35 Χρήσιμες Προτάσεις με αποδείξεις Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Transcript

1 Χρήσιμες Προτάσεις με αποδείξεις Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης Περίληψη: Στο ένθετο αυτό περιλαμβάνονται 35 βασικές προτάσεις, μικρά λήμματα χρήσιμα για τις εξετάσεις. Μας βοηθούν να «ξεκλειδώνουμε» πιο εύκολα τις σύνθετες ασκήσεις. Δεν βοηθάει η στείρα αποστήθισή τους αλλά η κατανόηση και η εφαρμογή τους μέσα στις ασκήσεις. Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος 3/5/5

2 Μια συλλογή με 35 Χρήσιμες προτάσεις Επιμέλεια ασκήσεων 3: Νίκος Ζανταρίδης για το master class 4 4-3: Μάκης Χατζόπουλος 33 35: Νίκος Σπλήνης Ανανεωμένο: Θέματα 3, 3 Ανανεωμένο: Θέματα 33, 34, 34

3 ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f : A είναι γνησίως μονότονη στο Α, τότε η f A με ίδιο είδος μονοτονίας με την f. f είναι γνησίως μονότονη στο Επειδή η f είναι γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της Α, έπεται ότι η f είναι συνάρτηση -, οπότε η f έχει αντίστροφη συνάρτηση και το πεδίο ορισμού της Έστω ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α, θα δείξουμε ότι η Υποθέτουμε ότι η y y και f είναι το f A. f είναι γνησίως αύξουσα στο f A. f δεν είναι γνησίως αύξουσα στο f A, τότε θα υπάρχουν, f y f y. Εχουμε όμως * f : < a f y f y f f y f f y y y άτοπο αφού y y. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η (*)(αφού f είναι γνησίως αύξουσα στο f A. y y f A με f f y y, ά y f A ) Ομοίως αποδεικνύεται ότι αν η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Α, τότε και η φθίνουσα στο f A. f είναι γνησίως Από όλα τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι αν η f είναι γνησίως μονότονη στο Α, τότε και η γνησίως μονότονη στο f A με το ίδιο είδος μονοτονίας με την f. f είναι ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση : f A είναι γνησίως αύξουσα στο Α, να δείξετε ότι η εξίσωση f f είναι ισοδύναμη με την εξίσωση f. Έστω μια ρίζα της εξίσωσης f f, τότε θα ισχύει f f. : Από της () προκύπτει ότι A, f A και f A (αφού Έχουμε f f f f f f : Θα δείξουμε ότι f Έστω ότι f, τότε θα είναι Υποθέτουμε ότι f, τότε θα έχουμε f ή f. f f A). 3

4 f: < A f f f f f f, ΑΤΟΠΟ, αφού υποθέσαμε ότι f, A f. Ομοίως σε άτοπο καταλήγουμε αν υποθέσουμε ότι f. Επομένως είναι αριθμός είναι ρίζα της εξίσωσης f, οπότε ο f. Άρα κάθε ρίζα της εξίσωσης f f είναι και ρίζα της εξίσωσης f. Αντιστρόφως Έστω μια ρίζα της εξίσωσης f, τότε θα ισχύει f : (3). Από την (3) προκύπτει ότι A f A (αφού Από την (3) έχουμε f f ). f f f f f f : 4 Από (3) και (4) προκύπτει ότι Άρα ο αριθμός f f. είναι ρίζα της εξίσωσης f είναι και ρίζα της εξίσωσης f f. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι οι εξισώσεις f f και f f. Επομένως κάθε ρίζα της εξίσωσης f είναι ισοδύναμες. ΘΕΜΑ 3 Αν για τις συναρτήσεις, : είναι και f. o f g ισχύει f g κοντά στο και είναι g o, τότε Επειδή είναι o g έπεται ότι ισχύει f g κοντά στο. Έτσι κοντά στο ισχύει g κοντά στο. Ακόμα δόθηκε ότι ισχύει f g, οπότε κοντά στο ισχύει: Είναι o o f. και o g (αφού : f g g o ) οπότε, λόγω της (), προκύπτει ότι 4

