Γραµµικη Αλγεβρα Ι. Ακαδηµαϊκο Ετος Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Γραµµικη Αλγεβρα Ι. Ακαδηµαϊκο Ετος Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης"

Transcript

1 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Ακαδηµαϊκο Ετος ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : abeligia/linearalgebrai/laihtml

2 2 Περιεχόµενα Μέρος 1 Ασκήσεις Προς Λύση 4 1 Φυλλάδιο 1-16/11/ Φυλλάδιο 2-23/11/ Φυλλάδιο 3-30/11/ Φυλλάδιο 4-14/12/ Φυλλάδιο 5-21/12/ Φυλλάδιο 6-1/1/ Φυλλάδιο 7-25/1/ Φυλλάδιο 8-8/2/ Φυλλάδιο 9-15/2/ Μέρος 2 Προτεινόµενες Ασκήσεις Προς Λύση Φυλλάδιο 1-16/11/ Φυλλάδιο 2-23/11/ Φυλλάδιο 3-30/11/ Φυλλάδιο 4-14/12/ Φυλλάδιο 5-21/11/ Φυλλάδιο 6-11/1/ Φυλλάδιο 7-25/1/ Φυλλάδιο 8-8/2/ Φυλλάδιο 9-15/2/ Μέρος 3 Συµπληρωµατικές Ασκήσεις 39 Μέρος 4 οκιµασία 15 Λεπτών στην Τάξη οκιµασία 1-16/11/ οκιµασία 2-23/11/ οκιµασία 3-30/11/ οκιµασία 4-7/11/ οκιµασία 5-14/11/ οκιµασία 6-21/11/ οκιµασία 7-11/1/ οκιµασία 8-18/1/ οκιµασία 9-28/1/ οκιµασία 10-8/2/ οκιµασία 11-15/2/ Μέρος 5 Λύσεις οκιµασιών 15 Λεπτών στην Τάξη οκιµασία 1-16/11/ οκιµασία 2-23/11/ οκιµασία 3-30/11/ οκιµασία 4-7/11/ οκιµασία 5-14/11/ οκιµασία 6-21/11/ οκιµασία 7-11/1/

3 3 37 οκιµασία 8-18/1/ οκιµασία 9-28/1/ οκιµασία 10-8/2/ οκιµασία 11-15/2/ Μέρος 6 Επίλυση Επιλεγµένων Ασκήσεων Φυλλάδιο 1-22/11/ Φυλλάδιο 2-22/11/ Φυλλάδιο 3-6/12/ Φυλλάδιο 4-21/12/ Φυλλάδιο 5-19/1/ Φυλλάδιο 6-19/1/ Φυλλάδιο 7-23/1/ Φυλλάδιο 8-6/2/ Φυλλάδιο 9-15/2/ Φυλλάδιο 10-20/2/ Μέρος 7 Θεωρητικά Θέµατα Ορίζουσα Γενικευµένων άνω Τριγωνικών Πινάκων Βαθµίδα Γραµµών και Βαθµίδα Στηλών 128

4 4 Μέρος 1 Ασκήσεις Προς Λύση 1 Φυλλάδιο 1-16/11/2011 Ασκηση 1 Να γράψετε αναλυτικά τον 6 6 πίνακα A = (a ij ) όπου a ij = min{i, j} + i j Ασκηση 2 ίνονται οι πίνακες ( ) A =, B = , C = Να εκτελεστούν, όπου είναι δυνατόν, οι ακόλουθοι πολλαπλασιασµοί πινάκων : A B, B A, A C, C A, B C Ασκηση 3 Εστω οι πίνακες A = , B = Να προσδιοριστεί 3 3 πίνακας X, ο οποίος να ικανοποιεί την εξίσωση : A + 3X = 2(X B) Ασκηση 4 Εστω n N µε n 2 Ας είναι AT n (K) (αντιστοίχως KT n (K)) το σύνολο των άνω (αντιστοίχως κάτω) τριγωνικών n n πινάκων µε στοιχεία από το σώµα K Να δειχθεί ότι η τοµή AT n (K) KT n (K)) των δύο αυτών συνόλων ισούται µε το σύνολο των διαγωνίων πινάκων Ασκηση 5 ίνεται ο πίνακας A = Να δείξετε ότι A 4 = I 3 και ο ακολούθως να δείξετε ότι ο A είναι αντιστρέψιµος Στην συνέχεια να ϐρείτε τους πίνακες A 1 και A 2011 Ασκηση 6 Εστω A = ( ) 1 2 Βρείτε τον πίνακα A 0 1 n, n N Ασκηση 7 Για κάθε n 1, να ϐρείτε την n-οστή δύναµη του πίνακα A = Ασκηση 8 Εστω A, B δύο αντιστρέψιµοι n n πίνακες έτσι ώστε ο πίνακας A + B 1 να είναι αντιστρέψιµος είξτε ότι ο πίνακας A 1 + B είναι αντιστρέψιµος και ισχύει : (A 1 + B) 1 = A (A + B 1 ) 1 B 1

5 5 ( ) 3 1 Ασκηση 9 Αν A =, να υπολογίσετε τον A και να αποδείξετε ότι A 2 2A 8I 2 = 0 Ασκηση 10 Εστω A και B δύο n n πίνακες τέτοιοι ώστε ο πίνακας I n (A B) 2 να είναι αντιστρέψιµος είξτε ότι ( In (B A) 2) 1 = In + B (I n (A B) 2) 1 A B A Ασκηση 11 Αν για τον n n πίνακα A ισχύει A 4 A 3 + A 2 A + I n = 0, να δείξετε ότι : A 1 = A 4 Ασκηση 12 Θεωρούµε τους n n πίνακες A και B, και υποθέτουµε ότι ο B είναι αντιστρέψιµος και ισχύει : A + B = A B Να δείξετε ότι ο A είναι αντιστρέψιµος και ισχύει : A 1 + B 1 = I n Ασκηση 13 Εστω A, B δύο m n πίνακες Για ποιές τιµές των m, n N ισχύει : A = B tr(a) = tr(b); Ασκηση 14 Εστω A, B, C τρεις πίνακες έτσι ώστε να ορίζονται οι πίνακες A B και B C Να δείξετε ότι ορίζονται οι πίνακες A (B C), (A B) C και επιπλέον ισχύει : A (B C) = (A B) C 2 Φυλλάδιο 2-23/11/2011 Ασκηση 15 Να υπολογίσετε την ορίζουσα του ακόλουθου πίνακα : A = Ασκηση 16 Να υπολογίσετε την ορίζουσα του ακόλουθου πίνακα : A = Ασκηση 17 Να υπολογίσετε την ορίζουσα α β γ β + γ γ + α α + β

6 6 Ασκηση 18 Αν α, β και γ είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε να δείξετε ότι α β γ = (β α)(γ α)(γ β) (ορίζουσα Vandermonde) α 2 β 2 γ 2 Ασκηση 19 Να υπολογίσετε την ορίζουσα 1 + α 1 β α 1 β α 1 β α 2 β α 2 β α 2 β α 3 β α 3 β α 3 β 3 Ασκηση 20 Θεωρούµε έναν πίνακα A M 3 3 (R) ο οποίος ικανοποιεί την σχέση : A A = O Να δείξετε ότι ο πίνακας A + I 3 είναι αντιστρέψιµος, να ϐρείτε τον (A + I 3 ) 1, και να υπολογίσετε την ορίζουσα A του A Ασκηση 21 Να λυθεί η εξίσωση 2 x 1 i 1 2 x i i i 2 x Ασκηση 22 Να υπολογισθεί η n n ορίζουσα Ασκηση 23 Να υπολογισθεί η n n ορίζουσα Ασκηση 24 Να υπολογισθεί η n n ορίζουσα A = Ασκηση 25 Να υπολογισθεί η 2n 2n ορίζουσα = 0, όπου i2 = α + β αβ α + β αβ α + β α + β αβ α + β α 0 0 β 0 α β 0 0 β α 0 β 0 0 α

7 7 Ασκηση 26 Να υπολογισθεί η ορίζουσα του ακόλουθου n n πίνακα A, όπου x R: 1 + x 2 x x 1 + x 2 x x 1 + x 2 x 0 0 A = x 2 x x 1 + x 2 x x 1 + x 2 Ασκηση 27 Πόσες διαφορετικές τιµές µπορεί να έχει η ορίζουσα ενός 5 5 πίνακα τής µορφής A = ; (Με συµβολίζουµε αυθαίρετες τιµές στοιχείων του K) 3 Φυλλάδιο 3-30/11/2011 Ασκηση 28 Εστω A M n n (R) Αν A = 3, τότε να υπολογισθεί η ορίζουσα A 4 Ασκηση 29 Εστω A M n n (R) ένας αντισυµµετρικός πίνακας Αν ο πίνακας I n + A είναι αντιστρέψιµος, να εξετάσετε αν και ο πίνακας I n A είναι αντιστρέψιµος Ασκηση 30 Αν A, B M n n (R) και ισχύει t A = A 1, t B = B 1, να δείξετε ότι : (A + B) (A B) = t A B t B A Ασκηση 31 Εστω A M n n (R) έτσι ώστε t A = A Να δείξετε ότι t (adja) = adja Ασκηση 32 Εστω A M n n (R) αντιστρέψιµος πίνακας µε n 2 Να αποδειχθεί ότι adja = A n 1 Ασκηση 33 Εστω A M n n (R) αντιστρέψιµος πίνακας µε n 2 Να αποδειχθεί ότι adj(adja) = A n 2 A

8 8 Ασκηση 34 Να ϐρεθεί η ισχυρά κλιµακωτή µορφή του πίνακα : A = Ακολούθως, αν ο A είναι αντιστρέψιµος, να ϐρεθεί ο A 1 µε χρήση πράξεων επί των γραµµών του Ασκηση 35 Εστω ο πίνακας A = να υπολογισθεί ο A 1 : Να δειχθεί ότι ο A είναι αντιστρέψιµος και στη συνέχεια (1) µε χρήση του συµπληρωµατικού adja του A, (2) µε τη µέθοδο στοιχειωδών µετασχηµατισµών επί των γραµµών του πίνακα (A I 3 ) Ασκηση 36 Αν ένας από τους πίνακες A, B M n n (R) είναι αντιστρέψιµος, τότε να δειχθεί ότι : A B + I n = B A + I n Ασκηση 37 Να λύσετε το σύστηµα : 3x 1 2x 2 + 2x 3 = 9 x 1 2x 2 + x 3 = 5 2x 1 x 2 2x 3 = 1 (1) µε τη µέθοδο Cramer, (2) µε τη µέθοδο απαλοιφής του Gauss Ασκηση 38 Να λυθούν τα συστήµατα : x 1 2x 2 + 2x 3 x 4 = 3 (1) 3x 1 + x 2 + 6x x 4 = 16 2x 1 x 2 + 4x 3 + 4x 4 = 9 (2) (3) x 1 + x 2 x 3 + x 4 = 1 2x 1 + 3x 2 + x 3 = 4 3x 1 + 5x 2 + 3x 3 x 4 = 5 3x 1 + 2x 2 + x 3 = 0 6x 1 x 2 + 2x 3 = 0 12x 1 + 6x 2 + 4x 3 = 0 (4) x 1 + 2x 2 x 3 + 4x 4 2x 5 = 3

