2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ."

Transcript

1 Κατηγορία η Εύρεση μονοτονίας Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ.. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ και η ισότητα f( ) ισχύει για διακεκριμένα σημεία του Δ δηλαδή για πεπερασμένα ή άπειρα που δεν σχηματίζουν όμως διάστημα τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ και η ισότητα f( ) ισχύει για διακεκριμένα σημεία του Δ δηλαδή για πεπερασμένα ή άπειρα που δεν σχηματίζουν όμως διάστημα τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ. 9. Να αποδείξετε ότι: 3 α) η συνάρτηση f e είναι γνησίως αύξουσα στο, β) η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα στο,. ΛΥΣΗ 3 α) Η συνάρτηση συναρτήσεων. f e είναι συνεχής στο, ως πράξεις μεταξύ συνεχών 77

2 Επίσης για κάθε ισχύει: f e e Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο. 3 ' ' 3 β) Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο συναρτήσεων. Επίσης για κάθε, ισχύει: f ' ' Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο,.,, ως πράξεις μεταξύ συνεχών 9. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις παρακάτω συναρτήσεις: f 3 5 β) f 5 α) ΛΥΣΗ f 3 5 είναι συνεχής στο και για κάθε ισχύει: α) Η f ' 3 5 ' Επίσης παρατηρούμε ότι: f ' 5 ή f ' για κάθε και η ισότητα 5 Δηλαδή ισχύει f ' ισχύει για τα διακεκριμένα σημεία και. Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο. β) Η f 5 είναι συνεχής στο και για κάθε ισχύει ότι: f ' 5 ' Επίσης παρατηρούμε ότι: f ', f ' για κάθε και η ισότητα Δηλαδή ισχύει f ' ισχύει για τα άπειρα αλλά διακεκριμένα σημεία,. Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο. Τρόπος αντιμετώπισης: 3. Αν δεν ξέρουμε τον τύπο της f τότε χρησιμοποιώντας τις σχέσεις που μας δίνουν ως δεδομένα καταλήγουμε στο f( ) ή στο f( ). 78

3 9.3 Δίνεται συνάρτηση f : τύπο g f ώστε να ισχύει g f παραγωγίσιμη στο, καθώς και συνάρτηση g με ' για κάθε. Να εξετάσετε την συνάρτηση g ως προς τη μονοτονία. ΛΥΣΗ f f ' Είναι g' για κάθε. f Όμως g f ' f ' f ' f f ό f f f ' για κάθε. Δηλαδή g' για κάθε, επομένως g γνησίως φθίνουσα στο. 9.4 Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο για την οποία υποθέτουμε ότι: 3 f f e 3, Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο. ΛΥΣΗ Με παραγωγίση έχουμε: f ' f f ' e f ' f e Αν Αν e e e f ' f e. άρα άρα e e e e. Συνεπώς από την είναι φανερό ότι: άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο. f ' για κάθε e Τρόπος αντιμετώπισης: 4. Στις περισσότερες ασκήσεις όμως το f ( ) δεν διατηρεί πρόσημο άρα και η συνάρτηση f δεν διατηρεί μονοτονία. Οπότε για να μελετήσουμε μια συνάρτηση ως προς την μονοτονία κάνουμε τα παρακάτω: Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της f. Εξετάζουμε την f ως προς την συνέχεια. 79

4 Βρίσκουμε την f και λύνουμε την εξίσωση f( ). Φτιάχνουμε πίνακα με το πρόσημο της f στον οποίο τοποθετούμε το πεδίο ορισμού της f, τις ρίζες της f τα σημεία που δεν είναι συνεχής η f και αν είναι πολύκλαδη εκεί που αλλάζει ο τύπος. Το πρόσημο της f το βρίσκουμε λύνοντας τις ανισώσεις f( ), f( ) ή με την μέθοδο της επιλεγμένης τιμής. 9.5 Να βρεθούν τα διαστήματα μονοτονίας των συναρτήσεων: 3 α) f 6 3. β) f. ln ΛΥΣΗ α) Είναι f και η f είναι συνεχής σε όλο το πεδίο ορισμού της. Η f είναι παραγωγίσιμη με f Είναι ' 3 6. f ' 3 6. Το πρόσημο της f ' δίνεται στον παρακάτω πίνακα: f f ' Επομένως η συνάρτηση f : Είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα,, ισχύει f ' στα διαστήματα, Είναι γνησίως φθίνουσα στο,,,,. f ' στο, και. αφού είναι συνεχής και β) Πρέπει ln ορισμού της. Η f είναι παραγωγίσιμη με άρα,, f ' και η f είναι συνεχής σε όλο το πεδίο f ln ln ln ln 8

5 ln Είναι f ' ln ln ln e ln Το πρόσημο της f ' δίνεται από τον παρακάτω πίνακα: e ' f f Επομένως η συνάρτηση f : Είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα,,, e αφού είναι συνεχής και ισχύει f ' στα διαστήματα,,, e. Είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα στο διάστημα e,. e, αφού είναι συνεχής και ισχύει e 9.6 Να μελετηθεί η μονοτονία της συνάρτησης: f. f ' ΛΥΣΗ Η f έχει πεδίο ορισμού το και είναι συνεχής σε όλο το πεδίο ορισμού της. f ' Οπότε είναι: 4 3 e e e e ' f, για κάθε. Όμως, έχουμε: e 3 f ' 3 3 f '.. Επομένως έχουμε τον παρακάτω πίνακα προσήμων της f ': f ' + - f Επομένως η f, είναι γνησίως αύξουσα στο, και γνησίως φθίνουσα στο,. 8

6 Τρόπος αντιμετώπισης: 5. Στις πολύκλαδες συναρτήσεις στα σημεία που αλλάζει ο τύπος και στα κλειστά άκρα του πεδίου ορισμού πρέπει να εξετάζουμε την συνέχεια. Όμως δεν χρειάζεται να εξετάσουμε την παραγωγισιμότητα αφού χρειάζεται να είναι παραγωγίσιμη η συνάρτηση στο εσωτερικό του διαστήματος. στα διαστήματα 6. Αν για μια συνάρτηση f ισχύει f ( ),, και στο είναι συνεχής τότε η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο,,. Αν όμως δεν είναι συνεχής στο τότε είναι γνησίως αύξουσα στο,, είναι γνησίως αύξουσα στο, αλλά σε όλο το,, δεν ξέρουμε αν είναι. 9.7 Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση: f. ΛΥΣΗ Η συνάρτηση f, έχει πεδίο ορισμού το,, είναι συνεχής με f για κάθε,., Επομένως, η f είναι γνησίως αύξουσα στο ', 9.8 Να βρεθούν τα διαστήματα μονοτονίας των συναρτήσεων: α), f ln, β) e e, f. ln, ΛΥΣΗ α) Εξετάζουμε τη συνέχεια στο. Είναι lim f lim lim f lim ln και, lim f lim f f, οπότε f συνεχής στο. Βρίσκουμε την παράγωγο της f στα, και,. f άρα 8

7 Για, έχουμε f ' f ' δεκτή. Για Κατασκευάζουμε τον πίνακα προσήμου της, έχουμε f ' και f ' για κάθε, f ' f ' f Άρα η f είναι γνήσια φθίνουσα στο, επειδή είναι συνεχής στο, η f είναι γνήσια αύξουσα στο,. β) Μελετούμε τη συνέχεια στο, f ee lim f lim e e e e και f άρα συνεχής στο. Παραγωγισιμότητα στα, και,. Για f ' e e ' e e., έχουμε και γνήσια αύξουσα στα, και lim lim ln ln, και f ' e e e e απορρίπτεται (δεν γνωρίζουμε αν η f είναι παραγωγίσιμη στο ) Για f ' ln ln, έχουμε ln ln f ' ln απορρίπτεται ή Κατασκευάζουμε τον πίνακα προσήμου της e f '. ln e απορρίπτεται. e e - ln + f ' - + f 83