5 Επειδή είναι o f o f και ισχύει, δηλαδή o f f. Σημείωση: Αν ισχύει f g κοντά στο και είναι κοντά στο, έπεται ότι o g, τότε και o f. ΘΕΜΑ 4 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα Δ, παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του διαστήματος Δ και ισχύει f ' για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι αύξουσα στο Δ. Έστω, με. Επειδή η f είναι συνεχής στο διάστημα Δ, παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ και είναι,, έπεται ότι η f είναι συνεχής στο, και παραγωγίσιμη στο, οπότε η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ στο Είναι όμως, άρα υπάρχει,, f f f f f f ' ' : f ' και (αφού ), οπότε έχουμε: f ' f ' f f f f Επομένως για κάθε, με ισχύει, ώστε f f, οπότε η f είναι αύξουσα στο Δ., Σημείωση: Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα Δ, παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ ισχύει f ', τότε η f είναι φθίνουσα στο διάστημα Δ. ΘΕΜΑ 5 f t dt α) Αν η συνάρτηση f :, είναι συνεχής και περιττή, τότε 4 t t 3 β) Να βρεθεί το Λύση 4 e e t t dt.. 5

6 Θεωρώ την συνάρτηση,, g f t dt. Είναι g f t dt f t dt f t dt f t dt. Επειδή η f είναι συνεχής στο στο, με ',, η συνάρτηση,, h f και η συνάρτηση f tdt h, a, a είναι παραγωγίσιμη στο, h f t dt είναι παραγωγίσιμη ως σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων με ' f ' f. Έτσι η g είναι παραγωγίσιμη στο, ως διαφορά παραγωγίσιμων συναρτήσεων με g '... f t dt f t dt f f f f. Επειδή η f είναι περιττή έπεται ότι ισχύει f f για κάθε,. Έτσι για κάθε, είναι g ' f f, οπότε η g είναι σταθερή στο, Επομένως για κάθε, f t dt Για = α έχουμε ισχύει g g f t dt f t dt f t dt. Σημείωση: Ένας ος τρόπος επίλυσης είναι με αλλαγή μεταβλητής ( u t).. β) Για την συνάρτηση : Η φ είναι συνεχής στο με e e 3 και 3 e e 3 e e 3 e e, ά 6, ισχύει

7 Άρα η φ είναι συνεχής στο και περιττή, οπότε από το (α) ερώτημα έχουμε t t 3 tdt δηλαδή 4 e e t t dt. ΘΕΜΑ 6 Αν η συνάρτηση f :, είναι συνεχής και άρτια, τότε f tdt Επειδή η f είναι άρτια ισχύει f f, ά, : () Θεωρώ την συνάρτηση f tdt f tdt,, Είναι: f t dt f t dt f t dt f t dt. f t dt f t dt Έχουμε, f t dt f t dt f f '... ' f f f f Άρα η φ είναι σταθερή στο,, f f ά a a a, a, οπότε για κάθε, a a ισχύει f t dt f t dt f t dt f t dt f t dt f t dt 7

8 f t dt f t dt Για έχουμε: f tdt f tdt. Σημείωση: ος τρόπος f t dt f t dt f t dt και για το f t dt αλλαγή μεταβλητής ( u t). ΘΕΜΑ 7 Αν η συνάρτηση f :, όπου Δ διάστημα, είναι συνεχής στο Δ και ισχύει f για κάθε και f tdt με,, τότε είναι α = β. Θεωρώ την συνάρτηση, g f t dt (, σταθερό σημείο του Δ). Επειδή η f είναι συνεχής στο διάστημα Δ έπεται ότι η g είναι παραγωγίσιμη στο Δ με g ' f, για κάθε. Επειδή η f είναι συνεχής στο διάστημα Δ κα ισχύει f για κάθε έπεται ότι η f διατηρεί στο Δ σταθερό πρόσημο, οπότε θα είναι f() > για κάθε είναι g' για κάθε ή g' για κάθε. ή f()< για κάθε, δηλαδή θα Επομένως η g θα είναι γνησίως αύξουσα στο Δ ή γνησίως φθίνουσα στο Δ. Έτσι η g, ως γνησίως μονότονη στο Δ, είναι συνάρτηση. Έχουμε, f t dt f t dt f t dt g f t dt f t dt g f t dt f t dt ί g ί ά 8

