4-5 Τελευτί ενημέρωση: 8 / / 4 Όλ τ θέμτ της τράπεζς με τις λύσεις τους ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Ππδόπουλος Πνγιώτης
[] ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΜΑ ο _8975 ) Ως γνωστόν το βρύκεντρο ενός τριγώνου πέχει πό κάθε κορυφή τ της ντίστοιχης διμέσου. Εφόσον το Θ είνι βρύκεντρο του τριγώνου, θ ισχύει: ΑΘ ΑΜ κι ΘΜ ΑΜ. Όμως ΔΕ//ΒΓ άρ πό το θεώρημ του Θλή έχουμε: ΑΘ ΔB ΘΜ Συνεπώς: ΑΘ AB AΜ AB AΜ ΑB AΘ AΜ Από το θεώρημ Θλή έχουμε επίσης: ΑB ΑE ΑΘ ΑΜ AΜ EΓ ΘΜ AΓ AΜ ΑB ΑΜ ΑE ΕΓ ΑE ΑΘ ΑE Συνεπώς: ΑE ΑΘ ΘΜ ΕΓ ΘΜ ΕΓ ΕΓ AΜ β) 9 8 6 ΑB 9 ΑE ΕΓ ΑE ΕΓ ΕΓ EΓ ΕΓ 5 ΕΓ ΕΓ 5
[] ΘΕΜΑ ο _94 ) ΔΕ//ΒΓ άρ πό το θεώρημ Θλή έχουμε: β) ΔZ//ΒE άρ πό το θεώρημ Θλή έχουμε: γ) () () ΑE ΑE () ΑΒ ΑΒ ΑZ ΑE ΑZ (4) ΑΒ ΑE ΑΒ Από () κι (4) έχουμε: ΑE ΑZ ΑE ΑE () ΑΒ ΑZ ΑE () ΑΒ
[4] ΘΕΜΑ ο _9 ) Στο τρίγωνο Β εφρμόζουμε το θεώρημ εσωτερικής διχοτόμου κι έχουμε: ΔΕ EB AΔ 9 ΕΒ 7 ΕΒ 6 AB EB 8 β) Στο τρίγωνο ΒΓΔ, ισχύει ΕΖ//ΒΓ, άρ πό το θεώρημ Θλή έχουμε: ΔΖ ΔΕ ΖΓ ΕB ΔΖ 9 6 ΔΖ ΔΖ 9 6 9
[5] ΘΕΜΑ ο _94 ) Α τρόπος : Εφρμόζουμε στο ΑΒΓ θεώρημ εξωτερικής διχοτόμου. EΒ EΓ AB 5 6 5 6 6 4 5 5 Β τρόπος : Εφρμόζουμε στο ΑΒΓ θεώρημ εσωτερικής διχοτόμου. ΔΒ ΔΓ AB 6 6 4 5 β) ΔΕ ΒΕ ΒΔ 5- ΘΕΜΑ 4 ο 4_8994
[6] ) BE AB άρ προφνώς AE AB ME//BN άρ πό το θεώρημ Θλή έχουμε: AM AE MN BE AM MN AE BE AM MN AE AE AM MN AM AM MN () MN Ομοίως, ΔΖ ΔΓ άρ προφνώς ZΓ ΔΓ ΖΝ//ΜΔ άρ πό το θεώρημ Θλή έχουμε: ΓN ΓZ MN ΔZ ΓN MN ΓZ ΔZ ΓN MN ΓΔ ΓΔ Από () κι () προκύπτει ότι: ΑΜ=ΓΝ=ΜΝ ΓN MN ΓN ΓN MN () MN β) =ΑΜ+ΜΝ+ΓΝ =ΜΝ+ΜΝ+ΜΝ =5ΜΝ ΜΝ= 5 AΓ
[7] ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑ ο _9 ) i) Τ τρίγων ΣΒΓ κι ΣΒΔ έχουν: B ΣΓ BΣΔ (κοινή γωνί) Γ BΣ ΣΔΒ (η Γ BΣ είνι γωνί πό χορδή κι εφπτομένη κι η ΣΔΒ είνι εγγε- γρμμένη γωνί που έχουν το ίδιο ντίστοιχο τόξο) ΣB ΣΓ BΓ Άρ ΣΒΓ ΣΔΒ () ΣΔ ΣB ΔΒ ii) Τ τρίγων Σ κι ΣΔΑ έχουν: A ΣΓ AΣΔ (κοινή γωνί) Γ AΣ ΣΔA (η ΣA AΓ ΣΓ Άρ Σ ΣΔΑ () ΣΔ ΔA ΣA β) Από τη σχέση () έχουμε: Γ AΣ είνι γωνί πό χορδή κι εφπτομένη κι η ΣΔ A είνι εγγεγρμμένη γωνί που έχουν το ίδιο ντίστοιχο τόξο) BΓ ΣΓ AΓ ΣΓ (). Από τη σχέση () έχουμε: (4) ΔΒ ΣB ΔA ΣA Επειδή τ εφπτόμεν τμήμτ ΣΑ κι ΣΒ είνι ίσ, πό τις σχέσεις () κι (4) προκύπτει: BΓ ΔΒ AΓ BΔ AΔ BΓ ΔA
[8] ΘΕΜΑ ο _96 ) Τ τρίγων ΒΔΕ κι ΑΒΓ έχουν: B B (κοινή) BΔ E Γ (εντός εκτός κι επί τ υτά γωνίες των Άρ ΒΔΕ ΒΓΑ. πρλλήλων ΔΕ, ) Οπότε: β) Τ τρίγων ΓΔΖ κι ΑΒΓ έχουν: Γ Γ (κοινή) ΒΔ ΔE () ΒΓ ΓΔ Z Β (εντός εκτός κι επί τ υτά γωνίες των πρλλήλων ΔΖ, ΑΒ) Άρ ΓΔΖ ΓΒΑ. Οπότε: ΔZ ΓΔ () ΑB ΒΓ ( ), ( ) Δ E ΔZ ΒΔ ΓΔ ΒΔ ΓΔ ΒΓ γ) ΑB ΒΓ ΒΓ ΒΓ ΒΓ
[9] ΘΕΜΑ ο _94 ) Τ τρίγων ΑΒΓ κι ΔΕΖ έχουν: β) A Z (δεδομέν) B E (δεδομέν) Άρ ΑΒΓ ΖΕΔ AB ΖΕ AΓ ΖΔ ΓB ΕΔ 5 x 45 γ) 5x 585x 45 x x 5 8 5 y 5 5y 55y y y 5 5
