1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1 Ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Έστω ΑΒΓ ένα ορθογώνιο τρίγωνο Είναι γνωστό ότι: ( ΑΒ) ηµ Γ= ( ΒΓ ) ( ΑΓ) συν Γ= ( ΒΓ ) ( ΑΒ) εφ Γ= ( ΑΓ ) ( ΑΓ) σφ Γ= ( ΑΒ ) Αυτοί είναι οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της οξείας γωνίας Γ. Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί είναι καθαροί αριθμοί, δηλαδή δεν έχουν μονάδες μέτρησης και βοηθούν στην εύρεση της γωνίας. Μονάδες μέτρησης γωνιών: Οι γωνίες μετρώνται σε μοίρες και σε ακτίνια (rad). 1 μοίρα (1 ο ): 1 μοίρα είναι η γωνία που όταν γίνει επίκεντρη κύκλου (0,R), βαίνει σε τόξο που έχει μήκος ίσο με το 1/360 του κύκλου. 1 ακτίνιο (1rad): 1 rad είναι η γωνία που όταν γίνει επίκεντρη κύκλου (ο,r), βαίνει σε τόξο που έχει μήκος ίσο με την ακτίνα R του κύκλου. Αν α είναι τα ακτίνια και μ οι μοίρες μιας γωνίας, τότε η σχέση που συνδέει το α και το μ, είναι a µ π = 180 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Ο υπολογισμός των τριγωνομετρικών αριθμών γίνεται με τη βοήθεια του τριγωνομετρικού κύκλου. Κατασκευή: Με κέντρο την αρχή των αξόνων Ο(0,0) και ακτίνα ρ=1 κατασκευάζουμε έναν κύκλο.
Θετική-Αρνητική γωνία: Αν ο άξονας Ox κινείται προς την αντίθετη φορά των δεικτών του ρολογιού τότε η γωνία που κατασκευάζετε είναι θετική. Ενώ αν κινείται προς την φορά των δεικτών του ρολογιού τότε η γωνία είναι αρνητική. Γεωμετρική ερμηνεία ημιτόνου-συνημιτόνου: Γεωμετρικά το ημίτονο μιας γωνίας αντιστοιχίζεται στον άξονα yy, ενώ το συνημίτονο στον άξονα xx. Σύνολο τιμών: Επειδή η ακτίνα του κύκλου είναι R=1, τότε θα ισχύει -1 ημω 1 και -1 συνω 1. Γεωμετρική ερμηνεία εφαπτομένης-συνεφαπτομένης : Αν στον κύκλο την κατακόρυφη εφαπτομένη που είναι παράλληλη στον yy, τότε αυτή η ευθεία ονομάζεται ευθεία των εφαπτόμενων. Αντίστοιχα αν φέρουμε την οριζόντια εφαπτομένη του κύκλου που είναι παράλληλη στον xx, τότε αυτή η ευθεία ονομάζεται ευθεία των συνεφαπτομένων. ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ 1 ο ο 3 ο 4 ο ηµω + + - - συνω + - - + εφω + - + - σφω + - + - Όλοι θετικοί Ημίτονο θετικό Εφαπτόμενη θετική Συνημίτονο θετικό ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Ενώ το ημω και το συνω μπορούν να πάρουν τιμές στο διάστημα [-1,1], αντίθετα η εφω και η σφω παίρνουν τιμές σε όλο το R. Μοίρες Ακτίνια ηµω συνω εφω σφω 0 ο 0 0 1 0 -
30 ο π/6 1/ 3/ 3/3 3 45 ο π/4 / / 1 1 60 ο π/3 3/ 1/ 3 3/3 90 ο π/ 1 0-1 180 ο π 0-1 0-70 ο 3π/ -1 0-0
ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1 ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ Γωνίες που διαφέρουν κατά κ στροφές ηµ κπ + φ = ηµφ, συν κπ + φ = συνφ, εφ κπ + φ = εφφ, σφ κπ + φ = σφφ, κ ( ) ( ) ( ) ( ) Συμπληρωματικές π ηµ φ συνφ συν φ ηµφ εφ φ σφφ, σφ π = = = φ = εφφ π Γωνίες που διαφέρουν κατά π ηµ φ συνφ συν φ ηµφ εφ φ σφφ, σφ π + = + = + = + φ = εφφ Παραπληρωματικές ηµ π φ = ηµφ, συν π φ = συνφ, εφ π φ = εφφ, σφ π φ = σφφ ( ) ( ) ( ) ( ) Γωνίες που διαφέρουν κατά π ηµ π + φ = ηµφ, συν π + φ = συνφ, εφ π + φ = εφφ, σφ π + φ = σφφ ( ) ( ) ( ) ( ) Αντίθετες γωνίες ηµ φ = ηµφ, συν φ = συνφ, εφ φ = εφφ, σφ φ = σφφ ( ) ( ) ( ) ( ) Επίσης ισχύουν ηµ κπ φ = ηµφ, συν κπ φ = συνφ, εφ κπ φ = εφφ, σφ κπ φ = σφφ, κ ( ) ( ) ( ) ( ) 3 π 3 3 3 ηµ φ συνφ συν φ ηµφ εφ φ σφφ, σφ π = = = φ = εφφ 3 π 3 3 3 ηµ φ συνφ συν φ ηµφ εφ φ σφφ, σφ π + = + = + = + φ = εφφ Μνημονικός κανόνας για ανάγωγη στο 1 ο τεταρτημόριο Αν η γωνία έχει τη μορφή κπ ± φ, κ, τότε ο τριγωνομετρικός αριθμός δεν αλλάζει. κπ Αν η γωνία έχει τη μορφή ± φ, όπου κ περιττός ακέραιος, τότε ο τριγωνομετρικός αριθμός αλλάζει, δηλαδή εναλλάσσουμε το ημ με συν και εφ με σφ. π Για το πρόσημο, αν υποθέσουμε ότι 0 < φ < βρίσκουμε σε ποιο τεταρτημόριο καταλήγει η κπ γωνία ( κπ ± φ ) ή ± φ, και βάζουμε το πρόσημο που έχει ο τριγωνομετρικός αριθμός σε αυτό το τεταρτημόριο.
ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 1. ηµ ω + συν ω = 1 ηµω συνω. εφω =, σφω = συνω ηµω 3. εφω σφω = 1 ηµ ω συν ω 1 1 1 4. ηµ ω + συν ω = 1 + = εφ ω + 1 = συν ω = συν ω συν ω συν ω συν ω εφ ω + 1 εφ ω ηµ ω = εφ ω + 1 ηµ ω συν ω 1 1 1 5. ηµ ω + συν ω = 1 + = 1+ σφ ω = ηµ ω = ηµ ω ηµ ω ηµ ω ηµ ω σφ ω + 1 συν ω = σφ ω σφ ω + ν Προσοχή! ( ) ν 1 ηµ ω = ηµω και ν ν ηµω = ηµ ( ω )
ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α.ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Παράδειγμα 1 ο Έστω γωνία φ (π/3,π/) με συνφ= - 1.Να υπολογίσετε 13 τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας φ. Ισχύει ημ φ+συν φ=1 άρα ημ φ=1-144 = 5 169 169 άρα ημ φ= 5 ή ημφ= - 5, όμως ημφ< 0 13 13 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Χρησιμοποιούμε τις βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες. άρα ημ φ= - 5 13 οπότε εφ φ= ηηηηηη σσσσσσσσ = 5 1 και σφφ= - 1 5 Παράδειγμα ο Αν εφω= - με ω ( 3ππ,π).Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. εφω= - άρα σφω= -1/ Ισχύει ημ ω= εεεε ωω = 4 = 4 άρα 1+εεεε ωω 1+4 5 ημω = = 5 και συν 1 ω= 5 5 συνω = 1 = 5 5 5 1+εεεε ωω = 1 5 άρα Β. ΑΠΟΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Παράδειγμα 3 ο Να αποδείξετε ότι 1. ημ θ (1+σφ θ) = 1. εεεεεε+σσσσσσ = εεεεεε εεεεεε+σσσσσσ εεεεεε 3. (1-συνφ)(1+ 1 ) = ηηηηxxεεεεxx σσσσσσxx 1. ημ θ (1+ σσσσσσ θθ ) = ηηηη θθ ηηηη φφ ηηηη θθ (ημ θ+συν θ)=1 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ: Χρησιμοποιούμε τις βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες και τριγωνομετρικό πίνακα. Η συνθήκη μπορεί να δειχθεί με ισοδυναμίες παίρνοντας και τα δύο μέλη ταυτόχρονα.. εεεεεε+ 1 εεεεεε εεεεεε+ 1 = εεεεεε εεεεεεεεεεεε+1 εεεεεε εεεεεεεεεεεε+1 = εεεεεε εεεεεε εεεεεε 3. (1-συνx)( σσσσσσxx+1 xx σσσσσσxx )=1 σσσσσσ = ηηηη xx ηηηηxx = ηηηηxx = σσσσσσxx σσσσσσxx σσσσσσxx
= ηηηηxxεεεεxx Παράδειγμα 4 ο Να αποδειχθεί ότι 1. ημ 6 ω+συν 6 ω=1-3ημ ω συν ω. 1+ηηηηxx 1 ηηηηxx 1 ηηηηxx = εεεεxx αν x (-π/,π/) 1+ηηηηxx 6 6 3 ηµ ω + συν ω = ηµ ω + συν ω 3 = 1. ( ) ( ) ( ηµ ω 4 συν ω)( ηµ ω συν ω ηµ ω 4 συν ω) 4 4 = 1 ( ηµ ω + συν ω συν ω ηµ ω) = ( ) = ( 1 3συν ω ηµ ω) = + + = ( ηµ ω συν ω συν ω ηµ ω συν ω ηµ ω) = + =. 1+ηµx 1+ηµx 1+ηµx 1 ηµ x 1 ηµx 1 ηµx = ( 1+ηµx) ( 1 ηµx) 1+ηµx (1 ηµx)(1+ηµx) = = ηµx συν x = ηµx συνx = εφx Παράδειγμα 5 ο Να αποδείξετε ότι ηµθ + συνθ. ηµθ + συνθ ηµθ + συνθ ( ) ηµθ + συνθ ηµθ + συνθ ηµ θ + συν θ + ηµθ συνθ ηµθ συνθ 1 0 ηµ θ + συν θ ηµθ συνθ 0 ( ηµθ συνθ ) 0 Ισχύει για κάθεθ. Γ.ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΓΝΩΣΤΩΝ ΓΩΝΙΩΝ (ΑΝΑΓΩΓΕΣ ΣΤΑ ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΑ) = Παράδειγμα 6 ο ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ
Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών 1. 100 ο. -850 ο 3. 187 6 ππrrrrrr Διαιρούμε την γνωστή γωνία με το 360 ο αν είναι μοίρες Γράφουμε τις γωνίες ως πολ/σια του π αν είναι rad. 1. 100 ο =3 360 ο +10 ο άρα ημ100 ο = ημ(3 360 ο +10 ο )= ημ10 ο = ημ(180 ο -60 ο ) = ημ60 ο = 3 συν100 ο = συν10 ο = - ½ εφ100 ο = εφ10 ο = - 3 σφ100 ο = σφ10 ο = - 3 3. 850 = 7 360 + 330 ημ (-850 ο )= - ημ(850 ο )= - ημ(330 ο )= - ημ(360 ο -30 ο ) = =ημ30 ο =1/ συν(-850 ο )=συν(850 ο )= συν(330 ο ) = συν30 ο = 3 εφ(-850 ο ) = - εφ(850 ο )= - εφ(330 ο ) = εφ30 0 = 3 3 σφ(-850 0 )= 3 3. 187ππ = 187. ππ, με 187=15 1 + 7 6 1 άρα 187ππ = 15 + 7 ππ=15 ππ + 7ππ 6 1 6 ημ 187ππ = ηηηη 6 7ππ = ηηηη ππ + ππ = ηηηη ππ = 1 6 6 6 συν( 187ππ 6 ) = σσσσσσ ππ + ππ 6 = σσσσσσ ππ 6 = 3 εφ( 187ππ ) = 3 6 3 σφ=( 187ππ ) = 3 6 Δ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ (ΑΝΑΓΩΓΕΣ ΣΤΑ ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΑ) Παράδειγμα 7 ο Να αποδείξετε ότι εφ(π x)συν(π + x)συν 9π + x ηηηη(13ππ + xx)σσσσσσ( xx)σσσσ 1ππ = 1 xx Ισχύουν: εφ (π-x)= - εφx ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Χρησιμοποιούμε την μεθοδολογία της κατηγορίας Γ και στη συνέχεια Τους τύπους που υπάρχουν για τις αναγωγές στα τεταρτημόρια.