9 Άρα είναι α = β. ΘΕΜΑ 8 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β], τότε υπάρχει, ώστε Θεωρώ την συνάρτηση g f tdt,,. f d f Επειδή η f είναι συνεχής στο [α, β] έπεται ότι η g είναι παραγωγίσιμη στο [α, β] με ' κάθε, g f, για, οπότε η g ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ στο [α, β] (αφού η g είναι συνεχής στο [α, β] και παραγωγίσιμη στο (α, β)). Επομένως υπάρχει, ΘΕΜΑ 9, ώστε g' f f g g f t dt f t dt f f t dt f t dt Αν οι συναρτήσεις f, g:, είναι συνεχείς και ισχύει f g για κάθε, f d g d Θεωρώ τη συνάρτηση,, h f g. Η h είναι συνεχής στο [α,β], ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων. Ακόμα για κάθε, f g f g h. Επειδή η h είναι συνεχής στο [α, β] και ισχύει h για κάθε, h d f g d f d g d a έπεται ότι a, τότε a ισχύει 9

10 f d g d Βασικές ανισότητες ), ά (η ισότητα ισχύει μόνο αν = ) ) e (παρακάτω δες απόδειξη) (η ισότητα ισχύει μόνο αν = ) 3) ln, ά (η ισότητα ισχύει μόνο αν = ) 4), ά, (η ισότητα ισχύει μόνο αν α = β) 5), ά (η ισότητα ισχύει μόνο αν a = ) m f M ά τότε 6) Αν, f m f M... f m M f m M ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f : (Δ: διάστημα) είναι παραγωγίσιμη και ισχύει f ' για κάθε, τότε η f είναι συνάρτηση. Υποθέτουμε ότι η f ΔΕΝ είναι συνάρτηση, τότε θα υπάρχουν, με και f f. Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα Δ και, έπεται ότι η f είναι συνεχής στο και παραγωγίσιμη,, Ακόμη είναι. f f. Άρα η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ. Rolle στο,, οπότε υπάρχει, ώστε f ', ΑΤΟΠΟ, αφού δόθηκε ότι Επομένως η f είναι συνάρτηση. f ' για κάθε. ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση στο Δ. f : (Δ: διάστημα) είναι συνεχής και, τότε η f είναι γνησίως μονότονη Έστω ότι η f ΔΕΝ είναι γνησίως μονότονη στο Δ, τότε δεδομένου ότι η f είναι συνάρτηση -, θα υπάρχουν,, 3 με 3 και

11 f f f 3 ή f f f 3 ή f f f 3 ή f f f 3 Έστω f f f, τότε επειδή η f είναι συνεχής στο, 3 και ισχύει f f f έπεται, λόγω του θεωρήματος ενδιαμέσων τιμών, ότι υπάρχει, 3 ώστε f f 3 και επειδή η f είναι - προκύπτει ότι 3 Ομοίως σε άτοπο καταλήγουμε και στις υπόλοιπες περιπτώσεις. Επομένως η f είναι γνησίως μονότονη στο Δ., ΑΤΟΠΟ, αφού 3. ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα Δ και εξίσωση f () = έχει ν διαφορετικές ρίζες v στο Δ, τότε η εξίσωση f ' έχει τουλάχιστον (ν ) ρίζες στο Δ. Έστω,,..., με... οι ν στο πλήθος ρίζες της εξίσωσης f () =. Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο Δ έπεται ότι η f είναι συνεχής στα διαστήματα,,,,...,, και παραγωγίσιμη στα διαστήματα,,,,...,, 3 Ακόμη είναι f f f f της εξίσωσης f () = , αφού οι αριθμοί Άρα η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ. Rolle σε καθένα από τα διαστήματα,,,,...,,. 3 Επομένως υπάρχουν,,,,...,, οπότε η εξίσωση ΘΕΜΑ 3 Για κάθε zw, ώστε 3 f ', f ',..., f ', f ' έχει τουλάχιστον (ν -) ρίζες στο διάστημα Δ. ισχύουν:. z w z w Re z w z w Re z w,,..., είναι οι ρίζες