[] ΘΕΜΑ ο _95 ) Τ τρίγων ΑΒΓ κι Ε έχουν: β) A A (κοινή) B AΔE (εντός εκτός κι επί τ υτά γωνίες των πρλλήλων ΔΕ κι ΒΓ) Άρ ΑΒΓ Ε AB BΓ ΔE γ) Η νλογί ΑE 4 5 είνι λάθος διότι οι όροι των κλσμάτων δεν ντιστοιχούν στ μήκη των 6 x ομόλογων πλευρών των όμοιων τριγώνων. Η σωστή νλογί είνι: AB BΓ ΔE 9 4 x 4x 54 x 6 54 4 x 7
[] ΘΕΜΑ ο _97 ) Τ τρίγων ΑΒΓ κι ΔΕΖ έχουν: β) A Δ (=9 ) ΑB 4 4 ( ΔZ ΔE ΔZ 8 Άρ ΑΒΓ ΔΕΖ ΑB ΔE BΓ EZ ΔZ ΑB 8 4 κι ) ΔE BΓ BΓ 4 γ) 4EZ ΒΓ ΕΖ ΒΓ EZ ΔZ EZ 4 Άρ η σωστή πάντηση είνι η (iii)
[] ΘΕΜΑ ο _899 ) i. ii. 4 ΔΖ 5 BΓ 6 EΖ 4 5 BΑ 8 ΔE 48 8 B 8 Επομένως: A Δ B E άρ A Γ 8 ΔΖ 6 BΓ EΖ 8 άρ τ τρίγων είνι όμοι BΑ ΔE 4 οπότε τ τρίγων δεν είνι όμοι x y ω β) Αν x, y, ω τ μήκη των πλευρών του τριγώνου ΔΕΖ, με x<y<ω, τότε: AB AΓ ΒΓ x x 8 6 y y 7 ω ω 4 8 E
[] ΘΕΜΑ ο _8984 ) i. 5 5 8 ΔZ ΔE ΑΒ άρ ΔZ ΔΕ ΑΒ 5 Δ Α Άρ ΑΒΓΔΕΖ ii. Δ B Α Γ 95 8 47 8 8 47 E A Άρ ΓΑΒΔΕΖ iii. Δ A ΔΖ) ΔΕ κι AB (διότι ΔΖ ΔE ΑΒ άρ ΑΒΓΔΕΖ β) i. 5 ΕΖ ΒΓ ΔZ ΔΕ ΑΒ ii. EZ AB ΔZ ΒΓ ΔE iii. ΕΖ ΒΓ ΔZ ΔΕ ΑΒ
[4] ΘΕΜΑ ο _899 ) Τ τρίγων ΑΒΓ κι ΕΔΓ έχουν: A E (εντός ενλλάξ γωνίες των πρλλήλων ΑΒ κι ΔΕ) Β ΔΓE (κτκορυφήν) Άρ Β EΓΔ β) Τ τρίγων ΑΒΓ κι ΕΔΓ έχουν: ΒΓ AΓ ΒΓ AΓ (πό τ δεδομέν γνωρίζουμε ότι =) ΔΓ EΓ ΔΓ EΓ Β ΔΓE (κτκορυφήν) Άρ Β EΓΔ
[5] ΘΕΜΑ ο _99 ) Τ τρίγων ΑΕΒ κι ΕΔΓ έχουν: AEB ΔEΓ (κτκορυφήν) EAB ΕΓΔ (εντός ενλλάξ γωνίες των πρλλήλων ΑΒ κι ΓΔ) β) Αποδείχθηκε ότι τ τρίγων ΑΕΒ κι ΔΕΓ έχουν δύο γωνίες ίσες μί προς μί άρ: EA AB EB ΕΑΒ ΕΓΔ () ΕΓ ΓΔ ΕΔ γ) () 8 5 ΓΔ Από τη σχέση () έχουμε: 6 EB 5 EB 6 EB 4 5 Από τη σχέση () έχουμε: 6 8 6 ΓΔ ΓΔ 5 ΓΔ
[6] ΘΕΜΑ ο _9 ) ο ζεύγος τριγώνων : ΚΛΜ κι ΖΔΕ K Δ ( = 9 ) ΚΜ 6 ZΔ 9 ΚΛ ΕΔ 5 άρ Επομένως ΚΛΜ ΖΔΕ ΚΜ ZΔ ΚΛ ΕΔ ο ζεύγος τριγώνων : ΑΒΓ κι ΗΚΛ A 8 4 B 7 K H 65 άρ Λ 8 65 65 5 Τ τρίγων ΑΒΓ κι ΗΚΛ δεν είνι όμοι διότι δεν έχουν τις γωνίες τους μί προς μί ίσες. β) ΚΜ ZΔ ΚΛ ΕΔ MΛ ΕZ
[7] ΘΕΜΑ ο _9 ) Ο λόγος ομοιότητς των πολυγώνων είνι ο λόγος των ντίστοιχων πλευρών τους, άρ: AB λ ΚΛ 5 AE AB x β) x 6 x ΚΡ ΚΛ 8 γ) BΓ ΛM Άρ: ΓΔ MN ΔE ΡN BΓ ΒΓ 4 BΓ 8 ΓΔ ΓΔ 8 ΓΔ 6 9 BΓ ΓΔ ΔE 9 5 ΔE ΔΕ ΔΕ 5 Άρ η περίμετρος του ΑΒΓΔΕ είνι: ΑΒ+ΒΓ+ΓΔ+ΔΕ+ΕΑ = +8+6++ = 46
[8] ΘΕΜΑ ο _9 ) Τ τρίγων ΟΑΕ κι ΟΒΔ έχουν: O O (Οδ διχοτόμος) A Δ ( = 9 ) Άρ ΟΑΕ ΟΔΒ β) Λόγω της ομοιότητς των τριγώνων έχουμε: Άρ: OA OΔ OE OB OA OΔ OE ΟΑ ΟΑ OA OΔ ΟΔ ΟΕ OE OB AE ΔB
[9] ΘΕΜΑ ο _9 ) Τ τρίγων ΑΒΔ κι ΑΕΖ έχουν: ΑΕ ΑZ (δεδομέν) ΑB A A (κοινή γωνί) Επομένως ΑΒΔ ΑΕΖ. Άρ: EZ BΔ ΑΕ ΑZ ΑB () κι AEZ AΔΒ AEZ AΔΒ EZ// ΔΒ () (διότι οι εντός εκτός κι επί τ υτά γωνίες είνι ίσες) Τ τρίγων ΓΘΗ κι ΒΓΔ έχουν: ΓH ΓΘ (δεδομέν) ΓB ΓΔ Γ Γ (κοινή γωνί) Επομένως ΓΘΗ ΒΓΔ. Άρ: ΘΗ ΒΔ ΓH ΓB ΓΘ ΓΔ () κι ΓΘΗ ΓΔΒ ΓΘΗ ΓΔΒ ΘΗ // BΔ (4) (διότι οι εντός εκτός κι επί τ υτά γωνίες είνι ίσες) Από () κι (4) έχουμε: ΕΖ//ΔΒ//ΘΗ.
