Διανύσματα Κώστας Γλυκός Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7 0 0 8 8 8 8 Kglykosgr / 9 / 0 1 6 Kατεύθυνση κεφάλαιο 1 44 ασκήσεις και τεχνικές σε 1 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο
Τα πάντα για τα διανύσματα Διανύσματα 1 Αν ισχύει 5 0, νδο τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά a 1,,(, 7),(,5) a ;, 8 a ; Αν Να εξετάσεις αν είναι συνευθειακά τα σημεία : Κ(α+β,α-β),Λ(α,-β),Μ(α+β,α-β) 4 Δίνονται τα σημεία Α,Β,Γ,Ο, (1), νδο Α,Β,Γ είναι συνευθειακά 5 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Κ,Λ,Μ τα μέσα των αντίστοιχων πλευρών ΑΒ,ΑΓ,ΒΓ και Σ τυχαίο σημείο του επιπέδου του τριγώνου νδο 6 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ,Ε,Ζ ώστε : 4,, Να εκφράσεις τα 5 διανύσματα των ΔΕ,ΔΖ συναρτήσει των διανυσμάτων ΑΒ,ΑΓ Να εξετάσεις αν τα Δ,Ε,Ζ είναι συνευθειακά 7 Νδο τα Α,Β,Γ είναι συνευθειακά όταν : ( ) ( 5) 8 Αν 9 Σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων τα σημεία Α,Β του οριζόντιου άξονα έχουν για τετμημένες τις ρίζες της εξίσωσης : x 5 0 x 1998 0 Να βρεις το λ Αν ΑΒΓ τρίγωνο με ΑΜ διάμεσο : AB B : AB / / B, Α,Β,Γ συνευθειακά, αν λ>0 ομόρροπα, αν λ<0 αντίρροπα AB A AM Νδο Α,Β,Γ συνευθειακά : αν έχω σχέση τότε κάνε αναφορά ως προς ένα σημείο από τα Α,Β,Γ αλλιώς δημιούργησε μία ισότητα διανυσμάτων με ένα κοινό γράμμα, πχ AB B ώστε το μέσο του ΑΒ να έχει τετμημένη 7 1 Αν A( xa,),( ya,) B xb yb τότε το AB x x, y y διάνυσμα B A B A
AB ίά ύ 0 έμίίo έ όαέ 4 άέί 4 ίάώ 1 AΔ AB, AΡ AM, AE AΓ Ndo / / 4 8 ύ ώ 5 0 όίά a b εξισώνω 0 ά αντίστοιχες συντεταγμένες των διανυσμάτων OA a+, OB a 7, OΓ 4a 5 ά ά 5 4 ά Δίνονται τα διανύσματα a ( 1,),(, 1), Να βρεις το διάνυσμα : a, a, a 0 Δίνονται τα σημεία Α(5,-1),Β(1,1),Γ(,) Να βρεις το είδος του τριγώνου ΑΒΓ 4 Δίνονται τα σημεία Α(,),Β(7,-4) και Μ του χχ Να βρεις το Μ αν το ΜΑΒ είναι ισοσκελές στο Μ Να βρεις το Μ αν το ΜΑΒ είναι ορθογώνιο στο Μ 5 Να εξετάσεις αν είναι συνευθειακά τα σημεία Α(-6,1),Β(-,),Γ(-10,-1) a / / b det( a,) b 0 a / / xx ' det( a,) i 0 a a a ( x,) y a x y a / / yy ' det( a,) j 0 b a / / c a / / xx ' Μοναδιαίο του χχ : i (1,0) d Το γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός / / yy ' Μοναδιαίο του yy : j (0,1) των a, τότε a, όπου κ,λ e a πραγματικοί αριθμοί a μοναδιαίο : a 1 ί a ώ a και a / /
a έώ a / / a ώ a / / Αν A( xa,),( ya,) B xb yb τότε το xa xb ya yb ώ μέσο Μ : M, ώί ύ, ύ ίέ,, ώέ ίόίί Έ 5 a 1,,,4,,10 ίάύά όάόό ώίάώ AB AΓ, AΓ BΓ Νδο Α,Β,Γ είναι συνευθειακά : Φτιάξε τα διανύσματα AB, A : det( AB,) A0 ίώ ώ Νδο τα Α,Β,Γ δημιουργούν τρίγωνο : αρκεί a τα Α,Β,Γ να μην είναι συνευθειακά ίόήίί Έώίό έύ ή ώ έ / / 1, 4 a,1,, ά όό ά όό a a ώ 46 Αν a (,),( 1,1),(,) a ;, a ; a a 1,, a, a ; 6 47 Αν Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων : Αν a x, y, x, y a x x y y 1 1 1 1 τότε, a a a,
