ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Περιληπτικές Σημειώσεις-Ασκήσεις Α ΜΕΡΟΣ ΦΩΤΟΥΛΑ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ ΚΑΘ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΕΟ Msc Θεωρητικά Μαθηματικά ΚΑΛΑΜΑΤΑ 6
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΕΛ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Πίνακες Είδη πινάκων Άλγεβρα των πινάκων Ορίζουσες Ανάπτυγμα ορίζουσας Ιδιότητες των οριζουσών Λύση γραμμικών συστημάτων με τη μέθοδο των οριζουσών 9 Αντίστροφος ενός πίνακα Υπολογισμός του αντιστρόφου πίνακα 5 Λύση γραμμικών συστημάτων με τον αντίστροφο πίνακα 6 6 Λύση γραμμικών συστημάτων με τη μέθοδο GAUSS-JORDAN 7 Γενικές ασκήσεις Α Μέρους 7
ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γραμμική Άλγεβρα, είναι ο κλάδος των μαθηματικών που μελετάει τα γραμμικά μαθηματικά μοντέλα Τα πιο απλά από αυτά είναι τα συστήματα γραμμικών εξισώσεων Η Γραμμική Άλγεβρα έχει αναπτύξει επιστημονικές μεθόδους μετασχηματισμών και επίλυσης αυτών των συστημάτων, τα οποία με τη σειρά τους επιλύουν σημαντικά προβλήματα των εφαρμοσμένων επιστημών Η γραμμική μέθοδος είναι απλή και προσαρμόζεται εύκολα στην ανθρώπινη σκέψη Όταν δεν μπορούμε να περιγράψουμε πλήρως ένα φαινόμενο της φύσης ή της κοινωνίας, το προσεγγίζουμε με γραμμικές μεθόδους Έτσι η Γραµµική Άλγεβρα αποτελεί το υπόβαθρο της Γραµµικής Ανάλυσης, των ιακριτών Μαθηµατικών, έχει ουσιαστικές εφαρµογές στη Γεωµετρία, στη Στατιστική, στη Στοχαστική Μοντελοποίηση και το κυριότερο είναι ιδιαίτερα εύχρηστη στους ηλεκτρονικούς υπολογιστές Τα πιο βασικά και χρήσιμα εργαλεία της γραμμικής Άλγεβρας είναι ο πίνακας και η ορίζουσα Το βασικό πρόβλημα της γραμμικής Άλγεβρας που θα μας απασχολήσει στο μάθημα αυτό είναι η λύση της εξίσωσης πινάκων Α Χ Β όπου Α είναι ο πίνακας των συντελεστών των αγνώστων, Χ είναι ο πίνακας στήλη με τους αγνώστους και Β είναι ο πίνακας στήλη με τους σταθερούς όρους Η εύρεση του πίνακα Χ, αποτελεί και την επίλυση του συστήματος από το οποίο και προέκυψε η παραπάνω εξίσωση Ο πίνακας Χ των αγνώστων, μπορεί να βρεθεί είτε με εύρεση του αντιστρόφου Α - του πίνακα Α, είτε με τη χρήση της ορίζουσας του πίνακα Α, είτε ακόμα και με τη χρήση του επαυξημένου πίνακα ( Μέθοδος Gauss Jordan)
Πίνακες Είδη πινάκων - Άλγεβρα πινάκων Πίνακες Έστω το σώμα των Πραγματικών αριθμών R ή ένα οποιοδήποτε σώμα αριθμών Κ Πίνακας ή Μήτρα (Matrix) τύπου ν μ λέγεται μια ορθογώνια διάταξη στοιχείων (αριθμών ή άλλων μαθηματικών ποσοτήτων) σε ν γραμμές και μ στήλες Η γενική μορφή ενός πίνακα δίνεται με τη χρήση δύο δεικτών i και j, οι οποίοι παίρνουν τιμές από το σύνολο Ν των Φυσικών αριθμών Ο δείκτης i συμβολίζει τη γραμμή ενός στοιχείου και ο δείκτης j συμβολίζει τη στήλη του στοιχείου αυτού Έτσι το γενικό στοιχείο ενός πίνακα με ν γραμμές και μ στήλες συμβολίζεται αij, όπου i,,,ν και j,,, μ Ο πίνακας συμβολίζεται με ένα κεφαλαίο γράμμα του αλφαβήτου πχ: Π(αij)νxμ ή Π(αij) Aναλυτικά ο πίνακας A(αij) γράφεται: Παράδειγμα: Ο παρακάτω πίνακας είναι ένας πίνακας x Α 5 6, δηλαδή αποτελείται από γραμμές και στήλες
Είδη πινάκων Πίνακας γραμμή: Ένας πίνακας μ λέγεται πίνακας γραμμή Πίνακας στήλη: Ενας πίνακας ν λέγεται πίνακας στήλη Τετραγωνικός ν-τάξης: Αν ο αριθμός των γραμμών ενός πίνακα είναι ίσος με τον αριθμό των στηλών του, τότε ο πίνακας λέγεται τετραγωνικός πίνακας ν- τάξης ή νxν-πίνακας Κύρια διαγώνιος ενός τετραγωνικού πίνακα: Τα στοιχεία α, α,, ανν ενός ν ν τετραγωνικού πίνακα αποτελούν την κύρια διαγώνιο του πίνακα Διαγώνιος πίνακας: Είναι ένας τετραγωνικός πίνακας που έχει όλα τα μη μηδενικά στοιχεία του στην κύρια διαγώνιό του Άνω τριγωνικός: Είναι ένας (τετραγωνικός) πίνακας του οποίου τα στοιχεία που βρίσκονται κάτω από την κύρια διαγώνιο του είναι μηδέν Κάτω τριγωνικός: Είναι ένας (τετραγωνικός) πίνακας που έχει μηδέν τα στοιχεία που βρίσκονται πάνω από την κύρια διαγώνιό του Μοναδιαίος: Είναι ένας διαγώνιος πίνακας Πνxν (τετραγωνικός) που έχει όλα τα στοιχεία της διαγωνίου του ίσα