[] β) Από () κι () έχουμε: EZ ΒΔ EZ BΔ ΘΗ ΒΔ ΘH ΒΔ άρ ΒΔ ΕΖ ΘΗ γ) Από τ προηγούμεν ερωτήμτ, δείξμε ότι ΕΖ//ΘΗ κι ΕΖ=ΘΗ, άρ ΕΖΗΘ είνι πρλληλόγρμμο. ΘΕΜΑ ο _95 ) Τ τρίγων Ε κι ΑΒΓ έχουν: β) AE (δεδομέν) ΑΒ AΓ A A (κοινή) Άρ Ε ΑΒΓ. ΔΕ ΒΓ ΑΒ Εφόσον ισχύει AE ΔΕ. Επομένως: ΒΓ ΔΕ () AΓ ΒΓ AE, άρ πό το θεώρημ του Θλή προκύπτει ότι ΔΕ//ΒΓ. ΑΒ AΓ Συνεπώς το τετράπλευρο ΔΕΖΒ είνι πρλληλόγρμμο κι ισχύει: ΔΕ=ΒΖ () Από () κι () έχουμε: ΒΓ ΔΕ ΒΓ BZ
[] ΘΕΜΑ ο _96 ) Α τρόπος : Τ τρίγων ΟΑΒ κι ΟΓΔ έχουν: ABO ΟΔΓ (εντός ενλλάξ γωνίες των πρλλήλων ΑΒ, ΓΔ που τέμνοντι πό την ΒΔ) AOB ΓOΔ (κτκορυφήν) ΒΟ ΟΑ 9 Άρ ΒΟΑ ΔΟΓ ΟΔ 4 OΔ 7. ΔΟ OΓ ΔΟ 6 Β τρόπος : ΑΒ//ΓΔ άρ πό το θεώρημ Θλή έχουμε: ΒΟ ΟA ΔO OΓ β) Α τρόπος : ΒΟ ΔΟ ΟΑ OΓ 9 ΔΟ Τ τρίγων Ο κι ΟΒΜ έχουν: ΟΔ 4 OΔ 7 6 A ΔO ΟBM (εντός ενλλάξ γωνίες των πρλλήλων, ΒΜ που τέμνοντι πό την ΒΔ) AO Δ BOM (κτκορυφήν) ΔΟ ΟΑ 7 Άρ ΔΟΑ ΒΟΜ 7ΟM 8 OM 4. BΟ OM 9 OM Β τρόπος : ΒΜ// άρ πό το θεώρημ Θλή έχουμε: ΔΟ ΟA BΟ OM ΔΟ BΟ ΟΑ OM 7 7ΟM 8 OM 4 9 OM
[] ΘΕΜΑ 4 ο 4_8976 ) i) Τ τρίγων Γ κι ΒΕΓ έχουν: Γ Γ (κοινή) κι ΒΕΓ AΔΓ (= 9 ) Άρ ΓΕΒ ΓΔΑ ii) Αν τ τρίγων ΑΒΔ κι ΑΒΕ ήτν όμοι, τότε ο ΑΒ λόγος ομοιότητάς τους θ ήτν λ AB οπότε τ τρίγων θ ήτν ίσ. Τότε θ έπρεπε ν ισχύει A B ΑΒΓ ισοσκελές (άτοπο εφόσον το τρίγωνο ΑΒΓ δίνετι ότι είνι σκληνό). Άρ τ τρίγων ΑΒΔ κι ΑΒΕ δεν μπορεί ν είνι όμοι. β) Αν το ΑΒΓ είνι ισοσκελές με ΑΒ=, τότε θ ισχύει έχουν: A B, άρ τ τρίγων ΑΒΔ κι ΑΒΕ θ A B (ABΓ ισοσκελές) κι ΒΕ A AΔB (= 9 ). Οπότε: ΑΒΔ ΑΒΕ
[] ΘΕΜΑ 4 ο 4_9 ) i) Τ τρίγων ΒΔΕ κι ΑΒΜ έχουν: B B (κοινή γωνί) B ΔE BAM (εντός εκτός κι επί τ υτά γωνίες των πρλλήλων ΔΕ κι ΑΜ) Άρ ΒΔΕ ΒΑΜ ΔE BΕ BΔ () AM ΒM ΑΒ ii) Τ τρίγων ΓΖΕ κι Μ έχουν: Γ Γ (κοινή γωνί) Γ EZ ΓMA (εντός εκτός κι επί τ υτά γωνίες των πρλλήλων ΖΕ κι ΑΜ) EZ ΓΕ ΓZ Άρ ΓΕΖ ΓΜΑ () AM ΓM ΓA β) Από τη σχέση () έχουμε: Από τη σχέση () έχουμε: ΔE BΕ () AM ΒM EZ ΓΕ (4) AM ΓM Προσθέτοντς κτά μέλη τις σχέσεις () κι (4) έχουμε: ΔE AM EZ AM BΕ ΒM ΓΕ ΓM ΔE EZ BΕ ΓΕ ΔE EZ BΓ ΔE EZ BM AM ΒM AM ΒM AM ΒM BMMΓ ΔE EZ ΔE EZ AM (στθερό ποτέλεσμ) AM
