Επιβλέπων καθηγητής : Βιδάλης Μιχάλης

ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΟΙ ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΩΣ ΕΡΓΑΛΕΙΟ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΖΗΤΗΣΗΣ (DEMAND PLANNING) Εισηγήτρια : Πρώη Μαρία (Α.Μ. 20205) Επιβλέπων καθηγητής : Βιδάλης Μιχάλης Συνβαθμολογητής : Βαλλίρης Γιώργος Χίος 2006

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Εισαγωγή.. Τι είναι η πρόβλεψη της ζήτησης.2. Διαδικασία διαμόρφωσης προβλέψεων.2..πληροφορίες που προσδιορίζει μία πρόβλεψη.2.2.αναγκαίες πληροφορίες για την προετοιμασία μιας πρόβλεψης.3. Η σημασία των προβλέψεων.4. Μέθοδοι πρόβλεψης της ζήτησης.5. Σφάλμα πρόβλεψης.5..επιπτώσεις από σφάλματα στην πρόβλεψη ζήτησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μέθοδοι προεκβολής 2..Στοιχεία χρονοσειρών 2.2.Η μέθοδος του κινούμενου μέσου 2.3.Το μοντέλο της απλής εκθετικής εξομάλυνσης 2.4.Μοντέλα εκθετικής εξομάλυνσης 2.5.Το μοντέλο εκθετικής εξομάλυνσης με γραμμική τάση(μοντέλο Hol) 2.6.Το μοντέλο εκθετικής εξομάλυνσης με εποχικότητα 2.7.Το μοντέλο εκθετικής εξομάλυνσης με τάση και εποχικότητα (μοντέλο Winer s) 2.8.Προσδιορισμός αρχικών τιμών και σταθερών εξομάλυνσης 2.9.Πρόβλεψη ζήτησης για την Naural Gas ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Αιτιακές μέθοδοι προβλέψεων 3..Ανάλυση παλινδρόμησης και οικονομετρικές μέθοδοι 3.2.Πρότυπα πρόβλεψης με εξισώσεις παλινδρόμησης δύο μεταβλητών 3.3.Πρότυπα πρόβλεψης με εξισώσεις παλινδρόμησης πολλών μεταβλητών 3.4.Οικονομετρικά πρότυπα προβλέψεων 3.4..Πρότυπο εισροών - εκροών Leonief ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ποιοτικές / υποκειμενικές μέθοδοι προβλέψεων 4..Έννοια ποιοτικών / υποκειμενικών μεθόδων πρόβλεψης 4.2.Μέθοδος με εκτιμήσεις διοικητικών στελεχών 4.3.Μέθοδος των Δελφών 4.4.Περιορισμοί του συστήματος προβλέψεων 4.5.Κριτήρια αξιολόγησης συστήματος προβλέψεων 2

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Εισαγωγή.. Τι είναι η πρόβλεψη της ζήτησης Κατά τη διαδικασία της προετοιμασίας για μια πρόβλεψη μπορούμε να αξιοποιήσουμε πληροφορίες και στατιστικά στοιχεία από πολλές πηγές. Οι πληροφορίες ταξινομούνται συνήθως ανάλογα με το αν προέρχονται από εσωτερικές ή εξωτερικές πηγές, δηλαδή από μέσα ή έξω από την επιχείρηση. Πληροφορίες από εσωτερικές πηγές: Για μια επιχείρηση που ήδη λειτουργεί μερικά χρόνια υπάρχουν στοιχεία από προηγούμενες παραγγελίες που μπορεί η διοίκηση να τις χρησιμοποιήσει για να δει την πορεία των πωλήσεων από τον ένα χρόνο στον άλλο και τις πιθανές διακυμάνσεις των διαφόρων εποχών. Μπορούμε επίσης να συμβουλευθούμε και το τεχνικό προσωπικό που είναι σε θέση να συμβάλλει στη διαμόρφωση της πρόβλεψης. Πληροφορίες από εξωτερικές πηγές: Για νέες επιχειρήσεις θα χρειαστεί η διοίκηση να συμβουλευθεί κυρίως εξωτερικές πηγές. Αυτές παρέχουν δημοσιευμένα στοιχεία, από την στατιστική υπηρεσία, το εμπορικό επιμελητήριο του κλάδου, τους ειδικούς στα τμήματα μελετών μιας εμπορικής τράπεζας ή ακόμα και ξένα εμπορικά επιμελητήρια που διαθέτουν στοιχεία, ιδιαίτερα όταν σημαντικό μέρος της παραγωγής προορίζεται για εξαγωγές. Αν η επένδυση σε μια νέα επιχειρηματική δραστηριότητα είναι μεγάλη και χρειάζονται ειδικές τεχνικές γνώσεις αξίζει να εξετάσει η διοίκηση την ανάθεση της σχετικής έρευνας σε κάποιο ειδικό συμβουλευτικό γραφείο. Στις μέρες μας, η ολοένα αυξανόμενη αβεβαιότητα των απαιτήσεων σε μηχανές, πρώτες ύλες, κεφάλαια, και ανθρώπινο δυναμικό που θα χρησιμοποιηθεί ώστε να ικανοποιηθεί η ζήτηση, κατέστησε αναγκαία την ανάπτυξη μεθόδων πρόβλεψης της ζήτησης. Ο προγραμματισμός της παραγωγής και ο έλεγχος, ειδικότερα, απαιτούν εκτιμήσεις όσον αφορά την ποσότητα και το χρόνο που αναμένεται να ζητηθεί το προϊόν ενός παραγωγικού συστήματος. Βάση των αποτελεσμάτων αυτών, η επιχείρηση, μπορεί να αποφασίσει αν την συμφέρει ή όχι να προχωρήσει στην παραγωγή του προϊόντος. Οι εκτιμήσεις της αυτές θα χρησιμοποιηθούν για την κατάρτιση των προγραμμάτων παραγωγής, την προμήθεια πρώτων υλών και την απασχόληση ανθρώπινου δυναμικού. 3

Όσο πιο αξιόπιστες είναι οι σχετικές προβλέψεις, τόσο πιο αποτελεσματικές θα είναι σε σχέση με τον προγραμματισμό του συστήματος παραγωγής. Σήμερα οι μέθοδοι που έχουν αναπτυχθεί για τη διενέργεια των προβλέψεων είναι αρκετές και χρησιμοποιούνται για τη λήψη των κατάλληλων αποφάσεων ανάλογα πάντα με τις συνθήκες στην επιχείρηση. Η επιλογή της καταλληλότερης κάθε φορά μεθόδου, η χρήση της και η ερμηνεία των αποτελεσμάτων της είναι μερικά από τα προβλήματα που αντιμετωπίζονται στην πρακτική αξιοποίηση των μεθόδων αυτών. Το είδος των αποφάσεων που πρέπει να ληφθούν βάσει των προβλέψεων που θα προκύψουν, αποτελεί τον βασικό παράγοντα που καθορίζει την επιλογή μεθόδου πρόβλεψης ζήτησης. Εκτός από τον παράγοντα αυτό, η επιλογή της κατάλληλης μεθόδου καθορίζεται από τους εξής 6 παράγοντες:. Τη ζητούμενη μορφή της πρόβλεψης: Συνήθως, η πρόβλεψη παίρνει τη μορφή της εκτίμησης ενός ή περισσοτέρων χαρακτηριστικών της κατανομής των πιθανοτήτων για τη μεταβλητή, της οποίας ζητείται η πρόβλεψη. Όλα τα τμήματα μιας επιχείρησης επηρεάζονται από τις αποφάσεις αυτών που διοικούν την αλυσίδα ανεφοδιασμού και επομένως θα πρέπει να υπάρχει συμφωνία όλων των τμημάτων της επιχείρησης όσον αφορά τη μορφή πρόβλεψης που θα ακολουθηθεί και όλα τα τμήματα θα πρέπει να ακολουθήσουν ένα κοινό σχέδιο δράσης βασισμένο στην πρόβλεψη. 2. Τη περίοδο και τον ορίζοντα πρόβλεψης: Περίοδος πρόβλεψης είναι το χρονικό διάστημα, με βάση την οποία γίνονται οι προβλέψεις. Ορίζοντας πρόβλεψης είναι ένας αριθμός περιόδων. Ο ορίζοντας πρόβλεψης μπορεί να περιλαμβάνει 5 εβδομάδες, για τις οποίες ζητείται να γίνει πρόβλεψη ζήτησης. Προβλέψεις μπορεί να γίνονται κάθε φορά με βάση τα στοιχεία που διατίθενται, για την επόμενη περίοδο ή και για όλες τις περιόδους, από τις οποίες αποτελείται ο χρονικός ορίζοντας. Τόσο η περίοδος όσο και ο ορίζοντας πρόβλεψης εξαρτώνται από το είδος της απόφασης (στρατηγική, τακτική, λειτουργική), όπως επίσης, από το είδος της απόφασης, εξαρτάται και η μέθοδος πρόβλεψης που χρησιμοποιείται. Για παράδειγμα για στρατηγικές (μακροπρόθεσμες) αποφάσεις, ο ορίζοντας πρόβλεψης μπορεί να είναι 5 έτη και η περίοδος πρόβλεψης ένα έτος. 3. Το κόστος της μεθόδου: Το κόστος αυτό διαμορφώνεται σε διαφορετικό ύψος, ανάλογα με την επιζητούμενη ακρίβεια πρόβλεψης και τις απαιτήσεις που έχει η μέθοδος όσον αφορά το πλήθος των στοιχείων, τις αναγκαίες επεξεργασίες, το χρόνο 4

απασχόλησης όσων εμπλακούν στις διαδικασίες ανάπτυξης της μεθόδου, προετοιμασίας των στοιχείων, εγκατάστασης και λειτουργίας της μεθόδου κ.λ.π 4. Την επιζητούμενη ακρίβεια: Το επίπεδο ακρίβειας των προβλέψεων είναι μια παράμετρος που καθορίζεται από τον χρήστη, ανάλογα με το είδος των προβλέψεων και την ασφάλεια των προβλέψεων που επιδιώκει να πετύχει. Μια μέθοδος, όσο περισσότερο στηρίζεται σε ποσοτικά στοιχεία, όσο περισσότερα είναι αυτά τα στοιχεία, και όσο μικρότερος είναι ο χρονικός ορίζοντας των προβλέψεων, τόσο πιο ακριβής είναι. 5. Την απλότητα και ευκολία εφαρμογής: Όσο πιο απλή είναι μια μέθοδος, τόσο πιο εύκολο είναι να κατανοηθεί και να υιοθετηθεί από τη διοίκηση μιας επιχείρησης. Η απλότητα συνήθως συνδυάζεται με ευκολότερη εφαρμογή και χαμηλότερο κόστος ανάπτυξης, εγκατάστασης και εφαρμογής της μεθόδου. 6. Τα διαθέσιμα στοιχεία: Η επιλογή της μεθόδου εξαρτάται από το είδος και την ποσότητα των διαθέσιμων στοιχείων, αφού κάθε μέθοδος έχει διαφορετικές απαιτήσεις. Για παράδειγμα, οι μέθοδοι που βασίζονται σε χρονοσειρές απαιτούν ακριβή ποσοτικά στοιχεία για ένα μεγάλο σύνολο προηγούμενων περιόδων, δεν συμβαίνει όμως το ίδιο με τις ποιοτικές μεθόδους..2. Διαδικασία διαμόρφωσης προβλέψεων Η ακρίβεια των προβλέψεων για την μελλοντική ζήτηση μπορεί να αυξηθεί σημαντικά όταν χρησιμοποιείται μία συστηματική διαδικασία. Μ ε την πείρα που συσσωρεύεται μπορεί η διοίκηση να βελτιώνει αυτή τη διαδικασία, αποφεύγοντας έτσι την επανάληψη των ίδιων σφαλμάτων, π.χ αδικαιολόγητη απαισιοδοξία σε μελλοντικές προβλέψεις. Η περιγραφή για το σύστημα και τη διαδικασία προβλέψεων περιλαμβάνει τα εξής βασικά στοιχεία:.τις διαθέσιμες πληροφορίες μέσα και έξω από την επιχείρηση 2. Τις απαιτούμενες πληροφορίες για την περιγραφή μιας πρόβλεψης. 3.Τους τρόπους αξιολόγησης, δηλαδή τα κριτήρια για το πόσο καλή είναι μία πρόβλεψη. 4.Τις κατάλληλες μεθόδους για την προετοιμασία μιας πρόβλεψης. 5.Τους περιορισμούς και τις συνθήκες που επηρεάζουν τον τρόπο διαμόρφωσης μιας πρόβλεψης. 5

.2.. Πληροφορίες που προσδιορίζει μία πρόβλεψη Για τη λήψη των διαφόρων αποφάσεων που στηρίζονται στην πρόβλεψη της ζήτησης είναι σκόπιμο να περιγράψουμε τί είδους πληροφορίες πρέπει να μας δίνει η σχετική πρόβλεψη. Αρχικά πρέπει να διευκρινισθεί οτι άλλο πράγμα είναι η πρόβλεψη της ζήτησης και άλλο η πρόβλεψη των πωλήσεων. Η ζήτηση έχει να κάνει με τις παραγγελίες που δέχεται η επιχείρηση από πελάτες σε μία χρονική περίοδο. Οι πωλήσεις προσδιορίζονται από τις παραδόσεις στην ίδια περίοδο. Οι πωλήσεις μπορεί να διαφέρουν από τη ζήτηση, είτε λόγω έλλειψης δυναμικότητας της επιχείρησης να καλύψει τις παραγγελίες, είτε λόγω καθυστέρησης στο χρόνο παράδοσης. Γενικά είναι πιο χρήσιμο να γνωρίζουμε την πραγματική ζήτηση παρά μόνο τις πωλήσεις για το προϊόν. Για το λόγο αυτό πρέπει να υπάρχει τρόπος συστηματικής παρακολούθησης των παραγγελιών που δέχεται η επιχείρηση, έστω και εάν δεν μπορεί να τις ικανοποιήσει όλες. Για μακροχρόνιες προβλέψεις που συνήθως καλύπτουν 5-0 χρόνια, χρειάζεται να έχουμε πληροφορίες για όλα τα χαρακτηριστικά της ζήτησης, δηλαδή την ποιότητα, το ύψος, την χρονική κλιμάκωση και την γεωγραφική κατανομή. Μεσοπρόθεσμα, δηλ. Για περιόδους 2-24 μήνες, τα ποιοτικά χαρακτηριστικά των προϊόντων και η θέση των εγκαταστάσεων είναι δεδομένα. Συνεπώς, η πρόβλεψη μεσοπρόθεσμα αναφέρεται στην ποσότητα της ζήτησης και τις εποχικές επιρροές. Βραχυχρόνια η πρόβλεψη αναφέρεται κυρίως στο ύψος της ζήτησης και στις επιπτώσεις από τις τυχαίες διακυμάνσεις. Οι κατάλληλες πληροφορίες σε μία πρόβλεψη για κάθε διαφορετική κατηγορία αποφάσεων συνοψίζονται στον παρακάτω πίνακα. Είδος πρόβλεψης Παρεχόμενες πληροφορίες Μακροχρόνιες προβλέψεις( 5 εως 0 έτη) Όλα τα χαρακτηριστικά της ζήτησης: Ποιότητα, ποσότητα, χρονική κλιμάκωση, γεωγραφική κατανομή Μεσοπρόθεσμες προβλέψεις Αναμενόμενη ποσότητα ζήτησης Δείκτες εποχικότητας Βραχυπρόθεσμες προβλέψεις (-5 Αναμενόμενη μέση ποσότητα ζήτησης εβδομάδες) Περιθώρια σφάλματος στην πρόβλεψη -Μέγιστη λογική ποσότητα ζήτησης -Ελάχιστη λογική ποσότητα ζήτησης 6

