίος (ΜΕ), προσιοπίσιος ή οβελιαίος (ΠΟ), και κατακόρυφος (ΚΑ). Είναι συχνά βολικό να εκτελείται μόνο δισδιάστατη ή επίπεδη ανάλυση, στην οποία να εξετάζονται μόνο δύο από τους τρεις άξονες. Στο ανρώπινο σώμα, υπάρχουν τρία κάετα ανατομικά επίπεδα, τα οποία αναφέρονται ως βασικά ή στεφανιαία επίπεδα. Το προσιοπίσιο ή οβελιαίο επίπεδο ορίζεται από τους άξονες ΚΑ και ΠΟ, το μετωπιαίο επίπεδο ορίζεται από τους άξονες ΚΑ και ΜΕ, και το εγκάρσιο επίπεδο ορίζεται από τους άξονες ΠΟ και ΜΕ. (Εικ 1.4). Μπορεί να γίνει αναφορά στη κίνηση κάε οστού σε σχέση είτε με ένα τοπικό είτε με ένα συνολικό σύστημα συντεταγμένων. Για παράδειγμα, η κίνηση της κνήμης μπορεί να περιγραφεί με το πώς κινείται σε σχέση με το μηρό (τοπικό σύστημα συντεταγμένων) ή με το πώς κινείται σε σχέση με το χώρο (γενικό σύστημα συντεταγμένων). Το τοπικό σύστημα συντεταγμένων είναι χρήσιμο για την κατανόηση της λειτουργίας της άρρωσης και τον προσδιορισμού του εύρους της κίνησης, ενώ το γενικό σύστημα συντεταγμένων είναι χρήσιμο όταν αναφερόμαστε σε λειτουργικές δραστηριότητες. Το μεγαλύτερο μέρος του κειμένου επικεντρώνεται στην δισδιάστατη ανάλυση για διάφορους λόγους. Κατ αρχήν είναι δύσκολη η τρισδιάστατη αναπαράσταση των πληροφοριών στη δισδιάστατη σελίδα του βιβλίου. Επιπλέον, η μαηματική ανάλυση τρισδιάστατων προβλημάτων είναι πιο περίπλοκη. Ίσως ο πιο σημαντικός λόγος είναι ότι οι βασικές εμβιομηχανικές αρχές σε μια δισδιάστατη ανάλυση είναι ίδιες με εκείνες της τρισδιάστατης ανάλυσης. Είναι έτσι δυνατό να χρησιμοποιήσουμε μια απλοποιημένη δισδιάστατη αναπαράσταση για ένα τρισδιάστατο πρόβλημα ώστε να βοηήσουμε στην επεξήγηση μιας έννοιας με τη λιγότερο δυνατή μαηματική πολυπλοκότητα (ή τουλάχιστον λιγότερη πολυπλοκότητα). ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ Το μυοσκελετικό σύστημα ευύνεται τόσο για τη δημι-

8 Μέρος Ι / ΑΡΧΕΣ ΕΜΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Οπίσια Εγκάρσιο Έξω Μετωπιαίο Έσω Άνω Κάτω Οβελιαίο Πρόσια Εικόνα 1.4: Βασικά ή στεφανιαία επίπεδα. Τα βασικά επίπεδα, οβελιαίο, μετωπιαίο και εγκάρσιο, αποτελούν χρήσιμα πλαίσια αναφοράς σε μια τρισδιάστατη αναπαράσταση του σώματος. Σε δισδιάστατες αναλύσεις, το οβελιαίο επίπεδο αποτελεί το σύνηες πλαίσιο αναφοράς. ουργία δυνάμεων που κινούν το ανρώπινο σώμα στο χώρο όσο και για την αποφυγή ανεπιύμητων κινήσεων. Η κατανόηση της μηχανικής και παομηχανικής της ανρώπινης κίνησης απαιτεί την ικανότητα να μελετήσουμε τις δυνάμεις και τις ροπές που εφαρμόζονται και δημιουργούνται από το σώμα ή ένα από συγκεκριμένο τμήμα του σώματος. Δυνάμεις Ο αναγνώστης μπορεί να έχει μια γενική ιδέα για το τι είναι δύναμη, αλλά να του είναι δύσκολο να σκεφτεί έναν έγκυρο ορισμό. Για τους σκοπούς αυτού του κειμένου, η δύναμη ορίζεται ως «η ώηση ή η έλξη» που απορρέει από τη φυσική επαφή μεταξύ δύο αντικειμένων. Η μόνη εξαίρεση σε αυτό