Σε βιομηχανικό περιβάλλον η αποθεματοποίηση γίνεται στις εξής μορφές

3. ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΟΣ 3. Τι Είναι Απόθεμα Σε βιομηχανικό περιβάλλον η αποθεματοποίηση γίνεται στις εξής μορφές. Απόθεμα Α, Β υλών και υλικών συσκευασίας: Είναι το απόθεμα των υλικών που χρησιμοποιούνται στην παραγωγή των προϊόντων της εταιρίας (D, E και C στο Σχήμα 3.). Απόθεμα ημιετοίμων: Είναι το απόθεμα υποσυναρμολογημάτων που παράγονται από την εταιρία αλλά δεν αποτελούν τελικά προϊόντα (Β στο Σχήμα 3.) 3. Απόθεμα παραγωγής σε εξέλιξη: Είναι το απόθεμα ημικατεργασμένων ειδών που βρίσκονται εντός του χώρου παραγωγής και εκτός οιασδήποτε αποθήκης. 4. Απόθεμα τελικών προϊόντων (ετοίμων): Το απόθεμα αυτό αποθηκεύεται είτε στις αποθήκες τελικών προϊόντων του εργοστασίου είτε στα κέντρα διανομής της εταιρίας (Α στο Σχήμα 3.) Σχήμα 3. Τυπική δομή τελικού προϊόντος (Α) που αποτελείται από ημιέτοιμα (Β) και προμηθευόμενα υλικά (C, D, E) 9

3. Ανάγκη Διατήρησης Αποθέματος Το κόστος αποθεματοποίησης είναι σημαντική συνιστώσα του κόστους εντός προϊόντος. Υπολογίζεται ότι σε ανεπτυγμένες οικονομίες η αξία των συνολικών αποθεμάτων είναι της τάξης του 0% του ΑΕΠ. Οι βασικότεροι λόγοι που καθιστούν απαραίτητη την διατήρηση αποθέματος είναι οι εξής: Αβεβαιότητα Η αβεβαιότητα είναι πανταχού παρούσα στο βιομηχανικό περιβάλλον. Ως παραδείγματα αναφέρονται η αβεβαιότητα ζήτησης, η αβεβαιότητα χρόνου παράδοσης από τους προμηθευτές, η αβεβαιότητα χρόνου παραγωγής, η αβεβαιότητα διαθεσιμότητας παραγωγικών πόρων (βλάβες κλπ.). Το απόθεμα είναι, ίσως, ο μόνος τρόπος αντιμετώπισης των επιπτώσεων της αβεβαιότητας (βλ. κατωτέρω) Αβεβαιότητα Ζήτηση πελάτη Χρόνου Παραγωγής Διαθεσιμότητα Πόρων Χρόνος παράδοσης από προμηθευτή Απόθεμα Τελικών προϊόντων Ημιέτοιμων Ημιέτοιμων, τελικών προϊόντων Α, Β υλικών και υλικών συσκευασίας Εξοικονόμηση Σταθερού Κόστους Το κόστος παραγωγής κάθε προϊόντος περιλαμβάνει σταθερά κόστη, μεταβλητά κόστη, και έμμεσα κόστη. Τα σταθερά κόστη αντιστοιχούν στο κόστος προετοιμασίας του συστήματος παραγωγής για να παράγει ένα συγκεκριμένο είδος (πριν καν ακόμη παράγει μία μονάδα του είδους αυτού). Είναι προφανές, ότι όσο μεγαλύτερη είναι η ποσότητα παραγωγής του είδους κάθε φορά που παράγεται, τόσο μικρότερο είναι το σταθερό κόστος ανά μονάδα μέτρησης του είδους. Φυσικά, η παραγωγή ποσοτήτων που είναι μεγαλύτερες από τη ζήτηση, έχει ως αποτέλεσμα την δημιουργία αποθέματος. Επισημαίνεται ότι η παραγωγή μεγάλων ποσοτήτων έχει και άλλα ισχυρά σημεία (εκτός της εξοικονόμησης του σταθερού κόστους) αλλά και σημαντικότατα αδύνατα σημεία. Για παράδειγμα, ισχυρό σημείο αποτελεί η μείωση της νευρικότητας (nervousness) που επιφέρουν σε κάθε σύστημα παραγωγής οι συχνές αλλαγές (οι οποίες, με την σειρά τους, αποτελούν φυσικό επακόλουθο των μικρών ποσοτήτων παρτίδων παραγωγής). Αντίθετα, η παραγωγή μεγάλων ποσοτήτων για τις οποίες δεν υπάρχει παρούσα ζήτηση (αλλά υπάρχει μελλοντική) απασχολεί του πόρους παραγωγής και περιορίζει τη διαθεσιμότητα τους για την παραγωγή άλλων ειδών για τα οποία υπάρχει παρούσα ζήτηση. Οικονομική Σκοπιμότητα Εάν η αξία ενός προϊόντος (κυρίως φυσικού πόρου) αναμένεται να αυξηθεί, τότε αποθεματοποιούνται ποσότητες για μελλοντική πώληση με στόχο την αύξηση των κερδών. Εφοδιαστική Αλυσίδα Η εφοδιαστική αλυσίδα περιλαμβάνει εκτός από την παραγωγή και δίκτυο διανομής (κέντρο διανομής, αντιπρόσωποι, καταστήματα λιανικής). Σε κάθε σημείο του δικτύου αυτού διατηρείται απόθεμα για την αποτελεσματική εξυπηρέτηση των απαιτήσεων του πελάτη (ustomer servie). Επιπλέον η τροφοδότηση των σημείων αποθήκευσης απαιτεί μεταφορά προϊόντων που, με τη σειρά της, προϋποθέτει την ύπαρξη (κινούμενου) αποθέματος. 0

