ΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX 3.1 Εισαγωγή Ο αλγόριθμος Simplex θεωρείται πλέον ως ένας κλασικός αλγόριθμος για την επίλυση γραμμικών προβλημάτων. Η πρακτική αποτελεσματικότητά του έχει μελετηθεί εκτενώς και η πολυπλοκότητα μέσης και χειρότερης περίπτωσης έχουν αναλυθεί ικανοποιητικά. Παραμένουν ακόμη αρκετά ανοιχτά προβλήματα η επίλυση των οποίων στοχεύει στην ανάπτυξη ενός ισχυρά πολυωνυμικού αλγόριθμου τύπου Simplex. Η ανάπτυξη του αλγορίθμου εξωτερικών σημείων που παρουσιάστηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο στοχεύει προφανώς σ' αυτή την κατεύθυνση, αφού η μη εφικτή περιοχή περιέχει "σύντομους" δρόμους τύπου Simplex που συνδέουν ένα οποιοδήποτε βασικό εφικτό ή μη εφικτό βασικό σημείο με ένα βέλτιστο βασικό σημείο. Αντίθετα, είναι άγνωστο αν υπάρχουν τέτοιοι σύντομοι δρόμοι εφικτών βασικών σημείων. Για περισσότερες λεπτομέρειες σ' αυτό το θέμα βλέπε Pprrizos, Κ. (1999) και Pprrizos, K. (1989), (1993). Η αργοπορία στην ανάπτυξη ενός αλγορίθμου εξωτερικών σημείων οφείλεται πιθανότατα στην έλλειψη γεωμετρικής απεικόνισης της λειτουργίας του αφού η περιγραφή όλων των δυνατών περιπτώσεων απαιτεί τουλάχιστον 4 μεταβλητές απόφασης. Η ανακάλυψη όμως του αλγορίθμου ρίχνει λίγο φως σε μερικά ακόμη αποτελέσματα τα οποία τουλάχιστον με την πρώτη ματιά φαίνονται ότι μπορούν να βελτιώσουν την αποτελεσματικότητα των αλγορίθμων τύπου Simplex. Ο αλγόριθμος που θα παρουσιάσουμε τώρα είναι επίσης αλγόριθμος εξωτερικών σημείων, έχει όμως ένα επιπρόσθετο κριτήριο μονοτονίας. Πιο

60 Κεφάλαιο 3 Ένας Δικριτήριος Αλγόριθμος Simplex συγκεκριμένα, σε κάθε επανάληψή του ελαττώνει όχι απαραιτήτως αυστηρά την μη εφικτότητα του πρωτεύοντος προβλήματος. Ταυτόχρονα οι τιμές της αντικειμενικής συνάρτησης βελτιώνονται από επανάληψη σε επανάληψη. Ο αλγόριθμος μπορεί επίσης να θεωρηθεί ότι αποτελεί εξέλιξη του αλγορίθμου που παρουσιάζεται στην εργασία Dosios, K. nd Pprrizos, K. (1995), στην οποία αποδείχτηκαν και δυο αποτελέσματα (θεωρήματα) τα οποία προσαρμόζονται κατάλληλα στο νέο αλγόριθμο. Επομένως από μια άλλη σκοπιά ο νέος αλγόριθμος μπορεί να θεωρηθεί ως γενίκευση του αλγόριθμου της εργασίας Dosios K. nd K. Pprrizos (1994). Πιο συγκεκριμένα ο αλγόριθμος της εργασίας αυτής αποτελείται από στάδια στα οποία λύνεται ένα υποπρόβλημα του αρχικού προβλήματος. Χρησιμοποιείται μια μεταβλητή απόφασης η οποία ονομάζεται χαρακτηριστική και παίζει το ρόλο μιας δεύτερης αντικειμενικής συνάρτησης. Η τιμή της δεύτερης αντικειμενικής συνάρτησης, στην πραγματικότητα η τιμή της μεταβλητής απόφασης είναι αρχικά αρνητική και βελτιώνεται (αυξάνεται) από επανάληψη σε επανάληψη. Όταν η τιμή της χαρακτηριστικής μεταβλητής γίνει μη αρνητική, το στάδιο τελειώνει. Αν όλες οι μεταβλητές απόφασης είναι μη αρνητικές, το τρέχον σημείο είναι βέλτιστο. Στον αλγόριθμό μας το ρόλο της χαρακτηριστικής μεταβλητής τον παίζει μια νέα μεταβλητή που αποτελείται από το άθροισμα των μεταβλητών που δεν είναι εφικτές στην αρχική βάση. Η νέα αντικειμενική συνάρτηση δεν παραμένει όμως σταθερή σε όλη τη διάρκεια των υπολογισμών, με την έννοια ότι δεν είναι άθροισμα των αρχικών μη εφικτών μεταβλητών. Πράγματι, αν κάποια απ' αυτές τις μεταβλητές γίνει μη αρνητική σε κάποιο σημείο των υπολογισμών, τότε διαγράφεται από την χαρακτηριστική αντικειμενική συνάρτηση. Οι υπολογισμοί εκτελούνται με τέτοιο τρόπο ώστε κάθε μεταβλητή απόφασης που είναι εφικτή (μη αρνητική) σε κάποιο σημείο των υπολογισμών να παραμένει εφικτή σε όλη τη διάρκεια των επόμενων υπολογισμών. Έτσι, όταν η τιμή της χαρακτηριστικής αντικειμενικής συνάρτησης γίνει μη αρνητική, η

