Εγγεγραµµένα και εγγράψιµα τετράπλευρα

0 Εγγεγραµµένα και εγγράψιµα τετράπλευρα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ ΣΕ ΚΥΚΛΟ i) Ένα πλύγων ΑΑΑ 3...Α ν λέγεται εγγεγραµµέν σε κύκλ όταν ι κρυφές τυ είναι σηµεία ενός κύκλυ. ii) Ένα πλύγων ΑΑΑ...Α 3 ν λέγεται εγγράψιµ σε κύκλ όταν µπρεί να γραφεί κύκλς πυ να περνά από τις κρυφές τυ. Θεώρηµα Αν ένα πλύγων ΑΑΑ 3...Α ν είναι εγγεγραµµέν σε κύκλ ι µεσκάθετι των πλευρών τυ περνύν από τ ίδι σηµεί. Έστω τ εγγεγραµµέν πλύγων ΑΑΑ 3...Α ν θα δείξυµε ότι ι µεσκάθετι στις πλευρές τυ, περνύν από τ ίδι σηµεί. Επειδή ι πλευρές τυ πλυγώνυ είναι χρδές τυ κύκλυ, και επειδή η κάθετς στ µέσν µιας χρδής περνά από τ κέντρ τυ κύκλυ έπεται ότι η µεσκάθετι στις πλευρές τυ πλυγώνυ περνύν από τ κέντρ τυ κύκλυ. í Ì í Ì Ì Ì í Ê Ì 4 Ì 3 3 Θεώρηµα Εάν ι ν µεσκάθετι των πλευρών ενός πλυγώνυ ΑΑΑ...Α 3 ν περνύν από τ ίδι σηµεί τότε τ πλύγων είναι εγγράψιµ σε κύκλ. Έστω τ πλύγων ΑΑΑ 3...Α ν τυ πίυ ι µεσκάθετι στις ν πλευρές τυ, περνύν από τ σηµεί Κ. Τότε τ σηµεί Κ επειδή ανήκει σε κάθε µία από τις ν µεσκαθέτυς θα ισαπέχει από τα άκρα των πλευρών δηλαδή: ΚΑ = ΚΑ, ΚΑ = ΚΑ 3...ΚΑν = ΚΑν ΚΑ = ΚΑ = ΚΑ 3=... = ΚΑ ν. 4

58. Εγγεγραµµένα και εγγράψιµα τετράπλευρα Άρα αν µε κέντρ τ Κ και ακτίνα τ ΚΑ γράψυµε κύκλ αυτός θα περάσει από όλες τις κρυφές και επµένως τ πλύγων είναι εγγεγραµµέν σε κύκλ. ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΑ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΑ Θεώρηµα Οι απέναντι γωνίες κάθε εγγεγραµµένυ τετραπλεύρυ είναι παραπληρωµατικές και αντίστρφα. Έστω ΑΒΓ ένα εγγεγραµµέν τετράπλευρ. Φέρνυµε τις ΚΒ, ˆK Κ και έχυµε: ˆK = () και ˆΓ= (). Ê ˆ ˆ ˆ ˆ Κ+ Κ ˆ ˆ 360 ˆ ˆ Άρα Α + Γ = Α + Γ = Α + Γ = 80 Αντίστρφα Αν ι απέναντι γωνίες ενός τετραπλεύρυ είναι παραπληρωµατικές τ τετράπλευρ είναι εγγράψιµ σε κύκλ. Έστω ΑΒΓ ένα τετράπλευρ πυ έχει τις απέναντι γωνίες + Γ= 80 () θα δείξυµε ότι είναι εγγράψιµ. Γράφυµε τν κύκλ πυ περνά από τα σηµεία, Α, Β και έστω ότι δεν περνά από τ Γ, τότε θα τµήσει την ΒΓ σ ένα σηµεί Γ διάφρ Ê τυ Γ και έχυµε: + Γ = 80 (). Από τις (), () έπεται Γ= Γ, πυ είναι άτπ. Πόρισµα Κάθε ρθγώνι είναι εγγράψιµ σε κύκλ και αντίστρφα. Θεώρηµα Η εξωτερική γωνία κάθε εγγεγραµµένυ τετραπλεύρυ είναι ίση µε την εσωτερική και απέναντι και αντίστρφα. Έστω ΑΒΓ ένα τετράπλευρ εγγεγραµµέν σε κύκλ, θα δείξυµε ότι ˆφ= Αˆ. Είναι ˆφ + Γˆ = 80 () (ευθεία γωνία) και ˆ ˆΓ + Α = 80 () (απέναντι γωνίες τυ εγγ. ΑΒΓ ). Από τις (), () έπεται φˆ + Γˆ = Γˆ + Αˆ φˆ = Αˆ. Αντίστρφα Αν η εξωτερική γωνία ενός τετραπλεύρυ είναι ίση µε την εσωτερική και απέναντι, τότε τ τετράπλευρ είναι εγγράψιµ σε κύκλ. Ê ö