9 9 Ασκηση 39 Θεωρούµε το γραµµικό σύστηµα (α, β R): 2x + y + z = 6α (Σ) 2x + y + (β + 1)z = 4 βx + 3y + 2z = 3α 1 Να υπολογισθούν οι τιµές του β για τις οποίες το (Σ) έχει µοναδική λύση 2 Για τις τιµές β για τις οποίες το (Σ) δεν έχει µοναδική λύση, να λύσετε το (Σ) µε τη µέθοδο απαλοιφής του Gauss Ασκηση 40 Αν λ R, να λυθεί το σύστηµα : x y + z = 3 x + y + λz = 1 x + λy + z = λ Ασκηση 41 Αν το πολυώνυµο P (t) = a 0 + a 1 t + + a n t n, όπου a i K, i = 0, 1,, n, έχει n + 1 διαφορετικές ϱίζες, τότε να δείξετε ότι το P (t) είναι το µηδενικό πολυώνυµο 4 Φυλλάδιο 4-14/12/2011 Ασκηση 42 Θεωρούµε το σύνολο R 3 µαζί µε τις πράξεις : : R 3 R 3 R 3, (x, y, z) (x, y, z ) = (x + x, y + y, z + z ) και : R R 3 R 3, r (x, y, z) = (0, 0, 0) Να εξετάσετε αν µε τις παραπάνω πράξεις το σύνολο R 3 είναι R-διανυσµατικός χώρος Ασκηση 43 Στο σύνολο των 2 2 πινάκων M 2 2 (R), ορίζουµε δυο πράξεις : και : M 2 2 (R) M 2 2 (R) M 2 2 (R), A B = (A + B) : R M 2 2 (R) M 2 2 (R), r A = (ra) Οι πράξεις στα δεξιά µέλη των ανωτέρω ορισµών είναι οι γνωστές πράξεις πρόσθεσης πινάκων και ϐαθµωτού πολλαπλασιασµού αριθµού µε πίνακα Να εξετάσετε ποια από τα αξιώµατα που διέπουν τον ορισµό του διανυσµατικού χώρου ισχύουν και ποια όχι Ασκηση 44 Στο σύνολο C των µιγαδικών αριθµών ορίζουµε τις πράξεις : + : C C C, (z 1, z 2 ) z 1 + z 2 και : R C C, (r, z) r z Να δείξετε ότι η τριάδα (C, +, ) είναι διανυσµατικός χώρος πάνω από το R

10 10 Ασκηση 45 Στο σύνολο R + = {r R r > 0} ορίζουµε τις πράξεις : : R + R + R +, (a, b) a b = ab 1 και : R R + R +, (r, a) r a = a Να εξετάσετε αν η τριάδα (R +,, ) αποτελεί διανυσµατικό χώρο πάνω από το R Ασκηση 46 Στο σύνολο R των πραγµατικών αριθµών ορίζουµε πράξεις : : R R R, (a, b) a b = ab και : R R R, (λ, a) λ a = λ + a Να εξετάσετε αν η τριάδα (R,, ) αποτελεί διανυσµατικό χώρο πάνω από το R Ασκηση 47 Να δειχθεί ότι το υποσύνολο : αποτελεί έναν R-υπόχωρο του R 4 V = { (a, b, c, d) R 4 c = a b, d = a + b } R 4 Ασκηση 48 Να εξετασθεί ποιά από τα ακόλουθα υποσύνολα των αντίστοιχων διανυσµατικών χώρων είναι υπόχωροι : (1) V 1 = {(a, b, 1) R 3 a, b R}, στον R-διανυσµατικό χώρο R 3 (2) V 2 = {(a, b, a + 2b) R 3 a, b R}, στον R-διανυσµατικό χώρο R 3 (3) V 3 = {(a, b, c) R 3 a + 2b c = 0, a, b, c R}, στον R-διανυσµατικό χώρο R 3 (4) V 4 = {(a, b, c) R 3 a 0 και c 0}, στον R-διανυσµατικό χώρο R 3 (5) V 5 = {(a, b, c, d) R 4 a + b + d = 0}, στον R-διανυσµατικό χώρο R 4 (6) V 6 = {A M 2 2 (R) A 2 = A}, στον R-διανυσµατικό χώρο M 2 2 (R) (7) V 7 = {A M 2 2 (R) A 2 = O}, στον R-διανυσµατικό χώρο M 2 2 (R) (8) V 8 = {f : R R f(1) = 1}, στον R-διανυσµατικό χώρο F(R, R) (9) V 9 = {f : ( 1, 1) R f(1) = 0}, στον R-διανυσµατικό χώρο F ( ( 1, 1), R ) Ασκηση 49 Θεωρούµε το σώµα K ως K-διανυσµατικό χώρο Να δείξετε ότι οι µόνοι υπόχωροι του K είναι οι : {0}, και K Ασκηση 50 Να εξετασθεί ποια από τα παρακάτω υποσύνολα του M 2 3 (R) είναι R-υπόχωροι : { ( ) } a b c (1) V 1 = M d (R) b = a + c { ( ) } a b c (2) V 2 = M d (R) c > 0

11 11 Ασκηση 51 Θεωρούµε τον διανυσµατικό χώρο M 2 2 (R) πάνω από το R και τα παρακάτω υποσύνολα αυτού : { ( ) } 0 a V = M a b 2 2 (R) a, b R και W = { ( 0 c d c + d (1) Να δείξετε ότι οι V και W είναι υπόχωροι του M 2 2 (R) (2) Να ϐρεθεί η µορφή των στοιχείων του υποχώρου V W ) } M 2 2 (R) c, d R Ασκηση 52 Εστω E ένα µη-κενό σύνολο το οποίο είναι εφοδιασµένο µε δύο πράξεις : και : E E E, : K E E, (x, y) x + y (λ, x) λ x (1) Υποθέτουµε ότι ικανοποιούνται όλα τα αξιώµατα (1) - (8), εκτος από το αξίωµα : x + y = y + x, x, y E Αξίωµα (2) Να δείξετε ότι το αξίωµα (2) ικανοποιείται και εποµένως η τριάδα (E, +, ) αποτελεί έναν K-διανυσµατικό χώρο (2) Να δείξετε ότι το αξίωµα 1 x = x, x E Αξίωµα (8) στον ορισµό ενός K-διανυσµατικό χώρου E δεν είναι συνέπεια των αξιωµάτων (1)-(7) 5 Φυλλάδιο 5-21/12/2011 Ασκηση 53 Να δείξετε ότι το διάνυσµα x = (3, 2, 0) του R 3 είναι γραµµικός συνδυασµός των διανυσµάτων x 1 = (1, 2, 1), x 2 = (1, 1, 0), x 3 = (0, 2, 1) Ασκηση 54 Να εξετάσετε αν τα διανύσµατα x = (2, 1, 1), γραµµικά ανεξάρτητα y = (0, 2, 1), z = (1, 1, 0) του R 3 είναι Ασκηση 55 Να εξεταστεί εάν τα διανύσµατα u = (1, 3, 1), v = (2, 4, 3), και w = (5, 9, 10) του R 3 είναι γραµµικά εξαρτηµένα και αν είναι να ευρεθεί µια σχέση γραµµικής εξάρτησής τους Ασκηση 56 Να εξεταστεί εάν τα διανύσµατα ( ) ( A =, B = ) ( 1 1, Γ = 1 1 ) ( 0 1, = 1 1 του R-διανυσµατικού χώρου M 2 2 (R) είναι γραµµικά ανεξάρτητα και στην συνέχεια αν παράγουν το χώρο ),

12 12 Ασκηση 57 Αν το σύνολο διανυσµάτων { e 1,, e n } ενός διανυσµατικού χώρου είναι γραµµικά ανεξάρτητο να δείξετε ότι το σύνολο { e1, e1 + e 2,, e1 + + } e n είναι επίσης γραµµικά ανεξάρτητο Ασκηση 58 Να προσδιοριστεί µια ϐάση και η διάσταση του R-υπόχωρου V = { (a, b, c, d) R 4 c = a b, d = a + b } του R 4 Ασκηση 59 Να αποδειχθεί ότι το σύνολο των 3 3 διαγωνίων πινάκων µε πραγµατικές συνιστώσες είναι υπόχωρος του R-διανυσµατικού χώρου M 3 3 (R) και κατόπιν να προσδιοριστεί µια ϐάση του Ασκηση 60 Εστω το οµογενές σύστηµα : 4x x 2 7x 3 + 6x 4 = 0 x 1 + 3x 2 2x 3 + x 4 = 0 3x 1 + 9x 2 2x x 4 = 0 Να προσδιοριστεί µια ϐάση του χώρου των λύσεων του συστήµατος Ασκηση 61 Να ϐρεθεί µια ϐάση του υπόχωρου x 1, x 2, x 3, x 4 R 4, όπου x 1 = (1, 1, 2, 4), x 2 = (2, 1, 5, 2), x 3 = (1, 1, 4, 0), x 4 = (2, 1, 1, 5) Ασκηση 62 Να προσδιοριστούν όλες οι τιµές του a R, για τις οποίες το σύνολο των διανυσµάτων { x = (a 2, 0, 1), y = (0, a, 2), } z = (1, 0, 1) αποτελεί ϐάση του R 3 Ασκηση 63 Εστω P ένας σταθερός αντιστρέψιµος 3 3 πίνακας πραγµατικών αριθµών ακόλουθο σύνολο V(P ) = { A M 3 3 (R) ο πίνακας P 1 AP } είναι διαγώνιος Θεωρούµε το Να δείξετε ότι το σύνολο V(P ) είναι ένας υπόχωρος του R-διανυσµατικού χώρου M 3 3 (R) και ακολούθως να ϐρείτε µια ϐάση του Ασκηση 64 Στον R-διανυσµατικό χώρο F(R, R) ϑεωρούµε τα υποσύνολα F E = { f : R R f( x) = f(x), x R } F O = { f : R R f( x) = f(x), x R } Να δείξετε ότι τα υποσύνολα F E και F O είναι υπόχωροι του F(R, R) και να προσδιορισθούν οι υπόχωροι : F E + F O και F E F O

13 13 Ασκηση 65 Εστω M ένας σταθερός 2 2 πίνακας πραγµατικών αριθµών Να δείξετε ότι το σύνολο V(M) = { A M 2 2 (R) AM = MA } όλων των 2 2 πίνακων οι οποίοι µετατίθενται µε τον M είναι ένας υπόχωρος του M 2 2 (R) Αν ( ) 1 2 M = 3 1 να ϐρείτε µια ϐάση του V(M) Ασκηση 66 (1) Στον διανυσµατικό χώρο R 2 ϑεωρούµε τις ακόλουθες δύο ϐάσεις : { 3 B 1 = ( 2, 1 3 } 2 ), ( 1 2, 2 ) και B 2 = { (1, 0), (0, 1) } (α ) Να προσδιοριστεί ο πίνακας µετάβασης P 12 από τη ϐάση B 1 στη ϐάση B 2 (ϐ ) Εστω (x, y) οι συνιστώσες του διανύσµατος v R 2, ως προς τη ϐάση B 2 Να προσδιοριστούν οι συνιστώσες του v ως προς τη ϐάση B 1 (2) Να εξεταστεί εάν µπορεί ο πίνακας P = να αποτελεί πίνακα µετάβασης από µια ϐάση του R 3 σε µια άλλη ϐάση του R 3 6 Φυλλάδιο 6-1/1/2012 Ασκηση 67 Εστω E ένας C-διανυσµατικός χώρος και και υποθέτουµε ότι : dim C E = n Να δείξετε ότι ο E µπορεί να ϑεωρηθεί και ως R-διανυσµατικός χώρος και τότε : dim R E = 2 dim C E Ασκηση 68 Εστω E ένας διανυσµατικός χώρος υπεράνω ενός σώµατος K Υποθέτουµε ότι το σύνολο είναι ϐάση του E (1) Να δείξετε ότι τότε το σύνολο B = { e 1,, e i,, e n } C = { e 1,, e i + λ e j,, e n } είναι ϐάση του E, για κάθε λ K και i j (2) Τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα : (α ) Το σύνολο D = { e 1 + e 2, e 2 + e 3,, e n 1 + e n, e n + e 1 } είναι ϐάση του E (ϐ ) Το n είναι περιττός