12 . z w z w z w 3. z w z w 4Re z w 4Re z w. Έχουμε, Re z w z w z w z w z w zz zw wz ww z w zw zw οπότε z w z w z w z w z w z w και Re z w z w z w z w z w z w. Έχουμε, z w z w z w z w z w z w z wz w z wz w z z z w wz w w z z z w wz z w z w z w ww 3. Έχουμε, z w z w z w z w z w z w z wz w z wz w Ακόμη είναι Έτσι έχουμε zz z w w z w w zz z w w z w w z w z w z w z w Re z w 4Re zw Re z w Re z w 4Re z w z w 4Re z w z w.

13 ΘΕΜΑ 4 Για κάθε z ισχύουν: i) z z z, δηλαδή ένας μιγαδικός αριθμός είναι πραγματικός αν, και μόνο αν, ισούται με τον συζυγή του. ii) z z z δηλαδή ένας μιγαδικός αριθμός είναι φανταστικός αν, και μόνο αν, ισούται με τον αντίθετο συζυγή του. i) Έχουμε, z z z z Im z i Im z z ii) Έχουμε, z z z z Re z Re z z ΘΕΜΑ 5 Για κάθε z ισχύει z z z, δηλαδή το μέτρο μιγαδικού z συμπεριφέρεται ως απόλυτο αν, και μόνο αν, o z είναι πραγματικός αριθμός. Έστω z i. Είναι, z z i z ΘΕΜΑ 6 i Αν z και z, τότε z p z. Έχουμε, ΘΕΜΑ 7 p z p z p z z p z p z. Αν z, τότε η εξίσωση z 3 έχει λύσεις 3 z ή z i. Προσοχή: Συνηθίζεται οι μαθητές να την λύνουν ως εξής: z 3 z 3 z που προφανώς δεν έχουν βρει όλες τις λύσεις της εξίσωσης. 3

14 Έχουμε, Σημείωση: Τις εξισώσεις της μορφής z z 3 3 z z z z ή z z 3 z ή z i v z a, τις λύνουμε (αυτές που είναι εντός ύλης) όπως παραπάνω. Δείτε ως άσκηση τις περιπτώσεις: i) v = και α = ii) v = 4 και α =. ΘΕΜΑ 8 Για κάθε πραγματικό ισχύει e. και το ίσον ισχύει μόνο όταν =. Από εφαρμογή σχολικού βιβλίου γνωρίζουμε ότι, για όλους τους θετικούς αριθμούς ισχύει ln () και το ίσον ισχύει μόνο για =. Αντικαθιστούμε στην () όπου το e. Το ίσον ισχύει όταν το e δηλαδή όταν =. e (αφού είναι θετικός), ln e e δηλαδή e άρα ΘΕΜΑ 9 (μηδενική επί φραγμένη) Αν οι συναρτήσεις f, g είναι ορισμένες στο Δ και ισχύει o f g. f,τότε o g m για όλα τα Δκαι Είναι, f g f g m f. Άρα για όλα τα ισχύει f g m f m f f g m f m f m f m m και Όμως o o m f m f m m o o f g. από Κριτήριο Παρεμβολής έπεται ότι ΘΕΜΑ o Αν f :, συνεχής και f f, τότε η f έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο [α, β]. 4