8 Οπότε η f είναι γνήσια φθίνουσα στο,,. και γνήσια αύξουσα στο 9.9 Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση: ln, f, e,. ΛΥΣΗ Η f δεν είναι συνεχής στο, αφού: lim f lim ln f (κανόνας Hospital): και lim f lim e f. Όμως η f είναι συνεχής στο διάστημα Παραγωγισιμότητα στα Για, έχουμε ' f ' αδύνατη. Για, έχουμε, και,. f e. f ' ln. f ' ln e., και στο, Κατασκευάζουμε τον πίνακα προσήμου της f '. e f ' f Από τη συνέχεια της f και τον παραπάνω πίνακα, έχουμε ότι: Η f, είναι γνησίως φθίνουσα στο, και στο ενώ στο, δεν είναι συνεχής).,e, (η f είναι συνεχής στο,e, Ακόμα η f είναι γνησίως αύξουσα στο e,. 84

9 Κατηγορία η Πρόσημο συνάρτησης Τρόπος αντιμετώπισης: Για να βρούμε το πρόσημο μιας συνάρτησης τότε. Λύνουμε την f ή την f κάνοντας παραγοντοποιήσεις, Horner κ.τ.λ. αν ο παραπάνω τρόπος δεν μπορεί να εφαρμοσθεί τότε επιλέγουμε τον επόμενο τρόπο.. Βρίσκουμε την μονοτονία της συνάρτησης f Βρίσκουμε μια ρίζα ρ της f Αποδεικνύουμε ότι αυτή η ρίζα ρ είναι μοναδική Παίρνουμε > ρ και < ρ και αν η f είναι γνησίως αύξουσα τότε έχουμε f f αν > ρ και f f αν < ρ αν η f είναι γνησίως φθίνουσα τότε έχουμε f f αν > ρ και f f αν < ρ Οπότε βρίσκουμε το πρόσημο της συνάρτησης 9. Δίνεται η συνάρτηση ΛΥΣΗ f e 3. Βρείτε το πρόσημο της f. Η f έχει πεδίο ορισμού το είναι συνεχής με Οπότε, η f είναι γνησίως αύξουσα. f ' e, για κάθε. Επειδή f, το είναι ρίζα της f και αφού είναι γνησίως αύξουσα, το είναι μοναδική ρίζα της f και για για είναι f f είναι f f Άρα το πρόσημο της συνάρτησης φαίνεται στο παρακάτω πίνακα. f

10 9. Έστω μια συνάρτηση f :, με f f στο, και f '' για κάθε, ', η f ' είναι συνεχής. Να βρείτε το πρόσημο της f. ΛΥΣΗ Επειδή η f ' είναι συνεχής στο, και ισχύει f ' είναι γνησίως αύξουσα στο,. f '', για κάθε,, έχουμε ότι η Το είναι ρίζα της f ' και επειδή η f ' είναι γνησίως αύξουσα στο, είναι μοναδική ρίζα οπότε έχουμε: άρα f ' f ' ( > β δεν παίρνουμε γιατί είναι εκτός του πεδίου ορισμού) και επειδή η f είναι συνεχής στο, έχουμε f είναι γνησίως αύξουσα στο,. Οπότε για ορισμού). έχουμε f f ( < α δεν παίρνουμε γιατί είναι εκτός του πεδίου Τρόπος αντιμετώπισης: 3. Για να βρούμε την μονοτονία της συνάρτησης f πρέπει να λύσουμε την εξίσωση f( ) και να βρούμε το πρόσημο της f ( ). Αυτό πάντοτε δεν είναι εφικτό με τους κλασικούς τρόπους. Στις περιπτώσεις αυτές χρησιμοποιούμε την μεθοδολογία που περιγράψαμε στις δύο παραπάνω ασκήσεις. 9. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις παρακάτω συναρτήσεις: f 4 ln α) f e β) f 6 ln 3 6 γ) 3 ΛΥΣΗ α) Η f έχει πεδίο ορισμού το, είναι συνεχής με f ' 4ln ' 4 4 ln 44ln 34ln 86

11 Παρατηρούμε ότι δεν μπορούμε να βρούμε τις ρίζες και να προσδιορίσουμε το πρόσημο της: f ' 34ln Γι' αυτό βρίσκουμε τη δεύτερη παράγωγο. Για κάθε ισχύει ότι: f '' 3 4ln ' 4 Δηλαδή είναι,, άρα η f ' είναι γνησίως φθίνουσα. f '' για κάθε Επίσης παρατηρούμε ότι: f ' 34ln 34 άρα το είναι ρίζα και μάλιστα μοναδική αφού η f ' είναι γνησίως φθίνουσα. Άρα έχουμε: f ' f ' f ' f f f ' ' ' Τα παραπάνω συμπεράσματα, καθώς και η μονοτονία της f φαίνονται στον επόμενο πίνακα. e f '' - - ' f + - f β) Η f έχει πεδίο ορισμού το είναι συνεχής με f ' e ' e Παρατηρούμε ότι δεν μπορούμε να προσδιορίσουμε το πρόσημο της: f ' Γι' αυτό βρίσκουμε τη δεύτερη παράγωγο. Για κάθε ισχύει ότι: f '' e ' e Τις ρίζες και το πρόσημο της f '' μπορούμε να τα βρούμε. Έχουμε: f '' e e f '' e e e e f ''... 87

12 Άρα η f ' είναι γνησίως φθίνουσα στο Άρα έχουμε: f ' f f f ' ' ' f ' f f f ' ' ' Οπότε ισχύει ότι, f ' για κάθε,,, θα είναι γνησίως αύξουσα στο. και γνησίως αύξουσα στο Τα παραπάνω συμπεράσματα φαίνονται στον επόμενο πίνακα.,. και επειδή η f είναι συνεχής στο f '' - + f ' + + f γ) Η f έχει πεδίο ορισμού το, είναι συνεχής με 3 f ' 6 ln 3 6 ' ln ln ln 6 6 Για κάθε, έχουμε: f '' ln6 6 ' ln ln Πρέπει να βρούμε και την τρίτη παράγωγο γιατί δεν μπορούμε να βρούμε ρίζες και μονοτονία της f ''. ''' ln '. Για κάθε, έχουμε: f Εργαζόμαστε όπως στα προηγούμενα ερωτήματα και βρίσκουμε τα πρόσημα των f ''', f '' και f ', τα οποία, μαζί με τη μονοτονία της f, φαίνονται συνοπτικά στο παρακάτω πίνακα: f ''' + - f '' - - f ' + - f 88

13 Τρόπος αντιμετώπισης: 4. Για να βρούμε την μονοτονία της συνάρτησης f πρέπει να λύσουμε την εξίσωση f( ) και να βρούμε το πρόσημο της f ( ). Αυτό πάντοτε δεν είναι εφικτό οπότε με την προηγούμενη μεθοδολογία βρίσκουμε την δεύτερη παράγωγο. Όμως η δεύτερη παράγωγος είναι συνθετότερη της πρώτης. Σε αυτήν την περίπτωση παίρνω ένα κομμάτι της πρώτης παραγώγου (αυτό που δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο) και το παραγωγίζω και βρίσκω το πρόσημο του. 9.3 Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση ln ΛΥΣΗ ln Η f έχει πεδίο ορισμού το D f,, και είναι συνεχής σε αυτό με ln ln ln ' ' f Δεν μπορούμε να προσδιορίσουμε το πρόσημο της f ' και αν βρούμε την f '', διαπιστώνουμε ότι είναι ακόμα πιο σύνθετη. Παρατηρούμε όμως ότι για,, ισχύει ότι: άρα το πρόσημο της f. f ' καθορίζεται από το πρόσημο της παράστασης ln. Θεωρούμε λοιπόν τη συνάρτηση: g ln, με, Για κάθε, είναι: g' ln ' ln ln Το πρόσημο της g ' και η μονοτονία της g φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. g g g g g g' + - g g g g Άρα για κάθε, είναι, g, άρα για κάθε,, f '. Επομένως η f είναι γνησίως φθίνουσα στο, και στο,. 89 είναι