14 14 Ασκηση 69 Να ϐρεθεί µια ϐάση του υπόχωρου x, y, z ο οποίος παράγεται από τα διανύσµατα όπου a, b, c R x = (1, 1, 1, a), y = (1, 0, 1, b), z = ( 2, 2, 2, c) R 4 Ασκηση 70 Εστω α 1, α 2,, α n R και V = { (x 1, x 2,, x n ) R n α 1 x 1 + α 2 x α n x n = 0 } Να ϐρεθεί η διάσταση dim R V Ασκηση 71 Εστω x = (2, 1, 4, 3), y = (2, 1, 2, 0) R 4 Να δειχθεί ότι το σύνολο διανυσµάτων { x, y} είναι γραµµικά ανεξάρτητο και να ϐρεθούν δυο διανύσµατα z, w R 4 έτσι ώστε το σύνολο { x, y, z, w} να αποτελεί ϐάση του R 4 Ασκηση 72 Να ϐρεθεί η διάσταση dim R (V W) όπου V = { (x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 x 1 x 2 + x 3 x 4 = 0 } W = { (x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 } Ασκηση 73 Εστω B = { e 1, e 2, e 3, e 4, e 5 } µια ϐάση του διανυσµατικού χώρου E dim K A 1, A 2, A 3, A 4 του υπόχωρου ο οποίος παράγεται από τα διανύσµατα A 1 = e e 2 4 e e 4 + e 5, Να ϐρεθεί η διάσταση A 2 = 2 e e 2 3 e e e 5, A 3 = 6 e e 2 7 e e e 5, A 4 = e e 2 3 e e 4 Ασκηση 74 Να ϐρεθεί µια ϐάση του υπόχωρου u, v, w ο οποίος παράγεται απο τα διανύσµατα η οποία να επεκταθεί σε µια ϐάση του R 3 u = (0, 1, 2), v = (0, 1, 2), w = (0, 3, 4) Ασκηση 75 Να ϐρεθεί µια ϐάση του υπόχωρου A, B, Γ, ο οποίος παράγεται από τα διανύσµατα ( ) ( ) ( ) ( ) A =, B =, Γ =, = και ακολούθως να συµπληρωθεί σε µια ϐάση του M 2 2 (R) Ασκηση 76 Εστω τα ακόλουθα διανύσµατα του R n : x 1 = (1, 1, 0,, 0), x 2 = (0, 1, 1, 0, 0),, x n = (1, 0, 0, 1) Να ϐρεθεί η διάσταση dim R x 1,, x n του υπόχωρου ο οποίος παράγεται απο τα διανύσµατα x 1, x 2,, x n

15 15 Ασκηση 77 Να ϐρεθεί µια ϐάση του υπόχωρου P (t), Q(t), R(t) ο οποίος παράγεται απο τα διανύσµατα P (t) = t + t 2 + t 4, Q(t) = t + 2t 2 t 4, R(t) = 2t + 6t 4 η οποία στη συνέχεια να συµπληρωθεί σε µια ϐάση του R 4 [t] Ασκηση 78 Στον R-διανυσµατικό χώρο R 1 [t] ϑεωρούµε τις ακόλουθες δυο ϐάσεις S = {t, t 3} και T = {t 1, t + 1} (1) Να ϐρεθεί ο πίνακας µετάβασης MS T από την S στην T και ο πίνακας µετάβασης M T S την T στην S (2) Ποιες είναι οι συνιστώσες του διανύσµατος P (t) = 5t + 1 ως προςαπό την S στην T τη ϐάση S και ως προς τη ϐάση T; Ασκηση 79 Να ϐρεθεί η ϐαθµίδα του πίνακα A = λ 2λ όπου λ R 7 Φυλλάδιο 7-25/1/2012 Ασκηση 80 Να εξεταστεί ποιες από τις ακόλουθες απεικονίσεις είναι R-γραµµικές : (1) φ 1 : R 3 R 3, (x, y, z) φ 1 (x, y, z) = (y, z, x) (2) φ 2 : R 3 R 3, (x, y, z) φ 2 (x, y, z) = (x + y + z, 1, 1) (3) φ 3 : R 3 R 3, (x, y, z) φ 3 (x, y, z) = (xyz, 0, 0) (4) φ 4 : R 3 R 2, (x, y, z) φ 4 (x, y, z) = (z, x + y) (5) φ 5 : R 3 [x] R 2 [x], f(x) φ 5 (f(x)) = f (x) (6) φ 6 : M 3 3 (R) M 3 3 (R), A φ 6 (A) = A t A Ασκηση 81 Θεωρούµε τον R-διανυσµατικό R 3 και τις ακόλουθες γραµµικές απεικονίσεις : Να υπολογιστεί : f : R 3 R 3, (x, y, z) f(x, y, z) = (x + y + z, 0, 0) g : R 3 R 3, (x, y, z) g(x, y, z) = (x + 2y, y x, x + 2z) (1) η τιµή (f g)(x, y, z), (x, y, z) R 3, (2) η τιµή (f g)(1, 0, 1) και η τιµή (g f)(1, 0, 1) Τι παρατηρείτε ;

16 16 Ασκηση 82 Να προσδιοριστεί η γραµµική απεικόνιση f : R 3 R 3 οι τιµές της οποίας στα διανύσµατα της ακόλουθης ϐάσης B = { ε 1 = (1, 1, 1), ε2 = (1, 1, 0), ε3 = (1, 1, 2)} είναι αντίστοιχα : f( ε 1 ) = (0, 0, 0), f( ε 2 ) = (2, 1, 1), f( ε 3 ) = (0, 3, 3) Ασκηση 83 Εστω η γραµµική απεικόνιση f : R 3 R 3 η οποία ορίζεται από τη σχέση : f(x, y, z) = (x + 2y, y z, 2x + 4y) Να υπολογιστεί µια ϐάση του πυρήνα Ker(f) και µια ϐάση της εικόνας Im(f) της f Ασκηση 84 Να εξεταστεί αν η γραµµική απεικόνιση είναι ισοµορφισµός f : R n R n, f(x 1,, x n ) = (x 1, x 1 + x 2,, x 1 + x x n ) Ασκηση 85 Εστω f : E E µια γραµµική απεικόνιση, όπου ο K-διανυσµατικός χώρος E έχει πεπερασµένη διάσταση (1) Να δείξετε ότι η f είναι µονοµορφισµός αν και µόνον αν η f στέλνει γραµµικά ανεξάρτητα σύνολα διανυσµάτων σε γραµµικά ανεξάρτητα σύνολα διανυσµάτων : C = { e 1, e k } : γραµµικά ανεξάρτητο σύνολο = f(c) = {f( e 1 ), f( e k )} : γραµµικά ανεξάρτητο σύνολο (2) Να δείξετε ότι η f είναι ισοµορφισµός αν και µόνον αν η f στέλνει τυχούσα ϐάση του E σε ϐάση του E: f(b) = { e 1, e n } : ϐάση του E = f(b) = {f( e 1 ), f( e n )} : ϐάση του E Ασκηση 86 Να ϐρεθούν ϐάσεις για τον πυρήνα Ker f και την εικόνα Im f της γραµµικής απεικόνισης : f : R 3 R 3, f(x, y, z) = (x + 2y, y x, x + 2z) Ασκηση 87 Θεωρούµε τη γραµµική απεικόνιση : f : R 4 R 3, f(x, y, z, w) = (x z + 2w, 2x + y + 2z, y + 4w) (1) Να ϐρεθούν ϐάσεις για τον πυρήνα Ker f και την εικόνα Im f της f (2) Να δειχθεί ότι το διάνυσµα (1, 3, κ) Im f κ = 5 (3) Ποια συνθήκη πρέπει να ικανοποιούν τα a, b R έτσι ώστε (1, a, 1, b) Ker f; Ασκηση 88 Εστω f : E E µια γραµµική απεικόνιση, όπου dim K E < Εστω ότι f n = 0 και f n 1 0 Αν x E, να δείξετε ότι f n 1 ( x ) 0 αν και µόνο αν το σύνολο { x, f( x ),, f n 1 ( x ) } είναι γραµµικά ανεξάρτητο

17 17 Ασκηση 89 Θεωρούµε τον 2 2 πίνακα πραγµατικών αριθµών ( ) 1 0 A = 1 1 και έστω η γραµµική απεικόνιση f : M 2 2 (R) M 2 2 (R), Να ϐρεθούν ϐάσεις για τον πυρήνα Ker f και την εικόνα Im f της f f(m) = AM MA Ασκηση 90 Θεωρούµε τη ϐάση του R 2 [t] και τα διανύσµατα B := { e 1 = 1, e 2 = t, e 3 = t 2 } w 1 = 1 + t, w 2 = 3 t 2, w 3 = 4 + 2t 3t 2 του R 2 [t] Να προσδιορισθεί η µοναδική γραµµική απεικόνιση f : R 2 [t] R 2 [t] έτσι ώστε : f( e i ) = w i, 1 i 3 Ακολούθως να εξετασθεί αν η f είναι ισοµορφισµός Αν η f δεν είναι ισοµορφισµός να ϐρεθούν ϐάσεις για τον πυρήνα Ker f και την εικόνα Im f της f Ασκηση 91 Εστω f : E E µια γραµµική απεικόνιση, όπου E είναι ένας διανυσµατικός χώρος πεπερασµένης διάστασης υπεράνω ενός σώµατος K Υποθέτουµε ότι f 2 = 0 Να δείξετε τα ακόλουθα : (1) Im(f) Ker(f) (2) dim K Ker f dim K E 2 (3) Η ανισότητα του (2) είναι ισότητα αν και µόνον αν Im(f) = Ker(f) 8 Φυλλάδιο 8-8/2/2012 Ασκηση 92 Εστω A M n n (K) ένας n n πίνακας και adj(a) ο συµπληρωµατικός του A (1) adj(a) = O r(a) < n 1 (2) r(a) = n = r(adj(a)) = n (3) r(a) < n 1 = r(adj(a)) = 0 (4) r(a) = n 1 = r(adj(a)) = 1 Ασκηση 93 Εστω f, g : E F και h : F G γραµµικές απεικόνισεις µεταξύ K-διανυσµατικών χώρων πεπερασµένης διάστασης, και 0 k K Να δείξετε ότι : (1) r(κf) = r(f) (2) r(f) r(g) r(f + g) r(f) + r(g) (3) r(h f) min { r(f), r(g) } (4) r(h f) = r(f) Im(f) Ker(h) = { 0} (5) r(h f) = r(h) Im(f) + Ker(h) = F

18 18 Ασκηση 94 Να ϐρεθούν οι ϐαθµίδες των πίνακων A = και B = Ασκηση 95 Να λυθεί το σύστηµα x 2y + z + w = 1 x 2y + z w = 1 x 2y + z + 5w = 5 Ασκηση 96 Να ϐρεθούν οι τιµές του λ R, για τις οποίες το γραµµικό σύστηµα είναι συµβιβαστό, και ακολούθως να λυθεί λx + (3λ + 4)y + 2(λ + 1)z = 0 λx + (4λ + 2)y + (λ + 4)z = 0 2x + (3λ + 4)y + 3λz = 0 Ασκηση 97 Εστω (Σ) ένα γραµµικό σύστηµα m εξισώσεων µε n αγνώστους Αν m < n να δειχθεί ότι το (Σ) δεν µπορεί να έχει µοναδική λύση Ασκηση 98 Αν λ R, να λυθεί το ακόλουθο σύστηµα : x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 x 6 = 0 x 2 + x 5 x 6 = 1 x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 + 2x 5 2x 6 + x 7 = 1 x 1 + x 3 + x 4 = λ Ασκηση 99 Αν α, β, γ R, να λυθεί το σύστηµα : αx + y + z = α x + βy + z = β x + y + γz = γ Ασκηση 100 Να λυθεί το σύστηµα (λ R): x + λy + λz = 1 x + y + λz = λ λx + λy + z = 1 λx + y + z = λ

19 19 Ασκηση 101 Να λυθεί το σύστηµα (λ R): x y + z = 3 x + y + λz = 1 x + λy + z = λ Ασκηση 102 Πότε το σύστηµα είναι συµβιβαστό ; x + 5y 2z + 6w = κ 4x 3y + 7z + 12w = λ 5x 44y + 35z 6w = µ Ασκηση 103 Να ϐρεθούν οι τιµές του κ R έτσι ώστε το σύστηµα : (1) να έχει λύση (2) να µην έχει λύση x 1 + 2x 2 x 3 + 4x 4 = 2 2x 1 x 2 + x 3 + x 4 = 1 x 1 + 7x 2 4x x 4 = κ Ασκηση 104 Αφού υπολογίσετε την ϐαθµίδα του πίνακα A = να λύσετε το σύστηµα : (Σ) x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 + 5x 5 = 1 2x 1 + 3x 2 + 4x 3 + 5x 4 + 6x 5 = 1 3x 1 + 5x 2 + 6x 3 + 7x 4 + 4x 5 = 2 4x 1 + 7x x x x 5 = 1 5x 1 + 8x 2 + 9x x 4 + 3x 5 = 3 9 Φυλλάδιο 9-15/2/2012 Ασκηση 105 Εστω η γραµµική απεικόνιση f : R 3 [t] R 2 [t], f(p (t)) = P (t) Να ϐρεθεί ο πίνακας της f στις κανονικές ϐάσεις των R 3 [t] και R 2 [t]