συν(π+x)= συνx συν( 9ππ + xx) = σσσσσσ 4ππ + ππ + xx = σσσσσσ ππ + xx = ηηηηxx ημ(13π+x)= ημ(π+x)= - ημx συν(-x) = συνx σφ( 1ππ xx) = σσσσ 10ππ + ππ xx = σσσσ ππ xx = εεεεxx άρα Α= ( εεεεxx) σσσσσσxx( ηηηηxx) = 1 ( ηηηηxx) σσσσσσxxεεεεxx Παράδειγμα 8 ο Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Β= ηηηη495οο σσσσσσ10 οο +σσσσσσ495 οο σσσσσσ( 10 οο ) εεεε( 10 οο )+εεεε495 οο ημ(495 ο )=ημ(360 ο +135 ο )=ημ(135 ο )=ημ(180 ο -45 ο )= ημ45 ο = συν10 ο =συν(180 ο -60 ο )= - συν60 ο = - 1 συν(495 ο )=συν(180 ο -45 ο )= - συν45 ο = συν(-10 ο )=συν10 ο = - 1 εφ(-10 ο )= - εφ10 ο = εφ60 ο = 3 εφ(495 ο )=εφ(180 ο -45 ο )= - εφ45 ο = -1 Β= 1 +( 1 )( 1 ) = 0 3 1 Παράδειγμα 9 ο Αν εφ( ππ xx) + 3 εεεε(ππ + xx) = 5 6 Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Γ= εφ ( ππ 3 xx)+εφ ( ππ + xx) 6 Ισχύει ( ππ xx) + ( ππ + xx) = ππ 3 6 Άρα ππ + 6 xx=ππ (ππ xx) 3 Οπότε εφ ( ππ + xx)= σφ 6 (ππ xx) 3 Οπότε εφ( ππ xx) + 3 εεεε(ππ + xx) = 5 τότε 6 [εφ( ππ xx) + 3 εεεε(ππ + 6 xx)] =5 εφ ( ππ 3 xx)+εφ ( ππ + 6 xx)+εφ(ππ xx) 3 εεεε(ππ + xx) = 5 6 εφ ( ππ 3 xx)+εφ ( ππ + 6 xx)+εφ(ππ 3 xx) σφ(ππ xx) = 5 3 άρα εφ ( ππ 3 xx)+εφ ( ππ + xx) = 3. 6 Όταν έχουμε συνθήκη τριγωνομετρικών αριθμών με άγνωστες γωνίες εξετάζουμε αν οι γωνίες έχουν κάποια σχέση μεταξύ τους. π.χ. Συμπληρωματικές, παραπληρωματικές, διαφέρουν κατά ππ, ππ, 3ππ, κκκκ κ.οκ.
