Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη Μηχανική Ι Τμήμα Κ Τσίγκανου & Ν Βαχάκη 5 Σεπτεμβρίου Διάρκεια εξέτασης ώρες Καή επιτυχία ( bonus ερωτήματα) Ονοματεπώνυμο: ΑΜ: Να ηφθεί υπόψη η πρόοδος της 5ης Δεκεμβρίου : ΝΑΙ ΟΧΙ αν ΝΑΙ μην απαντήσετε τα θέματα και Εχω παραδώσει εργασίες: ΝΑΙ ΟΧΙ Θέμα ο : Υποθέστε ότι υπάρχει ένα τούνε που διαπερνά τη Γη πάνω σε μια διάμετρό της Ενα σώμα ξεκινά από την επιφάνεια και κινείται μέσα σε αυτό το τούνε υπό την επίδραση μόνο του βάρους του (α) Εκτιμήστε διαστατικά σε πόσο χρόνο το σώμα θα φτάσει στο κέντρο της Γης θεωρώντας τον συνάρτηση των G M και R Εκφράστε το αποτέεσμα συναρτήσει της μέσης πυκνότητας της Γης ρ (β) Αν θεωρήσουμε την πυκνότητα της Γης σταθερή η επιτάχυνση της βαρύτητας σε θέση από το κέντρο της είναι g ω όπου ω πg ρ/ Βρείτε τη θέση του σώματος σε κάθε χρόνο Σε πόσο χρόνο φτάνει στο κέντρο της Γης; (γ) Σεισμικά δεδομένα δίνουν την εσωτερική δομή της Γης δη την πυκνότητα άρα και την επιτάχυνση βαρύτητας (Klotz A R 5 A J Phys http://dxdoiog/9/9) Gavitational Aeleation (/s ) Gavity Sufae Density Mean 5 Density (g/ ) Radial Distane () Σύμφωνα με το παραπάνω διάγραμμα ένα πιο ρεαιστικό μοντέο για την επιτάχυνση βαρύτητας είναι σταθερή από την επιφάνεια μέχρι ακτίνα R και γραμμική από την ακτίνα μέχρι το κέντρο δη { ω R R R g ω R Βρείτε σε πόσο χρόνο το σώμα θα φτάσει στο κέντρο της Γης Εφαρμόστε για / και Μεταξύ του να θεωρήσουμε σε όη την κίνηση σταθερή την πυκνότητα ή την επιτάχυνση βαρύτητας τι είναι προτιμότερο; Δίνεται η σταθερά G s g και η μέση πυκνότητα της Γης ρ 55 g Θέμα ο : Εστω ο κατακόρυφος κόουρος κώνος του σχήματος με ημιάνοιγμα θ π/ 5 εάχιστη κυινδρική ακτίνα b και μέγιστη κυινδρική ακτίνα b Σημειακό σώμα μπορεί να κινείται χωρίς τριβές πάνω στην εσωτερική του επιφάνεια υπό την επίδραση του βάρους του g (και κάθετης αντίδρασης) z (b)/ π/ y O x Για να απουστευθούν οι πράξεις θέσατε g b (α) Γράψτε την έκφραση της ταχύτητας σε σφαιρικές συντεταγμένες (β) Αιτιοογήστε γιατί διατηρούνται οι ποσότητες L sin θ φ και E v g os θ (γ) Δείξτε ότι η κίνηση ανάγεται σε «μονοδιάστατη» με οοκήρωμα ενέργειας ṙ V eff() E όπου V eff () L Σχεδιάστε το γράφημα της V eff () (δ) Εστω βάουμε το σώμα από σημείο του κώνου που ισαπέχει από τις βάσεις δη από θέση με (δ ) Αν L και E 5 δείξτε τα όρια της κίνησης στο γράφημα της V eff () (δ ) Ποια πρέπει να είναι η αρχική ταχύτητα v v ˆ v φ ˆφ ώστε το σώμα να περάσει από όη την επιφάνεια του κόουρου κώνου χωρίς να φύγει έξω από αυτήν; (Υποογίσετε τις τιμές των L και E απαιτώντας η κίνηση να καύπτει την περιοχή και κατόπιν βρείτε τις v φ και v ) b v v φ