τον κανόνα που αναφέρεται στο κείμενο είναι η δύναμη που οφείλεται στη βαρύτητα στην οποία δεν υπάρχει απευείας επαφή δύο αντικειμένων. Μερικές από τις πιο συνηισμένες πηγές δυνάμεων σε σχέση με το μυοσκελετικό σύστημα είναι οι μύες/τένοντες, οι σύνδεσμοι, η τριβή, η αντίδραση του εδάφους και το βάρος. Πρέπει να γίνει διάκριση ανάμεσα στη μάζα και το βάρος ενός σώματος. Η μάζα ενός σώματος ορίζεται ως η ποσότητα της ύλης που αποτελεί το αντικείμενο. Το βάρος είναι η δύναμη που ασκείται στο αντικείμενο λόγω της βαρύτητας και είναι το γινόμενο της μάζας και της επιτάχυνσης της βαρύτητας (g = 9,8 m/s 2 ). Έτσι, ενώ η μάζα ενός σώματος είναι η ίδια στη Γη και στη σελήνη, το βάρος του είναι μικρότερο στη σελήνη γιατί η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι μικρότερη στη σελήνη. Η διάκριση αυτή είναι πολύ σημαντική στην εμβιομηχανική, όχι για να μας βοηήσει να σχεδιάσουμε ένα ταξίδι στη σελήνη, αλλά για να είμαστε σίγουροι ότι δεν αντιμετωπίζουμε τις μονάδες της μάζας ως μονάδες δύναμης. Όπως προαναφέραμε, η δύναμη είναι ένα διανυσματικό μέγεος με μέτρο, διεύυνση, φορά και σημείο εφαρμογής. Η Εικόνα 1.5 αναπαριστά διάφορες δυνάμεις που ασκούνται στο κάτω άκρο στο μετωπιαίο επίπεδο κατά τη στάση. Οι δυνάμεις από τους απαγωγούς και προσαγωγούς μύες επιδρούν μέσω των τενόντιων προσφύσεών τους, ενώ η δύναμη αντίδρασης της άρρωσης του ισχίου επιδρά διαμέσου του σχετικού κέντρου περιστροφής. Γενικά, το σημείο εφαρμογής μιας δύναμης (πχ η πρόσφυση του τένοντα) προσδιορίζεται σε σχέση με ένα σταερό σημείο πάνω στο σώμα, συνήως το κέντρο περιστροφής της άρρωσης. Αυτή η πληροφορία χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της ροπής που προκαλείται λόγω αυτής της δύναμης. Ροπή Στην κινησιολογία, η ροπή (M) προκαλείται από μια δύναμη (F) που ενεργεί σε μια απόσταση (r) από το κέντρο της περιστροφής ενός τμήματος. Η ροπή τείνει να προκαλέσει περιστροφή και καορίζεται από τη εξίσωση εξωτερικού γινομένου: Μ = r x F. Έτσι, η ροπή αντιπροσωπεύεται από ένα διάνυσμα που περνά από το σημείο αναφοράς (π.χ., το κέντρο της περιστροφής) και είναι κάετο τόσο στο διάνυσμα της δύναμης όσο και της απόστασης (Εικ 1.6). Για μια δισδιάστατη ανάλυση, τόσο το διάνυσμα της δύναμης όσο και της απόστασης βρίσκονται στο επίπεδο, συνεπώς το διάνυσμα της ροπής

Κεφάλαιο 1 / ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΜΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 9 F ΑΑ FΑΠ F ΠΡ F ΑΠ - Δύναμη απαγωγών μυών F ΠΡ - Δύναμη προσαγωγών μυών F ΑΑ - Δύναμη αντίδρασης της άρρωσης F ΑΕ - Δύναμη αντίδρασης του εδάφους την διανυσματική ροπή. Από τον ορισμό ενός εξωτερικού γινομένου, το μέγεος της ροπής (ή ροπής στρέψης) υπολογίζεται ως Μ = r x F x ημ (). Η διεύυνση της αναφέρεται ως η διεύυνση κατά την οποία α έτεινε να προκαλέσει περιστροφή του αντικείμενου (Εικ 1.7 Α). Αν και υπάρχουν