Κεφάλαιο 3 - Ένας Δικριτήριος Αλγόριθμος Simplex 61 εφικτότητα του πρωτεύοντος προβλήματος έχει αποκατασταθεί και σύμφωνα με τα θεωρητικά μας αποτελέσματα ταυτόχρονα έχει αποκατασταθεί και η δυϊκή εφικτότητα και έτσι έχει υπολογιστεί ένα βέλτιστο σημείο. Πιο αναλυτικά ο αλγόριθμος λειτουργεί ως εξής. Ξεκινά με μια βάση Β η οποία ικανοποιεί μια ειδική συνθήκη την οποία θα περιγράψουμε αργότερα. Η συνθήκη αυτή ικανοποιείται από κάθε δυϊκή βασική λύση και περιγράφεται με τη χρήση του αθροίσματος ας πούμε f των αρνητικών μεταβλητών του πρωτεύοντος προβλήματος. Σε κάθε επανάληψη επιλέγεται μια μη βασική μεταβλητή η οποία αν αυξηθεί αυξάνει αυστηρά την τιμή της χαρακτηριστικής συνάρτησης f. Η ιδιότητα που ικανοποιείται σε κάθε επανάληψη είναι η εξής. Αν η τιμή της f γίνει ίση με 0, κατασκευάζεται μια βάση η οποία είναι δυϊκά εφικτή. Θα αναφερόμαστε στην ιδιότητα αυτή ως την "χαρακτηριστική ιδιότητα". Ο αλγόριθμος επιλέγει πρώτα μια μη βασική μεταβλητή x s έτσι ώστε να ικανοποιείται η χαρακτηριστική ιδιότητα. Αυξάνει μετά την τιμή της x s ξεκινώντας από την τιμή 0. Εντοπίζει την πρώτη βασική μεταβλητή, ας πούμε x k, η οποία παίρνει τιμή 0, στη συνέχεια εναλλάσσονται οι ρόλοι των μεταβλητών x s και x k, δηλαδή η x s από μη βασική γίνεται βασική και η x k από βασική γίνεται μη βασική και η διαδικασία επαναλαμβάνεται. Αν σε μια επανάληψη δεν υπάρχει μεταβλητή που να αυξάνει (αυστηρά όταν η ίδια αυξάνει σε τιμή) την τιμή της χαρακτηριστικής τιμής f το πρωτεύων πρόβλημα είναι πρόβλημα αδύνατο και φυσικά οι υπολογισμοί τερματίζουν. Στο επόμενο τμήμα θα περιγράψουμε τον αλγόριθμο χρησιμοποιώντας τις κατάλληλες μαθηματικές σχέσεις έτσι ώστε να εξαχθούν σχετικά εύκολα τα αποτελέσματα της αιτιολόγησης και της περατότητας του αλγόριθμου.

62 Κεφάλαιο 3 Ένας Δικριτήριος Αλγόριθμος Simplex 3.2 Περιγραφή του αλγόριθμου Επειδή ο αλγόριθμος είναι τύπου Simplex βρίσκουμε καλύτερο από διδακτικής απόψεως αλλά και διευκόλυνση των μαθηματικών αποδείξεων να χρησιμοποιήσουμε για την περιγραφή του το συνηθισμένο tleu Simplex. Δοθέντος του γραμμικού προβλήματος σε μορφή ισοτήτων min c T x μ.π. Ax, x 0, (P) όπου x, c R n, R n και A R mxn, Τ δηλώνει αναστροφή και μ.π. είναι συντομογραφία της έκφρασης "με περιορισμούς", κατασκευάζεται εύκολα το αντίστοιχο δυϊκό πρόβλημα mx w T μ.π. A T w + s c, w, s 0, (DP) όπου w R m είναι το διάνυσμα των δυϊκών μεταβλητών και s R n είναι το διάνυσμα των δυϊκών χαλαρών μεταβλητών. Μια βάση του προβλήματος P είναι ένας αντιστρέψιμος τετραγωνικός υποπίνακας του πίνακα Α. Χωρίς χάσιμο γενικότητας θα θεωρήσουμε ότι ο βαθμός του πίνακα Α είναι m. Με την υπόθεση αυτή μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η βάση είναι πάντοτε ένας mxm πίνακας. Θα συμβολίζουμε τη βάση με Β. Τον υποπίνακα που προκύπτει αν από τον πίνακα Α αφαιρέσουμε τη βάση Β θα το συμβολίζουμε με Ν. Οι στήλες που ανήκουν στη βάση Β (στον υποπίνακα Ν) θα ονομάζονται βασικές (μη βασικές). Πολλές φορές τα γράμματα Β και Ν θα χρησιμοποιούνται σαν σύνολα δεικτών. Έτσι, ο συμβολισμός x B (x N ) παριστάνει το υποδιάνυσμα του x που περιέχει τις συνιστώσες x i για i B (x j