3.3 Χαρακτηριστικά και Κόστη Αποθεματοποίησης Τα βασικά χαρακτηριστικά που διέπουν ένα σύστημα αποθεμάτων, αλλά και τον τρόπο διαχείρισης, του είναι: Ζήτηση: Η απλούστερη μορφή της ζήτησης είναι γνωστή και σταθερή (μοντέλο EO). Ακολουθεί η γνωστή και μεταβαλλόμενη (μοντέλο συγκεντρωτικού προγραμματισμού, αλλά και μοντέλο MRP) ή στοχαστική ζήτηση. Χρόνος αναμονής: Είναι ο χρόνος που μεσολαβεί από τη χρονική στιγμή που τοποθετείται η παραγγελία μέχρι τη χρονική στιγμή που παραλαμβάνονται τα είδη στην αντίστοιχη αποθήκη. Στην περίπτωση προμηθευόμενων ειδών ο χρόνος αναμονής αντιστοιχεί στο χρόνο που απαιτεί ο προμηθευτής για να παραδώσει την παραγγελία. Στην περίπτωση προμηθευόμενου είναι ο χρόνος που απαιτείται για την παραγωγή μιας παρτίδας του είδους. Και σε αυτή την περίπτωση ο χρόνος αναμονής ενδέχεται να είναι γνωστός σταθερός, γνωστός μεταβαλλόμενος, ή τυχαία μεταβλητή. Η διαχείριση των αποθεμάτων αποσκοπεί στη βέλτιστη ισορροπία δύο αντικρουόμενων στόχων: α) Το κόστος αποθεματοποίησης, το οποίο μπορεί να ποσοτικοποιηθεί σχετικά εύκολα, και β) την εξυπηρέτηση του πελάτη (ustomer servie) η οποία μετρείται συνήθως ως το ποσοστό των έγκαιρων παραδόσεων ως προς τις συνολικές παραγγελίες, και κοστολογείται όπως αναφέρεται παρακάτω. Το κόστος αποθεματοποίησης περιλαμβάνει το κόστος τήρησης αποθέματος και το κόστος παραγγελίας. Το κόστος τήρησης αποθέματος αποτελείται από Κόστος δεσμευμένου χρήματος Κόστος αποθήκευσης Κόστη ασφάλειας και φορολογίας Κόστη απαξίωσης, λήξης, κλπ. Το κόστος χρήματος (ή επενδυτικής ευκαιρίας) είναι σημαντικότατο και τις περισσότερες φορές υπερβαίνει κατά πολύ το τρέχον επιτόκιο καταθέσεων, καθότι οι επενδύσεις επιχειρήσεων αποφέρουν πολύ μεγαλύτερα ποσοστά κέρδους. Συνήθεις τιμές του κόστους τήρησης αποθέματος κυμαίνονται από 5% έως 35% και εξαρτώνται από την οικονομική συγκυρία. Το κόστος παραγγελίας περιλαμβάνει ένα σταθερό και ένα μεταβλητό τμήμα, δηλαδή ( ) o όπου o, γνωστές σταθερές και η ποσότητα παραγγελίας. Η σταθερά o σχετίζεται με πάγια κόστη όπως το κόστος του τμήματος προμηθειών ή (στην περίπτωση εντολής παραγωγής) το κόστος προετοιμασίας. Το κόστος μη εξυπηρέτησης του πελάτη είναι το κόστος που αποδίδεται στην έλλειψη διαθέσιμου αποθέματος για την ικανοποίηση παραγγελίας του πελάτη. Το κόστος αυτό προέρχεται είτε α) από την δυσαρέσκεια του πελάτη λόγω

καθυστερημένης παράδοσης (που οφείλεται στην μη ύπαρξη διαθέσιμου αποθέματος, είτε β) από χαμένες πωλήσεις. Επισημαίνεται ότι στην περίπτωση (α) ο πελάτης ενδέχεται να μειώσει μελλοντικές συναλλαγές του με την εταιρία λόγω της δυσαρέσκειας του. Για την μοντελοποίηση του κόστους αυτού γίνεται η παραδοχή σταθερού κόστους s ανά μονάδα έλλειψης. 3.4 Οικονομική Ποσότητα Παραγγελίας (EO) Πρόκειται περί του απλούστερου αλλά και βασικότερου μοντέλου διαχείρισης αποθεμάτων που όμως αναδεικνύει και απαντά στις δύο βασικές ερωτήσεις του σχετικού προβλήματος Πότε πρέπει να τεθεί η παραγγελία Πόση ποσότητα πρέπει να παραγγελθεί έτσι ώστε να ελαχιστοποιηθεί το κόστος διαχείρισης του αποθέματος. Το πρόβλημα στην περίπτωση αυτή βασίζεται στις εξής απλουστευτικές παραδοχές: Θεωρούμε ένα μοναδικό προϊόν Η ζήτηση είναι σταθερή και ισούται με λ μονάδες προϊόντων ανά μονάδα χρόνου (ημέρα, εβδομάδα κλπ.) Ο χρόνος αναμονής της παραγγελίας ισούται με μηδέν Δεν επιτρέπονται ελλείψεις αποθέματος Τα εξής κόστη λαμβάνονται υπόψη - Σταθερό κόστος αναπαραγγελίας o - Μεταβλητό κόστος παραγγελίας - Κόστος τήρησης αποθέματος ανά μονάδα προϊόντος και ανά μονάδα χρόνου Με βάση τις παραδοχές αυτές ο κύκλος μεταβολής του αποθέματος παρουσιάζεται στο Σχήμα 3.