με τη μονάδα Ο μοναδιαίος νxν πίνακας συμβολίζεται ως Ιν Μηδενικός: Είναι ένας πίνακας που έχει όλα του τα στοιχεία μηδενικά Ο μηδενικός πίνακας συμβολίζεται ως Κλιμακωτός: Είναι ένας πίνακας αν: i) οι μη μηδενικές γραμμές βρίσκονται πριν από τις μηδενικές γραμμές ii) σε κάθε μη μηδενική γραμμή το πρώτο από τα αριστερά μη μηδενικό στοιχείο λέγεται ηγετικό στοιχείο iii) σε κάθε μη μηδενική γραμμή μετά την πρώτη, το ηγετικό στοιχείο βρίσκεται στα δεξιά του ηγετικού στοιχείου της προηγούμενης γραμμής Ένας κλιμακωτός πίνακας λέγεται ανηγμένος ( απλοποιημένος) κλιμακωτός αν το ηγετικό στοιχείο κάθε μη μηδενικής γραμμής είναι και σε μια στήλη που περιέχει το ηγετικό στοιχείο κάποιας γραμμής, όλα τα άλλα στοιχεία της είναι 5
Παράδειγμα: Ο πίνακας () είναι ένας κλιμακωτός πίνακας ενώ ο πίνακας () είναι ένας απλοποιημένος ( ή ανηγμένος) κλιμακωτός πίνακας () () Ανάστροφος πίνακας Αν σε έναν πίνακα μετατρέψουμε τις γραμμές σε στήλες, οι στήλες θα γίνουν γραμμές Ο πίνακας που θα προκύψει λέγεται ανάστροφος πίνακας Πιο συγκεκριμένα, ανάστροφος ενός ν μ πίνακα Α(αij) είναι ο μ ν πίνακας που προκύπτει με την μετατροπή των γραμμών σε στήλες Ο ανάστροφος πίνακας ενός πίνακα Α, συμβολίζεται ως A T (αji) Άλγεβρα πινάκων-πράξεις πινάκων Ισότητα πινάκων Δύο πίνακες θα είναι ίσοι αν έχουν τον ίδιο αριθμό γραμμών και στηλών και επί πλέον αν κάθε στοιχείο του ενός είναι ίσο με το στοιχείο του άλλου που βρίσκεται στην αντίστοιχη ακριβώς θέση Συμβολικά θα λέμε ότι: Ένας ν μ πίνακας Α(αij) είναι ίσος με έναν ν μ πίνακα Β(βij) δηλαδή Α Β αν και μόνο αν ισχύει: αij βij για κάθε i,, ν και j,, μ Αν συμβολίσουμε Μνxμ το σύνολο όλων των πινάκων νxμ, τότε στο σύνολο αυτό ορίζουμε τις παρακάτω πράξεις: Πρόσθεση Πινάκων Αν Α(αij) και Β(βij), είναι δύο πίνακες του ίδιου τύπου νxμ, τότε ορίζεται το άθροισμα Α+Β των δύο πινάκων και είναι ο πίνακας (αij+βij), δηλαδή ο πίνακας με στοιχείο της i-γραμμής και της j-στήλης το άθροισμα των αντιστοίχων στοιχείων του Α Πχ 6 + 6 6
Ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης πινάκων τύπου νxμ είναι ο Μηδενικός Πίνακας (αij ), δηλαδή ένας πίνακας νxμ, όπου αij, για κάθε i,, ν και j,, μ Πολλαπλασιασμός αριθμού επί πίνακα Μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε έναν πίνακα με έναν αριθμό, αν πολλαπλασιάσουμε όλα τα στοιχεία του πίνακα επί τον αριθμό αυτό Η πράξη αυτή λέγεται Εξωτερικός πολλαπλασιασμός ή Βαθμωτός πολλαπλασιασμός Το γινόμενο λ A (λ αij ), όπου λr και (αij) είναι ένας πίνακας τύπου νxμ Πχ 6 6 9 6 9 6 Αν πολλαπλασιάσουμε έναν πίνακα Α επί τον αριθμό -, τότε θα πάρουμε τον αντίθετο πίνακα του πίνακα Α, δηλαδή τον πίνακα -Α, που έχει ως στοιχεία τα αντίθετα των στοιχείων του Α Στο χώρο των πινάκων τύπου νxμ, κάθε πίνακας έχει τον αντίθετο του Πολλαπλασιασμός Πινάκων Αν Α(αij) είναι ένας πίνακας τύπου ν μ και Β (βij), είναι ένας πίνακας τύπου λ κ, τότε η πράξη του πολλαπλασιασμού των δύο πινάκων ορίζεται μόνον αν ο αριθμός των στηλών του Α είναι ίσος με τον αριθμό των γραμμών του Β, δηλαδή μόνον αν μ λ Το γινόμενο των δύο πινάκων θα είναι ένας πίνακας τύπου ν κ, δηλαδή θα έχει όσες γραμμές έχει ο πίνακας Α και στήλες όσες έχει ο πίνακας Β 7
Το κάθε στοιχείο του γινομένου Α Β θα είναι το άθροισμα των γινομένων των αντίστοιχων στοιχείων μιας γραμμής και μιας στήλης Δηλαδή το στοιχείο (i,j) του γινομένου Α Β, προκύπτει αν πολλαπλασιάσουμε τα στοιχεία της i-γραμμής του Α με τα αντίστοιχα στοιχεία της j-στήλης του Β και αθροίσουμε τα γινόμενα Πιο συγκεκριμένα: Ο πολλαπλασιασμός του ν μ πίνακα A(αij) με τον μ κ πίνακα B(βjk) έχει ως αποτέλεσμα τον ν κ πίνακα AB(cik) με στοιχεία Για παράδειγμα, το δεύτερο στοιχείο της πρώτης γραμμής υπολογίζεται από την πρώτη γραμμή του Α και τη δεύτερη στήλη του Β Σχηματική περιγραφή του γινομένου AB των πινάκων A και B Για να κατανοήσουμε την αιτία, που η πράξη αυτή ορίζεται έτσι, ας θεωρήσουμε δύο γραμμικά συστήματα: y α x + α x + αx y α x + α x + α x x β z + β z x β z + β z x β z + β z 8
