ΦΥΛΛΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ Α ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 4.1, 4., 4.3, 4.4, 4.5 Παράλληλς υθίς ΤΕΜΝΟΥΣΑ ΔΥΟ ΕΥΘΕΙΩΝ Ο γίς α, δ, ζ, η λέγοα ός Ο γίς β, γ,, θ λέγοα κός Δύο γίς που βρίσκοα προς ο ίδο μέρος ης έμουσας 3 λέγοα πί α αυά μέρη Δύο γίς που βρίσκοα καέρθ ης έμουσας 3 λέγοα αλλάξ ΘΕΩΡΗΜΑ I Α δύο υθίς έμοα από ρίη κα σχημαίζου ός αλλάξ γίς ίσς, ό ία παράλληλς. Έσ = φ. Α ο υθίς 1, έμοα σ σημίο Γ, η ξρκή γία φ ου ργώου ΑΒΓ θα ία ίση μ η απέα σρκή γία, που ία άοπο. Άρα 1 Σύομα : ˆ κα φˆ ός αλλάξ 1 κα ˆ = φˆ Σύομα: ΠΟΡΙΣΜΑ I Α δύο υθίς έμοα από ρίη κα σχημαίζου: ός, κός πί α αυά μέρη γίς ίσς, ή ός πί α αυά μέρη γίς παραπληρμακές ό ία παράλληλς. ΠΟΡΙΣΜΑ ΙI Δύο υθίς κάθς ση ίδα υθία, σ δαφορκά σημία ης, ία μαξύ ους παράλληλς. Σύομα : ˆ κα φˆ ός π α αυά 1 κα ˆ + φˆ = 180 0 Σύομα : 1 3 1 3 Αίημα παραλληλίας ή Ευκλίδο αίημα Πράγμα : = φ = 900. Άρα 1 Από ο σημίο Α κός ης υθίας μπορώ α καασκυάσ μόο μία παράλληλη προς αυή, η 1. Από σημίο κός υθίας άγα μόο μία παράλληλη προς αυή. ˆ κα φˆ ός, κός π α αυά 1 κα ˆ = φˆ 11
Ιδόης παραλλήλ υθώ Πρόαση I Σύομα: Α δύο υθίς ία παράλληλς κα έμοα από ρίη ό σχημαίζου ός αλλάξ γίς ίσς. ˆ κα φˆ ός αλλάξ ˆ = φˆ κα 1 ˆ =. Τό πδή αυές ία ός αλλάξ Α κα δ ία ίσς, φέρουμ η Αx ώσ x κα ία ίσς, θα ία Αx. Καά συέπα θα υπάρχου δύο παράλληλς προς η που ία άοπο. Άρα =. Σύομα: ΠΟΡΙΣΜΑ Α δύο υθίς ία παράλληλς κα έμοα από ρίη ό σχημαίζου: ός, κός πί α αυά μέρη γίς ίσς, κα ός πί α αυά μέρη γίς παραπληρμακές Α δύο υθίς 1 κα ία παράλληλς κα μία ρίη υθία έμ η μία από αυές ό θα έμ κα η άλλη. η μ έ 1 η μ έ α κ 1 Α η δ έμ η θα ήα έσ θα ίχαμ από ο Α δύο παράλληλς προς η πράγμα αδύαο, άρα η έμ η Δύο γίς που έχου ς πλυρές ους παράλληλς, μία προς μία, ία : ίσς α ία κα ο δύο οξίς ή αμβλίς, ώ ία : παραπληρμακές α η μία ία οξία κα η άλλη αμβλία. ΙΣΕΣ ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ 1 1 α κ Α μία υθία ία κάθη σ μία από δύο παράλληλς υθίς, θα ία κάθη κα ση άλλη. 1 ΠΟΡΙΣΜΑ 1 Πρόαση ΙΙΙ ˆ κα φˆ ός π α αυά ˆ + φˆ = 1800 κα 1 3 α κ Α δύο δαφορκές υθίς 1 κα ία παράλληλς προς ρίη υθία ό θα ία κα μαξύ ους παράλληλς. Σύομα: 3 1 Πρόαση ΙI ˆ κα φˆ ός, κός π α αυά ˆ = φˆ κα 1
Αξοσημίο κύκλο ργώου ΘΕΩΡΗΜΑ Ο ρίς μσοκάθο ός ργώου δέρχοα από ο ίδο σημίο, ο οποίο ία κέρο κύκλου που δέρχα από ς κορυφές ου ργώου. ο Ο λέγα πρίκρο Ο μσοκάθο ΒΓ κα ΑΒ έμοα σο Ο, αφού έμοα ο κάθς υθίς ους ΑΒ κα ΒΓ. Όμς κάθ σημίο ης μσοκαθέου ός μήμαος σαπέχ από α άκρα ου. Άρα ΟΑ = ΟΒ κα ΟΒ = ΟΓ, πομές κα ΟΑ = ΟΓ άρα κα η ΟΜ μσοκάθος ης ΑΓ. ΘΕΩΡΗΜΑ Ο δχοόμο γώ ός ργώου δέρχοα από ο ίδο σημίο, ο οποίο ία κέρο κύκλου που φάπα σς ρς πλυρές ου ργώου. Ο δχοόμο ΒΕ κα ΓΖ έμοα σο Ι, αφού ˆ ˆ ˆ ˆ ο Ι λέγα έκκρο ΑΣΚΗΣΕΙΣ ˆ ˆ Το Ι ς σημίο ης δχοόμου σαπέχ από ς πλυρές γώ Β κα Γ δηλ. ΙΘ=ΙΖ κα ΙΘ=ΙΝ. Άρα αφού ΙΖ=ΙΝ θα σαπέχ από ς πλυρές ης Γ. Άρα ΑΔ δχοόμος ης Α. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 13 4.1, 4., 4.3, 4.4, 4.5
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 4.6, 4.7, 4.8 Άθροσμα γώ ργώου Από μία κορυφή ου ργώου π.χ. η Α, φέρουμ η υθία xy ΒΓ. ˆ ς ός αλλάξ Τό παραλλήλ xy ΒΓ μ έμουσα η ΑΒ κα ˆ ς ός αλλάξ παραλλήλ xy ΒΓ μ έμουσα η ΑΓ ˆ ˆ έ Αλλά ˆ ΘΕΩΡΗΜΑ Το άθροσμα γώ κάθ ργώου ία ορθές. ˆ ˆ ˆ έ Άρα ΠΟΡΙΣΜΑ Κάθ ξρκή γία ργώου ία ίση μ ο άθροσμα απέα σρκώ γώ ου ργώου. Α δύο ρίγα έχου δύο γίς ίσς, μία προς μία, έχου κα ς ρίς γίς ους ίσς. Ο οξίς γίς ός ορθογίου ργώου ία συμπληρμακές. Κάθ γία σόπλυρου ργώου ία 600. Δύο γίς που έχου ς πλυρές ους κάθς, μία προς μία, ία : ίσς α ία κα ο δύο οξίς ή αμβλίς, ώ ία : παραπληρμακές α η μία ία οξία κα η άλλη αμβλία. ΙΣΕΣ ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ Άθροσμα γώ κυρού -γώου Το Άθροσμα γώ κυρού -γώου ία : 1 3 4 5... ς έ θ ρ ο ) 4 ( Το Άθροσμα ξρκώ γώ κυρού -γώου ία : 4 ορθές 14
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 4.6, 4.7, 4.8 15
16