20 20 Ασκηση 106 Εστω f, g : R 3 R 3 δύο γραµµικές απεικονίσεις Θεωρούµε τις ακόλουθες ϐάσεις του R 3 : B 1 = { e 1 = (1, 1, 1), e 2 = (1, 0, 1), e 3 = (0, 0, 1) } Αν A = M B 2 B 1 (f) = να ϐρεθούν οι τιµές f( 1, 2, 4) και g( 1, 0, 3) B 2 = { ε 1 = (1, 0, 0), ε 2 = (0, 1, 0), ε 3 = (0, 0, 1) } και B = M B 1 B 2 (g) = Ασκηση 107 Εστω f : R 3 [t] R 3 µια γραµµική απεικόνιση µε M B 2 B 1 (f) = όπου B 1 = {1, t, t 2, t 3 } και B 2 η κανονική ϐάση του R 3 Να ϐρεθεί η τιµή f(p (t)) για κάθε P (t) R 3 [t] Ασκηση 108 Εστω B = { e 1, e 2, e 3, e 4 } η κανονική ϐάση του R 4 και B η ϐάση B = { ε 1 = e 1 + e 4, ε 2 = e e 2, ε 3 = 3 e 1 + e 2, ε 4 = e 1 + e 2 + e 3 + e 4 } Εστω f : R 4 R 4 η µοναδική γραµµική απεικόνιση έτσι ώστε : f( ε 1 ) = 3 ε 2, f( ε 2 ) = 7 ε 4, f( ε 3 ) = ε 1 + ε 3 και f( ε 4 ) = ε 1 5 ε 3 Να ϐρεθεί ο πίνακας M B B (f) Ασκηση 109 Εστω f, g : R 3 R 3 δύο γραµµικές απεικονίσεις και έστω η ϐάση του R 3 : B = { e 1 = (1, 1, 1), e 2 = 1, 1, 0), e 3 = (1, 0, 0) } Αν MB B (f) = και M B B (g) = να ϐρεθούν οι γραµµικές απεικονίσεις f + g και 3f + 2g Ασκηση 110 Θεωρούµε τη γραµµική απεικόνιση f : R 3 R 3, f(x, y, z) = (y, z, x y z) Είναι η f ισοµορφισµός ; Αν ναι υπολογίστε την f 1 Ασκηση 111 Εστω f : R 3 R 3 µια γραµµική απεικόνιση της οποίας ο πίνακας στην κανονική ϐάση του R 3 είναι ο ακόλουθος A = (1) Να ϐρεθεί το διάνυσµα f(x, y, z), για κάθε (x, y, z) R 3 (2) Να ϐρεθεί ο πίνακας B του f στη ϐάση { ε 1 = (1, 1, 1), ε 2 = (0, 1, 1), ε 3 = ( 1, 1 2, 1 2 )} (3) Να ϐρεθεί αντιστρέψιµος πίνακας P έτσι ώστε : B = P 1 A P (4) Να υπολογισθεί ο πίνακας A n, n 1

21 21 Ασκηση 112 Εστω f : R 3 R 3 µια γραµµική απεικόνιση της οποίας ο πίνακας στην κανονική ϐάση του R 3 είναι ο ακόλουθος A = (1) Να ϐρεθεί το διάνυσµα f(x, y, z), για κάθε (x, y, z) R 3 (2) Να ϐρεθεί ο πίνακας B της f στη ϐάση { ε 1 = (1, 0, 2), ε 2 = (0, 1, 0), ε 3 = (2, 0, 1) } (3) Να ϐρεθεί αντιστρέψιµος πίνακας P έτσι ώστε B = P 1 A P Ασκηση 113 Εστω η απεικόνιση f : R 3 [t] R 2 [t], f(p (t)) = P (t) P (t) (1) Να δείξετε ότι η f είναι γραµµική (2) Να ϐρείτε µια ϐάση του Ker f και µια ϐάση της Im f (3) Να ϐρεθεί ο πίνακας MB C (f), όπου B = {1, t, t2, t 3 } είναι η κανονική ϐάση του R 3 [t] και C = {1, t, t 2 } είναι µια ϐάση του R 2 [t] (4) Να ϐρεθεί ο πίνακας MB C (f) όπου B = {1, 1 + t, 1 + t + t 2, 1 + t + t 2 + t 3 } είναι ϐάση του R 3 [t] και C = {1, 2t 1, 1 4t + 3t 2 } είναι ϐάση του R 2 [t] (5) Να προσδιοριστούν αντιστρέψιµοι πίνακες P, Q έτσι ώστε : B = Q 1 A P Ασκηση 114 Εστω A = Να ϐρεθεί η ϐαθµίδα r(a) := r του A και ακολούθως να ϐρεθούν αντιστρέψιµοι πίνακες P, Q έτσι ώστε ( ) Q 1 Ir O A P = O O όπου I r είναι ο µοναδιαίος r r πίνακας

22 22 Μέρος 2 Προτεινόµενες Ασκήσεις Προς Λύση 10 Φυλλάδιο 1-16/11/2011 Ασκηση 115 ώστε παραδείγµατα : ϐαθµωτού, διαγώνιου, άνω τριγωνικού, κάτω τριγωνικού, συµµετρικού, και αντισυµµετρικού 4 4 πίνακα Ασκηση 116 Για ποιές τιµές των α, β, γ K είναι οι ακόλουθοι πίνακες (i) ϐαθµωτοί, (ii) διαγώνιοι, (iii) συµµετρικοί, (iv) αντισυµµετρικοί, (v) άνω τριγωνικοί, (vi) κάτω τριγωνικοί : A = α 0 0 α β 0, B = α β γ α α γ, C = β β β α β γ, D = 1 β β α β γ γ α α α β α 0 1 Ασκηση 117 Να δειχθεί ότι για δύο m n πίνακες A και B ισχύει : (A + B) = ( A) + ( B) Ασκηση 118 Εστω n N µε n 2 (1) Να δειχθεί ότι κάθε n n πίνακας A ισούται µε ένα άθροισµα πινάκων D + D, όπου ο D είναι άνω τριγωνικός και ο D κάτω τριγωνικός Ακολούθως να εξεταστεί το κατά πόσο αυτή η παράσταση τού A είναι µοναδική (2) Να δειχθεί ότι κάθε n n πίνακας A ισούται µε ένα άθροισµα πινάκων E + E, όπου ο E είναι αυστηρά άνω τριγωνικός και ο E είναι κάτω τριγωνικός Ακολούθως να εξεταστεί το κατά πόσο αυτή η παράσταση τού A είναι µοναδική Ασκηση 119 Να ϐρεθεί η n-οστή δύναµη του πίνακα T = αντιστρέψιµοι ; Είναι οι πίνακες T n, n 1, Ασκηση 120 Να υπολογιστεί το γινόµενο πινάκων : ( ) x y 1 a h g h b f x y g f c 1 και κατόπιν να εκφραστούν ως γινόµενα πινάκων οι παρακάτω ισότητες : (1) x 2 + 9xy + y 2 + 8x + 5y + 2 = 0, x (2) 2 + y2 = α 2 β 2 1, (3) xy = α 2, (4) y 2 = 4αx Ασκηση 121 Θεωρούµε τον πίνακα A = (a ij ) M n n (R), όπου A 2 = A Είναι ο A αντιστρέψιµος ; a ij = 1 n, i, j = 1,, n Να δείξετε ότι

23 23 Ασκηση 122 Εστω ο πίνακας A = Να υπολογισθεί ο A 2 Είναι ο A αντιστρέψιµος ; Ασκηση 123 Εστω n, m 1 και για κάθε 1 i m, 1 j n ϑεωρούµε τους m n πίνακες { 1, αν κ = i, λ = j, E ij = (ε κλ ) όπου ε κλ = 0, διαφορετικά ηλαδή ο E ij είναι ο m n πίνακας µε 1 στην (i, j) ϑέση και παντού αλλού µηδέν Αν A = (a ij ) είναι ένας m n πίνακας να δείξετε ότι m n A = a ij E ij i=1 j=1 Ασκηση 124 ίνονται οι πίνακες A = και B = Να εξετασθεί αν υπάρχουν 3 2 πίνακες X, Y έτσι ώστε 2X + 7Y = A και X 3Y = B Ασκηση 125 Να δειχθεί ότι για τους πίνακες ( ) 0 1 A =, B = 0 1 ( ) 1 1, 0 0 είναι (A + B) 2 A 2 + 2AB + B 2, µολονότι (A + B) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3 Ασκηση 126 Να δειχθεί ότι η( εξίσωση )(ως προς X) των 2 2 πινάκων X 2 = I 2, διαθέτει ως λύση κάθε 0 λ τετραγωνικό πίνακα τής µορφής λ 1, όπου λ είναι οποιοδήποτε µη µηδενικό στοιχείο τού K (Συνεπώς, 0 ο ταυτοτικός 2 2 πίνακας I 2 διαθέτει άπειρο το πλήθος τετραγωνικές ϱίζες ) Ασκηση 127 Ας είναι A ένας αυστηρά άνω τριγωνικός n n πίνακας µε στοιχεία από το σώµα K Να δειχθεί ότι A n = O

24 24 11 Φυλλάδιο 2-23/11/2011 Ασκηση 128 Να υπολογισθεί η ορίζουσα του n n πίνακα : A = n 1 n Ασκηση 129 Να δείξετε ότι για τον n n πίνακα : n n n 3 A = n 2 n 3 n 4 1 n 1 n 2 n 3 0 ισχύει : A = ( 1) n 1 (n 1)2 n 2 Ασκηση 130 Να υπολογίσετε τις ορίζουσες των ακόλουθιων πινάκων : A = , B = , C = Ασκηση 131 Να υπολογισθεί η ορίζουσα του n n πίνακα : 1 n n 1 1 A = n n Ασκηση 132 Εάν a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 = 4, να υπολογισθεί η ορίζουσα a 1 a 2 4a 3 2a 2 b 1 b 2 4b 3 2b c c 2 2c 3 c 2

25 25 Ασκηση 133 Να υπολογισθεί η ορίζουσα του n n πίνακα πραγµατικών αριθµών : 1 ρ 1 ρ 2 1 ρ1 n 1 (ορίζουσα Vandermonde n τάξης) A = 1 ρ 2 ρ 2 2 ρ2 n 1 1 ρ 3 ρ 2 3 ρ n ρ n ρ 2 n ρ n 1 n Ασκηση 134 Θεωρούµε τον n n πίνακα A ο οποίος είναι της µορφής : ( ) B C A =, O D όπου B M r r (K), C M r (n r) (K), 0 M (n r) r (K), D M (n r) (n r) (K) Να δείξετε ότι : A = B D Ασκηση 135 Να υπολογισθεί η ορίζουσα του n n πίνακα πραγµατικών αριθµών α + β β β β β β α + β β β β β β α + β β β A = β β β α + β β β β β β α + β Ασκηση 136 Εστω A ένας n n πίνακας, για τον οποίο ισχύει : περιττός αριθµός, τότε A = 0 t A = A Να δειχθεί ότι αν ο n είναι Ασκηση 137 Να ευρεθούν όλες οι ελάσσονες ορίζουσες δεύτερης τάξης και όλοι οι συµπαράγοντες τού πίνακα : A = Ασκηση 138 Να ευρεθεί η ορίζουσα τού προηγούµενου πίνακα ως ανάπτυγµα (1) κατά τα στοιχεία της πρώτης γραµµής, (2) κατά τα στοιχεία της πρώτης στήλης, (3) κατά τα στοιχεία της δεύτερης γραµµής, (4) κατά τα στοιχεία της δεύτερης στήλης, (5) κατά τα στοιχεία της τρίτης γραµµής, (6) κατά τα στοιχεία της τρίτης στήλης