Σχήμα 3. Μεταβολή αποθέματος στο μοντέλο EO Στο Σχήμα αυτό το αρχικό απόθεμα είναι 0. Η πρώτη παραγγελία για ποσότητα τίθεται τη χρονική στιγμή Ο και καθότι ο χρόνος αναμονής είναι μηδενικός, το απόθεμα αναπληρώνεται άμεσα σε ύψος. Η ποσότητα αυτή μειώνεται γραμμικά με ρυθμό (κλίση) λ. Καθότι ο χρόνος αναμονής είναι μηδενικός, η επόμενη παραγγελία για μονάδες τίθεται αμέσως μόλις μηδενισθεί το απόθεμα, δηλαδή τη χρονική στιγμή T 0 T και ο κύκλος επαναλαμβάνεται (περιοδικά) Ζητείται ο υπολογισμός της σταθερής ποσότητας αναπαραγγελίας ώστε να ελαχιστοποιηθεί το συνολικό κόστος διαχείρισης αποθέματος. Για τη λύση του προβλήματος αυτού γίνεται η παραδοχή ότι η χρονική περίοδος είναι ίση με ένα έτος ή οιαδήποτε άλλη μονάδα χρόνου (δηλαδή ελαχιστοποιείται το ετήσιο ή μοναδιαίο κόστος). Το κόστος παραγγελίας σύμφωνα με την Ενότητα 3.3 είναι C( ) 0 και το ετήσιο ή μοναδιαίο κόστος παραγγελίας δίνεται από C( ) T 0 T T 0 3

Το ετήσιο (ή μοναδιαίο) κόστος τήρησης αποθέματος υπολογίζεται από το μέσο απόθεμα, το οποίο όπως είναι φανερό από το Σχήμα 3. ισούται με /. Συνεπώς το ετήσιο (ή μοναδιαίο) κόστος τήρησης αποθέματος είναι και το συνολικό ετήσιο κόστος διαχείρισης είναι C m ( ) 0 Για την ελαχιστοποίηση του C m () έχουμε και d C m d ( ) d m C ( ) d 0 0 3 0 0 Επομένως, στο ελάχιστο 0 = 0 και 0 Όπου είναι η οικονομική ποσότητα αναπαραγγελιας (Eonomi Order uantity- EO). Η μορφή της μεταβολής του συνολικού κόστους διαχείρισης ως προς την ποσότητα παρουσιάζεται στο Σχήμα 3.3 4

Σχήμα 3.3 Η μεταβολή του συνολικού κόστους διαχείρισης σε σχέση με την ποσότητα αναπαραγγελίας Από το σχήμα αυτό φαίνεται ότι η βέλτιστη ποσότητα αντιστοιχεί στο σημείο τομής του αναλογικού κόστους αποθέματος και του σταθερού κόστους παραγγελίας ανά μονάδα μέτρησης. Η ποσότητα αυτή είναι η λύση της εξίσωσης της ΕO. Παράδειγμα Θεωρείστε πρατήριο βενζίνης που προμηθεύεται φίλτρα λαδιού βενζινοκινητήρων κόστους 0 ανά μονάδα. Το πρατήριο πωλεί.500 φίλτρα ετησίως. Το κόστος αποθέματος υπολογίζεται με βάση το ετήσιο ποσοστό 5%. Το σταθερό κόστος παραγγελίας υπολογίζεται σε 5. Να υπολογισθεί η βέλτιστη ποσότητα παραγγελίας και η περίοδος αναπαραγγελίας. Στο παράδειγμα αυτό 0 = 5 = 0 =.500 και το ετήσιο κόστος αποθέματος ανά μονάδα υπολογίζεται από 0(0,5),5 5