Εξασκηση Α. ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ π 1.1) Αν φ, π και 4 ηµφ =, να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας 5 φ. 8 π 1.) Αν σφφ = με φ 0, 15 γωνίας φ. 3 4 3 συνφ =, εφφ =, σφφ = 5 3 4, να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της 1.3) Αν π 6ηµ x+ ηµ x 1 = 0, x π, εφx = 3 3 3 15 8 15 ηµφ =, συνφ =, εφφ = 17 17 8, να υπολογίσετε την εφx. 1.4) Αν ηµ x= συν x, να βρείτε την εφx. [ εφ x = 1] 1.5) Αν5συν x+ ηµ x= 3, να υπολογίσετε τηνσφ x. σφ x = 1 Β. ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 1.6) Να αποδειχθούν οι παρακάτω σχέσεις: 3 x συν x 1 = εφ 3 ( εφθ ηµθ ) + ( συνθ ) = ηµ x ηµ x συνθ συν i) x ii) 1 1 εφθ σφθ 1 1 1 4 ιιi) + = 1 + iv) = εφ θ + εφ θ 4 1 συνθ 1 εφθ ηµθ συνθ συν θ συν θ
v συν θ + ηµ θ ηµ θ = 4 4 ) 1 1.7) Να αποδείξετε ότι είναι ανεξάρτητες του θ, οι παραστάσεις: 6 6 4 4 Α= ηµ θ + συ θ 3ηµ θ 3συν θ και Β= 4 4 ηµ θ + ηµ θ συν θ συν θ 3ηµ θ 1 1.8) Να αποδείξετε ότι: 4 4 1 π i) ηµ θ + συν θ ii) ηµθ + συνθ > 1, 0 < θ < 3 ηµω iii) 1 1 + συνω Γ. ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 1.9) Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών o 11π 11π 1 i)765 ηµ ( 765 ) = ii) ηµ 6 = 6 1π 1π o iii) ηµ = 1 iv) 450 ηµ ( 450 ) = 1 Δ. ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 1.10) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης [ Α= 5] ο ο ο ηµ 150 + συν690 εφ( 60 ) A = ο ο 3συν40 + ηµ ( 450 ) 1.11) Να απλοποιήσετε την παράσταση [ Π= 1] π εφ( θ π ) συν ( π + θ ) συν + θ Π= 3π ηµ (7 π + θ ) συν ( π θ ) σφ θ ο ο ο ο 1.1) Να αποδείξετε ότι συν + ηµ 47 + ηµ 313 + συν 300 = 1. 1.13) Αν f( x) = ηµ x+ συν x, να αποδείξετε ότι f( x) + f( x) + f( π x) + f( π + x) = 0.
π 3π 5π 1.14) Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης A = συν + συν + συν. 1 1 1 3 Α= 1.15) Να αποδείξετε ότι ( x) 7π 3π 3π ηµ 7π + + ηµ + x + εφ σφ = 0 7 7 1.16) Να αποδείξετε ότι ο ( x) o ( x) o ( x) o ( x) ηµ 70 + ηµ 180 + 1 =. 1+ συν 90 + συν 180 π π 4 1.17) Αν ηµ x + ηµ + x =, να βρείτε την τιμή της παράστασης 4 4 3 π π B= ηµ x ηµ + x 4 4. 7 Β= 18 1.18) Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ να αποδείξετε ότι : A B+Γ i) συν A B 1 ii) εφ εφ 1 ηµ B ηµ A B ( + + Γ ) = = ( +Γ ) = ( ) 1.19) Να αποδείξετε ότι: 35 5 i) π π ii) π συν = συν ηµ x = συν 3π + x 6 6 ( ) 1.0) Να βρείτε τις τιμές που μπορεί να πάρει ο λ, ώστε να έχουν νόημα οι παρακάτω ισότητες. ( Υπόδειξη 1 ηµθ ηµ θ 1,0 1 συνθ συν θ ) [ ] i) συν x= 5 λ λ 3 λ 1 ii) ηµ x = 3λ + 1 [ λ ή λ 0] 3λ iii) συν x = λ + 0 λ 1ή λ [ ]