ΘΕΜΑ 1 ο (2.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ Τελικές εξετάσεις Πέµπτη 28 Σεπτεµβρίου 2006 ιάρκεια: 19:00-22:00 ίνεται ο παρακάτω λαβύρινθος. Ψάχνουµε να βρούµε µια διαδροµή από τη θέση S(tart) στη θέση F(inish). Σε κάθε βήµα µπορούµε να µετακινούµαστε µόνο στις άµεσα γειτονικές θέσεις (κάτω, δεξιά, επάνω και αριστερά), εφόσον σε αυτές δεν υπάρχει εµπόδιο και παραµένουµε εντός των ορίων του λαβυρίνθου. εν επιτρέπονται οι διαγώνιες κινήσεις. 6 5 4 3 2 1 S F 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Επιλύστε το πρόβληµα µε τον αλγόριθµο προσοµοιωµένης ανόπτησης. Ως ευρετική συνάρτηση χρησιµοποιείστε την απόσταση Manhattan. Για να εφαρµόσετε τον αλγόριθµο αυτό θα χρειαστείτε µια γεννήτρια τυχαίων αριθµών. Χρησιµοποιείστε τους παρακάτω αριθµούς. 1 4 3 2 1 1 4 3 2 2 3 3 2 3 2 3 2 1 3 3 1 4 1 3 4 4 1 3 1 1 3 3 1 1 2 4 3 2 1 1 1 1 4 4 2 3 4 1 1 2 1 4 2 4 1 2 2 4 3 1 2 1 4 3 1 1 1 4 4 2 4 4 3 1 3 4 2 3 4 2 1 1 3 3 1 3 4 3 1 1 2 1 3 3 2 2 3 3 4 3 3 3 3 3 1 3 4 3 3 3 3 2 2 4 3 4 1 3 1 3 3 4 2 3 2 4 1 3 2 1 3 2 2 3 2 1 1 4 2 2 4 2 3 3 3 1 1 4 1 3 1 2 3 2 3 3 1 2 1 2 4 4 3 2 1 1 4 1 3 1 1 1 2 3 3 1 2 1 4 4 3 2 4 3 2 1 4 4 4 2 4 1 2 1 4 3 1 3 2 1 Ξεκινήστε να χρησιµοποιείτε τυχαίους αριθµούς από τον αριθµό που βρίσκεται στη θέση που αντιστοιχεί στον αριθµό µητρώου σας και συνεχίστε όπως διαβάζουµε (για παράδειγµα, εάν ο αριθµός µητρώου σας είναι 25/03, θα ξεκινήσετε από τον 25 ο αριθµό, ο οποίος είναι ο πέµπτος αριθµός της δεύτερης σειράς, και θα συνεχίσετε προς τα δεξιά) 1. Εάν φθάσετε στο τέλος του πίνακα, συνεχίστε από την αρχή. Εάν εκτελέσετε 50 κινήσεις χωρίς να έχετε βρει λύση σταµατήστε (ως κινήσεις θεωρούµε τόσο αυτές που εκτελούνται, όσο και αυτές που δεν εκτελούνται, είτε επειδή οδηγούν σε χειρότερη κατάσταση, είτε επειδή προσκρούουν σε εµπόδιο είτε τέλος επειδή µας βγάζουν έξω από τα όρια του λαβύρινθου). 1 Εάν ο αριθµός µητρώου σας είναι µεγαλύτερος από 200, αφαιρέστε 200 από αυτόν. Για παράδειγµα, εάν κάποιος έχει αριθµό µητρώου 225/03, θα ξεκινήσει από τον ίδιο αριθµό µε αυτόν που έχει αριθµό µητρώου 25/03.
Θεωρείστε ότι η παράµετρος T («θερµοκρασία») του αλγορίθµου είναι σταθερή καθ όλη τη διάρκεια επίλυσης του προβλήµατος και ότι οι κινήσεις προς χειρότερες καταστάσεις γίνονται δεκτές µε πιθανότητα 25%. Υπόδειξη: Τους τυχαίους αριθµούς θα τους χρησιµοποιήσετε: - Για να επιλέγετε τυχαία τις διάφορες κινήσεις (αντιστοιχία: 1 Κάτω, 2 εξιά, 3 Επάνω, 4 Αριστερά). Εάν η κίνηση που επιλεγεί οδηγεί σε εµπόδιο ή εκτός του λαβύρινθου, επιλέξτε µια άλλη κίνηση µε τον επόµενο τυχαίο αριθµό. - Για να αποφασίσετε εάν θα κάνετε δεκτή την επιλεγµένη κίνηση, εφόσον αυτή οδηγεί προς χειρότερη κατάσταση (αντιστοιχία: 1 Εκτέλεση, {2,3,4} Μη εκτέλεση). Απάντηση: Η λύση που θα δοθεί αντιστοιχεί σε φοιτητή που έχει αριθµό µητρώου 1, δηλαδή οι τυχαίοι αριθµοί θα χρησιµοποιηθούν από την αρχή του πίνακα. Προφανώς η λύση που θα δοθεί