[4] ΘΕΜΑ 4 ο 4_9 ) Τ τρίγων ΕΜΛ κι EΓΝ έχουν: Λ Γ (=9 ) ΜΕΛ ΝΕΓ (η γωνί με την οποί χτυπάει η μπάλ σε μι πλευρά ισούτι με τη γωνί με την οποί πομκρύνετι)
[5] Άρ ΛΕΜ ΓΕΝ ΛE ΛM ΛE, 75 ΛE ΓΕ, 75, 75, 75 ΓE ΓN ΓE ΓE ΓE, 75, 75 ΓΕ, 75 ΓΕ ΓΕ, 75 β) Θεωρούμε ότι το σημείο Κ στο οποίο θ προσκρούσει η μπάλ στην πλευρά ΓΔ, είνι εσωτερικό σημείο του τμήμτος ΔΝ. Γι ν κτφέρει ο πίκτης Π ν στείλει την μπάλ στη τρύπ Β, κολουθώντς τη διδρομή ΜΚΒ, θ πρέπει ν ισχύει Μ KΠ BKΓ διότι η γωνί με την οποί χτυπάει η μπάλ σε μι πλευρά ισούτι με τη γωνί με την οποί πό- μκρύνετι. Τότε τ τρίγων ΜΚΠ κι ΒΚΓ έχουν: Π Γ (=9 ) Μ KΠ BKΓ (δικιολογήθηκε) ΠΚ ΠM, 75 KN, 75, 75 KN Άρ ΠΚΜ ΓΚΒ, 75 ΓΚ ΓB KN KN, 75 KN, 75, 75KN ΚN, 75KN 75, KN KN Άρ το σημείο Κ θ πρέπει ν τυτιστεί με το σημείο Ν. Τότε όμως η μπάλ θ έμπινε στην τρύπ που βρίσκετι στη θέση Ν κι όχι στη θέση Β που ισχυρίζετι ο πίκτης Π. Ομοίως πρέπει ν εξετάσουμε ν το σημείο Κ στο οποίο θ προσκρούσει η μπάλ στην πλευρά ΓΔ, είνι εξωτερικό σημείο του τμήμτος ΔΝ. Τότε τ τρίγων ΜΚΠ κι ΒΚΓ ποδεικνύετι με τον ίδιο τρόπο ότι είνι όμοι κι θ ισχύει: ΠΚ ΠM, 75 KN, 75, 75 KN, 75 ΓΚ ΓB KN KN, 75 KN, 75, 75KN ΚN, 75KN 75, KN KN Τ συμπεράσμτ είνι ίδι με την προηγούμενη περίπτωση. Άρ ο ισχυρισμός του πίκτη Π είνι σωστός.
[6] ΘΕΜΑ 4 ο 4_96 ) Τ τρίγων ΑΒΓ κι Ε έχουν: A A (κοινή) ΑΕ AE ( AE κι ΑΒ Άρ ΑΒΓ Ε AΔ A Δ ΑB ) ΑΒ Συνεπώς οι γωνίες που είνι πένντι πό τις ομόλογες πλευρές είνι ίσες μετξύ τους. Άρ: AE Δ AΓΒ β) Εφόσον ποδείξμε ότι ΑΒΓ Ε, προκύπτει ότι ισχύει η σχέση: γ) Το τμήμ ΒΓ θ ήτν πράλληλο στο ΔΕ, ν ίσχυε γωνίες). Γνωρίζουμε όμως ότι AE EΔ ΓΒ AE Δ AΒΓ (εντός εκτός κι επί τ υτά AE Δ AΓΒ. Άρ έπρεπε ν ισχύει A ΒΓ AΓΒ, δηλ. το τρίγωνο ΑΒΓ ν είνι ισοσκελές. Το τρίγωνο ΑΒΓ είνι γνωστό πό τ δεδομέν ότι είνι σκληνό, επομένως τ τμήμτ ΒΓ κι ΔΕ δεν γίνετι ν είνι πράλληλ.
