ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΙΣΧΥΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟ ΡΕΥΜΑ 1
Ως ισχύς ορίζεται ο ρυθμός παροχής ή κατανάλωσης ενέργειας. Η ηλεκτρική ισχύς ορίζεται ως το γινόμενο της τάσης επί το ρεύμα: p u i Ιδανικό πηνίο Η τάση u προπορεύεται του ρεύματος i κατά 90 ο π.χ αν u U cos t τότε i I cos( t 90) I sin t Η στιγμιαία ισχύς είναι 1 p u i (U cos t) (I sin t) U I sin t Από το σχήμα αυτό φαίνεται ότι η ισχύς παίρνει τόσο θετικές όσο και αρνητικές τιμές πράγμα που σημαίνει ότι όταν η ισχύς είναι αρνητική τότε το πηνίο δεν απορροφά ενέργεια αλλά αντιθέτως προσφέρει ενέργεια στο κύκλωμα, στην πηγή. u i p=u*i
Η ενέργεια που επιστρέφει στο κύκλωμα είχε αποθηκευθεί στο μαγνητικό πεδίο του πηνίου. Από την εξίσωση της ισχύος αλλά και από το διάγραμμα φαίνεται ότι η κυκλική συχνότητα μεταβολής της ισχύος είναι διπλάσια αυτής του ρεύματος και της τάσης. Η μέση τιμή της ισχύς p στο ιδανικό πηνίο στην διάρκεια μιας περιόδου Τ είναι μηδέν γιατί η στιγμιαία τιμή της ισχύος είναι ημιτονοειδής συνάρτηση. Από φυσικής πλευράς αυτό σημαίνει ότι στο ιδανικό πηνίο δεν καταναλώνεται ενέργεια. Η στιγμιαία αποθηκευόμενη ενέργεια W L είναι : t 1 wl pdt Li 0 Η ενέργεια που αποθηκεύεται στο πηνίο είναι πάντα θετική και κυμαίνεται μεταξύ μηδέν και μιας μέγιστης τιμής. 3
Ιδανικός πυκνωτής Η τάση u έπεται του ρεύματος i κατά 90 ο π.χ αν i I cos t τότε u U cos( t 90) U sin t Η στιγμιαία ισχύς είναι p u i 1 p u i (I cos t) (U sin t) U I sin t Από το σχήμα αυτό φαίνεται ότι η ισχύς όπως και στον ιδανικό πυκνωτή είναι εναλλασσόμενο μέγεθος με κυκλική συχνότητα διπλάσια του ρεύματος. u i p=u*i 4
Η στιγμιαία αποθηκευόμενη ενέργεια W C είναι : t 1 wc pdt Cu 0 Η ενέργεια που αποθηκεύεται στον πυκνωτή είναι πάντα θετική και κυμαίνεται μεταξύ μηδέν και μιας μέγιστης τιμής. Οι στιγμιαίες ισχύεις στα στοιχεία Lκαι C : Α) Είναι ημιτονοειδείς συναρτήσεις Β) Έχουν συχνότητα διπλάσια από τη συχνότητα του ρεύματος. Αν υπάρχουν στο ίδιο κύκλωμα τα στοιχεία Lκαι C τότε κατά τη διάρκεια της μιας ημιπεριόδου της διέγερσης φορτίζεται το μαγνητικό πεδίο του πηνίου και εκφορτίζεται το πεδίο του πυκνωτή και το αντίστροφο. Δηλαδή υπάρχει συνεχώς μεταφορά της ενέργειας από το πηνίο στον πυκνωτή και το αντίστροφο χωρίς να υπάρχουν απόλυες. 5
Έστω ότι το ρεύμα που διαρρέει την αντίσταση είναι τότε η τάση στα άκρα της αντίστασης R είναι Η στιγμιαία ισχύς είναι u p u i i R R i I cos t u I R cos t U cos t p U I cos t U I ( 1 cos t) 1 Όπως φαίνεται η στιγμιαία ισχύς αποτελείται από δύο όρους ένα σταθερό 1 1 1 U I R I U R Και έναν εναλλασσόμενο 1 1 1 U R U I cos t R I cos t cos t 6
Η στιγμιαία ισχύς σε μια αντίσταση είναι: Α)Θετική και μεταβαλλόμενη με χρόνο μιας πλήρης εναλλαγής ίσο με Τ/ του αντίστοιχου χρόνου διέγερσης. Β) Η ημιτονοειδής συνιστώσα της p έχει πλάτος 1 U I έτσι 0 p U *I u i p=u*i Γ) Ο σταθερός όρος είναι η ισχύς της αντίσταση και εκφράζει το μέσο ρυθμό κατανάλωσης ηλεκτρικής ενέργεια στην αντίσταση R. Δ) Η συχνότητα της εναλλασσόμενης συνιστώσας είναι διπλάσια από αυτή της συχνότητας του ρεύματος. 7