Συνεπώς 0 (5)(.500),5 34, 34 Η περίοδος αναπαραγγελίας είναι Τ= 34 = 0,09 έτη = 3,6 33 ημερολογιακές ημέρες.500 Επισημαίνεται ότι ο υπολογισμός της EO ενδέχεται να είναι μη ρεαλιστικός, καθότι μπορεί να οδηγήσει σε μεγάλες ποσότητες οι οποίες δεν δύνανται να αποθηκευθούν και, αντίστοιχα, σε μεγάλες περιόδους αναπαραγγελίας, οι οποίες δεν είναι πρακτικά εφαρμόσιμες λόγω της αναπόφευκτης δυναμικής της αγοράς. Η σημασία, όμως, της έννοιας της οικονομικής ποσότητας παραγγελίας έγκειται στην ανάδειξη της επιδιωκόμενης ισορροπίας μεταξύ του κόστους αποθεματοποίησης και του σταθερού κόστους παραγγελίας. Χρόνος Παραγγελίας Είναι προφανές ότι η παραδοχή μηδενικού χρόνου αναμονής της παραγγελίας δεν είναι ρεαλιστική. Έχοντας απαντήσει στο ερώτημα πόση ποσότητα πρέπει να παραγγελθεί ο υπολογισμός του πότε πρέπει να τεθεί η παραγγελία είναι απλός. Τα σχετικά βήματα σκιαγραφούνται μέσω δύο παραδειγμάτων. Παράδειγμα Έστω ότι ο χρόνος αναμονής της παραγγελίας των φίλτρων λαδιού του προηγούμενου παραδείγματος είναι L= 4 ημέρες. Τότε είναι προφανές ότι η παραγγελία πρέπει να τεθεί 4 ημέρες προ της λήξης του αποθέματος, δηλαδή τ= Τ - L= 33 4=9 ημέρες μετά την παραλαβή της προηγούμενης παραγγελίας. Το ύψος του αποθέματος που αντιστοιχεί σε αναπαραγγελία (reorder) είναι 34 R P L 4 56,84 57 φίλτρα T 33 Επισημαίνονται τα εξής: α) η ζήτηση λ στην παραπάνω εξίσωση πρέπει να έχει μονάδες αντίστοιχες με τον χρόνο αναμονής π.χ. ζήτηση ανά ημέρα β) είναι πολύ πιο πρακτικό να χρησιμοποιείται η ποσότητα R ως κριτήριο για να τεθεί η αναπαραγγελία (βλ. Σχήμα 3.4) Παράδειγμα Έστω, τώρα, ότι τα φίλτρα εισάγονται από τις ΗΠΑ (εκτός ΕΕ) και ότι ο χρόνος αναμονής της παραγγελίας είναι L= 56 ημέρες. Πότε πρέπει να τεθεί η παραγγελία και πιο είναι το αντίστοιχο απόθεμα; Είναι φανερό ότι και σε αυτή την περίπτωση (όπου L Τ)η παραγγελίες τίθενται περιοδικά με περίοδο Τ (και, φυσικά, ποσότητα ). Ο χρόνος που τίθεται η παραγγελία προ της λήξης του αποθέματος είναι (βλ. Σχήμα 3.5). 6

L L T T όπου συμβολίζει το ακέραιο μέρος. Επιπλέον R T T δηλαδή 56 56 34 33 3 ημέρες, R 3 33 33 93.4 94 φίλτρα Σχήμα 3.4 Σχέση χρόνου αναμονής (L) και αποθέματος αναπαραγγελίας (R) Περίπτωση L < T 7

Σχήμα 3.5 Σχέση χρόνου αναμονής () και αποθέματος αναπαραγγελίας (R) Περίπτωση L T Ανάλυση Ευαισθησίας 0 0 Το άθροισμα Y () του σταθερού κόστους και του κόστους T αποθεματοποίησης δεν είναι πολύ ευαίσθητο στο μέγεθος της παρτίδας. Δηλαδή, εάν το μέγεθος της παρτίδας διαφέρει από αυτό της οικονομικής ποσότητας παραγγελίας, η αντίστοιχη μεταβολή του κόστους είναι, σχετικά περιορισμένη. Αυτό φαίνεται εάν υπολογισθεί ο λόγος Y ( ) Y ( ) 0 0 0 Y( ) 0 Y( ) 0 0 0 8

Επομένως Y( ) Y( ) 0 0 0 0 ( ) Παράδειγμα Έστω = (δηλαδή παραγγέλλεται διπλάσια ποσότητα από την EO). Τότε Y ( ) 5 = ( ) Y ( ) 4, 5. Στο παράδειγμα των φίλτρων λαδιού εάν = 68 τότε και 0 ( ) Y (5) (500) 34 34 (.5) 67.5 67.5 (335.4) Y () (5) (500) 68 68 (.5) 48.95.5 335.4 Επισημαίνεται ότι η χρήση της ακέραιος ποσότητας =34 διαφοροποιεί (λίγο) την ισότητα μεταξύ των δύο όρων της Y (). Η Οικονομική Ποσότητα Παραγγελίας στην Παραγωγή Στα παραδείγματα της Ενότητας αυτής είχε γίνει η παραδοχή ότι η ποσότητα παραγγέλνεται από εξωτερικό προμηθευτή και ότι παραλαμβάνεται συνολικά μετά την παρέλευση του χρόνου αναμονής L. Το ίδιο, φυσικά, μοντέλο ισχύει και όταν η ποσότητα παραγγέλνεται από την παραγωγή της εταιρίας, δηλαδή εκδίδεται εντολή παραγωγής για ποσότητα προς την παραγωγή της εταιρίας. Ως χρόνος αναμονής L, σε αυτή την περίπτωση, λαμβάνεται ο χρόνος αναμονής παραγωγής (manufaturing lead time). Ο υπολογισμός της οικονομικής ποσότητας παραγγελίας (με βάση τις παραδοχές που αναφέρθηκαν στην αρχή της Ενότητας 3.4) είναι ακριβώς ο ίδιος. 3.5 Δυναμικός Υπολογισμός Μεγέθους Παρτίδας Μία από τις πλέον περιοριστικές παραδοχές του μοντέλου EO είναι ότι η ζήτηση είναι γνωστή και σταθερή. Στην παρούσα Ενότητα εξετάζεται η ρεαλιστικότερη περίπτωση κατά την οποία η ζήτηση είναι μεν γνωστή αλλά μεταβάλλεται σε σχέση με τον χρόνο (time varying). Στο Κεφάλαιο 4 θα εξετασθεί η περίπτωση της στοχαστικής ζήτησης. 9