είναι διαφορετική από αυτή που αντιστοιχεί σε κάθε φοιτητή ξεχωριστά. Επίσης στη λύση που θα δοθεί δεν θα σταµατήσουµε στην 50 η κίνηση, αλλά θα συνεχίσουµε µέχρι να εξαντλήσουµε ολόκληρο τον πίνακα (εκτός αν βρεθεί λύση νωρίτερα). Καταρχήν υπολογίζουµε τις αποστάσεις Manhattan για όλες τις θέσεις του λαβύρινθου. Αυτές φαίνονται στο παρακάτω σχήµα: 6 5 4 3 2 1 11 10 9 7 10 8 7 S 5 8 7 6 9 7 6 5 10 8 7 6 6 5 4 4 3 2 3 4 3 1 2 3 2 F 1 4 1 4 3 2 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Στη συνέχεια εφαρµόζουµε τον αλγόριθµο της προσοµοιωµένης ανόπτησης. Η εφαρµογή του φαίνεται στον παρακάτω πίνακα. Στην στήλη «Τρέχουσα θέση» φαίνεται κάθε φορά η θέση στην οποία βρισκόµαστε. Η στήλη «επόµενος αριθµός» διαβάζει τον επόµενο τυχαίο αριθµό και καθορίζει ποια θα είναι η «υποψήφια επόµενη θέση». Εάν η υποψήφια επόµενη θέση έχει µικρότερη απόσταση Manhattan από την «τρέχουσα θέση», τότε γίνεται δεκτή και τσεκάρεται η στήλη «Βελτίωση». Εάν η υποψήφια επόµενη θέση έχει εµπόδιο ή οδηγεί εκτός των ορίων του λαβυρίνθου, τότε δεν γίνεται δεκτή και εµφανίζεται ένα σύµβολο αποτυχίας στη στήλη «εµπόδιο». Τέλος εάν η υποψήφια επόµενη θέση δεν οδηγεί σε βελτίωση, ούτε περιέχει εµπόδιο, τότε διαβάζεται ο «επόµενος τυχαίος αριθµός» (προτελευταία στήλη) και εάν αυτός είναι 1, η υποψήφια επόµενη θέση γίνεται δεκτή, αλλιώς αγνοείται. Σε κάθε περίπτωση, εάν η υποψήφια επόµενη θέση γίνει δεκτή, αυτή είναι η τρέχουσα θέση στην επόµενη σειρά, αλλιώς ως τρέχουσα θέση παραµένει η προηγούµενη τρέχουσα θέση. Σηµειώνεται εδώ τέλος ότι, λόγω της φύσης του προβλήµατος, κάθε φορά η υποψήφια επόµενη θέση διαφέρει από την τρέχουσα θέση είτε κατά +1 είτε κατά -1. Αυτό διευκολύνει την εφαρµογή του αλγορίθµου της προσοµοιωµένης ανόπτησης, µιας και στις περιπτώσεις όπου έχουµε χειροτέρευση, αυτή είναι πάντα η ίδια, µε αποτέλεσµα να είναι η ίδια και η πιθανότητα αποδοχής των χειρότερων θέσεων (από τον ορισµό του αλγορίθµου της προσοµοιωµένης ανόπτησης, η πιθανότητα αποδοχής µιας χειρότερης θέσης εξαρτάται από το πόσο χειρότερη είναι αυτή σε σχέση µε την τρέχουσα θέση προφανώς για µεγαλύτερες χειροτερεύσεις έχουµε µικρότερες πιθανότητες αποδοχής).
# Τρέχουσα Επόµενος Υποψήφια Επόµενος εκτή µε Βελτίωση Εµπόδιο θέση αριθµός επόµενη θέση αριθµός πιθανότητα 1 (5,5) 1 (5,4) 2 (5,4) 4 (4,4) 3 (5,4) 3 (5,5) 2 4 (5,4) 1 (5,3) 5 (5,4) 1 (5,3) 6 (5,4) 4 (4,4) 7 (5,4) 3 (5,5) 2 8 (5,4) 2 (6,4) 9 (6,4) 3 (6,5) 10 (6,4) 3 (6,5) 11 (6,4) 2 (7,4) 12 (7,4) 3 (7,5) 2 13 (7,4) 3 (7,5) 2 14 (7,4) 1 (7,3) 15 (7,3) 3 (7,4) 3 16 (7,3) 1 (8,3) 17 (7,3) 4 (6,3) 1 18 (6,3) 3 (6,4) 4 19 (6,3) 4 (5,3) 20 (6,3) 1 (6,2) 3 21 (6,3) 1 (6,2) 1 22 (6,2) 3 (6,3) 23 (6,3) 3 (6,4) 1 24 (6,4) 1 (6,3) 25 (6,3) 2 (7,3) 26 (7,3) 4 (6,3) 3 27 (7,3) 2 (8,3) 28 (7,3) 1 (7,2) 29 (7,3) 1 (7,2) 30 (7,3) 1 (7,2) 31 (7,3) 1 (7,2) 32 (7,3) 4 (6,3) 4 33 (7,3) 2 (8,3) 34 (7,3) 3 (7,4) 4 35 (7,3) 1 (7,2) 36 (7,3) 1 (7,2) 37 (7,3) 2 (8,3) 38 (7,3) 1 (7,2) 39 (7,3) 4 (6,3) 2 40 (7,3) 4 (6,3) 1 41 (6,3) 2 (7,3) 42 (7,3) 2 (8,3) 43 (7,3) 4 (6,3) 3 44 (7,3) 1 (7,2) 45 (7,3) 2 (8,3) 46 (7,3) 1 (7,2) 47 (7,3) 4 (6,3) 3 48 (7,3) 1 (7,2) 49 (7,3) 1 (7,2) 50 (7,3) 1 (7,2) 51 (7,3) 4 (6,3) 4 52 (7,3) 2 (8,3) 53 (7,3) 4 (6,3) 4 54 (7,3) 3 (7,4) 1 55 (7,4) 3 (7,5) 4 56 (7,4) 2 (8,4) 57 (7,4) 3 (7,5) 4 58 (7,4) 2 (8,4) 59 (7,4) 1 (7,3)
60 (7,3) 1 (7,2) 61 (7,3) 3 (7,4) 3 62 (7,3) 1 (7,2) 63 (7,3) 3 (7,4) 4 64 (7,3) 3 (7,4) 1 65 (7,4) 1 (7,3) 66 (7,3) 2 (8,3) 67 (7,3) 1 (7,2) 68 (7,3) 3 (7,4) 3 69 (7,3) 2 (8,3) 70 (7,3) 2 (8,3) 71 (7,3) 3 (7,4) 3 72 (7,3) 4 (6,3) 3 73 (7,3) 3 (7,4) 3 74 (7,3) 3 (7,4) 3 75 (7,3) 1 (7,2) 76 (7,3) 3 (7,4) 4 77 (7,3) 3 (7,4) 3 78 (7,3) 3 (7,4) 3 79 (7,3) 2 (8,3) 80 (7,3) 2 (8,3) 81 (7,3) 4 (6,3) 3 82 (7,3) 4 (6,3) 1 83 (6,3) 3 (6,4) 1 84 (6,4) 3 (6,5) 85 (6,4) 3 (6,5) 86 (6,4) 4 (5,4) 2 87 (6,4) 3 (6,5) 88 (6,4) 2 (7,4) 89 (7,4) 4 (6,4) 1 90 (6,4) 3 (6,5) 91 (6,4) 2 (7,4) 92 (7,4) 1 (7,3) 93 (7,3) 3 (7,4) 2 94 (7,3) 2 (8,3) 95 (7,3) 3 (7,4) 2 96 (7,3) 1 (7,2) 97 (7,3) 1 (7,2) 98 (7,3) 4 (6,3) 2 99 (7,3) 2 (8,3) 100 (7,3) 4 (6,3) 2 101 (7,3) 3 (7,4) 3 102 (7,3) 3 (7,4) 1 103 (7,4) 1 (7,3) 104 (7,3) 4 (6,3) 1 105 (6,3) 3 (6,4) 1 106 (6,4) 2 (7,4) 107 (7,4) 3 (7,5) 2 108 (7,4) 3 (7,5) 3 109 (7,4) 1 (7,3) 110 (7,3) 2 (8,3) 111 (7,3) 1 (7,2) 112 (7,3) 2 (8,3) 113 (7,3) 4 (6,3) 4 114 (7,3) 3 (7,4) 2 115 (7,3) 1 (7,2) 116 (7,3) 1 (7,2) 117 (7,3) 4 (6,3) 1 118 (6,3) 3 (6,4) 1 119 (6,4) 1 (6,3) 120 (6,3) 1 (6,2) 2 121 (6,3) 3 (6,4) 3 122 (6,3) 1 (6,2) 2
123 (6,3) 1 (6,2) 4 124 (6,3) 4 (5,3) 125 (6,3) 3 (6,4) 2 126 (6,3) 4 (5,3) 127 (6,3) 3 (6,4) 2 128 (6,3) 1 (6,2) 4 129 (6,3) 4 (5,3) 130 (6,3) 4 (5,3) 131 (6,3) 2 (7,3) 132 (7,3) 4 (6,3) 1 133 (6,3) 2 (7,3) 134 (7,3) 1 (7,2) 135 (7,3) 4 (6,3) 3 136 (7,3) 1 (7,2) 137 (7,3) 3 (7,4) 2 138 (7,3) 1 (7,2) Στο σηµείο αυτό εξαντλήθηκαν οι διαθέσιµοι τυχαίοι αριθµοί. Θα µπορούσαµε να δηµιουργήσουµε περισσότερους ή να χρησιµοποιήσουµε τους ίδιους από την αρχή. Ωστόσο, επειδή έχουµε ξεπεράσει αρκετά το όριο των βηµάτων που µας τέθηκε, διακόπτουµε τον αλγόριθµο χωρίς να έχουµε βρει λύση. ΘΕΜΑ 2 ο (2.5 µονάδες) Έστω ένα σύνολο από τοποθεσίες Α, Β, Γ,, και Ε, σε κάθε µία από τις οποίες πρόκειται να τοποθετηθεί ένας ποµπός που θα εκπέµπει σε συγκεκριµένη ραδιοσυχνότητα. Οι διαθέσιµες ραδιοσυχνότητες είναι οι {1, 2, 3, 4}. Οι ραδιοσυχνότητες θα πρέπει να επιλεγούν µε τέτοιο τρόπο, ώστε οι ποµποί να µην αλληλεπιδρούν µεταξύ τους. Για το σκοπό αυτό µας δίνεται ένας πίνακας διαχωρισµού (separation matrix), ο οποίος για κάθε ζεύγος ποµπών καθορίζει την ελάχιστη απόσταση που µπορούν να έχουν οι ραδιοσυχνότητές τους χωρίς να αλληλεπιδρούν: Α Β Γ Ε Α 2 2 1 3 Β 2 1 1 1 Γ 2 1 1 0 1 1 1 1 Ε 3 1 0 1 Μοντελοποιείστε και λύστε το παραπάνω πρόβληµα ως πρόβληµα ικανοποίησης περιορισµών. Απάντηση: Έχουµε πέντε µεταβλητές, τις Α, Β, Γ,, και Ε, µε το αρχικό πεδίο όλων να είναι το {1,2,3,4}. Οι περιορισµοί είναι οι εξής: Α-Β 2 (1) Α-Γ 2 (2) Α- 1 (3) Α-Ε 3 (4) Β-Γ 1 (5) Β- 1 (6) Β-E 1 (7) Γ- 1 (8) -E 1 (9)