26 26 Ασκηση 139 Θεωρούµε τον πίνακα A = Να προσδιοριστούν οι αριθµοί 13 και A 13, 23 και A 23, 22 και A 22, και 21 και A 21 Ασκηση 140 Να προσδιοριστεί η ορίζουσα των επόµενων πινάκων (1) αναπτύσσοντάς την ως προς τη στήλη ή τη γραµµή τής επιλογής σας (2) µε χρήση κατάλληλων πράξεων επί των γραµµών ή των στηλών A 1 = , A 2 = , A 3 = 1 a a2 1 a a 2, A 4 = a + 1 a a 3 4, a a 2 5 a + 1 a A 5 = , A = Ασκηση 141 Ποιος είναι ο µέγιστος αριθµός των µηδενικών συνιστωσών που µπορεί να έχει ένας 4 4 πίνακας, χωρίς όµως η ορίζουσά του να είναι ίση µε µηδέν; 12 Φυλλάδιο 3-30/11/2011 Ασκηση 142 Να ϐρεθούν παραδείγµατα 2 2 πινάκων A και B έτσι ώστε (1) t (AB) t A t B (2) (AB) 1 A 1 B 1 (3) A + B A + B Ασκηση 143 Εστω A, B δύο n n πίνακες έτσι ώστε A 2 = I n, B 3 = I n και ο A + B είναι αντιστρέψιµος Να δείξετε ότι ο πίνακας A + B 2 είναι αντιστρέψιµος και να ϐρεθεί ο αντίστροφος του Ασκηση 144 Να υπολογισθεί η ορίζουσα του πίνακα n 2 n 1 n a n 3 n 2 n 1 a a 1 2 n 4 n 3 n 2 A = a a a a a a a a a 1 2 a a a a a a 1

27 27 Ασκηση 145 Εστω A ένας τετραγωνικός πίνακας για τον οποίο ισχύει A 2 = A και (A t A) 2 = 0 Να δείξετε ότι (A ta) 2 = A ta Ασκηση 146 Εστω A ένας τετραγωνικός n n-πίνακας Αν I n A είναι αντιστρέψιµος και να ϐρεθεί ο (I n A) 1 A k = 0 για κάποιο k 1, να δείξετε ότι ο Ασκηση 147 Αν A είναι ένας άνω τριγωνικός n n-πίνακας µε µη-µηδενικά στοιχεία στην κύρια διαγώνιο, να δείξετε ότι ο A είναι αντιστρέψιµος και ο A 1 είναι επίσης άνω τριγωνικός µε µη-µηδενικά στοιχεία στην κύρια διαγώνιο Ασκηση 148 Αν x, y R, ϑεωρούµε τον ακόλουθο n n πίνακα : x y x y x y A n = x y x y y x (1) Να υπολογισθεί η ορίζουσα A n (2) Αν x = y = 1, να εξετασθεί αν ο πίνακας είναι αντιστρέψιµος Ασκηση 149 Εστω ο πίνακας A = να υπολογισθεί ο A 1 : (1) µε χρήση του συµπληρωµατικού adja του A, (2) µε τη µέθοδο στοιχειωδών πράξεων επί των γραµµών του πίνακα (A I 3 ) Να δειχθεί ότι ο A είναι αντιστρέψιµος και στη συνέχεια Ασκηση 150 Να ϐρεθεί πίνακας X έτσι ώστε XA = B, όπου A = ( και B = ) Ασκηση 151 Να λυθεί το σύστηµα x + y + 2z t = 3 2x + y + 3z + t = 8 x + 4y + 7z 2t = 9 x y z + t = 1

28 28 Ασκηση 152 Να λυθεί το σύστηµα x + y + z = 11 2x y + z = 5 3x + 2y + z = 24 (1) µε τη µέθοδο απαλοιφής του Gauss, και (2) µε τη µέθοδο Cramer Ασκηση 153 Να λυθεί το σύστηµα (λ R) (1 + λ)x + y + z = λ 2 + 3λ x + (1 + λ)y + z = λ 3 + 3λ 2 x + y + (1 + λ)z = λ 4 + 3λ 3 13 Φυλλάδιο 4-14/12/2011 Ασκηση 154 Στο σύνολο R 2 ορίζουµε πράξεις : R 2 R 2 R 2, (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) : R R 2 R 2, λ (x, y) = (λx, 0) Να εξετασθεί αν η τριάδα (R 2,, ) είναι διανυσµατικός χώρος πάνω από το R Ασκηση 155 Στο σύνολο R 2 ορίζουµε πράξεις : R 2 R 2 R 2, (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2 + 1, y 1 + y 2 + 1) : R R 2 R 2, λ (x, y) = (λx, λy) Ποια αξιώµατα διανυσµατικού χώρου ισχύουν για την τριάδα (R 2,, ) και ποια όχι ; Ασκηση 156 Να δείξετε ότι µε τις συνηθισµένες πράξεις πρόσθεσης και ϐαθµωτού πολλαπλασιαµού πινάκων το σύνολο { a 2c 2b } V = b a 2c M 3 3 (R) a, b, c R c b a είναι διανυσµατικός χώρος πάνω από το R Ασκηση 157 Να εξετασθεί ποια από τα παρακάτω υποσύνολα του διανυσµατικού χώρου R 2, αντίστοιχα του R 3, είναι υπόχωροι : (1) V 1 = {(x, y) R 2 x 0, y R} (2) V 2 = {(x, y) R 2 x R, y = 2x + 1} (3) V 3 = {(x, y) R 2 x R, y = 2x}

29 29 (4) V 4 = {(x, y) R 2 y = x, x R} (5) V 5 = {(x, y, z) R 3 x, y R, z = 1} (6) V 6 = {(x, y, z) R 3 x = y = z R } (7) V 7 = {(x, y, z) R 3 z = x + y, x, y R} (8) V 8 = {(x, y, z) R 3 xy = 0, x, y, z R} (9) V 9 = {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 x 1 x 3 = x 2 x 4, x i R, 1 i 4} (10) V 10 = {A = (a ij ) M n n (R) a 11 = 0} Ασκηση 158 Θεωρούµε τον R-διανυσµατικό χώρο F(R, R), και τα υποσύνολά του : V = {f F(R, R) f(x) = f( x)} W = {f F(R, R) f(x) = f( x)} Z = {f F(R, R) υπάρχει κ(f) R : f(x) κ(f) x, x R} Να εξετασθεί αν τα υποσύνολα V, W, Z είναι υπόχωροι του F(R, R) Ασκηση 159 Εστω E ένας K-διανυσµατικόις χώρος και x, y E Αν κ, λ K, να δείξετε ότι : κ x + λ y = λ x + κ y κ = λ ή x = y Ασκηση 160 Να εξετασθεί αν το υποσύνολο { ( ) } a b c V = M d e f 2 3 (R) a = 2c, f = 2e + d είναι υπόχωρος του διανυσµατικού χώρου M 2 3 (R) πάνω από το R Ασκηση 161 Εστω E διανυσµατικός χώρος πάνω από το K και V, W υπόχωροι του E υποσύνολο V W του E είναι υπόχωρος του E αν και µόνο αν είτε V W ή W V Να δείξετε ότι το Ασκηση 162 Εστω AT n (R) το σύνολο των άνω τριγωνικών n n πινάκων, και KT n (R) το σύνολο των κάτω τριγωνικών n n πινάκων (1) Είναι το υποσύνολο AT n (R) υπόχωρος του διανυσµατικού χώρου M n n (R) ; (2) Είναι το υποσύνολο KT n (R) υπόχωρος του διανυσµατικού χώρου M n n (R) ; (3) Να ϐρεθεί η τοµή AT n (R) KT n (R) Ασκηση 163 Εστω V το υποσύνολο του R-διανυσµατικού χώρου M n n (R) το οποίο αποτελείται από όλους τους πίνακες της ακόλουθης µορφής : a b b b b b b b a b b b b b b b a b b b b A(a, b) =, a, b R b b b b b b b b b b b a b b b b b b b a b b b b b b b a

30 30 Να εξετασθεί αν το υποσύνολο V είναι υπόχωρος του M n n (R) Ασκηση 164 Να δείξετε ότι αν V και W είναι δύο υπόχωρου του K-διανυσµατικού χώρου E, τότε : V E και W E = E V W 14 Φυλλάδιο 5-21/11/2011 Ασκηση 165 Να δείξετε ότι οι συναρτήσεις f 1 (x) = cos x, f 2 (x) = cos 4x ϑεωρούµενες ως διανύσµατα του R-διανυσµατικού χώρου F(R, R), είναι γραµµικά ανεξάρτητες Ασκηση 166 Για ποιές τιµές του a R οι συναρτήσεις cos x + (2a 1) cos 4x, (1 a) cos x + cos 4x ϑεωρούµενες ως διανύσµατα του R-διανυσµατικού χώρου F(R, R), είναι γραµµικά εξαρτηµένες ; Ασκηση 167 Εστω ότι το σύνολο διανυσµάτων { e 1,, e n } ενός διανυσµατικού χώρου είναι γραµµικά ανεξάρτητο Να δείξετε ότι το σύνολο { e1 + e 2, e2 + e 3,, en + e 1 } είναι γραµµικά ανεξάρτητο αν και µόνο αν ο αριθµός n είναι περιττός Ασκηση 168 Να ϐρεθούν οι τιµές του λ R για τις οποίες τα διανύσµατα ( ) ( ) ( ) 1 2 λ 1 2 1,, του M 2 2 (R) είναι γραµµικά ανεξάρτητα Ασκηση 169 Να ϐρεθεί το λ R έτσι ώστε τα διανύσµατα να αποτελούν ϐάση του R 3 (λ, 1 2, 1 2 ), ( 1 2, λ, 1 2 ), ( 1 2, 1 2, λ) Ασκηση 170 Να προσδιοριστεί µια ϐάση και η διάσταση του R-υπόχωρου { ( ) } 0 c W = c, d R d c + d του M 2 2 (R)

31 31 Ασκηση 171 Εστω A ένας m n πίνακας µε στοιχεία από ένα σώµα K Να δείξετε ότι το σύνολο R(A) = { Y K m υπάρχει X K n έτσι ώστε : Y = AX } είναι ένας υπόχωρος του K-διανυσµατικού χώρου K n Ασκηση 172 Να δειχθεί ότι το υποσύνολο { (1, 1, 2), (0, 3, 3) } του R 3 αποτελεί ϐάση του R-υπόχωρου V = { (x, y, z) x + y + z = 0 } R 3 Ασκηση 173 Να δείξετε ότι το ακόλουθο υποσύνολο V = { (x, y, z) R 3 2x + y + 3z = 0 } είναι υπόχωρος του R 3 και να ϐρείτε µια ϐάση του C Ακολούθως να ϐρείτε µια ϐάση B του R 3 η οποία περιέχει την C Ασκηση 174 Να εξεταστεί ποια από τα επόµενα σύνολα διανυσµάτων αποτελούν ϐάσεις του R-διανυσµατικού χώρου M 2 2 (R) : { ( ) ( ) ( ) ( ) } ,,,, { ( ) ( 0 1, 2 0 ) ( 1 2, 3 2 ) ( 3 2, 5 6 ) ( 2 1, 0 4 ) }, { ( ) ( 7 8, 1 1 ) ( 0 0, 0 0 ) ( 1 2, 3 4 ) } Ασκηση 175 Να προσδιορισθούν όλοι οι υπόχωροι των R-διανυσµατικών χώρων : (α) R 3, και (β) M 2 2 (R) Ασκηση 176 Να ϐρεθεί η διάσταση dim R V όπου { V = 0 b c } b 0 e b, c, e R c e 0 Ασκηση 177 Να δείξετε ότι ένας K-διανυσµατικός χώρος V έχει ακριβώς δυο υπόχωρους αν και µόνο αν dim K V = 1