Αν αντικαταστήσουμε από το δεύτερο σύστημα τα x,x,x στο πρώτο σύστημα, θα έχουμε: y α (β z+ β z)+α (β z+ β z ) + α (β z+β z ) (α β+ α β+ α β) z +(α β+ α β+ α β) z y α(β z+ β z) +α (β z+ β z )+ α (β z + β z ) (α β+ α β+ α β) z +(α β+ α β+ α β) z ή αν πάρουμε τους πίνακες των συντελεστών των παραπάνω συστημάτων, Α και Β τότε ο πίνακας του γινομένου Α Β, είναι ο πίνακας των συντελεστών του συστήματος, που προκύπτει από την παραπάνω αντικατάσταση των x, x, x, δηλαδή είναι ο πίνακας: Παράδειγμα: Αν δοθούν οι πίνακες: A και B τότε ο πίνακας του γινομένου Α Β είναι ο πίνακας τύπου 9
Α Β 6 5 6 5 Παρατηρήσεις: Στην πράξη του πολλαπλασιασμού πινάκων δεν ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα, δηλαδή Α Β Β Α Πράγματι, αν ορίζεται ο πολλαπλασιασμός Α Β, δεν είναι σίγουρο ότι θα ορίζεται και ο Β Α Αλλά και αν ακόμη ορίζεται, δίνει διαφορετικό αποτέλεσμα Στο παραπάνω παράδειγμα ο πολλαπλασιασμός Β Α ορίζεται, διότι ο Β είναι τύπου και ο Α είναι τύπου, αλλά το γινόμενο Β Α είναι ένας πίνακας, εντελώς διαφορετικός από τον Α Β Β Α 5 9 7 9 5 5 Η πράξη του πολλαπλασιασμού πινάκων έχει μηδενοδιαιρέτες, δηλαδή υπάρχει περίπτωση το γινόμενο δύο πινάκων να είναι ίσο με τον μηδενικό πίνακα και οι πίνακες αυτοί να είναι και οι δύο διάφοροι του μηδενικού πίνακα Πχ
Το ουδέτερο στοιχείο στην πράξη του πολλαπλασιασμού πινάκων, δηλαδή ο πίνακας-μονάδα είναι ένας πίνακας που αν πολλαπλασιαστεί με κάθε άλλον πίνακα τον αφήνει αμετάβλητο Ο πίνακας αυτός υπάρχει μόνον για τους τετραγωνικούς πίνακες Μνxν, συμβολίζεται με Ιν και λέγεται μοναδιαίος πίνακας ν-τάξης Ο Ιν είναι ένας διαγώνιος πίνακας τύπου ν ν, που έχει όλα τα στοιχεία της κύριας διαγωνίου ίσα με Δηλαδή, οι μοναδιαίοι πίνακες των πινάκων τύπου και είναι: Ι Ι Το αντίστροφο στοιχείο ενός πίνακα Α ως προς την πράξη του πολλαπλασιασμού πινάκων, είναι ένας πίνακας Α -, που αν πολλαπλασιαστεί είτε από αριστερά είτε από δεξιά με τον πίνακα Α, το γινόμενο να είναι ο μοναδιαίος πίνακας Είναι φανερό ότι αυτό μπορεί να συμβεί μόνο στους τετραγωνικούς πίνακες Στο σύνολο Μνxν των τετραγωνικών πινάκων ν-τάξης δεν υπάρχει πάντα το αντίστροφο στοιχείο ως προς τον πολλαπλασιασμό, δηλαδή δεν υπάρχει για κάθε τετραγωνικό πίνακα Α, ο αντίστροφός του, ο Α -, έτσι ΑΣΚΗΣΕΙΣ α) Δίνεται ο πίνακας Α Να βρείτε τον πίνακα Α Α β) Έστω λr και Χ ένας πίνακας x Να βρείτε τον πίνακα Χ, για τον οποίο ισχύει: Χ + 9 5 ( )
Βρείτε τα παρακάτω γινόμενα πινάκων: α) (-,,, ) β) (α α α α α5 ) 5 α α α α α Στους παρακάτω πίνακες: Α 6, Β 5 6 7, Γ 5, Δ [5 7 ] Ε 6 5, α)να γίνουν οι πολλαπλασιασμοί: ) ΑΒ, ) Β Α, ) Γ Α, ) Δ Α, 5) Γ Δ, 6) Β Γ, 7) Α Ε, 8) Ε Α β) Να βρεθούν τα γινόμενα: (ΑΒ)Γ και Α(ΒΓ) και να εξεταστεί αν είναι ίσα Να βρεθούν όλοι οι x πίνακες Α, για τους οποίους ισχύει: Α Α 5 Έστω λr και ένας πίνακας Χ τύπου x Να βρεθεί ο Χ, αν ισχύει: Χ+
6 Δίνεται ο πίνακας 7 Αφού βρείτε τους πίνακες Α και Α, αποδείξτε ότι: Α 995 + Α 996 + Α 99 7 Να βρείτε τους πίνακες Α και Β τύπου x, ώστε να ισχύουν οι παρακάτω ισότητες: Α +Β Α - 5Β 8 8 Αν Α και Β 5 7, να λυθεί η εξίσωση: Α + Χ Β, όπου Χ ένας πίνακας x 9 Δίνεται ο πίνακας Β 5 5 5 Αποδείξτε ότι: α) Β Β β) Β -Β Δίνεται ο πίνακας: Α Βρείτε τους πίνακες Α Ι και Α Α Τι παρατηρείτε; Δίνονται οι πίνακες: Α Β Γ Αποδείξτε ότι: Α Β Γ ΑΒΓ
Ορίζουσες-ιδιότητες -ανάπτυγμα ορίζουσας Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ν-τάξης Α, αντιστοιχεί ένας πραγματικός αριθμός, που λέγεται Ορίζουσα (Determinant) του Α, και παριστάνεται με τα σύμβολα: D(A), ή Α ή απλώς D Ορίζουσα πρώτης τάξης, λέγεται η ορίζουσα ενός πίνακα x,που αποτελείται από ένα μόνο στοιχείο και είναι αυτό το ίδιο το στοιχείο Αν Α [α], τότε Α α Ορίζουσα δεύτερης τάξης, λέγεται η ορίζουσα ενός πίνακα x, και είναι ο πραγματικός αριθμός, που προκύπτει αν πάρουμε το γινόμενο των δυο στοιχείων της κύριας διαγωνίου και από αυτό αφαιρέσουμε το γινόμενο των δύο στοιχείων της άλλης διαγωνίου Αν Α του Α θα είναι:, τότε η ορίζουσα Α α α α α Αλγεβρικό Συμπλήρωμα ενός στοιχείου αij, ενός πίνακα Α, λέγεται ο πραγματικός αριθμός (-) i+j Mij, όπου Mij είναι η ορίζουσα δεύτερης τάξης που προκύπτει αν στην ορίζουσα τρίτης τάξης παραλείψουμε τη γραμμή και τη στήλη του στοιχείου αij, (όπου i,, και j,,) Η ορίζουσα Mij λέγεται Ελάσσων Ορίζουσα του στοιχείου αij Ορίζουσας τρίτης τάξης, λέγεται η ορίζουσα ενός πίνακα x και είναι ο πραγματικός αριθμός, που προκύπτει αν σχηματίσουμε το