Πριν προχωρήσουµε σε ανάθεση τιµών θα δοκιµάσουµε να µειώσουµε τα πεδία των µεταβλητών. Πράγµατι, από τον περιορισµό (4) µπορούµε να συµπεράνουµε ότι καµία εκ των µεταβλητών Α και Ε δεν µπορεί να πάρει τις τιµές 2 και 3, µιας και σε αυτή την περίπτωση η απαίτηση για ελάχιστη απόσταση ίση µε 3 µεταξύ των δύο µεταβλητών δεν µπορεί να ικανοποιηθεί. Έτσι τα πεδία των µεταβλητών γίνονται: Α={1,4} Β={1,2,3,4} Γ={1,2,3,4} ={1,2,3,4} Ε={1,4} εν µπορούµε να κάνουµε άλλη διαγραφή από τα πεδία των µεταβλητών, οπότε προχωράµε σε ανάθεση τιµής. Έστω ότι επιλέγουµε τη µεταβλητή Α και της δίνουµε την τιµή 1. Τότε ενεργοποιούνται οι περιορισµοί (1) έως (4) στους οποίους συµµετέχει η Α και διαγράφονται οι σχετικές τιµές από τα πεδία των Β, Γ, και Ε. Τα νέα πεδία είναι τα εξής: Α={1} Β={3,4} Γ={3,4} ={2,3,4} Ε={4} Τώρα που η Ε πήρε τιµή, µπορούν να ενεργοποιηθούν και οι περιορισµοί (7) και (9), οι οποίοι οδηγούν σε επιπλέον διαγραφές τιµών για τις µεταβλητές Β, Γ και. Τα νέα πεδία είναι τα εξής: Α={1} Β={3} Γ={3,4} ={2,3} Ε={4} Τώρα που η µεταβλητή Β πήρε συγκεκριµένη τιµή, ενεργοποιούνται και οι περιορισµοί (5) και (6), οι οποίοι διαγράφουν τιµές από τα πεδία των µεταβλητών Γ και. Τα νέα πεδία είναι τα εξής: Α={1} Β={3} Γ={4} ={2} Ε={4} Πλέον όλες οι µεταβλητές έχουν πάρει τιµές. Επιπλέον, ελέγχοντας όλους τους περιορισµούς βλέπουµε ότι αυτοί ικανοποιούνται. Άρα η παραπάνω ανάθεση αποτελεί λύση του προβλήµατος. Μια δεύτερη λύση του προβλήµατος θα είχαµε βρει εάν κατά την αρχική ανάθεση τιµής στην µεταβλητή Α είχαµε επιλέξει την τιµή 4. Σε αυτή την περίπτωση η λύση που βρίσκουµε είναι η Α={4} Β={2} Γ={1} ={3} Ε={1} Αυτές είναι και οι µοναδικές δύο λύσεις του προβλήµατος. ΘΕΜΑ 3 ο (2.5 µονάδες) Έστω το ακόλουθο παιχνίδι δύο παικτών: Επιλέγουµε στην τύχη τέσσερα τραπουλόχαρτα και τα τοποθετούµε πάνω σε ένα τραπέζι «ανοιχτά». Οι δύο παίκτες, Α και Β, θα επιλέγουν εναλλάξ ένα τραπουλόχαρτο από τα τέσσερα και θα το τοποθετούν σε µία κενή θέση από τις 4 θέσεις ενός πίνακα 2x2. Στο τέλος του παιχνιδιού η κατάσταση µπορεί να είναι η εξής:
Για να βρούµε τον νικητή προσθέτουµε τους αριθµούς κάθε διαγωνίου. Η διαγώνιος από πάνω αριστερά προς κάτω δεξιά ονοµάζεται D1, ενώ η διαγώνιος από κάτω αριστερά προς πάνω δεξιά ονοµάζεται D2. Το κέρδος κάθε παίκτη στο τέλος του παιχνιδιού εξαρτάται από το εάν οι αριθµοί D1 και D2 είναι άρτιοι ή περιττοί. Ειδικότερα, εάν κάποια διαγώνιος είναι άρτια, το νούµερό της προστίθεται στον Α και αφαιρείται από τον Β, ενώ αν κάποια διαγώνιος είναι περιττή, το νούµερό της προστίθεται στον Β και αφαιρείται από τον Α. Νικητής είναι ο παίκτης που θα συγκεντρώσει τη µεγαλύτερη βαθµολογία. Για παράδειγµα, στην τελική κατάσταση που φαίνεται στην παραπάνω εικόνα, έχουµε D1=18 και