14 Κατηγορία 3 η Παραμετρικές Τρόπος αντιμετώπισης: Για να βρούμε την τιμή μιας παραμέτρου κ ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα Δ απαιτούμε f ή f. Βέβαια η f ( ) πρέπει να μηδενίζεται για διακεκριμένα σημεία του Δ δηλαδή για πεπερασμένα ή άπειρα που δεν σχηματίζουν όμως διάστημα Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο. f ΛΥΣΗ Η f είναι ορισμένη και συνεχής στο ως πολυωνυμική και είναι με 36 3 f ' 3 6. Αν 3 f ' για κάθε αφού. Άρα για 3 η f είναι γνησίως αύξουσα στο., τότε Αν 3, τότε 6 f ' και 8 3 f ' για κάθε. 3 Άρα η f γνησίως αύξουσα στο. Αν 3, τότε η f ' έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες και η πρόσημο εκατέρωθεν των ριζών οπότε η f δεν είναι γνησίως αύξουσα στο. f ' αλλάζει Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο αν 3. 9

15 Κατηγορία 4 η Επίλυση εξισώσεων εύρεση ριζών Τρόπος αντιμετώπισης:. Για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση έχει μοναδική λύση Φέρνουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος Θέτουμε το πρώτο μέλος ως f Βρίσκουμε μια ρίζα της f με τους γνωστούς τρόπους (προφανής ρίζα, σύνολο τιμών, Βolzano ). Aποδεικνύουμε ότι η f είναι γνησίως μονότονη άρα η ρίζα που βρήκαμε είναι μοναδική. 9.5 Δίνεται η συνάρτηση 3 α) Να βρείτε τη μονοτονία της f στο, f 3. β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f στο,. γ) Αν ΛΥΣΗ , δείξτε ότι η εξίσωση f έχει ακριβώς μία ρίζα στο, α) Η f έχει πεδίο ορισμού το είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο με f ' 3 3. Το πρόσημο της f φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: - f ' f Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο,. β) Το σύνολο τιμών της f στο, είναι το f, f, f 6 3,6 3. 9

16 6 6 γ) Αν, τότε 6 3 6, δηλαδή 6 3 και οπότε: 63,6 3 και επομένως η f έχει ακριβώς μία ρίζα,, αφού η f είναι γνήσια αύξουσα στο,. 9.6 Να λυθεί η εξίσωση. ΛΥΣΗ Έχουμε. Θεωρούμε τη συνάρτηση f. Προφανής ρίζα το αφού ισχύει f. Επιπλέον, είναι f ',, οπότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο και επομένως η ρίζα είναι μοναδική. 9.7 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 3 3e 3 3 έχει μοναδική λύση, η οποία ανήκει στο διάστημα,. ΛΥΣΗ Με η εξίσωση ισοδύναμα γίνεται: e 3 3 3e Θεωρούμε τη συνάρτηση: f 3e 3 3, με Ισχύουν τα εξής: Η f είναι συνεχής στο,. 3 f 7 και f 3, e f f. άρα, Σύμφωνα με το θεώρημα Bolzanoη εξίσωση f έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο, Μελετάμε την f ως προς τη μονοτονία. Για κάθε είναι: 3 e e f ' 3e 3 3 ' 3e Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο Επομένως η εξίσωση f, άρα και η αρχική, έχει μοναδική ρίζα στο, η οποία ανήκει στο διάστημα,. 9

17 9.8 Δείξτε ότι η εξίσωση e ΛΥΣΗ Τρόπος αντιμετώπισης:. Έστω μια εξίσωση της μορφής f με ρ μια ρίζα της και η συνάρτηση f δεν διατηρεί μονοτονία. Μπορούμε να δείξουμε ότι η ρίζα ρ είναι μοναδική αρκεί η μονοτονία της f να αλλάζει μόνο στο ρ. έχει ακριβώς μία ρίζα. Θεωρούμε την συνάρτηση f e. Ισχύει f, δηλαδή η εξίσωση έχει ρίζα την. Είναι f ' e, για κάθε και f ' e. Το πρόσημο της f ' φαίνεται στον πίνακα: f ' - + f Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο f, Για κάθε f f f, άρα η f f Για κάθε f f f, άρα η f Επομένως, η και γνησίως αύξουσα στο,. δεν έχει θετική ρίζα. δεν έχει αρνητική ρίζα. είναι η μοναδική ρίζα της εξίσωσης f e. Τρόπος αντιμετώπισης: 3. Σε μερικές ασκήσεις θέτουμε το πρώτο μέλος ως f αλλά δεν μπορούμε να βρούμε το πρόσημο της f ' δηλαδή την μονοτονία της f. Στην περίπτωση αυτή πρώτα μετασχηματίζουμε την αρχική εξίσωση και μετά θέτουμε το πρώτο μέλος ως f. 93

18 9.9 Να λυθεί η εξίσωση ΛΥΣΗ e e e Με μια πρώτη προσπάθεια διαπιστώνουμε ότι θεωρώντας τη συνάρτηση: f e e e δεν οδηγούμαστε σε λύση, διότι αντιμετωπίζουμε πρόβλημα με το πρόσημο των f ', f '' κ.λπ. Για τον λόγο αυτό μετασχηματίζουμε την εξίσωση, ενέργεια που κάνουμε συχνά σε παρόμοιες περιπτώσεις. Η εξίσωση e e e γράφεται ισοδύναμα: e e Θεωρούμε τη συνάρτηση: f e, Παρατηρούμε ότι f, οπότε η είναι ρίζα της f. Είναι: f ' e και f ' e Το πρόσημο της f ' φαίνεται στον πίνακα: f ' - + f Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο, και γνησίως αύξουσα στο,. Για κάθε f f f. Άρα η f δεν έχει ρίζα στο,. Για κάθε f f f. Άρα η f δεν έχει ρίζα στο,. Επομένως η f έχει μοναδική ρίζα τη, αφού f και. f για κάθε Τρόπος αντιμετώπισης: 4. Φέρνουμε την εξίσωση στην μορφή f(κ()) = f(λ()). Αποδεικνύουμε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη άρα και - Οπότε η f(κ()) = f(λ()) γίνεται κ() = λ(). 94

19 9. Να λύσετε τις εξισώσεις: e e β) ln,, α) ln ΛΥΣΗ α) Για κάθε έχουμε: e ln e e ln e Έστω η συνάρτηση ln f e e, Έχουμε f ' e, για κάθε Άρα f είναι γνησίως αύξουσα οπότε η f είναι. Η f γράφεται ισοδύναμα : f f β) Για κάθε, έχουμε: ln ln ln ln ln ln Θεωρούμε τη συνάρτηση f ln,. Για κάθε είναι f ' Άρα f είναι γνησίως αύξουσα οπότε η f είναι. f, Η γράφεται ισοδύναμα f f : 4 ύ,. 95