Στην περίπτωση γνωστής μεταβαλλόμενης ζήτησης χρησιμοποιείται η ιδέα που εφαρμόστηκε στον συγκεντρωτικό προγραμματισμό του Κεφαλαίου. Δηλαδή, ο χρονικός ορίζοντας του προβλήματος υποδιαιρείται σε n ίσες χρονικές περιόδους i=,,n. Οι περίοδοι αυτοί μπορεί να είναι ημέρες, εβδομάδες, ή μήνες και ορίζονται με βάση τη δυναμική της ζήτησης. Θεωρείστε τις εξής παραμέτρους: D i = ζήτηση κατά την περίοδο i=,,n i 0 = σταθερό κόστος παραγωγής ή παραγγελίας την περίοδο i i = μεταβλητό κόστος παραγωγής (ή παραγγελίας) την περίοδο i i = κόστος αποθεματοποίησης μιας μονάδας προϊόντος για μία και μόνο χρονική περίοδο. ( Εάν η περίοδος είναι μία εβδομάδα, και το ετήσιο κόστος i αποθεματοποίησης είναι, τότε = 5 I = απόθεμα στο τέλος της περιόδου i=,,n i = μέγεθος παρτίδας της περιόδου i=,,n. Αυτές είναι οι μεταβλητές απόφασης i i S = κόστος προετοιμασίας (set up), ή σταθερό κόστος παραγγελίας, της περιόδου i H = κόστος αποθεματοποίησης περιόδου i i Με βάση τα δεδομένα αυτά θα υπολογισθεί το μέγεθος παρτίδας χρησιμοποιώντας δύο απλές πολιτικές (κοινής λογικής), καθώς και την μέθοδο υπολογισμού του βέλτιστου μεγέθους παρτίδας. Οι πολιτικές και η βέλτιστη μέθοδος συζητούνται με βάση το παράδειγμα του Πίνακα 3. Πίνακας 3. Παράδειγμα χρονικά μεταβαλλόμενης ζήτησης ). i = 3 4 5 6 7 8 Σύνολο Di 60 40 0 60 30 90 60 40 600 0 i 700 700 700 700 700 700 700 700 i Στον Πίνακα αυτό παρουσιάζεται η ζήτηση D i, το κόστος προετοιμασίας κόστος αποθεματοποίησης ανά περίοδο και μονάδα μέτρησης oi και το για το χρονικό ορίζοντα i=,,,8 εβδομάδες. Επισημαίνεται ότι στο παράδειγμα τα κόστη oi και i είναι σταθερά κατά τη διάρκεια ολόκληρου του χρονικού ορίζοντα, πράγμα το οποίο, όμως, δεν περιορίζει τις προσεγγίσεις που παρουσιάζονται παρακάτω. Μία προφανής διαδικασία υπολογισμού του μεγέθους παρτίδας ανά χρονική περίοδο είναι η πλήρης εξίσωση της παραγωγής με τη ζήτηση (κανόνας παρτίδα- προςπαρτίδα η lot- for- lot). Η διαδικασία αυτή συνεπάγεται μηδενικό απόθεμα, αλλά υψηλό κόστος προετοιμασίας, καθότι απαιτείται παραγωγή προϊόντος σε κάθε περίοδο. Τα αποτελέσματα του κανόνα παρτίδα- προς- παρτίδα για το παράδειγμα του Πίνακα 3. παρουσιάζονται στον Πίνακα 3.. i 30