Κεφάλαιο 3 - Ένας Δικριτήριος Αλγόριθμος Simplex 63 για j N). Οι συνιστώσες του x Β (x Ν ) ονομάζονται βασικές (μη βασικές). Το νόημα των συμβολισμών c B, c Ν κ.λ.π. πρέπει τώρα να είναι προφανές. Δοθείσης μιας βάσης Β του προβλήματος P ονομάζουμε βασική λύση τη λύση του συστήματος Αx που προκύπτει αν θέσουμε x N 0. Επειδή η βάση Β είναι αντιστρέψιμος πίνακας η αντίστοιχη βασική λύση είναι x N 0 και x B B -1. Αν μια λύση του προβλήματος P ικανοποιεί τη σχέση x 0 θα ονομάζεται εφικτή. Είναι προφανές ότι μια βασική λύση (x B, x N ) είναι εφικτή αν x B B -1 0, (γιατί x N 0). Τις βασικές λύσεις που είναι εφικτές τις καλούμε βασικές εφικτές λύσεις. Σε κάθε βασική λύση του προβλήματος P αντιστοιχεί μια λύση του δυϊκού προβλήματος DP. Είναι γνωστό ότι η δυϊκή λύση δίνεται από τους τύπους w T T c B -1 και s T c T -w T B A, όπου w είναι οι πολλαπλασιαστές Simplex και, φυσικά, c B δηλώνει τις βασικές συνιστώσες του c. Μια δυϊκή λύση είναι εφικτή (για το αντίστοιχο δυϊκό πρόβλημα) αν s 0. Σ' αυτή την περίπτωση τη βασική λύση θα την ονομάζουμε δυϊκά εφικτή λύση. Είναι ακόμη γνωστό ότι μια βασική εφικτή λύση του P είναι βέλτιστη αν και μόνο αν η αντίστοιχη δυϊκή λύση είναι εφικτή για το δυϊκό πρόβλημα. Στη βάση Β αντιστοιχεί ένα (1) x (n+1) tleu Simplex ( A, ) τα στοιχεία του οποίου συμβολίζονται για αποφυγή συγχύσεων με παύλες. Η γραμμή στην κορυφή του tleu Simplex αφιερώνεται στην πραγματική αντικειμενική συνάρτηση c T x, η οποία γράφεται με τη μορφή z-c T x 0. Τη γραμμή αυτή θα την ονομάζουμε γραμμή κόστους ή μηδενική γραμμή. Ιδιαίτερα, τα στοιχεία της μηδενικής γραμμής δίνονται από τον τύπο 1 0j ( j. j c B A ), όπου A.j συμβολίζει τη j στήλη του πίνακα Α, j 1, 2,..., n. Τα στοιχεία της n+1 στήλης συμβολίζονται με i, i 0, 1,..., m. Έτσι 0 είναι η τιμή της πραγματικής αντικειμενικής συνάρτησης και

64 Κεφάλαιο 3 Ένας Δικριτήριος Αλγόριθμος Simplex 1 i (B ) i x B(i) είναι η τιμή της βασικής μεταβλητής που αντιστοιχεί στην i, i 1, 2,..., m, γραμμή. Τα υπόλοιπα στοιχεία συμβολίζονται με ij, i 1, 2,..., m και j 1, 2,..., n. Όπως όλοι οι αλγόριθμοι Simplex έτσι και ο νέος αλγόριθμος κατασκευάζει μια σειρά από βασικές λύσεις. Η πρώτη βασική λύση (αν και δεν είναι απαραίτητο) είναι δυϊκά εφικτή. Οι επόμενες μπορεί να μην είναι ούτε δυϊκά ούτε πρωτευόντος εφικτές. Γι' αυτό το λόγο ο νέος αλγόριθμος ονομάζεται και αυτός αλγόριθμος εξωτερικών σημείων. Αν η πρώτη βασική λύση δεν είναι εφικτή για το πρόβλημα P, προσδιορίζεται το μη κενό σύνολο δεικτών I - από τη σχέση I {1 i m : i < 0} (3.2.1) και οι γραμμές του tleu που αντιστοιχούν στους δείκτες του συνόλου I - αθροίζονται. Η γραμμή άθροισμα προσαρτάται στο κάτω μέρος του πίνακα Simplex. Έτσι προκύπτει ένα επαυξημένο tleu Simplex. Η 1 γραμμή του επαυξημένου tleu ονομάζεται οδηγούσα ή διακεκριμένη ή χαρακτηριστική γραμμή. Αντιστοιχούμε στην οδηγούσα γραμμή τη μεταβλητή f η οποία καλείται επίσης οδηγούσα ή διακεκριμένη μεταβλητή. Η μεταβλητή f είναι βασική και η τιμή της πάντοτε αρνητική. Είναι πολύ εύκολο να διαπιστωθεί ότι τα στοιχεία της 1 γραμμής δίνονται από τις σχέσεις m + 1, j ij, (3.2.2) i I m + 1 i < 0 (3.2.3) i I

Κεφάλαιο 3 - Ένας Δικριτήριος Αλγόριθμος Simplex 65 Αντίθετα με τους άλλους δυϊκούς αλγορίθμους ο νέος αλγόριθμος προσδιορίζει πρώτα τη στήλη περιστροφής s, 1 s n. Ο προσδιορισμός του δείκτη s γίνεται με το παρακάτω τεστ ελαχίστου λόγου. Υπολογίζεται πρώτα το σύνολο J {1 j n : m + 1, j < 0} (3.2.4) και στη συνέχεια προσδιορίζεται ο δείκτης s με τη σχέση 0s 0 j min : j J 1, j < 0 (3.2.5) Ο αναγνώστης που γνωρίζει τον κλασικό δυϊκό αλγόριθμο Simplex είναι εύκολο να δει ότι το παραπάνω τεστ ελαχίστου λόγου είναι ακριβώς το ίδιο με του δυϊκού αλγορίθμου. Πρέπει, όμως, να έχει υπόψη του ότι ο αλγόριθμος ποτέ δεν κάνει περιστροφή στη γραμμή 1 και ότι οι βασικές λύσεις του αλγορίθμου μας δεν είναι δυϊκά εφικτές. Είναι δυνατόν να μην υπάρχει δείκτης j τέτοιος ώστε 0. Σ' αυτή την περίπτωση το 1, j < πρόβλημα DP είναι απεριόριστο και επομένως το πρόβλημα P είναι αδύνατο. Αν υπάρχει στήλη περιστροφής, ο αλγόριθμος προχωρεί στον προσδιορισμό της γραμμής περιστροφής r, 1 r m. Προσδιορίζεται το σύνολο I + από τη σχέση I {1 i m : i I } (3.2.6) + και στη συνέχεια υπολογίζονται οι ποσότητες k i θ1 min : i I, is < 0, (3.2.7) is