Σε ό,τι αφορά την πρόβλεψη του ύψους της ζήτησης σε μία χρονική περίοδο, είναι χρήσιμο να προσδιορίζεται όχι μόνο η ποσότητα με έναν αριθμό π.χ. 2700 τεμάχια για το επόμενο έτος, αλλά και κάποια εκτίμηση του πιθανού σφάλματος. Σ ε μεγάλες επιχειρήσεις με ειδικό προσωπικό η εκτίμηση του σφάλματος γίνεται με στατιστική ανάλυση. Για μικρομεσαίες επιχειρήσεις η εκτίμηση του πιθανού σφάλματος γίνεται προσδιορίζοντας τη αναμενόμενη μέγιστη και ελάχιστη τιμή. Το μέγεθος του πιθανού σφάλματος στην πρόβλεψη προσδιορίζει πόσο μεγάλη είναι η αβεβαιότητα για το τί πρόκειται να συμβεί και βοηθάει να σκεφθούμε με τί τρόπο θα την αντιμετωπίσουμε. Όσο μεγαλύτερη είναι η αβεβαιότητα για τις μελλοντικές συνθήκες, όπως περιγράφεται με το σφάλμα στην πρόβλεψη, τόσο πιο μεγάλη είναι η ανάγκη για την ικανότητα αντιμετώπισής της. Αυτό μπορεί να γίνει είτε με μεγάλη ευελιξία προσαρμογής ή με τη διατήρηση αποθεμάτων. Και οι δύο προσεγγίσεις μεμονωμένα ή σε συνδυασμό επιβαρύνουν το κόστος παραγωγής και συνεπώς την ανταγωνιστικότητα της επιχείρησης..2.2. Αναγκαίες πληροφορίες για την προετοιμασία μιας πρόβλεψης Στη διαδικασία προετοιμασίας μιας πρόβλεψης μπορούμε να αξιοποιήσουμε πληροφορίες και στατιστικά στοιχεία από πολλές πηγές. Οι πληροφορίες ταξινομούνται συνήθως ανάλογα με το αν προέρχονται από εσωτερικές ή εξωτερικές πηγές, δηλ από μέσα ή έξω από την επιχείρηση. Πληροφορίες από εσωτερικές πηγές: Για μία επιχείρηση που έχει λειτουργήσει για μερικά χρόνια υπάρχουν στοιχεία από προηγούμενες παραγγελίες που μπορεί η διοίκηση να χρησιμοποιήσει για να δεί την πορεία των πωλήσεων από τον ένα χρόνο στον άλλο και πιθανές διακυμάνσεις για τις διάφορες εποχές Πληροφορίες από εξωτερικές πηγές : Για μία νέα επιχείρηση θα χρειασθεί η διοίκηση να χρειασθεί κυρίως εξωτερικές πηγές. Αυτές παρέχουν δημοσιευμένα στοιχεία π.χ η στατιστική υπηρεσία, το εμπορικό επιμελητήριο του κλάδου ή ακόμα και ξένα εμπορικά επιμελητήρια που διαθέτουν πολλά στοιχεία, ιδιαίτερα όταν σημαντικό μέρος της παραγωγής προορίζεται για εξαγωγές. 7

.3. Η σημασία των προβλέψεων Γενικά, στο χώρο των προβλέψεων έχουν αναπτυχθεί πολλές μέθοδοι, που διαφέρουν στο βαθμό πολυπλοκότητας, στο κόστος και στην ευκολία εφαρμογής, στις απαιτήσεις για υπολογιστική υποστήριξη κ.λ.π Μια βασική παράμετρος σύγκρισης των διαφόρων μεθόδων είναι η ακρίβεια πρόβλεψης που επιτυγχάνεται με αυτές. Είναι παραδεκτό ότι οι πολύπλοκες μέθοδοι δεν παράγουν απαραίτητα πιο ακριβή αποτελέσματα απ ό,τι οι απλούστερες μέθοδοι. Επίσης η ακρίβεια πρόβλεψης βελτιώνεται καθώς συνδυάζονται οι προβλέψεις από περισσότερες μεθόδους για να προσδιορισθεί η τελική πρόβλεψη. Ο κίνδυνος ενός μεγάλου σφάλματος από εκλογή λανθασμένης μεθόδου μειώνεται όταν συνδυάζονται τα αποτελέσματα από δύο ή περισσότερες μεθόδους. Οι επιχειρήσεις και οι διευθύνοντες σύμβουλοι θα πρέπει να δίνουν ιδιαίτερη έμφαση στα εξής χαρακτηριστικά των προβλέψεων:. Οι προβλέψεις εμφανίζουν συνήθως σφάλματα. Γ ια να ερευνήσουμε την αξιοπιστία μιας μεθόδου πρόβλεψης θα πρέπει να μελετήσουμε τις αποκλίσεις που εμφανίζονται μεταξύ των προβλέψεων που παράγει αυτή η μέθοδος και των τιμών της μεταβλητής που διαμορφώνονται στην πράξη. Για παράδειγμα, υπάρχουν 2 πωλητές αυτοκινήτων. Ο ένας προβλέπει πωλήσεις μεταξύ 00 και 900 αυτοκινήτων, ο άλλος μεταξύ 900 και 00 αυτοκινήτων. Ο μέσος όρος πωλήσεων που υπολογίζουν και οι δύο πωλητές είναι 000 αυτοκίνητα. Καθένας όμως από τους πωλητές χρησιμοποιεί διαφορετική μέθοδο πρόβλεψης και η διαφορά έγκειται στο σφάλμα πρόβλεψης. 2. Οι μακροπρόθεσμες προβλέψεις είναι συνήθως λιγότερο ακριβείς από τις βραχυπρόθεσμες. Αυτό συμβαίνει γιατί ο χρονικός ορίζοντας στις μακροπρόθεσμες προβλέψεις είναι μεγαλύτερος σε σχέση με τις βραχυπρόθεσμες. 3. Οι συγκεντρωτικές προβλέψεις είναι συνήθως περισσότερο ακριβείς σε σχέση με τις μη συγκεντρωτικές προβλέψεις. Για παράδειγμα, είναι εύκολο να προβλέψουμε το gross domesic produc (GDP) των Ηνωμένων πολιτειών για ένα χρόνο με πιθανότητα σφάλματος μικρότερη του 2%. Εντούτοις, είναι πολύ πιο δύσκολο να προβλέψουμε τα ετήσια κέρδη μιας εταιρίας με σφάλμα πρόβλεψης μικρότερο του 2% και ακόμη πιο δύσκολο να προβλέψουμε τη ζήτηση για ένα συγκεκριμένο προϊόν με τον ίδιο βαθμό ακρίβειας. Το κλειδί στις παραπάνω προβλέψεις είναι ο συγκεντρωτικός προγραμματισμός. Οι συγκεντρωτικές προβλέψεις χαρακτηρίζονται από μεγαλύτερη ακρίβεια. 8

Η σημασία των προβλέψεων στην πράξη είναι μεγάλη, αφού κάθε σπουδαία απόφαση στις επιχειρήσεις, στρατηγικού ή τακτικού χαρακτήρα, βασίζεται σε μεγάλο βαθμό σε αυτές. Έχει λοιπόν σημασία η επιλογή της σωστής μεθόδου πρόβλεψης. Οι υποκειμενικές μέθοδοι πρόβλεψης έχουν εφαρμογή σε μακροπρόθεσμες προβλέψεις και είναι πιο ευαίσθητες σε γεγονότα που μπορεί να έχουν σπουδαία επίδραση στα ζητήματα που ενδιαφέρουν μιαν επιχείρηση, αλλά που δεν μπορούν να ανιχνευτούν με τη χρήση χρονοσειρών. Αυτές οι μέθοδοι χρησιμοποιούνται για τη λήψη αποφάσεων που αφορούν μεγάλα στρατηγικά ζητήματα της επιχείρησης. Τα αιτιακά μοντέλα εφαρμόζονται για μεσοπρόθεσμες προβλέψεις, σε ζητήματα όπως καθορισμός ετήσιου πλάνου παραγωγής πολιτική προσωπικού κ.λ.π..4. Μέθοδοι πρόβλεψης της ζήτησης Οι μέθοδοι πρόβλεψης της ζήτησης ποικίλλουν ανάλογα με το βαθμό που στηρίζονται σε υποκειμενικές εκτιμήσεις ή στην ανάλυση αντικειμενικών στοιχείων μέσα και έξω από την επιχείρηση. Συνήθως η επιλογή της πιο κατάλληλης μεθόδου για συγκεκριμένη εφαρμογή επηρεάζεται από το μέγεθος και το είδος της επιχείρησης. Οι μεγάλες επιχειρήσεις μπορούν να χρησιμοποιήσουν προχωρημένες στατιστικές ή άλλες μεθόδους που αξιοποιούν περισσότερα στοιχεία και τα αναλύουν πιο προσεχτικά. Για μικρομεσαίες όμως επιχειρήσεις είναι προτιμότερες οι απλές μέθοδοι που αξιοποιούν τόσο τις προσωπικές υποκειμενικές εκτιμήσεις όσο και τα αντικειμενικά στοιχεία που μπορούν να συλλέξουν χωρίς μεγάλη προσπάθεια από εμπορικές τράπεζες, επιμελητήρια, κ.α. Η επιλογή της κατάλληλης μεθόδου πρόβλεψης εξαρτάται από τους υπάρχοντες περιορισμούς στη λειτουργία του συστήματος προβλέψεων, δηλαδή από την ποιότητα και ποσότητα διαθέσιμων στατιστικών στοιχείων, το διαθέσιμο χρόνο, το υπάρχον εξειδικευμένο προσωπικό και τα υπολογιστικά μέσα. Οι μέθοδοι πρόβλεψης της ζήτησης μπορούν να χωριστούν σε τρείς κατηγορίες: Μέθοδοι προεκβολής ή Μέθοδοι χρονοσειρών. Μ ε τον όρο χρονοσειρά εννοούμε ένα σύνολο τιμών για κάποιο μέγεθος που μας ενδιαφέρει από μετρήσεις ή παρατηρήσεις σε ίσα χρονικά διαστήματα. Στο βαθμό που τα βασικά χαρακτηριστικά του περιβάλλοντος παραμένουν σταθερά, κάνουμε την παραδοχή ότι με γνωστή την διαδικασία που δημιουργεί τη ζήτηση μπορούμε να κάνουμε καλύτερες προβλέψεις. Στις μεθόδους αυτές χρησιμοποιούνται στοιχεία από το παρελθόν ώστε να μπορέσει 9

να γίνει πρόβλεψη για το μέλλον. Αυτές οι μέθοδοι είναι κατάλληλες όταν η κατάσταση μιας επιχείρησης είναι σταθερή και η ζήτηση δεν διαφέρει σημαντικά από τον ένα χρόνο στον επόμενο. Εφόσον ο χρονικός ορίζοντας της πρόβλεψης είναι μικρός, αυτές οι μέθοδοι δίνουν συχνά αξιόπιστα αποτελέσματα. Αιτιακές Μέθοδοι: Οι προβλέψεις βασίζονται στην υπόθεση οτι η προς πρόβλεψη μεταβλητή είναι συνάρτηση ενός ή περισσοτέρων ανεξάρτητων παραγόντων. Σκοπός είναι να προσδιοριστεί η σχέση ανάμεσα στην εξαρτημένη μεταβλητή και στους ανεξάρτητους παράγοντες, με αυτόν τον τρόπο, αν υπάρχουν προβλέψεις για τις μελλοντικές τιμές των ανεξάρτητων παραγόντων, τότε είναι δυνατόν να προβλεφθούν και οι μελλοντικές τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής. Για παράδειγμα, η ζήτηση εξαρτάται από την τιμή ενός προϊόντος επομένως οι επιχειρήσεις μεταβάλλουν την τιμή του προϊόντος και μελετούν την επίδραση που έχει αυτή η μεταβολή στη ζήτηση του συγκεκριμένου προϊόντος. Ποιοτικές Μέθοδοι ή Μέθοδοι Κρίσης: Βασίζονται σε υποκειμενικές εκτιμήσεις ατόμων, συνήθως ειδικών και στο συνδυασμό ποιοτικών και ποσοτικών στοιχείων. Χρησιμοποιούνται συνήθως όταν υπάρχουν λίγα ιστορικά δεδομένα. Οι ποιοτικές μέθοδοι είναι απαραίτητες για την πρόβλεψη ζήτησης σε νέες επιχειρήσεις. Αρχικά, η πρόβλεψη ζήτησης στο διαδίκτυο (inerne) γινόταν με τη χρήση ποιοτικών μεθόδων ελάχιστα στοιχεία από το παρελθόν σχετικά με το inerne, πάνω στα οποία θα μπορούσε να στηριχτεί η πρόβλεψη. Σύμφωνα με ορισμένους ερευνητές υπάρχει και άλλη μια κατηγορία μεθόδων που είναι η εξής: Simulaions mehods ( προβλέψεις μέσω προσομοίωσης). Χρησιμοποιώντας τις μεθόδους αυτής της κατηγορίας, μια επιχείρηση συνδυάζει τις μεθόδους χρονοσειρών και τις αιτιακές μεθόδους για να λάβει απαντήσεις σε ερωτήματα όπως: Ποια θα είναι η επίδραση μιας αλλαγής στην τιμή; Ποια η επίδραση ενός ανταγωνιστή που ανοίγει επιχείρηση δίπλα στη δική μας; Στον προγραμματισμό και τον έλεγχο της παραγωγής οι αποφάσεις που λαμβάνονται μπορούν να αφορούν διαφορετικούς χρονικούς ορίζοντες, οπότε χρησιμοποιούνται συνήθως διαφορετικές μέθοδοι προβλέψεων. Όμως μπορούμε να κατατάξουμε τις αποφάσεις που παίρνονται σε τρείς γενικές κατηγορίες, ανάλογα με το χρονικό ορίζοντα που αυτές αναφέρονται και τις επιπτώσεις που μπορούν να έχουν στο σύστημα( π.χ. στο ύψος των πόρων που δεσμεύονται): Βραχυπρόθεσμες: Οι βραχυχρόνιες αποφάσεις παίρνονται για ενέργειες που επηρεάζουν το παρόν και το άμεσο μέλλον της επιχείρησης Οι σχετικές αποφάσεις 0