Εγγεγραµµένα και εγγράψιµα τετράπλευρα 59. Έστω ΑΒΓ ένα τετράπλευρ πυ η εξωτερική γωνία ˆφ= Α() ˆ θα δείξυµε ότι αυτό είναι εγγράψιµ. Έχυµε ˆφ + Γˆ = 80 (). ˆ ˆ Α+ Γ = 80, επµένως τ ΑΒΓ εγγράψιµ. Από τις (, )( ) έπεται Θεώρηµα Σε κάθε εγγεγραµµέν τετράπλευρ δύ διαδχικές κρυφές βλέπυν την απέναντι πλευρά υπό ίσες γωνίες και αντίστρφα. Έστω ΑΒΓ ένα τετράπλευρ εγγεγραµµέν σε κύκλ. Τότε φˆ = ρˆ γιατί είναι εγγεγραµµένες πυ βαίνυν στ ίδι τόξ Γ. ö ñ Αντίστρφα Αν σε ένα τετράπλευρ δύ διαδχικές κρυφές, βλέπυν την απέναντι πλευρά υπό ίσες γωνίες τότε είναι εγγράψιµ. Έστω ΑΒΓ ένα τετράπλευρ στ πί φˆ = ν() ˆ. Θα δείξυµε ότι είναι εγγράψιµ. Έστω ότι τ ΑΒΓ δεν είναι εγγράψιµ, ö τότε κύκλς πυ περνά από τις κρυφές Α,, Γ θα τµήσει την ΓΒ σ ένα σηµεί Β διάφρ τυ Β. Φέρνυµε την Β τότε φˆ = ρ() ˆ ως εγγεγραµµένες πυ βαίνυν στ ίδι τόξ Γ. Από τις (), () έπεται ότι ρˆ = νˆ, πυ είναι άτπ. Θεώρηµα Κάθε ισσκελές τραπέζι είναι εγγράψιµ σε κύκλ και αντίστρφα. Έστω τ ισσκελές τραπέζι ΑΒΓ. Είναι Αˆ + ˆ = 80 () ως εντός και επί τα αυτά µέρη των παραλλήλων ΑΒ, Γ πυ τέµννται από την Α. Επίσης ˆ = Γ() ˆ ως πρσκείµενες στη βάση Γ. Από τις (), () έπεται Αˆ + Γˆ = 80,άρα τ ΑΒΓ είναι εγγράψιµ. Αντίστρφα Κάθε εγγεγραµµέν τραπέζι σε κύκλ, είναι ισσκελές. Έστω ΑΒΓ ένα τραπέζι εγγεγραµµέν σε κύκλ. Επειδή είναι ΑΒ Γ έπεται ˆ ˆ Α+ = 80 (). Επειδή είναι εγγεγραµµέν ισχύει : Αˆ + ˆ = Αˆ + Γˆ ˆ = Γˆ, αρά τ ΑΒΓ είναι ισσκελές τραπέζι. í ñ

60. Εγγεγραµµένα και εγγράψιµα τετράπλευρα ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Παράδειγµα. ύ κύκλι τέµννται στα Α, Β. Από τα Α, Β φέρνυµε δύ τέµνυσες ΓΑ και ΕΒΖ. Να απδείξετε ότι ι χρδές ΓΕ και Ζ είναι παράλληλες. Φέρνυµε την ΑΒ τότε ˆφ= Ε() ˆ γιατί ή φ είναι εξωτερική στ εγγεγραµµέν ΑΒΕΓ. φ+ Ζ= ρθές. () γιατί είναι απέναντι ö γωνίες τυ εγγεγραµµένυ Α ΖΒ. Από τις (), () έχυµε Æ Ε+ Ζ= ρθές. Επµένως ΓΕ Ζ. Παράδειγµα. ίνεται εγγεγραµµέν τραπέζι ΑΒΓ σε κύκλ (Κ,R). Να απδείξετε ότι κύκλς πυ περνά από τα Β, Κ,, περνά και από τ σηµεί της τµής των µη παραλλήλων πλευρών τυ. Επειδή τ τραπέζι ΑΒΓ είναι εγγεγραµέν θα είναι ισσκελές και επµένως Βˆ = Γˆ = xˆ. Από τ τρίγων ΕΒΓ έχυµε ˆ o o E+ xˆ + xˆ = 80 Eˆ + xˆ = 80 (). Επειδή όµως Kˆ = xˆ (εγγεγραµµένη και η αντίστιχη επίκεντρη) η () γίνεται: x Ê x ˆ ˆ o E + K = 80, άρα τ ΕΒΚ είναι εγγράψιµ. Παράδειγµα 3. Από ένα σηµεί Ε τυ ύψυς ενός τριγώνυ ΑΒΓ φέρνυµε τις κάθετες ΕΖ, ΕΗ στις πλευρές ΑΒ, ΑΓ αντίστιχα. Να απδείξετε ότι τ ΒΖΗΓ είναι εγγράψιµ. Για να δείξυµε ότι τ ΒΖΗΓ είναι εγγράψιµ αρκεί να δείξυµε ότι: Γˆ + ΒΖΗ ˆ = 80. Επειδή ΒΖΕ ˆ = 90 αρκεί να δείξυµε ότι ΕΖΗ ˆ Γˆ 90 + =. Από τ ΑΖΕΗ πυ είναι εγγράψιµ ( Ζˆ Ηˆ 90 ) = = η ΖΕΗ ˆ = ΕΑΗ ˆ, είναι όµως ΕΑΗ ˆ + Γˆ = 90 από τ ρθγώνι τρίγων Α Γ, άρα και ΖΕΗ ˆ + Γˆ = 90. Παράδειγµα 4. Να απδείξετε ότι τα ύψη κάθε τριγώνυ είναι διχτόµι των γωνιών τυ ρθικύ τυ τριγώνυ. Έστω ΑΒΓ ένα τρίγων και Α, ΒΕ, ΓΖ τα ύψη τυ, θα δείξυµε ότι ŷ = ωˆ. Τ τετράπλευρ Β ΗΑ είναι εγγράψιµ ( = Η = 90 ) άρα ω = x (). Όµια y = φ () από τ ΖΗΓ. Æ Ç x yù Ç ö Επειδή ˆx = φˆ (από τ εγράψιµ ΒΖΗΓ) από τις (), () έχυµε ŷ = ωˆ.