66 Κεφάλαιο 3 Ένας Δικριτήριος Αλγόριθμος Simplex l i θ 2 min : i I +, is > 0 (3.2.8) ls is Αν θ 1 θ 2 θέτουμε r k. Αν θ 2 < θ 1 θέτουμε r l. Θα δούμε αργότερα ότι η γραμμή περιστροφής πάντοτε υπάρχει. Η περιγραφή του Δικριτήριου Αλγορίθμου Simplex Εξωτερικών Σημείων (ΔΑΣΕΣ) με μορφή βημάτων έχει ως εξής. 3.3 Δικριτήριος Αλγόριθμος Simplex Εξωτερικών Σημείων (ΔΑΣΕΣ) Περιγραφή Αλγορίθμου με βήματα Βήμα 0: Ξεκίνα με μια δυϊκά εφικτή βάση και κατασκεύασε το αρχικό tleu Simplex ( A, ). Βήμα 1: (Έλεγχος τερματισμών) α) (Έλεγχος βελτιστότητας). Προσδιόρισε το σύνολο δεικτών I - από τη σχέση (3.2.1). Αν I -, TΕΛΟΣ (η παρούσα λύση είναι βέλτιστη). Διαφορετικά κατασκεύασε το επαυξημένο tleu Simplex προσδιορίζοντας τα στοιχεία της 1 γραμμής από τις σχέσεις (3.2.2) και (3.2.3). β) (Έλεγχος μη εφικτότητας) Προσδιόρισε το σύνολο των δεικτών J - από τη σχέση (3.2.4). Αν J - ΤΕΛΟΣ (το πρόβλημα P είναι αδύνατο). Διαφορετικά προσδιόρισε το δείκτη s από τη σχέση (3.2.5). Η μη βασική μεταβλητή x s εισέρχεται στη βάση.

Κεφάλαιο 3 - Ένας Δικριτήριος Αλγόριθμος Simplex 67 Βήμα 2: (Περιστροφή) Προσδιόρισε το σύνολο δεικτών I + από τη σχέση (3.2.6) και στη συνέχεια τις ποσότητες θ 1 και θ 2 από τις σχέσεις (3.2.7) και (3.2.8) αντίστοιχα. α) Αν θ 1 θ 2, θέσε r k. β) Αν θ 2 < θ 1, θέσε r l. Η βασική μεταβλητή x B(r) εξέρχεται από τη βάση. Κάνε περιστροφή στο στοιχείο rs και πήγαινε στο βήμα 1. Όπως κάναμε και με τους προηγούμενους αλγόριθμους που περιγράψαμε θα διευκρινίσουμε και τον νέο αλγόριθμο σε δυο γραμμικά προβλήματα, ένα βέλτιστο και ένα αδύνατο. Παράδειγμα 3.3.1 Στο παρακάτω γραμμικό πρόβλημα θα εφαρμόσουμε τον δικριτήριο αλγόριθμο Simplex εξωτερικών σημείων. min 4x 1 + 8x 2 + x 3 + 6x 4 μ.π -x 1-2x 2-2x 3 + 2x 4 + x 5 4 3x 1-3x 2 + 3x 3 + 3x 4 + x 6-3 - x 2 - x 3-2x 4 + x 7-5 4x 1-5x 2 - x 3 - x 4 + x 8 4 x 1 x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8 0 Λύση Επανάληψη 1 Βήμα 0: Κατασκευάζουμε το αρχικό tleu Simplex

68 Κεφάλαιο 3 Ένας Δικριτήριος Αλγόριθμος Simplex x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 Δ.Μ. -4-8 -1-6 0 0 0 0 0 x 5-1 -2-2 2 1 0 0 0 4 x 6 1-1 1 1 0 1 0 0-1 x 7 0-1 -1-2 0 0 1 0-5 x 8 4-5 -1-1 0 0 0 1 4 Βήμα 1: α) Επειδή I - {2, 3} κατασκευάζουμε το επαυξημένο tleu Simplex προσδιορίζοντας τα στοιχεία της 5ης γραμμής σύμφωνα με τις σχέσεις (3.2.2) και (3.2.3) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 Δ.Μ. -4-8 -1-6 0 0 0 0 0 x 5-1 -2-2 2 1 0 0 0 4 x 6 1-1 1 1 0 1 0 0-1 x 7 0-1 -1-2 0 0 1 0-5 x 8 4-5 -1-1 0 0 0 1 4 1-2 0-1 0 1 1 0-6 β) Βρίσκουμε J - {2, 4}. Κάνουμε το τεστ του ελαχίστου λόγου. 02 52 8 6 min, 4 2 1 Άρα s 2 οπότε η μη βασική μεταβλητή x 2 εισέρχεται στη βάση. Βήμα 2: I + {1, 4}. Υπολογίζουμε τις παρακάτω ποσότητες θ 1 5 min, 1 1 2 1 22 1.

Κεφάλαιο 3 - Ένας Δικριτήριος Αλγόριθμος Simplex 69 θ 2 { } +. Επειδή θ 1 < θ 2 θέτουμε r 2. Άρα η βασική μεταβλητή x 7 εξέρχεται από τη βάση. Κάνουμε περιστροφή στο στοιχείο 1 και προκύπτει το επόμενο tleu Simplex. 22 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 Δ.Μ. -12 0-9 -14 0-8 0 0 8 x 5-3 0-4 0 1-2 0 0 6 x 2-1 1-1 -1 0-1 0 0 1 x 7-1 0-2 -3 0-1 1 0-4 x 8-1 0-6 -6 0-5 0 1 9 Πηγαίνουμε στο βήμα 1. Επανάληψη 2 Βήμα 1: α) Επειδή I - {3} κατασκευάζουμε το επαυξημένο tleu Simplex προσδιορίζοντας τα στοιχεία της 5ης γραμμής από τις σχέσεις (3.2.2) και (3.2.3) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 Δ.Μ -12 0-9 -14 0-8 0 0 8 x 5-3 0-4 0 1-2 0 0 6 x 2-1 1-1 -1 0-1 0 0 1 x 7-1 0-2 -3 0-1 1 0-4 x 8-1 0-6 -6 0-5 0 1 9-1 0-2 -3 0-1 1 0-4