[7] ΘΕΜΑ 4 ο 4_9 ) ) Τ τρίγων Κ κι ΚΒΓ έχουν: ΑΚ Δ BΚΓ (κτκορυφήν) Α ΔΚ ΓBΚ (εντός ενλλάξ των πρλλήλων κι ΒΓ που τέμνοντι πό την ΔΒ) Άρ ΚΔΑ ΚΒΓ
[8] β) Τ τρίγων ΚΔΖ κι ΔΑΒ έχουν: Κ ZΔ BAΔ ( = 9 ) Δ Δ (κοινή γωνί) Άρ ΖΔΚ Β Επομένως: ZΔ ΔK ZK () ΔB ΑB ZΔ ZK ZΔ 4 ΖΔ 8 ΑB 8 4 ΖΔ ΖΔ,8 m 5 Άρ η πόστση του σημείου Κ πό το έδφος είνι: ΖΑ = ΖΔ =,8 =, m γ) Από το ( ) ερώτημ γνωρίζουμε ότι: KΔ ΚΔΑ ΚΒΓ ΚΒ Έχουμε λοιπόν: KΔ ΚΒ AΔ ΓΒ AΔ ΓΒ KA ΚΓ KΔ ΚΒ Από τις σχέσεις () κι () έχουμε: KΔ ΚΒ ΚΔ ZΔ ΔK ZΔ 4 5ZΔ 4 ΖΔ, 8 m ΔB 5 5 Επομένως, νεξρτήτως της πόστσης ΑΒ των δύο στήλων, η πόστση του σημείου Κ πό το έδφος είνι: ΖΑ = ΖΔ =,8 =, m KΔ ΒΔ 5 ()
[9] ΘΕΜΑ 4 ο 4_97 ) β) ΑE AB δηλ. ισχύει η νλογί του θεωρήμτος του Θλή, άρ ΔΕ//ΒΓ. AB AΓ ΑE AΓ AΒ AΒ ΔB Στο τρίγωνο ΑΒΖ, ΔΕ//ΑΖ, άρ έχουμε: γ) Τ τρίγων Ε κι ABΓ έχουν: Δ AΕ ΒAΓ (κοινή γωνί) ZE ΔΒ ΕΒ ΔΒ ZE ΕΒ ZE ΕΒ ZE A ΔΕ ΑBΓ (εντός εκτός κι επί τ υτά γωνίες των πρλλήλων ΔΕ, ΒΓ που τέμνοντι Άρ Ε ΑΒΓ πό την ΑΒ) AΔ AΔ AB άρ AB AΔ ΔΕ ΔΕ ΒΓ ΒΓ ΔΕ ΔΕ () AB BΓ ΒΓ Δ B Τ τρίγων ΑΒΖ κι ΒΔΕ έχουν: AB AB ΔΒ EB
[] ABZ ΔBE (κοινή γωνί) B ΑZ BΔΕ (εντός εκτός κι επί τ υτά γωνίες των πρλλήλων ΔΕ, ΑΖ που τέμνοντι Άρ ΒΑΖ ΒΔΕ πό την ΑΒ) Από () κι () έχουμε: BA ΒΔ AZ ΔE δ) Τ τρίγων Η κι ΓΔΕ έχουν: A ΓH ΔΓE (κοινή γωνί) AZ ΔE AZ ΔΕ AZ ΒΓ ΑΖ ΒΓ AZ () ΒΓ ΓΑ H ΓΕΔ (εντός εκτός κι επί τ υτά γωνίες των πρλλήλων ΔΕ, ε που τέμνοντι πό την ) AH Άρ ΓΑΗ ΓΕΔ ΔΕ Από () κι () προκύπτει ότι AΓ EΓ AH ΔΕ AH AH ΔΕ AZ AH AZ Γνωρίζουμε ότι ε//βγ, άρ τ σημεί Β, Γ ισπέχουν πό την ευθεί (ε). Συνεπώς τ τρίγων ΒΗΖ κι ΑΒΖ έχουν το ίδιο ύψος υ. AZ (ABZ) AZ υ υ ( BHZ) HZ υ AZ υ AZ υ Άρ (ΒΗΖ) = (ΑΒΖ) ()
[] ΘΕΜΑ 4 ο 4_99 ) Στο τρίγωνο Δ, ΜΚ//ΓΔ, άρ εφρμόζουμε θεώρημ Θλή: β) AM AK ΑK ΑK AM AΔ KΓ ΑK Τ τρίγων ΓΚΝ κι ΑΒΓ έχουν: KΓ ΚΓΝ Β (κοινή γωνί) ΓΝ K ΓΒA (εντός εκτός κι επί τ υτά γωνίες των πρλλήλων ΚΝ, ΑΒ που KΝ Άρ: ΓΝΚ ΓΒΑ AΒ ( ) K ΓK Ν AΒ ΓA KΝ AΒ () τέμνοντι πό την ΒΓ) ΓK ΓA γ) Τ τρίγων ΑΜΚ κι Γ έχουν: ΓN ΓB Κ AM Δ (κοινή γωνί) KΓ KΓ ()
[] AMK AΔΓ (εντός εκτός κι επί τ υτά γωνίες των πρλλήλων ΚΜ, ΓΔ που AM Άρ: ΑΜΚ Γ AΔ AM AΔ MK ΔΓ MK ΔΓ () KΝ AB Επομένως: τέμνοντι πό την ) MK ΔΓ AK AΓ MK ΓΔ MN MK KN ΓΔ AB δ) Τ τρπέζι δεν είνι όμοι, διότι δεν έχουν τις ντίστοιχες πλευρές τους νάλογες: ΑΜ ΒN ΑΒ, AΔ ΒΓ ΑΒ κι ΜΝ ΓΔ ΓΔ AB ΓΔ AB ΓΔ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο _8997
[] ) Ονομάζουμε Ε το σημείο στο οποίο βρίσκετι το κουτί. Τ τρίγων Ε κι ΑΒΓ έχουν: A A (κοινή γωνί) E ΑBΓ (=9 ) Άρ Ε ΑΒΓ ΑE ΔΕ () AΓ ΒΓ ΑΒ Επομένως πό τη σχέση () έχουμε: ΑE AΓ ΔΕ s y s y 5s s y 5s y y y s ΒΓ 5 5 4 4 β) i) Αν y= m τότε y s s 8 m 4 ii) Εφρμόζουμε το Πυθγόρειο θεώρημ στο Ε κι έχουμε: ΔΕ AE 8 4 64 6 6 5 m ΘΕΜΑ ο _9 ) 8 64 β γ 6 5 Άρ > β + γ 6 5 6 A 9. Δηλδή το τρίγωνο ΑΒΓ είνι μβλυγώνιο. β) A 9, άρ εφρμόζουμε στο ΑΒΓ το θεώρημ μβλείς γωνίς. ΒΓ ΑΒ 64 6 5 6 AΔ 64 6 A Δ 4
[4] Εφόσον A 9, προκύπτει ότι B 9, άρ εφρμόζουμε θεώρημ οξείς γωνίς. ΑΒ ΒΓ ΒΓ BE 6 5 64 8 BE 6 896 BE 6 BE 89 66 BE 5 BE 5 6 ΘΕΜΑ ο _95 ) Η είνι διχοτόμος της γωνίς A, άρ εφρμόζουμε το θεώρημ εσωτερικής διχοτόμου στο β) ΑΒΓ. ΒΔ ΔΓ ΒΓ ΑΒ AΒ 5 6 AΒ 9 6 ΑΒ 4 4 5 6 ΒΓ ΑΒ Επομένως πό το ντίστροφο του Πυθγορείου θεωρήμτος προκύπτει ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είνι ορθογώνιο με A = 9.