Θέμα ο : Θεωρείστε το ακόουθο βαρυτικό δυναμικό V () 5 5 όπου GM > και μια μικρή σταθερά Πρόκειται για το γνωστό δυναμικό μιας σφαιρικής κατανομής μάζας M αά περιέχει επιπέον και ένα δεύτερο όρο που περιγράφει μια διόρθωση (α) Υποογίστε τη γωνιακή ταχύτητα ω και στροφορμή L μιας κυκικής τροχιάς ακτίνας α μιας μάζας εντός του δυναμικού αυτού (β) Δείξτε ότι για μικρές διαταραχές της κυκικής τροχιάς της μάζας η γωνιακή συχνότητα ω των μικρών ακτινικών τααντώσεων της μάζας γύρω από αυτή την κυκική τροχιά είναι ω α α (γ) Για μια τροχιά της μάζας που αποκίνει εάχιστα από την κυκική ακτίνας α δδ αδ ή u / u o δu με u o /α να δειχθεί ότι η τροχιά της μάζας είναι εειπτική της οποίας ο μεγάος άξονας (η γραμμή των αψίδων) μεταπίπτει (β Σχήμα) (δ) Σύμφωνα με το ανωτέρω αποτέεσμα μια σχεδόν κυκική τροχιά είναι στην πραγματικότητα προσεγγιστικά μια έειψη που οι άξονές της μεταπίπτουν Δείξτε ότι η γωνιακή ταχύτητα μετάπτωσης της γραμμής των αψίδων είναι α α Ω α α (ε) Στο όριο όπου /α << δδ η διαταρακτική δύναμη είναι πού μικρότερη της βαρυτικής δύναμης απο το κεντρικό σώμα με σφαιρική κατανομή μάζας M δείξτε ότι Ω α ω Υπενθυμίζεται η γνωστή διαφορική εξίσωση L u (u u) f(/u) που ικανοποιεί η τροχιά (θ) /u(θ) σε ένα κεντρικό πεδίο δυνάμεων f(/u) f() Θέμα ο : (α) Ενα διάχυτο σφαιρικό νέφος ομογενούς πυκνότητος ρ o και αρχικής ακτίνας R ευρίσκεται σε ισορροπία Κάποια στιγμή όγω μιας εξωτερικής διαταραχής αρχίζει να καταρρέει υπό την επίδραση της δικής του βαρύτητας Να υποογισθεί η ακτινική ταχύτητα ενός σωματιδίου του νέφους το οποίο ξεκινά από την ηρεμία σε κάποια απόσταση o απο το κέντρο του νέφους και φθάνει σε τυχούσα άη απόσταση < o (β) Να αποδειχθεί ότι κάθε σωματίδιο του νέφους φθάνει στο κέντρο του νέφους στον ίδιο χρόνο ανεξαρτήτως της αρχικής απόστασης αφετηρίας o Δείξτε ότι ο χρόνος αυτός t ff (fee fall tie χρόνος εεύθερης πτώσης) είναι t ff π π R / Gρ o GM όπου M είναι η συνοική μάζα του νέφους M πρ o R / Υπόδειξη: η αντικατάσταση o sin θ ίσως είναι χρήσιμη σε κάποια οοκήρωση (γ) Εκτιμήστε το χρόνο κατάρρευσης t ff για ένα σώμα με μέση πυκνότητα g/ όπως η Γη και ο Ηιος (δ) Ως γνωστόν η Γη μάζας κινείται σε μια περίπου κυκική τροχιά γύρω από τον Ηιο μάζας M και ακτίνας R με μια ταχύτητα περί τα /se Αν κάποιο αόρατο και ισχυρό «χέρι» σταματούσε την κίνησή της τότε η Γη θα κατέρρεε κινούμενη ακτινικά προς το κέντρο του Ηιου Δείξτε ότι ο χρόνος αυτός της κατάρρευσης t o είναι t o π R / GM Μπορείτε να θεωρήσετε μια οριακή εειπτική τροχιά της Γης με εκκεντρότητα e και μεγάο ημιάξονα R/ (ε) Υποογίστε το χρόνο κατάρρευσης της Γης στον Ηιο σε ημέρες Δίδεται η σταθερά της παγκοσμίου έξεως G CGS SI