70 Κεφάλαιο 3 Ένας Δικριτήριος Αλγόριθμος Simplex β) Βρίσκουμε J - {1, 3, 4, 6}. Κάνουμε το τεστ του ελαχίστου λόγου. 03 53 12 9 14 8 min,,, 1 2 3 1 9 2 Άρα s 3 οπότε η μη βασική μεταβλητή x 3 εισέρχεται στη βάση. Βήμα 2: I + {1, 2, 4}. Υπολογίζουμε τις παρακάτω ποσότητες θ 4 2 3 1 33 θ 2 { } +. 2. Επειδή θ 1 < θ 2 θέτουμε r 3. Άρα η βασική μεταβλητή x 7 εξέρχεται από τη βάση. Κάνουμε περιστροφή στο στοιχείο 2 και προκύπτει το επόμενο tleu Simplex. 33 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 Δ.Μ. -15/2 0 0-1/2 0-7/2-9/2 0 26 x 5-1 0 0 6 1 0-2 0 14 x 2-1/2 1 0 1/2 0-1/2-1/2 0 3 x 3 1/2 0 1 3/2 0 1/2-1/2 0 2 x 8 2 0 0 3 0-2 -3 1 21 Επειδή I - ο αλγόριθμος σταματά. Η παρούσα λύση είναι βέλτιστη δηλ. για x 1 x 4 x 7 x 8 0 και x 2 3, x 3 2, x 5 14, x 8 21 η αντικειμενική συνάρτηση γίνεται z 26.

Κεφάλαιο 3 - Ένας Δικριτήριος Αλγόριθμος Simplex 71 Παράδειγμα 3.3.2 Στο παρακάτω γραμμικό πρόβλημα θα εφαρμόσουμε τον δικριτήριο αλγόριθμο Simplex εξωτερικών σημείων. min 8x 1 + 9x 2 + 8x 3 + 3x 4 μ.π - 2x 2-3x 3-2x 4 + x 5-4 -2x 1 + 2x 2 + x 3 + 2x 4 + x 6 3 2x 1-3x 2 - x 3-5x 4 + x 7 1 3x 1 + 4x 2 + 2x 3 + 5x 4 + x 8 2 x 1 x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8 0 Λύση Επανάληψη 1 Βήμα 0: Κατασκευάζουμε το αρχικό tleu Simplex x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 Δ.Μ. -8-9 -8-3 0 0 0 0 0 x 5 0-2 -3-2 1 0 0 0-4 x 6-2 2 1 2 0 1 0 0 3 x 7 2-3 -1-5 0 0 1 0 1 x 8 3 4 2 5 0 0 0 1 2 Βήμα 1: α) Επειδή Ι - {1} κατασκευάζουμε το επαυξημένο tleu Simplex προσδιορίζοντας τα στοιχεία της 5ης γραμμής σύμφωνα με τις σχέσεις (3.2.2) και (3.2.3)

72 Κεφάλαιο 3 Ένας Δικριτήριος Αλγόριθμος Simplex x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 Δ.Μ. -8-9 -8-3 0 0 0 0 0 x 5 0-2 -3-2 1 0 0 0-4 x 6-2 2 1 2 0 1 0 0 3 x 7 2-3 -1-5 0 0 1 0 1 x 8 3 4 2 5 0 0 0 1 2 0-2 -3-2 1 0 0 0-4 β) Βρίσκουμε J - {2, 3, 4}. Κάνουμε το τεστ του ελαχίστου λόγου. 04 54 9 8 3 min,, 2 3 2 3 2 Άρα s 4 οπότε η μη βασική μεταβλητή x 4 εισέρχεται στη βάση. Βήμα 2: I + {2, 3, 4}. Υπολογίζουμε τις παρακάτω ποσότητες θ 4 min 2 1 1 14 2. θ 3 2 min, 2 5 4 2 44 2. 5 Επειδή θ 2 < θ 1 θέτουμε r 4. Άρα η βασική μεταβλητή x 8 εξέρχεται από τη βάση. Κάνουμε περιστροφή στο στοιχείο 44 5 και προκύπτει το επόμενο tleu Simplex.

Κεφάλαιο 3 - Ένας Δικριτήριος Αλγόριθμος Simplex 73 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 Δ.Μ. -31/5-33/5-34/5 0 0 0 0 3/5 6/5 x 5 6/5-2/5-11/5 0 1 0 0 2/5-16/5 x 6-16/5 2/5 1/5 0 0 1 0-2/5 11/5 x 7 5 1 1 0 0 0 1 1 3 x 4 3/5 4/5 2/5 1 0 0 0 1/5 2/5 Πηγαίνουμε στο βήμα 1. Επανάληψη 2 Βήμα 1: α) Επειδή I - {1} κατασκευάζουμε το επαυξημένο tleu Simplex προσδιορίζοντας τα στοιχεία της 5ης γραμμής από τις σχέσεις (3.2.2) και (3.2.3) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 Δ.Μ -31/5-33/5-34/5 0 0 0 0 3/5 6/5 x 5 6/5-2/5-11/5 0 1 0 0 2/5-16/5 x 6-16/5 2/5 1/5 0 0 1 0-2/5 11/5 x 7 5 1 1 0 0 0 1 1 3 x 4 3/5 4/5 2/5 1 0 0 0 1/5 2/5 6/5-2/5-11/5 0 1 0 0 2/5-16/5 β) Βρίσκουμε J - {2, 3}. Κάνουμε το τεστ του ελαχίστου λόγου. 03 53 33/ 5 34 / 5 min, 2 / 5 11/ 5 34 11 Άρα s 3 οπότε η μη βασική μεταβλητή x 3 εισέρχεται στη βάση. Βήμα 2: I + {2, 3, 4}. Υπολογίζουμε τις παρακάτω ποσότητες