[5] ΘΕΜΑ ο _98 ) Φέρνουμε το ύψος ΑΖ. Το ΑΒΓΔ είνι ισοσκελές τρπέζιο άρ τ ορθογώνι τρίγων Ζ κι ΒΕΓ είνι ίσ (ΑΖ=ΒΕ κι =ΒΓ), οπότε: 7 ΔΖ=ΕΓ= Εφρμόζουμε Πυθγόρειο θεώρημ στο ορθογώνιο ΒΕΓ κι έχουμε: ΒΕ ΕΓ ΒΓ ΒΕ 4 6 ΒΕ ΒΕ ΒΕ β) ΑΒΓ ΑΒΓΔ Δ 7 7 7 ΘΕΜΑ ο _98
[6] ) Πρτηρούμε ότι: i) 4 < 5 < 4+ άρ ισχύει η τριγωνική νισότητ, οπότε οι ριθμοί, 4, 5 μπορούν ν θεωρηθούν μήκη πλευρών τριγώνου. Επιπλέον ισχύει πλευρών ορθογωνίου τριγώνου. 5 4, άρ ποτελούν μήκη ii) 4λλ < 5λ < 4λ+λ άρ ισχύει η τριγωνική νισότητ, οπότε οι ριθμοί λ, 4λ, 5λ μπορούν ν θεωρηθούν μήκη πλευρών τριγώνου. Επιπλέον ισχύει λ 4 5λ λ, άρ ποτελούν μήκη πλευρών ορθογωνίου τριγώνου. iii) 54 < 6 < 5+ 4 άρ ισχύει η τριγωνική νισότητ, οπότε οι ριθμοί 4, 5, 6 μπορούν ν θεωρηθούν μήκη πλευρών τριγώνου. Όμως 6 5 4, άρ δεν ποτελούν μήκη πλευρών ορθογωνίου τριγώνου. β) Εφρμόζουμε Πυθγόρειο θεώρημ: 5 7 7 x 5 7 7 85 5 x x 5 x 7 5 9 x 7 x 5 7 7 x 7 6 x 7 4 x 7 4 x Άρ το x είνι κέριο πολλπλάσιο του 4. 7 4 x 7 4 ΘΕΜΑ ο _94 ) ΒΓ ΓΔ 64 BΓ ΒΓ ΒΓ 5 β) Εφρμόζουμε Πυθγόρειο θεώρημ στ ΑΒΓ: γ) ΑΒ ΒΓ ΑΒ 64 ΑΒ 64 ΑΒ 6 ΑΒ 6 5 8 ΔΒ ΒΓ ΔΓ 5 5 5
[7] ΔΓ ΔΒ 4 5 8 576 5 5 5 576 5 ΘΕΜΑ ο _94 γ β 49 γ 6 ) μ β 98 γ 6 4 4 γ 986 γ 5 γ 5 γ 5 β) β 49 άρ γ 6 5 4 Άρ το ΑΒΓ είνι μβλυγώνιο. β γ A 9 ΘΕΜΑ ο _94
[8] ) Εφρμόζουμε το Πυθγόρειο θεώρημ στο Γ: β) ΔΓ ΔΓ 44 44 ΔΓ 6 ΔΓ 6 5 5 44 56 4 ΔΓ ΔΓ 5 5 5 44 44 6 ΔΒ ΔΓ ΔB ΔB 5 5 5 6 5 56 6 ΔΓ 5 5 9 ΔB 5 9 6 γ) (ΑΒΓ) ΒΓ AΔ 5 6 τ.μ. 5 5 5 5 ΘΕΜΑ ο _945 ) Στο ορθογώνιο ΑΒΔ: 6 ΒΔ ΒΔ συν ΒΔ 6 ΒΔ 6 6 6 AΔ AΔ ημ AΔ 6 6 6 AΔ ΔΓ = ΒΓ ΒΔ = 9 = 6 Πυθγόρειο στο Γ: β) ΔΓ 7 6 ΒΓ 8 άρ ΒΓ ΑΒ ΑΒ 6 6 99 6 7 A 9 Συνεπώς το ΑΒΓ, έχει τη μεγλύτερη γωνί του οξεί, άρ είνι οξυγώνιο. γ) Αποδείχθηκε στο ( ) ερώτημ ότι ΒΔ=
[9] ΘΕΜΑ 4 ο 4_96 R ) ΚΜ ΛΜ ρ Το ΚΛΜ είνι ισοσκελές (ΚΛ=ΛΜ) άρ η διάμεσος ΟΜ (ΟΚ=ΟΛ) θ είνι κι ύψος του τριγώνου. Δηλ. ΟΜΚΛ. Γνωρίζουμε ότι η ευθεί της δικέντρου δύο εφπτόμενων κύκλων διέρχετι πό το σημείο επφής τους. Άρ η προέκτση της ΟΜ, διέρχετι πό το σημείο επφής Ν των κύκλων (Μ, ρ) κι (Ο, R). OM ON MN R - ρ β) Εφρμόζουμε Πυθγόρειο θεώρημ στο ορθογώνιο ΟΜΚ κι έχουμε: OM OK MK R 4 R R - ρ ρ