πολλές διαφορετικές αποστάσεις που μπορούν να χρησιμοποιηούν για να συνδέσουν ένα διάνυσμα και ένα σημείο, η ροπή που υπολογίζεται είναι ίδια όποια κι αν είναι η απόσταση που επιλέγεται (Εικ 1.7 Β). Η απόσταση που είναι κάετη στο διάνυσμα της δύναμης αναφέρεται ως μοχλοβραχίονας ροπής της δύναμης αυτής ή απλούστερα μοχλοβραχίονας δύναμης (r 2 στην Εικ 1.7 Β). Δεδομένου ότι το ημίτονο των 90 είναι ίσο με 1, η χρήση ενός μοχλοβραχίονα δύναμης απλοποιεί τον υπολογισμό της ροπής στο Μ = ΜF x F. Ο μοχλοβραχίονας δύναμης μπορεί επίσης να υπολογιστεί από οποιαδήποτε απόσταση ως ΜF = r x ημ (). Επιπλέον, αν και υπάρχουν τέσσερις χωριστές γωνίες μεταξύ των διανυσμάτων της δύναμης και της απόστασης, η χρήση οποιασδήποτε από τις τέσσερις αυτές γωνίες έχει ως αποτέλεσμα τον υπολογισμό της ίδιας ροπής (Εικ 1.7Γ). Τα παραδείγματα στις Εικόνες 1.6 και 1.7 αποτελούν- F F ΑΕ M r Εικόνα 1.5: Διανύσματα στην ανατομία. Ένα παράδειγμα του τρόπου με τον οποίο τα διανύσματα μπορούν να συνδυαστούν με ανατομικές λεπτομέρειες για την αναπαράσταση της δράση των δυνάμεων. Μερικές από τις δυνάμεις που ενεργούν στο κάτω άκρο φαίνονται στην εικόνα. έχει πάντα διεύυνση κάετη στο επίπεδο αυτό, ενώ η διεύυνσή της διέρχεται από το σημείο αναφοράς. Επειδή έχει μόνο μια διεύυνση και φορά, η ροπή αντιμετωπίζεται συχνά ως βαμωτό μέγεος σε μια δισδιάστατη ανάλυση, που έχει μόνο μέτρο και φορά. Η ροπή στρέψης είναι ένας άλλος όρος που είναι συνώνυμος με Εικόνα 1.6: Τρισδιάστατη ανάλυση ροπής. Η ροπή που ενεργεί στον αγκώνα από τη δύναμη του δικέφαλου μυός αναπαρίσταται ως ένα διάνυσμα η διεύυνση του οποίου συμπίπτει με τον άξονα της περιστροφής. F, το διάνυσμα της δύναμης, r η απόσταση του διανύσματος της δύναμης από το κέντρο περιστροφής της άρρωσης. και M, το διάνυσμα της ροπής

10 Μέρος Ι / ΑΡΧΕΣ ΕΜΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ F M = Frsin( ) F sin( 1 ) = sin( 3 ) = sin(180º 1 ) = sin( 2 ) = sin(180º 1 ) = sin( 4 ) Rotation r 1 r 1 2 4 r 3 C στον Αχίλλειο τένοντα. Β. Παρατηρείστε πως ανεξάρτητα με το ποιο διάνυσμα απόστασης επιλέγεται, η τιμή για τη ροπή είναι ίδια. Γ. Επίσης ανεξάρτητα με την επιλεχείσα γωνία, η τιμή του ημιτόνου της γωνίας είναι ίδια και κατά συνέπεια η ροπή είναι ίδια. F M = Fr 1 sin( 1 ) M = Fr 2 sin( 2 ) = F * M M = Fr 3 sin( 3 ) M = Fr 4 sin( 4 ). Idealized F 1 d F 1 = - F 2 COR d F 2 1. ctual F 1 Upper trapezius r 1 r 1 2 r 2 3 r 3 COR F 1 - F 2 4 r 4 F 2 Serratus anterior Εικόνα 1.7: Δισδιάστατη ανάλυση ροπής. Α. η ροπή της πελματιαίας κάμψης που δημιουργείται από την δύναμη που ασκείται Εικόνα 1.8: Ζεύγη δυνάμεων. Διάκριση μεταξύ ενός ιδεατού ζεύγους δύναμης (Α) και ενός περισσότερο ρεαλιστικού (Β). Παρόλο που το δεδομένο παράδειγμα της ωμοπλάτης δεν αποτελεί ένα πραγματικό ζεύγος δυνάμεων, συνήως αναφέρεται σαν ένα ζεύγος δυνάμεων. COR, είναι το κέντρο περιστροφής.