Εγγεγραµµένα και εγγράψιµα τετράπλευρα 6. ΠΕΡΙΓΕΓΡΑΜΜΕΝΑ ΚΑΙ ΠΕΡΙΓΡΑΨΙΜΑ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΑ i) Ένα τετράπλευρ λέγεται περιγεγραµµέν σε κύκλ όταν ι πλευρές τυ εφάπτνται στν ίδι κύκλ. ii) Ένα τετράπλευρ λέγεται περιγράψιµ σε κύκλ όταν Α Β µπρεί να γραφεί κύκλς πυ να εφάπτεται στις πλευρές τυ. Δ Γ Β ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Για να απδείξυµε ότι ένα τετράπλευρ είναι εγγράψιµ απδεικνύυµε ένα απ τα επό- µενα (κριτήρια). ύ απέναντι γωνίες τυ είναι παραπληρωµατικές.. Μία εξωτερική γωνία τυ είναι ίση µε την απέναντι εσωτερική. 3. ύ διαδχικές κρυφές, βλέπυν την απέναντι πλευρά µε ίσες γωνίες. Α Δ Β Γ π.χ στ διπλανό σχήµα ισχύυν: Α = Β,Γ =,Α =,Γ = Β 0 0 Β + = 80, Α + Γ = 80 = Β εξ, Α = Γ εξ, Β= εξ, Γ = Αεξ Για να απδείξυµε ότι ένα τετράπλευρ είναι περιγράψιµ απδεικνύυµε ένα απ τα επόµενα (κριτήρια). Οι διχτόµι των γωνιών τυ διέρχνται από τ ίδι σηµεί. Α O Β. Τα αθρίσµατα των απέναντι πλευρών τυ είναι ίσα. Δ Γ ΑΒ + ΓΔ = ΑΔ + ΒΓ O,O,O Γ,ΟΔ : διχτόμι

6. Εγγεγραµµένα και εγγράψιµα τετράπλευρα Γ. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση Στ τρίγων ΑΒΓ εγγεγραµµένς κύκλς εφάπτεται στις πλευρές, στα σηµεία, Ε, Ζ και παρεγγεγραµµένς κύκλς εφάπτεται στη ΒΓ στ Η και στις ΑΒ, ΑΓ στα Μ και Κ. Να δείξετε ότι ισχύυν: i. ΑΖ = ΑΕ = τ α ii. ΑΜ = ΑΚ = τ, ΖΜ = α iii. Η = β - γ Z O E i. ΑΕ = ΑΖ = ΑΒ ΒΖ = γ Β = γ (α Γ) = γ α + ΓΕ = = γ α + β ΑΕ. β+ γ α Οπότε είναι: ΑΕ = β + γ α ΑΕ = ΑΖ= = τ α Επίσης : ΒΖ = Β = τ β, ΓΕ = Γ = τ γ. ii. Έχυµε ΑΜ = γ + ΒΜ, ΑΚ = β + ΓΚ και ΑΜ = ΑΚ. Τότε είναι ΑΜ = β + γ + ΒΜ + ΓΚ ΑΜ = β + γ + ΒΗ + ΗΓ ΑΜ = α + β + γ α+ β+ γ ΑΜ = = τ και ΖΜ = ΑΜ ΑΖ = τ (τ α) = α M iii. Είναι Η = Β ΒΗ = τ β ΒΜ = τ β (ΑΜ γ) = τ β ΑΜ+ γ = β γ H O K Άσκηση Κύκλς µε κέντρ Κ εφάπτεται στις πλευρές ΑΖ και ΑΡ γωνίας ΖΡ στα σηµεία Β και Γ. Αν η ΑΚ τέµνει τ κύκλ στ σηµεί Ο, να δειχθεί ότι τ Ο είναι τ έγκεντρ τυ τριγώνυ ΑΒΓ. Z O K P Η ΑΚ είναι διχτόµς.αρκεί να δείξυµε ότι η ΒΟ είναι επίσης διχτόµς. Είναι ˆΒ ˆ =,ως γωνία εγγεγραµµένη ίση µε τη γωνία χρδή - εφαπτµένης και ˆΒ ˆ =,διότι είναι ξείες γωνίες µε κάθετες πλευρές. Έτσι είναι Β ˆ ˆ = Β, πυ σηµαίνει ότι η ΒΟ είναι διχτόµς της γωνίας Β τυ ΑΒΓ. Άρα τ Ο είναι έγκεντρ τυ τριγώνυ ΑΒΓ.

