Тестирање статистичких хипотеза. Методичка упутства и варијанте домаћих задатака

Transcript

1 Тестирање статистичких хипотеза Методичка упутства и варијанте домаћих задатака ПРОВЕРА СТАТИСТИЧКИХ ХИПОТЕЗА Статистичка хипотеза је претпоставка о облику непознате расподеле случајне променљиве или о непознатим параметрима познате расподеле случајне променљиве. Упоредо са хипотезом која се проверава (нулта, или основна) Н о формулише се ињој алтернативна хипотеза (конкурентна, или алтернативна) Н 1, коју прихватамо, ако је одбачена нулта хипотеза. Хипотезе се деле на просте (садрже само једну претпоставку) и сложене (садрже више од једне претпоставке). При тестирању хипотеза могу настати два типа грешака: грешка првог типаа, ако одбацимо тачну нулту хипотезу, и грешка другог типа, ако прихватимо нетачну нулту хипотезу. За проверу статистичких хипотеза користимо специјално изабрану случај променљиву К са познатом расподелом и називамо је статистички критеријум. Скуп свих могућих вредности се разбија на два дисјункна подскупа: једна од њих је (критична област) која садрћи вредности критеријума за које се нулта хипотеза одбацује, други подскуп (област прихватања хипотезе) то су вредности критеријума К, за које се хипотеза прихвата. Вредност критеријума К, која раздваја критичну област од области прихватања хипотезе, називамо критичном тачком k р. Критична област може бити деснострана (ако се задаје неједнакошћу K > k кр ), левострана ( K < kкр ) или двострана ( K < ( kкр ) 1, K > ( kкр ) ). За налажење критичне тачке потребно је задати вероватноћу грешке првог типа α, коју називамо прагом (ниво) значајности; тада је, например, деснострана критична област задата условом p ( K > kкр ) = α. Редослед тестирања статистичких хипотеза је: 1. задаје се ниво значајности - праг α, бира се статистички критеријум К и израчунава се (обично је дата табела вредности закона расподеле критеријума К) вредност k кр ; одређује се облик критичне области области;. на основу узорка рачунамо узорачку вредност критеријума тестирања К узорка 3. ако је К узорка у критичној области, онда нулту хипотезу одбацујемо; ако је К узорка у области прихватања хипотезе - нулта хипотеза се прихвата. Размотримо начине тестирања неких статистичких хипотеза 3

2 Једнакост двеју дисперзија основних скупова са нормалним Нека су дата два узорка обима п 1 и п, из нормално распшоређених скупова Х и Y. Потребно је на основу исправљених узорачких дисперзија и проверити нулту хипотезу о једнакости дисперзија основних скупова: H o : D (X) = D (Y). s x Критеријум (тест) је случајна променљива s y sveca F однос веће исправљене дисперзије према s мањој, која за услове важења нулте хипотезе има Фишерову расподелу са бројем степени слободе: k 1 = n 1 1 и k = n 1. Критична област зависи од облика конкурентне хипотезе: 1. ако је H 1 : D (X) > D (Y), критична област је деснострана: F > F ( α, k, k )) =. = manja Критична тачка F кр α, k 1, k ) се налази у таблици Фишерове расподеле. Ако је F uzorka м ( p( кр 1 α sб = < Fкр нулта хипотеза се прихвата, у супротном се одбацује. s. Ако је алтернативна хипотеза H 1 : D (X) D (Y), онда је критична област двострана: α α p ( F < F1 ) =, p( F > F ) =. α sб При томе је довољно наћи F = Fкр (, k1, k ). Тада, ако је Fuyorka = < Fкр нема основа за s одбацивање нулте хипотезе, ако је F F нулту хипотезу одбацујемо. uyorka > кр Пример. Дата су два независна узорка обима п 1 = 10 и п = 15, из основних скупова Х и Y, који имају нормалну расподелу. Исправљене узорачке дисперзије су: s =,67 и = 1,88. Тестирајмо за ниво значајности α = 0,05 нулту хипотезу о једнакости дисперзија основних скупова против алтернативне да је: H 1 : D (X) > D (Y). Решење. Одредимо из таблице критичну вредност F =,65. Критична област је деснострана. кр (0,05; 9; 14),67 Одредимо узорачку вредност критеријума F uzorka = = 1,4 < F кр. 1,88 Закључујемо, нема основе да се одбаци нулта хипотеза. x м s y Једнакост средњих вредности основних скупова 1) Основни скупови Х и Y имају нормалну расподелу, при чему су познате њихове дисперзије. Из тих основних скупова узимамо узорке обима, редом, т и п, за које су израчунате узорачке средине х и у uzorka. За дати праг значајностии α тестирамо нулту хипотезу о једнакости математичких очекивања основних скупова: Н о : М (Х) = М (Y). Статистически критеријум за проверу хипотезе је случајна величина са нормално нормираном расподелом M ( X ) M ( Y ) Z =. D( X ) D( Y ) + m n xb yb z Узорачка вредност критеријума је uzorka =. D( X ) D( Y ) + m n 4 uzorka

3 Облик критичне области зависи од алтернативне хипотезе: а) Н 1 : М (Х) М (Y) критична област је двострана, z кр одређује се из таблице за нормалну расподелу као 1 α аргумент функције за коју је Ф ( z кр ) =, и критична област је задата неједначошћу Z > z кр. б) Н 1 : М (Х) > М (Y) критична област је деснострана, z кр се одређује как аргумент функције Лапласа, за 1 α коју је Ф ( z кр ) =, а критична област је одређена неједнакошћу: Z > z кр. в) Н 1 : М (Х) < М (Y) критична област левосторана, задата неједнакошћу Z < -z кр, где се z кр рачуна као у претходном случају. ) Ако имамо два независна узорка великог обима из основног скупа чије дисперзије и закони расподеле су непознати. Тада за обиме узорка не мање од 30 можемо сматрати да су узорачке средине рапоређене приближно нормално, а узорачке дисперзије су довољно добре оцене дисперзије основног скупа (значи, на основу тога сматрамо да је позната приближна вредност дисперзије основног скупа). Тада се задатак своди на претходни, а статистички критеријум има облик: X Y Z = Z =. DB ( X ) DB ( Y ) + m n xuzorka yuzorka z. Узорачка вредност критеријума К се рачуна: uzorka = Duzorka ( X ) Duzorka ( Y ) + m n Избор облика критичне области и одређивање критичних тачака се спроводи као у предходном делу 1. 3) Основни скупови имају нормалну расподелу, при чему су дисперзије непознате, а обим узорака т и п је мали (значи, не може се добити добра оцена генералне (основне) дисперзије скупа). Ако претпоставимо да су, генералне дисперзије једнаке, тада за критеријум тестирања нулте хипотезе критерия Н о : М (Х) = М (Y) је случајна променљива X Y nm( n + m ) T =, ( m 1) s + ( n 1) s n + m x y која нултој хипотези има Студентову расподелу са k = n + m степени слободе. Узорачка вредност критеријума К се рачуна по формули: хuzorka уuzorka nm( n + m ) Tuzorka =. ( m 1) s + ( n 1) s n + m x y Критична област се добија из облика од зависности конкурентне хипотезе. а) Н 1 : М (Х) М (Y) критична област је двосторана, задата неједнакошћу T > t двост.кр., гдеје t двост.кр.(α, k) налази из таблице критичних тачака Студентове расподеле. б) Н 1 : М (Х) > М (Y) критична област је деснострана одређена условом T > t десно.кр.. Критическая тачка се поново налази у таблици Студентове расподеле. в) Н 1 : М (Х) < М (Y) критична област је левострана, T < t десно.кр.. Пример 7. Дата су два независна узорка нормалног распореда Х:,, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6 и Y: 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 7, 8, 9. Тесирати са прагом значајности α = 0,1 при услову да су једнаке дисперзије основног скупа нулту хипотезу Н о : М (Х) = М (Y) против алтернативне Н 1 : М (Х) М (Y). Решење. Обими узорака су т = 10, п = 15. Израчунајмо узорачке средине и исправљене узорачке дисперзије: x 3,8; y = 4,93; s = 1,73; s = 3,1. uzorka = uzorka x y 3,8 4, Израчунајмо вредност критеријума: T uzoraka = = 1, , ,1 5 Критична област је двострана, t двострст.кр.(0,1; 3) = 1,71 (из таблице Студентове расподеле). 5

4 Како је, T узорка < t двост.кр., следи, нема основа одбацити нулту хипотезу можемо рачунати да су математичка очекивања основних скупова једнака. Једнакост двају вероватноћа биномне расподеле Нека су познати резултати двају серија независних испитивања: у првој п 1 опита, и догађај А се појавио т 1 пута; у другој серији од п опита догађај А се појавио т пута. Означимо непознату вероватноћу појаве догађаја А у првом истраживању опиту означимо са р 1, а у другој серији са р. Потребно је проверити (тестирати) са нивоом значајности α нулту хипотезу о једнакости вероватноћа: Н о : р 1 = р. За критеријум бирамо случајну променљиву која има нормално нормирану расподелу: M1 M n1 n U =. 1 1 p(1 p) + n1 n Узорачка вредност критеријума се рачуна по формули: m1 m n1 n U uzorka =. m1 + m m + 1 m n1 + n n1 + n n1 n Критичне области су: 1 α а) за алтернативну хипотезу Н 1 : р 1 р u кр одређује се из једнакости Ф ( и кр ) =, и двострана је критична област задата са неједнакошћу U > u кр. б) за алтернативну хипотезу Н 1 : р 1 > р u кр је деснострана критична област и налази се из услова 1 α Ф ( и кр ) =, а облик критичне области: U > u кр. в) за алтернативну хипотезу Н о : р 1 < р је левострана критична област и има облик U < u кр, где се u кр налази по формули из претходне ставке б). Пример 8. В серии из 0 независимых испытаний событие А появилось 8 раз, в серии из 15 испытаний 7 раз. При уровне значимости α = 0,05 проверяется нулевая гипотеза Н о : р 1 = р при конкурирующей гипотезе Н о : р 1 < р. Решение. 1 0,05 Критическая область левосторонняя, Ф ( и кр ) = = 0,45, следова- тельно, и кр = 1,645, и критическая область имеет вид U < - 1,645. Вычислим и набл = = 0,394. U набл > u кр, следовательно, гипотеза принимается, и можно считать, что вероятность события А в обеих сериях испытаний одинакова. Пирсонов тест сагласности Критеријум сагласности је критеријум провере хипотезе о претпостављеном закону расподеле. Нека је узорак обима п из кога је добијена емпиријска расподела: x i x 1 x... x s n i n 1 n... n s Помоћу Пирсоновог теста можемо тестирати хипотезу о различитим расподелама основног скупа (равномерном, нормалном, експоненцијалном, биномном и др.) У претпоставци о конкретном облику 6

5 расподеле основног скупа, рачунамо теоријске фреквенције променљиву ( ni ni ) χ =, n i n i, и за критеријум бирамо случајну која има χ расподелу са k = s 1 r, степени слободе, где је s број интервала узорка, r број параметара предложене расподеле. Критична област је деснострана, и граница јој је за задати праг значајности зна α χ кр ( α, k) се налази у табели критичних тачака Хи квадрат расподеле (χ ). Теоријске фреквенције n i рачунамо за претпостављену расподелу као количине лелемената узорка које упадају у сваки интервал ако би случајна променљива имала претпостављени закон расподеле чији параметри се поклапају са тачкастим оценама на основу узорка, конкретно: а) за тестирање хипотезе о нормалној расподели биће n i = п Р i, где је п обим узорка, xi+ 1 xuzorka xi xuzorka Рi = Φ Φ, x s s i и x i + 1 лева и десна граница i-го интервала, x uzorka - узорачка средина, s исправљено средње квадратно одступање. Како нормална расподела има два параметра, број степени слободе је k = n 3; б) за тестирање хипотезе о експоненцијалној расподели основног скупа као оцену параметра λ узимамо * 1 λ = λ λ i+1. Тада су теоријске учесталости n i = п Р i, где је Р = e x i e x. х uzorka Експоненцијална расподела има један параметар, па је број степепни слободе k = n ; в) За тестирање хипотезе о равномерној расподели о скупу крајева интервала, у којима су могуће вредности Х, оцењујемо по формули: a * = x B 3 σ B ; b * = x B + 3 σ 1 n( x1 a ) Тада је функција густине вероватноћа: f ( x) = ; n1 = ; * * * * b a b a n( xi xi 1 ) n( b xs 1 ) n = n3 =... = n s 1 = ; i =,3,..., s 1, n. * * s = * * b a b a Број степени слободе k = n 3, јер се равномерна расподела оцењује са два параметра. Пример. За дати узорак чија статистичка серија је интервално груписана B Ред. број интервала Границe интервала емпријске фреквенц тестирати хипотезу са прагом значајности α = 0,05 о: а) експоненцијалној; б) равномерној; в) нормалној расподели основног скупа применом Пирсоновог Хи квадрат теста. Решење. Обим узорка је п = 70. интервале ћемо заменити њиховим срединама: х 1 = 3,5, х = 6,5,, х 6 = 18,5. Одредимо узорачку средњу вредност и дисперзију x = 11,43; σ узорка = 4,03; s = 4,05.. а) Одредимо теоријске фреквенције под претпоставком о експоненцијалној расподели основног скупа. * 1 1 за параметар λ = = = 0,087 : x 11,43 0,087 0, ,174 n = 70 e e = 70 e e 0,435 ( ) ( ) 13,44; 1 = 7 * i *

6 аналогно n =10,37; n3 = 8,05; n4 = 6,3; n5 = 4,76; n6 = 3,64. Узорачка вредност Хи квадрат теста је: χ uzorka (6 13,44) = 13,44 Критична тачка је χ (0,05;4)=9,5; (5 3,64) ,64 χ uzor > χ kr, = 69,0. и хипотеза о експоненцијалном распореду се одбацује. б) За равномерну расподелу је: * * 1 a = 11,43 3 4,03 = 4,45; b = 11, ,03 = 18,41. f ( x) = = 0,07; 18,41 4,45 теоријске фреквенције су: n 1 = 70 (5 4,45) 0,07 =,77; n = n3 = n 4 = n5 = ,07 = 15,1; n = 70 (18,41 17) 0,07 7,1. 6 = Узорачка вредност Хи квадрат теста је: χ uzorka (6,77) =,77 (5 7,1) ,1 = 10,95. набл χ кр Критичена тачка χ (0,05;3) = 7,8; χ >, и хипотеза о равномерној расподели се одбацује. в) Теоријске фреквенције под претпоставком о нормалној расподели основног скупа: 5 11,43 11,43 n 1 = 70 Φ Φ = 70 ( Φ( 1,588) Φ(,38) )= 4,05 4,05 = 70 Φ(,38) Φ(1,588) = 70 (0,4900 0,4441) = 3, ( ). На исти начин одређујемо остале учесталости: n =,9; n = 18,; n = 19,6; n = 1,5; n = (6 3,) (5 4,7) Узорачка вредност Хи квадрат теста је: χ uzorka = = 3,87. 3, 4,7 Критична тачка је: χ = 7,8. Како је χ <, хипотеза о нормалном распореду основног скупа се прихвата. (0,05; 3) 4,7. uzorka χ кр 8

7 Домаћи задаци Задатак 1. На основу датог узорка тестирати хипотезу о закону расподеле и проверити је коришћењем Пирсоновог Хи квадрат теста са новоом значајности α. У одговору навести: а) изабрану хипотезу о расподели узорка; б) израчунату вредност критеријума; в) критичну вредност; г) закључак о прихватању или неприхватању хипотезе.. Задатак. На основу два узорка нормалних распореда тестирати хипотезу о једнакости дисперзија (против алтернативне: неједнакост дисперзија) са прагом значајности 0.1.Одредити: а) дисперсију првог узорка; б) дисперзију другог узорка; в) израчунати критичну вредност; г) теоријску вредност критеријума; д) закључак о прихватању или неприхватању хипотезе. Задатак 3. На основу два узорка са нормалним распоредом тестирати хипотезу о једнакости аритметичких средина данным против алтернативне хипотезе о њиховој неједнакости за дати ниво значајности α. У одговору навести: а) узорачку средину првог узорка; б) узорачку средину другог узорка; в) израчћунату вредност критеријума; г) табличну вредност; д) закључак о прихватању или неприхватању хипотезе. Задатак 4. На основу података два узорка нормалних распореда (први - са дисперзијом S 1, други - са дисперзијом S ) проверити хипотезу о једнакости средњих вредности за ниво значајности α (против алтернативне хипотезе о њиховој неједнакости). У одговору навести: а) узорачку средину првог узорка; б) узорачку средину другог узорка; в) израчунату вредност критеријума; г) критичну вредност; д) закључак о прихватању или неприхватању постављене хипотезе. Задатак 5. Након спроведених n 1 испитивања у првој серији број повољних исхода је m 1. У другој серији од n испитивања број повољних исхода је m. Тестирати хипотезу о једнакости вероватноћа повољних исхода у ове две серије опита (против алтернативне о њиховој неједнакости) са прагом значајности α. У одговору навести: а) израчунату вредност критеријума; б) критичну вредност; в) закључак о прихватању или неприхватању хипотезе. Напомена: Студент бира ону варијанту задатка чији се редни број поклапа са датумом рођења студента. Ако се студент рођен 31 у месецу, онда он бира варијанту задатка која му одговара. Студент је обавезан да наведе варијанту задатка коју ради. Домаћи задатак је урађен ако су урађени сви задаци (у случају тестирања хипотеза свих пет задатака). Задаци се могу радити преко рачунара уз помоћ програмског пакета Microsoft Excel, SPSS или неког другог програмског пакета, што се документује. Ако се задаци раде ручно калкулатором, онда није потребно наводити међурезултате обраде података. Одбрана домећег задатка је саставни део домаћег задатка. Много среће у раду! 9

8 Варијанте задатака Варијанта 1 Задатак број 1. α = Задатак број. Први узорак: Задатак број 3. α = Задатак број 4. S 1 = 38, S = 4, α = Задатак број 5. n 1 = 500, m 1 = 391, n = 700, m = 53, α = Варијанта Задатак број 1. α = Задатак број. Први узорак: Задатак број 3. α = Задатак број 4. S 1 = 31, S = 38, α =

9 Задатак број 5. n 1 = 800, m 1 = 58, n = 900, m = 3, α = Варијанта 3 Задатак број 1. α = Задатак број. Први узорак: Задатак број 3. α = Задатак број 4. S 1 = 4, S = 39, α = Задатак број 5. n 1 = 800, m 1 = 418, n = 700, m = 445, α = Варијанта 4 Задатак број 1. α = Задатак број. 11

10 Први узорак: Задатак број 3. α = Задатак број 4. S 1 = 30, S = 1, α = Задатак број 5. n 1 = 00, m 1 = 15, n = 400, m = 165, α = Варијанта 5 Задатак број 1. α = Задатак број. Први узорак: Задатак број 3. α = Задатак број 4. S 1 =, S = 39, α =

11 Задатак број 5. n 1 = 500, m 1 = 08, n = 1000, m = 433, α = Варијанта 6 Задатак број 1. α = Задатак број. Први узорак: Задатак број 3. α = Задатак број 4. S 1 = 1, S = 38, α = Задатак број 5. n 1 = 00, m 1 = 94, n = 400, m = 10, α = Варијанта 7 Задатак број 1. α = Задатак број. Први узорак: Задатак број 3. α = Задатак број 4. S 1 = 37, S = 9, α =

12 Задатак број 5. n 1 = 00, m 1 = 158, n = 900, m = 639, α = Варијанта 8 Задатак број 1. α = Задатак број. Први узорак: Задатак број 3. α = Задатак број 4. S 1 = 0, S = 38, α = Задатак број 5. n 1 = 600, m 1 = 505, n = 900, m = 78, α = Варијанта 9 Задатак број 1. α =

13 Задатак број. Први узорак: Задатак број 3. α = Задатак број 4. S 1 = 3, S = 33, α = Задатак број 5. n 1 = 1000, m 1 = 376, n = 00, m = 65, α = Варијанта 10 Задатак број 1. α = Задатак број. Први узорак: Задатак број 3. α = Задатак број 4. S 1 = 4, S = 36, α =

14 Задатак број 5. n 1 = 700, m 1 = 496, n = 800, m = 576, α = Варијанта 11 Задатак број 1. α = Задатак број. Први узорак: Задатак број 3. α = Задатак број 4. S 1 = 0, S = 30, α = Задатак број 5. n 1 = 300, m 1 = 114, n = 800, m = 393, α = Варијанта 1 Задатак број 1. α = Задатак број. Први узорак:

15 Задатак број 3. α = Задатак број 4. S 1 = 38, S = 4, α = Задатак број 5. n 1 = 300, m 1 = 17, n = 500, m = 191, α = Варијанта 13 Задатак број 1. α = Задатак број. Први узорак: Задатак број 3. α = Задатак број 4. S 1 = 7, S = 35, α = Задатак број 5. n 1 = 800, m 1 = 96, n = 00, m =, α =

16 Варијанта 14 Задатак број 1. α = Задатак број. Први узорак: Задатак број 3. α = Задатак број 4. S 1 = 33, S =, α = Задатак број 5. n 1 = 900, m 1 = 386, n = 400, m = 134, α = Варијанта 15 Задатак број 1. α = Задатак број. Први узорак: Задатак број 3. α = Задатак број 4. S 1 = 38, S = 6, α =

17 Задатак број 5. n 1 = 700, m 1 = 53, n = 300, m = 05, α = Варијанта 16 Задатак број 1. α = Задатак број. Први узорак: Задатак број 3. α = Задатак број 4. S 1 = 31, S = 1, α = Задатак број 5. n 1 = 900, m 1 = 700, n = 900, m = 746, α = Варијанта 17 Задатак број 1. α = Задатак број. 19

18 Први узорак: Задатак број 3. α = Задатак број 4. S 1 = 36, S =, α = Задатак број 5. n 1 = 500, m 1 = 174, n = 00, m = 31, α = Варијанта 18 Задатак број 1. α = Задатак број. Први узорак: Задатак број 3. α = Задатак број 4. S 1 = 8, S = 1, α =

19 Задатак број 5. n 1 = 700, m 1 = 350, n = 300, m = 11, α = Варијанта 19 Задатак број 1. α = Задатак број. Први узорак: Задатак број 3. α = Задатак број 4. S 1 = 7, S = 34, α = Задатак број 5. n 1 = 800, m 1 = 36, n = 00, m = 7, α = Варијанта 0 Задатак број 1. α = Задатак број. Први узорак: Задатак број 3. α =