Κεφάλαιο 1 / ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΜΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 11 F d ΠΛΑΙΣΙΟ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΥΝΑΜΕΩΝ 1.2 ΜΟΧΛΟΒΡΑΧΙΟΝΕΣ ΔΥΝΑΜΗΣ ΤΟΥ ΔΕΛΤΟ- ΕΙΔΗ (ΜΔ δ ) ΚΑΙ ΤΟΥ ΥΠΕΡΑΚΑΝΘΙΟΥ (MΔ υ ) r s s F s y x δυνατό να μετρηεί η διεύυνση και η φορά από μελέτες σε πτώματα ή χρησιμοποιώντας απεικονιστικές τεχνικές όπως η μαγνητικής τομογραφία (MRI) και η αξονική τομογραφία (CT) [1,3]. Αυτές οι πληροφορίες είναι χρήσιμες στον καορισμό της λειτουργίας και της αποδοτικότητας ενός μυός στην παραγωγή μιας ροπής. Για παράδειγμα, δύο μύες που περιβάλλουν τη γληνοβραχιόνια άρρωση, ο υπερακάνιος και ο μέσος δελτοειδής, παρουσιάζονται στο Πλαίσιο 1.2. Από τις πληροφορίες που παρέχονται για την έκφυση των μυών και το σημείο εφαρμογής της δύναμής τους στη έση αυτή, ο μοχλοβραχίονας δύναμης του δελτοειδή είναι περίπου ίσος με αυτόν του υπερακάνιου, ακόμα κι αν η κατάφυση του δελτοειδή στο βραχιόνιο οστό είναι πολύ πιο απομακρυσμένη από το κέντρο περιστροφής από ότι η κατάφυση του υπερακάνιου. d r d ΜΔ δ = r d ημ( d ) = (20 cm)ημ(5 ) 2 cm MΔ υ = r s ημ( s ) = (2 cm)ημ(80 ) 2 cm ται τόσο από δυνάμεις όσο και από ροπές. Εξετάστε εντούτοις, την κατάσταση στην Εικόνα 1.8Α. Αν και οι δύο δυνάμεις που ασκούνται δημιουργούν μία ροπή, έχουν το ίδιο μέτρο και την ίδια διεύυνση αλλά αντίετη φορά. Επομένως, το άροισμα των διανυσμάτων τους είναι μηδέν. Αυτό είναι ένα παράδειγμα ζεύγους δυνάμεων. Ένα γνήσιο ζεύγος δυνάμεων έχει σαν αποτέλεσμα μόνο περιστροφική κίνηση, δεδομένου ότι δεν υπάρχει καμία μη ισορροπημένη δύναμη. Στο μυοσκελετικό σύστημα, όλες αυτές οι συνήκες σπάνια ικανοποιούνται, έτσι τα κααρά ζεύγη δυνάμεων είναι σπάνια. Γενικά, οι μύες είναι αρμόδιοι για την παραγωγή και των δυνάμεων και των ροπών, κατά συνέπεια προκαλούν τόσο τις μεταφορικές όσο και τις περιστροφικές κινήσεις. Εντούτοις, υπάρχουν παραδείγματα στο ανρώπινο σώμα στα οποία δύο ή περισσότεροι μύες συνεργάζονται προκειμένου να παράγουν μια ροπή, όπως ο άνω τραπεζοειδής και ο πρόσιος οδοντωτός (Εικ 1.8Β). Αν και οι δυνάμεις αυτών των μυών δεν έχουν ταυτόσημα μέτρα ή διευύνσεις, η περίπτωση αυτή αναφέρεται συχνά ως ζεύγος δυνάμεων. Μυϊκές Δυνάμεις Όπως αναφέρηκε προηγουμένως, υπάρχουν τρεις σημαντικές παράμετροι που πρέπει να εξετάσει κανείς σε σχέση με τη δύναμη ενός μυός: την κατεύυνση, το μέτρο, και σημείο εφαρμογής της. Με κάποια επιφύλαξη, είναι Κλινικός Συσχετισμός ΜΥΪΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ: Εκτός από την παραγωγή ροπών που είναι υπεύυνες για τη γωνιακή κίνηση (περιστροφή), οι μύες επίσης παράγουν δυνάμεις που μπορούν να προκαλέσουν γραμμική κίνηση (μεταφορά). Αυτή η δύναμη μπορεί να είναι μια δύναμη σταεροποίησης ή αποσταεροποίησης. Παραδείγματος χάρη, δεδομένου ότι ο προσανατολισμός του υπερακάνιου που