a, 1, a, 15 a ; 48 Αν a, : a,, a, a ;, a ; και να υπολογίσεις 6 a, a, a 4 a 5 49 Δίνονται τα διανύσματα 50 Αν a,,, a,, a ; 4 51 Να βρεις το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων : a ( 1, 4),(1, ) a,, a, 45 a, a ; 5 Αν a, a a, a b a, 1 5 Αν a, : a,, x / / a, a x x ; 54 Δίνονται τα μοναδιαία διανύσματα 55 Δίνονται a (1,1),(5,10) Να υπολογισθούν : a να αναλύσεις το β σε δύο κάθετες συνιστώσες από τις οποίες η μία να είναι a a υπολόγισε το : a a Προσοχή : aa a, aa a, a a a παράλληλη στο α x xa x 56 Αν ; 57 Νδο a a 58 Να βρεις την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή του 59 Νδο 6 x 8 x 10 A x y x y 6 8, 6 a a 0 τυχαίο σημείο Μ(x,y) τυχαίο του xx :Μ(x,0) τυχαίο του yy :Μ(0,y) 60 Νδο a a a a a a 61 Να εξετάσεις αν :, a a a, a a 6 Αν a (1, ),(, 4), να βρεις τα, x : a x, / / a, x 6 Αν a a a a 64 Αν a,, 5 a a ; 4
65 άίό a έμέτρο ίά a έέ a 1, a ; a b (ομόρροπα) τότε πρέπει det( a,) b 0 και τα αντίστοιχα a (,1),,1 ί πρόσημα των δ/των ίδια ίίίί ί a, a έπουίά a ίί ώίώ a a a a Έί a 4, a Να βρεις τη γωνία των διανυσμάτων a, a : δούλεψε τον τύπο : a a a a Να υπολογίσεις το a : ύψωσε στο τετράγωνο και κάνε πράξεις Μην ξεχάσεις να βάλεις ρίζα Όταν υπολογίζεις γωνία δτων σε σχήμα θυμήσου να βάλεις τα δτα με την ίδια αρχή ίίί a,, ίί a a 0 1 ί a (, ),, 6,, όό a, έίά a b (αντίροπα) τότε πρέπει a, ί / / a, a ; det( a,) b 0 και τα αντίστοιχα άόύό a a a, a a a,, ίί a a :, a 6,(, a ) πρόσημα των δ/των να είναι αντίθετα Να βρεις τη γωνία του διανύσματος a με τον 1,, a 0 a a ; άξονα χχ : Υπολόγισε το συντελεστή a, ί a 4 a 10 διεύθυνσης y και αντικατέστησε στον a a, ; x 11 τύπο λ=εφω, για να βρεις τη γωνία ω ίόίί 5
5 a 1,,,4,,10 ίάύά Έ όά όό a, ά ίό a έέ ώ ίό ώ ίαί άέέ a a a ύ ί a a 4 a a, ; a 9 Να γράψεις το a (,1) ως γραμμικό συνδυασμό των i, j 94 Αν AB (4, 5),(1, A ) B; 95 Η απόσταση του Α(-1) από το Β είναι 5 Το Β έχει τεταγμένη διπλάσια από την τετμημένη του Β=; 96 Έστω τα σημεία Α(1,), Β(-,1), να βρεις το Μ ώστε AM MB 97 Δίνονται τα διανύσματα : a (,),(1, 1),(, ), να υπολογίσεις : a, a, a,a και a, a, a 98 Αν AB 5,(,1),( B,5) A x ; x 99 Δίνονται οι κορυφές τριγώνου ΑΒΓ με Α(-1,-),Β(0,),Γ(8,), να βρεις τα μέσα των πλευρών ΑΒ,ΑΓ,ΒΓ 100 Αν a x y 5, x y 1, να βρεις x,yώστε : a 0, a μοναδιαίο του xx, μοναδιαίο του yy,//xx,//yy, / /(, ),(, ) 101 Να βρεις την τέταρτη κορυφή του ΑΒΓΔ παραλληλογράμμου αν Α(-,),Β(,8),Γ(-,-4) 10 Νδο το ΑΒΓ με Α(5,-1),Β(9,),Γ(6,6) είναι ισοσκελές και να υπολογίσεις την περίμετρο και το εμβαδό του 10 Αν Α(-,1),Β(-1,),Γ(1,),Ο(0,0) νδο ΑΒΓΟ είναι τετράγωνο 104 Να εξετάσεις αν Α(-1,),Β(,0),Γ(-,5) είναι συνευθειακά 105 Να βρεις το συμμετρικό του Α(,-5) ως προς : xx,yy,o(0,0),y=x,b(,) 106 Αν A(x 1,),(1,4 B 5),() x 10 AB ; x Επιπλέον να βρεις ποιο το Γ του yy ώστε το ΑΒΓ να είναι ισοσκελές στο Γ 6