D2=8, άρα η βαθµολογία του Α είναι 26 και του Β είναι -26, άρα νικητής είναι ο Α. Έστω λοιπόν ότι έχετε τα παρακάτω τραπουλόχαρτα: Εφαρµόστε τον αλγόριθµο minimax στο µέγιστο δυνατό βάθος και βρείτε ποιος παίκτης θα κερδίσει. Υπόδειξη: Λάβετε υπόψη ότι, λόγω των συµµετριών του παιχνιδιού ο Α έχει αρχικά διαθέσιµες µόνο 4 (αντί για 16) µη-συµµετρικές κινήσεις, ενώ ο Β στη συνέχεια µόνο 6 (αντί για 9) για κάθε κίνηση του Α. Απάντηση: Παρατηρώντας ότι το παιχνίδι είναι εντελώς συµµετρικό ως προς το πού θα τοποθετήσει ο παίκτης Α το πρώτο τραπουλόχαρτο, ο Α έχει 4 δυνατές κινήσεις, τις εξής: Κ1 Κ2 Κ3 Κ4 Για κάθε µια από τις παραπάνω κινήσεις του Α, ο παίκτης Β έχει 9 κινήσεις (3 τραπουλόχαρτα επί 3 θέσεις). Όµως οι δύο εκ των τριών θέσεων είναι συµµετρικές, έτσι οι µη-συµµετρικές κινήσεις του Β περιορίζονται σε 6 (3 τραπουλόχαρτα επί 2 θέσεις). Έχουµε λοιπόν: Εάν ο Α επιλέξει την Κ1, οι απαντήσεις του Β είναι οι:
Κ1-1 Κ1-2 Κ1-3 Κ1-4 Κ1-5 Κ1-6 Εάν ο Α επιλέξει την Κ2, οι απαντήσεις του Β είναι οι: Κ2-1 Κ2-2 Κ2-3 Κ2-4 Κ2-5 Κ2-6 Εάν ο Α επιλέξει την Κ3 οι απαντήσεις του Β είναι οι:
Κ3-1 Κ3-2 Κ3-3 Κ3-4 Κ3-5 Κ3-6 Τέλος εάν Α επιλέξει την Κ4 οι απαντήσεις του Β είναι οι: Κ4-1 Κ4-2 Κ4-3 Κ4-4 Κ4-5 Κ4-6 Για κάθε µία από τις απαντήσεις (Κ1-1 έως Κ4-6) του Β, ο Α έχει 2 επιλογές να απαντήσει, και στη συνέχεια ο Β έχει µόνο µια επιλογή. Ουσιαστικά η 2 η κίνηση του Α καθορίζει µονοσήµαντα και τη 2 η κίνηση του Β. Για το λόγο αυτό θα θεωρήσουµε ότι µε τη 2 η κίνηση του Α το παιχνίδι ολοκληρώνεται, λαµβάνοντας υπόψη και τη 2 η κίνηση του Β. Οι δυνατές απαντήσεις λοιπόν του Α, για τις διάφορες κινήσεις του Β φαίνονται παρακάτω. ίπλα σε κάθε έκβαση του παιχνιδιού φαίνεται η βαθµολογία του Α. Η βαθµολογία του Β παραλείπεται, µιας και είναι πάντα η αντίθετη της βαθµολογίας του Α. Με βάση αυτή τη λογική, θεωρούµε ότι ο παίκτης Α είναι ο παίκτης ΜΑΧ και ο παίκτης Β είναι ο παίκτης ΜΙΝ (µιας και ο παίκτης Β προτιµά µικρότερες βαθµολογίες του Α). Στην κίνηση Κ1-1 του Β, οι απαντήσεις του Α είναι οι:
Κ1-1-1=-13 Κ1-1-2=-1 Στην κίνηση Κ1-2 του Β, οι απαντήσεις του Α είναι οι: Κ1-2-1=3 Κ1-2-2=3 Στην κίνηση Κ1-3 του Β, οι απαντήσεις του Α είναι οι: Κ1-3-1=-13 Κ1-3-2=3 Στην κίνηση Κ1-4 του Β, οι απαντήσεις του Α είναι οι: Κ1-4-1=-1 Κ1-4-2=-1 Στην κίνηση Κ1-5 του Β, οι απαντήσεις του Α είναι οι:
Κ1-5-1=-1 Κ1-5-2=3 Στην κίνηση Κ1-6 του Β, οι απαντήσεις του Α είναι οι: Κ1-6-1=-13 Κ1-6-2=-13 Στην κίνηση Κ2-1 του Β, οι απαντήσεις του Α είναι οι: Κ2-1-1=-1 Κ2-1-2=-13 Στην κίνηση Κ2-2 του Β, οι απαντήσεις του Α είναι οι: Κ2-2-1=3 Κ2-2-2=3 Στην κίνηση Κ2-3 του Β, οι απαντήσεις του Α είναι οι:
Κ2-3-1=-1 Κ2-3-2=3 Στην κίνηση Κ2-4 του Β, οι απαντήσεις του Α είναι οι: Κ2-4-1=-13 Κ2-4-2=-13 Στην κίνηση Κ2-5 του Β, οι απαντήσεις του Α είναι οι: Κ2-5-1=-13 Κ2-5-2=3 Στην κίνηση Κ2-6 του Β, οι απαντήσεις του Α είναι οι: Κ2-6-1=-1 Κ2-6-2=-1 Στην κίνηση Κ3-1 του Β, οι απαντήσεις του Α είναι οι:
Κ3-1-1=3 Κ3-1-2=-13 Στην κίνηση Κ3-2 του Β, οι απαντήσεις του Α είναι οι: Κ3-2-1=-11 Κ3-2-2=-1 Στην κίνηση Κ3-3 του Β, οι απαντήσεις του Α είναι οι: Κ3-3-1=3 Κ3-3-2=-1 Στην κίνηση Κ3-4 του Β, οι απαντήσεις του Α είναι οι: Κ3-4-1=-13 Κ3-4-2=-13 Στην κίνηση Κ3-5 του Β, οι απαντήσεις του Α είναι οι:
Κ3-5-1=-13 Κ3-5-2=-1 Στην κίνηση Κ3-6 του Β, οι απαντήσεις του Α είναι οι: Κ3-6-1=3 Κ3-6-2=3 Στην κίνηση Κ4-1 του Β, οι απαντήσεις του Α είναι οι: Κ4-1-1=3 Κ4-1-2=-1 Στην κίνηση Κ4-2 του Β, οι απαντήσεις του Α είναι οι: Κ4-2-1=-13 Κ4-2-2=-13 Στην κίνηση Κ4-3 του Β, οι απαντήσεις του Α είναι οι:
Κ4-3-1=-13 Κ4-3-2=3 Στην κίνηση Κ4-4 του Β, οι απαντήσεις του Α είναι οι: Κ4-4-1=-1 Κ4-4-2=-1 Στην κίνηση Κ4-5 του Β, οι απαντήσεις του Α είναι οι: Κ4-5-1=-1 Κ4-5-2=-13 Και τέλος στην κίνηση Κ4-6 του Β, οι απαντήσεις του Α είναι οι: Κ4-6-1=3 Κ4-6-2=3 Μετά τα παραπάνω, στις διάφορες περιπτώσεις δεύτερης κίνησης του Α, αυτός (ως MΑΧ) θα επιλέξει εκείνη που οδηγεί στη µεγαλύτερη τελική βαθµολογία του Α. Οι διάφορες πρώτες κινήσεις του Β βαθµολογούνται λοιπόν µε βάση τη µεγαλύτερη βαθµολογία των δυνατών απαντήσεων του Α, ως εξής: K1-1=-1
K1-2=3 K1-3=3 K1-4=-1 K1-5=3 K1-6=-13 K2-1=-1 K2-2=3 K2-3=3 K2-4=-13 K2-5=3 K2-6=-1 K3-1=3 K3-2=-1 K3-3=3 K3-4=-13 K3-5=-1 K3-6=3 K4-1=3 K4-2=-13 K4-3=3 K4-4=-1 K4-5=-1 K4-6=3 Οι διάφορες πρώτες κινήσεις του Α βαθµολογούνται τώρα µε τη µικρότερη βαθµολογία των απαντήσεων (πρώτες κινήσεις) του Β ως εξής: Κ1=-13 Κ2=-13 Κ3=-13 Κ4=-13 Τέλος ο Α, από τις τέσσερις δυνατές κινήσεις που έχει θα επιλέξει αυτή που αποφέρει µεγαλύτερη βαθµολογία. Όπως όµως φαίνεται, όποια κίνηση και αν επιλέξει ως πρώτη του κίνηση ο Α, το τελικό αποτέλεσµα (εφόσον ο Β παίξει σωστά) είναι πάντα -13. Άρα, ό,τι και να παίξει ο Α είναι καταδικασµένος να χάσει από έναν ορθολογικό παίκτη Β για τα δεδοµένα τραπουλόχαρτα. ΘΕΜΑ 4 ο (2.5 µονάδες) α) Γράψτε την παρακάτω πρόταση σε λογική πρώτης τάξης. (1) Οι πολιτικοί µπορούν εξαπατούν πάντοτε µερικούς ανθρώπους, και µπορούν να εξαπατούν µερικές φορές όλους τους ανθρώπους, αλλά δεν µπορούν να εξαπατούν πάντοτε όλους τους ανθρώπους. Χρησιµοποιείστε τα παρακάτω κατηγορήµατα: Πολιτικός(x): Ο x είναι πολιτικός. Άνθρωπος(x): Ο x είναι άνθρωπος. Εξαπατά(x,y,t): Ο x µπορεί να εξαπατά τον y τη χρονική στιγµή t. Υπόδειξη: Η πρόταση που σας ζητείται να κωδικοποιήσετε σε λογική πρώτης τάξης είναι µια σύζευξη τριών απλούστερων προτάσεων. β) ίνεται η παρακάτω βάση γνώσης: (1.5)
x, Φοιτητής(x) Έχει_πρόσβαση(x, Βιβλιοθήκη) (1) x, ιδάσκων(x) Έχει_πρόσβαση(x, Βιβλιοθήκη) (2) x, y, Έχει_πρόσβαση(x,Βιβλιοθήκη) Γονιός(x,y) Έχει_πρόσβαση(y, Βιβλιοθήκη) (3) ιδάσκων(ντίνα) (4) ιδάσκων(μιχάλης) (5) Φοιτητής(Γιώργος) (6) Φοιτητής(Μαρία) (7) Γονιός(Ντίνα, Κατερίνα) (8) Γονιός(Ντίνα, Πέτρος) (9) Γονιός(Σοφία, Σάρα) (10) Γονιός(Σάρα, Άρης) (11) Γονιός(Κατερίνα, Μαρία) (12) Γονιός(Κατερίνα, Απόστολος) (13) Αποδείξτε, χρησιµοποιώντας την τεχνική