Примена математичке статистике при избору лаптоп рачунара Ирина Симовић Факултет техничких наука, Чачак СП ИАС Професор технике и информатике, школска 2013/2014. година e-mail: irina.simovic@hotmail.com Ментор рада: др Момчило Вујичић Апстракт Циљ овог мастер рада је да размотри проблем при одабиру лаптоп рачунара који задовољавају потребе корисника. При одабиру разматрани су лаптоп рачунари различитих произвођача али приближних карактеристика као што су: процесор (GHz), рам меморија (MHz), хард диск (GB), графичка карта (MB) и цена у (динарима). Рад се састоји из два дела: теоријског и практичког. Теоријски део има уводни карактер, где су описане објективне методе, методе CRITIC, FANMA, SDV као и метода COPRAS, нормална расподела, контролне карте. У практичном делу приказани су прикупљени узорци и резултати након извршених анализа помоћу методе COPRAS. Кључне речи лаптоп, метода, нормална расподела, контролне карте, COPRAS, CRITIC, FANMA, SDV 1 УВОД Србија, као земља у развоју, закаснила је са почетком коришћења рачунара и лаптоп уређаја. Али последњих десетак година код нас се бележи убрзани развој на том пољу, као и све већи број корисника. Можемо закључити да је структура популације која корити рачунаре у већем проценту школског узраста, као и пословни свет ком је природа посла таква да морају да користе рачунаре Рачунари су нашли широку примену у готово свакој свери људског живота. Основне компоненте сваког рачунара су процесор, RAM меморија, графичка карта, хард диск, мрежне карте и остали прикључни уређаји.. Назив Ознака CPU (GHz) RAM (MHz) HDD (GB) Графичка карта (МB) Цена (рсд) HP E1-2100 1.06 5332 500 1024 36392 Acer Aspire AS E1-510 2.13 2666 320 1024 30590 Asus X451CA-VX022D 1.5 2112 320 256 35990 Toshiba Satellite C50D-A- 1 2666 500 1024 38548 139 Lenovo B590 1.9 5332 1024 1024 37990 Dell Inspiron 3537 1.6 6664 750 2048 60990 Pacard Bell EasyNote ENTE11BZ 1.4 2666 320 384 32990 Fujitsu LIFEBOOK AH532 2.4 5332 750 2048 52990 Samsung ATIV Book NP270E5V-X02HS 2.5 4224 500 2048 59253 Табела 1. Приказ карактеристика лаптопова 2 УВОД У СТАТИСТИКУ Статистика је математичка дисциплина која је почела свој интезивни развој теку у XX веку. Почеци статистике настали су из потпуно практичних разлога и проблем свакодневног живота. Сваком истраживачу или научнику потребно је познавање статистике због праћења стручне и научне литературе, обраде резултата прикупљених истраживањем или огледима, за доношење закључака, као и из многих других разлога. Статистику можемо дефинисати као метод квантитативног истраживања појава. Наиме статистика истражује појаве не на појединим већ на мноштву случајева, и ово истраживање има квантитативан, а не
квалитативан карактер. Индивидуалне појаве могу показати мање или веће оступање од просечног или типичног, па је зато неопходно да се посматрају у великом броју, маси, да би се открило ста је у њима законито и опште. Законистост се испољава у маси, она има масовни карактер. 3 СРЕДЊЕ ВРЕДНOСТИ Средње вредности носе заједничке карактеристике свих вредности обележја на посматраном статистичком скупу. Појам средње вредности посматраног обележја може се увести по два основа, па разликујемо: рачунске средње вредности (израчунате из података узорка или популације, а то су: аритметичка средина, геометријска средина, хармонијска средина, средина квадрата, и др.) позиционе средње вредности (оне су одређене позицијом коју заузимају у серији података, а то су: медијана и модус (мод)). 