ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Τομέας Δομοστατικής Εργαστήριο Μεταλλικών Κατασκευών Μάθημα : Σιδηρές Κατασκευές ΙΙ Διδάσκοντες : Ι Βάγιας Γ. Ιωαννίδης Χ. Γαντές Φ. Καρυδάκης Α. Αβραάμ Ι. Μαλλής Ξ. Λιγνός I. Βασιλοπούλου Α. Σπηλιόπουλος Μάρτιος 009 Άσκηση Η δοκός κύλισης γερανογέφυρας, διατομής ΗΕΑ60 από χάλυβα ποιότητας S355, αποτελείται από διαδοχικά αμφιέρειστα τμήματα, ανοίγματος 6,00m (Σχήμα 1α). Η γερανογέφυρα κινείται σε κάθε άκρο της επί δύο τροχών που απέχουν μεταξύ τους απόσταση ίση με α3,60m (Σχήμα 1β). Οι τροχοί κυλίονται επί τροχιάς από συμπαγή ορθογωνική διατομή 0x50mm. Θεωρείται εκκεντρότητα των κατακόρυφων φορτίων ίση με eb r /450mm/41,5mm, όπου b r είναι το πλάτος της τροχιάς (Σχήμα 1γ). Ζητείται ο ελαστικός έλεγχος επάρκειας της διατομής της δοκού κύλισης, σε οριακή κατάσταση αστοχίας, για κατακόρυφο φορτίο σχεδιασμού P50kN και οριζόντιο φορτίο σχεδιασμού Η15kN σε κάθε τροχό. Να θεωρηθεί ότι τα άκρα των αμφιέρειστων τμημάτων της δοκού είναι δεσμευμένα έναντι στροφής και ελεύθερα να στρεβλωθούν, γενικότερα δε ο τρόπος στήριξης των δοκών στα άκρα τους παρέχει τη δυνατότητα να προσομοιωθούν ως απλές στρεπτικές (διχαλωτές) στηρίξεις. α) β) γ) Σχήμα 1: α) Προοπτικό γερανογέφυρας β) ένα τμήμα δοκού κύλισης γ) θέση εφαρμογή φορτίων στη δοκό κύλισης Σημείωση: Με βάση τη γραμμή επιρροής της καμπτικής ροπής σε τυχαία θέση αμφιέρειστης δοκού, ανοίγματος L, αποδεικνύεται ότι η ροπή αυτή, λόγω δύο συγκεντρωμένων φορτίων P που απέχουν απόσταση α μεταξύ τους, γίνεται μέγιστη όταν το πρώτο φορτίο βρίσκεται σε απόσταση x(l-α)/4 από το άκρο της δοκού, υπό την προϋπόθεση ότι ισχύει α<0,586l. Η μέγιστη αυτή τιμή της καμπτικής ροπής είναι: P maxm ( L α) L Σε περίπτωση που ισχύει α>0,586l τότε η μέγιστη ροπή προκύπτει όταν το ένα από τα δύο φορτία βρίσκεται στο μέσον του ανοίγματος (οπότε το άλλο βρίσκεται εκτός της δοκού) και τότε ισχύει: maxmpl/4.
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Άσκηση ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗΣ Υλικά Ποιότητα δομικού χάλυβα S355 y 355MPa35,5kN/cm u 510MPa51,0kN/cm Ε10000MPa1000kN/cm 1. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΡΑΝΟΓΕΦΥΡΑΣ α) β) γ) Σχήμα 1: α) Προοπτικό γερανογέφυρας β) θέση εφαρμογή φορτίων στη δοκό κύλισης γ) ένα τμήμα δοκού κύλισης. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΤΟΜΗΣ Σχήμα : Διατομή δοκού κύλισης γερανογέφυρας ΗΕΑ 60 b60mm t 1,5mm h50mm t w 7,5mm 86,80cm r4mm d177mm W el,y 836,4cm 3 W el,z 8,10cm 3 I y 10450cm 4 I z 3668cm 4 3. ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΔΙΑΤΟΜΗΣ Κατηγορία κορμού Με βάση τους πίνακες με τις πρότυπες διατομές και σύμφωνα με τον πίνακα για την κατηγοριοποίηση του κορμού υπό κάμψη έχουμε: d177mm c/td/t w 177/7,53,60<7ε58,3-1
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Άσκηση όπου ε 35 / y 0, 81 και y 355MPa, το όριο διαρροής του χάλυβα. Επομένως ο κορμός ανήκει στην κατηγορία 1. Κατηγορία πέλματος Με βάση τους πίνακες με τις πρότυπες διατομές και σύμφωνα με τον πίνακα για την κατηγοριοποίηση του πέλματος υπό θλίψη έχουμε: c (b t w ) / r (60 7,5)mm / 4mm 8,18 < 14ε 11,34 t t 1,5mm όπου ε0,81 Επομένως και το πέλμα ανήκει στην κατηγορία 3. Συνεπώς: Κατηγορία διατομής 3 4. ΘΕΣΗ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΜΠΤΙΚΗΣ ΡΟΠΗΣ Ισχύει: α3,60m>0,586 L0,586 6,00m3,5m Επομένως η μέγιστη ροπή προκύπτει όταν το ένα από τα δύο φορτία βρίσκεται στο μέσον του ανοίγματος (οπότε το άλλο βρίσκεται εκτός της δοκού) και η θέση αυτής είναι στο μέσον του ανοίγματος. 4.1. Εντατικά μεγέθη Κάμψη κατά τον τοπικό y Μ Ed,y PL/450kN 6,00m/475,00kNm 7500kNcm Διάτμηση κατά τον τοπικό z V Ed,z P/50kN/5kN Κάμψη κατά τον τοπικό z Μ Ed,z HL/415kN 6,00m/4,50kNm50kNcm Διάτμηση κατά τον τοπικό y V Ed,y H/15kN/7,5kN Στρέψη Τα άκρα των αμφιέρειστων τμημάτων της δοκού είναι δεσμευμένα έναντι στροφής και ελεύθερα να στρεβλωθούν, γενικότερα δε ο τρόπος στήριξης των δοκών στα άκρα τους παρέχει τη δυνατότητα να προσομοιωθούν ως απλές στρεπτικές (διχαλωτές) στηρίξεις Η στρεπτική ροπή θα υπολογιστεί ως προς το κέντρο διάτμησης της δοκού. Η συγκεντρωμένη ροπή στο μέσον του ανοίγματος θα είναι: Μ t,ed P e+h (h/+,0cm)50kn 1,5cm+15kN (5,0cm/+,0cm) 80kNcm -
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Άσκηση Σχήμα 3: Θέση εφαρμογής των φορτίων Η μέγιστη στρεπτική ροπή που αναπτύσσεται στη δοκό θα είναι: Τ w,ed Μ t,ed /140kNcm Σχήμα 4: Εντατικά μεγέθη για το φορτίο στη θέση της μέγιστης καμπτικής ροπής α) λόγω κατακόρυφου φορτίου β) λόγω οριζοντίου φορτίου γ) λόγω στρεπτικής ροπής 4.. Υπολογισμός τάσεων Υπολογισμός ορθών τάσεων της διατομής λόγω καμπτικής ροπής περί τον τοπικό άξονα y Οι ορθές τάσεις λόγω ροπής κάμψης Μ Ed,y είναι: MEd,y 7500kNcm σ Ed,x,My 8,97kN / cm W 3 836,40cm el,y -3
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Άσκηση Υπολογισμός διατμητικών τάσεων στον κορμό λόγω τέμνουσας δύναμης κατά τον τοπικό άξονα z Το εμβαδόν του κορμού είναι: w h w t w (5,0cm- 1,5cm) 0,75cm16,875cm Η διατμητική τάση λόγω τέμνουσας V Ed,z είναι: VEd,z 5,0kN τ Ed,xz 1,48kN / cm 16,875cm w Υπολογισμός ορθών τάσεων των πελμάτων λόγω καμπτικής ροπής περί τον τοπικό άξονα z Οι ορθές τάσεις λόγω ροπής κάμψης Μ Ed,z είναι: MEd,z 50kNcm σ Ed,x,Mz 7,98kN / cm W 3 8,1cm el,z Υπολογισμός διατμητικών τάσεων στα πέλματα λόγω τέμνουσας δύναμης κατά τον τοπικό άξονα y Το εμβαδόν του κάθε πέλματος είναι: Α b t 6,0cm 1,5cm3,50cm Οι διατμητικές τάσεις λόγω τέμνουσας V Ed,y κατανέμονται στο πέλμα της διατομής που είναι μία ορθογωνική διατομή. Η μέγιστη τάση στο μέσον κάθε πέλματος είναι ίση με 1,50 επί τη μέση τάση και είναι: 1,50 0,5 VEd,y 1,50 0,5 7,5kN τ Ed,xy 3,50cm 0,17kN / cm Υπολογισμός τάσεων στα πέλματα λόγω στρεπτικής ροπής Στην περίπτωση ενός μέλους με ανοιχτή διατομή, όπως η I ή H, μπορεί να υποτεθεί ότι οι επιδράσεις της στρέψης κατά St. Venant μπορούν να αγνοηθούν. Κατά τη στρέβλωση αναπτύσσεται ένα ζεύγος ίσων και αντίθετων ροπών στα πέλματα Μ, το οποίο ονομάζεται δίρροπο και η αντίστοιχη τέμνουσα δύναμη V. Στη διατομή αναπτύσσονται κατά συνέπεια τόσο ορθές τάσεις λόγω των Μ, όσο και διατμητικές τάσεις λόγω της V. Για να υπολογίσουμε τη μέγιστη τιμή της ροπής M αναλύουμε τη ροπή στρέψης M t,εd σε ζεύγος δυνάμεων στα πέλματα: V F M t,εd /(h-t )80kNcm/(5,0cm-1,5cm)11,79kN Η δύναμη αυτή προκαλεί μία ροπή κάμψης στο μέσον του κάθε πέλματος ίση με: M V F L/411,79kN (600cm)/41768,4kNcm και μία τέμνουσα δύναμη στο κάθε πέλμα ίση με: V V F /5,89kN -4
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Άσκηση Σχήμα 5: Εντατικά μεγέθη για το φορτίο στη θέση της μέγιστης καμπτικής ροπής, λόγω της στρεπτικής ροπής α) στο άνω πέλμα β) στο κάτω πέλμα Το εμβαδόν του κάθε πέλματος είναι: b t 6,00cm 1,5cm3,50cm η ροπή αδράνειας του κάθε πέλματος είναι: I t b 3 /11,5cm (6,0cm) 3 /11830,83cm 4 και η ελαστική ροπή αντίστασης θα είναι: W el, I /(b/) 1830,83cm 4 /6,0cm140,83cm 3 Οι ορθές τάσεις λόγω της παραπάνω ροπής στο κάθε πέλμα δίνονται ως εξής: M 1768,4kNcm σ w,ed 1,56kN / cm W 3 140,83cm el, Η διατμητική τάση στο κάθε πέλμα λόγω της παραπάνω τέμνουσας δίνεται ως εξής: V 5,89kN τ w,ed 1,50 1,50 0,7kN / cm 3,50cm -5
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Άσκηση α) β) Σχήμα 6: Ορθές και διατμητικές τάσεις λόγω κατακορύφου φορτίου α) σ x,my λόγω Μ y β) τ xz λόγω V z α) β) Σχήμα 7: Ορθές και διατμητικές τάσεις λόγω φορτίου οριζοντίου φορτίου Η α) σ x,mz, λόγω Μ z β) τ xy λόγω V y -6
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Άσκηση Σχήμα 8: Στρέβλωση της δοκού κύλισης. Ανάλυση στης στρεπτικής ροπής σε ζεύγος δυνάμεων στα πέλματα α) β) Σχήμα 9: Ορθές και διατμητικές τάσεις λόγω στρέβλωσης α) σ w,ed, λόγω Μ β) τ w,ed λόγω V 4.3. Ελαστικός έλεγχος σε συνδυασμό διάτμησης, κάμψης και στρέψης Ελέγχουμε δύο σημεία στη διατομή, το άκρο του άνω πέλματος όπου αναπτύσσονται οι μέγιστες ορθές τάσεις και το μέσον του άνω πέλματος όπου αναπτύσσονται οι μέγιστες διατμητικές τάσεις. Άκρο πέλματος (σημείο 1): Στο σημείο 1 η διατμητική τάση είναι μηδέν, ενώ η ορθή τάση είναι: σ x σ Ed,x,My +σ Ed,x,Mz +σ w,ed (8,97+7,98+1,56)kN/cm 9,51kN/cm y < 35,5kN / cm γ M0 Μέσον άνω πέλματος (σημείο ): Στο σημείο η ορθή τάση είναι: σ x σ Ed,x,My 8,97kN/cm -7
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Άσκηση και η συνισταμένη διατμητική τάση είναι: Ed,xy w,ed Ed,xz τ (τ + τ ) + τ (0,17 + 0,7) + 1,48 1,54kN / cm y σ VM σ + 3τ 8,97 + 3 1,54 9,35kN / cm < 35,5kN / cm γ M0 5. ΘΕΣΗ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΤΕΜΝΟΥΣΑΣ ΔΥΝΑΜΗΣ Από τη γραμμή επιρροής της μέγιστης τέμνουσας προκύπτει ότι μέγιστη τέμνουσα θα είναι στη στήριξη όταν ο ένας τροχός είναι πολύ κοντά στη μία στήριξη, ενώ ο άλλος βρίσκεται σε απόσταση α. Τότε η τέμνουσα στη στήριξη θα είναι ίση με VP(-α/L). 5.1. Εντατικά μεγέθη Κάμψη κατά τον τοπικό y & z Δεν υπάρχει καμπτική ροπή στη στήριξη αμφιέρειστης δοκού Διάτμηση κατά τον τοπικό z H τέμνουσα στη στήριξη θα είναι ίση με: V Ed,z P(-α/L)50kN (-3,60m/6,0m)70,00kN Διάτμηση κατά τον τοπικό y V Ed,y H(-α/L)15kN (-3,60m/6,0m)1,00kN Στρέψη Η συγκεντρωμένη ροπή θα είναι: Μ t,ed P e+h (h/+,0cm)50kn 1,5cm+15kN (5,0cm/+,0cm)80kNcm Τ w,ed Μ t,ed (-α/l)80 (-3,60m/6,0m) 39,00kNcm -8
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Άσκηση Σχήμα 10: Εντατικά μεγέθη για το φορτίο στη θέση της μέγιστης τέμνουσας δύναμης α) λόγω κατακόρυφου φορτίου β) λόγω οριζοντίου φορτίου γ) λόγω στρεπτικής ροπής 5.. Τάσεις Υπολογισμός διατμητικών τάσεων κατά τον τοπικό άξονα z Η διατμητική τάση λόγω τέμνουσας V Ed,z είναι: VEd,z 70,00kN τ Ed,xz 4,15kN / cm 16,875cm w Υπολογισμός διατμητικών τάσεων κατά τον τοπικό άξονα y Η διατμητική τάση λόγω τέμνουσας V Ed,y είναι: 1,50 0,5 VEd,y 1,50 0,5 1,00kN τ Ed,xy 0,48kN / cm 3,50cm Υπολογισμός τάσεων στα πέλματα λόγω στρεπτικής ροπής Για να υπολογίσουμε τη μέγιστη τιμή της τέμνουσας V αναλύουμε τη ροπή στρέψης T w,εd σε ζεύγος δυνάμεων στα πέλματα: V T w,εd /(h-t ) 39,00kNcm/(5,0cm-1,5cm)16,50kN Η διατμητική τάση στο κάθε πέλμα λόγω της παραπάνω τέμνουσας δίνεται ως εξής: V 16,50kN τ w,ed 1,50 1,50 0,76kN / cm 3,50cm -9
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Άσκηση α) β) γ) Σχήμα 11: Διατμητικές τάσεις α) τ xz λόγω V z, β) τ xy λόγω V y, γ) τ w,ed λόγω V 5.3. Ελαστικός έλεγχος σε συνδυασμό διάτμησης, κάμψης και στρέψης Στο άκρο της δοκού έχουμε μόνο διατμητικές τάσεις, επομένως και η συνισταμένη διατμητική τάση είναι: y τ (τ Ed,xy + τ w,ed ) + τ Ed, xz (0,48 + 0,76) + 4,15 4,33kN / cm < 0,50kN / cm 3γ M0-10