της ανάλυσης, ότι ισχύει το Έχει_πρόσβαση(Απόστολος,Βιβλιοθήκη). Παρατήρηση: εν είναι απαραίτητο να χρησιµοποιήσετε όλες τις προτάσεις της βάσης γνώσης για να αποδείξετε το ζητούµενο. Επίσης θεωρείται λάθος να προχωράτε σε εκτεταµένες αντικαταστάσεις µεταβλητών µε σταθερές, πέραν των ελαχίστων µεταβλητών που απαιτούνται κάθε φορά που εφαρµόζετε τον κανόνα της ανάλυσης µεταξύ δύο µόνο προτάσεων. Απάντηση: α) x, Πολιτικός(x) ( t y Άνθρωπος(y) Εξαπατά(x,y,t)) x, Πολιτικός(x) ( t y Άνθρωπος(y) Εξαπατά(x,y,t)) x Πολιτικός(x) t, y Άνθρωπος(y) Εξαπατά(x,y,t). β) Μετατρέπουµε τη βάση γνώσης σε κανονική συζευκτική µορφή. Ουσιαστικά χρειάζεται να µετατρέψουµε τις προτάσεις (1), (2) και (3), οι οποίες γίνονται (αφού αφαιρέσουµε και τους καθολικούς ποσοδείκτες χάρην συντοµίας): Φοιτητής(x) Έχει_πρόσβαση(x, Βιβλιοθήκη) (14) ιδάσκων(x) Έχει_πρόσβαση(x, Βιβλιοθήκη) (15) Έχει_πρόσβαση(x,Βιβλιοθήκη) Γονιός(x,y) Έχει_πρόσβαση(y, Βιβλιοθήκη) (16) Προσθέτουµε στη βάση γνώσης την άρνηση της πρότασης που θέλουµε να αποδείξουµε: Έχει_πρόσβαση(Απόστολος,Βιβλιοθήκη) (17) Συνδυάζοντας την (16) µε την (17) και µε την αντικατάσταση {y/απόστολος} παίρνουµε: Έχει_πρόσβαση(x,Βιβλιοθήκη) Γονιός(x,Απόστολος) (18) Συνδυάζοντας την (18) µε την (13) και µε την αντικατάσταση {x/κατερίνα} παίρνουµε: Έχει_πρόσβαση(Κατερίνα,Βιβλιοθήκη) (19) Συνδυάζοντας ξανά την (16) µε την (19) και µε την αντικατάσταση {y/κατερίνα} παίρνουµε: Έχει_πρόσβαση(x,Βιβλιοθήκη) Γονιός(x,Κατερίνα) (20)
Συνδυάζοντας την (20) µε την (8) και µε την αντικατάσταση {x/ντίνα} παίρνουµε: Έχει_πρόσβαση(Ντίνα,Βιβλιοθήκη) (21) Συνδυάζοντας την (21) µε την (15) και µε την αντικατάσταση {x/ντίνα} παίρνουµε: ιδάσκων(ντίνα) (22) Τέλος οι προτάσεις (22) και (4) οδηγούν σε άτοπο. Θεωρώντας ότι η αρχική µας βάση γνώσης (προτάσεις από (1) έως (13)) ήταν έγκυρη, το άτοπο προήλθε από την εισαγωγή στη βάση γνώσης της πρότασης (17). Άρα η πρόταση (17) δεν µπορεί να ισχύει ποτέ, άρα ισχύει πάντα η άρνησή της, ο.ε.δ. (όπερ έδει δείξαι ή, στα λατινικά, quod erat demonstratum). Θέµα 5 ο (2.5 µονάδες) Το πρόβληµα της µαϊµούς και των µπανανών είναι το πρόβληµα που αντιµετωπίζει µία µαϊµού η οποία βρίσκεται σε ένα εργαστήριο µε µερικές µπανάνες να κρέµονται από την οροφή, τόσο ψηλά ώστε να µην µπορεί να τις φτάσει. Υπάρχει διαθέσιµο ένα κουτί το οποίο επιτρέπει στη µαϊµού να φτάσει τις µπανάνες αν ανέβει πάνω σε αυτό. Αρχικά η µαϊµού βρίσκεται στη θέση Α, οι µπανάνες στη θέση Β, και το κουτί στη θέση Γ. Η µαϊµού και το κουτί έχουν Χαµηλό ύψος, αλλά αν η µαϊµού ανέβει πάνω στο κουτί θα έχει Υψηλό ύψος, όπως και οι µπανάνες. Οι ενέργειες που είναι διαθέσιµες για τη µαϊµού είναι οι Μετάβαση από το ένα σηµείο στο άλλο, Σπρώξιµο ενός αντικειµένου από τη µία θέση στην άλλη, Σκαρφάλωµα σε και Κατέβασµα από ένα αντικείµενο, Άρπαγµα και Άφηµα ενός αντικειµένου. Το άρπαγµα έχει αποτέλεσµα την κατοχή του αντικειµένου αν η µαϊµού και το αντικείµενο