Πίνακας 3. Επίλυση με βάση την πολιτική παρτίδα- προς- παρτίδα i = 3 4 5 6 7 8 Σύνολο Di 60 40 0 60 30 90 60 40 600 i 60 40 0 60 30 90 60 40 600 Ii 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Si 700 700 700 700 700 700 700 700 5600 Hi 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Si+Hi 700 700 700 700 700 700 700 700 5600 Παρατηρείται ότι το συνολικό κόστος που αντιστοιχεί στον κανόνα αυτό είναι το γινόμενο του πλήθους των περιόδων επί το κόστος προετοιμασίας n S i = 8(700)=5.600 Μία άλλη απλή πολιτική είναι η παραγωγή σταθερής ποσότητας με στόχο να καλυφθεί πλήρως η ζήτηση. Με τη μέθοδο αυτή μειώνεται το κόστος προετοιμασίας (εάν, φυσικά, δεν γίνεται παραγωγή κάθε χρονική περίοδο) αλλά αυξάνεται το κόστος αποθεματοποίησης. Στον Πίνακα 3.3 παρουσιάζονται τα αποτελέσματα παραγωγής σταθερής ποσότητας = 400 για το παράδειγμα του Πίνακα 3.. Επισημαίνεται ότι η επιλογή του στην περίπτωση αυτή δεν είναι μοναδική. Επίσης, από τον Πίνακα 3.3 φαίνεται οτί ενώ το κόστος προετοιμασίας μειώθηκε σημαντικά ( 4 x 700=.800 ) αυξήθηκε το κόστος αποθέματος. Πίνακας 3.3 Παραγωγή σταθερής ποσότητας = 400 i = 3 4 5 6 7 8 Σύνολο Di 60 40 0 60 30 90 60 40 600 i 400 0 400 0 400 0 400 0 600 Ii 40 0 80 0 90 00 40 0 070 Si 700 0 700 0 700 0 700 0 800 Hi 480 0 360 40 580 00 480 0 40 Si+Hi 80 0 060 40 80 00 80 0 4940 Υπολογισμός Βέλτιστου Μεγέθους Παρτίδας Ο υπολογισμός του βέλτιστου μεγέθους παρτίδας προτάθηκε από τους Wagner και Witin (958) και στηρίζεται στην εξής, σχεδόν προφανή, παρατήρηση. Παρατήρηση Θεωρώντας την βέλτιστη πολιτική παραγωγής, εάν το απόθεμα της περιόδου i που παραμένει από την περίοδο i- είναι θετικό, τότε δεν είναι συμφέρον να παραχθεί προϊόν κατά την περίοδο i. Δηλαδή είτε είναι οικονομικότερο να παραχθεί εξ ολοκλήρου η ζήτηση της περιόδου i κατά την περίοδο i- είτε η ζήτηση αυτή να παραχθεί εξ ολοκλήρου κατά την 3

περίοδο i. Παραγωγή της ζήτησης αυτής και στις δύο περιόδους δεν είναι συμφέρουσα. Το άμεσο επακόλουθο της παρατήρησης αυτής είναι ότι το μέγεθος της παρτίδας κατά την περίοδο i- θα είναι είτε i 0, i Di, ή i Di Di ή i Di... Dn. Με βάση αυτή την ιδιότητα μπορεί να υπολογισθούν οι βέλτιστες παρτίδες εξετάζοντας όλους τους δυνατούς συνδυασμούς ποσοτήτων ανά περίοδο. Ο αλγόριθμος των Wagner- Witin δεν εξετάζει όλους αυτούς τους συνδυασμούς αλλά χρησιμοποιεί δύο ακόμη παρατηρήσεις για να μειώσει σημαντικά το πλήθος των εξεταζόμενων περιπτώσεων. Παρατήρηση : Σειρά επίλυσης Η βασική ιδέα του αλγορίθμου είναι η διαδοχική λύση του προβλήματος πρώτα για χρονικό ορίζοντα Τ=, μετά για Τ=, κ.ο.κ. για Τ= n. Σε κάθε βήμα εξετάζουμε πότε θα παραχθεί η ποσότητα που αντιστοιχεί στην περίοδο Τ που αντιστοιχεί στο συγκεκριμένο βήμα. Υπάρχουν δύο περιπτώσεις: Η εν λόγω ποσότητα παράγεται στην περίοδο Τ. Σε αυτή την περίπτωση το πρόγραμμα παραγωγής προ της περιόδου Τ παραμένει αναλλοίωτο Η εν λόγω ποσότητα παράγεται προ της περιόδου Τ. Σε αυτή την περίπτωση το πρόγραμμα προ της περιόδου Τ μπορεί να μεταβληθεί. Παρουσιάζουμε τον αλγόριθμο Wagner- Witin με βάση το παραπάνω παράδειγμα. Χρονικός Ορίζοντας Τ= Εάν το πρόβλημα αφορούσε μία μόνο περίοδο, τότε η λύση είναι προφανής και δίνεται στον Πίνακα 3.4. Στη λύση αυτή το κόστος αποθεματοποίησης είναι μηδέν και το κόστος προετοιμασίας είναι S i = 700 Πίνακας 3.4 Λύση για το χρονικό ορίζοντα Τ= Περίοδος Di 60 i 60 Ii 0 Si 700 Hi 0 Si+Hi 700 700 C() 700 S() Σε κάθε βήμα του αλγορίθμου σημειώνεται τόσο το ελάχιστο κόστος C (i) όσο και η τελευταία περίοδος κατά τη διάρκεια της οποίας έγινε παραγωγή S (i). 3