20 Τρόπος αντιμετώπισης: 5. Ένας από τους τρόπους για να βρούμε το πλήθος των ριζών μιας εξίσωσης είναι ο ακόλουθος: Φέρνουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος Θέτουμε το πρώτο μέλος ως f Μελετάμε την f ως προς την μονοτονία και βρίσκουμε τα διαστήματα που η f διατηρεί μονοτονία. Βρίσκουμε το σύνολο τιμών για καθένα από τα παραπάνω διαστήματα. Ελέγχουμε για κάθε σύνολο τιμών αν περιέχει το. Εφόσον το περιέχει σε εκείνο το διάστημα η ρίζα είναι μοναδική αφού η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη. Αν δεν το περιέχει τότε σε εκείνο το διάστημα η συνάρτηση δεν έχει ρίζα. 9. Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης 3 ΛΥΣΗ Θεωρούμε την συνάρτηση 3 f 3. Για κάθε είναι: f ' Το πρόσημο της f ' φαίνεται στον πίνακα: Η f είναι γνησίως αύξουσα στο, lim, lim f f f Είναι δηλαδή,,3,, οπότε το σύνολο τιμών της στο,. lim f lim 3 3 lim 3 και f lim 3 f και επειδή,3 η, αφού είναι γνησίως αύξουσα. Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο, οπότε έχει σύνολο τιμών το,,, 3 f f f - ' f f 96 είναι: f έχει μοναδική ρίζα

21 και επειδή,3 η f έχει μοναδική ρίζα φθίνουσα. Η f είναι στο,, οπότε έχει σύνολο τιμών f, lim f, lim f Είναι Άρα f,,, αφού είναι γνησίως. lim f lim 3 3 lim 3. και lim f και αφού,, η f έχει μοναδική ρίζα αύξουσα. Επομένως, η εξίσωση f έχει ακριβώς 3 ρίζες. 9. Δίνεται η συνάρτηση f. α) Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία. β) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της f. γ) Βρείτε πόσες ρίζες έχει η συνάρτηση f. ΛΥΣΗ α) Η f έχει πεδίο ορισμού το. Είναι: f ' ' f ' ή 3,, αφού f γνησίως Το πρόσημο της f ' βρίσκεται με τη μέθοδο της επιλεγμένης τιμής (ή με πρόσημο τριωνύμου) και φαίνεται στον πίνακα. Έτσι, η f είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα διαστήματα,,,.,, β) Η f είναι συνεχής και γνησίως μονότονη στα διαστήματα, και 4,. f ' f Θα βρούμε τα f, f, f 3, f 4. Είναι:, και γνησίως φθίνουσα στα,,, 3, 97

22 lim,, f f f lim f lim και f lim, lim, f f f lim f και lim f lim f 3, lim f lim και lim f f 4, f και f lim lim Επομένως το σύνολο τιμών f της f είναι: f f f f f 3 4,, γ) Επειδή το δεν ανήκει σε κανένα από τα f, f, f 3, 4 ρίζες. f η f δεν έχει Κατηγορία 5 η Μονοτονία και αντίστροφη Τρόπος αντιμετώπισης:. Μια συνάρτηση που είναι γνησίως μονότονη είναι - άρα και αντιστρέψιμη.. Το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο τιμών της f. e 9.3 Δίνεται η συνάρτηση f ln e α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. 98

23 γ) Να δείξετε ότι η f είναι και μετά να βρείτε την αντίστροφή της. ΛΥΣΗ α) Η f ορίζεται, όταν Άρα, η f έχει πεδίο ορισμού το Βρίσκουμε ότι: e e e e, e f ', για κάθε. e e Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο. β) Έχουμε ότι η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο. Οπότε f lim f, lim f Είναι: e e e lim, οπότε lim ln e e e e e e lim lim lim e οπότε e e e e Άρα f,. e lim ln ln. e γ) Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα είναι και άρα και αντιστρέψιμη. Οπότε ορίζεται η f : f Για κάθε y f, έχουμε e e y y y f y ln y e e e e e e e y y y e e e e e, y e Άρα ln y e f y ή y e f ln, e e 99

24 Κατηγορία 6 η Επίλυση ανισώσεων - ανισοτήτων Τρόπος αντιμετώπισης:. Για να λύσουμε μια ανίσωση δηλαδή για να βρούμε τις τιμές των ώστε να ισχύει μια ανισωτική σχέση κάνουμε τα παρακάτω: Φέρνουμε την ανίσωση στην μορφή f(κ()) > f(λ()). Βρίσκουμε την μονοτονία της συνάρτηση f. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα τότε η f(κ()) > f(λ()) γίνεται κ() > λ(). Ενώ αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα τότε η f(κ()) < f(λ()) γίνεται κ() < λ(). 9.4 Δίνεται η συνάρτηση f. α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία. β) Να λύσετε τις ανισώσεις: i) ii) ΛΥΣΗ α) Η f έχει πεδίο ορισμού το ισχύει ότι: f ' ' Η ισότητα f ' ισχύει όταν:, δηλαδή σε διακεκριμένα σημεία. Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο. β) i) Με, η ανίσωση ισοδύναμα γίνεται: f f f ii) Με, η ανίσωση ισοδύναμα γίνεται: f f f ή 3

25 9.5 Να λυθεί η ανίσωση Πότε ισχύει η ισότητα; ΛΥΣΗ Επειδή 3 3, a., η ανίσωση γράφεται: Θεωρούμε τη συνάρτηση: Είναι: () f, f ' ln για κάθε, διότι ln (αφού ) οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο. Έτσι η σχέση () γράφεται: f f 3,. Η ισότητα ισχύει όταν f f. Επειδή η συνάρτηση f ως γνησίως αύξουσα, είναι -, αυτό θα συμβαίνει, αν και μόνο αν: ή. ln 9.6 Δίνεται η συνάρτηση f. α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού Α της f. β) Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία. γ) Αν ή, να αποδείξετε ότι ln ln ln. ΛΥΣΗ α) Πρέπει και, οπότε,,. β) Για κάθε είναι: ln ln ln f ' Εδώ συναντάμε την πρώτη δυσκολία, διότι δεν μπορούμε να λύσουμε την εξίσωση Ωστόσο, αν θέσουμε g ln, τότε: g και g' Όπως δείχνει ο πίνακας της μονοτονίας της g, η g είναι θετική στο Α. f '.

26 Αλλά f ' g και επομένως Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα f ' για κάθε.,,,. γ) Προσπαθούμε αρχικά να βρούμε τι σχέση έχει η δοσμένη ανισότητα με την f. Η ανισότητα γράφεται: ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln f f (). (Αν και διότι πάλι g - + ' g + + )., τότε. Αν και, τότε Όμως σε καθένα από τα,,,, θα ισχύει f f. Ισχύει λοιπόν η σχέση () και έτσι η δοσμένη ανισότητα αποδείχθηκε. 9.7 Δίνεται η συνάρτηση ln f e. α) Να εξετάσετε τη συνάρτηση f ' ως προς τη μονοτονία. η f είναι γνησίως αύξουσα και επειδή β) Να λύσετε την ανίσωση f 4 f 3 f 4 f 4 () ΛΥΣΗ α) Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το,. Είναι f ' e, Άρα η f ' είναι γνησίως αύξουσα. '',. και f e β) Η ανίσωση () ορίζεται σε όλο το και γράφεται ισοδύναμα: 4 4 f f f 4 f 3 ()

27 , t. Θεωρούμε τη συνάρτηση gt f t f t 4 Οπότε η () g g 3 (3), t Είναι g' t f ' t f ' t f και t t είναι f ' t f ' t, για κάθε t. Επειδή ', g, οπότε η (3) 4 4 Επομένως,,,. Άρα,,. 3 Τρόπος αντιμετώπισης:. Για να αποδείξουμε μια ανισότητα ότι ισχύει για κάθε κάνουμε τα παρακάτω: Φέρνουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος Θέτουμε το πρώτο μέλος ως συνάρτηση f. Βρίσκουμε την μονοτονία της συνάρτηση f. Παίρνουμε > ρ και < ρ και αν η f είναι γνησίως αύξουσα τότε έχουμε f f αν > ρ και f f αν < ρ αν η f είναι γνησίως φθίνουσα τότε έχουμε f f αν > ρ και f f αν < ρ Το ρ είναι κατάλληλος αριθμός για να αποδειχθεί η ανισότητα συνήθως είναι η ρίζα της f ή το σημείο αλλαγής της μονοτονίας. 9.8 Να αποδείξετε ότι: α) e για κάθε, β) e για κάθε, ln e για κάθε. γ) ΛΥΣΗ α) Για κάθε, η ανισότητα που πρέπει να αποδείξουμε γίνεται: e e 3

