Επαναληπτικό ιαγώνισµα Φυσικής Κατύθυνσης 014 ΘΕΜΑ 1 ο Να γράψτ στο φύλλο απαντήσών σας τον αριθµό καθµιάς από τις ακόλουθς ηµιτλίς προτάσις 1-4 και δίπλα της το γράµµα που αντιστοιχί στο σωστό συµπλήρωµά της. 1. Σ µια φθίνουσα µηχανική ταλάντωση που η δύναµη απόσβσης ίναι της µορφής F=-bυ όπου b= η σταθρά απόσβσης και υ= η ταχύτητα του ταλαντωτή : α. η σταθρά απόσβσης ξαρτάται από τις ιδιότητς του µέσου, το σχήµα και το µέγθος του ταλαντωτή. β. η πρίοδος ξαρτάται από το πλάτος. γ. η νέργιά της παραµένι σταθρή. δ. ο λόγος δύο διαδοχικών µέγιστων αποµακρύνσων προς την ίδια κατύθυνση λαττώνται κθτικά µ το χρόνο. (Μονάδς 5). Όταν ακτίνα µονοχρωµατικού φωτός πρνάι από τον αέρα(η α =1) στο γυαλί το µήκος κύµατός της λαττώνται κατά 5% της αρχικής τιµής του. α. ο δίκτης διάθλασης του γυαλιού ίναι η= 3. β. για την κρίσιµη γωνία κατά τη µτάβαση αυτού του µονοχρωµατικού φωτός από το γυαλί στον 3 αέρα ισχύι ηµθcrit =. 4 γ. η συχνότητά του στο γυαλί µιώνται. δ. η ταχύτητα διάδοσης του µονοχρωµατικού φωτός στο γυαλί ίναι µγαλύτρη από τον αέρα. (Μονάδς 5) 3. Τα ηλκτροµαγνητικά κύµατα : α. δηµιουργούνται από σταθρά ηλκτρικά και µαγνητικά πδία. β. ίναι διαµήκη κύµατα. γ. έχουν τα διανύσµατα της έντασης του ηλκτρικού και του µαγνητικού πδίου κάθτα. δ. υπακούουν στην αρχή της παλληλίας µόνο όταν διαδίδονται στο κνό. (Μονάδς 5) 4. Η έννοια της κρούσης στο µικρόκοσµο πριλαµβάνι φαινόµνα όπου: α. τα σωµατίδια όταν πλησιάζουν οι αλληλπιδράσις τους ίναι πολύ ασθνίς. β. η χρονική διάρκια µταβολής της κινητικής κατάστασης των σωµατιδίων ίναι πολύ µγάλη. γ. τα σωµατίδια έρχονται σ παφή για πολύ µικρό χρόνο. δ. τα σωµατίδια χωρίς να έρχονται σ παφή αλληλπιδρούν µ µγάλς δυνάµις για πολύ µικρό χρόνο. (Μονάδς 5) 5. Να χαρακτηρίστ τις προτάσις που ακολουθούν, γράφοντας στο ττράδιό σας, δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχί σ κάθ πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση ίναι σωστή ή τη λέξη Λάθος, αν η πρόταση ίναι λανθασµένη. α. Στο σύστηµα ανάρτησης νός αυτοκινήτου η διάρκια των αποσβννύµνων ταλαντώσων που κτλί λαττώνται καθώς τα αµορτισέρ παλιώνουν και φθίρονται. β. Από την σύνθση των ξισώσων δύο αρµονικών ταλαντώσων της ίδιας διύθυνσης, της ίδιας θέσης ισορροπίας, της ίδιας συχνότητας και του ιδίου πλάτους προκύπτι κίνηση που παρουσιάζι διακροτήµατα. γ. Τα ραδιοκύµατα ανακλώνται σ µταλλικές πιφάνις. δ. Καθώς οι αστέρς ντρονίων συρρικνώνονται µ την πίδραση σωτρικών δυνάµων η στροφορµή τους µιώνται. 1