Εγγεγραµµένα και εγγράψιµα τετράπλευρα 63. Άσκηση 3 Από τυχαί σηµεί τυ περιγγεγραµµένυ σε τρίγων κύκλυ φέρνυµε τις κάθετες στις τρεις πλευρές τυ. Να δειχθεί ότι τα ίχνη των τριών καθέτων βρίσκνται σε ευθεία γραµµή (ευθεία Simson). Τα τετράπλευρα ΑΖΜΕ και ΜΖ Γ είναι εγγράψιµµα αφύ τα σηµεία Ζ, E βλέπυν τ Μ µε ρθή γωνία και τα σηµεία Ζ, βλέπυν τ ΜΓ µε ρθή γωνία. Οπότε Μˆ ˆ = Ζ και Μ ˆ ˆ = Ζ. Άρα Ζ ˆ ˆ = Ζ.Τότε είναι Ζˆ ˆ ˆ ˆ + ΕΖΓ= 80 Ζ + ΕΖΓ= 80, επµένως η ΕΖ είναι ευθεία. Άσκηση 4 Στ κύκλ (Κ,R) παίρνυµε τη διάµετρ Γ. Από δύ σηµεία Α και Β τυ ίδιυ ηµικύκλιυ φέρνυµε τις απστάσεις ΑΑ και ΒΒ στην Γ. Αν ΓΕ είναι η απόσταση τυ Γ από την ευθεία ΑΒ, να δειχθεί, ότι: α) ΕΒ // Α, β) ΓΕΑ' ˆ = ΕΒ'Α' ˆ. α) Από τ εγγράψιµ ΕΓΑ Α( ΓΕΑ ˆ = ΑΑ Γ = 90 ) έχυµε: ΓΕΑ ˆ = Α ˆ και Α ˆ ˆ = ( έχυν κάθετες πλευρές ). Από τ εγγράψιµ τετράπλευρ ΕΓΒ έχυµε: ΕΒ Γ ˆ = Βˆ ' K ' ˆ = Β ˆ, ˆ = ΕΒ Γ ˆ ΕΒ // ˆ Α. και β) Είναι ακόµα: ΓΕΑ ˆ = Γˆ ˆ ˆ ˆ = = Β = ΕΒ Α. Άσκηση 5 ύ κύκλι (Α,R) και (Β,ρ) εφάπτνται εξωτερικά στ Κ. Αν Γ, ΕΖ τα κινά εξωτερικά εφαπτόµενα τµήµατα, να δειχθεί ότι: τ τετράπλευρ Γ ΕΖ είναι περιγράψιµ σε κύκλ. Έστω Ρ τ σηµεί, τ σηµεί τµής των κινών εφαπτόµενων των κύκλων. Από τα ισσκελή τρίγωνα Ρ Ε και ΡΓΖ έχυµε: Γˆ + Ρˆ = ˆ + Ρˆ Γˆ = ˆ ΓΖ// Ε.

64. Εγγεγραµµένα και εγγράψιµα τετράπλευρα Άρα τ ΖΓ Ε είναι τραπέζι. Επειδή Γ = ΕΖ τ ΖΓ Ε είναι ισσκελές τραπέζι. Φέρνυµε την εσωτερική εφαπτµένη ΗΘ. Τότε Η = ΚΗ = ΓΗ (ίσα εφαπτό- Ç µενα τµήµατα). Άρα τα σηµεία Η και Θ είναι τα µέσα των Ê Ñ ΓΖ + Ε Γ και ΕΖ,πυ σηµαίνει ότι ΗΘ // = (). Επειδή Æ Γ ΕΖ Γ + ΕΖ ΚΗ = και ΚΘ = έχυµε ΗΘ = (). Άρα È ΓΖ + Ε = Γ + ΕΖ,πυ σηµαίνει ότι τ τετράπλευρ ΖΓ Ε είναι περιγράψιµ σε κύκλ. Άσκηση 6 Σε ρθγώνι τρίγων ΑΒΓ ˆ (Γ=90 ),να δειχτεί ότι: β+γ=ρ+α. Τ Ο ΓΖ είναι τετράγων, αφύ ισχύυν : ( Γˆ = ˆ = Ζˆ = 90 = ΟΖ= ρ). Επµένως Γ = ΓΖ = ρ. Είναι και Α = ΑΕ και ΒΖ = ΒΕ (ως ίσα εφαπτόµενα τµήµατα). Άρα β + γ = ΓΒ + ΓΑ = ρ + ν + ρ + µ = ρ + ( µ + ν) = ρ+ α. Άσκηση 7 Τρίγων ΑΒΓ είναι εγγεγραµµέν σε κύκλ (Κ,ρ). Φέρνυµε την εφαπτµένη στ Β και ευθεία ε παράλληλη στην εφαπτµένη αυτή, πυ τέµνει την ΒΓ στ σηµεί Ε και την ΑΒ στ σηµεί. Να δείξετε ότι τ τετράπλευρ Α ΕΓ είναι εγγράψιµ. Είναι ˆφ= Γˆ,ως γωνία χρδής και εφαπτµένης πυ είναι ίση µε την αντίστιχη εγγεγραµµένη. Είναι ˆφ= Β Ε ˆ,αφύ Ε παράλληλη στην εφαπτµένη. Άρα Β Ε ˆ = Γˆ,πυ σηµαίνει ότι τ τετράπλευρ ΑΓΕ είναι εγγράψιµ, αφύ η εξωτερική γωνία Β Ε είναι ίση µε την απέναντι εσωτερική Γ. å ö Ê x

Εγγεγραµµένα και εγγράψιµα τετράπλευρα 65. Άσκηση 8 ίνεται ισσκελές τρίγων ΑΒΓ ( ΑΒ = ΑΓ ).Φέρνυµε τ ύψς ΑΑ και έστω Ε τ ρθόκεντρ και Κ τ µέσ τυ ΑΕ. Γράφυµε τν κύκλ µε κέντρ Κ και ακτίνα ΚΑ, πυ τέµνει την ΑΓ στ. Να δείξετε ότι η Α εφάπτεται στν κύκλ (Κ,ΚΑ). Τ τετράπλευρ Ε ΓΑ είναι εγγράψιµ,αφύ ι γωνίες και Α είναι παραπληρωµατικές. Επµένως Ε Α = ΕΓΑ ˆ = ωˆ,ως εγγεγραµµένες στ ίδι τόξ. Ακόµα είναι ΕΓΑ ˆ = Α ΑΒ ˆ = Α ΑΓ ˆ = φˆ (αφύ ΑΑ : ύψς και ù ö ö Ê Æ διχτόµς ισσκελύς τριγώνυ). Άρα Ε Α = Α ΑΓ ˆ,δηλ. η Α είναι εφαπτόµενη. ù ' Άσκηση 9 είξτε ότι κύκλς πυ διέρχεται από τα µέσα των πλευρών τριγώνυ ΑΒΓ διέρχεται και από τα ίχνη των ύψων τυ τριγώνυ. Ο κύκλς πυ διέρχεται από τα µέσα Ε, και Ζ τυ τριγώνυ ΑΒΓ διέρχεται και από τ ίχνς Η τυ ύψυς ΑΗ, αν δείξυµε ότι τ τετράπλευρ Ε ΖΗ είναι εγγράψιµ. Γι αυτό αρκεί να δείξυµε ότι ΖΓ ˆ = ΕΗ ˆ. Είναι ΖΓ ˆ = Ε Ζ ˆ, διότι Ε //ΒΓ. Τ τετράπλευρ Ε ΖΗ είναι ισσκελές τραπέζι, πότε ΕΗ ˆ = Ε Ζ ˆ. Άρα ΖΓ ˆ = ΕΗ ˆ. Όµια απδεικνύεται και για τα υπόλιπα ίχνη. E Ç Ê Æ Άσκηση 0 Αν η διχτόµς της γωνίας ˆΑ, τριγώνυ ΑΒΓ, τέµνει τν περιγεγραµµέν τυ κύκλυ στ Μ και η διχτόµς της γωνίας ˆΒ τέµνει την ΑΜ στ, να δείξετε ότι τ τρίγων ΜΒ είναι ισσκελές. Επειδή η ΑΜ είναι διχτόµς της ˆΑ, θα ισχύει: ˆ ˆ ˆΑ ˆΒ Α = Α =. Επίσης και Βˆ = Βˆ =,