32 32 15 Φυλλάδιο 6-11/1/2012 Ασκηση 178 Για τις διάφορες τιµές του λ R, να ϐρεθεί η διάσταση του υπόχωρου ε 1, ε 2, ε 3 όπου ε 1 = (1, 2, 3, 4), ε 2 = ( 2, 1, λ, 2), ε 3 = (3, 1, 1, 2) Ασκηση 179 Θεωρούµε τα ακόλουθα διανύσµατα του R 4 : x = (1, 1, 1, 1), y = (1, 2, 2, 1), z = (0, 1, 1, 0), x 1 = (1, 0, 0, 1), y 1 = (0, 1, 1, 0) Να ϐρεθεί µια ϐάση του υπόχωρου x, y, z και να δείξετε ότι x, y, z = x 1, y 1 Ασκηση 180 Να ϐρεθεί η διάσταση dim R V όπου { V = 0 b c } b 0 e b, c, e R c e 0 Ασκηση 181 Θεωρούµε τους υπόχωρους του R 4 : V = {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 x 2 2x 3 + x 4 = 0 } W = {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 x 1 = x 4, x 2 = 2x 3 } Z = {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 x 2 + x 3 + x 4 = 0 } U = {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 x 1 + x 2 = 0, x 2 = 2x 4 } Να ϐρεθούν οι ϐάσεις των υπόχωρων V W, Z U, και V + U Ασκηση 182 Να ϐρεθεί η ϐαθµίδα του πίνακα (λ R): A = 2 1 λ 1 λ Ασκηση 183 Να ϐρεθούν οι τιµές των a, b R για τις οποίες η ϐαθµίδα του πίνακα A = a + 2 a 3 b είναι 2

33 33 Ασκηση 184 Να ϐρεθεί µια ϐάση του υπόχωρου P (t), Q(t), R(t) όπου P (t) = 1 + t + t 3, Q(t) = 2 + 2t + 2t 2 + t 4, R(t) = 1 + t + 4t 2 3t 3 + 2t 4 η οποία στη συνέχεια να συµπληρωθεί σε µια ϐάση του R 4 [t] Ασκηση 185 Να ϐρεθεί η τιµή του λ R έτσι ώστε τα πολυώνυµα P 1 (t) = 3t 3 t 2 4t + 6, P 2 (t) = t 3 + t 2 + 4t + 4, P 3 (t) = t 3 4t + λ να είναι γραµµικά ανεξάρτητα στον R 3 [t] Ασκηση 186 Να δείξετε ότι τα ακόλουθα υποσύνολα : B = { e 1 = 1, e 1 = t, e 1 = t 2, e 1 = t 3} B = { ε 1 = 1 + t 3, ε 1 = t, ε 1 = t + t 3, ε 1 = t 2 + t 3} είναι ϐάσεις του διανυσµατικού χώρου R 3 [t] Στη συνέχεια να ϐρεθεί ο πίνακας µετάβασης P από την ϐάση B στην ϐάση B και ο πίνακας µετάβασης Q από την ϐάση B στην ϐάση B Να επαληθεύσετε ότι : Q = P 1 16 Φυλλάδιο 7-25/1/2012 Ασκηση 187 Να δειχθεί ότι η γραµµική απεικόνιση είναι ισοµορφισµός f : R 3 R 3, (x, y, z) f(x, y, z) = (y + z, x + z, x + y) Ασκηση 188 Να ορίσετε ένα ισοµορφισµό από τον R-διανυσµατικό χώρο R 3 [t] στον R-διανυσµατικό χώρο M 2 2 (R), και έναν ισοµορφισµό από τον R-διανυσµατικό χώρο R 3 [t] στον R-διανυσµατικό χώρο R 4 Ασκηση 189 Να προσδιορίσετε (χωρίς να το επιλύσετε) τη διάσταση του χώρου λύσεων του συστήµατος : x 1 x 2 + x 3 + x 4 = 0 (Σ) x 1 + 2x 3 x 4 = 0 x 1 + x 2 + 3x 3 3x 4 = 0 Ασκηση 190 Εστω f : E E µια γραµµική απεικόνιση, όπου E είναι ένας διανυσµατικός χώρος πεπερασµένης διάστασης υπεράνω ενός σώµατος K Υποθέτουµε ότι dim K Ker(f) = dim K Ker(f 2 ) Να δείξετε ότι E = Ker(f) + Im(f) και Ker(f) Im f = { 0} Ασκηση 191 Εστω ο R-διανυσµατικός χώρος R 2 [t] και V = t 2 + t, t + 1, W = t 2 + t + 2, t + 3 δυο R-διανυσµατικοί υπόχωροι του Να ϐρεθεί ένας ισοµορφισµός f : V W

34 34 Ασκηση 192 Να δείξετε ότι : (1) Η γραµµική απεικόνιση f : R 3 R 2, f(x, y, z) = (4x 2y z, 3x 4y + z) είναι επιµορφισµός, αλλά όχι µονοµορφισµός (2) Η γραµµική απεικόνιση είναι µονοµορφισµός, αλλά όχι επιµορφισµός f : R 2 R 3, f(x, y) = (2x y, x + 2y, 0) Ασκηση 193 Εστω B = { e 1, e 2, e 3 } µια ϐάση του R 3 και f : R 3 R 3 η µοναδική γραµµική απεικόνιση έτσι ώστε : f( e 1 ) = e 1 e 2 + e 3, f( e 2 ) = 2 e 1, f( e 3 ) = e 1 + e e 3 Να δείξετε ότι η f είναι ισοµορφισµός Ασκηση 194 Εστω f : R n R n η µοναδική γραµµική απεικόνιση η οποία στέλνει τα διανύσµατα της κανονικής ϐάσης B = { e 1,, e n } του R n στα διανύσµατα : { w1 = (0, 0,, 0), w 2 = (1, 0,, 0), w 3 = (0, 2,, 0),, w n = (0, 0,, 0, n 1, 0) } αντίστοιχα, δηλαδή f( e i ) = w i για i = 1,, n Να δείξετε ότι f n = 0 και να ϐρεθούν ϐάσεις για τον πυρήνα Ker f και την εικόνα Im f της f Ασκηση 195 Να ϐρεθεί η τιµή του λ R έτσι ώστε η γραµµική απεικόνιση f : R 4 R 4 η οποία ορίζεται µοναδικά από τις ακόλουθες σχέσεις f( e 1 ) = e 1 + λ e 4, f( e 2 ) = 2 e 1 + e 2, f( e 3 ) = 2 e 2 + e 3, f( e 4 ) = 2 e 3 + e 4 να είναι ισοµορφισµός, όπου B = { e1, e2, e3, } e4 είναι µια τυχούσα ϐάση του R 4 Ασκηση 196 Εστω a 0, a 1,, a n διακεκριµένα στοιχεία ενός σώµατος K Να δείξετε ότι η απεικόνιση f : K n [t] K n+1, P (t) f(p (t)) := (P (a 0 ), P (a 1 ),, P (a n )) είναι γραµµική και ακολούθως να εξεταστεί αν η f είναι ισοµορφισµός Ασκηση 197 Εστω f, g : E K δύο µη µηδενικές γραµµικές απεικονίσεις, όπου E είναι ένας διανυσµατικός χώρος υπεράνω ενός σώµατος K Ορίζουµε µια νέα απεικόνιση ως εξής : h : E K 2, x h( x) := ( f( x), g( x) ) Να δείξετε τα ακόλουθα : (1) Η απεικόνιση h είναι γραµµική (2) Ker(h) = Ker(f) Ker(g) (3) Im(h) = K 2 (δηλαδή η h είναι επιµορφισµός) αν και µόνον αν Ker(f) + Ker(g) = E

35 35 Ασκηση 198 Εστω f, g : E E δύο γραµµικές απεικονίσεις, όπου E είναι ένας διανυσµατικός χώρος υπεράνω ενός σώµατος K Υποθέτουµε ότι dim K E = n, και έστω ότι f + g = Id E Να δείξετε ότι : r(f) + r(g) n 17 Φυλλάδιο 8-8/2/2012 Ασκηση 199 Εστω A, B M m n (K) Να δείξετε ότι : (1) r(κa) = r(a) (2) r(a) r(b) r(a + B) r(a) + r(b) Ασκηση 200 Εστω A M m n (K) ένας m n πίνακας και B M n r (K) ένας n r πίνακας µε στοιχεία από ένα σώµα K (1) r(a B) min{r(a), r(b)} (2) Αν n = r και ο πίνακας B είναι αντιστρέψιµος, τότε : r(a B) = r(a) (3) Αν m = n και ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος, τότε : r(a B) = r(b) (4) r(a B) r(a) + r(b) n Ασκηση 201 Να δείξετε ότι για τους πίνακες A = και B = ισχύει : r(a) = 4 και r(b) = 3 Ασκηση 202 Να ϐρεθούν οι τιµές του λ R έτσι ώστε το σύστηµα : (1 + λ)x + y + z = 1 x + (1 + λ)y + z = λ x + y + (1 + λ)z = λ 2 (1) να έχει λύση (2) να µην έχει λύση Ασκηση 203 Να λυθεί το σύστηµα (λ R): x + λy + 2w = 0 x + 2y + λw = 0 λx 3y + (λ + 1)w = λ

36 36 Ασκηση 204 Να ϐρεθούν οι τιµές του λ R, για τις οποίες το σύστηµα δεν έχει λύση λx + y + z + w = 1 x + λy + z + w = λ x + y + λz + w = λ 2 x + y + z + λw = λ 3 Ασκηση 205 Να λυθεί το σύστηµα (λ R): (λ + 3)x + y + 2z = λ λx + (λ 1)y + z = 2λ 3(λ + 1)x + λy + (λ + 3)z = 3 Ασκηση 206 Εστω το σύστηµα (Σ): x + y + αz = 1 x + αy + z = 4 αx + y + z = β (1) Να ϐρεθούν οι τιµές των α, β έτσι ώστε το (Σ) να έχει : µοναδική λύση, περισσότερες από µια λύσεις, καµµία λύση (2) Να ϐρεθεί για ποιες τιµές του α, ο χώρος λύσεων του αντίστοιχου οµογενούς συστήµατος του (Σ) έχει διάσταση 2 Ασκηση 207 Για ποιες τιµές των α, β, γ R, το ακόλουθο σύστηµα είναι συµβιβαστό ; x + y + 2z = α 3x + 4y + 7z = β x + 2y + 3z = γ Ασκηση 208 Να ϐρεθεί η γενική λύση του συστήµατος : 4x x 2 7x 3 + 6x 4 = 0 x 1 + 3x 2 2x 3 + x 4 = 0 3x 1 + 9x 2 2x x 4 = 0 Ασκηση 209 Να ϐρεθεί η ϐαθµίδα του πίνακα (a, b R) : a b b a b a a b a + b a + b 2a 2a 2a 2a a + b a + b

37 37 18 Φυλλάδιο 9-15/2/2012 Ασκηση 210 Θεωρούµε τον πίνακα A = (1) Να υπολογίσετε τον A 1 (2) Να ϐρείτε τη γραµµική απεικόνιση f : R 3 R 3 της οποίας ο πίνακας στην κανονική ϐάση του R 3 είναι ο A 1 (3) Να υπολογίσετε τον πίνακα B της f στη ακόλουθη ϐάση του R 3 : { ε 1 = (1, 1, 1), ε 2 = (1, 1, 0), ε 3 = (1, 1, 2)} (4) Να προσδιορίσετε αντιστρέψιµο πίνακα P τέτοιο ώστε B = P 1 A 1 P (5) Να υπολογίσετε τον πίνακα A n, n 1 Ασκηση 211 Θεωρούµε τη γραµµική απεικόνιση f : R 3 R 3 που ορίζεται ως εξής : f(x, y, z) = ( 19 4 x 1 4 y 13 4 z, 9 4 x y 11 4 z, 3x + y 4z ) (1) Να ϐρείτε τον πίνακα A της f στην ακόλουθη (κανονική) ϐάση του R 3 : B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} (2) Να ϐρείτε τον πίνακα B της f στη ϐάση στην ακόλουθη ϐάση του R 3 : C = {(2, 1, 1), (1, 2, 1), (1, 1, 2)} (3) Να προσδιορίσετε αντιστρέψιµο πίνακα P έτσι ώστε B = P 1 A P Ασκηση 212 Θεωρούµε τη γραµµική απεικόνιση f : R 4 R 2, f(x, y, z, w) = (x + z, y + w) (1) Να ϐρείτε τον πίνακα A της f στις ϐάσεις B = { (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1) } και C = { (1, 0), (0, 1) } (2) Να ϐρείτε τον πίνακα B της f στις ϐάσεις B = { (, 0, 0, ), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (, 0, 0, (3) Να ϐρείτε αντιστρέψιµους πίνακες P και Q 1 έτσι ώστε B = Q 1 A P 2 2 )} και C = { (1, 1), (1, 1) } Ασκηση 213 Εστω η γραµµική απεικόνιση f : R 3 R 3, f(x, y, z) = ( x + y z, x + 2y, y + 3z) Να δείξετε ότι η f είναι ισοµορφισµός και να ϐρεθεί ο πίνακας της f 1 στην ϐάση C = { ε 1 = (1, 1, 1), ε 2 = (1, 1, 0), ε 3 = (1, 0, 0)}