ανάπτυγμα της ορίζουσας κατά τα στοιχεία μιας γραμμής ή μιας στήλης(μέθοδος Laplace) Για να αναπτύξουμε μια ορίζουσα με τη Μέθοδο Laplace, πολλαπλασιάζουμε κάθε στοιχείο μιας μόνο συγκεκριμένης γραμμής ή στήλης επί το αλγεβρικό του συμπλήρωμα και προσθέτουμε τα τρία γινόμενα Η πρόσθεση εδώ εννοείται με την αλγεβρική της έννοια, δηλαδή ανάλογα με τη θέση του στοιχείου και ανεξάρτητα από το πρόσημο του στοιχείου, τα πρόσημα του αλγεβρικού συμπληρώματος εναλλάσσονται(πρόσημα εναλλάξ) Το ανάπτυγμα της ορίζουσας τρίτης τάξης κατά τα στοιχεία της πρώτης γραμμής είναι: Α α (-) + M + α (-) + M + α (-) + M α (-) + + α (-) + + α (-) + + α - α + α +α (α α - α α) - α (α α - α α) +α (αα - α α) Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να πάρουμε τα αναπτύγματα κατά τα στοιχεία μιας άλλης γραμμής ή στήλης, οπότε θα προκύψει το ίδιο αποτέλεσμα, που θα είναι η τιμή της ορίζουσας τρίτης τάξης Η παραπάνω διαδικασία μπορεί να εφαρμοσθεί και σε ορίζουσες τέταρτης και γενικότερα ν-οστής τάξης, όπου νν, δηλαδή το ν είναι φυσικός αριθμός 5 Κανόνας του Sarrus Ειδικά για τον υπολογισμό της τιμής μιας ορίζουσας τρίτης τάξης, ισχύει και ο παρακάτω πρακτικός κανόνας (Κανόνας του Sarrus ): 5
+ + + Α - - - ααα + α α α + ααα - ααα- ααα α α α 6Παρατηρήσεις: Αποδεικνύεται ότι: Α Β Α Β και κ Ακ ν Α, όπου ηα είναι ορίζουσα ν-οστής τάξης Αν ένας πίνακας Α είναι κανονικός, δηλαδή αν υπάρχει ο αντίστροφός του, ο Α -, τότε θα ισχύει Α Α - Ιν Άρα θα είναι και: Α Α - Ιν ή Α Α - Ιν ή Α Α - ή Α - Αν Α είναι ένας τετραγωνικός πίνακας νxν και σχηματίσουμε τον πίνακα Α x Ι ν, τότε η ορίζουσα Α x Ι ν μας δίνει ως ανάπτυγμα ένα πολυώνυμο ν-βαθμού ως προς x, f(x) Α x Ι ν () το οποίο λέγεται Χαρακτηριστικό Πολυώνυμο του πίνακα Α Οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου λέγονται χαρακτηριστικές τιμές του πίνακα Α Πχ ο πίνακας Α 5 έχει χαρακτηριστικό πολυώνυμο: f(x) A - x Ι ν x x 5 x +x-7 6
Προφανώς ισχύει ότι: Κάθε τετραγωνικός πίνακας είναι ρίζα του χαρακτηριστικού του πολυωνύμου (Θεώρημα των Caylay Hamilton) Πράγματι αν στη σχέση () αντικαταστήσουμε το x με τον πίνακα Α, θα έχουμε: f(α) A - Α Ι ν A - Α Άρα ο Α είναι ρίζα του χαρακτηριστικού του πολυωνύμου 7 Ιδιότητες των οριζουσών Η τιμή μιας ορίζουσας δεν αλλάζει αν οι γραμμές της γίνουν στήλες και οι στήλες γραμμές Αν σε μια ορίζουσα γίνει εναλλαγή της θέσης δύο γραμμών (ή δύο στηλών) η ορίζουσα αλλάζει πρόσημο Η τιμή μιας ορίζουσας είναι μηδέν αν τα αντίστοιχα στοιχεία δύο γραμμών (ή δύο στηλών) είναι ίσα ή ανάλογα Η τιμή μιας ορίζουσας είναι μηδέν αν όλα τα στοιχεία μιας γραμμής (ή στήλης) είναι μηδέν 5 Η τιμή μιας ορίζουσας πολλαπλασιάζεται επί έναν αριθμό λr, αν πολλαπλασιάσουμε τα στοιχεία μιας γραμμής ή μιας στήλης επί λ Άρα, αν υπάρχει κοινός παράγοντας στα στοιχεία μιας γραμμής ή μιας στήλης, αυτός μπορεί να βγει εκτός της ορίζουσας Επίσης αν πολλαπλασιάσουμε επί λ τα στοιχεία δύο γραμμών(ή στηλών), η τιμή της ορίζουσας θα πολλαπλασιαστεί επί λ κλπ 6 Η τιμή μιας ορίζουσας δεν μεταβάλλεται αν στα στοιχεία μιας γραμμής (ή στήλης), προσθέσουμε τα αντίστοιχα στοιχεία μιας άλλης γραμμής (ή στήλης), πολλαπλασιασμένα με έναν αριθμό λr 7 Αν σε μια ορίζουσα κάθε στοιχείο μιας γραμμής (ή στήλης), μπορεί να αναλυθεί σε άθροισμα δύο προσθετέων, τότε και η ορίζουσα μπορεί να αναλυθεί σε άθροισμα δυο οριζουσών Και αντιστρόφως, μπορούμε να προσθέσουμε δυο ορίζουσες, αν προσθέσουμε τα αντίστοιχα στοιχεία μιας γραμμής (ή στήλης) 7