[4] R R R R R R ρ Rρ ρ ρ R ρ Rρ Rρ ρ 4 4 4 4 R Rρ R R R R ρ R ρ ρ R ρ ΘΕΜΑ 4 ο 4_99 ) Οι ευθείες ΔΕ κι ΑΒ τέμνοντι στο σημείο Ζ. ΔΓ // ΑΖ ΔΓ ΕΖ άρ ΑΖ ΕΖ Εφρμόζουμε Πυθγόρειο θεώρημ στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΖΕ: AE AZ ZE AE 7 4 AE 49 576 AE 65 AE 5 km β) Εφρμόζουμε Πυθγόρειο θεώρημ στο ορθογώνιο τρίγωνο ΓΔΕ: ΓΕ ΓΔ ΔΕ ΓΕ 696 ΓΕ ΓΕ 5 km
[4] Εφρμόζουμε Πυθγόρειο θεώρημ στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ: ΑB ΒΓ 9 9 AΓ 9 km Πρτηρούμε ότι ΑΕ AΓ + ΓΕ επομένως τ σημεί Α, Γ, Ε δεν είνι συνευθεικά. ΘΕΜΑ 4 ο 4_9 β γ β γ 4 4 ) μ μ μ 4 μ μ 4 4 4 μ μ 4 β) Οι χορδές ΑΡ κι ΒΓ τέμνοντι στο σημείο Μ, άρ: MA MΡ ΜΒ ΜΓ MΡ MΡ 4 6 MΡ MΡ 4 γ) Φέρνουμε τ ύψη ΑΕ κι ΡΖ των τριγώνων ΑΒΓ κι ΜΓΡ ντίστοιχ. Τ τρίγων ΑΜΕ κι ΜΖΡ έχουν: E Z ( = 9 ) EMA ZMΡ ( κτκορυφήν ) 4 MΡ
[4] EM Άρ: ΕΜΑ ΖΜΡ ZM MA MΡ EA ZΡ EA MA EA 6 Επομένως: EA EA ZΡ MΡ ZΡ ZΡ ZΡ 6 BΓ AE ( ) ( ΑΒΓ) (ΑΒΓ) MΓ AE (ΑΒΓ) AE (ΑΒΓ) (MΡΓ) (MΡΓ) MΓ ZΡ (MΡΓ) ZΡ (MΡΓ) MΓ ZΡ (ΑΒΓ) 6 (ABΓ) 6(MΡΓ) (MΡΓ) () ΘΕΜΑ 4 ο 4_95 ) Οι χορδές κι ΒΔ τέμνοντι στο σημείο Μ άρ: ΔB ΔB MB ΜΔ MA ΜΓ MA ΜΓ ΔB MA ΜΓ ΔB 4MA ΜΓ 4 β) Στο τρίγωνο ΑΒΔ, ΑΜ είνι διάμεσος άρ εφρμόζουμε το ο θεώρημ διμέσων: ΑΒ ( ) ΑΒ ( ) ΔΒ ΑΜ ΑΜ () 4ΜΑ MΓ ΑΒ ΑΜ ΜΓ ΑΒ ΑΜ ΑΒ ΑΜ ΑΜ ΜΑ MΓ ()
[4] γ) Στο τρίγωνο ΓΒΔ, ΓΜ είνι διάμεσος άρ εφρμόζουμε το ο θεώρημ διμέσων: ΓΒ ( ) ΓΒ ΓΔ ΓΔ ( ) ΔΒ ΓΜ ΓΜ 4ΜΑ MΓ ΓΒ ΓΔ ΓΜ ΜA ΓΒ ΓΔ ΓΜ ΓΒ ΓΔ ΓΜ ΓΜ Προσθέτοντς κτά μέλη τις σχέσεις () κι () έχουμε: ΑΒ ΑΒ ΒΓ ΑΒ ΒΓ ΒΓ ΓΔ ΓΔ ΔΑ ΓΔ ΔΑ ΔΑ AM ΓM AΓ ΑM ΓM AΓ ΜΑ MΓ () ΘΕΜΑ 4 ο 4_97 ) Α τρόπος Τ τρίγων ΑΕΗ κι Γ έχουν: AEH AΔΓ ( = 9 ) EAH ΔAΓ (κοινή γωνί) AE Άρ ΕΑΗ Δ AΔ AH AΓ EH ΓΔ AE AH AH ΑΕ () AΔ AΓ Β τρόπος Το τετράπλευρο ΓΔΗΕ έχει Δ E 9 9 8, άρ είνι εγγράψιμο. Συνεπώς τ τμήμτ ΗΔ, ΕΓ είνι χορδές κύκλου που τέμνοντι στο Α κι θ ισχύει: AH ΑΕ
[44] β) 4 4 5 4 5 4 γ β γ β γ β μ 6 5 γ β γ β γ β Άρ: 9 A γ β γ β γ) Γνωρίζουμε ότι: γ β γ β () Αποδείξμε επίσης ότι 9 A, οπότε εφρμόζουμε το θεώρημ οξείς γωνίς στο ΑΒΓ κι έχουμε: H Α ΑΕ γ β ΑΕ AB ΒΓ ) ( ), ( ΑH ΑH ΑH ΘΕΜΑ 4 ο 4_99
[45] ) i) ii) 8 6 ΑΒΓ B 7 7 ΑΒΔ ΔBΓ 6 Τ τρίγων ΒΔΓ κι ΑΒΓ έχουν: ΔΒΓ A ( = 6 ) Γ Γ (κοινή γωνί) Άρ ΒΓΔ AΓΒ ΒΓ Η γωνί Συνεπώς Ομοίως, ΓΔ ΒΓ ΓB ΓΔ () ΒΔΓ είνι εξωτερική στο τρίγωνο ΑΒΔ, άρ: ΒΔΓ A AΒΔ 6 6 7 ΒΔΓ Γ άρ το τρίγωνο ΒΔΓ είνι ισοσκελές με BΓ=ΒΔ (). ΔΒ A A 6 άρ το τρίγωνο ΑΒΔ είνι ισοσκελές με =ΒΔ (). Από () κι () προκύπτει ότι =ΒΓ. Επομένως η σχέση () γίνετι: ΒΓ ΓΔ ΓΔ β) Στο ΑΒΓ, A 9, άρ εφρμόζουμε το θεώρημ οξείς γωνίς: BΓ ΑΒ ΑΚ BΓ ΔΚ ΔΓ B Γ ΔΚ BΓ ΒΓ ΔΓ AΓ - - Δ=+4=5 = 5 Άρ = Αποδείξμε ότι ΓΔ 5 5 5 πορρίπτετι ΓΔ επομένως έχουμε: ΓΔ ΔΓ ΔΓ 5 ΔΓ ΔΓ 5 5 4
