( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ΘΕΜΑ 2 ο. Α. 1. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ. 61

Transcript

1 ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 5 / / 0 ΘΕΜΑ ο Α Θωρία σχολικό βιβλίο σλ 7 Θωρία σχολικό βιβλίο σλ 6 Β Λ, Σ, Λ, 4 Λ, 5 Λ, 6 Λ, 7 Λ, 8 Σ, 9 Λ, 0 Σ Γ Β,, Α, 4 Α, 5 Α ΘΕΜΑ ο A λ, µ Β µ, λ 6 α xa + xb λ + µ xm = 7 = 4 = λ + µ ya + yb µ + λ 6 yμ = = = µ + λ 6 8 = µ + λ µ + λ = 4 µ + λ = 4 () µ + λ = 8 µ λ = 8 () Προσθέτουμ κατά μέλη τις σχέσις () και () και προκύπτι ότι µ = 6 και λ = β Α (, 6 ) Β (, 4 ) ΟΑ = (, 6) Ο B = (, 4) ΟΑ Ο B = = 4 4 = 0 Άρα ΟΑ ΟB γ Έστω Γ σηµίο του y ' y οπότ Γ 0, y AB = (, 4 6) = ( 0, 0) AΓ = 0, y 6 =, y πρέπι det ( AB, AΓ ) = 0 = 0 0( y 6) ( 0)( ) = 0 y 6 0y 60 0 = 0 0y = 80 y = 8 Άρα Γ 0,8

2 δ Ν µ έσο του ΟΒ xo + x B xν = xν = 6 yν = Ν ( 6, ) ΝΑ = ( 6, 6 ( ) ) = ( 4,8) Ν B = ( 6, 4 ( ) ) = ( 6, ) ΝΑ Ν B = ( ) = 4 6 = 40 ΝΑ = ( 4) + 8 = = 80 = 40 Ν B = 6 + ( ) = = 40 ^ ΝΑ ΝB 40 π οπό τ συν( ΝΑ, Ν B) = = = = Ά ρα ΝΑ, Ν B = ΝΑ Ν B 40 4 Β α 0 β = α, β = 0 ( α β) ( 6α + 5β) ( α β) ( 6α + 5β ) = 0 8α + 5α β 6α β 5β = α + 9α β 5 β = 0 8 α + 9 α β συν0 5 β = α + 9 α 5 = 0 8 α α 45 = 0 :9 6 α 7 α 90 = 0 4 α α 0 = 0 = = = α = =, α = = = απορρίπτται β i) γ = α + β = 9α + α β + 4β = = = = 6 Άρα γ = 6 = 6 Είναι γ = α + β α γ = α + α β α γ = + α γ = 6 α γ = 6 ^ α γ 6 ^ π ii) συν ( α, γ ) = = = Ά ρα α, γ = ή 60 α γ 6 0

3 ΘΕΜΑ ο Α α Έστω α = προβα β Είναι 5 µ + µ + α // β λ α = λ = = β 5 µ µ µ = µ + µ = µ = Άρα ίναι β = (,) Επίσης ισχύι ότι : προβ α = ( 5,5) β προβ α = ( 5,5) β α β = ( 5,5) β ( κ,8) (,) = ( 5,5) (,) β β κ + 8 = κ + 8 = 0 κ = Άρα ίναι α = (,8) 8 β i) Είναι α // λ 4 α = λ λ = λ = Έστω Γ(x Γ,0) και (0, y ) και Μ (x Μ, xμ + ) πιδή yμ = xμ y y x Το Μ ίναι μέσο του ΓΔ οπότ : yμ = = και x = Γ Μ Άρα ίναι: y x Γ = + y = xγ + 6 () y λ = = 4 y = 4xΓ () x () Γ () 4xΓ = xγ + 6 xγ = 6 xγ =, άρα Γ(,0) Άρα, η ξίσωση της υθίας θα ίναι της μορφής: (): y y Γ = λ(x x Γ ) y 0 = 4(x ) y = 4x + 8 ii) ΟΗ = β α ΟΗ = (,) (,8) ΟΗ = (,) (,8) ΟΗ = ( +, 8) = (, 5), άρα Η(, 5) Θα βρούμ αρχικά την ξίσωση της υθίας ΗΗ που διέρχται από το σημίο Η( -,-5) και ίναι κάθτη στην Έχουμ: ΗΗ ληη λ = ληη ( 4) = λ ΗΗ = 4 Άρα η ξίσωση της υθίας ΗΗ ίναι: y y H = ληη (x x H ) y ( 5) = ( x ( ) ) 4 4 y + 5 = x + 4y + 0 = x + x 4y 9 = Η προβολή Μ του σημίου Η στην υθία ίναι το σημίο τομής των υθιών και ΗΗ Για να βρούμ τις συντταγμένς του Μ, λύνουμ το σύστημα:

4 x 4y 9 = 0 x 4( 4x + 8) 9 = 0 x + 6x 9 = 0 7x = 5 y = 4x + 8 y = 4x + 8 y = 4x + 8 y = 4x + 8 x = x =, άρα Μ (, 4) y = y = 4 Αν Η (x H, y Η ) ίναι το συμμτρικό του Η ως προς την υθία, τότ το Μ ίναι μέσο του τμήματος ΗΗ, οπότ: xη + xη + xη xm = = 6 = + xη xη = 7 yη + yη 5 + yη yμ = 4 = 8 = 5 + yη yη = Άρα το συμμτρικό του σημίου Η ως προς την υθία ίναι το σημίο Η (7, ) iii) Αφού ΗΗ, η γωνία που σχηματίουν οι δύο υθίς ίναι ορθή, δηλαδή 90 Β α Aφού το σημίο Μ(0,) απέχι από την υθία : λx y + λ = 0 απόσταση ίση μ, θα ισχύι ότι: λ 0 + λ 6 + λ d(m, ) = = = λ + ( ) λ + 9 λ 9 = λ + 9 λ 8λ + 8 = λ λ 9 = λ λ = λ = 4 β Είναι : 4x y + = 0 Έστω Α(x,0) σημίο του άξονα x x Έχουμ: 4x 0 + d(a, ) ( x) ( 0) 4 + ( ) = ΑΝ = + 4x 4x + = 5 ( x) + 9 4x + = 5 ( x) + 9 6x + 8x + = 5( 4x + x ) + = ( x) x + 8x + = 5 00x + 5x + = + = = = Άρα ίναι Α(6,0) 9x 08x 4 0 x x 6 0 (x 6) 0 x 6 γ i) Το σημίο Α( α, β) ανήκι στην υθία : 4x y + = 0, οπότ: 4α β + = 0 () Το σημίο Β( α,4 β) ανήκι στην υθία : 4x y + = 0, οπότ: 4( α) (4 β ) + = 0 8α + 9β + = 0 8α + 9β = 0 () Λύνοντας το σύστημα των σχέσων (), () βρίσκουμ ότι: 4α β + = 0 () 8α 6β + = 0 + 8α + 9β = 0 8α + 9β = 0 β 9= 0 β= Άρα από () 4α + = 0 4α 8 = 0 α =

5 ii) Είναι Α(, ), Β( 4, 5), Γ(5, ) AB = ( 4, 5 ) = ( 6, 8) A Γ = (5, ) = (, ) 6 8 det ( AB, AΓ ) = = 6( ) ( 8) = = 0 (ΑΒΓ)= det ( AB, AΓ ) = 0 = 5 τ µ ΘΕΜΑ 4 o Α 4 έχι λν = = ν λ λν = λ = λ = Α 0,5, άρα α Το διάνυσμα ν = (,4) Η υθία Η διέρχται από το : y 5 = ( x 0) y 5 = x 5 y = x y = x x y = 0 ( ) Είναι λ ΒΓ = = = 6 9 Άρα : y ( ) = ( x ) y + = x + y = x y = x x + y = 0 Β ( λ ) i) Είναι λ = και λ λ λ 4 = λ ( λ ) λ λ λ Αφού // λ = λ = = λ 4 λ λ 4 λ ( λ )( λ ) = λ ( λ 4) λ λ λ + 6 = λ 4 5λ + 6 = 4λ 5λ + 4λ = 6 λ = 6 λ = 6 Άρα : x + y 8 = 0 και : 6x + 4y = 0 ii) Οι υθίς, διέρχονται από την αρχή των αξόνων άρα το σημίο τομής τους ίναι το Ο ( 0,0) Οι υθίς, έχουν σημίο τομής το Κ λ ( ) x : x y = 0 + 6y = 0 : x + y 8 = 0 x + y 8 = y 8 = 0 8y = 8 y = y = 8

6 7 7 Για y = ίναι x = 0 x = 7 Άρα Οι υθίς, έχουν σημίο τομής το Λ 7 K 7, ( ) x : x + y = 0 9y = 0 : x + y 8 = 0 x + y 8 = 0 8 7y 8 = 0 7y = 8 y = y = 4 7 Για y = 4 ίναι x + ( 4) = 0 x = 0 x = Άρα το Λ (, 4) 7 7 Το διάνυσμα OK = 7 0, 0 = 7, OΛ = 0, 4 0 =, 4 Το διάνυσμα det ΟΚ, ΟΛ = = = = 4 70 ΟΚΛ = det ΟΚ, ΟΛ = 70 = = 5 τ µ Είναι Άρα iii iii) Έστω Μ ( x, y) x y x + y d Μ, = d Μ, = + Είναι + x y x + y x y x + y 5 x + y = = x y = x y = x + y 5y = 0 y x y = x + y ή ή y = 0 ή x = x y = x y x = y Επιδή τα σημία Μ ανήκουν στην : 6x + 4y = 0 έχουμ: Για y = 0 ίναι 6x = 0 6x = x = Άρα M (,0) y y Για x = ίναι 6 + 4y = 0 y + 4y = 0 y = Οπότ x = x = 6 Άρα M ( 6,)

7 Β α Για να ίναι υθία για κάθ α R πρέπι A 0 ή B 0 Είναι α + α + = 0 = 4 = 8 = 7 < 0 Άρα α + α + 0 για κάθ α R οπότ η () παριστάνι υθία για κάθ α R β Για α = 0 ίναι : x + y = 0 Για α = ίναι : 4x + y = 0 Το σημίο τομής των, ίναι το Α ( ) : x + y = 0 : 4x + y = 0 Για x =, + y = 0 y = Άρα το A(, ) x y = 0 4x + y = 0 x = 0 x = x = Για x = και y = στην () έχουμ 0 α + α + + α α + α α = α + α + α + α α α = 0 α + α α α = 0 0 = 0 ισχύι Άρα όλς οι υθίς της μορφής () διέρχονται από το A(, ) γ Η y = x + έχι συντλστή διύθυνσης λ = Η κάθτη σ αυτήν πρέπι να έχι λ λ = λ = λ = Πρέπι α ( ) α + α + α α + α = α = α + α + = α α + + α α = α =