8 8 Η ορίζουσα ενός τριγωνικού άνω ή κάτω πίνακα είναι ίση με το γινόμενο των στοιχείων της κύριας διαγωνίου 9 Η ορίζουσα ενός διαγώνιου πίνακα, είναι ίση με το γινόμενο των στοιχείων της κύριας διαγωνίου του ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να υπολογίσετε τις παρακάτω ορίζουσες: Α, Β, Γ Επίσης τις ορίζουσες: Α, Β, Γ Να αποδειχθεί ότι: αβ Να λύσετε τις εξισώσεις: i), ii) iii), iv) 9, v) 9
Λύση γραμμικών συστημάτων με τη μέθοδο των οριζουσών Γενική μορφή γραμμικού συστήματος Γραμμική Εξίσωση με μ αγνώστους, x, x, xμ μορφής: λέγεται μια εξίσωση της αx + α x + + αn xμ β, όπου τόσο οι συντελεστές αi όσο και οι άγνωστοι xi παίρνουν τιμές πραγματικούς αριθμούς Αν θεωρήσουμε ν γραμμικές εξισώσεις με μ αγνώστους, x, x,, xμ, θα έχουμε ένα Γραμμικό Σύστημα ν εξισώσεων με μ αγνώστους, ή πιο σύντομα ένα σύστημα ν x μ Λύση ενός γραμμικού συστήματος λέγεται η εύρεση μιας μ-αδας αριθμών, οι οποίοι αν τεθούν στη θέση των αγνώστων επαληθεύουν όλες τις εξισώσεις του συστήματος Ένα σύστημα ν γραμμικών εξισώσεων με μ αγνώστους έχει την παρακάτω γενική μορφή: Κανόνας του Crammer Το παραπάνω σύστημα θα έχει μοναδική λύση αν η ορίζουσα των συντελεστών των αγνώστων είναι διάφορη του μηδενός ( D ) Τότε η λύση αυτή θα είναι: χ D X, χ D D D D,, χν D όπου Dχ, (αντίστοιχαdχ, Dχν,) είναι η ορίζουσα που προκύπτει από την D, αν αντικαταστήσουμε την στήλη των συντελεστών του χ ( αντίστοιχα των χ, χν ) με τη στήλη των σταθερών όρων 9
Αν D, τότε θα πρέπει να υπολογίσουμε και τις άλλες ορίζουσες Dχ, Dχ, Dχν Αν μια οποιαδήποτε από αυτές είναι διάφορη του μηδενός, τότε το σύστημα θα είναι αδύνατο, διότι θα προκύψει κλάσμα στο οποίο ο παρανομαστής θα είναι μηδέν και ο αριθμητής διάφορος του μηδενός, πράγμα αδύνατο Αν όλες οι ορίζουσες του συστήματος είναι ίσες με μηδέν, τότε σύστημα θα έχει άπειρες λύσεις, δηλαδή θα είναι αόριστο Ομογενές γραμμικό σύστημα Ένα γραμμικό σύστημα λέγεται ομογενές, αν όλοι οι σταθεροί του όροι είναι μηδέν Η γενική μορφή ενός ομογενούς συστήματος ν εξισώσεων με μ αγνώστους θα είναι η παρακάτω: α x+ α x + + αμ xμ α x+ α x + + αμ xμ αν x+ αν x + +ανμ xμ Παρατήρηση: Ένα ομογενές σύστημα δεν είναι ποτέ αδύνατο, διότι έχει πάντα τη μηδενική λύση: (x,x,,xμ ) (,,,) Αν το ομογενές σύστημα έχει ορίζουσα διάφορη του μηδενός (D ), τότε έχει μόνον τη μηδενική λύση Αν έχει ορίζουσα ίση με το μηδέν, (D ), τότε έχει και άλλες λύσεις εκτός από τη μηδενική, δηλαδή έχει άπειρες λύσεις
ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να λυθούν τα παρακάτω συστήματα με τον κανόνα του Crammer: i) x y - z ii) x +y w iii) x + y + z x + y - z 7 x + y + w 9 x + y z x -8y - z x +6y -5w x - y + z Για ποια τιμή του λ το παρακάτω σύστημα: x + y + λ z x +y + z x - y + λ z α) είναι αδύνατο β) είναι αόριστο γ) έχει μοναδική λύση Να λυθούν και να διερευνηθούν για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού λ τα παρακάτω συστήματα: i) x + y - z ii) λx + y + w iii) λx + y + λw x +y + λz - x +λ y + w λ x +λ y + w λ x +λy - z x + y +λw λ λx + y +λw -λ iv) x - z y v) x - y z λx + y -z y - λx -z y + λz x - x + y -λz Να λυθεί και να διερευνηθεί για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού λ, το παρακάτω σύστημα: i) x + λy + λz ii) λx + y + z x - y + z x + λy + z λx + y - z x + y + λz 5 Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ, για τις οποίες το σύστημα (-λ) x + y - x - λ y + z x + y +(-λ)z, έχει και μη μηδενικές λύσεις
Αντίστροφος πίνακας -Υπολογισμός του αντιστρόφου ενός πίνακα Αντίστροφος πίνακας ενός πίνακα Α, λέγεται ο πίνακας Α -, που είναι το αντίστροφο στοιχείο του Α, ως προς την πράξη του πολλαπλασιασμού πινάκων, δηλαδή για τον οποίο ισχύει: Α Α - Ι, όπου Ι είναι ο μοναδιαίος πίνακας Για να υπάρχει ο αντίστροφος πίνακας ενός πίνακα Α, θα πρέπει ο Α να είναι τετραγωνικός και η ορίζουσα του να είναι μη μηδενική Θα το αποδείξουμε αυτό στο παρακάτω παράδειγμα για την περίπτωση των τετραγωνικών πινάκων Παράδειγμα: Έστω ο πίνακας Α και έστω ότι υπάρχει ο αντίστροφος του Α και είναι ο πίνακας Α - Τότε σύμφωνα με τον ορισμό, θα πρέπει να ισχύει: Α Α - ή ή Για να ισχύει αυτή η ισότητα θα πρέπει: α + α και α + α α + α α + α