3.1. Мере дисперзије Дисперзија је појам за распршеност чланова нумеричког низа од неке средње вредности. Мере дисперзије су величине којим се утврђује величина распршености чланова нумеричког низа од неке средње вредности, односно утврђује репрезентативност средњих вредности. Апсолутне мере дисперзије су изражене у истим јединицама мере као и нумеричко обележје. То су: распон варијације, варијанса, стандардна девијација, интерквартил. Њихов је недостатак што не омогућавају упоређивање диспарзије разнородних низова. Релативне мере дисперзије изражене су у релативним бројевима: коефицијент варијације, коефицијент квартилне девијације. Распон варијације је интервал између највеће и најмање вредности нумеричког обележја. Варијанса (σ 2 ) је аритметичка средина квадрата одступања вредности нумеричког обележја од њихове аритметичке средине. Изражена је у истим јединицама мере као и нумеричко обележје. 3.2. Нормална раподела Нормална расподела или Гаусова расподела, је важна фамилија непрекидних расподела вероватноће, са применама у многим пољима. Чланови фамилије нормалне расподеле су дефинисани преко два параметра, математичко очекивање и варијанса (дисперзија) σ 2. Нормална нормирана расподела је нормална расподела са очекивањем једнаким нули, и варијансом једнаком један. Карл Фридрих Гаус се доводи у везу са овим скупом расподела, јер је помоћу њих анализирао астрономске податке, и дефинисао једначину функције густине расподеле нормалне расподеле. Важност нормалне расподеле као модела квантитативних феномена у природним и друштвеним наукама је последица централне граничне теореме. Многа психолошка мерења и физички феномени се могу добро апроксимирати нормалном расподелом. Иако су механизми који леже у основи ових феномена често непознати, употреба модела нормалне расподеле се теоретски оправдава претпоставком да много малих, независних утицаја адитивно доприносе свакој опсервацији. Нормална расподела се јавља и у многим областима статистике. На пример, средња вредност узорка има приближно нормалну расподелу, чак и ако расподела вероватноће популације из које се узорак узима није нормална. Нормална расподела је најчешће коришћена фамилија расподела у статистици, и многи статистички тестови су базирани на претпоставци нормалности. У теорији вероватноће, нормалне респоделе се јављају као граничне расподеле више непрекидних и случајних фамилија расподела. 4 УЛОГА И ЗНАЧАЈ КОНТРОЛНИХ КАРАТА У процесу производње појављује се велики број фактора који утичу на квалитет производа. Да би се ти фактори открили и на њих благовремено утицало, потребно је да се процес стално прати. Сваком процесу иманентни су недостаци који узрокују поправке, дораде, губитке, додатно време израде и повећане трошкове. Усредсређивањем на те недостатке и концентрисањем напора за њихово смањење, смањиће се и време израде и трошкови процесирања. Трошкови се могу смањити смањењем расипања. Када се то постигне, аутоматски се подиже и ниво квалитета производа. У сваком процесу потребно је пратити карактеристике квалитета производа или услуге. Код новог производа најзначајније је установљавање толеранција димензионалних мера. Одреднице за квалитет потребно је утврдити још у фази планирања. Конструктор одређује толеранције, које процес производње често није у стању да задовољи. Чак и уколико је квалитет јасно дефинисан за све операције производа, и установљено да су
обезбеђени сви предуслови да се исправна производња настави, то још увек не значи да за време рада неће доћи до одређених промена у процесу. Због тога је потребно карактеристике квалитета пратити јединственом картом. Контролне карте као средство статистичке контроле квалитета, наравно, сасвим је јасно да радник у производњи неће моћи одмах да уочи да је дошло до одступања која су значајна за квалитет, с обзиром на то да се одступања у карактеристикама квалитета очигледно ретко показују. Због тога је потребно организовати и неки начин контроле док производња тече, те се контролне карте и јављају као погодно средство. При употреби контролних карата, било за мерене величине, било за атрибутивне