28 Θεωρούμε τη συνάρτηση: f e,, Για κάθε, f ' e ' e Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο,. ισχύει ότι: f Επομένως ισχύει: f f f e e. β) Για κάθε, η ανισότητα που πρέπει να αποδείξουμε γίνεται: e e Θεωρούμε τη συνάρτηση: f e Για κάθε είναι:, με f ' e ' e Έχουμε: f ' e e f ' e e e e f '... Το πρόσημο της f ' και η μονοτονία της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. Παρατηρούμε ότι: f ' - + f Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Η f είναι γνησίως αύξουσα στο, f, άρα: f f f f,, άρα: f f f Άρα για κάθε ισχύει ότι: f e e γ) Για κάθε, η ανισότητα που θέλουμε να αποδείξουμε γίνεται: ln e ln e Θεωρούμε τη συνάρτηση: gln e, με, 4

29 Για κάθε, είναι: ' g e και g'' e Άρα η g ' είναι γνησίως φθίνουσα στο,. Επομένως ισχύει: g ' g' g' g' g' για κάθε Δηλαδή είναι, είναι γνησίως φθίνουσα στο,. Επομένως ισχύει: g και η g είναι συνεχής στο g g ln e ln e,, άρα η g 9.9 Να αποδειχθεί ότι: ln για κάθε ΛΥΣΗ Επειδή ln ln, θεωρούμε τη συνάρτηση: f ln, Είναι: f ' ln ' ln ln f ' ln Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο f f f f f f Άρα f για κάθε., και γνησίως αύξουσα στο Έτσι: f ln ln για κάθε,. Επομένως: 9.3 Να αποδειχθούν οι παρακάτω ανισότητες: e α) e για κάθε β) e για κάθε ΛΥΣΗ α) Η ανισότητα e e γίνεται ισοδύναμα: ln e ln eln ln ln Θεωρούμε τη συνάρτηση ln e e e f,. e 5

30 Παρατηρούμε ότι f e. Είναι: f ' e και f ' e Από τον πίνακα προσήμου της f ' προκύπτει ότι: e f ' + - f η f είναι γνησίως αύξουσα στο,e, οπότε: e f f e f η f είναι γνησίως φθίνουσα στο e,, οπότε: e f f e f Επομένως για κάθε β) Θεωρούμε τη συνάρτηση: Παρατηρούμε ότι ισχύει ότι: ln f. Είναι: f ' e Η εξίσωση e e f e f e, με f ' και f '' έχει μοναδική λύση τη. f '' για οπότε η ' είναι: f '' e για κάθε f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα,. Για f ' f ' f ' οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα,. f f f e e Επομένως: 6

31 Κατηγορία 7 η Θεωρητικές - Συνδυαστικές 9.3 Δίνονται οι συναρτήσεις f, g συνεχείς στο, και παραγωγίσιμες στο,, με f g και f ' g' για κάθε,. Να δείξετε ότι f g για κάθε,. ΛΥΣΗ Αρκεί να δείξουμε ότι f g για, Για αυτό θεωρούμε την h f g,, και την μελετούμε ως προς τη μονοτονία της.., που είναι συνεχής στο διάστημα αυτό Έτσι, είναι h' f ' g', που λόγω της f ' g' είναι h',, οπότε η h είναι γνησίως αύξουσα στο,. Επομένως για, έχουμε h h f g δηλαδή f g, 9.3 Αν για τις συναρτήσεις f, g που είναι παραγωγίσιμες στο διάστημα, ισχύει f ' g',, τότε για κάθε, ισχύει ότι g g f f ΛΥΣΗ Η συνάρτηση h f g στο διάστημα έχει παράγωγο h f g οπότε είναι γνήσια αύξουσα στο διάστημα. Επομένως για κάθε,, με ισχύει h h f f g g ' ' ' ή g g f f Δίνεται η συνάρτηση f : με f '' για κάθε. Να αποδειχθεί ότι αν, τότε ισχύει: f f ' f για κάθε. ΛΥΣΗ Θεωρούμε τη συνάρτηση: g f f ' f, Είναι g' f ' f ' και g f f f '' ' ' ' ''. 7

32 Επομένως η επειδή g ' έχουμε g ' είναι γνησίως φθίνουσα και a άρα g' g' a δηλαδή η g ' είναι θετική στο, a άρα g' < g' a δηλαδή η g ' είναι αρνητική στο,. Συνεπώς η g είναι γνησίως αύξουσα στο, και γνησίως φθίνουσα στο,. Επειδή g θα είναι: a g ga a g ga άρα < άρα < Δηλαδή g g g f f ' f για κάθε και Β τρόπος Για a f f' f f f f ' Από ΘΜΤ για την f στο διάστημα a, έχουμε f f f ' άρα f ' > f ' οπότε Για a f f' f f f f ' Από ΘΜΤ για την f στο διάστημα, a έχουμε f f f ' άρα f ' < f ' οπότε Άρα f f ' f κάθε για 9.34 Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα, f f και f '' για κάθε, να αποδειχθεί ότι:, α) υπάρχει τέτοιο, ώστε β) f για κάθε,. ΛΥΣΗ f ', α) Αφού f f και η f είναι παραγωγίσιμη στο, Rolle, υπάρχει, τέτοιο, ώστε f '. και ισχύουν:, σύμφωνα με το θεώρημα 8

33 β) Η f ' είναι γνησίως αύξουσα στο,, διότι για παίρνουμε f ' f ' και για παίρνουμε f ' f '. f '', οπότε: Συνεπώς η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα, και γνησίως αύξουσα στο διάστημα,, δηλαδή: για είναι f f και για είναι f f. Άρα για κάθε, είναι f. Σύνθετες ασκήσεις 9.35 Να βρεθούν τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης,. ΛΥΣΗ Η f είναι παραγωγίσιμη στο Με,, με ' έχουμε Με, f 3 f για κάθε ισχύει. f ', άρα f στο έχουμε,. f ', άρα f στο,. Τρόπος αντιμετώπισης: Αν μια συνάρτηση f ορίζεται στο σύνολο, όπου και διαστήματα και η f ' έχει το ίδιο πρόσημο για κάθε εσωτερικό σημείο των και, τότε η f είναι γνησίως μονότονη (με το ίδιο είδος μονοτονίας) σε καθένα από τα διαστήματα και. Δεν μπορούμε όμως να βγάλουμε το συμπέρασμα ότι η f είναι γνησίως μονότονη σε όλο το σύνολο. 9

34 . Αν στα διαστήματα,,, η f είναι γνησίως αύξουσα (φθίνουσα) και στο είναι συνεχής τότε η f είναι γνησίως αύξουσα (φθίνουσα) σε όλο το σύνολο,,. Αν στα διαστήματα,,,. δεν είναι συνεχής αλλά lim f lim f η f είναι γνησίως αύξουσα και στο αύξουσα σε όλο το σύνολο,, 3. Αν στα διαστήματα,,, τότε η f είναι γνησίως. δεν είναι συνεχής αλλά lim f lim f η f είναι γνησίως φθίνουσα και στο φθίνουσα σε όλο το σύνολο,, τότε η f είναι γνησίως Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία την συνάρτηση:, 3 f e 3, 3 ΛΥΣΗ Για τη συνάρτηση f e, 3, 3 3 ισχύει ότι: lim lim lim lim 3 και: f e e 3 Άρα η f δεν είναι συνεχής στο 3. Για 3 Για 3 είναι f 3 3 f ' ' και ισχύει είναι f e 3 και ισχύει f ' e 3 ' e 3e e Το πρόσημο της f ' και η μονοτονία της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα.