Για να υπάρχει μοναδική λύση και στα δυο αυτά συστήματα, θα πρέπει η ορίζουσα των συντελεστών των αγνώστων να είναι διάφορη του μηδενός Παρατηρούμε ότι η ορίζουσα αυτή είναι η ίδια και στα δυο συστήματα: D ή a a a a α α- α α Και τότε θα έχουμε, σύμφωνα με τον κανόνα του Crammer: D a a, D a a, D a a, D a a και D X a D, Y D D D a D, Z D D a D, w a D D D Άρα ο αντίστροφος πίνακας του Α θα υπάρχει μόνον αν D Α και θα δίνεται από τον τύπο: Α - a D a D a D a D a a D a a () Παρατηρήσεις: Ι Η παραπάνω απόδειξη μπορεί να γίνει και για τετραγωνικούς πίνακες και να γενικευθεί για ν ν πίνακες
ΙΙ Παρατηρούμε ότι στη σχέση () ο πίνακας που υπάρχει στο δεύτερο μέλος αποτελείται από τα αλγεβρικά συμπληρώματα των στοιχείων του ανάστροφου του αρχικού πίνακα ΙΙΙ Αν ο πίνακας Α είναι, τότε ο πίνακας του δεύτερου μέλους της σχέσης () θα αποτελείται επίσης από τα αλγεβρικά συμπληρώματα των στοιχείων του αναστρόφου του αρχικού πίνακα Α (ιδέ σελίδα ) Σ αυτή την περίπτωση ο πίνακας του δεύτερου μέλους της σχέσης () θα αποτελείται από τα στοιχεία (-) i+j Mij,, για i,, j,,, όπου Mij, είναι η ελάσσων ορίζουσα του στοιχείου αij, δηλαδή η ορίζουσα δεύτερης τάξης, που προκύπτει αν στην ορίζουσα τρίτης τάξης του ανάστροφου του Α, παραλείψουμε τη γραμμή και τη στήλη του στοιχείου αij Ο πίνακας αυτός λέγεται προσαρτημένος πίνακας του Α(ΑdjointA) και συμβολίζεται: ΑdjΑ 5 Συμπέρασμα: Ο αντίστροφος ενός τετραγωνικού πίνακα Α υπάρχει μόνον όταν η ορίζουσα του Α είναι διαφορετική από το μηδέν ( Α ) Για να τον βρούμε: Α) Θα πάρουμε τον ανάστροφο του Α(συμβολίζεται Α Τ ) Β) Θα σχηματίσουμε τον προσαρτημένο (Αdjoint A Τ ) και Γ) Θα διαιρέσουμε όλα τα στοιχεία αυτού του πίνακα με την ορίζουσα Α Δηλαδή θα εφαρμόσουμε τον τύπο: Α - (Αdj A Τ ) () 6 Παράδειγμα: Να βρεθεί ο αντίστροφος του πίνακα Α υπάρχει, αν
5 Λύση: Βρίσκουμε πρώτα την ορίζουσα του πίνακα Α, με ανάπτυξη κατά τα στοιχεία της πρώτης γραμμής: Α - + ( -) - ( -) + ( -) - + - Άρα υπάρχει ο αντίστροφος και θα τον βρούμε από τη σχέση () Σχηματίζουμε τον πίνακα A Τ : A Τ Άρα Α - (Αdj A Τ ) ή Α - Πράγματι ισχύει: Α Α - και
6 5 Λύση γραμμικών συστημάτων με τον αντίστροφο πίνακα Έστω ένα σύστημα ν γραμμικών εξισώσεων με ν αγνώστους: Το σύστημα αυτό μπορεί να γραφεί υπό μορφή πινάκων ως εξής: a a a a a a a ή πιο σύντομα: Α Χ Β () όπου Α είναι ο πίνακας των συντελεστών των αγνώστων, Χ είναι ο πίνακας στήλη με τους αγνώστους και Β είναι ο πίνακας στήλη με τους σταθερούς όρους Αν υπάρχει ο αντίστροφος του πίνακα Α, δηλαδή ο πίνακας Α -, τότε μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε και τα δυο μέλη της (), επί τον πίνακα Α - Θα έχουμε: Α - (Α Χ) Α - Β ή (Α - Α) Χ Α - Β ή (Α - Α) Χ Α - Β ή Ιν Χ Α - Β ή Χ Α - Β ()
Οπότε μπορούμε να βρούμε τον πίνακα Χ των αγνώστων, δηλαδή να λύσουμε το παραπάνω σύστημα ως εξής: Βήμα ο : Βρίσκουμε τον αντίστροφο Α - του πίνακα Α, δηλαδή του πίνακα των συντελεστών των αγνώστων του συστήματος, αν υπάρχει, δηλαδή αν η ορίζουσα του πίνακα Α είναι διάφορη του μηδενός Βήμα ο : Πολλαπλασιάζουμε τον Α - επί τον πίνακα Β, δηλαδή τον πίνακα στήλη των σταθερών όρων Ο πίνακας στήλη Α - Β που προκύπτει, είναι ο πίνακας των λύσεων του συστήματος, όπως φαίνεται από τη σχέση () 5 Παράδειγμα: Να λυθεί με τον αντίστροφο πίνακα το σύστημα: χ + y + z - χ + y + z - χ + y + z - Λύση: Το παραπάνω σύστημα γράφεται σε μορφή πινάκων ως εξής: x y z Α Χ Β Αν η ορίζουσα του πίνακα Α, είναι διάφορη του μηδενός, τότε θα υπάρχει ο αντίστροφος Α - του πίνακα Α Άρα για να λύσουμε το σύστημα θα βρούμε τον αντίστροφο του πίνακα των συντελεστών των αγνώστων και θα τον πολλαπλασιάσουμε επί τον πίνακα στήλη Β των γνωστών όρων, σύμφωνα με τη σχέση () 7
8 Στο παράδειγμα μας ο πίνακας Α είναι ο ίδιος με τον πίνακα του παραδείγματος της σελίδας Άρα, όπως αποδεικνύεται εκεί, υπάρχει ο αντίστροφός του και είναι ο πίνακας Α - Οπότε η λύση του παραπάνω συστήματος είναι: Χ Α - Β ή z y x ή z y x Άρα χ, y -, z - ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρεθεί αν υπάρχει, ο αντίστροφος των πινάκων: Α, Β, Γ Δίνεται ο πίνακας: Α α) Για ποιες τιμές του λ υπάρχει ο αντίστροφός του; β) Να βρεθεί ο αντίστροφός του για λ και να λυθεί με τη βοήθεια του αντιστρόφου το σύστημα: χ - y + z χ + y + λz χ + λ y + z λ