Χρονικός Ορίζοντας Τ= Στην περίπτωση αυτή υπάρχουν δύο εναλλακτικές επιλογές: α) Είτε η παραγωγή για την ζήτηση της περιόδου i= γίνεται την περίοδο i= (οπότε δεν αυξάνεται το κόστος προετοιμασίας αλλά αυξάνεται το κόστος αποθέματος), ή β) η ζήτηση D παράγεται την περίοδο i= (οπότε αυξάνεται το κόστος προετοιμασίας αλλά δεν αυξάνεται το κόστος αποθεματοποίησης). Οι δύο περιπτώσεις παρουσιάζονται στον Πίνακα 3.5 από τον οποίο διαπιστώνεται ότι η πλέον συμφέρουσα είναι η επιλογή (α) ανωτέρω. Πίνακας 3.5 Λύση για το χρονικό ορίζοντα Τ= Περίοδος Di 60 40 60 40 i 400 0 60 40 Ii 40 0 0 0 Si 700 0 700 700 Hi 480 0 0 0 Si+Hi 80 0 80 700 700 400 C() 80 S() Χρονικός Ορίζοντας Τ= 3 Το σύνολο των δυνατών επιλογών στο βήμα αυτό είναι τέσσερις, δηλαδή παραγωγή κατά της περιόδους α) i=, β) i= και i=, γ) i= και i= 3, δ) i=,, 3. Επισημαίνεται, όμως, ότι η περίπτωση (δ) δεν χρειάζεται να εξετασθεί, καθότι έχουν ήδη λυθεί τα προβλήματα για Τ= και Τ= και μόνο ζητούμενο στο βήμα αυτό είναι να αποφασισθεί πότε θα παραχθεί η ζήτηση D 3. Η λύση για Τ= 3 παρουσιάζεται στον Πίνακα 3.6 (3 περιπτώσεις) Πίνακας 3.6 Λύση για χρονικό ορίζοντα Τ= 3 Περίοδος 3 Di 60 40 0 60 40 0 60 40 0 i 60 0 0 60 460 0 400 0 0 Ii 460 0 0 0 0 0 40 0 0 Si 700 0 0 700 700 0 700 0 700 Hi 90 440 0 0 440 0 480 0 0 Si+Hi 60 440 0 060 700 40 0 840 80 0 700 880 C(3) 840 S(3) 33

Παρατήρηση Έστω η λύση για τον χρονικό ορίζοντα Τ= t (η τελευταία περίοδος του οποίου είναι η i= t). Στο βήμα αυτό εξετάζεται πότε θα παραχθεί η ζήτηση της περιόδου i= t. Όπως αναφέρθηκε προηγούμενα, στην περίπτωση παραγωγής στην περίοδο i= t δεν χρειάζεται να εξετασθεί κανένα άλλο πρόγραμμα παραγωγής για τις προηγούμενες περιόδους εκτός του βέλτιστου έως την περίοδο i= t- Όταν εξετάζεται παραγωγή της ποσότητας της περιόδου i= t σε προηγούμενες περιόδους, ενδέχεται να μετατεθεί και η παραγωγή της ζήτησης μιας προγενέστερης περιόδου για να επιτευχθεί το ελάχιστο κόστος. Με βάση την Παρατήρηση για την παρούσα περίοδο (Τ= 3) εξετάστηκαν οι περιπτώσεις: Παραγωγή ολόκληρης της ζήτησης κατά την περίοδο i= Παραγωγή κατά περιόδους i= και i=. Για να επιτευχθεί το ελάχιστο κόστος της περίπτωσης αυτής μετατέθηκε η παραγωγή της D από την πρώτη στην δεύτερη περίοδο με αποτέλεσμα την μείωση του κόστος αποθεματοποίησης της D κατά μία χρονική περίοδο. Παραγωγή κατά τις περιόδους i= και i= 3. Στην περίπτωση αυτή χρησιμοποιείται η λύση που υπολογίστηκε για τις δύο πρώτες περιόδους του βήματος Τ=, καθότι αντιστοιχεί στο ελάχιστο κόστος για το πρόβλημα δύο περιόδων. Χρονικός Ορίζοντας Τ= 4 Το ζητούμενο είναι να αποφασισθεί η περίοδος παραγωγής της D 4, που αντιστοιχεί στην εξέταση των περιπτώσεων παραγωγής κατά τις περιόδους i=,, 3 και 4. Καθότι, όμως, το πρόβλημα των τριών περιόδων κατέληξε στην βέλτιστη πολιτική που προβλέπει παραγωγή για την περίοδο i=, δεν εξετάζεται η περίπτωση παραγωγής της D 4 κατά την περίοδο i=, μειώνοντας έτσι περαιτέρω τους εξεταζόμενους συνδυασμούς. Η λύση για Τ= 4 παρουσιάζεται στον Πίνακα 3.7 (3 περιπτώσεις) Πίνακας 3.7 Λύση για χρονικό ορίζοντα Τ= 4 Περίοδος 4 Di 60 40 0 60 60 40 0 60 60 40 0 60 i 60 60 0 0 400 0 380 0 60 460 0 60 Ii 0 380 60 0 40 0 60 0 0 0 0 0 Si 700 700 0 0 700 0 700 0 700 700 0 700 Hi 0 760 30 0 480 0 30 0 0 440 0 0 Si+Hi 700 460 30 0 480 80 0 00 0 00 700 40 0 700 540 C(4) 00 S(4) 3 34

Παρατήρηση 3 Έστω το βήμα t του αλγορίθμου. Όταν, από την επίλυση των προηγούμενων βημάτων έχει προβλεφθεί παραγωγή κατά την περίοδο j τότε εξετάζονται μόνο οι περιπτώσεις παραγωγής της ζήτησης D t κατά τις περιόδους i= j, j+,,t. Χρησιμοποιώντας τις Παρατηρήσεις, και 3 συνεχίζεται ο αλγόριθμος για τα βήματα Τ= 5,,8. Τα αποτελέσματα παρουσιάζονται στους Πίνακες 3.7 έως 3.0 35