ΛΥΣΕΙΣ: Θέμα ο : (α) t G a M R b [G] [L] [M] [T ] (από GM/ v ) οπότε [T ] [L] a [M] ba [T ] a από την οποία προκύπτουν a / b / / Άρα t R /GM ή t / G ρ (β) Η κίνηση είναι μονοδιάσταση και περιγράφεται από ω ω δη είναι αρμονική ταάντωση Η ύση η οποία ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες ( R και ṙ για t ) είναι R os(ωt) π Το σώμα φτάνει στο κέντρο σε χρόνο ω π επτά G ρ (γ) Η αρχική φάση της κίνησης είναι ομαά επιταχυνόμενη με ω R ṙ ω Rt R ω Rt / Φτάνει στη θέση R σε χρόνο t στον οποίο R ω Rt / t ω Τότε έχει ταχύτητα v ω Rt ωr Στη δεύτερη φάση για t > t είναι ω C sin (ω t ) C os (ω t ) όπου ω ω και t t t Οι αρχικές συνθήκες αυτής της φάσης είναι t R ṙ t ωr και δίνουν C R ( ) C R Άρα R ( ) sin (ω t ) R os (ω t ) Το σώμα φτάνει στο κέντρο όταν tan (ω t ) t ( ω δη σε t() ) atan ω Για δη θεωρώντας σε όη την κίνηση g ω ή ισοδύναμα την πυκνότητα σταθερή προκύπτει t π/ω επτά Για / προκύπτει t 5/ω 9 επτά Για δη θεωρώντας σε όη την κίνηση σταθερή g ω R προκύπτει t /ω 9 επτά (Το ίδιο προκύπτει και από την εξίσωση ομαά επιταχυνόμενης κίνησης σε σταθερό g Rgt / άρα το σώμα φτάνει στο κέντρο σε χρόνο t R/g) Τεικά είναι προτιμότερη η προσέγγιση σταθερού g! Ο όγος είναι ότι τον περισσότερο χρόνο το σώμα τον περνά όταν κινείται αργά κάτι που συμβαίνει μακρυά από το κέντρο όπου η g είναι σταθερή (Από R μέχρι R/ έχει περάσει χρόνος R/g /ω 5 επτά) Μάιστα το μέγιστο του g σε ακτίνα R/ (όπου η g είναι μεγαύτερη από την τιμή επιφάνειας ω R) συνεισφέρει στη μείωση του σφάματος αφού εξουδετερώνει μερικώς το ότι η g είναι μικρή κοντά στο κέντρο Τα επόμενα αποτεέσματα δείχνουν πόσο κοντά είναι οι ύσεις με (σταθερή g ) και /R / / (το οποίο προσεγγίζει την επιτάχυνση βαρύτητας από τα σεισμικά δεδομένα) Radial Position () 5 (/) onstant gavity () unifo density () 5 5 5 Tie (inutes) Στο παρακάτω διάγραμμα από την εργασία του Klotz η μαύρη καμπύη δείχνει τα αριθμητικά αποτεέσματα (PREM-Nuei) αμβάνοντας υπόψη την g() όπως προκύπτει από τα σεισμικά δεδομένα Υπάρχει εντυπωσιακή συμφωνία με την ύση που προκύπτει θεωρώντας σταθερή g Radial Position () 5 Θέμα ο : 5 5 5 Tie (inutes) PREM-Nuei Constant Gavity Unifo Density (α) Σε σφαιρικές συντεταγμένες με θ π ισχύει ˆ v ṙˆ sin θ φ ˆφ ṙˆ φ ˆφ (β) Αφού δεν υπάρχει δύναμη στην ˆφ κατεύθυνση η ẑ συνιστώσα της στροφορμής διατηρείται δη ϖ φ L σταθερά ή ισοδύναμα με ϖ sin θ και φ L Ισχύει επίσης η διατήρηση της ενέργειας αφού το βάρος είναι συντηρητική δύναμη με δυναμική ενέργεια gz g os θ (δεν υπάρχουν τριβές και άρα το