. Αν η συνισταµένη των δυνάµων που πιδρούν σ ένα αρχικά ακίνητο σώµα ίναι µηδέν, τότ αυτό δν µπορί να στρέφται. (Μονάδς 5) ΘΕΜΑ ο Α 1. Στο σχήµα α ικονίζται κρύσταλλος V χαλαζία (quartz) πολύ µικρού πάχους A σχήµατος ορθογωνίου παραλληλογράµµου ο οποίος µ την πίδραση ηλκτρικού πδίου έχι τθί σ κατακόρυφη αρµονική ταλάντωση η οποία διαδόθηκ ως αρµονικό d V C L R V κύµα κατά µήκος του κρυστάλλου. Το κύµα (Σχήµα α) (Σχήµα β) ανακλάστηκ στα άκρα του κρυστάλλου και στον κρύσταλλο δηµιουργήθηκ µόνιµη κατάσταση στάσιµου κύµατος. Στο στιγµιότυπο που φαίνται στο Σχήµα α τα σηµία Α και αντιστοιχούν σ διαδοχικές θέσις µέγιστης κατακόρυφης παραµόρφωσης(κάµψης) που κινούνται µ αντίθτς ταχύτητς νώ το σηµίο Ο παραµένι διαρκώς ακίνητο και η οριζόντια απόσταση των -3 σηµίων Α και ίναι Α=d= 5 10 m.ο ταλαντούµνος κρύσταλλος αναπτύσσι στα άκρα του ναλλασσόµνη αρµονική τάση και συµπριφέρται ως κύκλωµα R-L-C σ σιρά που κτλί ξαναγκασµένη ηλκτρική ταλάντωση και ίναι σ κατάσταση συντονισµού. Το ισοδύναµο κύκλωµα που ικονίζται στο Σχήµα β πριλαµβάνι πυκνωτή συνολικής χωρητικότητας 1-7 C= 10 F, ιδανικό πηνίο συντλστού αυτπαγωγής L, ωµική αντίσταση R και τον 64 π κρύσταλλο χαλαζία σ ρόλο πηγής ναλλασσόµνης τάσης. Αν η ταχύτητα διάδοσης των κυµάτων που δηµιουργούνται στον κρύσταλλο ίναι υ=300m/s, ο συντλστής αυτπαγωγής του ιδανικού πηνίου L ίναι: α. 0,4Η β. 0,Η γ. 0,1Η (Μονάδς 3) Α. Να δικαιολογήστ την απάντησή σας. (Μονάδς 5) Β 1.Οµογνής τροχός µάζας Μ=1Κg και ακτίνας R=0,5m ηρµί στο οριζόντιο δάπδο. Στον τροχό αρχίζι να πιδρά ένα ζύγος οριζόντιων δυνάµων µέτρου F=6Ν, όπως στο σχήµα και µοχλοβραχίονα d= R.Το ζύγος δυνάµων παράγι έργο F d.cm F µ ρυθµό που αυξάνται σταθρά κατά 6 J/s.Αν η ροπή αδρανίας του τροχού ως προς άξονα που διέρχται από το κέντρο µάζας του και ίναι κάθτος στο 1 πίπδό του ίναι I cm = ΜR,ο τροχός α. πριστρέφται χωρίς να µτατοπίζται. β. κυλίται χωρίς να ολισθαίνι. γ. µτατοπίζται χωρίς να πριστρέφται. (Μονάδς 3) Β. Να δικαιολογήστ την απάντησή σας. (Μονάδς 6)
1. Στην ικόνα φαίνται µια αρτηρία (κοινή καρωτίδα), την οποία θωρούµ σταθρής Μ τ κυκλικής διατοµής, κατά τη διάρκια νός α τ ρ ο υπρηχογραφήµατος που γίνται µ βάση το π έ α ς φαινόµνο Doppler. Ο µτατροπέας νέργιας κπέµπι υπέρηχους συχνότητας f s =5MHz σ διύθυνση που σχηµατίζι γωνία ˆθ = 60 µ τη διύθυνση κίνησης των αιµοσφαιρίων η οποία υ υχ ίναι σταθρή καθώς η ροή του αίµατος ίναι στρωτή. Οι υπέρηχοι αφού ανακλαστούν στα ρυθρά αιµοσφαίρια πιστρέφουν στον µτατροπέα µ συχνότητα f α. Η διαφορά δ υ 60 f = fs f Α ονοµάζται µτατόπιση Doppler και 0 στην πρίπτωση αυτή ίναι f=300hz. Στον πόµνο πίνακα δίνονται τιµές της διαµέτρου δ της αρτηρίας καθώς και οι φυσιολογικές τιµές της ταχύτητας ροής όγκου αίµατος V/t από µια διατοµή της αρτηρίας οι οποίς αντιστοιχούν σ τρις διαφορτικές ηλικιακές οµάδς. Ηλικία ιάµτρος αρτηρίας δ(m) Φυσιολογικές τιµές ταχύτητας ροής όγκου αίµατος V/t (m 3 /s) Νογέννητο -3 ηµρών 4 10-3 1,1 10-6 -,1 10-6 Ενήλικας 1-40 τών 7 10-3 6,5 10-6 - 9,5 10-6 Ενήλικας 41-60 τών 7,5 10-3 6 10-6 - 8,5 10-6 Αν η ταχύτητα των υπρήχων στο αίµα ίναι υ υχ =1500m/s και π=3,14, το υπρηχογράφηµα αντιστοιχί σ φυσιολογική ικόνα αρτηρίας: α. Νογέννητου -3 ηµρών β. Ενήλικα 1-40 τών γ. Ενήλικα 41-60 τών (Μονάδς 3). Να δικαιολογήστ την απάντησή σας. (Μονάδς 6) ΘΕΜΑ 3ο Στο σχήµα απικονίζται το στιγµιότυπο που αντιστοιχί σ ηλκτρικό πδίο του οποίου η ένταση ίναι κάθτη σ κάθ σηµίο του άξονα Οx που βρίσκται στο κνό. Τα διανύσµατα αντιστοιχούν στην ένταση του ηλκτρικού πδίο στις θέσις (x =0,08m) και (x =0,1m) και για το ρυθµό µταβολής της αριθµητικής τιµής της έντασης στις θέσις και τη συγκκριµένη d d χρονική στιγµή ισχύι αντίστοιχα. () > 0 και ( ) < 0 (V/m) -3 10-3 - 10 6 9 1 Ζ - x (10 )m 3
Α. Χρησιµοποιώντας το δοθέν στιγµιότυπο και τις πληροφορίς για την ένταση του ηλκτρικού πδίου στα σηµία και να δικαιολογήστ την πιλογή σας µταξύ των πόµνων τριών κδοχών: α. Το στιγµιότυπο αντιστοιχί σ γκάρσιο αρµονικό ηλκτρικό κύµα που διαδίδται προς τα δξιά (θτική φορά) κατά µήκος του άξονα Οx. β. Το στιγµιότυπο αντιστοιχί σ γκάρσιο αρµονικό ηλκτρικό κύµα που διαδίδται προς τα αριστρά (αρνητική φορά) κατά µήκος του άξονα Οx. γ. Το στιγµιότυπο αντιστοιχί σ στάσιµο ηλκτρικό κύµα και στις θέσις κοιλιών το πλάτος της ηλκτρικής ταλάντωσης ίναι µγαλύτρο από 10. m Β. Αν για τη θέση Ο (x=0) δίνται ότι τη χρονική στιγµή t=0 : max( ) Ο = V 3 4 10 m 3 V (Μονάδς 7) d (Ο) ( Ο ) = 0, > 0 και, να γράψτ την ξίσωση της έντασης του ηλκτρικού πδίου για τις διάφορς θέσις του άξονα Οx σ συνάρτηση µ το χρόνο = (x, t). (Μονάδς 6). Να γράψτ τις ξισώσις της έντασης του ηλκτρικού πδίου σ συνάρτηση µ το χρόνο στις θέσις και. (Μονάδς 6). Να προσδιορίστ τις χρονικές στιγµές στις οποίς η διαφορά των στιγµιαίων ντάσων του ηλκτρικού πδίου στα σηµία Ζ και γίνται κατ απόλυτη τιµή µέγιστη. (Μονάδς 6) ίνται η ταχύτητα του φωτός στο κνό m. 8 c = 3 10 s ΘΕΜΑ 4ο k l 0 d Ο οδοντωτός τροχός του σχήµατος µάζας m=1kg και ακτίνας R θωρούµ ότι έχι συγκντρωµένη τη µάζα του στην πριφέριά του. Το κέντρο µάζας Ο του τροχού έχι συνδθί µ το ένα άκρο οριζόντιου ιδανικού λατηρίου σταθράς k=100ν/m το άλλο άκρο του οποίου ίναι ακλόνητα στρωµένο στον κατακόρυφο τοίχο. Το τµήµα του δαπέδου δξιά του σηµίου ίναι λίο, νώ αριστρά του το δάπδο παρουσιάζι σοχές και ξοχές σ µήκος ίσο µ το φυσικό µήκος του λατηρίου l. Εκτρέπουµ τον τροχό προς τα δξιά κατά d=0,4m και στη συνέχια αφήνουµ το 0 σύστηµα λύθρο. Ο τροχός κατά την πρόσκρουσή του στην αρχή του ανώµαλου τµήµατος του 4
δαπέδου και σ όλη τη διάρκια της κίνησης του σ αυτό δέχται οριζόντια δύναµη τριβής. Αµέσως µτά την πρόσκρουσή του και σ όλη τη διάρκια της κίνησής του πί του ανώµαλου τµήµατος του δαπέδου ο τροχός κυλίται χωρίς να ολισθαίνι. Α 1. Να υπολογίστ την ταχύτητα του τροχού όταν αυτός κινούµνος για πρώτη φορά προς τα αριστρά φθάνι στο σηµίο. (Μονάδς 3) Α. Να υπολογίστ την ταχύτητα του τροχού µτά την πρόσκρουσή του στο σηµίο του ανώµαλου τµήµατος του δαπέδου και την απόσταση από τον τοίχο στην