αφορούν απαιτήσεις για εργατικό προσωπικό, για πρώτες ύλες και για μηχανήματα, που χρειάζονται για να εκτελεστεί το πρόγραμμα παραγωγής. Γι αυτές τις προβλέψεις χρησιμοποιούνται μέθοδοι προεκβολής που είναι σχετικά φθηνές στην εγκατάσταση και λειτουργία τους και μπορούν να προσαρμόζονται σε καταστάσεις που απαιτούν μεγάλο αριθμό παραμέτρων για την πρόβλεψη. Μεσοπρόθεσμες: Οι μεσοπρόθεσμες αποφάσεις παίρνονται για ζητήματα όπως ο συγκεντρωτικός προγραμματισμός, που περιλαμβάνει τον προγραμματισμό του μηνιαίου ύψους της παραγωγής, του προσωπικού, των πρώτων υλών, των αποθεμάτων και του εξοπλισμού που θα χρησιμοποιηθούν μεσοπρόθεσμα. Μπορούν να χρησιμοποιηθούν οι μέθοδοι προεκβολής ή οι αιτιακές μέθοδοι. Μακροπρόθεσμες: Οι μακροπρόθεσμες αποφάσεις παίρνονται για ζητήματα που έχουν να κάνουν με τη συνολική δυναμικότητα ενός συστήματος, τη θέση εγκατάστασης της επιχείρησης, την τεχνολογία που θα χρησιμοποιηθεί στην παραγωγή κλπ Ο χρονικός ορίζοντας εκτείνεται στα επόμενα χρόνια και οι προβλέψεις χαρακτηρίζονται από μεγαλύτερη αβεβαιότητα. Χρησιμοποιούνται αιτιακές ή ποιοτικές μέθοδοι καθώς και συνδυασμός τους..5. Σφάλμα πρόβλεψης Η αξιοπιστία μιας μεθόδου πρόβλεψης μπορεί να εκτιμηθεί βάσει των αποκλίσεων που εμφανίζονται μεταξύ των προβλέψεων που παράγει αυτή και των τιμών της μεταβλητής που διαμορφώνονται στην πράξη. Χρησιμοποιούνται διάφορα μέτρα για τη μέτρηση αυτών των αποκλίσεων και γενικά των σφαλμάτων πρόβλεψης. Έστω ένα πλήθος δεδομένων N, που αντιστοιχούν σε N περιόδους, για τις οποίες διατίθενται προβλέψεις και αντίστοιχες πραγματικές τιμές. Έτσι, αν e είναι το σφάλμα πρόβλεψης, δηλαδή η διαφορά ανάμεσα στην πραγματική τιμή D ή κατά άλλους X, και την πρόβλεψη F της μεταβλητής την περίοδο, δηλαδή e = D F Μπορούν να χρησιμοποιηθούν τα εξής μέτρα: Μέσο Σφάλμα (ΜΣ) = N e N = Για να είναι η μέθοδος που χρησιμοποιήθηκε για τις προβλέψεις, αρκετά αξιόπιστη, πρέπει το μέτρο αυτό να τείνει προς το μηδέν. Το μειονέκτημα του μέτρου είναι ότι οι

θετικές αποκλίσεις εξουδετερώνονται απ;o τις αρνητικές, έτσι ώστε να μπορεί να εμφανιστεί τελικά μικρό μέσο σφάλμα αν και έχουν σημειωθεί στην πραγματικότητα πολύ μεγάλες αποκλίσεις. Μέση Απόλυτη Απόκλιση (ΜΑΑ) = N e N = Αποτελεί ένα μέτρο του μεγέθους των αποκλίσεων που τείνει να παράγει η χρησιμοποιούμενη μέθοδος. Δεν δίνει το πρόσημο των αποκλίσεων. 2 Μέσο Τετραγωνικό Σφάλμα (ΜΤΣ) = N e N = Παρέχει παρόμοιες πληροφορίες με τη ΜΑΑ αλλά εμφανίζει μικρότερες αποκλίσεις λόγω της δύναμης τετραγώνου, στην οποία υψώνεται κάθε απόκλιση. Τυπική Απόκλιση Σφαλμάτων (ΤΑΣ) = N = N e 2 Δίνει πληροφορίες για την απόκλιση των απόλυτων τιμών των σφαλμάτων από τη μέση τιμή τους Ποσοστιαίο Σφάλμα (ΠΣ) = e D 00 Μετράει το ποσοστιαίο σφάλμα για μία μόνο περίοδο. Μέσο Ποσοστιαίο Σφάλμα (ΜΠΣ) = N N = e 00 D Μετράει το μέσο σφάλμα επί τοις 00 για N περιόδους. Μέσο Απόλυτο Ποσοστιαίο Σφάλμα (ΜΑΠΣ)= N N = e 00 D Μετράει το πόσο έξω πέφτουν οι προβλέψεις ως ποσοστά της πραγματικής τιμής της μεταβλητής. Για να δειχθεί η χρήση των παραπάνω μέτρων δίνεται το εξής παράδειγμα: Τα στοιχεία του πίνακα. αναφέρονται στις προβλέψεις για τη ζήτηση ενός προϊόντος κατά τους 2 τελευταίους μήνες, καθώς και στις αντίστοιχες πωλήσεις που i 2

πραγματοποιήθηκαν (π.χ. σε εκατ. Ευρώ). Δίνονται επίσης, για κάθε μήνα, τα αντίστοιχα σφάλματα των προβλέψεων. Οι τιμές των διαφόρων μέτρων σφάλματος προκύπτει ότι είναι οι εξής: ΠΙΝΑΚΑΣ. Πραγματικές πωλήσεις, προβλέψεις και σφάλματα προβλέψεων 3

.5.. Επιπτώσεις από σφάλματα στην πρόβλεψη ζήτησης Η σημασία των ικανοποιητικών προβλέψεων, για τη ζήτηση των προσφερόμενων προϊόντων ή υπηρεσιών, συνδέεται με το συχνά υψηλό κόστος από σφάλματα είτε λόγω υπερβολικής αισιοδοξίας είτε λόγω μεγάλης απαισιοδοξίας των υπευθύνων. Η αισιοδοξία στην πρόβλεψη οδηγεί σε εκτιμήσεις μεγαλύτερες από την πραγματοποιούμενη ζήτηση στη χρονική περίοδο για την οποία γίνεται η πρόβλεψη. Η αρκετά μεγαλύτερη της αναμενόμενης πραγματική ζήτηση έχει ως αποτέλεσμα την περιορισμένη εκμετάλλευση της διαθέσιμης δυναμικότητας και περιττά αποθέματα του τελικού προϊόντος. Αυτές οι συνέπειες οδηγούν σε αντιοικονομική λειτουργία της επιχείρησης με μεγάλα σταθερά έξοδα που επιβαρύνουν το κόστος παραγωγής. Αντίθετα, η απαισιοδοξία κατά την εκτίμηση της ζήτησης οδηγεί σε αδυναμία ικανοποίησης παραγγελιών, λόγω ανεπαρκούς δυναμικότητας σε σχέση με την πραγματική ζήτηση. Οι κύριες συνέπειες περιλαμβάνουν τα διαφυγόντα κέρδη από την μη ικανοποίηση των παραγγελιών και την απώλεια της αξιοπιστίας στην αγορά λόγω της αδυναμίας της επιχείρησης να καλυφθούν οι ανάγκες των πελατών. Αυτό μπορεί να οδηγήσει σε αποδυνάμωση του ανταγωνιστικού πλεονεκτήματος και να προσελκύσει νέους ανταγωνιστές στον ίδιο κλάδο, με το ενδεχόμενο να χάσει η επιχείρηση το μερίδιο της αγοράς που κατείχε. Όσο πιο ακριβής είναι μια πρόβλεψη της ζήτησης, τόσο καλύτερα αξιοποιούνται οι ευκαιρίες που προσφέρει η αγορά, διότι έτσι περιορίζονται στο ελάχιστο οι αρνητικές συνέπειες από την έλλειψη ή το πλεόνασμα σε δυναμικότητα ή αποθέματα. Αυτό όμως, απαιτεί μεγάλη ευελιξία στον εξοπλισμό και στον τρόπο απασχόλησης του προσωπικού. Με την αυξανόμενη αβεβαιότητα η παρατηρούμενη τάση είναι η στροφή προς την ανάπτυξη μεγαλύτερης ευελιξίας. Οι νέες προσεγγίσεις για τον τρόπο οργάνωσης, προγραμματισμού και ελέγχου της παραγωγής πρέπει να στοχεύσουν στη δημιουργία ευελιξίας. 4

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μέθοδοι Προεκβολής 2.. Στοιχεία χρονοσειρών Οι μέθοδοι προεκβολής προσπαθούν να αναγνωρίσουν τα πρότυπα, βάσει των οποίων οι τιμές εξελίχθηκαν στο παρελθόν. Δηλαδή, τις συνθήκες της αγοράς μέσα στις οποίες διαμορφώθηκε η ζήτηση για το συγκεκριμένο προϊόν. Οι προβλέψεις στηρίζονται στην υπόθεση ότι τα πρότυπα, δηλαδή οι συνθήκες αυτές θα διατηρηθούν και στο μέλλον. Ο αντικειμενικός σκοπός στην ανάλυση χρονοσειρών είναι η αποκάλυψη των χαρακτηριστικών του μηχανισμού ή της διαδικασίας που διαμορφώνει τη ζήτηση. Κάθε χρονοσειρά αποτελείται από ένα ή περισσότερα στοιχεία. Οριζόντιο στοιχείο: Χαρακτηρίζει τις στάσιμες χρονοσειρές, δηλαδή τις σειρές των τιμών που διακυμαίνονται γύρω από μια μέση τιμή, χωρίς να υπάρχει συστηματική τάση για αύξηση ή μείωσή τους. Αυτό το στοιχείο μπορεί να χαρακτηρίζει, για παράδειγμα, τις πωλήσεις κατά τη φάση της ωρίμανσης στον κύκλο ζωής ενός προϊόντος ή το ποσοστό των σκάρτων σε μια σταθεροποιημένη παραγωγική διαδικασία. Στο στάδιο της ωρίμανσης οι πωλήσεις αφού φθάσουν το μέγιστό τους σημείο, αρχίζουν να πέφτουν. Τα κέρδη συνεχίζουν την καθοδική τους πορεία (αν και οι πωλήσεις αυξάνονται), επειδή αυξάνονται τα έξοδα προβολής και πέφτουν οι τιμές. Στοιχείο τάσης: Είναι λογικό να αναμένει κανείς τυχαίες διακυμάνσεις στο πραγματικό ύψος της ζήτησης π.χ. από μήνα σε μήνα, λόγω της αβεβαιότητας του περιβάλλοντος και του πολύπλοκου τρόπου αλληλεπίδρασης των παραγόντων, που διαμορφώνουν την ζήτηση Γι αυτό είναι προτιμότερο να διαμορφώνει κανείς το μέσο ύψος της ζήτησης για μία προκαθορισμένη σειρά περιόδων Το μέσο ύψος της ζήτησης μπορεί να παραμένει σταθερό ή να αλλάζει με την πάροδο του χρόνου λόγω μακροπρόθεσμης ανοδικής ή καθοδικής τάσης Το στοιχείο της μακροπρόθεσμης τάσης σε μία χρονοσειρά προσδιορίζεται από την άνοδο ή κάθοδο στο μέσο ύψος της ζήτησης για ένα μεγάλο αριθμό χρονικών περιόδων. Το στοιχείο της τάσης χαρακτηρίζει χρονοσειρές όπου παρατηρείται μια συστηματική μεταβολή, αύξηση ή ελάττωση, της μέσης τιμής της μεταβλητής με την πάροδο του χρόνου. Οι πωλήσεις αυξάνονται ραγδαία και συνεχώς και μαζί τους τα κέρδη, αν και τα τελευταία, αφού φθάσουν στο μέγιστο ύψος τους αρχίζουν να πέφτουν. Τα κέρδη πέφτουν εξαιτίας 5

του σκληρού ανταγωνισμού, καθώς νέες επιχειρήσεις μπαίνουν στον κλάδο παράγοντας τα ίδια περίπου προϊόντα. Ο ανταγωνισμός προκαλεί μείωση των τιμών και αύξηση των εξόδων προβολής. Σε αυτό βοηθά και το γεγονός ότι αφού αυξάνονται οι πωλήσεις, αρχίζουν οι θετικές οικονομίες κλίμακας. Το αντίθετο συμβαίνει στη φάση της παρακμής, οι πωλήσεις πέφτουν ραγδαία, γιατί είτε εμφανίζονται νέα προϊόντα είτε αλλάζει η συμπεριφορά των αγοραστών. Κυκλικό στοιχείο:το πραγματικό ύψος της ζήτησης για ένα ή περισσότερα χρόνια μπορεί να διαφέρει σημαντικά από αυτό που θα αναμένονταν βάσει της μακροπρόθεσμης τάσης. Η απόκλιση αυτή της πραγματικής από την προβλεπόμενη ζήτηση αποδίδεται στην ύπαρξη επιχειρηματικών οικονομικών κύκλων, που είναι αποτέλεσμα πολύπλοκων επιρροών από οικονομικούς, τεχνολογικούς πολιτικούς ή άλλους παράγοντες. Σε μία χρονοσειρά η κυκλική διακύμανση αναφέρεται στην απόκλιση της πραγματικής από την προβλεπόμενη ζήτηση λόγω επιχειρηματικών οικονομικών κύκλων. Οι οικονομικοί κύκλοι, που προκαλούν τις παραπάνω διακυμάνσεις, δεν επανέρχονται με την ίδια συχνότητα, ούτε έχουν την ίδια μορφή. Για τους λόγους αυτούς είναι αδύνατη η πρόβλεψη ή ο έλεγχός τους. Εκείνο που έχει σημασία είναι να γνωρίζουμε σε ποια φάση του οικονομικού κύκλου βρισκόμαστε, ώστε να γίνονται οι κατάλληλες προσαρμογές στα προγράμματα της διοίκησης. Στο κυκλικό στοιχείο τόσο η περιοδικότητα όσο και ο κύκλος δεν εμφανίζουν σταθερότητα. Εποχικό στοιχείο: Για πολλά προϊόντα και υπηρεσίες παρατηρούνται κυκλικές διακυμάνσεις που επαναλαμβάνονται ετησίως. Σε αντίθεση με τους οικονομικούς κύκλους που δεν μπορούν να προβλεφθούν, οι εποχικές διακυμάνσεις επανέρχονται με την ίδια μορφή κάθε χρόνο και η ύπαρξή τους συσχετίζεται με τις μεταβολές στον καιρό π.χ. στην κατανάλωση γεωργικών προϊόντων κ.α., σε κοινωνικές ή θρησκευτικές παραδόσεις ή σε συγκεκριμένη πολιτική της διοίκησης Έτσι σε μία χρονοσειρά η εποχική διακύμανση αναφέρεται στις ετησίως επαναλαμβανόμενες κυκλικές μεταβολές στη ζήτηση, λόγω καιρού, κοινωνικών ή θρησκευτικών παραδόσεων ή σε άλλους λόγους. Το στοιχείο αυτό χαρακτηρίζει την παραγωγή πολλών αγροτικών προϊόντων, καθώς και τη ζήτηση πολλών βιομηχανικών αγαθών διαρκείας όπως π.χ. κλιματιστικά μηχανήματα. Η διακύμανση των τιμών οφείλεται σε κάποιο εποχικό στοιχείο. 6

2.2. Η μέθοδος του κινούμενου μέσου Η μέθοδος αυτή χρησιμοποιεί στοιχεία από το παρελθόν ώστε να μπορέσει να γίνει η πρόβλεψη για το μέλλον. Σε αυτή τη μέθοδο η προβλεπόμενη τιμή F τ της μεταβλητής για την περίοδο ισούται με τη μέση τιμή των τιμών X - X -n της μεταβλητής κατα τις n αμέσως προηγούμενες περιόδους, δηλαδή: F X + X 2 +... + X n = = n n X i n i= () Για την εφαρμογή της μεθόδου επιλέγεται αρχικά ο αριθμός των περιόδων n, για τις οποίες θα υπολογιστεί ο κινούμενος μέσος. Όσο μεγαλύτερο είναι το n τόσο μεγαλύτερη είναι η εξομάλυνση στις τυχαίες διακυμάνσεις της τιμής της μεταβλητής, τόσο δηλαδή θα είναι μικρότερη η επίδραση κάποιων ακραίων τιμών. Η πρόβλεψη για την επόμενη περίοδο παράγεται με την προσθήκη στη χρονοσειρά της πιο πρόσφατης τιμής της μεταβλητής και την αφαίρεση από αυτήν της παλαιότερης τιμής. Η σχέση () δηλαδή γράφεται ως εξής: F + F X X n n = + (2) Η σχέση μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την πρόβλεψη της περιόδου + όταν η πρόβλεψη F της προηγούμενης περιόδου και οι τιμές της μεταβλητής για τις περιόδους και -n είναι δεδομένες. Στον πίνακα 2. δίνεται ένα παράδειγμα εφαρμογής της μεθόδου. Υπολογίζονται οι προβλεπόμενες τιμές της ζήτησης για κάθε περίοδο(μήνα) λαμβάνοντας υπόψη κάθε φορά τους n=3 και n=5 προηγούμενους μήνες και τις αντίστοιχες πωλήσεις. 7