66. Εγγεγραµµένα και εγγράψιµα τετράπλευρα αφύ η Β είναι διχτόµς της ˆΒ. Έχυµε: Μˆ = Γˆ ως εγγεγραµµένες γωνίες πυ βαίνυν στ τόξ. ˆ ΜΒΓ Α τόξ ΜΓ. Οπότε: = ˆ ως εγγεγραµµένες γωνίες πυ βαίνυν στ ˆ ˆ ΒΜ ˆ = Βˆ ˆ ˆ ˆ + ΜΒΓ = Β + Α = + = = = 90 Βˆ Α Α + Βˆ 80 Γˆ ˆ Γ Γˆ Γˆ ˆ Γ ˆ ˆ ˆ Β Μ = 80 ΒΜ Μ = 80 90 Γˆ = 80 90 + Γˆ = 90 M Άρα ΒΜ ˆ Β Μ ˆ 90 ˆΓ = =, πότε τ ΜΒ είναι ισσκελές µε κρυφή τ Μ. Άσκηση ύ κύκλι τέµννται στα σηµεία Α και Β. Από τ Α φέρνυµε ευθεία πυ τέµνει τυς κύκλυς στα Γ, και απ τ Β φέρνυµε ευθεία πυ τέµνει τυς κύκλυς Γ και. Να δείξετε ότι ι χρδές ΓΓ και είναι παράλληλες. Είναι ΒΑ ˆ = ωˆ και ΒΑ ˆ = φˆ,ως εξωτερικές γωνίες εγγεγραµµένυ τετραπλεύρυ πυ είναι ίσες αντίστιχα µε τις απέναντι εσωτερικές. Άρα ωˆ = φˆ // ΓΓ Άσκηση Σε ξυγώνι τρίγων ΑΒΓ, θεωρύµε τα ύψη τυ Α και ΒΕ και έστω Η τ ρθόκεντρό τυ. Στ ΕΓ παίρνυµε τµήµα ΕΖ = ΑΕ. Να δείξετε ότι τ τετράπλευρ ΒΗΖΓ είναι εγγράψιµ σε κύκλ. E Στ ρθγώνι τρίγων Α Γ ( ˆ ) = έχυµε: ˆ ˆ ˆ Α + Γ= 90 Α = 90 Γˆ () Οµίως από τ ρθγώνι τρίγων ΒΕΓ ( Εˆ ) = έχυµε: H Z

Εγγεγραµµένα και εγγράψιµα τετράπλευρα 67. ˆ = ˆ () Β 90 Γ Τ ΑHΖ είναι ισσκελές, αφύ τ ΗΕ είναι ύψς και διάµεσς, άρα () () ˆ Ζˆ = Α Ζˆ = 90 Γˆ Ζˆ = Βˆ. Άρα τ τετράπλευρ ΒΗΖΓ είναι εγγράψιµ αφύ µια εξωτερική τυ γωνία είναι ίση µε την απέναντι εσωτερική γωνία. Άσκηση 3 Από ένα σηµεί Θ τυ ύψυς Α τριγώνυ ΑΒΓ, φέρνυµε τα τµήµατα ΘΜ και ΘΛ κάθετα στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστιχα. Να δείξετε ότι τ τετράπλευρ ΒΓΛΜ είναι εγγράψιµ σε κύκλ. Είναι Μ ˆ = Θ,αφύ τ ΑΛΘΜ είναι εγγράψιµ και Θ ˆ ˆ = Γ,αφύ τ ΘΛΓ είναι εγγράψιµ. Άρα Μ ˆ = Γ, πυ σηµαίνει ότι τ τετράπλευρ ΓΒΚΛ είναι εγγράψιµ,αφύ η εξωτερική γωνία είναι ίση µε την απέναντι εσωτερική. Ë Ê M Άσκηση 4 Σε τρίγων ΑΒΓ φέρυµε τ ύψς τυ Α. Από τυχαί σηµεί Μ τυ Α φέρυµε τις απστάσεις τυ ΜΕ και ΜΖ από τις ΑΒ και ΑΓ αντίστιχα. Να δείξετε ότι τ ΒΕΖΓ είναι εγγράψιµ. Τ τετράπλευρ ΕΜ Β είναι εγγράψιµ, αφύ ˆ ˆ ΒΕΜ + Β Μ = 90 + 90 = 80. Άρα Βˆ + ΕΜ ˆ = 80 () Οµίως και τ τετράπλευρ ΑΕΜΖ είναι εγγράψιµ ( ΑΕΜ ˆ + ΑΖΜ ˆ = 90 + 90 = 80 ), πότε η πλευρά τυ ΕΜ φαίνεται από τις κρυφές Α και Ζ υπό ίσες γωνίες. Άρα ΕΑΜ ˆ = ΕΖΜ ˆ (). Στ τρίγων ΑΕΜ η ΕΜ ˆ είναι εξωτερική, πότε: ΕΜ ˆ ΕΑΜ ˆ ΑΕΜ ˆ ΕΜ ˆ ΕΑΜ ˆ 90 Στ τετράπλευρ ΒΕΖΓ έχυµε: = + = + (3) ( ) ( ˆ ) () (3) () ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Β + ΕΖΓ = Β + ΕΖΜ + ΜΖΓ = Β + ΕΑΜ + 90 = Β + ΕΜ = 80 Άρα τ ΒΕΖΓ είναι εγγράψιµ, αφύ δύ απέναντι γωνίες τυ είναι παραπληρωµατικές. E M Z