35 3 ' f f Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο στο 3,.,, γνησίως αύξουσα στο, 3 και γνησίως αύξουσα Επειδή ισχύει ότι lim f lim f η f δεν είναι γνησίως αύξουσα στο 3 3,. Τρόπος αντιμετώπισης: Σε κάποιες θεωρητικές ασκήσεις για να βρούμε το πρόσημο της f πρέπει να χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα μέσης τιμής Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : f είναι γνησίως αύξουσα και g με f. Αν η συνάρτηση f ' με, τότε: α) να βρεθεί η παράγωγος της g ως συνάρτηση των f και f ', β) να αποδειχθεί ότι η g είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα του πεδίου ορισμού της, γ) να εξεταστεί αν η g είναι γνησίως αύξουσα. ΛΥΣΗ α) Η g έχει πεδίο ορισμού το,,. Η g είναι παραγωγίσιμη ως πηλίκο παραγωγίσιμων συναρτήσεων με: f f ' ' ' f g () β) Λόγω της () και επειδή f, μπορούμε να γράψουμε: Αν g' f ' f f, τότε από το Θ.Μ.Τ. για την f στο διάστημα,, υπάρχει, f f ώστε: f ' f f f ' () τέτοιο,

36 Έτσι η σχέση () γίνεται: f ' f ' f ' f ' g' (3) Επειδή και η ' Επειδή ακόμα είναι f είναι γνησίως αύξουσα, θα ισχύει f ' f '., η σχέση (3) δίνει g' για κάθε, Επομένως η g είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα,. Αν., υπάρχει, τέτοιο, ώστε f f f ' f ' f ' f ' f ' () δίνει: g' και έτσι f ' f '. Επειδή, θα είναι Αλλά τώρα είναι,. Επομένως η g είναι γνησίως αύξουσα στο,. γ) Η f είναι παραγωγίσιμη στο, οπότε: δηλαδή lim g lim g f '. και έτσι η σχέση f f lim f ' g' για κάθε Επειδή η g είναι γνησίως αύξουσα στο,, θα είναι: g lim g f ' για κάθε Επειδή η g είναι γνησίως αύξουσα στο, για κάθε Έτσι αν g f ' g Επειδή επιπλέον η g είναι γνησίως αύξουσα στα, θα είναι: g lim g f ', θα είναι, δηλαδή g g,, γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της,,.., συμπεραίνουμε ότι η g είναι

37

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle.

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle. Κατηγορία η Συνθήκες θεωρήματος Rolle Τρόπος αντιμετώπισης:. Για να ισχύει το θεώρημα Rolle για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ) πρέπει:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμοί Μία συνάρτηση f λέγεται: 1 γνησίως αύξουσα σ' ένα υποσύνολο Β του πεδίου ορισμού της όταν για κάθε 1, Β με 1 < ισχύει ότι f( 1 ) < f( ) γνησίως φθίνουσα σ' ένα υποσύνολο Β

Διαβάστε περισσότερα

Συνθήκες Θ.Μ.Τ. Τρόπος αντιμετώπισης: 1. Για να ισχύει το Θ.Μ.Τ. για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, )

Συνθήκες Θ.Μ.Τ. Τρόπος αντιμετώπισης: 1. Για να ισχύει το Θ.Μ.Τ. για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) Κατηγορία η Συνθήκες ΘΜΤ Τρόπος αντιμετώπισης: Για να ισχύει το ΘΜΤ για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ( a) '( ) ) πρέπει: a Η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο Δ και ότι για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής*********

********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής********* ********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής********* 5 Για την δύο φορές παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση ισχύει: e για κάθε R. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της δεν παρουσιάζει σημείο καμπής. Υποθέτουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.

Διαβάστε περισσότερα

2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 49 ΟΡΙΣΜΟΣ 6 4 Πότε μια συνάρτηση λέγεται κυρτή και πότε κοίλη σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Έστω μία συνάρτηση σ υ ν ε χ ή ς σ ένα διάστημα Δ και π α ρ α γ ω γ ί

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 49 ΟΡΙΣΜΟΣ 6 4 Πότε μια συνάρτηση λέγεται κυρτή και πότε κοίλη σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Έστω μία συνάρτηση σ υ ν ε χ ή ς σ ένα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Θεωρούμε μια συνάρτηση f συνεχή σ' ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. α) Θα λέμε ότι η f είναι κυρτή ή στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ, αν η f

Διαβάστε περισσότερα

x είναι f 1 f 0 f κ λ

x είναι f 1 f 0 f κ λ 3 Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ [Κεφάλαια, Μέρος Β' του σχολικού βιβλίου] ΘΕΜΑ Α.Βλέπε σχολικό βιβλίο, σελίδα 4.. Βλέπε σχολικό βιβλίο, σελίδα 88, 89. 3. α) ΣΩΣΤΟ, διότι αν η f παραγωγίσιμη στο χ

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να εξετάσετε από τις παρακάτω συναρτήσεις ποιές ικανοποιούν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ I. Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της και είναι παραγωγισιμη σε αυτό τότε ( ).(Θεώρημα Fermat) II.

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορία 1 η. Σταθερή συνάρτηση Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, f '( x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ

Κατηγορία 1 η. Σταθερή συνάρτηση Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, f '( x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ Κατηγορία η Σταθερή συνάρτηση Τρόπος αντιμετώπισης: Για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ πρέπει: η συνάρτηση να είναι συνεχής στο Δ '( ) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του

Διαβάστε περισσότερα

f(x) x 3x 2, όπου R, y 2x 2

f(x) x 3x 2, όπου R, y 2x 2 Δίνεται η συνάρτηση με τύπο,. Μαθηματικά κατεύθυνσης f(), όπου R, α) Να αποδειχθεί ότι η f παρουσιάζει ένα τοπικό μέγιστο, ένα τοπικό ελάχιστο και ένα σημείο καμπής. β) Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f()

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o?

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o? ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση 1 Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f στο x = x o? Δεν έχει νόημα Ερώτηση 2 Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ. f ( x) 0 0 2x 0 x 0

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ. f ( x) 0 0 2x 0 x 0 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) 8 ΜΑΪΟΥ 6 ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία, βλ. σχολικό βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα. Η θεωρία και τι προσέχουμε. x, ισχύει: lim f (x) f ( ).

Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα. Η θεωρία και τι προσέχουμε. x, ισχύει: lim f (x) f ( ). Κεφάλαιο 4 Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα 411 Ερώτηση θεωρίας 1 Η θεωρία και τι προσέχουμε Πότε μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (, ) αβ; Απάντηση Μια συνάρτηση f θα λέμε

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

1. Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων:

1. Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων: Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων:, g, h Απάντηση: Η με έχει παράγωγο 4 Μπορούμε όμως να εργαστούμε ως εξής: Είναι άρα 4 Η g με g έχει παράγωγο : g Η συνάρτηση h με h έχει

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

f f x f x = x x x f x f x0 x

f f x f x = x x x f x f x0 x 1 Παράγωγος 1. για να βρω την παράγωγο της f σε διάστηµα χρησιµοποιώ βασικές παραγώγους και κανόνες παραγωγισης. για να βρω την παράγωγο σε σηµείο αλλαγής τύπου η σε άκρο διαστήµατος δουλεύω µε ορισµό

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις f, g όταν: x x 2 x x. x x g x. ln x ln x 1 και

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις f, g όταν: x x 2 x x. x x g x. ln x ln x 1 και Α ΟΜΑΔΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις, όταν: () με R και (). Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Το πεδίο ορισμού της είναι A R. Επομένως A A R Α Θα εξετάσουμε αν για κάθε R ισχύει.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Διατύπωση: Αν μια συνάρτηση είναι: συνεχής στο κλειστό διάστημα [ α β] και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( α β) τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( α β) τέτοιο ώστε: ( ( β) ( α) β α Γεωμετρικά αυτό σημαίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ Θ.Μ.Τ Μονοτονία συνάρτησης Ασκήσεις Εξισώσεις Θεωρητικές Συνέχεια του µαθήµατος 31. e 3 = 0. e + e 3, x R.