ΠΙΝΑΚΑΣ 2. χρονική περίοδος (ime ζήτηση (observed χρόνος (year) μήνας (monh) period) value) 98 Ιαν. 262,8 Φεβ. 2 262,9 Μαρ. 3 262,6 πρόβλεψη με τη μέθοδο κινούμενου μέσου για n=3 Απρ. 4 263,2 262,8 Μαϊος 5 263,9 262,9 πρόβλεψη με τη μέθοδο κινούμενου μέσου για n=5 Ιουν. 6 265,4 263,2 263, Ιουλ. 7 266,5 264,2 263,6 Αυγ. 8 267, 265,3 264,3 Σεπτ. 9 268,5 266,3 265,2 Οκτ. 0 269,7 267,4 266,3 Νοεμ. 270,4 268,4 267,4 Δεκ. 2 269,4 269,5 268,4 Ο κινούμενος μέσος των τρειών πρώτων μηνών είναι το άθροισμα του μηνός Ιανουαρίου, Φεβρουαρίου, και Μαρτίου διαιρεμένο με το 3, δηλαδή: 262.8 + 262.9 + 262.6 3 = 788.3 =262,8 3 Ο παραπάνω μέσος όρος, δηλαδή το 262,8 αποτελεί την πρόβλεψη για το μήνα Απρίλιο. Χρησιμοποιώντας τη σχέση (2) μπορούμε να υπολογίσουμε την πρόβλεψη F για το μήνα Μάϊο ως εξής: + F F F 5 4 5 5 = F + X = 262.8 + = 262.9 4 4 3 = F + X 4 263.2 262.8 4 X X n n Την παραπάνω σχέση, δηλαδή τη σχέση (2) εφαρμόζουμε για να κάνουμε την πρόβλεψη μέχρι και το μήνα Δεκέμβριο λαμβάνοντας υπόψη κάθε φορά τους n=3 και n=5 προηγούμενους μήνες και τις αντίστοιχες πωλήσεις. 8

Τα στοιχεία του πίνακα 2. μπορούμε να τα απεικονίσουμε και σε μορφή διαγράμματος ως εξής: Διάγραμμα 2. 272 270 268 ζήτηση(observed value) 266 264 262 πρόβλεψη με τη μέθοδο κινούμενου μέσου για 3 μήνες,n=3 πρόβλεψη με τη μέθοδο κινούμενου μέσου για 5 μήνες,n=5 260 258 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 χρονική περίοδος (μήνες) Στο παραπάνω διάγραμμα η μπλε γραμμή μας δείχνει την διακύμανση των πωλήσεων X τ, η ροζ την διακύμανση της πρόβλεψης για n=3, και η κίτρινη την διακύμανση της πρόβλεψης για n=5. Παρατηρούμε ότι η πρόβλεψη για n=5 παρουσιάζει μεγαλύτερη σταθερότητα και λιγότερες αποκλίσεις. Το μειονέκτημα αυτής της μεθόδου είναι ότι στην παραγωγή συχνά πρέπει να γίνουν προβλέψεις για μεγάλο αριθμό μεταβλητών, οπότε οι απαιτήσεις για αποθήκευση δεδομένων μπορεί να είναι σημαντικές. Αυτή η μέθοδος δεν θα δώσει καλές προβλέψεις, αν τα δεδομένα εμπεριέχουν στοιχεία τάσης ή εποχικότητας ή κυκλικότητας. Η μέθοδος δίνει την ίδια βαρύτητα σε κάθε μία από τις n πιο πρόσφατες τιμές, και δεν λαμβάνονται καθόλου υπόψη τα δεδομένα πριν από τις n τελευταίες περιόδους. Επίσης, ακόμη και εάν γνωρίζουμε ότι υπάρχουν στη χρονοσειρά στοιχεία εποχικότητας και κυκλικότητας δεν μπορούμε να τα αξιοποιήσουμε με αυτή τη μέθοδο, αυτή τη δυνατότητα την παρέχουν οι μέθοδοι εκθετικής εξομάλυνση. 9

2.3. Το μοντέλο της απλής εκθετικής εξομάλυνσης Οι μέθοδοι της απλής εκθετικής εξομάλυνσης χρησιμοποιούνται συνήθως στο βραχυπρόθεσμο προγραμματισμό και έλεγχο της παραγωγής, και γενικότερα σε περιπτώσεις όπου ο χρονικός ορίζοντας της πρόβλεψης είναι σχετικά μικρός ενώ δεν υπάρχουν διαθέσιμες πληροφορίες για την αιτιακή σχέση που συνδέει την προς πρόβλεψη μεταβλητή και τους ανεξάρτητους παράγοντες που την επηρεάζουν. Αυτές οι μέθοδοι βασίζονται στην εκθετική μείωση της βαρύτητας που δίνεται στα στοιχεία των προηγούμενων περιόδων, επομένως όσο παλαιότερα είναι τα στοιχεία τόσο μικρότερη είναι η βαρύτητά τους. Στις μεθόδους απλής εκθετικής εξομάλυνσης αποθηκεύονται πολύ λιγότερα στοιχεία σε σχέση π.χ. με την μέθοδο του κινούμενου μέσου και η πρόβλεψη αναπροσαρμόζεται καθώς γίνονται γνωστά τα καινούρια δεδομένα, με την εφαρμογή απλών μαθηματικών σχέσεων και άρα οι απαιτήσεις σε χρόνο και αποθήκευση δεδομένων για την εφαρμογή αυτών των μεθόδων είναι μικρές. Χαρακτηριστικό αυτών των μεθόδων είναι η εξομάλυνση των τυχαίων διακυμάνσεων που μπορεί να παρουσιάζουν τα διάφορα στοιχεία των χρονοσειρών(οριζόντιο, τάσης, εποχικό, και κυκλικό) Το πιο απλό από τα μοντέλα εκθετικής εξομάλυνσης είναι το μοντέλο της απλής εκθετικής εξομάλυνσης. Σε αυτή τη μέθοδο υπάρχει μια μέση τιμή της μεταβλητής, γύρω από την οποία κυμαίνονται, λόγω τυχαίων παραγόντων οι τιμές της. Αυτή η μέθοδος εφαρμόζεται όταν τα δεδομένα δεν παρουσιάζουν στοιχεία τάσης, εποχικότητας ή κυκλικότητας Αυτό το μοντέλο για να προβλέψει την τιμή της μεταβλητής κατά τις επόμενες περιόδους χρησιμοποιεί την πρόβλεψη και την αντίστοιχη τιμή της μεταβλητής για την τρέχουσα περίοδο. Τ ο μοντέλο της απλής εκθετικής εξομάλυνσης αποτελεί μια εξέλιξη της μεθόδου του κινούμενου μέσου, αφού «ομαλοποιεί» τις παρατηρήσεις από το παρελθόν με σκοπό να αντιμετωπιστεί η τυχαιότητα, αποτέλεσμα της οποίας είναι οι διακυμάνσεις της τιμής της μεταβλητής. Λαμβάνοντας τη σχέση (2), δηλαδή F + X X n n = F + που μας δίνει τον κινούμενο μέσο, υποθέτουμε ότι είναι διαθέσιμες μόνο η πιο πρόσφατη τιμή της μεταβλητής X καθώς και η πρόβλεψη F, για αυτή την περίοδο. Η σχέση (2) μπορεί να τροποποιηθεί ώστε στη θέση της τιμής της μεταβλητής την περίοδο -n να βάλουμε μια προσεγγιστική τιμή. Επομένως η σχέση (2) μπορεί να γραφτεί ως εξής: 20

X F F = F + = X + F n n n + Αυτή η σχέση δείχνει ότι για την πρόβλεψη για την περίοδο + λαμβάνεται υπόψη η πιο πρόσφατη τιμή X της μεταβλητής με βαρύτητα /nκαι η πιο πρόσφατη πρόβλεψη με βαρύτητα (-/n). Αν αντικαταστήσουμε το/n με το σύμβολο a προκύπτει: F = ax + ( + a) F (3) δηλαδή, Νέα πρόβλεψη= a(τρέχουσα τιμή)+(-a)(προηγούμενη πρόβλεψη). Η σχέση αυτή δίνει την πρόβλεψη για την επόμενη περίοδο και μπορεί να γραφτεί και με την εξής μορφή: F = F + a( X F) = + F + ae Αυτή η σχέση δείχνει ότι με τη μέθοδο αυτή, η νέα πρόβλεψη ισούται με την προηγούμενη πρόβλεψη κατά ένα ποσοστό a του σφάλματος πρόβλεψης e κατά την προηγούμενη περίοδο. Όταν τοa έχει τιμή κοντά στο μηδέν, τότε το σφάλμα πρόβλεψης επηρεάζει πολύ λίγο τη διαμόρφωση της πρόβλεψης. Στην εξίσωση (3) η οποία χρησιμοποιείται κατά την εφαρμογή των μεθόδων εξομάλυνσης, ο συντελεστής a ονομάζεται σταθερά εξομάλυνσης και παίρνει τιμές μεταξύ 0 και δηλαδή 0 a Το γεγονός ό,τι εμείς επιλέγουμε το a μας επιτρέπει να ελέγχουμε την βαρύτητα που δίνουμε στην πρόσφατη πραγματική τιμή της μεταβλητής. Αν θέσουμε a=0,, τότε η τιμή της πρόβλεψης θα προκύψει από τη σχέση (3) προσθέτοντας μόνο το 0% της πραγματικής τιμής της μεταβλητής Χ στο 90% της τιμής της προηγούμενης πρόβλεψης. Μικρές τιμές του a προκαλούν μεγαλύτερη εξομάλυνση από ό,τι οι μεγάλες τιμές Αν οι διακυμάνσεις της ζήτησης οφείλονται κυρίως στον παράγοντα «τύχη», θα πρέπει να επιλέξουμε μικρή τιμή για το a. Αν θέσουμε a=3 στην εξίσωση (3), προκύπτει ότι F - =F. Αυτό σημαίνει ότι η νέα πρόβλεψη είναι ίδια με την προηγούμενη και όλες οι διακυμάνσεις οφείλονται σε τυχαίες αιτίες. Αν a=, τότε προκύπτει F + =X, δηλαδή η νέα πρόβλεψη ισούται με την πιο πρόσφατη τιμή της μεταβλητής και η προηγούμενη πρόβλεψη δεν λαμβάνεται υπόψη. 2

ΠΙΝΑΚΑΣ 2.2 Παράδειγμα εφαρμογής μεθόδου απλής εκθετικής εξομάλυνσης Για το μήνα Μάρτιο του 98, με σταθερά εξομάλυνσης a= 0,2 η πρόβλεψη δίνεται από την σχέση (3) ως εξής: F = a( X ) + ( a) F F F Μαρ Φεβ Φεβ Μαρ Μαρ = 0.2(45.8) + ( 0.2)(45.5) = 45.6 Για τον μήνα Απρίλιο του 98, με σταθερά εξομάλυνσης a=0,2 η πρόβλεψη δίνεται από την σχέση (3) ως εξής: F = a( X ) + ( a) F F F Απρ Μαρ Μαρ Απρ Απρ = 0.2(46.) + ( 0.2)(45.6) = 45.7 22

Χρησιμοποιώντας την σχέση (3) μπορούμε να βρούμε τις προβλέψεις και για τους υπόλοιπους μήνες. Βρίσκοντας τις προβλέψεις για κάθε μήνα του έτους 98 με σταθερές εξομάλυνσης a=0,2, a=0,5 και a=0,8 προκύπτει το παρακάτω διάγραμμα. Διάγραμμα 2.2 48,5 48 47,5 47 46,5 46 45,5 45 44,5 ζήτηση(observed value) πρόβλεψη απλή εκθετική με σταθερά εξομάλυνσης a=0,2 πρόβλεψη απλή εκθετική με σταθερά εξομάλυνσης a=0,5 πρόβλεψη απλή εκθετική με σταθερά εξομάλυνσης a=0,8 44 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 χρονική περίοδος (μήνες) Στο παραπάνω διάγραμμα η μπλε γραμμή απεικονίζει την διακύμανση των πωλήσεων X, η ροζ την διακύμανση της πρόβλεψης με σταθερά εξομάλυνσης a=0,2, η κίτρινη την διακύμανση της πρόβλεψης με σταθερά εξομάλυνσης a=0,5, και η γαλάζια την διακύμανση της πρόβλεψης με σταθερά εξομάλυνσης a=0,8. Παρατηρούμε ότι όσο πιο κοντά στο μηδέν βρίσκεται ο η σταθερά εξομάλυνσης τόσο μικρότερες διακυμάνσεις παρουσιάζει η πρόβλεψή μας, δηλαδή όταν το a έχει τιμή κοντά στ μηδέν, τότε το σφάλμα πρόβλεψης συμμετέχει πολύ λίγο στην διαμόρφωση της πρόβλεψης. 23

2.4. Μοντέλα εκθετικής εξομάλυνσης Το μοντέλο της απλής εκθετικής εξομάλυνσης χρησιμοποιείται στην περίπτωση που στην χρονοσειρά υπάρχει μόνο το οριζόντιο στοιχείο, όταν δηλαδή δεν υπάρχουν στοιχεία τάσης και εποχικότητας. Στην περίπτωση που εκτός από το οριζόντιο στοιχείο,μια χρονοσειρά, ενσωματώνει και στοιχεία τάσης και εποχικότητας, υπάρχουν μοντέλα που είναι ικανά να δίνουν αποτελέσματα λαμβάνοντας υπόψη τις επιδράσεις αυτών των στοιχείων σε διάφορους συνδυασμούς. Το στοιχείο της τάσης μπορεί να είναι γραμμικό ή πολλαπλασιαστικό. Γραμμικό στοιχείο τάσης, έχουμε όταν για παράδειγμα, η τιμή της μεταβλητής αυξάνεται σε κάθε περίοδο κατά 20 μονάδες κατά μέσο όρο, δηλαδή όταν το στοιχείο της τάσης είναι γραμμικό, η τάση παρουσιάζεται ως αύξηση ή ελάττωση κατά μία ποσότητα, η οποία κυμαίνεται γύρω από μια σταθερή μέση τιμή, και κατά την οποία μεταβάλλεται η τιμή της μεταβλητής από περίοδο σε περίοδο. Όταν το στοιχείο της τάσης είναι πολλαπλασιαστικό, η τάση εκφράζεται ως ποσοστό, κατά το οποίο αυξάνεται η τιμή της μεταβλητής και το οποίο επίσης κυμαίνεται γύρω από μία μέση τιμή. Επομένως, έχουμε πολλαπλασιαστικό στοιχείο τάσης όταν η τιμή X της μεταβλητής κατά την περίοδο + ισούται με την τιμή X κατά την προηγούμενη περίοδο αυξημένη κατά την ποσότητα p X, όπου p είναι μία ποσότητα που κυμαίνεται γύρω από μία σταθερή μέση τιμή και δείχνει την ποσοστιαία αύξηση της τιμής της μεταβλητής. Το εποχικό στοιχείο μπορεί να είναι γραμμικό ή πολλαπλασιαστικό. Η εποχικότητα δηλαδή η ποσότητα κατά την οποία μεταβάλλεται η τιμή της μεταβλητής από περίοδο σε περίοδο, εκφράζεται με ένα δείκτη ο οποίος μεταβάλλεται από περίοδο σε περίοδο. Το οριζόντιο στοιχείο, το εποχικό και το στοιχείο τάσης όταν συνδυαστούν μεταξύ τους μπορούν να διαμορφώσουν κάποια μοντέλα. Για κάθε ένα από αυτά τα μοντέλα η διαδικασία πρόβλεψης γίνεται σε δύο στάδια: Πρώτο στάδιο: Γίνεται πρόβλεψη με εφαρμογή του μοντέλου της απλής εκθετικής εξομάλυνσης χωριστά για κάθε ένα από τα στοιχεία που χαρακτηρίζουν την χρονοσειρά δηλαδή η πρόβλεψη γίνεται ξεχωριστά για το οριζόντιο στοιχείο, για το κυκλικό και για το εποχικό, χρησιμοποιώντας την σχέση F = aa + ( + a) B όπου a είναι μία σταθερά που καλείται σταθερά εξομάλυνσης και παίρνει τιμές μεταξύ 0 και, και τα A, B διαφέρουν ανάλογα με το 24