έργο της αντίδρασης σαν κάθετη στην κίνηση είναι v g os θ E σταθερά μηδενικό) δη φ E ή ισοδύναμα L (γ) Αντικαθιστώντας φ προκύπτει το οο κήρωμα ενέργειας της «μονοδιάστατης» κίνησης L Veff () E όπου Veff () ή προς το σημείο Ο) Τα παρακάτω γραφήματα δείχνουν τα αποτεέσματα της αριθμητικής οοκήρωσης των εξι σώσεων κίνησης για t φ t t 9/ φ t / v 5 Veff() j p 5 5 t 5 E 5 in ax (δ ) Veff () Στην αρχική θέση είναι Veff 5 E και Veff > Αρα η αρχική θέση είναι η ακραία με το μέγιστο (Η άη ακραία θέση είναι η μικρότερη θετική ύση της Veff () E) Αιώς: Στα όρια κίνησης Veff () E 5 ( ) Οι θετικές ύσεις είναι και δη η αρχική θέση είναι η ακραία με το μέγιστο (Η μικρότερη κυινδρική ακτίνα είναι > επομένως το σώμα μένει πάντα πάνω στον κόουρο κώνο) (δ ) Πρέπει στις ακραίες ακτίνες και η ταχύτητα να είναι μόνο εφαπτομενική δη πρέπει Veff ( ) Veff ( ) E Η ισότητα Veff ( ) Veff ( ) δίνει τη στροφορμή: L L L± 9 5 Η ενέργεια είναι E Veff ( ) L Στην αρχική θέση είναι φ ± και vφ φ ± 9 E Veff ( ) v ± Αρα η αρχική ταχύτητα πρέπει να έχει αζιμουθια κή συνιστώσα vφ ± (δεξιόστροφα ή αριστερό 9 (από στροφα) και ακτινική συνιστώσα v ± 5 t Η περίοδος της ακτινικής κίνησης είναι T Z Z d d p 9 E Veff () Στο χρόνο αυτό το διάνυσμα θέσης του σώμαz φ τος έχει στραφεί κατά φ d Z L/ p d π E Veff () Το σώμα θα γυρίσει στην αρχική θέση αφού στραφεί κατά γωνία ίση με το εάχιστο κοινό ποαπάσιο των φ και π Αυτή είναι θεωρητικά άπειρη φ γωνία αν ο όγος είναι άρρητος αριθμός οπότε π το σώμα περνά από κάθε σημείο του κώνου φ Πρακτικά όμως ο όγος είναι κοντά σε κάποιο π φ ρητό αριθμό στην περίπτωσή μας στον π
οπότε μετά από πήρεις περιστροφές το σώμα γυρνά πού κοντά στο αρχικό σημείο Αυτό συμβαίνει μετά από περιόδους της ακτινικής κίνησης δη σε χρόνο T 5 και φαίνεται στο κάτω δεξιά σχήμα που δείχνει την προβοή της τροχιάς στο επίπεδο xy για t 5 (το αρχικό σημείο είναι το x y ενώ φαίνεται το σώμα να πησιάζει στο σημείο αυτό στον τεικό χρόνο) (Το κάτω αριστερά δείχνει την προβοή της τροχιάς για t 5) y - - L u (u u) u u Για μια τροχιά που αποκίνει εαφρά από κυκική γράφουμε u uo δu δu u Ετσι η προηγούμενη εξίσωση γίνεται: L d (δu) δu uo δu uo dθ uo δu uo uo ενώ για την κυκική τροχιά u uo έχουμε: y - σωση x - - - - - - - - - Θέμα ο : x L uo uo Αντικαθιστώντας αυτή τη σχέση στην εξίσωση της διαταραγμένης τροχιάς έχουμε L d (δu) δu uo δu dθ ή d