ΜΑΘΗΜΑ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ Θ.Μ.Τ Μονοτονία συνάρτησης Ασκήσεις Εξισώσεις Θεωρητικές Συνέχεια του µαθήµατος 31. e 3 = 0. e + e 3, x R. ΜΑΘΗΜΑ.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ Θ.Μ.Τ Μονοτονία συνάρτησης Ασκήσεις Εξισώσεις Θεωρητικές Συνέχεια του µαθήµατος ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να λύσετε την εξίσωση Η εξίσωση γράφεται e + e e 0 Προφανής ρίζα Θεωρούµε τη συνάρτηση f()

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Αν μια συνάρτηση f είναι : συνεχής στο κλειστό [α,β] παραγωγίσιμη στο ανοιχτό (α,β) f(α)=f(β) f 0 τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ : σημαίνει ότι υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑNTHΣΕΙΣ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ 2012

ΑΠΑNTHΣΕΙΣ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ 2012 ΑΠΑNTHΣΕΙΣ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΘΕΜΑ A A. Απόδειξη Σελ. 53 Α. Ορισμός Σελ 9 Α3. Ορισμός Σελ 58 Α. α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Λ ΘΕΜΑ Β Β.. Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

Η ΜΕΘΟΔΕΥΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

Η ΜΕΘΟΔΕΥΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Σελίδα 1 από 34 Η ΜΕΘΟΔΕΥΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Μπάμπης Στεργίου 017 Εισαγωγή Οι εξισώσεις, η λύση τους, η εύρεση του πλήθους ριζών τους ή τα ερωτήματα που αφορούν στην ύπαρξη ριζών, αποτελούν ένα σημαντικό

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ27 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου] ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Εύρεση

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, 3/3/6 ΘΕΜΑ ο : Α. Τι ονομάζουμε αρχική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Παύλος Βασιλείου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Παύλος Βασιλείου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Παύλος Βασιλείου Σε όλους αυτούς που παλεύουν για έναν καλύτερο κόσμο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Α. Θεωρία (Θεώρημα σελίδα 5 σχολικού βιβλίου) Α. Α) ΨΕΥΔΗΣ Β) Θα δώσουμε ένα αντιπαράδειγμα Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

35 Χρήσιμες Προτάσεις με αποδείξεις Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης

35 Χρήσιμες Προτάσεις με αποδείξεις Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης 4 5 35 Χρήσιμες Προτάσεις με αποδείξεις Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης Περίληψη: Στο ένθετο αυτό περιλαμβάνονται 35 βασικές προτάσεις, μικρά λήμματα χρήσιμα για τις εξετάσεις. Μας βοηθούν να «ξεκλειδώνουμε»

Διαβάστε περισσότερα

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Η ΜΕΘΟΔΕΥΣΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. Σε προηγούμενα άρθρα και εργασίες καταγράψαμε, αναλύσαμε, σχολιάσαμε και παρουσιάσαμε

Η ΜΕΘΟΔΕΥΣΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. Σε προηγούμενα άρθρα και εργασίες καταγράψαμε, αναλύσαμε, σχολιάσαμε και παρουσιάσαμε Σελίδα από 49 Η ΜΕΘΟΔΕΥΣΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ Μπάμπης Στεργίου - 07 Σε προηγούμενα άρθρα και εργασίες καταγράψαμε, αναλύσαμε, σχολιάσαμε και παρουσιάσαμε διεξοδικά τις έννοιες και τις προτάσεις που αναφέρονται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τύπο

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τύπο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ MIAΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ MIAΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ MIAΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Στα παρακάτω γίνεται μία προσπάθεια, ομαδοποίησης των ασκήσεων επίλυσης εξισώσεων και ανισώσεων, συναρτησιακών μορφών, συνεχών συναρτήσεων,

Διαβάστε περισσότερα

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΕΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ : ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σε κάθε ενότητα αυτού του βιβλίου θα βρείτε : Βασική θεωρία με τη μορφή ερωτήσεων Μεθοδολογίες και σχόλια

Διαβάστε περισσότερα

και γνησίως αύξουσα στο 0,

και γνησίως αύξουσα στο 0, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο σελ 6 (i) A. Σχολικό βιβλίο σελ 141 Α. Σχολικό βιβλίο σελ 46-47 Α4. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β Β1. Ισχύει D f επειδή 1 1 1 Για κάθε η f είναι παραγωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2016

Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2016 ΘΕΜΑ Α Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 6 Α.. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ.6-(i) Α.. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ. 4 Α. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ. 46,47 Α.4. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β B. Η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμένο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -- Σχολικό Έτος 5-6 Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής»

Διαβάστε περισσότερα

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή,

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή, Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή, Το βιβλίο αυτό, όπως και το πρώτο τεύχος, είναι εναρμονισμένο με την πρόσφατα καθορισμένη ύλη και απευθύνεται στους μαθητές της Γ Λυκείου που έχουν επιλέξει τον προσανατολισμό

Διαβάστε περισσότερα

<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση>

<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση> Συναρτήσεις 1 A Έστω μία συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης B Δίνεται η συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων :, και Γ Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμοί. Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι παρουσιάζει στο o Α τοπικό μέγιστο, όταν υπάρχει δ > 0, τέτοιο ώστε f () f( o ) για κάθε A ( o δ, o δ ), όπου Α το πεδίο ορισμού της f. Το o λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημ/νία: 27 Μαΐου 2013

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημ/νία: 27 Μαΐου 2013 Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημ/νία: 27 Μαΐου 2013 Απαντήσεις Θεμάτων Θεμα Α Α1. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 334-335

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 5 Σεπτεμβρίου 7 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απαντήσεις Θεμάτων Επαναληπτικών Πανελλαδικών Εξετάσεων Ημερησίων και Εσπερινών Γενικών Λυκείων ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Υψώνουμε την δοσμένη σχέση στο τετράγωνο οπότε

Υψώνουμε την δοσμένη σχέση στο τετράγωνο οπότε ΑΠΑNTHΣΕΙΣ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΘΕΜΑ A A Απόδειξη Σελ 53 Α Ορισμός Σελ 9 Α3 Ορισμός Σελ 58 Α4 α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Λ ΘΕΜΑ Β Β 4 4 4 Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

x x = e, x > 0 έχει ακριβώς δυο Γ4. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

x x = e, x > 0 έχει ακριβώς δυο Γ4. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Γ. Δίνεται η συνάρτηση f() ( )ln, >. Γ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ (, ] και γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ [, ). Στη συνέχεια να βρείτε το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος Α. Β 3. Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα των xx σε ένα σημείο με τετμημένη ξ [α,β],

Μέθοδος Α. Β 3. Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα των xx σε ένα σημείο με τετμημένη ξ [α,β], Θωμάς Ραϊκόφτσαλης ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ Μέθοδος Α Αν μας ζητείτε να αποδείξουμε ότι ισχύει ένα από τα εξής: Α. Η εξίσωση f() έχει μια τουλάχιστον ρίζα ξ (α,β), Α. Υπάρχει ξ (α,β) έτσι ώστε f(ξ),

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0.