βρίσκονται στην ίδια θέση και στο ίδιο ύψος. α) Καταγράψτε την περιγραφή της αρχικής κατάστασης σε προτασιακή λογική. (1) β) Γράψτε ορισµούς STRIPS για τις έξι ενέργειες. Προσπαθείστε οι ορισµοί σας να είναι όσο το δυνατόν πιο γενικοί, ώστε να µπορούν να αντιµετωπίσουν περιπτώσεις όπου υπάρχουν πολλές µαϊµούδες, πολλά κουτιά ή πολλά τσαµπιά µπανάνες. (1.5) Απάντηση: α) Περιγράφουµε την αρχική κατάσταση σε προτασιακή λογική, δηλαδή χωρίς τη χρήση µεταβλητών. Καταγράφουµε καταρχήν όλα τα αντικείµενα χρησιµοποιώντας κατηγορήµατα ενός ορίσµατος και δίνοντας αυθαίρετα ονόµατα στα αντικείµενα: Κουτί(Κ). Μαϊµού(Μ). Μπανάνες(Μπ). Θέση(Α). Θέση(Β). Θέση(Γ). Ύψος(Χαµηλό). Ύψος(Υψηλό). Στη συνέχεια καταγράφουµε τις σχέσεις µεταξύ των αντικειµένων χρησιµοποιώντας κατηγορήµατα µε πολλά ορίσµατα. Στην προκειµένη περίπτωση η βασική σχέση που µας ενδιαφέρει είναι πού βρίσκονται τα διάφορα αντικείµενα (µαϊµού, κουτί, µπανάνες), συµπεριλαµβανοµένου και του ύψους. Χρησιµοποιούµε λοιπόν ένα κατηγόρηµα µε τρία ορίσµατα: Σε(Μ,Α,Χαµηλό). Σε(Μπ,Β,Υψηλό). Σε(Κ,Γ,Χαµηλό).
Μας ενδιαφέρει επίσης και το αν το τσαµπί µε τις µπανάνες είναι ελεύθερο ή εάν το κρατάει στα χέρια της η µαϊµού. Επειδή στην αρχική κατάσταση οι µπανάνες είναι ελεύθερες, προσθέτουµε την πρόταση: Ελεύθερο(Μπ). Εάν αντίθετα τις µπανάνες τις κρατούσε η µαϊµού, θα προσθέταµε την πρόταση Κατέχει(Μ,Μπ). β) Παρακάτω φαίνονται οι ορισµοί των πέντε ενεργειών. Τα ορίσµατα που ξεκινούν µε πεζό γράµµα δηλώνουν µεταβλητές, ενώ αυτά που ξεκινούν µε κεφαλαίο γράµµα δηλώνουν σταθερές: Action (Μετάβαση(µ, θ1, θ2), ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ: Μαϊµού(µ) Θέση(θ1) Θέση(θ2) Σε(µ, θ1, Χαµηλό) ΕΠΙ ΡΑΣΕΙΣ: Σε(µ, θ1, Χαµηλό) Σε(µ, θ2, Χαµηλό)) Action (Σπρώξιµο(µ, κ, θ1, θ2), ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ: Μαϊµού(µ) Κουτί(κ) Θέση(θ1) Θέση(θ2) Σε(µ, θ1, Χαµηλό) Σε(κ, θ1, Χαµηλό) ΕΠΙ ΡΑΣΕΙΣ: Σε(µ, θ1, Χαµηλό) Σε(µ, θ2, Χαµηλό) Σε(κ, θ1, Χαµηλό) Σε(κ, θ2, Χαµηλό)) Action (Σκαρφάλωµα (µ, κ, θ), ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ: Μαϊµού(µ) Κουτί(κ) Θέση(θ) Σε(µ, θ, Χαµηλό) Σε(κ, θ, Χαµηλό) ΕΠΙ ΡΑΣΕΙΣ: Σε(µ, θ, Χαµηλό) Σε(µ, θ, Υψηλο)) Action (Κατέβασµα(µ, κ, θ), ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ: Μαϊµού(µ) Κουτί(κ) Θέση(θ) Σε(µ, θ, Υψηλό) Σε(κ, θ, Χαµηλό) ΕΠΙ ΡΑΣΕΙΣ: Σε(µ, θ, Υψηλό) Σε(µ, θ, Χαµηλό)) Action (Άρπαγµα(µ, µπ, θ, υ), ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ: Μαϊµού(µ) Μπανάνες(µπ) Θέση(θ) Ύψος(υ) Σε(µ, θ, υ) Σε(µπ, θ, υ) Ελεύθερο(µπ) ΕΠΙ ΡΑΣΕΙΣ: Ελεύθερο(µπ) Σε(µπ, θ, υ) Κατέχει(µ, µπ)) Action (Άφηµα (µ, µπ, θ, υ), ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ: Μαϊµού(µ) Μπανάνες(µπ) Θέση(θ) Ύψος(υ) Σε(µ, θ, υ) Σε(µπ, θ, υ) Κατέχει(µ, µπ) ΕΠΙ ΡΑΣΕΙΣ: Ελεύθερο(µπ) Κατέχει(µ, µπ) Σε(µπ, θ, υ)) ΑΠΑΝΤΗΣΤΕ 4 ΑΠΟ ΤΑ ΠΑΡΑΠΑΝΩ 5 ΘΕΜΑΤΑ (Ενδεικτικές λύσεις θα αναρτηθούν µετά την εξέταση στο site του µαθήµατος)