15 Επειδή f f ή θα είναι f f () ή θα είναι f f (). Διακρίνουμε περιπτώσεις: Ι) Αν ισχύει η σχέση (), γνωρίζουμε ότι η f είναι συνεχής στο [α, β], οπότε από το Θεώρημα Bolzano η εξίσωση f() = έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (α,β). ΙΙ) Αν η ισχύει η σχέση (), τότε έχουμε f f f ήf : ί ί f ή : ί ί f άρα η εξίσωση f() = έχει ρίζες το α ή το β. Συνολικά από τις περιπτώσεις Ι και ΙΙ παίρνουμε ότι η εξίσωση f() = έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο [α, β]. ΘΕΜΑ (πρόταση που λύνουμε ανισώσεις εξισώσεις) α) Μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ, αν, και μόνο αν, για κάθε, ισχύει η ισοδυναμία f f. β) Μια συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ, αν, και μόνο αν, για κάθε, ισχύει η ισοδυναμία f f. γ) Αν συνάρτηση f είναι στο σύνολο Α, αν, και μόνο αν, για κάθε, ισχύει η ισοδυναμία f f. α) Ευθύ: Ισχύει από τον ορισμό της γν. αύξουσας συνάρτησης Αντίστροφο: Έστω f f Έστω f f για,, θα δείξουμε ότι., τότε από τον ορισμό της συνάρτησης έχουμε f f. Έστω, ΑΤΟΠΟ αφού, επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα ισχύει f f, ΑΤΟΠΟ αφού f f. Οπότε από τον νόμο της τριχοτομίας έπεται ότι, οπότε ισχύει η ισοδυναμία f f. β) Αντίστοιχα με το (α) γ) Ευθύ: Ισχύει από τον ορισμό της 5

16 Αντίστροφο: Αν τότε από τον ορισμό της συνάρτησης έχουμε f f, (δεν μπορεί το ίδιο να αντιστοιχίζεται σε διαφορετικό y, η αντιστοίχιση σε αυτή την περίπτωση δεν θα ήταν συνάρτηση). Οπότε ισχύει η ισοδυναμία f f. ΘΕΜΑ α) Μια γνησίως μονότονη συνάρτηση έχει το πολύ μία ρίζα. β) Έστω f μια γνησίως μονότονη συνάρτηση στο Α, τότε η εξίσωση f() = k, έχει μια το πολύ λύση στο Α. α) Έστω f μια γνησίως μονότονη συνάρτηση, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα και σε κάθε περίπτωση είναι. Έστω ότι η εξίσωση f έχει δύο τουλάχιστον διαφορετικές ρίζες τις p,p, τότε Οπότε η εξίσωση ΘΕΜΑ 3 f p f p f p f p p p ΑΤΟΠΟ f: f έχει το πολύ μια ρίζα. Αν για μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα Δ, τότε μεταξύ δύο οποιωνδήποτε διαφορετικών ριζών της f βρίσκεται μία τουλάχιστον ρίζα της παραγώγους της f, δηλαδή της f. Έστω p pδύο ρίζες της f στο Δ. Η f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα προϋποθέσεις του Θ. Rolle στο η εξίσωση f p,p και ισχύει f p f p, άρα ικανοποιούνται οι p,p, επομένως υπάρχει p,p τέτοιο ώστε f, άρα έχει μία τουλάχιστον λύση στοp,p, δηλαδή μεταξύ των δύο διαφορετικών ριζών της εξίσωσης f() =. ΘΕΜΑ 4 Αν μια συνεχή συνάρτηση f ορισμένη σε ένα ανοικτό διάστημα (α, β) έχει την ιδιότητα a f, f (η αντίστροφα), τότε το σύνολο τιμών της είναι το. Αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε πραγματικό αριθμό y είναι τιμή της f. 6