μοντέλο που επιλέξαμε. Για παράδειγμα στο μοντέλο της απλής εκθετικής εξομάλυνσης είναι A =X και B =F. Δεύτερο στάδιο: Χρησιμοποιούμε τις προβλέψεις για τα επιμέρους στοιχεία της χρονοσειράς, που προέκυψαν κατά το πρώτο στάδιο, για να κάνουμε την τελική ολική πρόβλεψη. 2.5. Το μοντέλο εκθετικής εξομάλυνσης με γραμμική τάση(μοντέλο Hol) Το μοντέλο της απλής εκθετικής εξομάλυνσης είναι κατάλληλο για προβλέψεις, στην περίπτωση που στην χρονοσειρά υπάρχει μόνο το οριζόντιο στοιχείο. Αν εκτός από το οριζόντιο στοιχείο υπάρχει και το στοιχείο τάσης τότε η χρήση του μοντέλου της απλής εκθετικής εξομάλυνσης θα έχει ως συνέπεια, αν η τάση είναι αυξητική, οι προβλέψεις να είναι μικρότερες από τις πραγματοποιούμενες τιμές της μεταβλητής, και εάν η τάση είναι μειωτική οι προβλέψεις να είναι μεγαλύτερες από τις πραγματοποιούμενες τιμές της μεταβλητής. Αν η τάση είναι γραμμική η διαφορά X + -X μεταξύ 2 διαδοχικών τιμών της μεταβλητής οφείλεται εκτός από τις διακυμάνσεις που χαρακτηρίζουν το οριζόντιο στοιχείο, και στην τάση για αύξηση ή μείωση (πρόσθεση ή αφαίρεση κάποιας ποσότητας στο οριζόντιο στοιχείο) που χαρακτηρίζει την χρονοσειρά. Η παραπάνω διαφορά η οποία οφείλεται στην ύπαρξη γραμμικής τάσης, αποτελεί μια χωριστεί χρονοσειρά που αποτελείται από τις τιμές του βήματος της τάσης, οι οποίες κυμαίνονται γύρω από μία σταθερή μέση τιμή. Εφαρμόζοντας την εκθετική εξομάλυνση μπορούμε να εξομαλύνουμε τις διαφορές στην τιμή του βήματος, που εμφανίζονται από περίοδο σε περίοδο, με μία σταθερά εξομάλυνσης β όχι ίδιας τιμής με την a που χρησιμοποιούμε για την εξομάλυνση του οριζόντιου στοιχείου. Η σχέση (3), που αντιστοιχεί στο μοντέλο της απλής εκθετικής εξομάλυνσης, τροποποιείται προσθέτοντας το εξομαλυσμένο βήμα της τάσης b στην προηγούμενη πρόβλεψη: S+ = ax+ + ( a)( S + b) (4) Η σχέση (4) δίνει την πρόβλεψη για την τιμή του οριζόντιου στοιχείου της μεταβλητής για την επόμενη περίοδο. Αντίστοιχα, η πρόβλεψη της τιμής του βήματος b = β ( S S ) + ( β ) b (5) της τάσης + + 25

Οι εξισώσεις (4) και (5) δίνουν τις εξομαλυσμένες τιμές της πρόβλεψης για το οριζόντιο στοιχείο και το βήμα της τάσης, αντίστοιχα, για την επόμενη περίοδο. Η πρόβλεψη της τιμής του οριζόντιου στοιχείου για την επόμενη περίοδο S + απαιτείται για τον υπολογισμό της πρόβλεψης του βήματος της ίδιας περιόδου. Η προβλεπόμενη τομή της μεταβλητής για την επόμενη περίοδο δίνεται τελικά από την εξής F = S + b και για την περίοδο +m δίνεται από την σχέση: + + + F = S + b σχέση: + m + + ΠΙΝΑΚΑΣ 2.3 Παράδειγμα εφαρμογής του μοντέλου γραμμικής τάση. χρονική περίοδος (μήνες) Ζήτηση X ( ) (observed value) πρόβλεψη για την τιμή του οριζόντιου στοιχείου της μεταβλητής για την επόμενη περίοδο S + ( ) με σταθερά εξομάλυνσης a=0,2 τάση b + με σταθερά εξομάλυνσης β=0,3 πρόβλεψη για m= F +m ( ) 2,00,25 3,25 7,25 2,05,3 3,8 8,32 2,2,03 3,24 a=0,2 β=0, 2 8,2 2,22 0,93 3,5 -a=0,8 -β=0,9 3 9,98 2,5 0,87 3,38 4 9,5 2,53 0,78 3,32 5 2,33 3,2 0,76 3,88 6 4,6 4,03 0,78 4,80 7 5,2 4,88 0,78 5,67 8 6,23 5,78 0,80 6,58 9 4,8 6,22 0,76 6,98 0 7,25 7,04 0,77 7,80 8,25 7,89 0,78 8,67 26

2 22,47 9,43 0,85 20,28 Έχουμε λάβει σαν αρχική τιμή μεταβλητής των προβλέψεων S =4.42 και του βήματος b =0. Επομένως, η πρόβλεψη για τον πρώτο μήνα δίνεται ως εξής: F = S + b F = 4.42 + 0 = 4.42 Για να βρούμε την πρόβλεψη για τον δεύτερο μήνα εφαρμόζουμε τις εξής σχέσεις: Από την σχέση (4) S = ax + ( a)( S + b) προκύπτει: S S S 2 2 2 + + = 0.2*8.2 + ( 0.2)*(2.2+.03) =.624 + 0.59 = 2.2 b = β ( S S ) + ( β ) b προκύπτει: Από την σχέση (5) + + b b b 2 2 2 = 0.*(2.22 2.2) + 0.9*.03 = 0.00+ 0.927 = 0.93 Η πρόβλεψη για τον τρίτο μήνα σύμφωνα με την μέθοδο της εκθετικής εξομάλυνσης F = S + b επομένως με γραμμική τάση δίνεται από την εξής σχέση: + + + F = S + b 2 2 2 F2 = 2, 22 + 0,93 = 3,5 Τις παραπάνω σχέσεις εφαρμόζουμε για να βρούμε την πρόβλεψη μέχρι και τον έκτο μήνα. Οι παραπάνω προβλέψεις, τις οποίες βρήκαμε με την μέθοδο της εκθετικής εξομάλυνσης με γραμμική τάση, απεικονίζονται στο παρακάτω διάγραμμα ως εξής: 27

Διάγραμμα 2.3. 25 20 5 0 πωλήσεις (observed value) πρόβλεψη για m= 5 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 3 4 χρονική περίοδος (μήνες) Παρατηρούμε ότι η επιλογή των δύο σταθερών εξομάλυνσης επηρεάζει το μέγεθος των σφαλμάτων πρόβλεψης που τελικά θα προκύψουν. Για την ελαχιστοποίηση των σφαλμάτων είναι χρήσιμος ο έλεγχος της ευαισθησίας σε σφάλματα για το πεδίο τιμών που παίρνουν οι δύο σταθερές εξομάλυνσης, δηλαδή η εξέταση και η σύγκριση των σφαλμάτων που προκύπτουν αν χρησιμοποιηθούν εναλλακτικές τιμές για τις σταθερές εξομάλυνσης a,β. Για την επιλογή ικανοποιητικών τιμών, τόσο για τα S και b όσο και για τις σταθερές εξομάλυνσης απαιτούνται δεδομένα πολλών περιόδων και αυτό συμβαίνει γιατί τα σφάλματα των προβλέψεων επηρεάζονται από τις αρχικές τιμές που χρησιμοποιούνται κατά την έναρξη εφαρμογής της μεθόδου, η επίδραση αυτή μικραίνει και τελικά μηδενίζεται μετά από ένα μεγάλο αριθμό περιόδων. Για να έχουμε όσο το δυνατόν ακριβέστερα αποτελέσματα, εφόσον δίνονται στοιχεία για την εξέλιξη των πραγματικών τιμών της μεταβλητής πρέπει να παίρνονται όσο γίνεται περισσότερα στοιχεία υπόψη. 2.6. Το μοντέλο εκθετικής εξομάλυνσης με εποχικότητα Από την πρόβλεψη της ζήτησης για την επόμενη ή κάποια άλλη χρονιά γνωρίζουμε αν η διαθέσιμη δυναμικότητα επαρκεί για να καλύψει την αναμενόμενη ζήτηση. Για τον προγραμματισμό όμως της παραγωγής, των πωλήσεων και άλλων 28

δραστηριοτήτων είναι χρήσιμο να γνωρίζουμε αν η ζήτηση για το προϊόν εμφανίζει εποχικές διακυμάνσεις. Χωρίς εποχικότητα η ετήσια ζήτηση μοιράζεται ομοιόμορφα στις διαφορετικές χρονικές περιόδους που αποτελούν ένα έτος. Συνεπώς η ύπαρξη εποχικότητας σηματοδοτεί ότι σε ορισμένα χρονικά διαστήματα(μήνες ή τετράμηνα) του ίδιου έτους η ζήτηση θα είναι διαφορετική από τα άλλα και αυτό ντο γεγονός επηρεάζει σημαντικά την λειτουργία της επιχείρησης. Για προβλέψεις των τιμών μιας μεταβλητής με δεδομένη μια χρονοσειρά που χαρακτηρίζεται από το οριζόντιο στοιχείο και από εποχικές διακυμάνσεις, όχι όμως και από τάση, χρησιμοποιείται το μοντέλο της εποχικότητας. Το μοντέλο βασίζεται σε έναν δείκτη εποχικότητας I,που προκύπτει αν για παράδειγμα, πάρουμε την πραγματική μηνιαία ζήτηση για ένα προϊόν και την διαιρέσουμε με την ετήσια μέση τιμή της μηνιαίας ζήτησης. Ο δείκτης εποχικότητας μας δείχνει πόσο πάνω ή κάτω από τον μέσο όρο του έτους κινήθηκε η ζήτηση τον αντίστοιχο μήνα. Όταν οι τιμές του δείκτη είναι πάνω από την μονάδα δείχνουν αύξηση της ζήτησης, ενώ όταν οι τιμές του δείκτη είναι κάτω από την μονάδα τότε δηλώνουν μείωση της ζήτησης. Στο μοντέλο της εκθετικής εξομάλυνσης με εποχικότητα παρουσιάζονται διακυμάνσεις όχι μόνο στο οριζόντιο στοιχείο από μήνα σε μήνα, αλλά και στο δείκτη εποχικότητας κάθε μήνα από χρόνο σε χρόνο. Επομένως για την διενέργεια προβλέψεων θα πρέπει να γίνει εξομάλυνση των δεδομένων της χρονοσειράς και ως προς τα δύο αυτά στοιχεία. Η σχέση με βάση την οποία εξομαλύνεται η τιμή του οριζόντιου στοιχείου X S = a + ( a) S (6) I κατά την τρέχουσα περίοδο είναι: Η εξομάλυνση των τιμών του δείκτη εποχικότητας για κάθε μήνα γίνεται με την X I = c + ( c) I μέθοδο της εκθετικής εξομάλυνσης βάσει της σχέσης: S L L (7) όπου c είναι η σταθερά εξομάλυνσης για τους δείκτες εποχικότητας. Στην σχέση (7) η πραγματική τιμή της μεταβλητής X στην παρούσα περίοδο διαιρείται με την εξομαλυσμένη τιμή του οριζόντιου στοιχείου που προκύπτει από την σχέση (6), ώστε να προσδιοριστεί η ποσότητα, κατά την οποία η X ξεπερνά ή υπολείπεται της τιμής αυτής. Αυτή η απόκλιση εξομαλύνεται με την σταθερά εξομάλυνσης c. Ο δείκτης εποχικότητας για κάποιο μήνα βασίζεται στα δεδομένα για τον δείκτη πριν L, 2L, 3L, περιόδους. Και σε αυτή την μέθοδο τα πιο πρόσφατα δεδομένα έχουν 29

μεγαλύτερη βαρύτητα, η οποία εξαρτάται από την σταθερά εξομάλυνσης c, και η επιλογή της σταθερά ς εξομάλυνσης όπως και στο μοντέλο της τάσης έχει επίδραση στα σφάλματα πρόβλεψης. Η πρόβλεψη για την επόμενη περίοδο θα γίνει χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (6) και (7) και λαμβάνοντας υπόψη τόσο το οριζόντιο στοιχείο όσο και το εποχικό, έτσι προκύπτει ότι: F+ = SI L+ (8) και η πρόβλεψη για μετά από m περιόδους είναι: + m L+ m F = S I ΠΙΝΑΚΑΣ 2.4 Παράδειγμα εφαρμογής του μοντέλου εκθετικής εξομάλυνσης με εποχικότητα: Έτος Μήνας X (ζήτηση) S (εξομαλυμένη τιμή του οριζόντιου στοιχείου της μεταβλητής) I (εποχικό στοιχείο) F + (πρόβλεψη) 32, 994 23,85 0,6 2 24,58 0,69 3 26,5 0,79 a=0,2 C=0, 4 28,92 0,94 -a=0,8 -C=0,9 5 34,58,04 6 39,54,3 7 45,89,65 8 42,5,26 9 4,28,7 0 34,75,06 22,45 0,48 2 20,79 0,54 995 24,6 33,82 0,62 2 25,3 34,42 0,69 23,65 3 27,5 34,5 0,79 27,23 30

Η αρχική τιμή S 0 για την πρόβλεψη της ζήτησης Ιανουαρίου 995 είναι ίση με την μέση τιμή της ζήτησης κατά το έτος 994 και είναι ίση με 32,. Για να βρούμε την πρόβλεψη για τον μήνα Φεβρουάριο του995 χρησιμοποιούμε πρώτα την σχέση (6) για να βρούμε το S ως εξής: X S = a + ( a) S I L 25.3 S2 = 0.2 + (0.8)*33.82 0.69 S = 34.42 2 Για να βρούμε την εποχικότητα I για τον μήνα Φεβρουάριο 995 εφαρμόζουμε την σχέση (7) ως εξής: X I = c + ( c) I L S 25.3 I2 = 0. + 0.9*0.69 34.42 I = 0.069 2 Η πρόβλεψη για τον μήνα Φεβρουάριο 995 δίνεται από την εξής σχέση: F F F + L+ 2 2 = S I = 34.42*0.69 = 23.65 Η πρόβλεψη συγκρινόμενη με την ζήτηση για τους 6 πρώτους μήνες του 995 μπορεί να παρασταθεί και σε διάγραμμα για σαφέστερη εικόνα των αποτελεσμάτων ως εξής: 3

ζήτηση και πρόβλεψη με την μέθοδο της εκθετικής εξομάλυνσης με εποχικότητα 45 40 35 30 25 20 X F 5 0 5 0 2 3 4 5 6 χρονική περίοδος Παρατηρούμε ότι οι προβλέψεις δεν έχουν μεγάλη απόκλιση από την πραγματική ζήτηση, αυτό οφείλεται στις σταθερές εξομάλυνσης c και a οι οποίες επιδρούν στα σφάλματα πρόβλεψης. διάγραμμα ζήτησης 60 50 Μονάδες Προϊόντος 40 30 20 διάγραμμα ζήτησης 0 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 3 4 5 6 7 8 Μήνας 32

εξέλιξη δείκτη εποχικότητας I,8,6,4,2 I 0,8 εξέλιξη δείκτη εποχικότητας I 0,6 0,4 0,2 0 2 3 4 5 6 7 8 9 02345678 Μήνας 2.7. Το μοντέλο εκθετικής εξομάλυνσης με τάση και εποχικότητα (μοντέλο Winers) Το μοντέλο Winers χρησιμοποιείται στην περίπτωση που η χρονοσειρά χαρακτηρίζεται από την συνύπαρξη του οριζόντιου στοιχείου με τα στοιχεία της τάσης και της εποχικότητας. Στο μοντέλο αυτό χρησιμοποιούνται τρεις εξισώσεις για την εξομάλυνση των τρειών στοιχείων, αντίστοιχα: X S = a + ( a)( S + b )(9) I L b = v( S S ) + ( v) b (0) X I = c + ( c) I L() S Στις παραπάνω εξισώσεις είναι: S η εξομαλυμένη τιμή του οριζόντιου στοιχείου b η εξομαλυμένη τιμή του στοιχείου τάσης Ι τ η εξομαλυμένη τιμή του εποχικού στοιχείου 33

L το μήκος της περιόδου (=2 μήνες) v σταθερά εξομάλυνσης Σε κάθε περίοδο διατίθενται από την προηγούμενη περίοδο τα στοιχεία S -, b - και I - καθώς και η τιμή της X που προέκυψε κατά την τρέχουσα περίοδο. Από αυτά, βάσει της σχέσης (9) προκύπτει η εξομαλυσμένη τιμή του οριζόντιου στοιχείου. Με βάση αυτή την τιμή προκύπτει η εξομαλυσμένη τιμή του στοιχείου τάσης (εξίσωση 0) και του δείκτη εποχικότητας (εξίσωση ). Η πρόβλεψη για την επόμενη περίοδο F = ( S + b) I (2) γίνεται σύμφωνα με την σχέση: + L+ Ενώ η πρόβλεψη για μετά από m περιόδους είναι: F = ( S + bm) I + m L+ m ΠΙΝΑΚΑΣ 2.5 Παράδειγμα εκθετικής εξομάλυνσης με τάση και εποχικότητα 34

Για να υπολογίσουμε την εξομαλυμένη τιμή του οριζόντιου στοιχείου για την πρώτη περίοδο χρησιμοποιούμε την σχέση (9): X S = a + ( a)( S + b ) S 0 0 I 3 = 0.2(57.3/ 0.905) + 0.8(63.2 +.6) = 64.6 Για να υπολογίσουμε την εξομαλυμένη τιμή του στοιχείου τάσης χρησιμοποιούμε την σχέση (0) ως εξής: b = v( S S ) + ( v) b b 0 0 = 0.2(64.6 63.2) + 0.8(.6) =.6 Για να υπολογίσουμε την εξομαλυμένη τιμή του εποχικού στοιχείου χρησιμοποιούμε την σχέση () ως εξής: X I = c + ( c) I I 3 S 57.3 = 0.6 + 0.4(0.905) = 0.894 64.6 Η πρόβλεψη για την δεύτερη περίοδο δίνεται από την σχέση (2) F = ( S + b()) I F 2 2 2 = (64.6 +.6)(.003) = 66.4 Εφαρμόζοντας τις παραπάνω σχέσεις βρίσκουμε την πρόβλεψη και για τις επόμενες περιόδους. 2.8. Προσδιορισμός αρχικών τιμών και σταθερών εξομάλυνσης Στο μοντέλο Winers υπάρχουν τρεις σταθερές εξομάλυνσης (a,β,c), των οποίων η τιμή επηρεάζει την ακρίβεια των προβλέψεων. Ο προσδιορισμός των κατάλληλων τιμών για αυτές τις σταθερές δεν επιτυγχάνεται εύκολα. Ο βέλτιστος συνδυασμός των τιμών αυτών των σταθερών μπορεί να αναζητηθεί χρησιμοποιώντας μεθόδους αναζήτησης με υπολογιστή, όμως αυτό προϋποθέτει την ύπαρξη ενός επαρκούς συνόλου δεδομένων, που δεν διατίθενται πάντα στην πράξη. Από την άλλη μεριά, οι προβλέψεις επηρεάζονται και από τις αρχικές τιμές των διαφόρων 35

μεταβλητών (S,b,I). Για αυτές τις αρχικές τιμές χρειάζονται, συνήθως, δεδομένα αρκετών περιόδων (π.χ. τριών χρονών), ώστε να εξασφαλίζεται ικανοποιητική στάθμη εμπιστοσύνης. Το πρόβλημα αυτό τίθεται γενικότερα στις μεθόδους εκθετικής εξομάλυνσης, όταν χρησιμοποιούνται για πρώτη φορά, οπότε χρειαζόμαστε κάποιες αρχικές τιμές του οριζόντιου στοιχείου, του βήματος της τάσης, και των δεικτών εποχικότητας. Όταν δεν υπάρχουν διαθέσιμα δεδομένα από το παρελθόν θα πρέπει ή να περιμένουμε, μέχρις ότου αυτά να συγκεντρωθούν, ή να χρησιμοποιήσουμε την εμπειρία μας για να καθορίσουμε τις αρχικές τιμές. Η επίδραση αυτών των αρχικών τιμών στις προβλέψεις θα μειώνεται με την πάροδο του χρόνου ώσπου να γίνει ελάχιστη. Αν διατίθεται ένα σύνολο δεδομένων, π.χ. για τρία χρόνια, τότε μπορεί να χωριστεί σε δύο υποσύνολα, από τα οποία το πρώτο χρησιμοποιείται για να εκτιμηθούν οι αρχικές τιμές και το δεύτερο για να εκτιμηθούν οι τιμές των σταθερών εξομάλυνσης. Σε αυτή την περίπτωση, τα δεδομένα για τα δύο πρώτα χρόνια μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να βρούμε τις αρχικές τιμές, ενώ τα δεδομένα του τρίτου χρόνου μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να δοκιμαστούν διάφορες εναλλακτικές τιμές των σταθερών εξομάλυνσης, μέχρι να βρεθεί ο συνδυασμός που παράγει το μικρότερο σφάλμα πρόβλεψης. Γενικά, δεν υπάρχει ένας μοναδικός τρόπος για να εκτιμήσουμε τις αρχικές τιμές και τις τιμές των σταθερών εξομάλυνσης και η κρίση παίζει σημαντικό ρόλο όταν δεν υπάρχουν στοιχεία ή όταν αυτά είναι περιορισμένα. Όταν υπάρχουν διαθέσιμα στοιχεία, μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την εύρεση των παραπάνω τιμών με διάφορους τρόπους, παραδείγματος χάριν κατά την εφαρμογή του μοντέλου εκθετικής εξομάλυνσης με τάση, μπορεί να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων, οπότε οι αρχικές τιμές S 0 και b 0 μπορούν να προκύψουν από την εξίσωση της ευθείας των ελαχίστων τετραγώνων, από την τομή και την κλίση της ευθείας, αντίστοιχα. Ένα άλλο σημαντικό πρόβλημα, που μπορεί να προκύψει κατά την εφαρμογή των μεθόδων εκθετικής εξομάλυνσης, είναι αυτό που συνδέεται με την μεταβολή των στοιχείων που χαρακτηρίζουν τη χρονοσειρά (οριζόντιου, τάσης κλπ.). Μπορεί, για παράδειγμα, ενώ χρησιμοποιείται το μοντέλο εκθετικής εξομάλυνσης με γραμμική τάση, που βασίζεται σε μια τάση για αύξηση ή μείωση των τιμών της 36

μεταβλητής με σταθερό βήμα, να μεταβληθεί το βήμα της τάσης ή η μέση τιμή του οριζόντιου στοιχείου. Η χρήση μικρών τιμών για τις σταθερές εξομάλυνσης έχει ως συνέπεια το μοντέλο να καθυστερήσει σημαντικά να ανιχνεύσει και να ενσωματώσει αυτή την αλλαγή. Για το λόγο αυτό έχουν προταθεί προσαρμοστικές μέθοδοι, η βασική ιδέα των οποίων είναι η παρακολούθηση του σφάλματος πρόβλεψης. Όταν το σφάλμα πρόβλεψης είναι μεγάλο, προσαρμόζεται κατάλληλα η τιμή των σταθερών εξομάλυνσης, με βάση κάποιους κανόνες. Για παράδειγμα, η τιμή της σταθεράς εξομάλυνσης a στο μοντέλο απλής εκθετικής εξομάλυνσης εξισώνεται σύμφωνα με τη μέθοδο των Trigg και Leach με την απόλυτη τιμή ενός σήματος ανίχνευσης, που ορίζεται από τη σχέση: Σήμα ανίχνευσης = Εξομαλυμένο σφάλμα πρόβλεψης / Εξομαλυμένο απόλυτο σφάλμα πρόβλεψης Αν εξαιτίας μιας αιφνίδιας μεταβολής το σφάλμα πρόβλεψης γίνει μεγάλο, τότε θα μεγαλώσει και το σήμα ανίχνευσης και θα αυξηθεί, αντίστοιχα, η τιμή του a ώστε η πρόβλεψη να στηριχθεί περισσότερο στις πιο πρόσφατες τιμές. Όταν η μέση τιμή της μεταβλητής σταθεροποιηθεί στο νέο επίπεδο, η μέθοδος αναπροσαρμόζει το a σε μια χαμηλότερη τιμή. 2.9. Πρόβλεψη ζήτησης για την Naural Gas H Naural Gas.com είναι μία εταιρεία παροχής φυσικού αερίου, η οποία ξεκίνησε την λειτουργία της το δεύτερο τρίμηνο του 998, ενώ από τότε καταγράφει μια ταχεία ανάπτυξη στην ζήτηση όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα 2.6 και στο αντίστοιχο διάγραμμα 2.6. 37

ΠΙΝΑΚΑΣ 2.6 year quarer period demand D 998 2 8000 998 3 2 3000 998 4 3 23000 999 4 34000 999 2 5 0000 999 3 6 8000 999 4 7 23000 2000 8 38000 2000 2 9 2000 2000 3 0 3000 2000 4 32000 200 2 4000 Διάγραμμα 2.6 Η ζήτηση της Naural Gas demand D 45000 40000 35000 30000 25000 20000 demand D 5000 0000 5000 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 38

Η Naural Gas αυτήν την περίοδο διαπραγματεύεται τις συμβάσεις για την δυναμικότητα προμήθειας σωληνώσεων, έτσι ώστε, να μπορεί να ανταποκριθεί στη ζήτηση για τα προσεχή τέσσερα τρίμηνα μεταξύ του δεύτερου τριμήνου του 200 και του πρώτου τριμήνου του 2002. Μια σημαντική παράμετρος σε αυτήν την διαπραγμάτευση είναι η πρόβλεψη της ζήτησης κατά τη διάρκεια εκείνης της περιόδου. Η Naural Gas τοποθετεί μαζί μια ομάδα ατόμων που αποτελείται από τον αντιπρόεδρο του τμήματος πωλήσεων και τον αντιπρόεδρο του τμήματος παραγωγής για να προσδιορίσουν την πρόβλεψη. Η ομάδα πρόβλεψης αποφασίζει να εφαρμόσει κάθε μια από τις προσαρμοστικές μεθόδους πρόβλεψης που αναφέραμε, λαμβάνοντας υπόψη τα δεδομένα ιστορικά στοιχεία της επιχείρησης. Ο στόχος τους είναι να επιλέξουν την καταλληλότερη μέθοδο πρόβλεψης και να την χρησιμοποιήσουν έπειτα για την πρόβλεψη της ζήτησης, κατά τα επόμενα τέσσερα τρίμηνα. Η ζήτηση σε αυτήν την περίπτωση έχει σαφώς μια τάση και μια εποχικότητα. Επομένως η ομάδα αρχικά αναμένει το μοντέλο του Winers να παραγάγει την καλύτερη πρόβλεψη. Έτσι, αποφασίζουν να εξετάσουν αυτήν την υπόθεση, χρησιμοποιώντας κάθε μιας από τις μεθόδους πρόβλεψης, για να προσδιορίσουν την πρόβλεψη. Κινούμενος Μέσος (Moving Average) Η ομάδα πρόβλεψης αρχικά αποφασίζει να εξετάσει την μέθοδο του κινούμενου μέσου με τέσσερις περιόδους για την πρόβλεψη της ζήτησης. Όλοι οι υπολογισμοί παρουσιάζονται στο πίνακα 2.7 όπως και είναι η μέθοδος του κινούμενου μέσου που συζητήσαμε νωρίτερα. 39

ΠΙΝΑΚΑΣ 2.7 Η πρόβλεψη της Naural Gas με την χρήση του κινούμενου μέσου 40

Διάγραμμα 2.7 πρόβλεψη με την μέθοδο του κινούμενου μέσου για την Naural Gas 45000 40000 35000 30000 25000 20000 5000 0000 5000 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 Μήνες Demand D Forecas F L = ( D + D +... + D )/ N για Η ομάδα χρησιμοποιεί τις εξισώσεις N να υπολογίσει το επίπεδο (level) και την εξίσωση F = + L και F+ n= L για να υπολογίσει την πρόβλεψη της ζήτησης. Οι τύποι των κελιών για την έκτη σειρά (περίοδος 5) παρουσιάζονται στον πίνακα 2.8. Όλοι οι άλλοι τύποι των κελιών λαμβάνονται ομοίως στο Excel. ΠΙΝΑΚΑΣ 2.8 Τύποι που εφαρμόζονται στα δεδομένα του πίνακα 2.7, μέθοδος κινούμενου μέσου Cell Quaniy Spreadshee Formula Acual Formula C6 Level Average(B3:B6) (D2+D3+D4+D5)/4 D6 Forecas C5 L4 E6 Error D6-B6 F5-D5 E F6 Absolue Error Abs(E6) 5 G6 MSE Sumsq($E$6:E6)/(A6-4) 5 = 5 E 2 4