38 38 Ασκηση 214 Εστω η γραµµική απεικόνιση f : R 3 R 3, f(x, y, z) = (x + y, y + z, z + x) Αν A είναι ο πίνακας της f στη κανονική ϐάση B του R 3, να ϐρεθεί γραµµική απεικόνιση g έτσι ώστε M B B (g) = A 1 Ασκηση 215 Εστω η γραµµική απεικόνιση f : R 3 R 3, f(x, y, z) = (x + 3y z, 2x y, y + 2z) Αν B είναι η κανονική ϐάση του R 3 και C = {(1, 1, 0), (0, 1, 2), (1, 0, 1)} και αν A = MB B(f) και B = M C C(f), να ϐρεθεί αντιστρέψιµος πίνακας P έτσι ώστε B = P 1 A P Ασκηση 216 Εστω B = { e 1, e 2, e 3 } η κανονική ϐάση του R 3 και f : R 3 R 3 η µοναδική γραµµική απεικόνιση έτσι ώστε f( e 1 ) = 2 e e 2 + e 3, f( e 2 ) = 2 e e 2, f( e 3 ) = 3 e e 2 Να ϐρεθεί ο πίνακας MC C (f) της f όπου C = { ε 1 = (3, 0, 1), ε 2 = (1, 2, 0), ε 3 = ( 1, 3, 1)} Ασκηση 217 Εστω η γραµµική απεικόνιση f : M 2 2 (R) M 2 2 (R), f(x) = A X, όπου : ( ) 1 2 A = 3 1 Να ϐρεθεί ο πίνακας της f στη κανονική ϐάση του M 2 2 (R) Είναι η f ισοµορφισµός ; Ασκηση 218 Εστω η γραµµική απεικόνιση f : R 3 R 2, f(x, y, z) = (x, y) Εστω B και C οι κανονικές ϐάσεις των R 3 και R 2 Θεωρούµε τις ϐάσεις B = { (1, 1, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 1) } και C = { (4, 3), (3, 2) } Να ϐρεθεί αντιστρέψιµος πίνακας P M 2 2 (R) και αντιστρέψιµος Q M 3 3 (R) έτσι ώστε P 1 A Q = M C B (f) Ασκηση 219 Θεωρούµε τις ακόλουθες ϐάσεις του R 3 : B = { e 1 = (1, 1, 1), e 2 = (0, 0, 1), e 3 = (1, 0, 1)} C = { ε 1 = (2, 0, 1), ε 2 = (1, 1, 0), ε 3 = (0, 1, 1)} Αν f : R 3 R 3 είναι η µοναδική γραµµική απεικόνιση έτσι ώστε : MB B = να ϐρεθεί ο πίνακας MC C

39 39 Μέρος 3 Συµπληρωµατικές Ασκήσεις Ασκηση 220 Ας είναι S = { v 1, v 2,, v k } V, όπου V είναι ένας K διανυσµατικός χώρος διάστασης n Να εξεταστεί ποιο από τα επόµενα είναι αληθές και ποιο ψευδές : (1) Αν το S είναι ϐάση τού V, τότε n = k (2) Αν το S παράγει τον V, τότε k n (3) Αν το S είναι γραµµικώς ανεξάρτητο, τότε k n (4) Αν το S είναι γραµµικώς ανεξάρτητο και k = n, τότε το S παράγει τον V (5) Το S είτε είναι µια ϐάση είτε περιέχει κάποιο διάνυσµα που εκφράζεται ως K γραµµικός συνδυασµός των υπολοίπων Ασκηση 221 Να εξεταστεί ποιο από τα επόµενα είναι αληθές και ποιο ψευδές : (1) Αν A είναι ένας 5 5 πίνακας µε πραγµατικές συνιστώσες και det A = 2, τότε οι τέσσερεις πρώτες στήλες τού A παράγουν έναν υπόχωρο διάστασης 4 τού R 5 (2) Ενα K γραµµικώς ανεξάρτητο σύνολο διανυσµάτων δεν περιέχει ποτέ ένα διάνυσµα που να είναι συνδυασµός κάποιων από τα υπόλοιπα διανύσµατά του (3) Αν V = v 2, v 3 και dim K V = 2, τότε το { v 1, v 2, v 3 } είναι γραµµικώς εξαρτηµένο (4) Ενα σύνολο διανυσµάτων που περιέχει το µηδενικό διάνυσµα είναι πάντοτε K γραµµικώς εξαρτηµένο (5) Κάθε διανυσµατικός χώρος έχει πεπερασµένη διάσταση (6) Το σύνολο {(i, 0), (0, i), (1, i)} C 2, όπου i 2 = 1 περιέχει τουλάχιστον ένα διάνυσµα το οποίο είναι C γραµµικός συνδυασµός των υπολοίπων Ασκηση 222 Ας είναι φ : V W µια K γραµµική απεικόνιση µεταξύ δύο K διανυσµατικών χώρων, όπου dim K V < Αν U είναι ένας K-υπόχωρος τού V, να δειχθεί ότι dim K φ(u) dim K U Ασκηση 223 Αν A είναι ένας m n πίνακας µε συνιστώσες από το σώµα K, ϑα συµβολίζουµε µε N(A) τον χώρο των λύσεων τού οµογενούς συστήµατος AX = O, όπου X είναι ο n 1 πίνακας των αγνώστων x 1, x 2,, x n και O είναι ο µηδενικός m 1 πίνακας Θα ονοµάζουµε µηδενόχωρο τού A τον χώρο N(A) Ας είναι V(A) ο υπόχωρος τού M(K) m 1, ο οποίος παράγεται από τις στήλες τού A Να δειχθεί ότι dim K V(A) + dim K N(A) = n Ασκηση 224 Τα επόµενα Ϲεύγη πινάκων (A, B) απαρτίζονται από έναν πίνακα A και από έναν γραµοϊσοδύναµό του B Χωρίς να εκτελέσετε πράξεις να προσδιορίσετε ϐάσεις τού χώρου που παράγεται (1) από τις γραµµές τού A (2) από τις στήλες τού A Επίσης να ϐρείτε µια ϐάση τού µηδενόχωρου N(A) τού A µε όσο το δυνατόν λιγότερες πράξεις Τα Ϲεύγη είναι A = , B = και A = , B =

40 40 Ασκηση 225 Να δώσετε µια συνθήκη που να αναφέρεται στον πίνακα των συντελεστών ενός οµογενούς συστήµατος από όπου να προκύπτει ότι το σύστηµα έχει µοναδική λύση Ασκηση 226 Να συµπληρωθούν τα επόµενα : (1) Αν A είναι ένας 3 7 πίνακας, τότε η ϐαθµίδα του ισούται το πολύ µε (2) Ισοδύναµα συστήµατα έχουν το ίδιο (3) Η ϐαθµίδα ενός µη µηδενικού 3 3 πίνακα, που έχει όλες τις συνιστώσες του ίσες, είναι ίση µε (4) Αν A είναι ένας 4 8 πίνακας, τότε η διάσταση τού µηδενόχωρου N(A) τού A είναι ίση ή µεγαλύτερη από (5) Η ϐαθµίδα ενός µη µηδενικού 4 3 πίνακα, όπου όλες οι στήλες του αποτελούνται από την ίδια συνιστώσα ισούται µε (6) Παράδειγµα πίνακα A µε ( ϐαθµίδα ) 2 και διάσταση µηδενόχωρου N(A) είναι ο (7) Το µέγεθος τού πίνακα είναι Ασκηση 227 Να εξεταστεί ποιο από τα επόµενα είναι αληθές και ποιο ψευδές : (1) Αν ένα σύστηµα δεν είναι συµβιβαστό, τότε η ϐαθµίδα τού επαυξηµένου πίνακα είναι µεγαλύτερη από το πλήθος των αγνώστων (2) Ενα οµογενές σύστηµα είναι πάντοτε συµβιβαστό (3) Ενα σύστηµα µε συντελεστές από το C, που αποτελείται από 3 εξισώσεις και 4 αγνώστους διαθέτει πάντοτε άπειρες το πλήθος λύσεις (4) Ενα οµογενές σύστηµα µε περισσότερες εξισώσεις από αγνώστους έχει πάντοτε και άλλες λύσεις εκτός τής µηδενικής Ασκηση 228 Να αποδειχθεί ή να δοθεί αντιπαράδειγµα στην επόµενη πρόταση : Αν δύο γραµµικά συστήµατα είναι ισοδύναµα, τότε οι επαυξηµένοι πίνακές τους έχουν το ίδιο µέγεθος Ασκηση 229 Εστω ότι ένας πίνακας C µπορεί να γραφεί ως C = (A B), όπου οι A και B είναι πίνακες µε πλήθος γραµµών ίσο µε το πλήθος γραµµών τού C Να δειχθεί ότι r(c) r(a) + r(b) Ασκηση 230 Να δειχθεί ότι για δύο m n πίνακες A και B ισχύει : (A + B) = ( A) + ( B) Ασκηση 231 Εστω οι πίνακες A = , B = Να προσδιοριστεί ο 3 3 πίνακας X, ο οποίος ικανοποιεί την εξίσωση : A + 3X = 2(X B)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebrai/lai2017/lai2017.html Παρασκευή 22 εκεµβρίου 2017

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebrai/lai2018/lai2018.html Παρασκευή 14 εκεµβρίου 2018 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebrai/lai2018/lai2018.html Παρασκευή 23 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2019/laii2019html Παρασκευή 1 Μαρτίου 2019 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai2017/lai2017html Παρασκευή 17 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai218/lai218html Παρασκευή 23 Νοεµβρίου 218 Ασκηση 1

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai2018/lai2018html Παρασκευή 12 Οκτωβρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018html Παρασκευή 9 Μαρτίου 2018 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai217/lai217html Παρασκευή 17 Νοεµβρίου 217 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai2017/lai2017html Παρασκευή 15 εκεµβρίου 2017

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai2018/lai2018html Παρασκευή 7 εκεµβρίου 2018 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2019/laii2019html Παρασκευή 1 Μαρτίου

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018html Παρασκευή 23 Μαρτίου

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii18/laii18html Παρασκευή 9 Μαρτίου 18 Ασκηση 1 Θεωρούµε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii8/laii8html Παρασκευή 4 Ιουνίου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai208/lai208html Παρασκευή 2 Οκτωβρίου 208 Ασκηση Να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018.html Παρασκευή 23 Μαρτίου 2018

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/aeligia/linearalgerai/lai07/lai07html Παρασκευή Νοεµβρίου 07 Ασκηση Αν

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Ακαδηµαϊκο Ετος 011-01 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών «Γραµµική Άλγεβρα Ι» (ΕΜ111) Χειµερινό Εξάµηνο 2006-2007, ιδάσκων: Ι. Τσαγράκης 5 Ο ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1: Έστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai017/lai017html Παρασκευή 17 Νοεµβρίου 017