17 Επειδή f Επειδή f a y. f ώστε f η f θα παίρνει και τιμές μικρότερες του y, δηλαδή θα υπάρχει, ώστε η f θα παίρνει και τιμές μεγαλύτερες του y, δηλαδή θα υπάρχει, y. Προφανώς και από το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών θα υπάρχει στο διάστημα με άκρα τα, τέτοιο ώστε f() = y. Επομένως το y είναι τιμή της f. ΘΕΜΑ 4 Ισχύει η ισοδυναμία: f f o o Γνωρίζουμε ότι, f f f, όμως Κριτήριο Παρεμβολής έπεται το ζητούμενο. f f, οπότε από το o o ΘΕΜΑ 5 α) Οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f : με την ιδιότητα όπου c σταθερά. f ce, f f είναι της μορφής β) Οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f : με την ιδιότητα f m f είναι της μορφής f ce m, όπου, cm σταθερά. α) Εφαρμογή σχολικού βιβλίου β) Έχουμε διαδοχικά για κάθε, m άρα η συνάρτηση m m c e f δηλαδή, m m f ' m f f ' m f e f ' me f m e f g e f είναι σταθερή στο, οπότε υπάρχει σταθερά c f ce. τέτοια ώστε 7

18 ΘΕΜΑ 6 Η παράγωγος της συνάρτησης ( ) ( ) g f, με f παραγωγίσιμη στο Α, είναι f g f f ' Η συνάρτηση g μπορεί να γραφτεί ως εξής g f ( ) ( ) οπότε, η g είναι παραγωγίσιμη στο B { A: f ( ) }με f ( ) f ' f( ) g '( ) f '( ) f( ) f ( ) Σημείωση: Η συνάρτηση g ενδέχεται να είναι παραγωγίσιμη και στα σημεία έ ώ f ( ). Αν ζητάμε την παράγωγο της g σε αυτά τα σημεία, τότε πρέπει να την εξετάσουμε με τη βοήθεια του ορισμού της παραγώγου, δηλαδή να βρούμε το όριο g f f g o o ΘΕΜΑ 7 Η συνάρτηση ln είναι μία παράγουσα της ln. Έχουμε, ΘΕΜΑ 8 ln ln ln ln ln ln ln Ισχύει ότι Έχουμε, ΘΕΜΑ 9 Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη στα διαστήματα [α, β] και [β, γ] με το ίδιο είδος μονοτονίας, τότε είναι γνησίως μονότονη (με το ίδιο είδος) και στο διάστημα [α, γ].. Επίσης υπάρχει και δεύτερος τρόπος να γράψουμε την g, ως εξής ln g( ) ln f ( )... 8

19 Έστω ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα [α, β] και [β, γ], τότε για οποιαδήποτε,,,, θα δείξουμε ότι ισχύει a f f. Έχουμε,, άρα από τον ορισμό της γνησίως αύξουσας έχουμε, και f f f, άρα f f f f, άρα η f είναι γνησίως αύξουσα και στην ένωση των διαστημάτων [α, β] και [β, γ], δηλαδή στο διάστημα [α, γ]. Προσοχή! Η παραπάνω πρόταση δεν ισχύει για ένωση ΑΝΟΙΚΤΩΝ διαστημάτων, ισχύει όμως όταν η f είναι συνεχής στο σημείο της ένωσης των δύο διαστημάτων, δηλαδή στο σημείο β. ΘΕΜΑ 3 Ισχύουν τα εξής α) β) γ) δ) a a και, a v v, v a a, v N v v α) Αν α =, τότε Αν a τότε Γενικά Όμοια και το β) Για κάθε a * a a u u u u a ua * a a, a. u u u a aa, * ισχύει,.. v v v v, δηλαδή v v v v v, * όμοια και για την γνησίως φθίνουσα 9

20 v όμως v, άρα από Κριτήριο Παρεμβολής προκύπτει το ζητούμενο. Όμοια και για το v. γ) Έχουμε, u u u, όμοια u u u u u u u u. u u u u u δ) Έχουμε για κάθε *, v v v v, όμως, άρα από Κριτήριο Παρεμβολής προκύπτει το ζητούμενο. v v Όμοια και για το όριο. v ΘΕΜΑ 3 (Παράγωγος αντίστροφης συνάρτησης) Έστω η αντιστρέψιμη συνάρτηση y τότε ισχύει Έχουμε, Παραγωγίζουμε ως προς, f, παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα Δ. Αν f y f y f f y f y f y y f y f f f y f f για κάθε ΘΕΜΑ 3 (Ολοκλήρωμα αντίστροφης συνάρτησης) Αν η συνάρτηση f είναι «-» και παραγωγίσιμη στο διάστημα,, τότε f f d f f f d f