H6 MAD Sum($F$6:F6)/(A6-4) 5 = 5 A I6 Percen Error 00*(F6/B6) 5 00* E D 5 J6 MAPE Average($I$6:I6) K6 TS Sum($E$6:E6)/H6 5 = 5 5 = 5 E MAD E D 5 *00 Όπως υποδεικνύεται από την στήλη Κ του πίνακα 2.7 το σήμα ανίχνευσης (Tracking signal) (TS) είναι μέσα στα όρια ±6, οπότε αυτό δείχνει, ότι η πρόβλεψη με την χρησιμοποίηση του κινούμενου μέσου όρου των τεσσάρων περιόδων δεν περιέχει καμία σημαντική στατιστική απόκλιση. Εάν το(tracking signal) (σήμα ανίχνευσης) είναι εκτός των ορίων ±6, τότε αυτό είναι μια ένδειξη ότι υπάρχει σημαντική στατιστική απόκλιση στη πρόβλεψη, συγκεκριμένα, όταν το Tracking signal είναι κάτω από -6 έχουμε υπερβολικά απαισιόδοξη πρόβλεψη, ενώ όταν είναι πάνω από +6 έχουμε υπερβολικά αισιόδοξη πρόβλεψη. Το Tracking signal υπολογίζεται αν διαιρέσουμε το bias (τον μέσο όρο των σφαλμάτων πρόβλεψης) με το ΜΑD (μέση απόλυτη απόκλιση). Εντούτοις, έχουμε μια αρκετά μεγάλη μέση απόλυτη απόκλιση (mean absolue deviaion) MAD=979 και μέσο απόλυτο ποσοστιαίο σφάλμα (mean absolue percenage error) MAPE=49 τοις εκατό στην δωδέκατη περίοδο. Παρατηρούμε ότι L 2 =24500 κατά συνέπεια χρησιμοποιώντας έναν κινούμενο μέσο όρο τεσσάρων περιόδων, η πρόβλεψη της ζήτησης για τις περιόδους 3 μέχρι F 6(χρησιμοποιώντας την εξίσωση = + και + n= είναι ως εξής: F 3 =F 4 =F 5 =F 6 =L 2 =24500 L F L 42

Δεδομένου ότι το ΜΑD είναι 979, η εκτίμηση της τυπικής απόκλισης του σφάλματος πρόβλεψης, χρησιμοποιώντας έναν κινούμενο μέσο όρο τεσσάρων περιόδων, είναι.25 *9.79 = 2.48. Σε αυτήν την περίπτωση, η τυπική απόκλιση του σφάλματος πρόβλεψης είναι αρκετά μεγάλη, σχετικά με το μέγεθος της πρόβλεψης. Απλή Εκθετική Εξομάλυνση (simple exponenial smoohing) Κατόπιν, η ομάδα πρόβλεψης χρησιμοποιεί την μέθοδο της απλής εκθετικής εξομάλυνσης θέτοντας α=0, για να προβλέψει την ζήτηση. Αυτή η μέθοδος εξετάζει επίσης τα ιστορικά δεδομένα των 2 περιόδων της επιχείρησης, Χρησιμοποιώντας την εξίσωση: L 0 n Di n i = = η ομάδα υπολογίζει το αρχικό επίπεδο για την περίοδο 0, έτσι ώστε να είναι η μέση ζήτηση των περιόδων έως 2. Έπειτα, η ομάδα πρόβλεψης χρησιμοποιεί την εξίσωση F L F L = + 0 και + n= για να προβλέψει την ζήτηση για την επακόλουθη περίοδο. Ο υπολογισμός των επιπέδων (level) πραγματοποιείται κάθε περίοδο χρησιμοποιώντας την εξίσωση L = ad + ( a) L. Τα αποτελέσματα παρουσιάζονται στο πίνακα 2.8. + + 43

ΠΙΝΑΚΑΣ 2.9 Η πρόβλεψη της Naural Gas με την χρήση της απλής εκθετικής εξομάλυνσης Οι τύποι των κελιών για την Τρίτη σειρά (περίοδος )παρουσιάζονται στον πίνακα 2.0. Όλοι οι άλλοι τύποι λαμβάνονται ομοίως στο excel. ΠΙΝΑΚΑΣ 2.0 Τύποι που εφαρμόζονται στα δεδομένα του πίνακα 2.9, μέθοδος απλής εκθετικής εξομάλυνσης Cell Quaniy Spreadshee Formula Acual Formula C3 Level 0.* B3 + ( 0.) C2 ad + ( a) L 0 D3 Forecas C2 L0 E3 Error D3-B3 F-D F3 Absolue Error E Abs(E3) 44

G3 MSE Sumsq($E$3:E3)/(A3) H3 MAD Sum($F$3:F3)/(A3) I3 Percen Error 00*(F3/B3) J3 MAPE Average($I$3:I3) K3 TS Sum($E$3:E3)/H3 = = E A 2 00* E / D = = E E D MAD *00 Όπως υποδεικνύεται από το Tracking Signal που κυμαίνεται από -.38 έως 2.25, η πρόβλεψη της ζήτησης με την χρησιμοποίηση της απλής εκθετικής εξομάλυνσης, θέτοντας α = 0. δεν δίνει υπεραισιόδοξα ή απαισιόδοξα αποτελέσματα. Εντούτοις, έχει μια αρκετά μεγάλη, μέση απόλυτη απόκλιση, ΜΑD= 0.208 και μέσο απόλυτο ποσοστιαίο σφάλμα, ΜΑΡΕ = 59 τοις εκατό. Η πρόβλεψη για τα επόμενα τέσσερα τρίμηνα δίνεται ως εξής: F 3 =F 4 =F 5 =F 6 =L 2 =23490 Σε αυτήν την περίπτωση, το ΜΑD είναι 0.208 και το ΜΑΡΕ είναι 59 τοις εκατό. Κατά συνέπεια, η εκτίμηση της τυπικής απόκλισης του σφάλματος πρόβλεψης που χρησιμοποιεί η απλή εκθετική εξομάλυνση είναι.25 χ 0.208 = 2.760. Σε αυτήν την περίπτωση, η τυπική απόκλιση του σφάλματος πρόβλεψης είναι αρκετά μεγάλη σχετικά με το μέγεθος της πρόβλεψης. Εκθετική Εξομάλυνση με Γραμμική Τάση (Hol s model)[trend-correced Exponenial Smoohing] Έπειτα, η ομάδα ερευνά τη χρήση της μεθόδου του Ηοl. Σε αυτήν την περίπτωση το μόνιμο (βασικό) στοιχείο (συστατικό) της ζήτησης (sysemaic componen of demand) είναι το ακόλουθο: Sysemaic componen of demand=επίπεδο (level) + τάση (rend) 45

Αρχικά, υπολογίζουν το επίπεδο για την περίοδο 0 και την αρχική τάση. Αυτή η εκτίμηση λαμβάνεται με το «τρέξιμο» μιας γραμμικής παλινδρόμησης μεταξύ της ζήτησης D και της χρονικής περιόδου. Από την παλινδρόμηση των διαθέσιμων στοιχείων, η ομάδα λαμβάνει τα εξής: L 0 =205 και T 0 =549 Τώρα η ομάδα πρόβλεψης εφαρμόζει το μοντέλο Hol, θέτοντας a=0. και β=0,2 για να λάβει τις προβλέψεις για κάθε μία από τις 2 περιόδους, για τις οποίες τα στοιχεία της ζήτησης είναι διαθέσιμα. Κάνουν την πρόβλεψη χρησιμοποιώντας την εξίσωση F = L + + T και F+ n= L+ nt, ενημερώνουν τα επίπεδα (level) χρησιμοποιώντας την εξίσωση L = ad + ( a)( L + T) και + + ενημερώνουν την τάση (rend) χρησιμοποιώντας την εξίσωση T = β ( L L ) + ( β ) T. + + ΠΙΝΑΚΑΣ 2. Εκθετική εξομάλυνση με γραμμική τάση Οι τύποι των κελιών της τρίτης σειράς (περίοδος )παρουσιάζονται στον πίνακα 2.2 Όλοι οι άλλοι τύποι των κελιών λαμβάνονται ομοίως στο excel. 46

ΠΙΝΑΚΑΣ 2.2 Τύποι που εφαρμόζονται στα δεδομένα του πίνακα 2., μοντέλο Hol s Cell Quaniy Spreadshee Formula Acual Formula C3 Level 0.* B3 + ( 0.)*( C2 + D2) D3 Trend 0.2*( C3 C2) + ( 0.2)* D2 ad + ( a)( L + T ) 0 0 BL ( L) + ( β ) T 0 0 E3 Forecas C2+D2 L + T 0 0 F3 Error E3-B3 G3 Absolue Error Abs(F3) E H3 MSE Sumsq($F$3:F3)/A3 I3 MAD Sum($G$3:G3)A3 J3 Percen Error K3 MAPE Average($J$3:J3) L3 TS Sum($F$3:F3)/I3 F D = = E A 2 00* E / D 00*(G3/B3) = = E E D MAD *00 Όπως υποδεικνύεται από το Tracking Signal που κυμαίνεται από -.90 έως 2.00, η εκθετική εξομάλυνση με γραμμική τάση θέτοντας α = 0. και β = 0.2 δεν φαίνεται να δίνει σημαντικά αισιόδοξες ή απαισιόδοξες προβλέψεις. Εντούτοις, η πρόβλεψη της ζήτησης έχει μια αρκετά μεγάλη μέση απόλυτη απόκλιση, ΜΑD 8.836 και μέσο απόλυτο ποσοστιαίο σφάλμα, ΜΑΡΕ 52 τοις εκατό. Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Hol η πρόβλεψη της ζήτησης για τις επόμενες τέσσερις περιόδους είναι η ακόλουθη : 47

F = L + T = 30443+ 54 = 3984 3 2 2 F = L + 2T = 30443+ 2*54 = 33525 4 3 3 F = L + 3T = 30443+ 3*54 = 35066 5 3 3 F = L + 4T = 30443+ 4*54 = 36607 6 3 3 Σε αυτήν την περίπτωση, η μέση απόλυτη απόκλιση, ΜΑD = 8.836. Κατά συνέπεια η εκτίμηση της τυπικής απόκλισης του σφάλματος πρόβλεψης που χρησιμοποιεί το μοντέλο Hol θέτοντας α = 0, και β = 0.2 είναι,25* 8.836 =,045. Σε αυτήν την περίπτωση, η τυπική απόκλιση του σφάλματος πρόβλεψης σχετικά με το μέγεθος της πρόβλεψης είναι μικρότερη από οτι ήταν με τις προηγούμενες δύο μεθόδους. Εντούτοις, είναι ακόμα αρκετά μεγάλη. Εκθετική Εξομάλυνση με Τάση και Εποχικότητα (Winer s model) [ Trendand Seasonaliy- Correced Exponenial Smoohing] Τέλος η ομάδα πρόβλεψης χρησιμοποιεί τη μέθοδο Winer s για να πραγματοποιήσει την πρόβλεψη. Το μοντέλο του Winer s υποθέτει ότι το μόνιμο (βασικό) στοιχείο (συστατικό) της ζήτησης (sysemaic componen of demand) είναι το ακόλουθο: Sysemaic componen of demand=(επίπεδο + τάση)επί εποχιακό παράγοντα Η ομάδα πρόβλεψης εφαρμόζει τη μεθοδολογία όπως συζητήσαμε νωρίτερα. Σαν πρώτο βήμα, πρέπει να υπολογιστεί το επίπεδο και η τάση για την περίοδο 0, καθώς και ο εποχιακός παράγοντας για την η περίοδο μέσω του ρ = 4. Αυτή η εκτίμηση γίνεται πρώτα με τον υπολογισμό της μέσης ζήτησης και έπειτα με τον υπολογισμό του αρχικού επιπέδου της τάσης, με το «τρέξιμο» της οπισθοδρόμησης μεταξύ της ζήτησης και του χρόνου. Έπειτα, αυτές οι πληροφορίες χρησιμοποιούνται για να υπολογιστούν οι εποχιακοί παράγοντες. Για τα δεδομένα της ζήτησης του πίνακα 2.9, η ομάδα πρόβλεψης λαμβάνει τα εξής: L 0 =8439, T 0 =524, S =0.47, S 2 =0.68, S 3 =.7, S 4 =.67 48

ΠΙΝΑΚΑΣ 2.3 Deseasonalized ζήτηση για την Naural Gas Period Demand D Deseasonalized Demand 8000 2 3000 3 23000 9750 4 34000 20625 5 0000 2250 6 8000 2750 7 23000 22500 8 38000 2225 9 2000 22625 0 3000 2425 32000 2 4000 Έπειτα εφαρμόζουν το μοντέλο Winer s θέτοντας α = 0.05, β = 0., γ = 0. για να πάρουν τις προβλέψεις της ζήτησης. Η ομάδα κάνει τις προβλέψεις χρησιμοποιώντας F = ( L + T) S και F+ n= ( L+ nt)( L+ T), την εξίσωση T+ + ενημερώνουν το επίπεδο χρησιμοποιώντας την εξίσωση L = a( D / S ) + ( a)( L + T) ], ενημερώνουν την τάση T = β ( L L ) + ( β ) T ] και [ + + + χρησιμοποιώντας την εξίσωση [ + + ενημερώνουν τους εποχιακούς παράγοντες χρησιμοποιώντας την εξίσωση S = γ ( D / L ) + ( γ ) S ] [ + p+ + + + Οι τύποι των κελιών της 3 πς σειράς (περίοδος ) παρουσιάζεται στον πίνακα 2.4. Η αναπροσαρμογή του εποχιακού παράγοντα εμφανίζεται στην 5 η περίοδο ή την 7 η σειρά. Όλοι οι άλλοι τύποι των κελιών λαμβάνονται ομοίως στο excel. Σε αυτή την περίπτωση η μέση απόλυτη απόκλιση, MAD=469 και μέσο απόλυτο ποσοστό σφάλματος ΜΑΡΕ = 8 τοις εκατό, είναι σημαντικά χαμηλότερα απ' ό,τι με από τις άλλες μεθόδους. Από τον πίνακα 2.4 παρατηρούν τα εξής: 49

L 2 = 2479, T 2 = 532, S 3 = 0.47, S 4 = 0.68, S 5 =.7, S 6 =.67 Χρησιμοποιώντας το μοντέλο Winer s, η πρόβλεψη της ζήτησης για τις επόμενες τέσσερις περιόδους είναι η ακόλουθη. ΠΙΝΑΚΑΣ 2.4 Εκθετική εξομάλυνση με τάση και εποχικότητα (μέθοδος Winer s) 50

Πρόβλεψη με την μέθοδο Winer's για την Naural Gas 50000 45000 40000 35000 30000 25000 20000 5000 Demand D Forecas F 0000 5000 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 3 4 5 6 7 8 ΠΙΝΑΚΑΣ 2.5 Τύποι που εφαρμόζονται στα δεδομένα του πίνακα 2.4, μοντέλο Winer s Cell Quaniy Spreadshee Formula Acual Formula C3 Level 0.05*( B3/ E3) + ( 0.05)*( C2 = D2) D3 Trend 0.*( C3 C2) + ( 0.)* D2 ad ( / S) + ( a)( L+ T) 0 0 β ( L L ) + ( β ) T 0 0 E3 Seasonal facor 0.*(B3/C3)+(-0.)*E3 γ ( D / L ) + ( γ ) S F3 Forecas ( C2+ D2)* E3 G3 Error F3 B3 H3 Absolue Error Abs(G3) I3 MSE Sumsq($G$3:G3)/A3 ( L + T ) S F 0 0 D E = E 2 5