оцене, узимају се узорци из процеса у одређеним интервалима, а у карту уписују статистичке карактеристике узорака. Контролне границе, као границе случајних расипања статистичких карактеристика узорака из процеса за одређени интервал поверења, такође се уцртавају у контролну карту. Рачунање контролних граница заснива се на претпоставци статистички стабилних процеса, односно процеса на које делују само случајни узроци. Појава значајних узрока у процесу манифестоваће се на контролној карти тачкама изван контролних граница, што ће представљати показатељ потребе за предузимањем одређених корективних захвата. 5 МЕТОДЕ ОБЈЕКТИВНОГ ПРИСТУПА ОДРЕЂИВАЊУ ТЕЖИНА КРИТЕРИЈУМА У методама објективног приступа одређивању тежина критеријума тежиште је на анализи матрице одлучивања, односно разматрају се вредности варијанти у односу на скуп критеријума, да би се потом извела информација о вредностима тежина критеријума. Општост прилаза као и појма матрица одлучивања се не нарушавају ни код тзв. вишенивовских хијерархија одлучивања, јер се тада на сваком нивоу генеришу матрице одлучивања, а принципи доминантности и даље важе. У објективном приступу одређивању тежина критеријума критеријуми се посматрају као извори информација и релативна важност критеријума рефлектује количину информација садржану у сваком од њих. Објективне тежине критеријума, мерене преко средње вредности унутрашње (својствене) информације генерисане датим скупом варијанти у односу на сваки критеријум, одражавају природу конфликта између критеријума. Количина информације садржана у сваком критеријуму доводи се у везу са интензитетом контраста сваког критеријума. Стандардна девијација и ентропија су могуће мере интензитета и начини извођења објективних тежина критеријума. Најпознатије објективне методе су: метода ЕNTROPIJА, метода CRITIC и метода FANMA. 5.1. Метода CRITIC Конфликт између различитих критеријума једна је од основних појава у вишекритеријумском одлучивању која представља суштину сваке ситуације одлучивања. У вишекритеријумским проблемима код којих су критеријумске вредности варијанти по свим критеријумима у потпуној сагласности решење је очигледно. Међутим, када су критеријуми међусобно конфликтни, решење вишекритеријумског проблема захтева примену сложених поступака избора једне префериране варијанте или утврђивања поретка варијанти. Метода CRITIC (CRiteria Importance Through Intercriteria Correlation) је метода за одређивање објективних вредности тежина критеријума која укључује интензитет контраста и конфликт који је садржан у структури проблема одлучивања. Она спада у класу корелационих метода и заснива се на аналитичком испитивању матрице одлучивања ради утврђивања информација садржаних у критеријумима по којима се оцењују варијанте. За утврђивање контраста критеријума користе се стандардна одступања нормираних критеријумских вредности варијанти по колонама, као и коефицијенти корелације свих парова колона. 5.2. Metoda FANMA Одређивање тежина критеријума методом FANMA заснива се на коришћењу принципа растојања од идеалне тачке и тзв. ране тежинске нормализације. 5.3. Метода COPRAS Методе вишекритеријумског одлучивања су широко анализиране у научној литератури,а примењују се на решавању проблема у стварним животним ситуацијама. Предложена методологија је веома релевантна у привреди. Комплекс пропорционалне процене алтернатив (COPRAS) анализира различите алтернативе, утврди њихов степен корисности, показује у процентима,у којој мери је једна алтернатива боља или гора од других које су узете за поређење. Алтернативе се рангирају према вредностима критеријума. Оптимална алтернатива је она која је у геометријском смислу најближа идеалном решењу, односно најдаља од идеалног негативног решења. У последњих неколико година, вишекритеријумске методе су у широкој употреби за упоредну процену компликованих технолошких и друштвено-економским процесима, као и за одређивање шта је најбоље међу