21 Έχουμε, οπότε και Άρα, f u f u u f u f f f f f d u f u du uf u f f f f u du f f f f u du f Σημείωση: Μια καταπληκτική απόδειξη γεωμετρική ερμηνεία φαίνεται στην παραπάνω εικόνα του αείμνηστου. μαθηματικού Θ. Κατζαντζή. Πηγή: Από το αρχείο του ΘΕΜΑ 33 (Επιμέλεια: Νίκος Σπλήνης) Έστω η συνάρτηση f ορισμένη και παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ. Αν είναι εσωτερικό του Δ, να δείξετε ότι το δεν μπορεί να είναι συγχρόνως θέση τοπικού ακρότατου και σημείου καμπής. Έστω ότι υπάρχει ταυτόχρονα σημείο καμπής. είναι εσωτερικό του,, ώστε η f να παρουσιάζει τοπικό μέγιστο και Τότε από Θ. Fermat f και ακόμη είναι f. ί,, έτσι έχουμε, για f () f ( ) f () για f () f ( ) f () f. ύ, και άρα η f είναι γνήσια φθίνουσα στο Δ, άρα δεν παρουσιάζει ακρότατο σε εσωτερικό σημείο του, Άτοπο! Ομοίως γίνεται η απόδειξη αν υποθέταμε ότι στο η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο.

22 Σημείωση: Το διάστημα Δ μπορεί να έχει οποιαδήποτε μορφή. ΘΕΜΑ 34 (Επιμέλεια: Νίκος Σπλήνης) Έστω η συνάρτηση f: δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση της οποίας ορίζεται η αντίστροφη και η f Να δείξετε ότι: είναι παραγωγίσιμη. (α) Αν f () και f (), για κάθε, τότε η (β) Αν f () και f (), για κάθε, τότε η (α) Η f ορίζεται στο A f Παραγωγίζοντας έχουμε, ακόμη, f είναι κοίλη. f είναι κυρτή. και για κάθε A ισχύει ότι, f f () f f () f f () f () f f () αφού ff () και f f () Άρα η f () f f () f f () f () f () f () f f () f f (). f είναι κοίλη στο A f f f () f () (β) Ομοίως με το ερώτημα (α) προκύπτει f (), και για κάθε A f f () άρα η η f είναι κυρτή. ΘΕΜΑ 35 (Επιμέλεια: Νίκος Σπλήνης) Έστω η συνάρτηση f: η οποία δεν είναι. Να δείξετε ότι: (α) αν η f είναι κυρτή τότε, η f παρουσιάζει ελάχιστο σε εσωτερικό σημείο του. (β) αν f (), για κάθε, τότε η f παρουσιάζει μέγιστο σε εσωτερικό σημείο του.

23 (α) Αφού η f δεν είναι, υπάρχουν, ώστε f ( ) f ( ) και θεωρούμε χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι, τότε η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ. Rolle στο άρα, υπάρχει τουλάχιστον ένα, ώστε f ( ). Όμως η f είναι κυρτή, άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο, οπότε f () f ( ) f (), άρα f, για ενώ για f () f ( ) f (), άρα f, Άρα η f παρουσιάζει ελάχιστο στο,. (β) Αν f () για κάθε, τότε η f είναι κοίλη στο άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Αφού η f δεν είναι, υπάρχουν, ώστε f ( ) f ( ) και θεωρούμε χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι, τότε η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ. Rolle στο άρα, υπάρχει τουλάχιστον ένα, ώστε f ( ). Οπότε για f () f ( ) f (), άρα f, ενώ για f () f ( ) f (), άρα f, Άρα η f παρουσιάζει μέγιστο στο,. 3