παρουσιάζεται στο Πλαίσιο 1.2 κατευύνεται πρώτιστα κεντρικά (προς τη μέση γραμμή), τείνει να έλξει την βραχιόνια κεφαλή προς της ωμογλήνη. Αυτή η συμπιεστική δύναμη συμβάλλει στη σταεροποίηση της γληνοβραχιόνιας άρρωσης. Εντούτοις, δεδομένου ότι η διεύυνση του δελτοειδή κατευύνεται προς τα άνω, τείνει να παράγει μια δύναμη αποσταεροποίησης που μπορεί να οδηγήσει σε μια προς τα άνω μετατόπιση της βραχιόνιας κεφαλής. Αυτές οι αναλύσεις είναι χρήσιμες, δεδομένου ότι μπορούν να εκτελεστούν ακόμα κι αν το μέγεος της δύναμης ενός μυός είναι άγνωστο. Εντούτοις, για να γίνει εντελώς κατανοητή η λειτουργία ενός μυός, το μέτρο της δύναμής του πρέπει να είναι γνωστό. Αν και οι δυνάμεις μπορούν να μετρηούν με τους επεμβατικούς μετατροπείς δύναμης [13], ενοργανωμένα συστήματα αρροπλαστικής [6], ή προσομοιώσεις σε μοντέλα πτωμάτων [9], δεν υπάρχει μέχρι σήμερα καμία μη επεμβατική πειραματική μέοδος που να μπορεί να χρησιμοποιηεί για τη μέτρηση της εν ζωή (in vivo) δύναμης ακέραιων μυών. Συνεπώς, κάποιες βασικές έννοιες δανεισμένες από τις παραπάνω φυσικές μεόδους σε πτώματα μπορούν να χρησιμοποιηούν για την πρόβλεψη των μυϊκών δυνάμεων. Αν και περιλαμβάνουν πολλές απλουστευμένες υποέσεις, τέτοιες μέοδοι μπορούν να είναι πολύ χρήσιμες στην κατανόηση της μηχανικής των αρρώσεων και παρουσιάζονται στη συνέχεια. ΣΤΑΤΙΚΗ Η στατική είναι η μελέτη των δυνάμεων που δρουν σε

12 Μέρος Ι / ΑΡΧΕΣ ΕΜΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ένα σώμα που είναι ακίνητο ή που κινείται με σταερή ταχύτητα. Μολονότι το ανρώπινο σώμα σχεδόν πάντα επιταχύνεται, η στατική ανάλυση προσφέρει μια απλή μέοδο για την επίλυση των μυοσκελετικών προβλημάτων. Αυτή η ανάλυση μπορεί είτε να λύσει το πρόβλημα είτε να παρέχει τη βάση για μια πιο εκλεπτυσμένη δυναμική ανάλυση. Οι Νόμοι του Νεύτωνα Μιας και το μυοσκελετικό σύστημα αποτελεί απλά μια σειρά σωμάτων που βρίσκονται σε επαφή μεταξύ τους, μερικές από τις βασικές αρχές της Φυσικής που ανέπτυξε ο Ισαάκ Νεύτων (1642 1727) είναι χρήσιμες. Οι Νόμοι του Νεύτωνα είναι οι ακόλουοι: Πρώτος νόμος: Ένα αντικείμενο παραμένει ακίνητο (ή εξακολουεί να κινείται με σταερή ταχύτητα) εκτός και αν δεχτεί την επίδραση εξωτερικών δυνάμεων των οποίων η συνισταμένη είναι διάφορη του μηδενός. Δεύτερος νόμος: Εάν εξωτερικές δυνάμεις με συνισταμένη διάφορη του μηδενός δρουν σε ένα αντικείμενο, το αντικείμενο αποκτά επιτάχυνση ίδια με τη φορά της δύναμης και ευέως ανάλογη της δύναμης (F = ma). Τρίτος νόμος: Για κάε δράση (δύναμη) υπάρχει μια αντίδραση (αντίετη δύναμη) ίσου μέτρου και αντίετης φοράς. Από τον πρώτο νόμο, είναι κααρό ότι εάν ένα σώμα είναι ακίνητο, δεν μπορούν να δρουν πάνω του εξωτερικές δυνάμεις με συνισταμένη διάφορη του μηδενός. Σε αυτή την κατάσταση, που ονομάζεται στατική ισορροπία, όλες οι εξωτερικές δυνάμεις που δρουν σε ένα σώμα πρέπει να έχουν άροισμα (με