107 Πως θα εξέταζες ότι δεδομένα σημεία δημιουργούν ρόμβο ή τραπέζιο ;,,,, ; 4 a a 108 Αν a a a a 109 Νδο a 110 Αν a a a, 111 Αν a, a a : 5, a 6, a, 11 Να βρεις το 11 Νδο αν το άθροισμα και η διαφορά δύο διανυσμάτων είναι κάθετα τότε τα διανύσματα έχουν ίσα μέτρα 114 Πότε ισχύει η ισότητα : a a a a a a 115 Αν, 116 Αν a 1, a a 117 Σε ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο με AB, A 1, 60, να βρεις τα μήκη των διαγωνίων του 118 Αν a 1, a 4 a 10 a, ; 11 119 Αν a a a 6 10 Αν ΑΒΓΔ # με AB, A, 4 ; 11 Να αναλύσεις το a, 5 σε δύο συνιστώσες όπου η μία //,1 1 Να γραφεί το 8,17 ως γραμμικός συνδυασμός των a,1, 4,5 14 Σε ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο να βρεις την τέταρτη κορυφή αν Α(1,4),Β(-1,9),Δ(5,-) Να βρεις τη γωνία των διανυσμάτων a, : στον τύπο a a a, υπολογίζω πρώτα a, a, για να βρω a, το και η άλλη, 1 15 Να εξετάσεις αν τα σημεία Α(-1,),Β(8,5),Γ(,) δημιουργούν τρίγωνο 16 Αν a (8,),( x, ) x να βρεις το χ ώστε να είναι παράλληλα, ομόρροπα, αντίρροπα 17 Αν σημεία Α(-,1),Γ(0,5) είναι κορυφές τετραγώνου ΑΒΓΔ,να βρεις το εμβαδό του 18 Ποιο διάνυσμα είναι παράλληλο με το a ( 7,84) και έχει το μισό του μέτρο 7
19 Οι τεταγμένες των σημείων Α,Β είναι ρίζες της εξίσωσης y το Μ(χ,5) να είναι μέσο των Α,Β a, : a,, 1 a, 10 Ποια τα διανύσματα a 10, 4, a, 10 a 4 ; 11 Αν 1 Αν a 0, a 1, 14, 15 a a ;,,, 10, ; 1 Αν a a a a 14 Αν a a 6 0, 6,, 1, ; a 4,, a, 0, x / / a, a x x ; 15 Αν Αν a 0 συνήθως στέλνεις κάθε φορά ένα δμα στο ο μέλος και μετά υψώνεις στο τετράγωνο Να εξετάσεις αν ή πότε ισχύουν σχέσεις με μέτρα : ύψωσε στο τετράγωνο a, 1, a, 4 a Αν Αν a, 1, a, 9 a 16 Αν a 0, a a 5 17 Δίνονται τα σημεία Α(1,),Β(,5) και Μ του yy, να βρεις το Μ ώστε το ΑΝΒ ορθογώνιο στο Μ a : a, a, i 0, a, j 60 18 Ποιο το διάνυσμα 19 Να λυθεί η εξίσωση : xa 5 x,(1,4),( a 1,),( 0,5) 140 Να αναλύσεις το διάνυσμα a σε δύο συνιστώσες όπου η μία / /( 4,6) 8,16 a,1 141 Να βρεις την προβολή του πάνω στο,, ; 4 a, : a,, a, 0, 5a 4 a ;, ; 1 14 Αν ισχύει a a a a 14 Αν 10 y 4 0, να βρεις το λ ώστε Να βρεις την προβολή του a στο τότε a a, a Να βρεις το a ΘΥΜΙΖΩ : συνω=1 τότε ομόρροπα συνω=-1 τότε αντίρροπα συνω=0 τότε κάθετα συνω>0 τότε γωνία οξεία a και η άλλη // 6, : υπολόγισε συνω<ο τότε γωνία αμβλεία a 8
144 Έστω a, 4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΠΡΑΞΕΙΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ,να βρεις το λ ώστε να είναι μηδενικό δμα, παράλληλο στον οριζόντιο άξονα και παράλληλο στον κατακόρυφο άξονα 145 Να βρεις το συμμετρικό του Α(4,5) ως προς το σημείο Β(6,9) 146 Τα μέσα πλευρών τριγώνου ΑΒΓ είναι τα σημεία Δ(1,-),Ε(,),Ζ(-1,4) Να βρεις τα συντεταγμένες των κορυφών 147 Δίνονται τα σημεία Α(-1,-5),Β(,1),Γ(1,5), νδο σχηματίζεται τρίγωνο ΑΒΓ Να βρεις την κορυφή Δ ώστε το ΑΒΓΔ να είναι παραλληλόγραμμο 148 Δίνονται τα διανύσματα a (1, ),(, 4),(5, 0) Νδο ανά δύο δεν είναι συγγραμικά Να αναλύσεις το γ σε δύο συνιστώσες στη διεύθυνση των α,β 149 Έστω τα σημεία Α(-1,),Β(,),Γ(5,0) Να βρεις το Δ ώστε