οποία φθάνι ο τροχός όταν για πρώτη φορά κινίται προς τα αριστρά. (Μονάδς 6) Α 3. Να υπολογίστ το (%) ποσοστό της απώλιας της κινητικής νέργιας του τροχού κατά την πρόσκρουσή του στο σηµίο του ανώµαλου τµήµατος του δαπέδου. (Μονάδς 4) Β. Καθώς ο τροχός αποµακρύνται από τον τοίχο να υπολογίστ τη µέγιστη απόσταση την οποία διανύι πάνω στο λίο τµήµα του δαπέδου. (Μονάδς 5). Να µλτήστ την κίνηση του τροχού όταν αυτός αρχίζι να κινίται για δύτρη φορά προς τα αριστρά. Ποιά η τιµή της στροφορµής του τροχού λόγω πριστροφής πρί το cm(ιδιοπριστροφής) όταν αυτός βρθί στην τλική κινητική κατάστασή του; (Μονάδς 7) ίνται η ροπή αδρανίας του τροχού ως προς τον άξονα πριστροφής του Ι cm =mr. 5
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο 1. α. β 3. γ 4. δ 5.α. Λάθος β. Λάθος γ. Σωστό δ. Λάθος. Λάθος ΘΕΜΑ ο Α 1. γ Α. Το ισοδύναµο κύκλωµα κτλί ξαναγκασµένη ταλάντωση και βρίσκται σ κατάσταση συντονισµού. Εποµένως, η συχνότητα της ξαναγκασµένης ταλάντωσης ίναι ίση µ την 1 ιδιοσυχνότητά του f = f0 = (1). Η συχνότητα µ την οποία ταλαντώνονται τα διάφορα π LC σηµία του κρύσταλλου χαλαζία όταν σ αυτόν έχι δηµιουργηθί µόνιµη κατάσταση στάσιµου κύµατος ίναι ίση µ την ιδιοσυχνότητα f 0 του κυκλώµατος. Τα σηµία Α και µέγιστης παραµόρφωσης αποτλούν διαδοχικές κοιλίς του στάσιµου κύµατος νώ το σηµίο Ο αποτλί δσµό, ποµένως η απόσταση d ίναι ίση µ το µισό του µήκους κύµατος, λ d= λ= d λ= 10 m (). Από τη θµλιώδη σχέση της κυµατικής υ 300 4 υ = f λ f = f f 3 10 Hz λ = 10 = (3). (3) 7 1 8 1 8 64 7 3 4 10 Από την (1): f0 = 3 10 = 3 10 = 10 L= 8 4π LC 1-7 4π 10 L 4L 4 3 10 64 π L= 0,1H Β 1. β Β. Υποθέτουµ ότι στον τροχό πιδρά µόνο το ζύγος δυνάµων. Ο ρυθµός µ τον οποίο το ζύγος δυνάµων παράγι έργο ίναι: dwτζ R dpτζ R = Pτ = τω ζ P γων ζ τ = F ω = F α ζ dp τζ F d αγων = αγων = 6 αγων = 4rad / s (1) FR 6 0,5 Από την (1) προκύπτι ότι ο τροχός πριστρέφται µ σταθρή πιτάχυνση δηλαδή η πριστροφική του κίνηση ίναι οµαλά πιταχυνόµνη. Από το Θµλιώδη Νόµο της Μηχανικής για την πριστροφική κίνηση του τροχού µπορούµ να λέγξουµ άν η ροπή του ζύγους ίναι και η µοναδική που πιδρά στον τροχό: (1) R 1 dpτζ F dpτζ 6 Σ τ(cm) = Icm αγων F = MR = () = 6 18= 6άτοπο. FR M 1 Άρα στον τροχό πρέπι να πιδρά και άλλη ροπή αντίρροπη αυτής του ζύγους ώστ να µιωθί η συνολική ροπή στο πρώτο µέλος της σχέσης (). Η ροπή τ T F αυτή δν µπορί παρά να ίναι η ροπή της τριβής που F d τ ζ δέχται ο τροχός από το δάπδο, η οποία θα έχι φορά a cm αγων προς τα δξιά. Μ την παρουσία της τριβής ο τροχός αναπτύσσι a γρ a cmτ µταφορική κίνηση και από το Θµλιώδη Νόµο της Μηχανικής και θτική τη φορά της κίνησης: T Σ F= Macm F F+ T= Ma cm T= Macm a cm = (3) M F α τ ζ γων 6