74 Κεφάλαιο 3 Ένας Δικριτήριος Αλγόριθμος Simplex θ 16/ 5 min 11/ 5 1 1 13 16. 11 θ 11/ 5 3 2 / 5 min,, 1/ 5 1 2 / 5 4 2 43 1. Επειδή θ 2 < θ 1 θέτουμε r 4. Άρα η βασική μεταβλητή x 4 εξέρχεται από τη βάση. Κάνουμε περιστροφή στο στοιχείο 43 2 / 5 και προκύπτει το επόμενο tleu Simplex. x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 Δ.Μ. 4 7 0 17 0 0 0 4 8 x 5 9/2 4 0 11/2 1 0 0 3/2-1 x 6-7/2 0 0-1/2 0 1 0-1/2 2 x 7 7/2-1 0-5/2 0 0 1 1/2 2 x 3 3/2 2 1 5/2 0 0 0 1/2 1 Πηγαίνουμε στο βήμα 1. Επανάληψη 3 Βήμα 1: α) Επειδή Ι - {1} κατασκευάζουμε το επαυξημένο tleu Simplex προσδιορίζοντας τα στοιχεία της 5ης γραμμής από τις σχέσεις (3.2.2) και (3.2.3)

Κεφάλαιο 3 - Ένας Δικριτήριος Αλγόριθμος Simplex 75 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 Δ.Μ 4 7 0 17 0 0 0 4 8 x 5 9/2 4 0 11/2 1 0 0 3/2-1 x 6-7/2 0 0-1/2 0 1 0-1/2 2 x 7 7/2-1 0-5/2 0 0 1 1/2 2 x 4 3/2 2 1 5/2 0 0 0 1/2 1 9/2 4 0 11/2 1 0 0 3/2-1 Βήμα 2: Επειδή J -, ΤΕΛΟΣ. Το πρόβλημα P είναι αδύνατο και το δυϊκό του είναι απεριόριστο. 3.4 Αιτιολόγηση και περατότητα του αλγόριθμου Η απόδειξη της ορθότητας του αλγορίθμου θα γίνει με επαγωγή στον αριθμό των επαναλήψεων. Γι' αυτό το λόγο θα χρησιμοποιούνται δυο διαδοχικά tleu Simplex. Το παρόν tleu και κάθε ποσότητα συσχετιζόμενη μ' αυτό συμβολίζεται με παύλες, ενώ το επόμενο με καπελάκια ( ). Έτσι ( A, ) είναι το παρόν tleu και ( Aˆ, ˆ) το επόμενο. Η επαγωγική απόδειξη χωρίζεται σε δυο μέρη. Στο πρώτο αποδεικνύουμε την υπόθεση της επαγωγής για περιστροφές στις οποίες η γραμμή περιστροφής προσδιορίζεται στο βήμα 2β. Θα αναφερόμαστε σ' αυτές τις περιστροφές σαν περιστροφές τύπου Β. Οι περιστροφές τύπου Α (περιστροφές στις οποίες η γραμμή περιστροφής προσδιορίζεται στο βήμα 2α) εξετάζονται στο δεύτερο μέρος. Στις αποδείξεις θα χρησιμοποιήσουμε και τα σύνολα J {1 j n : 1, j 0} J + {1 j n : 0 j > 0}

76 Κεφάλαιο 3 Ένας Δικριτήριος Αλγόριθμος Simplex Επίσης οι αποδείξεις θα στηριχτούν στην υπόθεση ότι δεν υπάρχουν δεσμοί στον προσδιορισμό της γραμμής περιστροφής. Προσέξτε ότι η συνθήκη αυτή είναι έμμεσα μια συνθήκη μη εκφυλιστικότητας του προβλήματος P και όχι του DP. Στην ουσία θα αποδείξουμε ότι κάθε tleu Simplex ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες. αν 0, τότε 0 (3.4.1) 1, j 0 j αν J, και J τότε + 0s 0 j 0 j 0p g min min : j J mx : j J + 1, j 1, j 1,p g mx (3.4.2) Οι αποδείξεις για τους δυο τύπους περιστροφών θα στηριχτούν στο παρακάτω Λήμμα 3.4.1. Ένα tleu Simplex ικανοποιεί τις σχέσεις (3.4.1) και (3.4.2) αν και μόνο αν 0s m 1,j 0 j +, j μη βασικό, (3.4.3) όπου s η στήλη περιστροφής. Λύση. ( ) Έστω j J0. Τότε 1, j 0. Από την ιδιότητα (3.4.1) έχουμε 0 και επομένως 0 j 0 s 1, j 0 και 0 j m 1, s 0 +. Επομένως η (3.4.3) ισχύει. Έστω j J +. Τότε από την (3.4.2) έχουμε

Κεφάλαιο 3 - Ένας Δικριτήριος Αλγόριθμος Simplex 77 0s 1, s 0j. 1, j Επειδή m + 1, s < 0 και m + 1, j > 0 η τελευταία ανισότητα είναι ισοδύναμη με την (3.4.3). Έστω τώρα j J. Τότε 0 j 1, j 0s. Επειδή m + 1, j < 0 και m + 1, s < 0, η τελευταία ανισότητα είναι ισοδύναμη με την (3.4.3). ( ) Απόδειξη της (3.4.1). Έστω ότι ισχύει η (3.4.3). Έστω ότι 0 j > 0 και m + 1, j 0. Τότε 0 s 1, j 0 και 0 j m 1, s< 0 +. Επομένως 0s m 1,j 0 j 1, s + > αδύνατο. Αποδείξαμε την ιδιότητα (3.4.1). Απόδειξη της (3.4.2). Έστω ότι 0s 0p <. 1,p Επειδή m + 1, s < 0 και m + 1, p > 0 έχουμε από την προηγούμενη σχέση ότι 0s m 1,p 0p + >, αδύνατο (αντίθετη με τη σχέση (3.4.3)).