Πίνακας 3.7 Λύση για χρονικό ορίζοντα Τ= 5 Περίοδος 5 Di 60 40 0 60 30 60 40 0 60 30 60 40 0 60 30 i 400 0 50 0 0 400 0 0 90 0 400 0 380 0 30 Ii 40 0 90 30 0 40 0 0 30 0 40 0 60 0 0 Si 700 0 700 0 0 700 0 700 700 0 700 0 700 0 700 Hi 480 0 580 60 0 480 0 0 60 0 480 0 30 0 0 Si+Hi 80 0 80 60 0 70 80 0 700 960 0 840 80 0 00 0 700 900 C(5) 70 S(5) 3 Πίνακας 3.8 Λύση για χρονικό ορίζοντα Τ= 6 Περίοδος 6 Di 60 40 0 60 30 90 60 40 0 60 30 90 60 40 0 60 30 90 60 40 0 60 30 90 i 400 0 700 0 0 0 400 0 0 480 0 0 400 0 380 0 30 0 400 0 50 0 0 90 Ii 40 0 480 30 90 0 40 0 0 30 90 0 40 0 60 0 90 0 40 0 60 0 0 0 Si 700 0 700 0 0 0 700 0 700 700 0 0 700 0 700 0 700 0 700 0 700 0 700 700 Hi 480 0 960 640 380 0 480 0 0 640 380 0 480 0 30 0 380 0 480 0 30 0 0 0 Si+Hi 80 0 660 640 380 0 3860 80 0 700 340 380 0 3600 80 0 00 0 080 0 380 80 0 00 0 700 700 340 C(6) 380 S(6) 5 34

Πίνακας 3.9 Λύση για χρονικό ορίζοντα Τ= 7 Περίοδος 7 Di 60 40 0 60 30 90 60 60 40 0 60 30 90 60 60 40 0 60 30 90 60 i 400 0 380 0 580 0 0 400 0 380 0 30 450 0 400 0 380 0 30 0 60 Ii 40 0 60 0 450 60 0 40 0 60 0 0 60 0 40 0 60 0 90 0 0 Si 700 0 700 0 700 0 0 700 0 700 0 700 700 0 700 0 700 0 700 0 700 Hi 480 0 30 0 900 50 0 480 0 30 0 0 50 0 480 0 30 0 380 0 0 Si+Hi 80 0 00 0 600 50 0 430 80 0 00 0 700 0 0 40 80 0 00 0 080 0 700 3980 C(7) 3980 S(7) 7 Πίνακας 3.0 Λύση για χρονικό ορίζοντα Τ= 8 Περίοδος 8 Di 60 40 0 60 30 90 60 40 60 40 0 60 30 90 60 40 i 400 0 380 0 30 0 500 0 400 0 380 0 30 0 60 40 Ii 40 0 60 0 90 0 40 0 40 0 60 0 90 0 0 0 Si 700 0 700 0 700 0 700 0 700 0 700 0 700 0 700 700 Hi 480 0 30 0 380 0 480 0 480 0 30 0 380 0 0 0 Si+Hi 80 0 00 0 080 0 80 0 4460 80 0 00 0 080 0 700 700 4680 C(8) 4460 S(8) 7 35

Με βάση τα αποτελέσματα των υπολογισμών των βημάτων Τ=,,,8 και αρχίζοντας από το τελευταίο βήμα (Τ= 8) προς το πρώτο βήμα (Τ= ) συντίθεται η βέλτιστη πολιτική παραγωγής που παρουσιάζεται στον Πίνακα 3. (Α πρώτο μέρος) Προβλήματα. Κατάστημα πώλησης δώρων και διακοσμητικών πουλά παιδικά ρομπότ την ημέρα. Το κατάστημα είναι ανοιχτό 6 ημέρές εβδομαδιαίως. Το κόστος κάθε ρομπότ είναι 5. Το σταθερό κόστος παραγγελίας είναι 45 και το ετήσιο επιτόκιο βάσει του οποίου υπολογίζεται το κόστος αποθεματοποίησης είναι 5%. α) Εάν το ύψος παραγγελίας είναι 40 τεμάχια, να υπολογισθεί το συνολικό ετήσιο κόστος παραγγελίας και αποθεματοποίησης. β) Να υπολογισθεί η οικονομική ποσότητα παραγγελίας γ) Εάν ο χρόνος αναμονής της παραγγελίας από τον κατασκευαστή στην Ν. Α. Ασία είναι ημερολογιακός μήνας, ποίο είναι το σημείο αναπαραγγελίας R. Εφαρμόστε τον αλγόριθμο Wagner Witin με βάση τα στοιχεία του παρακάτω πίνακα. Μήνας (i) Ζήτηση () Σταθερό Κόστος Προετοιμασίας o (i) Μοναδιαίο Κόστος Αποθέμ. (i).000.000.00.000 3 500.000 4 00.000 5 800.000 6.000.000 36