Από το Θµλιώδη Νόµο της Μηχανικής για την πριστροφική κίνηση του τροχού και θωρώντας θτικές τις ροπές που στρέφουν αντίθτα από τη φορά πριστροφής των δικτών του ρολογιού: (1) R 1 dpτζ F M dpτζ Σ τ(cm) = Icm αγων F TR= MR T= FR F dp τζ F M 6 1 T= T= 6 T= N (4) F 6 (4) Από (3) a cm = m / s. Στο σηµίο παφής του τροχού µ το δάπδο η γραµµική(πιτρόχιος) πιτάχυνση ίναι (1) a γρ =α γων R a = 4 0,5 a = m / s γρ γρ, δηλαδή στο σηµίο η a γρ και η a cmίναι αντίρροπς και έχουν το ίδιο µέτρο, άρα ο τροχός κυλίται χωρίς να ολισθαίνι και η δύναµη τριβής ίναι στατική τριβή. 1. α. δ 60 0 ο υσυν60 υ υ υχ Ο µτατροπέας νέργιας (ηχοβολέας ή transducer) κπέµπι υπέρηχους συχνότητας f s. Επιδή τα ρυθρά αιµοσφαίρια κινούνται αποµακρυνόµνα από τον µτατροπέα µ ταχύτητα υσυνθ κατά τη διύθυνση διάδοσής των υπρήχων, οι υπέρηχοι προσπίπτουν στα ρυθρά αιµοσφαίρια µ συχνότητα (υυx -υσυνθ) f π = fs (1) υυx όπου υ υx = η ταχύτητα των υπρήχων και υ= η ταχύτητα κίνησης των ρυθρών αιµοσφαιρίων. Οι υπέρηχοι ανακλώνται στα αιµοσφαίρια και πιστρέφουν στο µτατροπέα µ συχνότητα (1) υυx f α = f π (υ +υσυνθ) (υυx -υσυνθ) υυx f α = fs υ (υ +υσυνθ) f (υυx -υσυνθ) α= f s () υx υx υx (υ υx +υσυνθ) Η µτατόπιση Doppler (ονοµάζται και συχνότητα Doppler ) ίναι: f = fs fα () (υυx -υσυνθ) fs υσυνθ f υυx f = fs f s f = υ= (3) (υ υx + υσυνθ) υυx + υσυνθ (fs f ) συνθ Ο όγκος αίµατος που διαρρέι µία διατοµή µβαδού S της αρτηρίας σ χρόνο t ίναι ο όγκος νός κυλίνδρου µβαδού βάσης S και ύψους x =υ t : (3) δ V δ V=S x V=π υ t =π υ 4 t 4 V δ =π t 4 f υυx V δ =π (fs - f) συνθ t 4 (300 1500) V δ - =π 9 10 6 ο ( 5 10-300) συν60 t 4 Αν στην τλυταία σχέση αντικαταστήσουµ τις τιµές της διαµέτρου της αρτηρίας για κάθ µία ηλικιακή οµάδα και µ βάση τις φυσιολογικές τιµές ταχύτητας ροής όγκου αίµατος του πίνακα έχουµ: 7
V 4 10 Νογέννητο -3 ηµρών : = 3,14 t 4 V 7 10 Ενήλικας 1-40 τών : = 3,14 t 4-6 - -6 - V 7, 5 10 Ενήλικας 41-60 τών : = 3,14 t 4 Άρα η ξέταση αφορά νογέννητο -3 ηµρών. -6 9 10 = 1,13 10 m 3 /s φυσιολογική τιµή -6 9 10 = 3,461 10 m 3 /s µη φυσιολογική τιµή -6 - -6 9 10 = 3,974 10 m 3 /s µη φυσιολογική τιµή Σχόλιο Στη βιβλιογραφία η σχέση που δίνται συνήθως για τη µτατόπιση Doppler ίναι : fs υσυνθ f = δηλαδή αµλίται ο όρος υσυνθ σ σχέση µ τον όρο υ υx διότι η ταχύτητα ροής υυx του αίµατος ίναι πολύ µικρότρη από την ταχύτητα των υπρήχων (στην παρούσα φαρµογή 0,09m/s 1500 m/s). Εδώ ο όρος διατηρήθηκ για λόγους συνέπιας µ όσα διδάσκονται στην ανάκλαση ήχων σ κινούµνο µπόδιο. ΘΕΜΑ 3ο Α. Αν το στιγµιότυπο αντιστοιχούσ σ γκάρσιο Η/Μ κύµα που διαδίδται προς τα δξιά θα έπρπ d ( ) > 0. Αν το στιγµιότυπο αντιστοιχούσ σ γκάρσιο Η/Μ κύµα που διαδίδται προς ( ) < 0. d τα αριστρά θα έπρπ Άρα το στιγµιότυπο αντιστοιχί σ στάσιµο ηλκτρικό κύµα και πιδή υπάρχουν σηµία του άξονα Οx στα οποία d 0, οι ικονιζόµνς στιγµιαίς τιµές δν µπορί να αντιστοιχούν σ τιµές πλάτους της έντασης (ακρότατς τιµές). Οι µέγιστς στιγµιαίς τιµές στο στιγµιότυπο ίναι τιµές έντασης ηλκτρικού