понуђеним опцијама и рангирање алтернатива на основу њиховог значаја за одређену сврху. Професор Универзитета у Виљнусу Завадскас је био први који користе ове методе за оцењивање и избор оптималних технолошких решења. Овај метод се може користити за процену тржишних вредности алтенатива. Метод пропорционалне сложене процене, претпоставља директне и пропорционалну зависност значаја и корисности степена расположивих алтернатива под присуством међусобно конфликтних критеријума. Она узима у обзир перформансе алтернатива у односу на различите критеријуме и одговарајуће критеријумске тежине. COPRAS метода која се овде користи за процену и избор алтернатива за дати инжењерски проблем користи степенасто рангирање и вредновање алтернатива у смислу њиховог значаја и степена корисности. Доносилац одлука може лако применити COPRAS метод за процену алтернатива и изабрати најпогоднију за систем производње, док је потпуно свесни физичког смисла доношења одлуке. Коришћење ове методологије, учесник / доносилац одлуке може да процени алтернативе на непокретности у смислу критеријума и квалитативне и квантитативне. 6 COPRAS МЕТОДА СА ТЕЖИНСКИМ КРИТЕРИЈУМОМ CRITIC Уз претходно одређивање тежинских критеријума методом CRITIC, можемо приступити примењивању COPRAS методе коришћењем већ одређених улазних података и тежинских критеријума при чему се добијају рангови: Табела 2. - Добијени рангови методом Copras Critic
Добијени рангови се применом образаца за хармоничну и аритметичку средину своде на коначне рангове: Aritm. 1 2 8 3 9 4 5 6 7 Rang µ 1 2 8 3 9 4 5 6 7 COPRAS 1 6 9 3 8 2 7 5 4 Табела 8. - Приказ рангова Такође, алтернативе након извршене CОPRAS методе се могу приказати и графиком. На основу графика 1. Добијеног помоћу рангова можемо закњучити да је оптимално решење. Лаптоп под редним бројем један, јер има најмању вредност збира рангова. График 1. На графику 2. Такође се може видети да при оптималном избору лаптопова, лаптоп под редним бројем један је најбољи, узимајући у обзир стандардно одступање израчунато преко фреквенције f i. Лаптоп под редним бројем 1. је најбољи јер је његова нормална расподела (Гаусова расподела) најближа кординатном почетку. График 2.
7 ЗАКЉУЧАК Основни циљ овог рада је био примена оптимизационе методе COPRAS за одређивање најбољег избора лаптопа. Метода је примењена на 9 уређаја (HP, Acer, Asus, Toshiba, Lenovo, Dell, Pacard Bell, Fujitsu, Samsung) при чему се узимало у обзир пет критеријума, тј. карактеристика лаптоп рачунара (процесор, рам меморија, хард диск, графичка карта и цена). За одређивање тежина критеријума у овом раду су примењене објективне методе: CRITIC, FANMA и SDV, резултати су представљени помоћу контролних карти и нормалне расподеле. Резултати нам говоре да лаптоп HP - E1-2100 представља најбољи избор. До тог закључка смо дошли приликом анализе резултата оптимизационе методе COPRAS.. ЛИТЕРАТУРА [1] Радојичић, М., Жижовић, М. (1998) Примена метода вишекритеријумске анализе у пословном одлучивању, Чачак: Факултет техничких наука [2] Светозар Вукадиновић, Елементи теорије вероватноће и математичке статистике, Београд, Србија: Привредни преглед 1988. [3] Александар Ж. Дреновац, Душан М. Дреновац, Контролне карте као средство статистичке контроле квалитета, Крагујевац: Факултет инжењерских наука [4] Презентација са сајта факултета: Вера Лазаревић, Пројекат 511140 TEMPUS JPCR Master programe in 2013.) (2010.-, MAS Applied Statistics [5] Увод у статистику. Доступно на: http://www.vivasabac.edu.rs/materijali/studije/materijalzanastavu/informatika1/uvod%20u%20statistiku.pdf Сајтови који су коришћени: 1. http://www.wikipedia.org/ 2. http://www.tehnomanija.rs