Ο ορισμός της μέσης τιμής της ισχύος Ρ ενός περιοδικά μεταβαλλόμενου ρεύματος i με περίοδο Τ που διαρρέει μια αντίσταση R είναι: 1 T T 1 P i R dt R i dt T 0 T0 Η ισχύς που καταναλώνεται πάνω στην αντίσταση R είναι P = I *R όπου Ι η ενεργός τιμή του Ε.Ρ. (ή αλλιώς ενδεικτική τιμή δηλαδή η τιμή που μετρούν τα όργανα ) έτσι έχουμε Αντικαθιστώντας το έχουμε 1 T I i dt T 0 i I cos( t ) I I Ομοίως και για την ενεργή τιμή της εναλλασσόμενης τάσης u 1 T U u dt U T 0 U Η μέση ισχύς στην αντίσταση είναι τελικά P UI 8
Σε ένα κύκλωμα που αποτελείται από R, L και C για τον υπολογισμό της ολικής μέσης ισχύος χρησιμοποιούμε τα μεγέθη τάση u και ρεύμα i. Έστω ότι η σύνθετη μιγαδική αντίσταση του κυκλώματος είναι : Z j Ze Το ρεύμα και η τάση είναι και η στιγμιαία ισχύς στο κύκλωμα είναι : i I cos t, u U cos( t ), Τελικά η στιγμιαία ισχύς είναι: p I U cos( t ) cos t i u p 1 p I Ucos cos( t ) 1 1 p I U cos I U cos( t ) 9
Αποτελείται από δύο όρους, ένα σταθερό που εκφράζει τη μέση καταναλισκόμενη ισχύ στο κύκλωμα και ένα χρονικά μεταβλητό ο οποίος δεν συνεισφέρει στη μέση ισχύ του κυκλώματος. 1 P I Ucos 1 I Ucos( t ) Αν λάβουμε υπόψη τις ενεργές τιμές τότε η μέση καταναλισκόμενη ισχύς στο κύκλωμα είναι 1 1 P IUcos I U cos IUcos Άρα η ολική μέση ισχύς η οποία παρέχεται από την πηγή και καταναλώνεται στις ωμικές αντιστάσεις είναι ίση με το γινόμενο των ενεργών τιμών του ρεύματος και της τάσης επί το συνημίτονο της γωνίας φάσης φ, cosφ. Το οποίο είναι γνωστό και ως συντελεστής ισχύος και δηλώνει πιο ποσοστό της ισχύος UI καταναλώνεται ως μέση ισχύς του κυκλώματος. 10
Για το cosφ ισχύει: Γιατί η γωνία φ είναι μεταξύ : Για ωμικό όπου φ=0 ο τότε cosφ=1, η μέση ισχύς είναι P=U*I Για καθαρά επαγωγικό ή χωρητικό όπου φ= ± 90 ο τότε cosφ=0, η μέση ισχύς είναι P=0 Z Z 0 cos 1 90 90 Όπως φαίνεται μόνο όταν υπάρχει ωμικό φορτίο ολόκληρη η ένταση του ρεύματος χρησιμοποιείται για τη μεταφορά ισχύος από το δίκτυο στο ωμικό φορτίο. Όταν στο ίδιο κύκλωμα υπάρχουν ωμικά και επαγωγικά ή χωρητικά φορτία το μόνο ένα μέρος του ρεύματος χρησιμοποιείται για τη μεταφορά ισχύος στο ωμικό φορτίο, ενώ το υπόλοιπο χρησιμοποιείται για τη μεταφορά και αποθήκευση ενέργειας στα επαγωγικά και χωρητικά φορτία. Έτσι η μέση ισχύς ονομάζεται και ενεργή ισχύς ενώ η ισχύς που παρέχει την ενέργεια που αποθηκεύεται σε πηνία ή πυκνωτές του κυκλώματος ονομάζεται άεργη ισχύς και συμβολίζεται με Q. Έτσι: P IUcos Q IUsin και 11