πδίου σ θέσις κοιλιών, αλλά δν αντιστοιχούν στο πλάτος της ηλκτρικής όχι µόνο στις θέσις και, αλλά σ κάθ θέση κτός ταλάντωσης των κοιλιών, διότι d 0 από τις θέσις των δσµών, αφού σ όσς θέσις υπάρχι ηλκτρική ταλάντωση η ένταση του ηλκτρικού πδίου παίρνι τη µέγιστη (απόλυτη) τιµή της ταυτόχρονα. d (Ο) Β. Εφόσον για τη θέση Ο (x=0) δίνται ότι για t=0: ( Ο ) = 0, > 0 η ξίσωση του στάσιµου πx ηλκτρικού κύµατος θα ίναι της µορφής = συν ηµπft (1), όπου = η µέγιστη max λ max τιµή της έντασης του καθνός από τα δύο τρέχοντα γκάρσια αρµονικά Η/Μ κύµατα που συνέβαλαν διαδιδόµνα σ αντίθτς φορές κατά µήκος του άξονα Οx, λ= το µήκος κύµατος των τρχόντων γκάρσιων αρµονικών κυµάτων και f=η συχνότητα των τρχόντων Η/Μ αρµονικών κυµάτων. Από το δοθέν στιγµιότυπο προκύπτι ότι λ=0,1m και από τη θµλιώδη σχέση της κυµατικής: 8
8 c 3 10 8 c=λf f = f = f = 5 10 Η z (). λ 0,1 Στη θέση Ο (x = 0) η ξίσωση (1) δίνι = ηµπft, άρα max 3 4 10 V / m max = (3). () πx 50πx Από (1) = = (3) 0,1 3. Μ αντικατάσταση στη σχέση (4) έχουµ: 50πx 3 ( ) 9 3 50π(0,08) 9 = 4 10 συν ηµ5π10 t = 4 10 συν ηµ5π10 t ( ) 3 ( ) 3 3 9 = 10 ηµ5π10 t (S. Ι ) ( ) 50πx 3 ( ) 9 3 50π(0,1) 9 = 4 10 συν ηµ5π10 t = 4 10 συν ηµ5π10 t ( ) 3 ( ) 3 3 9 = 10 ηµ5π10 t (S. Ι ) (5) ( ). Η έκφραση της έντασης του ηλκτρικού πδίου στο σηµίο Ζ ίναι : 50πx 3 ( Ζ) 9 3 50π(0, 09) 9 = 4 10 συν ηµ5π10 t = 4 10 συν ηµ5π10 t ( Ζ) 3 ( Ζ) 3 = 0 (6), δηλαδή το σηµίο Ζ ίναι δσµός. Ζ ( ) 3 8 3 9 4 10 συν ηµπt5 10 4 10 συν ηµ5π10 t (S.I) Η απόλυτη τιµή της διαφοράς των στιγµιαίων ντάσων στα σηµία Ζ και ίναι (5) ( Ζ) ( ) 3 9 3 9 = = 0 10 ηµ5π10 t = 10 ηµ5π10 t (6) Η διαφορά των στιγµιαίων τιµών της έντασης του ηλκτρικού πδίου στα σηµία Ζ και µγιστοποιίται όταν 9 ηµ5π10 t =1 και ίναι Οι ζητούµνς χρονικές στιγµές ίναι: 10 3 = V/m. max 9 π κ ηµ5π10 t = 1 ηµ5π10 t=± 1 5π10 t= κπ + t= 10 + 10 5-10 t = (κ +1)10 s µ κ=0,1,... 9 9-9 -10 ΘΕΜΑ 4ο A 1. Ο τροχός αφήνται λύθρος στη θέση και κτλί µταφορική κίνηση µ την πίδραση της βαρυτικής δύναµης W, της κάθτης αντίδρασης του λίου δαπέδου N και της δύναµης του λατηρίου F λ µέχρι να φθάσι στο σηµίο µ ταχύτητα µέτρου υ όπου προσκρούι και συµπλέκται µ το δάπδο. Από την Αρχή ιατήρησης της Ενέργιας : 1 1 k 100 m U =Κ kd = mυ υ = d υ = 0,4 υ = 4 (1) λ( ) m 1 s (4). 9
k Θ.Φ.Μ ω α γων l 0 υ Τ d F λ N W (Σχήµα α) A. Η δύναµη τριβής T που δέχται ο τροχός κατά την πρόσκρουσή του στο σηµίο του ανώµαλου δαπέδου όπως φαίνται στο Σχήµα α έχι φορά προς τα δξιά και πιβραδύνι τη µταφορική κίνηση του τροχού, ταυτόχρονα µ τη ροπή της ως προς το κέντρο µάζας του τροχού αρχίζι να πριστρέφι τον τροχό ο οποίος αρχίζι να κτλί πιταχυνόµνη στροφική κίνηση µ φορά αντίθτη από τη φορά πριστροφής των δικτών του ρολογιού. Από την γνικυµένη µορφή του Θµλιώδους Νόµου της Μηχανικής για την µταφορική κίνηση του τροχού και