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2019/laii2019html Παρασκευή 29 Μαρτίου 2019 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 0 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii9/laii9html Παρασκευή 9 Μαρτίου 9 Ασκηση Εστω (E,,

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 10 Μαρτίου 2017 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018.html Παρασκευή 11 Μαίου 2018

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος 6/6/06 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 0 Δίνεται ο πίνακας A =. Nα υπολογίσετε την βαθμίδα του και να βρείτε τη διάσταση και από μία βάση α) του μηδενοχώρου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018.html Παρασκευή 4 Μαίου 2018 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018.html ευτέρα 23

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai018/lai018html Παρασκευή 3 Νοεµβρίου 018 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Δείξτε ότι ο V R εφοδιασμένος με τις ακόλουθες πράξεις (, a b) + (, d) ( a+, b+ d) και k ( ab, ) ( kakb,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 6 Νοεµβρίου 005 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai2017/lai2017html Παρασκευή 20 Οκτωβρίου 2017

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai8/lai8html Παρασκευή 6 Οκτωβρίου 8 Υπενθυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 00 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Ηράκλειο, 7 Ιανουαρίου 00 Θέμα. (μονάδες.5) α) [μονάδες:.0]. Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018.html Παρασκευή 16 Μαρτίου 2018

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 6

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii08/laii08.html Παρασκευή 4 Μαίου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση

Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα από 9 Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση n Στο Κεφάλαιο 5 είδαµε την έννοια της βάσης στο και στο Κεφάλαιο 6 µελετήσαµε διανυσµατικούς χώρους. Στο παρόν κεφάλαιο θα ασχοληθούµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Οκτωβρίου 006 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 0 Νοεµβρίου 006.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. (ii) Αν ο Β m+1, με m N, αντιστρέφεται, τότε και ο Β αντιστρέφεται

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. (ii) Αν ο Β m+1, με m N, αντιστρέφεται, τότε και ο Β αντιστρέφεται ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΙΝΑΚΩΝ 1) Έστω A, Β Μ n (R) τέτοιοι, ώστε A + Β = Ι n. Να δείξετε ότι : A = A 2 κκκ Β = Β 2 ΑΑ = Ο 2) Έστω A, Β Μ n (R), με A = A 2 και ΑΑ + ΒΒ = Ο. Να δειχθεί ότι ΑΑ = ΒΒ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii19/laii19html Παρασκευή 1 Μαρτίου 19 Υπενθυµίσεις

Διαβάστε περισσότερα

,..., v n. W πεπερασμένα παραγόμενοι και dimv. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα f είναι ισομορφιμός. f είναι 1-1. f είναι επί.

,..., v n. W πεπερασμένα παραγόμενοι και dimv. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα f είναι ισομορφιμός. f είναι 1-1. f είναι επί. Γραμμική Άλγεβρα Ι, 07-8 Ασκήσεις7: Γραμμικές Απεικονίσεις Βασικά σημεία Ορισμός και παραδείγματα γραμμικών απεικονίσεων Σύνθεση γραμμικών απεικονίσεων, ισομορφισμοί Κάθε γραμμική απεικόνιση f : V W, όπου

Διαβάστε περισσότερα

D = / Επιλέξτε, π.χ, το ακόλουθο απλό παράδειγμα: =[IA 1 ].

D = / Επιλέξτε, π.χ, το ακόλουθο απλό παράδειγμα: =[IA 1 ]. 4. Φυλλάδιο Ασκήσεων IV σύντομες λύσεις, ενδεικτικές απαντήσεις πολλαπλής επιλογής 4.. Άσκηση. Χρησιμοποιήστε τη διαδικασία Gauss-Jordan γιά να βρείτε τους αντιστρόφους των παρακάτω πινάκων, αν υπάρχουν.

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 25 Φεβρουαβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με, y V και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Άσκηση (Μονάδες.5) Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/07 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Προσδιορίστε το c R ώστε το διάνυσμα (,, 6 ) να ανήκει στο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΣ121: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ I Εαρινό εξάμηνο , Διδάσκων: Γιώργος Γεωργίου ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ, Διάρκεια: 2 ώρες 18 Νοεμβρίου, 2017

ΜΑΣ121: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ I Εαρινό εξάμηνο , Διδάσκων: Γιώργος Γεωργίου ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ, Διάρκεια: 2 ώρες 18 Νοεμβρίου, 2017 ΜΑΣ: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ I Εαρινό εξάμηνο 07-08, Διδάσκων: Γιώργος Γεωργίου ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ, Διάρκεια: ώρες 8 Νοεμβρίου, 07 Δίνονται 4 προβλήματα που αντιστοιχούν σε 0 μονάδες με άριστα το 00! ΟΝΟΜΑ: Αρ.

Διαβάστε περισσότερα

Gauss. x + y + z = 2 3x + 3y z = 6 x y + z = 1. x + y + z = r x y = 0 3x + y + sz = s 0

Gauss. x + y + z = 2 3x + 3y z = 6 x y + z = 1. x + y + z = r x y = 0 3x + y + sz = s 0 Γραμμική Άλγεβρα Κεφάλαιο Πίνακες και απαλοιφή Gauss. Ποια συνθήκη πρέπει να ικανοποιούν τα y, y 2, y 3 ώστε τα διανύσματα (0, y ), (, y 2 ), (2, y 3 ) να είναι στην ίδια ευθεία; Η ευθεία που περνάει από

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Κεφάλαιο 5 Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Κεφάλαιο 5 Γραμμικοί Μετασχηματισμοί 5 Γενικά Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Μία σχέση μεταξύ των στοιχείων δύο συνόλων Α,Β αντιστοιχίζει στοιχεία του Α με στοιχεία του Β άλλου μέσω ενός κανόνα που μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο συμβολίζουμε με Σε αυτό το σύνολο γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 15 3. Το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii018/laii018html ευτέρα 3 Απριλίου 018 Αν C = x

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018html ευτέρα 23 Απριλίου 2018 Αν C

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 00 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Ηράκλειο, Αυγούστου 00 Θέμα. (μονάδες.5) α) [μονάδες: 0.5] Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 6

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii09/laii09.html Παρασκευή 0 Μαίου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Οι πρώτες δύο ασκήσεις αναφέρονται στις έννοιες γραµµική ανεξαρτησία, γραµµικός

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Γραμμικός Μετασχηματισμός ή

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2019/laii2019html Παρασκευή 12 Απριλίου 2019 Αν

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2004 Θέμα 1 ο. 4

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2004 Θέμα 1 ο. 4 ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 00 Θέμα 1 ο Έστω U ο υπόχωρος του που παράγεται από τα στοιχεία (1-11α) (10β) (5-γ) και (-δ) (I) Να προσδιορίσετε τις αναγκαίες

Διαβάστε περισσότερα

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i.

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. http://elern.mths.gr/, mths@mths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (0 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. α) (5 µον) Βρείτε την τριγωνοµετρική µορφή του z.

Διαβάστε περισσότερα

n! k! (n k)!, = k k 1

n! k! (n k)!, = k k 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Συμπληρωματικές Ασκήσεις Χειμερινό Εξάμηνο 2015 Χρήστος Α Αθανασιάδης Συμβολίζουμε με O το μηδενικό πίνακα καταλλήλων διαστάσεων, με I (ορισμένες φορές, με I n ) τον n n ταυτοτικό πίνακα,

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 7 Πινακες και Γραµµικες Απεικονισεις Στα προηγούµενα

Διαβάστε περισσότερα

n. Έστω αποτελείται από όλους τους πίνακες που αντιμετατίθενται με ένα συγκεκριμένο μη μηδενικό nxn πίνακα Τ:

n. Έστω αποτελείται από όλους τους πίνακες που αντιμετατίθενται με ένα συγκεκριμένο μη μηδενικό nxn πίνακα Τ: Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ καθώς είναι από τα σημαντικότερα κομμάτια της Άλγεβρας με τις περισσότερες εφαρμογές ΔΕΝ πρέπει να αποστηθίζεται και κυρίως ΔΕΝ πρέπει να γίνεται αντιπαθητική. Για τη σωστή εκμάθηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι 4 ιανυσµατικοί χώροι - Βασικοί ορισµοί και ιδιότητες ιανυσµατικοί Χώροι Ένας ιανυσµατικός Χώρος V (δχ) είναι ένα σύνολο από µαθηµατικά αντικείµενα (αριθµούς, διανύσµατα, πίνακες,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 1) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 1 Οκτωβρίου 007 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 9 Νοεµβρίου 007. Πριν από την λύση κάθε άσκησης

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 10ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 10ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Να εξετασθεί αν είναι γραμμικές οι ακόλουθες συναρτήσεις: a) f : R R με f b) f : R R f y, ( +, y

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - II Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 52 9 Η Κανονική Μορφή Jordan - II

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

= k. n! k! (n k)!, k=0

= k. n! k! (n k)!, k=0 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Συμπληρωματικές Ασκήσεις Χειμερινό Εξάμηνο 2015 Χρήστος Α Αθανασιάδης Συμβολίζουμε με O το μηδενικό πίνακα καταλλήλων διαστάσεων, με I (ορισμένες φορές, με I n τον n n ταυτοτικό πίνακα,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β ΑΡΤΙΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/liearalgebrai/lai2018/lai2018html Παρασκευή 12 Οκτωβρίου 2018 Ασκηση 1

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) Χειμερινό Εξάμηνο 009-010 Διδάσκων: Ι. Τσαγράκης 6 Ο ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1: Δείξτε ότι η απεικόνιση τον ker f. Είναι η

Διαβάστε περισσότερα

a 11 a 1n b 1 a m1 a mn b n

a 11 a 1n b 1 a m1 a mn b n Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 13 Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης 28/4/2014 ΧΚουρουνιώτης (ΠανΚρήτης) Διάλεξη 13 28/4/2014 1 / 14 Πίνακες πάνω από σώμα K Πίνακες πάνω από σώμα K Το σύνολο των m n

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό θα υπενθυμίσουμε τις βασικές έννοιες που αφορούν πρότυπα πάνω από ένα δακτύλιο Θα περιοριστούμε στα πλέον απαραίτητα για αυτά που ακολουθούν στα άλλα κεφάλαια Η κατευθυντήρια

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003 http://edueapgr/pli/pli/studetshtm Page of 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 6 Ιουλίου Απαντήστε όλα

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 19/6/2018 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 19/6/2018 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Άσκηση (Μονάδες.) Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 9/6/08 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Έστω A= k και w = 3 0. Να βρεθεί η τιμή του k για την οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 24 Μαρτίου 2017 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Γραμμικός Μετασχηματισμός ή

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 25 Οκτωβρίου Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε μια σχέση R R R ως εξής:

Α Δ Ι. Παρασκευή 25 Οκτωβρίου Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε μια σχέση R R R ως εξής: Α Δ Ι Α - Φ 1 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 25 Οκτωβρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 12: Μήτρες (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων

Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων 11 1 i) ii) 1 1 1 0 1 1 0 0 0 x = 0 x +x 4 +x 5 = x = 1 Λύνοντας ως προς x και στη συνέχεια ως προς x 4, ϐρίσκουµε ότι η γενική λύση του συστήµατος είναι η 5άδα

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Διανυσματικοί Χώροι και Υπόχωροι: Βάσεις και Διάσταση Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

[A I 3 ] [I 3 A 1 ].

[A I 3 ] [I 3 A 1 ]. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 9 (α) Να ϐρεθεί ο αντίστροφος του πίνακα A = 6 4 (ϐ) Εστω b, b, b στο R Να λύθεί το σύστηµα x = b 6x + x + x = b x

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 3 ιανυσµατικοι Υποχωροι και Κατασκευες Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: 5. ΟΡΙΣΜΟΙ Έστω U και V δύο διανυσματικοί χώροι. Μια συνάρτηση F : U V θα λέγεται γραμμική απεικόνιση (ή ομομορφισμός, ή απλά μορφισμός εάν ικανοποιεί τις συνθήκες (i F ( u + = u + για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ech and Math wwwtechandmathgr ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Νοεµβρίου 006 Ηµεροµηνία Παράδοσης της

Διαβάστε περισσότερα