το ΑΒΓΔ να είναι ισοσκελές τραπέζιο με βάσεις ΑΒ,ΓΔ 150 Έστω τα σημεία Α(,-1),Β(,4) Να βρεις το Μ ώστε 151 Αν Α(1,),Β(-4,-1) να βρεις τα σημεία Γ,Δ ώστε να χωρίζουν το ΑΒ σε τρία ίσα τμήματα 15 Ποιο δμα είναι ομόρροπο του a (4, ) με μέτρο 15 Αν ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ a 1,,(,) να βρεις το μέτρο του a 4 1 5 154 Δίνονται τα δτα a (,6),, 1, να βρεις τη γωνία των δτων a, a 155 Νδο το άθροισμα και η διαφορά δύο δτων που έχουν ίδιο μέτρο είναι κάθετα 156 Ποιο δμα έχει μέτρο και είναι κάθετο στο a, 4 157 Δίνονται τα σημεία Α(-,),Β(1,1) και Γ του ψψ Ποιο το Γ ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ να είναι ορθογώνιο στο Γ 158 Νδο a a a a 159 Πότε ισχύει η ισότητα : 160 Να αναλύσεις το δμα (,5) σε δύο συνιστώσες όπου η μία // a (1,) και η άλλη κάθετη στο a a a a 161 Νδο 9
16 Αν a a a 16 Αν μοναδιαία a,, : a 0 a a ;, να βρεις τις γωνίες των δτων ανά δύο A(1,1),(, B a ), M a,, A 90 a; 4,, b 5,1, x : x 7, x b x ; A 4,7, 8,1, ; :, 15, 5, 184 Δίνονται τα σημεία 185 Δίνονται τα διανύσματα 186 Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με 187 Έστω δύο διανύσματα να βρεις το και νδο u v, u 5, v 188 Αν, 6, τότε νδο τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά, 90, 189 Αν 4,,, 0, x / /, x x ; 190 Δίνονται τα διανύσματα,1,,4, x / /, y, x y x, y ; 191 Αν / /, x, x x ; 19 Αν,, :, 1,, 60, x / /, x / / x ;, x ; 19 Αν 194 Δίνονται τα σημεία Α(,1),Β(,4),Γ(4,), να βρεις τη γωνία Α του τριγώνου ΑΒΓ 195 Αν 1, 7 8, ; 196 Έστω το κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ με AB (1, ),( B,1), νδο το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο και να υπολογίσεις τις γωνίες του 197 Δίνονται διανύσματα,, :,, 4, 1, να βρεις το διάνυσμα που διχοτομεί τη γωνία των, (1, ),,1,να βρεις την προβολή του β πάνω στο α 198 Αν 1,, ; 199 Αν 4 00 Αν,,, 0, 5 4 ; 4,7 01 Να αναλύσεις το, σε δύο κάθετες συνιστώσες από τις οποίες η μία να είναι / / 1, 10
0 Αν / /, 0 0 Αν 1,, 1,0, ; 04 Να βρεις το j 4i 05 Να βρεις τη γωνία του, 6 με τον άξονα χχ A(,1),( B 1,1 ) BA, xx ' ; 06 Αν 07 Δίνονται τα σημεία Α(α-5,) και Β(α,α), να βρεις το α ώστε AB xx, ' 40 08 Να βρεις διάνυσμα που να σχηματίζει 60 με οριζόντιο άξονα και να έχει μέτρο, x, y : x y y x, ; 09 Αν 10 Νδο για οποιαδήποτε μη μηδενικά διανύσματα :,, 11 Νδο για οποιαδήποτε μη μηδενικά διανύσματα : 1 Αν,,,, 6 0 ; 1 Να αποδείξεις ότι για οποιοδήποτε διανύσματα : Επιπλέον να βρεις τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή της ποσότητας Επίσης νδο 6 x 8 x 10 6x 8 y, x y 6 7 14 Αν Ο η αρχή των αξόνων και Α : (ΟΑ)=, να βρεις που κινούνται τα σημεία Μ : OM OM OA 15 Να αποδείξεις ότι για οποιαδήποτε διανύσματα : det, και επιπλέον det, 16 Να αποδείξεις ότι σε ΑΒΓ ορθογώνιο (Α=90) : AB A B 17 Av a 1,, και b 1, να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα a b, a b, b, a b a b, a b a b 18 Να βρεθούν οι τιμές του k,ώστε τα διανύσματα a k, 4k 1, b k 9, k κάθετα 19 Δίνονται τα διανύσματα AB 1, 7,,,να είναι Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο 11