J3 MAD Sum($H$3:H3)/A3 K3 L3 M3 Percen Error MAPE TS = 00*(H3/B3) Average($K$3:K3) A 00* E / D Sum($G$3:G3)/J3 = = E E D MAD *00 F = ( L + T ) S = (2479+ 532)*0.47 = 902 3 2 2 3 F = ( L + 2 T ) S = (2479+ 2*532)*0.68 = 758 4 2 2 4 F = ( L + 3 T ) S = (2479+ 3*532)*.7= 30873 5 3 3 5 F = ( L + 4 T ) S = (2479+ 4*532)*.67 = 44954 6 3 3 6 Σε αυτήν την περίπτωση, η μέση απόλυτη απόκλιση είναι MAD=469. Κατά συνέπεια η εκτίμηση της τυπικής απόκλισης του σφάλματος πρόβλεψης που χρησιμοποιεί η μέθοδος Winer s θεωρώντας α=0,05, β=0, και γ=0, είναι,25*469=836. Σε αυτήν την περίπτωση, η τυπική απόκλιση του σφάλματος πρόβλεψης σχετικά με την πρόβλεψη της ζήτησης είναι πολύ μικρότερη από ότι στις άλλες μεθόδους. Η ομάδα συντάσσει τα αποτελέσματα του σφάλματος πρόβλεψης για τις τέσσερις μεθόδους που ακολούθησε, όπως φαίνεται στον πίνακα 2.6. ΠΙΝΑΚΑΣ 2.6 Προσδιορισμός λαθών για την Naural Gas Μέθοδος πρόβλεψης MAD MAPE (%) TS Range Κινούμενου μέσου 979 49 -.52 έως 2,2 Απλή εξομάλυνση εκθετική 0208 59 -,38 έως 2,25 Μοντέλο Hol s 8836 52 -,90 έως 2,00 Μοντέλο Winer s 469 8-2,74 έως 4,00 52

Με βάση τις πληροφορίες του σφάλματος πρόβλεψης στον πίνακα 2.6, η ομάδα πρόβλεψης της ζήτησης αποφάσισε να χρησιμοποιήσει το μοντέλο Winer s. Δεν προκαλεί έκπληξη ότι το μοντέλο Winer s οδηγεί στην ακριβέστερη πρόβλεψη επειδή τα δεδομένα της ζήτησης έχουν μία αυξητική τάση και εποχικότητα. Χρησιμοποιώντας το μοντέλο Winer s, η ομάδα πρόβλεψης μπορεί να προβλέψει την ακόλουθη ζήτηση για τα επόμενα τέσσερα τρίμηνα: Δεύτερο τρίμηνο, 200: 902 Τρίτο τρίμηνο, 200: 758 Τέταρτο τρίμηνο, 200: 30873 Πρώτο τρίμηνο, 2002: 44954 Η τυπική απόκλιση του σφάλματος πρόβλεψης είναι,836 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Αιτιακές μέθοδοι προβλέψεων 3.. Ανάλυση παλινδρόμησης και οικονομετρικές μέθοδοι Μερικές φορές, ιδιαίτερα για μεσοπρόθεσμες προβλέψεις, μπορούμε να υποθέσουμε ότι ο μηχανισμός της αγοράς που διαμορφώνει τη ζήτηση παραμένει σταθερός. Σ αυτές τις περιπτώσεις είναι χρήσιμο να κατασκευασθεί ένα μαθηματικό πρότυπο πρόβλεψης στο οποίο η ζήτηση αντιμετωπίζεται σαν εξαρτημένη(ενδογενής) μεταβλητή, ενώ διάφορες μεταβλητές του περιβάλλοντος χρησιμοποιούνται σαν ανεξάρτητες μεταβλητές (εξωγενείς). Σ αυτά τα πρότυπα γίνεται η παραδοχή ότι οι ανεξάρτητες μεταβλητές(οικονομικής, κοινωνικής, δημογραφικής, ή άλλης φύσης) προσδιορίζουν ή γίνονται η αιτία των μεταβολών του πραγματοποιούμενου ύψους της ζήτησης. Για το λόγο αυτό τα παραπάνω μαθηματικά πρότυπα είναι γνωστά ως αιτιολογικά πρότυπα (causal models). 53

Τα διάφορα αιτιολογικά πρότυπα παίρνουν τη μορφή μιας ή περισσοτέρων στατιστικών εξισώσεων. Για τη διαμόρφωση τους ακολουθείται συνήθως η εξής διαδικασία:. Αναγνώριση των μεταβλητών εκείνων στο περιβάλλον της επιχείρησης που κρίνεται ότι επηρεάζουν σημαντικά τη ζήτηση για τα προσφερόμενα απ αυτή προϊόντα ή υπηρεσίες. Μεταβολές σε μεγέθη όπως το ακαθάριστο εθνικό προϊόν (ΑΕΠ), το διαθέσιμο εισόδημα, τις γεννήσεις, τους γάμους, τις άδειες οικοδομών, κ.α. θεωρούνται συχνά υπεύθυνες για τις αυξομειώσεις στη ζήτηση πολλών προϊόντων και υπηρεσιών. Το είδος και ο αριθμός μεταβλητών που θα περιληφθούν στο πρότυπο απαιτούν πείρα και κατανόηση της λειτουργίας της οικονομίας. Επιπλέον, ο προσδιορισμός τους εξαρτάται και από τον επιθυμητό βαθμό ακρίβειας των παρεχόμενων από το πρότυπο προβλέψεων για τον κατάλληλο προγραμματισμό της επιχειρηματικής δραστηριότητας. 2. Επιλογή της μορφής της εξίσωσης ή των εξισώσεων που συσχετίζουν τις εξωγενείς μεταβλητές με τη ζήτηση. Η παραδοχή γραμμικών σχέσεων, όταν ευσταθεί, διευκολύνει την εφαρμογή του προτύπου και τους σχετικούς υπολογισμούς. Όταν η γραμμικότητα κρίνεται ακατάλληλη για την περιγραφή των σχέσεων μεταξύ μεταβλητών, είναι δυνατό να μετασχηματιστούν οι αρχικές μεταβλητές με τη βοήθεια λογαρίθμων ή άλλων τρόπων, ώστε οι μη γραμμικές εξισώσεις για τις αρχικές μεταβλητές να μετατραπούν σε γραμμικές για τις μετασχηματισμένες μεταβλητές. Σαν παράδειγμα η εκθετική εξίσωση: Y = a * b x μπορεί να μετατραπεί σε γραμμική παίρνοντας τους λογαρίθμους των αρχικών μεταβλητών: λογ(y)=λογ(a)+λογ(b)*χ 3. Επαλήθευση του προτύπου πρόβλεψης, ώστε να ικανοποιεί και το λογικό των σχέσεων και διάφορους στατιστικούς ελέγχους, όσον αφορά την περιγραφή του μηχανισμού της αγοράς που διαμορφώνει τη ζήτηση. Τα αιτιολογικά πρότυπα πρόβλεψης ταξινομούνται στις εξής κατηγορίες:.πρότυπα στηριζόμενα σε εξισώσεις παλινδρόμησης 2.Οικονομικά πρότυπα 54

3.Πρότυπα με πίνακες εισροών-εκροών 3.2. Πρότυπα πρόβλεψης με εξισώσεις παλινδρόμησης δύο μεταβλητών Το πιο απλό πρότυπο πρόβλεψης είναι μία εξίσωση παλινδρόμησης στην οποία η εξαρτημένη μεταβλητή είναι η ζήτηση και η ανεξάρτητη μεταβλητή ένα από τα χαρακτηριστικά του περιβάλλοντος, που επηρεάζουν σημαντικά το ύψος της ζήτησης, δηλαδή Y = F(X ) όπου, Y= το ύψος της ζήτησης X= η ανεξάρτητη μεταβλητή ή το αίτιο που προκαλεί μεταβολές στη ζήτηση Y. Παράδειγμα: Η εβδομαδιαία ζήτηση για θέσεις στη γραμμή Αθήνας-Λονδίνου μπορεί για μια αεροπορική εταιρεία να είναι συνάρτηση του αριθμού πτήσεων που δρομολογούνται κάθε βδομάδα. Στην περίπτωση μιας επιχείρησης ηλεκτρικών ψυγείων, ο πιο σημαντικός παράγοντας που επηρεάζει την ζήτηση, μπορεί να είναι το κατά κεφαλή διαθέσιμο εισόδημα, ή ο αριθμός οικοδομικών αδειών του προηγούμενου έτους κ.ο.κ. Η μορφή μιας απλής εξίσωσης παλινδρόμησης μπορεί να είναι ' α..γραμμική, δηλ. Y = a + b * X ' β. Εκθετική, π.χ. Y = a * β X ' γ. Παραβολική, δηλ. Y = a + b * X + c * X Στις παραπάνω εξισώσεις τα μεγέθη a, b και c αντιπροσωπεύουν άγνωστες παραμέτρους, που προσδιορίζονται από ζεύγη παρατηρηθεισών τιμών για τις μεταβλητές Yκαι X. Είναι πιθανόν σε διαφορετικά έτη η ίδια τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής Χ, π.χ. νέες άδειες οικοδομών, να συνδέεται με διαφορετικές τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής Υ, δηλ στη ζήτηση για ψυγεία. Η προβλεπόμενη τιμή για τη ζήτηση Y από μία εξίσωση παλινδρόμησης όπου έχει προσδιοριστεί η τιμή της X αναφέρεται στη μέση ή προσδοκώμενη τιμή για τη Y. Για κάθε συγκεκριμένο ζεύγος πραγματικών τιμών X και Y, η ορθή σχέση μεταξύ τους είναι 2 55

Y X = a + b * + e ( πραγματική ζήτηση στην περίοδο )= (Η προβλεπόμενη ζήτηση στην περίοδο από το πρότυπο) + (Το σφάλμα της πρόβλεψης) Το σφάλμα της πρόβλεψης είναι η διαφορά μεταξύ της πραγματικής τιμής στη ζήτηση της περιόδου. Η ύπαρξη σφάλματος στην πρόβλεψη οφείλεται σε πολλούς λόγους. Π.χ. την παράλειψη μεταβλητών οι οποίες επηρεάζουν σημαντικά τη ζήτηση. Αν και η εξίσωση Y = a + b * X μπορεί να προσδιοριστεί προσεγγιστικά από την ευθεία που διέρχεται από τα σημεία που αντιστοιχούν στα ζεύγη τιμών ( X, Y ) για τον ακριβέστερο προσδιορισμό των παραμέτρων χρησιμοποιείται συνήθως η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων. Σαν γενικό δείκτη προσδιορισμού του σφάλματος, δηλ. της αβεβαιότητας του e περιβάλλοντος χρησιμοποιούμε συνήθως τη σταθερή απόκλιση S y. 3.3. Πρότυπα πρόβλεψης με εξισώσεις παλινδρόμησης πολλών μεταβλητών Μια εξίσωση παλινδρόμησης με δύο μεταβλητές παρέχει αναξιόπιστες προβλέψεις όταν χαρακτηρίζεται από μεγάλες τιμές για τη σταθερή απόκλιση S y, μικρές τιμές για τον συντελεστή συσχέτισης r, ή συνδυασμό και των δύο συμπτωμάτων. Σαν πρότυπο πρόβλεψης η εξίσωση μπορεί να βελτιωθεί, αν περιληφθούν και άλλες ανεξάρτητες μεταβλητές με τη βοήθεια των οποίων περιγράφεται πληρέστερα ο μηχανισμός ή η διαδικασία που διαμορφώνει τη ζήτηση. Το εμπλουτισμένο πρότυπο με 2 ή περισσότερες ανεξάρτητες μεταβλητές ονομάζεται εξίσωση παλινδρόμησης πολλών μεταβλητών και ο γενικός προσδιορισμός είναι της μορφής X X X Y = f,,..., ) ( 2 n Στο παράδειγμα οικοδομικών αδειών, το πρότυπο πρόβλεψης μπορεί να βελτιωθεί αν πλην του αριθμού αδειών οικοδομών περιληφθούν και άλλες ανεξάρτητες μεταβλητές π.χ. το κατά κεφαλή διαθέσιμό εισόδημα, το ύψος των δαπανών της επιχείρησης για διαφήμιση, η τιμή των ανταγωνιστικών προϊόντων κ.λ.π. Η μορφή μιας εξίσωσης παλινδρόμησης πολλών μεταβλητών μπορεί να είναι.γραμμική, δηλ. Y = + + +... + 2.Μη γραμμική a 0 a X a 2 X 2 a n X n 56

Y a α. Πολυωνυμική, δηλ. = + X + X +... + 0 0 2 2 n X Y a a 3 β. Μη πολυωνυμική, δηλ. = + X + X + 0 0 2 2 3 X * X a a Για την εφαρμογή των προτύπων πρόβλεψης με εξισώσεις παλινδρόμησης πρέπει να ικανοποιούνται οι ακόλουθες παραδοχές αναφορικά με το σφάλμα πρόβλεψης : e a a a n 2 3. Τα σφάλματα e περιγράφονται βάσει μιας κανονικής στατιστικής κατανομής με μέσο ίσο προς το μηδέν και σταθερή απόκλιση, δηλ.: f ( e ) = N(0, σ = σταθ.) e 2. Τα σφάλματα που παρατηρούνται σε διαδοχικές χρονικές περιόδους είναι ανεξάρτητα, δηλ. δεν χαρακτηρίζονται από αυτοσυσχέτιση. 3. Η εξίσωση ή οι εξισώσεις που αποτελούν το πρότυπο πρόβλεψης στην αρχική διατύπωση ή σε μετέπειτα μετασχηματισμό τους είναι γραμμικές. Η χρησιμότητα των προτύπων περιορίζεται σημαντικά όταν δεν ικανοποιούνται οι παραπάνω παραδοχές και δεν κατανοούνται οι συνέπειες παραβίασής τους. Ο αριθμός των εφαρμογών για προβλέψεις με πρότυπα παλινδρόμησης παρουσιάζει ανοδική τάση. παράδειγμα Για την καλύτερη κατανόηση των προτύπων παλινδρόμησης στην διαμόρφωση προβλέψεων θα χρησιμοποιήσουμε τα δεδομένα για μια υποθετική εταιρεία επίπλων. Μετά από σειρά συσκέψεων οι ειδικοί του τμήματος προβλέψεων σε συνεργασία με την διοίκηση συμφώνησαν ότι οι ετήσιες πωλήσεις επίπλων επηρεάζονται από:. Το κατά κεφαλή διαθέσιμο εισόδημα 2. Τις άδειες νέων οικοδομών 3. Των αριθμό αδειών γάμων δηλ. τον αριθμό νέων νοικοκυριών. Λόγω του ότι υπάρχει επάρκεια παραγωγικής δυναμικότητας, υιοθετήθηκε η παραδοχή ότι η ζήτηση θα είναι η ίδια με τις πωλήσεις. Προκειμένου να προσδιορισθεί ο βαθμός συσχέτισης των πωλήσεων με κάθε μία από τις ανεξάρτητες μεταβλητές χωριστά το, το τμήμα προβλέψεων συγκέντρωσε στοιχεία πωλήσεων για 24 χρόνια μαζί με τις χρονοσειρές για τις ανεξάρτητες μεταβλητές (βλέπε πίνακα 2.2) Για λόγους οικονομίας και ευκολίας στην αποδοχή από τη διοίκηση είναι σκόπιμο στη διαμόρφωση ενός προτύπου να ξεκινά κανείς με απλές σχέσεις. Προκειμένου λοιπόν να επιλεγεί η ανεξάρτητη μεταβλητή που επηρεάζει τη ζήτηση περισσότερο, το τμήμα προβλέψεων διαμόρφωσε τρείς απλές 57

εξισώσεις παλινδρόμησης και υπολόγισε τους αντίστοιχους συντελεστές συσχέτισης ως εξής: ΠΙΝΑΚΑΣ 3. Πρότυπο Βαθμός συσχέτισης, r S = f ( I) = a + b * I r = 0.805 S = f ( H) = a + b * H r 2 = 0.435 2 2 2 S = f ( M) = a + b * M r 3 = 0.46 3 3 3 58