δu uo δu dθ L (α) V 5 5 d F d d α ω α F ω α α (α ) L ωα α L α (β) V V 55 α α d α d V α d α Θέτοντας u L o για κατάηη επιογή των ποικών αξόνων μια ύση είναι: δu B sin θ Επομένως η τροχιά είναι εειπτική με τον μεγάο άξονα να μεταπίπτει όγω της ύπαρξης του (δ) Εάν θ και θ είναι οι γωνίες δύο διαδοχικών διαβάσεων της μάζας από τη γραμμή των αψίδων π Επειδή < η γωνία της μετάπτωσης της γραμμής των αψίδων είναι θ θ π θ Η πρώτη παράγωγος μηδενίζεται στην κυκική θµ θ π π ακτίνα συνθήκη που ισοδυναμεί με και ο χρόνος t για να περιστραφεί κατά γωνία θ µ d α η γραμμή των αψίδων είναι την ω α F π θ t Επομένως για α και θέτοντας o x θ θ x << o η εξίσωση τροχιάς είναι Η γωνιακή ταχύτητα της μετάπτωσης είναι d d V θ α α µ x x η οποία δίνει τααντωτική Ω ω ω d α t ύση s με συχνότητα (ε) Η συχνότητα της μετάπτωσης είναι d V α ω d α α α Ω (γ) Η τροχιά ικανοποιεί τη γνωστή διαφορική εξί
α α [ ( ) ( / ) ] / α α α ω όπου στο ανάπτυγμα Taylo θεωρήσαμε ότι /α << δδ η διαταρακτική δύναμη είναι πού μικρότερη της βαρυτικής δύναμης απο το κεντρικό σώμα με σφαιρική κατανομή μάζας M Σημείωση : Η μάζα διαγράφει εειπτική κίνηση και αυτό είναι ένα γενικό αποτέεσμα για μικρές διαταρακτικές δυνάμεις σε σχέση με την κύρια δύναμη βαρύτητας που ασκείται από ένα κεντρικό βαρυτικό δυναμικό Μια απόδειξη αυτού για τη διαταρακτική δύναμη δf A δίδεται στη σε του βιβίου Εισαγωγή στη Θεωρητική Μηχανική Κ Τσίγκανος Ανάογα αποδείξαμε ότι η μάζα διαγράφει εειπτική κίνηση και για τη δεδομένη εδώ διαταρακτική δύναμη δf / Θέμα ο : (α) Από τον νόμο του Νεύτωνα η εξίσωση κίνησης του σωματιδίου στην τυχούσα απόσταση o εντός της κατανομής της μάζας είναι d dt πg oρ o ή επειδή d/dt (d/d)(d/dt) vd/d οοκηρώνοντας έχουμε v oρ o d πg πg oρ o C Για o έχουμε v και επομένως C πg oρ o / οπότε και v ( πg oρ o o ) v πg o ρ o o (β) Επειδή v d/dt dt d/v οοκηρώνοντας έχουμε t ff πg oρ o o Θέτοντας u / o έχουμε du t ff πgρ o u I du u d o πgρ o I Με u sin θ έχουμε τεικά I π/ οπότε π π t ff πgρ o Gρ o Επομένως κάθε σωματίδιο του νέφους φθάνει στο κέντρο του νέφους στον ίδιο χρόνο t ff ανεξαρτήτως της αρχικής απόστασης αφετηρίας o (γ) π t ff 5 ins πgρ o (δ) Θεωρούμε τη Γη ότι κινείται κατά την κατάρρευσή της προς το Ηιακό κέντρο σε μια οριακή εειπτική τροχιά με εκκεντρότητα e Ο μεγάος ημιάξονας αυτής της τροχιάς ισούται με R/ και από τον τρίτο νόμο του Κέπερ η ημιπερίοδος αυτής της εειπτικής τροχιάς είναι t o π(r/) / G(M ) πr/ GM t ff (ε) Ο χρόνος κατάρρευσης t o t ff ισούται με t o t ff P όπου P ισούται με έτος Επομένως t o t ff 5 ημέρες