Οι τιμές των U και I είναι οι ενεργές και γωνία φ η διαφορά φάσης μεταξύ ρεύματος και τάσης δηλαδή η γωνία της Z. Όπως γνωρίζουμε η φ είναι θετική για κύκλωμα που συμπεριφέρεται επαγωγικά και αρνητική για κύκλωμα με χωρητική συμπεριφορά. Στο σχήμα φαίνονται η ενεργός και η άεργη ισχύς για επαγωγική και χωρητική συμπεριφορά αντίστοιχα. Όταν το κύκλωμα συμπεριφέρεται επαγωγικά το Q είναι θετικό και το ρεύμα καθυστερεί της τάσης, ενώ όταν το κύκλωμα συμπεριφέρεται χωρητικά το Q είναι αρνητικό και το ρεύμα προπορεύεται της τάσης 1
Ορίζουμε μια νέα διανυσματική ποσότητα τη μιγαδική ισχύ η οποία φαίνεται στο προηγούμενο σχήμα και έχει ως συνιστώσες την άεργη Q και την μέση ισχύ Ρ. Έτσι έχουμε: j j S P jq U I cos ju I sin U I e Se S Όπου S=U*I είναι το μέτρο της μιγαδικής ισχύος και ονομάζεται φαινόμενη ισχύς. Η φαινόμενη ισχύς είναι ίση με το γινόμενο των ενεργών τιμών της τάσης και της έντασης. Έχουμε επίσης και τις πιο κάτω σχέσεις: S P Q, P S Q, Q S P Και η γωνία φ είναι: 1 Q tan P Στη συνέχεια δίνονται και άλλοι τύποι υπολογισμού της μιγαδικής ισχύος. 13
i Έστω ότι και δηλαδή υπάρχει μια αρχική διαφορά φάσης φ i τότε για τον υπολογισμό της μιγαδικής ισχύος χρησιμοποιούμε τη σχέση: όπου το συζυγές διάνυσμα του ρεύματος U Έχουμε επίσης τις σχέσεις: Για τα P και Q έχουμε: j( ) Ue j i I Ie S * * j UI i Οι σχέσεις των P και Q για στοιχεία σε σειρά συνδεμένα είναι: Οι σχέσεις των P και Q για στοιχεία παράλληλα συνδεμένα είναι I * S P jq, Ie S P jq, 1 1 P SS P UI U I * * * Q 1 S S Q U I U I j 1 P I R, * * * U P, R Q I X, * * S U I Q U X 14
Ισχύουν ακόμα και οι σχέσεις πιο κάτω σχέσεις για τους υπολογισμούς των P και Q: P UIcos Scos, Q UIsin Ssin Με διαίρεση έχουμε P cos 1 Q P Q P tan Q sin tan tan Συμπερ. Κυκλώμ. φ cosφ sinφ Πρόσημο της Q Προπορεύεται S Χωρητική 90 0 0 cos 1 1 sin 0 προπορείας Αρνητικό (-Qc) Το ρεύμα S P jq C Επαγωγικ. 0 90 0 cos 1 καθυστέρησης 0 sin 1 Θετικό (+Q L ) Η τάση S P jq L 15
Συχνά χρησιμοποιείται το τρίγωνο ισχύος αντί των διανυσματικών διαγραμμάτων των ισχύων. Το τρίγωνο ισχύος είναι ένα ορθογώνιο τρίγωνα του οποίου η οριζόντια πλευρά είναι η ενεργός (μέση) ισχύς Ρ, η κατακόρυφη είναι η άεργος ισχύς Q και η υποτείνουσα είναι η φαινόμενη ισχύς S. Για τις τρεις μορφές ισχύος έχουν καθιερωθεί τρεις μονάδες που ως φυσικές διαστάσεις έχουν το ίδιο V*A. Έτσι η μέση ισχύς Ρ έχει μονάδα το Watt. η άεργος ισχύς Q το VAR (volt*apere reactive) η φαινόμενη ισχύς S έχει μονάδες το VA και για μεγάλες τιμές ισχύος το KVA ή ΜVA. 16
Κάθε ηλεκτρικό κύκλωμα θεωρείται ως ένα κλειστό ενεργειακό σύστημα όπου η παρεχόμενη μέση ισχύς Ρ είναι ακριβώς ίση με αυτή που καταναλώνεται πάνω στο σύστημα. Έτσι και η άεργη ισχύς που παρέχεται από τη γεννήτρια ήτο ηλεκτρικό δίκτυο είναι ίση με το άθροισμα όλων των άεργων ισχύων των πηνίων και των πυκνωτών του κυκλώματος. Το δε άθροισμα της άεργης ισχύος είναι αλγεβρικό γιατί η επαγωγική άεργη ισχύς έχει αντίθετο πρόσημο από την αντίστοιχη χωρητική. Αν υπάρχουν πολλές πηγές στο κύκλωμα τότε αθροίζονται αλγεβρικά οι άεργες ισχύεις των πηγών για να προσδιορισθεί η συνολική παρεχόμενη ισχύς. 17