68. Εγγεγραµµένα και εγγράψιµα τετράπλευρα Άσκηση 5 Σε γωνία xoψ ˆ παίρνυµε τη διχτόµ Ο και τ εσωτερικό της σηµεί Ρ της Οψ ˆ. Αν Α,Β,Γ είναι ι πρβλές τυ Ρ στις ηµιευθείες Ο, Οx, Oψ, να δειχθεί ότι: α. Τα σηµεία Ο, Β, Α, Ρ, Γ είναι µκυκλικά β. ΑΒ = ΑΓ. O α. Τα τετράπλευρα ΑΡΒΟ και ΓΡΒΟ, είναι εγγράψιµα στν κύκλ πυ διέρχεται απτα σηµεία Ρ, Β, Ο, αφύ έχυν τις απέναντι γωνίες παραπληρωµατικές. Άρα τα σηµεία Ο, Γ, Α, Ρ, Β είναι µκυκλικά. β. Επίσης είναι Ο ˆ ˆ = Ο, άρα και = Γ,δηλ.ΑΓ = ΑΒ. x K P y Άσκηση 6 ύ κύκλι (Κ, R) και (Λ, ρ) µε R > ρ εφάπτνται εξωτερικά στ σηµεί Α. Από τ σηµεί τυ κύκλυ (Λ,ρ) φέρυµε ευθεία πυ εφάπτεται στν κύκλ (Λ, ρ) και τέµνει τν κύκλ (Κ, ρ) στα σηµεία Β, Γ. Να δείξετε ότι η Α είναι εξωτερική διχτόµς της γωνίας ˆΑ τυ τριγώνυ ΑΒΓ. Αρκεί να δείξυµε ότι: ΒΑ ˆ = ΛΑ ˆ Στ τρίγων ΑΓ η ΛΑ ˆ είναι εξωτερική τυ γωνία, πότε: ΛΑ ˆ = ΑΓΒ ˆ + Α Ε ˆ () Φέρυµε την κινή εσωτερική εφαπτµένη των δύ κύκλων, E η πία τέµνει της Γ στ Ε. Τότε ΕΑ = Ε σαν εφαπ- τόµενα τµήµατα από τ Ε πρς τν κύκλ (Λ, ρ). Άρα Α Ε ˆ = ΑΕ ˆ () σαν πρσκείµενες γωνίες στη βάση ισσκελύς τριγώνυ. Επίσης ΕΑΒ ˆ = ΑΓΒ ˆ (3) διότι η γωνία από χρδή και ε- Ê φαπτµένη είναι ίση µε την εγγεγραµµένη πυ βαίνει στ αντίστιχ τόξ της. Ë Η () () ΛΑ ˆ = ΕΑΒ ˆ + ΑΕ ˆ ΛΑ ˆ = ΒΑ ˆ (3) Άσκηση 7 Σε τρίγων ΑΓ γράφυµε τις εφαπτόµενες τυ περιγεγραµµένυ κύκλυ στις κρυφές Β και Γ, πυ τέµννται στ σηµεί M. Αν Π,Σ,Ρ είναι ι πρβλές τυ Μ στις πλευρές τυ ριγώνυ ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ αντίστιχα,να δείξετε ότι τ τετράπλευρ ΜΠΣΡ είναι παραλληλόγραµµ.