θωρώντας θτική την φορά της κίνησης του τροχού έχουµ: dp ΣFξ = T = mυ mυ T = mυ mυ ( ) υ η ταχύτητα του κέντρου µάζας του τροχού µτά το τέλος της πρόσκρουσης. όπου Από την γνικυµένη µορφή του Θµλιώδους Νόµου της Μηχανικής για την πριστροφική κίνηση και µοναδική δύναµη που να προσδίδι ροπή στον τροχό ως προς το κέντρο µάζας του τη δύναµη της τριβής T αν θωρήσουµ ως θτική την φορά των ροπών που στρέφουν αντίθτα από τη φορά πριστροφής των δικτών του ρολογιού έχουµ: dl (cm ) Στξ(cm) = TR = Icmω 0 TR = mr ω (3).Η γωνιακή ταχύτητα που αποκτά ο τροχός στο τέλος της πρόσκρουσης ίναι αυτή µ την οποία αρχίζι να κυλίται πί του ανώµαλου τµήµατος του δαπέδου, άρα συνδέται µ την ταχύτητα του κέντρου µάζας αµέσως µτά το τέλος υ της πρόσκρουσης µ την σχέση υ =ωr ω= (4). R Από (3) (4) T = mυ (5).Από τις () και (5) : υ mυ = mυ mυ υ = (1) m υ = (6) s Κατά τη διάρκια της προς τα αριστρά κίνησης του τροχού πιδή η µταφορική κίνηση πιβραδύνται από τη δράση της δύναµης του λατηρίου πρέπι να πιβραδύνται και η πριστροφική κίνηση του τροχού για να κυλίται χωρίς να ολισθαίνι, ποµένως αλλάζι η φορά της δύναµης στατικής τριβής Τ στ και γίνται όπως φαίνται στο Σχήµα β δηλαδή προς τα αριστρά. 10
Ο τροχός φθάνι σ απόσταση y από τον τοίχο (Θέση Ζ) όπου στιγµιαία ακινητοποιίται. Από την Αρχή ιατήρησης της Ενέργιας : υ Κ +Κ = + Ι = + = = R (4) 1 1 1 1 1 1 1 µ στ Uλ(Ζ) mυ cmω ky mυ mr ky mυ ky (6) υ (1) 1 m k d m = ky y = d y = = 0, m 4 k m (7). Θ.Φ.Μ k υ y ω α γων k F λ Τ στ Ζ (Σχήµα β) A 3. Η απώλια κινητικής νέργιας κατά την πρόσκρουση ίναι ( Α.. Ε) 1 1 1 1 1 Κ = mυ + Ι cmω mυ Κ = ky mυ και το (%) ποσοστό της απώλιας της Κινητικής νέργιας ίναι: 1 1 Κ ( mυ ky ) ky π(%) = 100% π(%) = 100% π(%) = (1 )100% 1 1 mυ mυ mυ (1) ky 100 0, π(%) = (1 )100% π(%) = (1 (7) )100% π(%) = 50%. mυ 1 4 B. Στη θέση Ζ ο τροχός ακινητοποιίται στιγµιαία και αµέσως µτά αρχίζι να κυλίται χωρίς να ολισθαίνι προς τα δξιά, για να συµβί αυτό πρέπι η στατική τριβή να έχι πάλι τη φορά που φαίνται στο Σχήµα γ δηλαδή προς τα αριστρά, ώστ να πριστρέφι και πιταχύνι τον τροχό, κατά τη φορά πριστροφής των δικτών του ρολογιού,αφού αυτός καθώς πιστρέφι προς τη θέση πιταχύνι τη µταφορική κίνησή του µ την πίδραση της συνισταµένης των F λ και Τ στ. Όταν ο τροχός πράσι από τη θέση και βρθί στο λίο τµήµα του δαπέδου δν υπάρχι τριβή και η 11
γωνιακή του ταχύτητα καθώς και η Κινητική του νέργια λόγω πριστροφικής κίνησης διατηρούνται σταθρές νώ η δύναµη του λατηρίου πιβραδύνι τη µταφορική κίνησή του και τλικά φθάνι σ απόσταση z από τη θέση φυσικού µήκους του λατηρίου (θέση Η), όπως φαίνται στο Σχήµα δ, συνχίζοντας την πριστροφική του κίνηση. Από την Αρχή ιατήρησης της Ενέργιας : U =Κ + U λ( ) στ λ(η) (4) kd =m υ 4 1 ky = 1 ω 1 kz cm Ι + (4) υ ky = mr R + kz (1) kd =m kd 4m + kz z = d 0,m = (8) + kz (7) kd =m υ + kz Θ.Φ.