78 Κεφάλαιο 3 Ένας Δικριτήριος Αλγόριθμος Simplex Αποδεικνύουμε τώρα τις σχέσεις (3.4.1) και (3.4.2) για τις Περιστροφές Τύπου Β Λήμμα 3.4.2. Αν μια περιστροφή τύπου Β εφαρμόζεται στο παρόντα tleu Simplex τότε Î I (3.4.4) και (3.4.5) lj 1,j 1,j 1, s ls Απόδειξη της (3.4.4). Περίπτωση 1 (i I + ). Στη γραμμή l έχουμε ˆ l l 0. ls Για i I + και i l έχουμε ˆ i l i is. ls Αν is 0, τότε ˆ 0. Αν is < 0 έχουμε i i is l ls 0 ˆ 0. i Περίπτωση 2 (i I - ). Αν is < 0 έχουμε ˆ l i i is < 0. ls

Κεφάλαιο 3 - Ένας Δικριτήριος Αλγόριθμος Simplex 79 Αν is 0 τότε l is 0. ls Επειδή i < 0 είναι ˆ i l i is < 0. ls Απόδειξη της (3.4.5). Επειδή 1,j i Î i I i I ij 1, j Î I έχουμε lj ij is ls lj ij is ls i I lj ls Λήμμα 3.4.3. Αν το τωρινό tleu Simplex ικανοποιεί τις ιδιότητες (3.4.1) και (3.4.2) και μια τύπου Α περιστροφή εφαρμόζεται, τότε και το επόμενο tleu ικανοποιεί τις συνθήκες (3.4.1) και (3.4.2). Απόδειξη Από το Λήμμα 3.4.2 και τα αποτελέσματα του Pprrizos (1993) η απόδειξη είναι προφανής. Απόδειξη ιδιότητας (3.4.1). Έστω ότι υπάρχει δείκτης j Ĵ 0 τέτοιος ώστε 0 j > 0. Τότε οι σχέσεις m + 1, s < 0 και 0 j > 0 δίνουν τη σχέση 0 > 0 j ( 0 j 0s lj / ls )

80 Κεφάλαιο 3 Ένας Δικριτήριος Αλγόριθμος Simplex από την οποία προκύπτει ότι 0 j < 0s lj / ls Παρόμοια από τις σχέσεις m + 1, j 0 και 0s 0 έχουμε 0 0 s 1,j 0s ( 1,j lj / ls ) από την οποία προκύπτει ότι 0s m 1,j 0s lj / ls +. Επομένως, ισχύει η σχέση 0s 1,j > 0 j η οποία είναι αδύνατη λόγω της (3.4.3). Απόδειξη της ιδιότητας (3.4.2). Αποδεικνύουμε πρώτα ότι gmin ĝ min. Αν g min > ĝ min, τότε υπάρχει δείκτης j Ĵ τέτοιος ώστε 0s 0 j >. 1, j Επειδή m + 1, s < 0 και m + 1, j < 0 έχουμε 0s 1,j > 0 j Αντικαθιστώντας m + 1, j και 0j

Κεφάλαιο 3 - Ένας Δικριτήριος Αλγόριθμος Simplex 81 (βλέπε Λήμμα 3.4.2) η τελευταία σχέση γράφεται ισοδύναμα 0s 1,j > 0 j αδύνατο. Αποδεικνύουμε τώρα ότι g min ĝ mx. Έστω x q η βασική μεταβλητή που αντιστοιχεί στην γραμμή r l του παρόντα πίνακα Simplex. Τότε + 0 και lq 1. Επομένως 0 q m 1, q 0q 1,q 0s / lq / lq 0s g min. Από τις σχέσεις + 1,q 0, < 0, lq 1 και ls > 0 m συμπεραίνουμε ότι 0 και επομένως ότι q Ĵ. Υποθέτουμε τώρα ότι υπάρχει j Ĵ + τέτοιο ώστε m + 1, q > + 0 j / 1,j gmin 0q / 1,q >. Επειδή είναι έχουμε + 1, j 0 και m +1, q < 0 m > 0 j m 1,q 0q 1,j + <. Αντικαθιστώντας τα

82 Κεφάλαιο 3 Ένας Δικριτήριος Αλγόριθμος Simplex m + 1, j και 0j η τελευταία ανισότητα γράφεται ισοδύναμα σαν 0s m 1,j 0 j + >. Η τελευταία ανισότητα δεν ισχύει λόγω της (3.4.3) του λήμματος 3.4.1. Στρέφουμε τώρα την προσοχή μας στις Περιστροφές Τύπου Α. Λήμμα 3.4.4. Αν μια περιστροφή τύπου Α εφαρμόζεται στο παρόντα tleu Simplex τότε Î I {k} (3.4.6) Απόδειξη. Για το δείκτη k έχουμε < 0 και k < 0. Άρα ˆ / 0. Θεωρούμε τους δείκτες i I - και i k. Αν is < 0 τότε k k > ˆ i < 0 και από την επιλογή του k έχουμε k < i is και επομένως (επειδή is < 0 ) ˆ k i i is < 0 Αν is 0, τότε επειδή i < 0,

Κεφάλαιο 3 - Ένας Δικριτήριος Αλγόριθμος Simplex 83 < 0 και k < 0 έχουμε k is 0 και επομένως ˆ k i is 0. i < Θεωρούμε τώρα τους δείκτες i I +. Αν is > 0 τότε από τον τύπο περιστροφής έχουμε k i is και άρα (επειδή is > 0 ) ˆ i k i is 0. Αν is 0 τότε k is 0 Επειδή είναι και i 0 έχουμε

84 Κεφάλαιο 3 Ένας Δικριτήριος Αλγόριθμος Simplex ˆ i k i is 0. Άρα η σχέση (3.4.6) αποδείχτηκε. Λήμμα 3.4.5. Αν μια τύπου Α περιστροφή εφαρμόζεται στο παρόντα tleu Simplex, τότε kj, j μη βασικό. 1,j 1,j Λύση. Θέτουμε ~ 1,j 1,j kj για κάθε j. Επειδή Î I {k} (από το λήμμα 3.4.4) έχουμε ~ ~ 1,j 1,j kj 1, j kj ( ) kj kj + m 1, j kj kj m + 1, j kj.