Εγγεγραµµένα και εγγράψιµα τετράπλευρα 69. Τα ΒΣΜΠ και ΣΜΡΓ είναι εγγράψιµα,αφύ έχυν τις απέναντι γωνίες παραπληρωµατικές. Απ αυτά έχυµε τις ισότητες: Σˆ ˆ ˆ ˆ = Β = Γ = ΣΜΡ = ω, και Σˆ ˆ ˆ ˆ = Γ = Β= φ. Άρα ΠΣ//ΜΡ και ΜΠ//ΣΡ,δηλ. τ ΜΠΣΡ είναι παραλληλόγραµµ. Άσκηση 8 Αν η διχτόµς της γωνίας ˆΑ τριγώνυ ΑΒΓ τέµνει τν περιγεγγραµµέν κύκλ τυ τριγώνυ σε σηµεί, να δείξετε ότι: α. Τ τρίγων ΙΒ είναι ισσκελές, όπυ Ι είναι τ εγκεντρ τυ τριγώνυ ΑΒΓ. β. Τ σηµεί είναι περίκεντ τυ τριγώνυ ΙΒΓ. α. Φέρυµε τις διχτόµυς των γωνιών ˆΑ και ˆΒ τυ τριγώνυ ΑΒΓ, ι πίες τέµννται στ έγκεντρ Ι. Τότε: ˆ ˆ ˆΑ ˆΒ Α = Α = και Βˆ = Βˆ =. Στ τρίγων ΙΒ έχυµε: η γωνία τυ ΒΙ ˆ είναι εξωτερική γωνία τυ τριγώνυ I ΑΒΙ, πότε: Βˆ Αˆ Αˆ Βˆ ΒΙ ˆ Βˆ ˆ + 3 = + Α = + = Βˆ Αˆ Αˆ Βˆ ΙΒ ˆ Βˆ ˆ ˆ ˆ + = + Β3 = Β + Α = + =, αφύ ˆΒ ˆ 3 = Α σαν εγγεγραµµένες γωνίες πυ βαίνυν στ ίδι τόξ Γ. Άρα ΒΙ ˆ = ΙΒ ˆ πότε τ τρίγων ΙΒ είναι ισσκελές µε κρυφή τ, πότε: Β = Ι () β. Επειδή ι εγγεγραµµένες γωνίες Α,Α ˆ ˆ είναι ίσες, θα είναι ίσες και ι αντίστιχες χρδές τυς, δηλαδή Β = Γ () Από () και () έχυµε: Β = Ι = Γ, δηλαδή τ ισαπέχει από τις κρυφές τυ τριγώνυ ΙΒΓ, άρα είναι τ περίκεντρ τυ. Άσκηση 9 Σε τρίγων ΑΒΓ φέρνυµε την διχτόµ τυ Α και γράφυµε τυς περιγεγραµµένυς κύκλυς στα τρίγωνα Α Β και Α Γ πυ τέµνυν τις πλευρές ΑΓ και ΑΒ στα σηµεία Ε και Ζ αντίστιχα. Να απδείξετε ότι ΒΖ=ΓΕ.

70. Εγγεγραµµένα και εγγράψιµα τετράπλευρα Φέρνυµε τις Ζ και Ε και συγκρίνυµε τα τρίγωνα Β Ζ και ΕΓ. Αυτά έχυν: Ε = Β και Ζ = Γ σαν χρδές ίσων τόξων, και ˆ ˆ = (γιατί η ˆ = Α ως εξωτερική τυ ΑΖ Γ, όµια ˆ ˆ = Α σαν εξωτερική τυ ΑΕ Β). Άρα τα τρίγωνα Β Ζ και ΕΓ είναι ίσα και από την ισότητα αυτών έπεται ότι είναι ΒΖ = ΓΕ. Άσκηση 0 Σε τρίγων ΑΒΓ θεωρύµε τα ύψη τυ Β και ΓΕ. Αν Η τ ρθόκεντρ τυ τριγώνυ ΑΒΓ, Μ τ µέσ της πλευράς ΑΒ και Ν τ µέσ τυ ΗΒ, να απδείξετε ότι τ τετράπλευρ ΜΕΝ είναι εγγράψιµ. Στ ρθγώνι τρίγων η Μ είναι η διάµεσς τυ πυ αντιστιχεί στην υπτείνυσα τυ ΑΒ. Άρα ΑΒ Μ = = ΑΜ. Συνεπώς τ τρίγων Α Μ είναι ισσκελές µε κρυφή τ Μ, πότε ˆ ˆ = Α () ως πρσκείµενες γωνίες στην βάση τυ Α. Τότε για την εξωτερική γωνία M E N H ˆΜ τυ τριγώνυ Α Μ έχυµε: Μˆ ˆ ˆ ˆ = Α+ ˆ Μ = Α (). Τ τετράπλευρ Α ΗΕ έχει Α Η ˆ + ΑΕΗ ˆ = 90 + 90 = 80, δηλαδή δύ απέναντι γωνίες τυ είναι παραπληρωµατικές, πότε είναι εγγράψιµ. Συνεπώς θα ισχύει ότι ˆΗ ˆ = Α (3), αφύ κάθε εξωτερική γωνία εγγράψιµυ τετραπλευρύ είναι ίση µε την απέναντι εσωτερική. Στ ρθγώνι τρίγων ΒΕΗ η ΕΝ είναι διάµεσς πυ αντιστιχεί στην υπτείνυσα ΒΗ. ΒΗ Άρα ΕΝ = = ΝΗ. ηλαδή τ τρίγων ΕΝΗ είναι ισσκελές µε κρυφή Ν. Άρα Η ˆ = Εˆ (4) ως πρσκείµενες γωνίες στη βάση τυ. Οπότε για την εξωτερική τυ γωνία ˆΝ έχυµε: () (3) Νˆ = Εˆ + Ηˆ Νˆ = Ηˆ Νˆ = Μˆ. Άρα τ τετράπλευρ ΜΕΝ είναι εγγράψιµ, αφύ µια εξωτερική γωνία τυ είναι ίση µε την απέναντι εσωτερική. ()