0 Αν και 1και,,, 1 Αν 1,, να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα να βρείτε το μέτρο των διανυσμάτων,, 4,,, 1 να βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων, 1,, i j Aν Ομοίως αν 4 Αν, μοναδιαία και, να βρείτε το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων,, 4 5 Ένα παραλληλόγραμμο κατασκευάζεται με τα διανύσματα, Δίνεται ότι 0 1,,, 15 Να εκφράσετε τις διαγώνιες του παραλληλογράμμου συναρτήσει των, Να βρείτε τα μήκη των διαγωνίων Να βρείτε το συνημίτονο της οξείας γωνίας των διαγωνίων 6 Έστω τα διανύσματα, με 1,, 0, 60 και το τρίγωνο ΑΒΓ με,,, 5 Να δείξετε ότι όπου το Μ μέσο της ΒΓ Να βρείτε το μήκος της διαμέσου ΑΜ Να βρείτε το συνημίτονο της οξείας γωνίας των διανυσμάτων, 7 Αν τα διανύσματα, είναι μοναδιαία και τα,, 7 8 είναι κάθετα,να βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων, 8 Δίνονται τα διανύσματα, για τα οποία ισχύουν συγχρόνως,,, Να δείξετε ότι 9 Δίνονται τα διανύσματα 1,, 4, Να βρείτε διάνυσμα ώστε να ισχύουν συγχρόνως, 0 Αν, 6 να βρείτε το λ ώστε τα διανύσματα, να είναι κάθετα Να βρείτε το σημείο Μ του άξονα χ χ ώστε ˆ 90 0 Αν για τα μη μηδενικά διανύσματα,, ισχύει 0,,να δείξετε ότι 1 Δίνονται τα σημεία,, 7, 4 1
Αν για τα διανύσματα,, ισχύουν 0,,, 1,να δείξετε ότι,1,, Να αναλύσετε το σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες 4 Δίνονται τα διανύσματα από τις οποίες η μία να έχει τη διεύθυνση του 5 Δίνονται τα διανύσματα 5,,, Να βρείτε δύο διανύσματα, ώστε,, 6 Δίνονται τα μοναδιαία διανύσματα, με (,), να εκφράσετε το συναρτήσει των, 7 α) Αποδείξτε ότι για οποιοδήποτε διάνυσμα,ισχύει β) Αν Χρησιμοποιώντας το α) ερώτημα να βρείτε την ελάχιστη και τημέγιστη τιμή της παράστασης Α=6χ-8ψ αν x 6 Με τη βοήθεια του α) ερωτήματος δείξτε ότι 6 x 8 x 10 8 Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει 0 9 Αν,, μοναδιαία και να δείξετε ότι 40 Δίνονται τα διανύσματα,1, 1,1,,5 Να βρείτε το διάνυσμα ώστε να είναι 41 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι 4, 6 της ΒΓ τότε Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει το με το και η γωνία των, είναι Αν Μ το μέσο Να αποδείξετε ότι η προβολή του πάνω στο είναι το διάνυσμα 14 19 1,,,1 Να βρείτε τη γωνία των, 4 Δίνονται τα διανύσματα Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες της προβολής του πάνω στο Να βρείτε το διάνυσμα 1, το οποίο να σχηματίζει με το γωνία ίση με 4 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με,, Αν,, 1 τότε, 0 60 1
Να δείξετε ότι 4 1 0 Να βρείτε τη γωνία Γ του τριγώνου Να υπολογίσετε το μήκος της διαμέσου ΒΜ 44 Έστω τα διανύσματα, με, 1,,, Να βρείτε το ως συνάρτηση των, Να υπολογίσετε τη γωνία των διανυσμάτων, και το διάνυσμα για το οποίο ισχύει 14