τη διανυσματική έννοια) ίσο με μηδέν. Μια προέκταση του νόμου αυτού σε σώματα μεγαλύτερα από στοιχειώδη είναι ότι το άροισμα των εξωτερικών ροπών που δρουν σε ένα σώμα πρέπει επίσης να είναι ίσο με μηδέν για να είναι το σώμα ακίνητο. Για το λόγο αυτό, για μια τρισδιάστατη ανάλυση υπάρχουν έξι εξισώσεις που πρέπει να ικανοποιούνται για να υπάρχει στατική ισορροπία: ΣF X = 0 ΣF Y = 0 ΣF Z = 0 ΣM X = 0 ΣM Y = 0 ΣM Z = 0 (Εξίσωση 1.9) Για μια δισδιάστατη ανάλυση, (στο χ και ψ επίπεδο) υπάρχουν μόνο δύο επίπεδες συνιστώσες της δύναμης και μια κάετη συνιστώσα ροπής (ροπής στρέψης): ΣF X = 0 ΣF Y = 0 ΣM Z = 0 (Εξίσωση 1.10) Υπό διάφορες συνήκες, είναι λογικό να υποέσει κανείς ότι όλα τα μέρη του σώματος βρίσκονται σε κατάσταση στατικής ισορροπίας και αυτές οι τρεις εξισώσεις μπορούν να χρησιμοποιηούν για τον υπολογισμό κάποιων δυνάμεων που ενεργούν στο μυοσκελετικό σύστημα. Όταν το σώμα δεν βρίσκεται σε στατική ισορροπία, ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα λέει ότι η συνισταμένη των δυνάμεων και των ροπών είναι ανάλογες της επιτάχυνσης του σώματος. Αυτή η περίπτωση εξετάζεται παρακάτω στο κεφάλαιο αυτό. Επίλυση Προβλημάτων Μια γενική προσέγγιση για την επίλυση δυνάμεων σε κατάσταση στατικής ισορροπίας είναι η ακόλουη: ΒΗΜΑ 1 Απομονώστε το σώμα που σας ενδιαφέρει. ΒΗΜΑ 2 Σχεδιάστε το σώμα και όλες τις εξωτερικές δυνάμεις που δρουν σε αυτό (αναφέρεται ως διάγραμμα ελεύερου σώματος). ΒΗΜΑ 3 Αροίστε τις δυνάμεις και ροπές που έχουν συνισταμένη μηδέν ΒΗΜΑ 4 Λύστε ως προς τις άγνωστες δυνάμεις. Ως ένα απλό παράδειγμα, σκεφτείτε δύο σφαίρες του ενός κιλού που αναρτώνται από ένα σχοινί όπως φαίνονται στο Πλαίσιο 1.3. Ποια είναι η δύναμη που ασκείται στο πάνω σχοινί; Μολονότι αυτό είναι ένα πολύ απλό πρόβλημα που μπορεί να επιλυεί με μια απλή παρατήρηση, εδώ παρουσιάζουμε μια ολοκληρωμένη ανάλυση. Το πρώτο βήμα είναι να γίνει η σχεδίαση του συστήματος και να σχεδιαστεί ένα διάστικτο πλαίσιο γύρω από το σώμα που μας ενδιαφέρει. Σκεφτείτε ένα πλαίσιο που εμπεριέχει τις δύο σφαίρες και μέρος του σχοινιού πάνω από την ψηλότερη σφαίρα, όπως φαίνεται στο Πλαίσιο 1.3. Προχωρώντας στο δεύτερο βήμα σχεδιάζουμε το διάγραμμα ελεύερου σώματος. Όπως επισημαίνεται από τον πρώτο νόμο του Νεύτωνα, μόνο οι εξωτερικές δυνάμεις λαμβάνονται υπόψη στην ανάλυση αυτή. Για το παράδειγμά μας, οτιδήποτε βρίσκεται εντός του διάστικτου πλαισίου εωρείται μέρος του σώματος που μας ενδιαφέρει. Οι εξωτερικές δυνάμεις οφείλονται στη επαφή δύο σωμάτων, ένα μέσα στο πλαίσιο και ένα εκτός πλαισίου. y x ΠΛΑΙΣΙΟ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΥΝΑΜΕΩΝ 1.3 ΕΝΑ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΕΛΕΥΘΕΡΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ 1 Kg 1 Kg ΣF y = 0 T F F = 0 T = 2F = 2 (10N) T = 20N Διάγραμμα ελεύερου σώματος F FW F = mg = (1 kg)(9.8 m ) s2 =10N