Εγγεγραµµένα και εγγράψιµα τετράπλευρα 7.. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Σε τρίγων ΑΒΓ γράφυµε τν περιγγεγραµµέν κύκλ µε κέντρ τ Κ. Αν Ρ τ αντιδιαµετρικό τυ Α, Μ τ µέσ της ΒΓ, Η και Θ τ ρθόκεντρ και τ βαρύκεντρ τυ τριγώνυ ΑΒΓ αντίστιχα,να δείξετε ότι: α. Τ ΡΒΗΓ είναι παραλληλόγραµµ Ë H È K Z β. ΑΗ ΚΜ = P M γ. Τα σηµεία Η, Θ, Κ είναι συνευθειακά (ευθεία τυ Euler) δ. ΗΘ = ΘΚ. K P. Σε τρίγων ΚΛΜ, έστω Ο τ έγκεντρ και Ν τ σηµεί, πυ η διχτόµς της γωνίας Κ τέµνει τν περιγεγραµµέν τυ κύκλ. Να απδείξετε ότι NM = NΟ= NΛ. M Ï Ë Í 3. Να απδείξετε ότι τα ύψη ξυγωνίυ τριγώνυ είναι εσωτερικές διχτόµι τυ ρθικύ τυ τριγώνυ. Æ Ç 4. Έστω δύ κύκλι µε κέντρα Ο και Π πυ εφάπτνται εξωτερικά στ σηµεί Κ. Από τ Κ φέρνυµε ευθεία, πυ τέµνει τυς κύκλυς στα σηµεία Ρ και Σ αντίστιχα. Φέρνυµε την κινή εξωτερική εφαπτόµενη ΜΝ. Αν ι ΡΜ, ΣΝ τέµννται στ σηµεί Λ,να δείξετε ότι τ τετράπλευρ ΚΜΛΝ είναι εγγράψι- µ. Ñ O M K T Ë Ð N Ó 5. Σε κύκλ µε κέντρ τ Κ φέρνυµε µία χρδή Γ πυ διέρχεται από τ µέσ Λ χρδής ΣΤ. Φέρνυµε τις εφαπτόµενες στα σηµεία Γ και, πυ τέµνυν την ευθεία ΣΤ στα Ρ και Ζ αντίστιχα. Να δείξετε ότι ι ΡΣ και ΤΖ είναι ίσες. Ñ Ó K Ë Ô Æ

7. Εγγεγραµµένα και εγγράψιµα τετράπλευρα 6. Θεωρύµε ισσκελές τραπέζι τέτι ώστε η διάµεσς τυ να είναι ίση µε µία από τις µη παράλληλες πλευρές τυ. Να δείξετε ότι τ τραπέζι είναι περιγράψιµ σε κύκλ. Æ 7. Σε τρίγων ΑΒΓ νµάζυµε τ έγκεντρ και Ε τ παράκεντρ της πλευράς ΑΓ. Να δείξετε ότι τ τµήµα Ε διχτµείται από τν περιγγεγραµµέν κύκλ τυ τριγώνυ. 8. ΤετράπλευρΑΒΓ είναι εγγεγραµµέν σε κύκλ (Κ,ρ). Φέρνυµε τις ΓΕ και ΒΖ κάθετες αντίστιχα στις Β,ΑΓ. Να δείξετε ότι ι ΕΖ και Α είναι παράλληλες. Æ 9. ύ κύκλι τέµννται στα Α,Β. Αν Σ είναι ένα σηµεί τυ πρώτυ κύκλυ και ι ΣΑ, ΣΒ τέµνυν τν άλλ κύκλ στα Γ και, να δείξετε ότι η ευθεία πυ διέρχεται από τ Σ και από τ κέντρ Κ τυ πρώτυ κύκλυ είναι κάθετη στη Γ. Ó 0. Στ τρίγων ΑΒΓ κατασκευάζυµε δύ κύκλυς, πυ διέρχνται από τις κρυφές τυ Α και Β και τέµνυν τις πλευρές ΑΓ και ΒΓ ένας στα σηµεία, Ε και άλλς στα σηµεία και Ε. Να δείξετε ότι Ε και Ε είναι παράλληλες. ' '

Εγγεγραµµένα και εγγράψιµα τετράπλευρα 73.. Γράφυµε κύκλ (Ο,ρ).Έστω Κ τ µέσ ενός κυρτγώνιυ τόξυ ΑΒ και Γ, δύ σηµεία τυ µη κυρτγώνιυ τόξυ ΑΒ. Αν ι χρδές ΚΓ και Κ τέµνυν την ΑΒ στα σηµεία Λ και Μ, να δειχθεί ότι τ τετράπλευρ ΓΛΜ είναι εγγράψιµ. Ë O M K. Γράφυµε τη διάµετρ ΑΒ κύκλυ (Ο,ρ) και δύ χρδές ΑΓ και Α τυ κύκλυ εκατέρωθεν της διαµέτρυ. Αν η εφαπτόµενη στ Β, τέµνει τις πρεκτάσεις των ΑΓ και Α στα σηµεία Λ και Μ, να δείξετε ότι τ ΓΛΜ είναι εγγράψιµ σε κύκλ. O Ë Ì 3. Στ µη περιγράψιµ τετράπλευρ ΑΒΓ νµάζυµε Κ,Λ,Μ,Ν, τα σηµεία όπυ τέµννται ι διχτόµι των γωνιών τυ. Να δειχθεί ότι τ ΚΛΜΝ είναι εγγράψιµ σε κύκλ. Ë Ê Ì Í 4. Αν ι πλευρές ΑΒ και Γ εγγεγραµµένυ τετράπλευρυ ΑΒΓ τέµννται στ Ε και ι πλευρές Α και ΒΓ στ Ζ και η διχτόµς της γωνίας Ε τέµνει τις ΒΓ, Α στα σηµεία Κ, Μ και η διχτόµς της ˆΖ τέµνει τις πλευρές Γ και ΑΒ, στα Λ, Ρ, να δείξετε ότι: α. Οι διχτόµι των Ε και Ζ τέµννται κάθετα. β. Τ τετράπλευρ ΚΛΜΡ, είναι ρόµβς.. ΤΟ ΞΕΧΩΡΙΣΤΟ ΘΕΜΑ Στ ρθγώνι τρίγων ΑΒΓ ˆ (Α=90 ) έστω Ο τ κέντρ τυ εγγεγραµµένυ τυ κύκλυ και Λ, Μ και Κ τα σηµεία επαφής αυτύ µε τις πλευρές ΒΓ, ΓΑ και ΑΒ αντίστιχα. Αν Ρ είναι η πρβλή τυ Μ στην ΚΛ, να δείξετε ότι: α) τ τρίγων ΑΡΓ είναι ρθγώνι και β) τα σηµεία Α, Μ, Ο, Ρ και Κ, είναι µκυκλικά.