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Άσκηση Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν η συνάρτηση την» ορίζεται στο τότε δεν μπορεί να έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη ) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις του διαγωνίσματος στις παραγώγους

Λύσεις του διαγωνίσματος στις παραγώγους Λύσεις του διαγωνίσματος στις παραγώγους Θέμα ο Α Έστω ότι f ), για κάθε α, ), β) Επειδή η f είναι συνεχής στο θα είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε ένα από τα διαστήματα α, ] και [, β) Επομένως, για ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016 Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

g(x) =α x +β x +γ με α= 1> 0 και

g(x) =α x +β x +γ με α= 1> 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ) ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

2η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ

2η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΑΠΟ 3//7 ΕΩΣ 5//8 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Παρασκευή 5 Ιανουαρίου 8 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Α. Αν μία συνάρτηση f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 7 ΘΕΜΑ Α A Έστω συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ Αν f σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

Διαβάστε περισσότερα

5ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A

5ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A 5ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου 7-8 Θέμα A A Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα στο οποίο όμως η f είναι συνεχής Αν η f διατηρεί πρόσημο στο α,,β ότι το

Διαβάστε περισσότερα

κυρτές συναρτήσεις. Αν η g είναι γνησίως αύξουσα τότε η gof : είναι κυρτή. . Θα δείξουμε ότι η h είναι γνησίως αύξουσα.

κυρτές συναρτήσεις. Αν η g είναι γνησίως αύξουσα τότε η gof : είναι κυρτή. . Θα δείξουμε ότι η h είναι γνησίως αύξουσα. Άσκηση Έστω f, g: κυρτές συναρτήσεις Αν η g είναι γνησίως αύξουσα τότε η gof : είναι κυρτή Λύση Θα δείξουμε ότι η h ( ) Θέτουμε h( ) gof ( ) g f ( ) είναι γνησίως αύξουσα h( ) g f ( ) f ( ) Έχουμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β') ΔΕΥΤΕΡΑ 28 ΜΑΪΟΥ 2012

ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β') ΔΕΥΤΕΡΑ 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β') ΔΕΥΤΕΡΑ 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2019 ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2019 ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΟ ο ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 9 ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 5/4/9 ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία-Ορισμός,σχολικού

Διαβάστε περισσότερα

και είναι παραγωγισιμη στο σημειο αυτό, τότε : f ( x 0

και είναι παραγωγισιμη στο σημειο αυτό, τότε : f ( x 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο 7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (Θεώρημα Frmat) Εστω μια συναρτηση ορισμενη σ ένα διαστημα Δ και ένα εσωτερικο σημειο του Δ Αν η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο

Διαβάστε περισσότερα

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων

Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων ΣΤΕΛΙΟΥ ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΟΥ ΤΟΛΗ 5-6 Επιμέλεια : Νικόλαος Σαμπάνης Στο φυλλάδιο περιέχονται όλες οι βασικές Μεθοδολογίες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Νίκος Ζανταρίδης (Φροντιστήριο Πυραμίδα) ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ένα γενικό θέμα Ανάλυσης Χρήσιμες Προτάσεις Ασκήσεις για λύση Μικρό βοήθημα για τον υποψήφιο μαθητή της Γ Λυκείου λίγο πριν τις εξετάσεις Απρίλιος

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενες λύσεις. f (x) f (x ) f (x) f (x ) f (x) f (x ) (x x ). f (x) f (x ) lim[f (x) f (x )] lim (x x ) lim[f (x) f (x )] 0 lim f (x) f (x ),

Προτεινόμενες λύσεις. f (x) f (x ) f (x) f (x ) f (x) f (x ) (x x ). f (x) f (x ) lim[f (x) f (x )] lim (x x ) lim[f (x) f (x )] 0 lim f (x) f (x ), Πανελλαδικές Εξετάσεις 8 Μαθηματικά Προσανατολισμού /6/8 ΘΕΜΑ Α Προτεινόμενες λύσεις Α Αφού η f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο του πεδίου ορισμού της, ισχύει ότι: Για κάθε έχουμε: Επομένως ισχύει ότι: Δηλαδή:

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = 2x+ 3 / Α f Α.

f(x) = 2x+ 3 / Α f Α. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 8 ο ΜΑΘΗΜΑ.7. Σύνολο τιμών f(a) της f / A B Ορισμός: Το σύνολο τιμών της συνάρτησης f / Α Β περιλαμβάνει εκείνα τα y Β για τα οποία υπάρχει x Α : «Η εξίσωση y= f ( x) να έχει λύση ως προς x»

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016 Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα,

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα, Γενικής Παιδείας 1.4 Εφαρμογές των παραγώγων Το κριτήριο της πρώτης παραγώγου Στην Άλγεβρα της Α Λυκείου μελετήσαμε τη συνάρτηση f(x) = αx + βx + γ, α 0 και είδαμε ότι η γραφική της παράσταση είναι μία

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..: Παραγωγίσιμες Συναρτήσεις Παράγωγος Συνάρτηση - Κεφ..: Κανόνες Παραγώγισης του

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμοί α) (Κατακόρυφη ασύμπτωτη) Αν ένα τουλάχιστον απ' τα όρια f(), o o λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της C f. f() είναι +, ή -, τότε η ευθεία o β) (Οριζόντια

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

Διαβάστε περισσότερα

Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 2017

Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 2017 Ένα διαγώνισμα προετοιμασίας για τους μαθητές της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 7 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κων/νος Παπασταματίου Μαθηματικός Φροντιστήριο

Διαβάστε περισσότερα

2 (1) 1 0 ln( (2)) 3 (2) 3 0. e f και f f. f( g( x)) 3x 4, για κάθε x. συνx 5. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 (1) 1 0 ln( (2)) 3 (2) 3 0. e f και f f. f( g( x)) 3x 4, για κάθε x. συνx 5. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ. Δίνονται οι συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού το R, για τις οποίες ισχύει η σχέση: f( g( )) 4, για κάθε. a. Να δείξετε ότι η συνάρτηση g είναι αντιστρέψιμη. β. Να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

( ) f( x ) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Επώνυμο: Όνομα: Τμήμα: Ημερομηνία: Α Βαθ. Β Βαθ. Μ.Ο. (ενδεικτικές λύσεις)

( ) f( x ) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Επώνυμο: Όνομα: Τμήμα: Ημερομηνία: Α Βαθ. Β Βαθ. Μ.Ο. (ενδεικτικές λύσεις) Επώνυμο: Όνομα: Τμήμα: ΤΣΙΜΙΣΚΗ & ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ ΤΗΛ : 777 594 ΑΡΤΑΚΗΣ Κ. ΤΟΥΜΠΑ ΤΗΛ : 99 9494 www.sygrono.gr Ημερομηνία: Α Βαθ. Β Βαθ. Μ.Ο. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ενδεικτικές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο 2.1: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο 2.1: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο.: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ Β Έστω μια παραγωγίσιμη στο συνάρτηση, τέτοια ώστε για κάθε x

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 9: ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 9: ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 9: ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT [Ενότητες Η Έννοια του Τοπικού Ακροτάτου Προσδιορισμός των τοπικών Ακροτάτων πλην του Θεωρήματος Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Προσανατολισμού, Θετικών & Οικονομικών Σπουδών

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Προσανατολισμού, Θετικών & Οικονομικών Σπουδών Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Προσανατολισμού, Θετικών & Οικονομικών Σπουδών Ημερομηνία: Ιουνίου 08 Απαντήσεις Θεμάτων Θέμα Α Α.. Θεωρία σχολικού βιβλίου,

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 73 8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ρισμός της συνέχειας Έστω οι συναρτήσεις g h παρακάτω σχήματα των οποίων οι γραφικές παραστάσεις δίνονται στα C h 6 l ( C l g( C g l l (a Παρατηρούμε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÏÑÏÓÇÌÏ

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÏÑÏÓÇÌÏ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο, σελ 6-6 Α Θεωρία (ορισµός) σχολικό βιβλίο, σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Άσκηση i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα