Προσομοίωση πραγματικών συστημάτων στο MATLAB Είδαμε μέχρι τώρα πως μπορούμε να υπολογίσουμε την συνάρτηση μεταφοράς σε πραγματικά συστήματα. Ο υπολογισμός της συνάρτησης μεταφοράς στη ουσία είναι η «γραμμικοποίηση» ενός πραγματικού συστήματος, δηλαδή η περιγραφή του με τις «εξιδανικευμένες» γραμμικές διαφορικές εξισώσεις. Στα παθητικά ηλεκτρολογικά κυκλώματα η γραμμικοποίηση είναι πολύ κοντά στην πραγματικότητα. Δεν συμβαίνει όμως το ίδιο στα υπόλοιπα συστήματα όπου η γραμμικοποίηση γίνεται με μεγάλη προσέγγιση και μάλιστα για να ισχύει θα πρέπει να έχουμε μικρές μεταβολές των μεγεθών. Στο MATLAB μέχρι τώρα είδαμε πως μπορούμε εύκολα να επιλύουμε τις γραμμικές διαφορικές εξισώσεις ή αλλιώς να βλέπουμε την έξοδο ενός γραμμικού συστήματος αν γνωρίζουμε την συνάρτηση μεταφοράς του. Μιλάμε για ένα πολύτιμο εργαλείο με το οποίο μπορούμε να προσομοιώσουμε οποιοδήποτε γραμμικό σύστημα οποιουδήποτε βαθμού και ακόμα μπορούμε να συνδέουμε μεταξύ τους γραμμικά συστήματα και να προσομοιώνουμε την λειτουργία τους βλέπουμε την έξοδο σε όποιο σημείο του συστήματος θέλουμε. Όλα αυτά μας γλυτώνουν από τεράστιες μαθηματικές πράξεις, οι οποίες ήταν αδύνατον να γίνονται στην καθημερινή πράξη του μηχανικού, προσφέροντας σήμερα άλλες δυνατότητες σε καθημερινές εργασίες. Στο παρών κεφάλαιο είδαμε πως μπορούμε να υπολογίζουμε συναρτήσεις μεταφοράς. Όσο μεθοδευμένα και να κάνουμε τον υπολογισμό αυτόν οι πράξει συνεχίζουν να είναι πάρα πολλές και επίπονες. Το MATLAB μας παρέχει σε ένα module του simulink, τη δυνατότητα να προσομοιώνουμε πραγματικά γραμμικά συστήματα. Δηλαδή μπορούμε να περιγράφουμε μέσω ενός σχεδίου το σύστημα που θέλουμε (αν είναι ηλεκτρικό κύκλωμα στην ουσία σχεδιάζουμε το κύκλωμα) και στην συνέχεια να βλέπουμε σε διάφορα σημεία του συστήματος τα μεγέθη που θέλουμε σε «παλμογράφους». Πρόκειται για μια εξαιρετική δυνατότητα η οποία στην ουσία μας επιτρέπει να κάνουμε μετρήσεις σαν να είχαμε το σύστημα στο εργαστήριο. Δεν θα πρέπει να ξεχνάμε βέβαια ότι στο MATLAB στην ουσία λαμβάνουμε μια προσέγγιση του πραγματικού συστήματος, μια γραμμικοποίησή του, όμως για την καθημερινότητα ενός μηχανικού είναι ένα πολύτιμο εργαλείο. Θα παρουσιάσουμε στην συνέχεια αυτό το εργαλείο χωρίς όμως να εισχωρήσουμε σε βάθος στα θέματα της γραμμικοποίησης των μεθόδων και των παραμέτρων, όποιος θέλει μπορεί να εμβαθύνει και να χρησιμοποιήσει το αντίστοιχο module για ερευνητικές και για επιστημονικές εργασίες. Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Γιώργος Σούλτης 167
Το SIMSPACE του MATLAB Electrical elements Electrical sensors Electrical Sources Utilities Σχήμα 2.52 Στο σχήμα 2.52 Βλέπουμε την ενότητα Simspace στο παράθυρο του Simulink Library Browser. Βλέπουμε επίσης τρία από τα μενού της βιβλιοθήκης Simspace ως εξής: Electrical Elements, όπου βλέπουμε τα ηλεκτρικά στοιχεία Electrical Sensors, όπου περιέχονται δύο σημαντικά στοιχεία τα οποία όπως θα δούμε είναι τα αισθητήρια μέσω των οποίων λαμβάνουμε την τάση και το ρεύμα από οποιοδήποτε σημείο ενός κυκλώματος. Electrical sources, όπου βλέπουμε τις πηγές τάσης και ρεύματος σε διάφορες παραλλαγές. Utilities, στην ενότητα αυτή υπάρχουν σημαντικά στοιχεία για την δημιουργία μια προσομοίωσης, την χρήση του θα τη δούμε στη συνέχεια. Θα προσπαθήσουμε να δημιουργήσουμε τα πρώτα ηλεκτρικά κυκλώματα προσομοίωσης. Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Γιώργος Σούλτης 168
Προσομοίωση 1 Θα προσπαθήσουμε να προσομοιώσουμε τα παραδείγματα στα οποία υπολογίσαμε την συνάρτηση μεταφοράς στις προηγούμενες παραγράφους. Ας ξεκινήσουμε από το πολύ απλό κύκλωμα του σχήματος 2.53 R Στο κύκλωμα RC θέτουμε + V1(s) I(s) C + V2(s) R C 5 500 5.10 6 1 F 10 Και θέλουμε να δούμε τις μεταβολές της τάσης V () t και 2 του ρεύματος It () Σχήμα 2.53 Ξεξινάμε την εργασία προσομοίωσης ανοίγοντας στο SIMULINK ένα νέο παράθυρο εργασίας. Στη συνέχεια λαμβάνουμε μία αντίσταση και έναν πυκνωτή και τα συνδέουμε όπως τα βλέπουμε στο σχήμα 2.54. Σχήμα 2.54 Προσοχή : Oι κόκκινές γραμμές δείχνουν ότι δεν έχουμε ακόμα συνδέσει τίποτα. Στο SUMULINK κάθε γραμμή σύνδεσης πρέπει να συνδέει δύο ακροδέκτες Πατώντας διπλό κλικ πάνω στην αντίσταση μπορούμε να δώσουμε την τιμή σε Ohm. Η τιμή μπορεί να δοθεί και σε εκθετική μορφή ως εξής: 5e5 το οποίο είναι ισοδύναμο με το 5 5.10 Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Γιώργος Σούλτης 169
Με τον ίδιο τρόπο δίνουμε και την τιμή στον πυκνωτή. Παρατηρούμε όμως ότι στον πυκνωτή υπάρχουν και άλλα στοιχεία στην κάρτα του πυκνωτή. Το δεύτερο στοιχείο (στη σειρά) είναι η αρχική φόρτιση στον πυκνωτή. Το τρίτο είναι η ωμική αντίσταση σειράς που μπορεί να έχει ένα μη ιδανικός πυκνωτής. Και το τέταρτο στοιχείο δίνει την επαγωγική αντίσταση που μπορεί να υπάρχει παράλληλα σε έναν μη ιδανικό πυκνωτή. Σχήμα 2.55 Στο επόμενο βήμα τοποθετούμε την είσοδο και την έξοδο του συστήματος. Για να δούμε την τάση σε ένα σημείο πρέπει να συνδέσουμε ένα voltage sensor στο σημείο που θέλουμε να παρατηρούμε την τάση. Το αισθητήριο αυτό τοποθετείται σαν βολτόμετρο στα άκρα του κυκλώματος όπου θέλουμε να παρακολουθούμε την τάση. Ο αισθητήριο έχει 3 ακροδέκτες. Η σύνδεση γίνεται όπως φαίνεται στο σχήμα 2.55. Στον τρίτο ακροδέκτη θα βάλουμε τον παλμογράφο μας. Προσοχή στην τοποθέτηση των γειώσεων. Ας τοποθετήσουμε τώρα την πηγή τάσης. Επιλέγουμε μια πηγή τάσης ελεγχόμενη έτσι ώστε να μπορούμε να βάλουμε όποια μορφή τάσης θέλουμε. Μπορούμε να παρομοιάσουμε την πηγή αυτή με μια πηγή σήματος τάσης. Παρατηρούμε και εδώ τον τρόπο σύνδεσης που είναι όπως μιας γεννήτριας. Ο τρίτος ακροδέκτης και εδώ είναι για να τοποθετήσουμε την είσοδο. Το επόμενο βήμα είναι να τοποθετήσουμε τα σήματα και τον παλμογράφο, Εδώ πρέπει να πούμε το εξής: Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε όλα τα εργαλεία του Simoulink, αλλά δεν μπορούμε να τα συνδέσουμε απευθείας στο κύκλωμα που φτιάξαμε. Αυτό συμβαίνει για τον εξής λόγο: τα σήματα που έχουμε πάνω σε ένα φυσικό σύστημα π.χ τάσεις, ρεύματα δεν είναι της ίδια υφής με τα σήματα του simulink τα οποία είναι μαθηματικές ποσότητες. Θα πρέπει λοιπόν για αν εισάγουμε Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Γιώργος Σούλτης 170
ένα σήμα από το Simulimk στο Simspace να το μετατρέψουμε από μαθηματικό σήμα σε φυσικό. Αυτό γίνεται μέσω του στοιχείου S PS που υπάρχει στις Utilities. Το αντίθετο, δηλαδή για να μετατρέψουμε ένα φυσικό σήμα σε σήμα Simulink πρέπει να πάρουμε το στοιχείο PS S. Το επόμενο λοιπόν βήμα είναι να εφαρμόσουμε τα δύο αυτά συστήματα μετατροπής έτσι ώστε στη συνέχεια να μπορέσουμε να συνδέσουμε στην έξοδο στον παλμογράφο και την είσοδο την γεννήτρια σήματος. Τα δύο αυτά στοιχεία θα τα βρούμε στις βιβλιοθήκες του Simulink Σχήμα 2.56 Στο σχήμα 2.56 Φαίνεται πως έγινε η σύνδεση του παλμογράφου και της γεννήτριας σήματος. Έχουμε τελειώσει; όχι ακόμα μένει κάτι το οποίο είναι διαδικαστικό, αφορά το ίδιο το MATLAB και δεν πρέπει να ξεχνάμε. Θα πρέπει να τοποθετήσουμε σε ένα σημείο του συστήματος το στοιχείο από τα Utilities, που έχει το όνομα System Configuration. Αυτό έχει να κάνει με τις μεθόδους γραμμικοποίησης που χρησιμοποιεί το πρόγραμμα και με άλλες μαθηματικές λεπτομέρειες οι οποίες δε θα μας απασχολήσουν τώρα. Αφού τοποθετήσουμε τον solver πάμε στην επιλογή Simulation Confιguration parameters, οπότε εμφανίζεται η παρακάτω καρτέλα που φαίνεται στο σχήμα 2.57 Είναι σημαντικό πεδίο solver να επιλέξουμε την επιλογή ode15s πρόκειται για υποπρογράμματα τα οποία χρησιμοποιούνται για τα προγράμματα προσομοίωσης που πραγματευόμαστε. Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Γιώργος Σούλτης 171
Σχήμα 2.57 Πριν εκτελέσουμε την προσομοίωση θα ρυθμίσουμε το σήμα της εισόδου. Πατώντας διπλό κλικ πάνω στον signal builder εμφανίζεται η καρτέλα που βλέπουμε το σχήμα 2.58 Σχήμα 2.58 Εκεί μπορούμε να ρυθμίζουμε το είδος του σήματος ακριβώς. Ρυθμίζουμε παλμό και μπορούμε με το ποντίκι να ρυθμίσουμε τους χρόνους του παλμού. Πρέπει να συνηθίσουμε να κάνουμε τις ρυθμίσεις του χρόνου προσομοίωσης, καθώς και τις Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Γιώργος Σούλτης 172
ρυθμίσεις του σήματος, όπως ακριβώς κάνουμε τις ρυθμίσεις σε ένα παλμογράφο έτσι ώστε να δούμε την εικόνα που θέλουμε. Είμαστε έτοιμη να κάνουμε την προσομοίωση. Πατώντας start simulation εκτελούμε την προσομοίωση και βλέπουμε το παλμογράφημα της εξόδου Σχήμα 2.59 Στη συνέχεια θα προσπαθήσουμε να δούμε και το ρεύμα και την τάση μαζί. Βάζουμε το αισθητήριο ρεύματος και συνδέουμε με ένα multiplexer και τα δύο κανάλια στον παλμογράφο. Η συνδεσμολογία δίνεται στο σχήμα 2.60 Σχήμα 2.60 Κάνοντας την προσομοίωση βλέπουμε το παρακάτω παλμογράφημα του σχήματος Παρατηρούμε αν κάνουμε autoscale ότι βλέπουμε την τάση που βλέπαμε και πριν, αλλά όχι το ρεύμα που φαίνεται σαν μια γραμμή. Αυτό μας ξεγελά διότι στην ουσία δεν μπορούμε να δούμε το ρεύμα γιατί οι τιμές είναι πολύ μικρές. Αυτό μπορούμε να Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Γιώργος Σούλτης 173
το δούμε αν αποσυνδέσουμε την τάση από τον παλμογράφο και κάνουμε autoscale στο παλμογράφημα, οπότε βλέπουμε το παλμογράφημα του σχ 2.61/ Αν δούμε τις τιμές του ρεύματος θα δούμε ότι η μέγιστη είναι 6 2.10. Για να είναι λοιπόν δυνατό να δουμε και το ρεύμα και την τάση μαζί θα πρέπει να υποβαθμίσουμε την τάση κατά 6 10 φορές. Αυτό γίνεται αν βάλουμε μια εξασθένηση στο κανάλι της τάσης (κατά αναλογία με τον παλμογράφο) Σχήμα 2.61 Στο σχήμα 2.62 φαίνεται με τον εξασθενητή και στο παλμογράφημα βλέπουμε πλέον και τα δύο κανάλια. Σχήμα 2.62 Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Γιώργος Σούλτης 174
Η εξαγωγή της συνάρτησης μεταφοράς. Το MATLAB με το εργαλείο της Linear Analysis που ήδη έχουμε δει στην προηγούμενη ενότητα, μπορεί να μας δώσει και την συνάρτηση μεταφοράς του κυκλώματος. Αυτό είναι μια εξαιρετική δυνατότητα, σκεφτείτε μόνο πόσες μαθηματικές πράξεις απαιτούνται μέχρι να φτάσουμε στην τελική συνάρτηση μεταφοράς. Για να δούμε τη συνάρτηση μεταφοράς πρέπει πρώτα απ όλα να τοποθετήσουμε τα σημεία Linear input και Linear output, Αυτό έχουμε δει πως γίνεται υπενθυμίζουμε ότι γίνεται με τον εξής τρόπο: Επιλέγουμε το σημείο (γραμμή) στην οποία θέλουμε να βάλουμε input ή output point και στη συνέχεια πατάμε δεξί κλίκ και από το μενού που εμφανίζετε επιλέγουμε Linearization points input point και στη συνέχεια output point. Το αποτέλεσμα φαίνετε στο σχήμα 2.63. Σχήμα 2.63 Στη συνέχεια πάμε στην επιλογή Tools control design Linear analysis. Στην καρτέλα που εμφανίζεται πατάμε το μπουτόν Linearize model. Στο LTI-Viewer θα πάρουμε την έξοδο. Αν στην καρτέλα επιλέξουμε model και στην συνέχεια επιλέξουμε Transfer Function θα δούμε τη συνάρτηση μεταφοράς. Η καρτέλα βρίσκεται στο σχήμα 2.64 Προσοχή Για να δούμε τη συνάρτηση μεταφοράς που βρίσκομαι όταν την υπολογίζουμε μαθηματικά πρέπει τον πυκνωτή να τον θεωρήσουμε ιδανικό, δηλαδή στον πίνακα τιμών του να δώσουμε την ωμική αντίσταση σειράς μηδέν. Αν αφήσουμε την ρύθμιση που αφήσαμε στην παραπάνω ανάλυση η συνάρτηση μεταφοράς θα είναι λίγο διαφορετική και φαίνεται στο σχήμα 2.64 Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Γιώργος Σούλτης 175
Συνάρτηση μεταφοράς με ιδανικό πυκνωτή Συνάρτηση μεταφοράς με πυκνωτή που έχει αντίσταση σειράς Σχήμα 2.64 Προσομοίωση 2 Θα προσομοιώσουμε το κύκλωμα της παραγράφου όπως φαίνεται στο σχήμα 2.65 C R1 L V1 + I R2 + V2 _ Σχήμα 2.65 _ Θα το λύσουμε με τις τιμές που δώσαμε στο παράδειγμα που έχουμε ήδη λύσει δηλαδή: Περίπτωση 1: 6 C 1 F 10 F R 6 1 1M 10 3 L 1mH 10 H R 7 2 10M 10 Περίπτωση 2: Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Γιώργος Σούλτης 176
6 C 1 F 10 F R 2 1 100 10 L 1H R 2 10 Με τον τρόπο που περιγράψαμε πριν δημιουργούμε το κύκλωμα στο MATLAB όπως φαίνεται στο Σχήμα 2.66 Σχήμα 2.66 Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Γιώργος Σούλτης 177
Αν πάρουμε στη συνέχεια την προσομοίωση και την συνάρτηση μεταφοράς θα δούμε ότι είναι ίδια με την συνάρτηση μεταφοράς που υπολογίσαμε και την έξοδο που πήραμε στο MALTLAB στην προηγούμενη παράγραφο. Προσοχή για να πάρουμε την ίδια συνάρτηση μεταφοράς που υπολογίσαμε θα πρέπει να θέσουμε ιδανικές τιμές για τον πυκνωτή και το πηνίο. Στη συνέχεια βάζουμε τις τιμές της δεύτερης περίπτωσης και λαμβάνουμε την προσομοίωση και τη συνάρτηση μεταφοράς. Εδώ θα πρέπει να τονίσουμε ότι πρέπει να κάνουμε άλλες ρυθμίσεις στην συνάρτηση εισόδου, αλλιώς δε θα μπορέσουμε να δούμε τίποτα. Στο σχήμα 2.67 φαίνεται η έξοδος η είσοδος και η συνάρτηση μεταφοράς. Σχήμα 2.67 Προσομοίωση 3 Θα πάμε στο επόμενο παράδειγμα της προηγούμενης ενότητας, δηλαδή στο κύκλωμα του σχήματος 2.67. L R2 + _ v1(t) Είσοδος Ι1 C1 R1 Ι2 C2 v2(t) Έξοδος Σχήμα 2.68 Ι3 R3 R4 Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Γιώργος Σούλτης 178
Σχήμα 2.69 Στο σχήμα 2.69 φαίνεται το κύκλωμα στο οποίο θέλουμε να δούμε την τάση στον πυκνωτή C2 και το ρεύμα στον βρόχο 3. Παρατηρούμε πως βάλαμε τα αισθητήρια ρεύματος και τάσης στα σημεία που χρειάζεται. Προσοχή: η κλίμακα του ρεύματος I3 είναι πολύ μικρότερη από αυτή της τάσης στον πυκνωτή C2, για το λόγο αυτό τοποθετούμε τον εξασθενητή στην έξοδο προς τον παλμογράφο όπου βάζουμε εξασθένιση 6 10 φορές. Στο παρακάτω σχήμα 2.70 δίνουμε το παλμογράφημα και την συνάρτηση μεταφοράς με έξοδο την τάση στον πυκνωτή C2. Έξοδος Τάση Έξοδος Ρεύμα Σχήμα 2.70 Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Γιώργος Σούλτης 179