[46] ΘΕΜΑ 4 ο 4_8985 ) i) Εφόσον ΑΒΓΔ κι Α είνι μέσο του θ είνι διάμετρος του κύκλου, οπότε εγγεγρμμένη που βίνει σε ημικύκλιο) Στο ορθογώνιο Β έχουμε: ΓΔ, η χορδή ΑΒ A ΓΒ 9 (ως AM ΑΒ ii) Τ τρίγων ΑΜΓ κι ΑΒΓ έχουν: ΓΑΜ ΓΑB (κοινή γωνί) ΜΓΑ ΓBA (εγγεγρμμένες που βίνουν σε ίσ τόξ) Επομένως: Μ ΑΒΓ ΑΒ ΑM ΑΜ AB β) ΑΜ AB ΑΒ ΑM Τ τρίγων ΑΜΓ κι ΑΒΓ έχουν: ΑM (ποδείχθηκε) κι ΓΑΜ ΓΑ B (κοινή γωνί) άρ είνι όμοι. ΑΒ Συνεπώς οι ντίστοιχες γωνίες των τριγώνων θ είνι ίσες, οπότε: ΜΓΑ ΓBA AB AΓ άρ το σημείο Α είνι μέσο του τόξου ΓΔ.
[47] ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΜΒΑ ΘΕΜΑ ο _98 ) Τ τρίγων ΑΒΔ κι ΟΒΓ έχουν: B B (κοινή γωνί) A ΔB ΟΓB ( είνι ορθές ως εγγεγρμμένες σε Άρ ΒΔΑ ΒΓΟ ημικύκλιο) ΒΔ AΔ AB ΒΔ AΔ OB ΒΔ AΔ β) ΒΓ OΓ OB ΒΓ OΓ OB ΒΓ OΓ Επομένως: ΒΔ AΔ ΒΔ BΓ () κι OΓ () ΒΓ OΓ ( ), ( ) ΒΔ ΟΓ BΓ ΟΓ BΓ (Β) = 4 4 (OΓΒ)
[48] ΘΕΜΑ 4 ο 4_9 ) Γνωρίζουμε ότι οι κτίνες που κτλήγουν στ σημεί επφής είνι κάθετες στις εφπτομένες. Άρ: ΟΑΑΒ κι ΚΒΑΒ Συνεπώς: OA AB KB AB MN AB άρ ΟΑ // ΚΒ // ΜΝ Τ τρίγων ΚΛΜ κι ΟΚΑ έχουν: MK Λ OKA (κοινή γωνί) KM Λ KOA (εντός εκτός κι επί τ υτά γωνίες των πρλλήλων ΜΛ, ΟΑ που τέμνοντι πό την ΟΚ)
[49] KM Άρ: ΚΜΛ ΚΟΑ KO β β ΜΛ ΜΛ AO KΛ AK β β β β MΛ β MΛ β β KΛ β AK AΛ β AΛ AΛ β AΛ β β β) β AK β AK β AK AK β AK β AΛ () AK β Τ τρίγων ΑΛΝ κι ΒΚΑ έχουν: NA Λ KAB (κοινή γωνί) AN Λ KBA ( = 9 ) ( ) AN NΛ AΛ AN Άρ: ΑΝΛ ΑΒΚ AB BK AK AB NΛ β β Επομένως: β γ) Τ τρίγων ΑΛΝ κι ΚΜΛ έχουν Άρ: ΜΛ KΛ AK NΛ β β β ΛΝ β ΛΝ β ΑΛΝ KΛM (κτκορυφήν). θεώρημθλή ΑΛΝ ΑΛ ΛΝ MΛ ΛΝ ΑΛ OM π E ΚΜΛ ΛΜ ΛΚ ΛΚ MΚ β β π β E ΘΕΜΑ 4 ο 4_94
[5] ) Τ τρίγων ΑΜΛ κι ΑΒΓ έχουν τη γωνί A κοινή, άρ: (AMΛ) (ΑΒΓ) AM ΑΛ AB AB AB β) Τ τρίγων BMZ κι ΑΒΓ έχουν τη γωνί B κοινή, άρ: (BMZ) (ΑΒΓ) BM BZ AB AB BΓ AB BΓ 6 (AMΛ), άρ (ΑΜΛ) (ΑΒΓ) (ΑΒΓ) (BMZ), άρ (BΜZ) (ΑΒΓ) (ΑΒΓ) 6 6 γ) Τ τρίγων ΓΖΛ κι ΑΒΓ έχουν τη γωνί Γ κοινή, άρ: (ΓZΛ) (ΑΒΓ) Επομένως: ΒΓ ΓZ ΓΛ ΒΓ AΓ ΒΓ AΓ 9 (ΓZΛ), άρ (ΓZΛ) (ΑΒΓ) (ΑΒΓ) 9 9 ΜΖΛ ΑBΓ ΑΜΛ BΜZ ΓZΛ ΑBΓ ΑBΓ ΑBΓ ΑBΓ 8 6 4 5 6 9 8 8 8 8 8 5 8 Άρ: ΜΖΛ ΑΒΓ AMZΛ ΑΒΓ ΑBΓ ΑBΓ ΑBΓ AMΛ MZΛ ΑΒΓ ΜΖΛ 5 ΑΒΓ 8 5 8 ΑΒΓ ABΓ ABΓ 5 8 6 ABΓ 9 5 8 6 8 5 8 ΑΒΓ 8