Να λυθεί με τον αντίστροφο πίνακα το παρακάτω σύστημα: χ + y + z χ + y + 8z - χ + y + z 9 6 Δίνεται ο πίνακας Α Να βρείτε τον αντίστροφό του και να 9 αποδείξετε ότι Α + Α - 6 Ι όπου Ι 5 Δίνεται ο πίνακας Α 9 και το σύστημα κ χ + y + ω y + ω -χ + y + ω Αν το σύστημα έχει και μη μηδενικές λύσεις, να αποδείξετε ότι ο πίνακας Α αντιστρέφεται και να βρείτε τον αντίστροφό του 6 Αν για τον πίνακα Α ισχύει oτι ο αντίστροφός του είναι ίσος με τον Α, ποιο από τα παρακάτω είναι το a; Α) 5 6 Β) 7 6 Γ) Δ) Ε) 9
6 Λύση γραμμικών συστημάτων με τη μέθοδο GAUSS-JORDAN 6 Στοιχειώδεις μετασχηματισμοί γραμμών (γραμμοπράξεις), Οι στοιχειώδεις μετασχηματισμοί γραμμών είναι πράξεις μεταξύ των γραμμών, δηλαδή των γραμμικών εξισώσεων ενός γραμμικού συστήματος και βασίζονται στις παρακάτω γνωστές ιδιότητες: α) Mπορούμε να εναλλάξουμε τη θέση δυο εξισώσεων σε ένα σύστημα, με σκοπό να έχουμε ως πρώτη εξίσωση εκείνη που θα έχει μη μηδενικό συντελεστή του χ ως πρώτον όρο β) Μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε ή να διαιρέσουμε και τα δυο μέλη μιας εξίσωσης με τον ίδιο αριθμό γ) Αν σε ένα σύστημα προσθέσουμε μια εξίσωση σε μια δεύτερη και αντικαταστήσουμε τη δεύτερη με το άθροισμα των δύο αυτών γραμμών, τότε προκύπτει ισοδύναμο σύστημα 6 Παρατήρηση: Οι δυο προηγούμενες πράξεις β) και γ) μπορούν να γίνουν συγχρόνως, δηλαδή μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε και τα δυο μέλη μιας εξίσωσης με τον ίδιο αριθμό και να προσθέσουμε το γινόμενο σε μια άλλη Θα προκύψει ισοδύναμο σύστημα 6 Ένα γραμμικό σύστημα μπορεί να λυθεί με διάφορους τρόπους Ένας από αυτούς είναι η Μέθοδος των διαδοχικών απαλοιφών του Gauss (Αλγόριθμος Gauss-Jordan), η οποία βασίζεται στις παραπάνω πράξεις μεταξύ γραμμών (γραμμοπράξεις) Με αυτές τις πράξεις μετατρέπουμε σιγά-σιγά το σύστημα σε άλλο ισοδύναμο, στο οποίο στην κάθε εξίσωση θα υπάρχει μόνον ένας άγνωστος, οπότε και θα προκύψει άμεσα η λύση του συστήματος
6 Παράδειγμα: Να λυθεί το παρακάτω σύστημα με τη μέθοδο των διαδοχικών απαλοιφών: x - y + 6z x - y + z - -x - y + z 6 Λύση: ) Διαιρούμε και τα δυο μέλη της πρώτης εξίσωσης δια του συντελεστή του x Θα προκύψει το ισοδύναμο σύστημα: x - y + z x - y + z - -x - y + z 6 ) Προσθέτουμε την πρώτη πολλαπλασιασμένη επί - στη δεύτερη και επίσης την πρώτη πολλαπλασιασμένη επί στην τρίτη Θα προκύψει το ισοδύναμο σύστημα: x - y + z y - z - -5y + 8z 6 ) Προσθέτουμε τη δεύτερη πολλαπλασιασμένη επί 5 στην τρίτη: x - y + z y - z - - z - ) Διαιρούμε την τρίτη εξίσωση δια -: x - y + z y - z - z
5) Προσθέτουμε την τρίτη πολλαπλασιασμένη επί στη δεύτερη εξίσωση Θα προκύψει το ισοδύναμο σύστημα: x - y + z y z 6) Προσθέτουμε την τρίτη πολλαπλασιασμένη επί - στην πρώτη Θα προκύψει το ισοδύναμο σύστημα: x -y -6 y z 7) Προσθέτουμε τη δεύτερη πολλαπλασιασμένη επί στην πρώτη Θα προκύψει το ισοδύναμο σύστημα: x - y z Η τελευταία αυτή μορφή είναι και η τελική, αφού μας δίνει τη λύση του συστήματος, που είναι: x -, y, z ή (x, y, z ) (-,, ) Επειδή οι παραπάνω πράξεις γίνονται μεταξύ των συντελεστών, μπορούμε να παραλείψουμε τους αγνώστους Ο πίνακας που θα προκύψει, θα είναι ο πίνακας των συντελεστών των αγνώστων, επαυξημένος κατά μια ακόμα στήλη, τη στήλη των σταθερών όρων Ο πίνακας αυτός λέγεται επαυξημένος πίνακας ή πίνακας Gauss- Jordan Στο παράδειγμά μας θα είναι ο παρακάτω:
Με τις ίδιες ακριβώς γραμμοπράξεις μεταξύ των γραμμών του παραπάνω πίνακα, θα καταλήξουμε στην ισοδύναμη μορφή του επαυξημένου πίνακα, όπου στο πρώτο μέρος υπάρχει το στη θέση του κάθε αγνώστου και τα άλλα στοιχεία είναι μηδέν Τότε η στήλη του δεύτερου μέλους μας δίνει τη λύση του συστήματος: 65 Παρατηρήσεις: 65 Αν κατά τη διαδικασία αυτή προκύψει μια γραμμή με όλα τα στοιχεία μηδέν, δηλαδή αν μια γραμμή γίνει τελικά :, τότε η γραμμή αυτή μπορεί να παραλειφθεί, και το σύστημα θα είναι αόριστο, με ελεύθερο κάποιον από τους αγνώστους 65 Αν κατά τη διαδικασία αυτή προκύψει μια γραμμή με όλα τα στοιχεία του πρώτου μέλους μηδέν και το δεύτερο μέλος είναι διάφορο του μηδενός, δηλαδή αν μια γραμμή γίνει τελικά : βi, με βi τότε το σύστημα είναι αδύνατο 66 Εφαρμογή: Να λυθεί το παρακάτω σύστημα με τη μέθοδο GAUSS- JORDAN: x + y - z x + y + z - x + y - z 5
Λύση: Ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος θα είναι: Α) Προσθέτουμε την πρώτη γραμμή πολλαπλασιασμένη επί - στη δεύτερη και επίσης την πρώτη πολλαπλασιασμένη επί - στην τρίτη Θα έχουμε τον πίνακα: Β) Στον παραπάνω πίνακα προσθέτουμε τη δεύτερη γραμμή πολλαπλασιασμένη επί - στην Τρίτη Θα έχουμε τον πίνακα: Γ) Διαιρούμε την τρίτη εξίσωση δια - Θα έχουμε τον πίνακα: Δ) Στον προηγούμενο πίνακα προσθέτουμε την τρίτη γραμμή, πολλαπλασιασμένη επί -, στη δεύτερη(για να μηδενισθεί το στη δεύτερη γραμμή) Θα έχουμε: Ε) Προσθέτουμε επίσης την τρίτη γραμμή στην πρώτη(για να μηδενιστεί το - της πρώτης γραμμής) Θα έχουμε:
Ζ) Τέλος στον προηγούμενο πίνακα προσθέτουμε την δεύτερη γραμμή, πολλαπλασιασμένη επί - στην πρώτη Θα έχουμε την τελική μορφή, που απεικονίζει τη μοναδική λύση του συστήματος: που είναι: x -, y, z - ή (x, y, z ) (-,, - ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να λυθoύν τα παρακάτω συστήματα με τη μέθοδο των Διαδοχικών Απαλοιφών (Gauss-Jordan): i) x + y w ii) x y + z x + y + w 9 x + y + z 5 x + 6y - 5w -x +y - z iii) x - y + z iv) x - y + z 5 -x + y - z - -x + 7y - 6z -9 x - y + 8z 6 x - y - z 6 To ίδιο για τα συστήματα: i) x y + z ii) x + y +z 8 x + y - z 5 x - y + z -x +y - z -x + 5y z 5
iii) x + y + z - iv) x - y + z x + y + z -x + y - z -6 x + y + z -7 -x + y + z 6 Σ ένα εργοστάσιο αλλαντικών, παρασκευάζονται τρία είδη ζαμπόν, από τρία διαφορετικά κρέατα, χοιρινό,μοσχαρίσιο και κοτόπουλο Αν για την παρασκευή ενός πακέτου από το πρώτο είδος ζαμπόν, χρειάζονται κιλό χοιρινό, κιλό μοσχάρι και 5 κιλά κοτόπουλο, από το δεύτερο είδος χρειάζονται, και κιλά αντίστοιχα και από το τρίτο είδος χρειάζονται μόνο κιλά χοιρινό και κιλά μοσχάρι, να βρείτε πόσα πακέτα από το κάθε είδος παρασκευάζονται σε μια βάρδια, αν χρησιμοποιούνται για το σκοπό αυτό 8 κιλά χοιρινό, κιλά μοσχάρι και 5 κιλά κοτόπουλο Σ ένα εργαστήριο επιστημονικών πειραμάτων, ένας ερευνητής, θέλει να δίνει σ ένα κουνέλι ακριβώς μονάδες βιταμίνης Α, 6 μονάδες βιταμίνης C και μονάδες βιταμίνης Ε Το κουνέλι τρέφεται κάθε μέρα με ένα μίγμα από τρία είδη τροφής Κάθε γραμμάριο από το ο είδος τροφής περιέχει μονάδες βιταμίνης Α, μονάδες βιταμίνης C και 5 μονάδες βιταμίνης Ε Κάθε γραμμάριο από το ο είδος τροφής περιέχει μονάδες βιταμίνης Α, 7 μονάδες βιταμίνης C και 9 μονάδες βιταμίνης Ε Κάθε γραμμάριο από το ο είδος τροφής περιέχει 6 μονάδες βιταμίνης Α, μονάδες βιταμίνης C και μονάδες βιταμίνης Ε Πόσα γραμμάρια από κάθε είδος τροφής θα πρέπει να τρώει το κουνέλι κάθε μέρα; 6
7 7 Γενικές ασκήσεις πρώτου μέρους Να λυθεί το σύστημα: λ y x + y y x Να βρείτε τους πίνακες Α, Β, τύπου x, για τους οποίους ισχύουν: Α+ Β, Α 5Β 8 Αν Α, να βρείτε τον πραγματικό αριθμό χ, για τον οποίο ισχύει: Α xα + Ι, όπου Ι είναι ο μοναδιαίος πίνακας x Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ, για τις οποίες το σύστημα w y x έχει και μη μηδενικές λύσεις 5 Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού k, για τις οποίες το σύστημα k k k w y x έχει και μη μηδενικές λύσεις 6 Να λυθούν τα συστήματα:
x + y + w α+ α(x + y) + w α x + y +(α ) w α α(x + w) + y x + αy + w α(y + w) + x 7 Δίνεται το σύστημα: x + y + λw x + λy + w λ x - y + w Βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ, ώστε το σύστημα να έχει μοναδική λύση (x,y,w), η οποία να ικανοποιεί τη σχέση y x + w 8 Δίνονται τα γραμμικά συστήματα: Α) λx (λ -k ) y B) x + y λ x + y (λ- k) x ( k + ) y k Βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς k και λ, ώστε τα δυο αυτά συστήματα να είναι συγχρόνως αδύνατα 8
9