Κεφάλαιο 3 - Ένας Δικριτήριος Αλγόριθμος Simplex 85 Λήμμα 3.4.6. Αν το τωρινό tleu Simplex ικανοποιεί τις ιδιότητες (3.4.1) και (3.4.2) και μια τύπου Α περιστροφή εφαρμόζεται τότε και το επόμενο tleu Simplex ικανοποιεί τις ιδιότητες (3.4.1) και (3.4.2). Απόδειξη της ιδιότητας (3.4.1). Από τις σχέσεις του λήμματος 3.4.5 συμπεραίνουμε εύκολα ότι η απόδειξη είναι όμοια με την απόδειξη της περίπτωσης των περιστροφών τύπου Β. Απόδειξη της ιδιότητας (3.4.2). Αποδεικνύουμε πρώτα ότι gmin ĝ min Θέτουμε ĝ min 0q 1,q. Αν q B k η απόδειξη είναι ίδια με αυτή του λήμματος 3.4.3. Επομένως, υποθέτουμε ότι q B k. Τότε m 1,q 1 / < 0 + και 0q 0s /. Αν 0s 0q g min > 1,q ĝ min, τότε ισχύουν οι ισοδύναμες ανισότητες 0s 1,q > 0q ή 0s (1 / ) > ( 0s / )

86 Κεφάλαιο 3 Ένας Δικριτήριος Αλγόριθμος Simplex ή > 0s 0. Η τελευταία σχέση είναι αδύνατη γιατί 0s 0. Αποδεικνύουμε τώρα ότι Θέτουμε ĝ mx g min ĝ mx 0q 1,q. Αν q B k η απόδειξη είναι ίδια με αυτή του λήμματος 3.4.3. Υποθέτουμε ότι q B k. Αν ĝ mx > g min τότε ισχύει η σχέση 0s 1,q > 0q η οποία αποδείξαμε ήδη ότι είναι αδύνατη. Θεώρημα 3.4.7. (α) Αν ο αλγόριθμος σταματήσει στο Βήμα 1 τότε η τελευταία λύση είναι βέλτιστη. (β) Αν ο αλγόριθμος σταματήσει στο Βήμα 2 το πρόβλημα P είναι αδύνατο. Απόδειξη. (α) Από τα Λήμματα 3.4.6 και 3.4.3 συμπεραίνουμε ότι το προτελευταίο tleu Simplex ικανοποιεί τις ιδιότητες (3.4.1) και (3.4.2). Λόγω του Λήμματος 3.4.4 και των σχέσεων (3.4.6) συμπεραίνουμε ότι

Κεφάλαιο 3 - Ένας Δικριτήριος Αλγόριθμος Simplex 87 kj m + 1, j, j 1, 2,..., n, όπου ( A, ) είναι το προτελευταίο tleu Simplex. Επομένως, στο προτελευταίο tleu εφαρμόζεται μια τύπου Α περιστροφή η οποία καταλήγει στο τελευταίο tleu Simplex, το οποίο ικανοποιεί τις συνθήκες δυϊκής εφικτότητας. Επειδή στο τελευταίο tleu Simplex δεν υπάρχει ˆ i < 0, η τελευταία λύση είναι εφικτή στο πρόβλημα P. Επομένως, η τελευταία λύση είναι βέλτιστη. (β) Έστω ( A, ) το τελευταίο tleu Simplex. Επειδή ο αλγόριθμος σταμάτησε στο βήμα 2 έχουμε. Αν θέσουμε Î F Bi I x B(i) όπου x B(i) είναι βασική μεταβλητή που αντιστοιχεί στη γραμμή i του τελευταίου tleu είναι εύκολο να δούμε ότι το γραμμικό πρόβλημα mx F μ.π. Ax x 0 έχει βέλτιστη λύση με αντίστοιχη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης αρνητική. Επομένως το πρόβλημα είναι αδύνατο. Θεώρημα 3.4.8. Αν κάθε βασική λύση του προβλήματος P είναι μη εκφυλισμένη (δηλ. i 0 για κάθε tleu Simplex και για κάθε i) ο αλγόριθμος σταματά μετά από πεπερασμένο αριθμό επαναλήψεων. Απόδειξη. Λόγω των συνθηκών μη εκφυλιστικότητας μπορεί να αποδειχτεί εύκολα ότι αν μια τύπου Β περιστροφή εφαρμόζεται στο παρόντα tleu τότε ˆ 1 > 1. Επομένως κανένα tleu Simplex δεν επαναλαμβάνεται κατά τη διάρκεια των περιστροφών τύπου Β. Επειδή σε κάθε περιστροφή τύπου Α ο πληθικός αριθμός του συνόλου Ι - ελαττώνεται κατά μια μονάδα, κανένα tleu Simplex δεν επαναλαμβάνεται. Επομένως,

88 Κεφάλαιο 3 Ένας Δικριτήριος Αλγόριθμος Simplex ο αλγόριθμος σταματά μετά από πεπερασμένο αριθμό επαναλήψεων, αφού το πλήθος των διαφορετικών βασικών λύσεων (εφικτών και μη) είναι πεπερασμένο. Είναι αξιοσημείωτο το γεγονός ότι η σύγκλιση του δυϊκού αλγορίθμου στηρίζεται στην μη εκφυλιστικότητα των βασικών λύσεων του πρωτεύοντος προβλήματος. Συνθήκες μη εκφυλιστικότητας στο δυϊκό πρόβλημα δεν είναι αρκετές για τη σύγκλιση του αλγορίθμου.