Μ k y F λ ω α γων Τ στ Ζ (Σχήµα γ) Θ.Φ.Μ k F λ ω Η. Ο τροχός καθώς κινίται για η φορά προς τα αριστρά πιστρέφι προς τη θέση πιταχυνόµνος µ την πίδραση της δύναµης του λατηρίου. Η Κινητική Ενέργια λόγω µταφορικής κίνησης αυξάνται, η Κινητική Ενέργια λόγω πριστροφικής κίνησης διατηρίται σταθρή καθώς δν υπάρχι ροπή που να µταβάλλι την γωνιακή ταχύτητα και η υναµική Ενέργια του λατηρίου µιώνται. Από την Αρχή ιατήρησης της Ενέργιας µπορούµ να υπολογίσουµ την ταχύτητα υ του κέντρου µάζας του τροχού όταν αυτός προσκρούι για δύτρη φορά στο ανώµαλο τµήµα του δαπέδου: U λ(h) + Κ στ = Κστ + Κµ υ υ = = m s (9) 1 kz = 1 mυ z (Σχήµα δ) (4) k 1 d 4 = 1 mυ υ = k d m 4 υ = d k (1) m 1
ια την η πρόσκρουση του τροχού στο ανώµαλο τµήµα του δαπέδου η οποία γίνται µ ταχύτητα κέντρου µάζας υποδιπλάσια αυτής της 1 ης πρόσκρουσης φαρµόζουµ πάλι τον Θµλιώδη Νόµο της Μηχανικής για την µταφορική και θωρώντας θτική την φορά της κίνησης του τροχού έχουµ: dp υ ΣF T = mυ mυ T = mυ mυ T = m mυ (9) ξ = όπου υ η ταχύτητα του κέντρου µάζας του τροχού µτά το τέλος της ης πρόσκρουσης. Όµως, η γωνιακή ταχύτητα που απέκτησ ο τροχός µτά την 1 η πρόσκρουσή του στο σηµίο διατηρήθηκ σταθρή κατά την κίνησή του στο ανώµαλο τµήµα του δαπέδου φόσον η στατική τριβή δν µταβάλλι την νέργια του συστήµατος τροχός- λατήριο όπως και στην κίνησή του στο λίο δάπδο όπου δν υπάρχι ροπή πί του τροχού, άρα η τιµή της ίναι ίδια µ αυτήν που υπολογίστηκ από τη σχέση (4). Από την γνικυµένη µορφή του Θµλιώδους Νόµου της Μηχανικής για την πριστροφική κίνηση και µοναδική δύναµη που να προσδίδι ροπή στον τροχό ως προς το κέντρο µάζας του τη δύναµη της τριβής T,όπως φαίνται στο Σχήµα, αν θωρήσουµ ως θτική την φορά των ροπών που στρέφουν αντίθτα από τη φορά πριστροφής των δικτών του ρολογιού έχουµ: dl (cm ) Στξ(cm) = TR = L ( Icmω) TR = I cmω ( Icmω) T = mrω + mrω (11) όπου L και ω οι αλγβρικές τιµές της στροφορµής και της γωνιακής ταχύτητας αντίστοιχα λόγω πριστροφής πρί το cm µτά το τέλος της ης πρόσκρουσης. (11) T = mrω + mυ Από (4) (6) υ T = mrω + m (1) (10) Από τις (10) και (1) : υ m mυ υ υ = mrω + m = ω R υ ω =!! R Θ.Φ.Μ ω L cm k υ Τ Η τλυταία σχέση µας δίχνι ότι η γωνιακή ταχύτητα αλλάζι φορά, αλλά για να συµβί αυτό πρέπι προηγουµένως να µηδνιστί, άρα να µηδνιστί και η µταφορική ταχύτητα, ω = 0 και υ = 0, δηλαδή να µηδνιστί η ολική Κινητική νέργιά του, µ την απουσία ροπής αυτή θα (Σχήµα ) υ ίναι και η τλική κατάσταση του τροχού. Η σχέση ω = αποδίχθηκ ανξάρτητα από το R 13
«ποιό» και «πόσο» ίναι το, ποµένως ισχύι από την πρώτη στιγµή που αρχίζι η η πρόσκρουση. Το σηµίο παφής του τροχού µ το δάπδο στο σηµίο ακινητοποιίται και ο τροχός παραµένι στο σηµίο καθώς η δύναµη Τ µ το έργο της να καταναλώνι την Κινητική Ενέργια του. Εποµένως η τλική τιµή της στροφορµής λόγω πριστροφής πρί το cm θα ίναι L cm = 0. 14