Σχεδίαση µε τη χρήση Η/Υ

Transcript

1 Σχδίαση µ τη χρήση Η/Υ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1 0 Ο Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Σ Τ Ο Υ Χ Ω Ρ Ο Υ Ρ Λ Ε Ω Ν Ι Α Σ Α Ν Θ Ο Π Ο Υ Λ Ο Σ, Ε Π Ι Ο Υ Ρ Ο Σ Α Θ Η Γ Η Τ Η Σ Τ Μ Η Μ Α Ι Ο Ι Η Σ Η Σ Α Ι Ι Α Χ Ε Ι Ρ Ι Σ Η Σ Ε Ρ Γ Ω Ν Τ Ε Ι Λ Α Ρ Ι Σ Α Σ

2 Στοιχία Γωµτρίας του Χώρου Σχτικές θέσις δύο πιπέδων ύο πίπδα µπορί: Να συµπίπτουν Να τέµνονται Να µην έχουν κοινό σηµίο Αν δύο πίπδα τέµνονται, τότ η τοµή τους ίναι µια υθία Αν µια υθία νός πιπέδου ίναι κάθτη σ ένα άλλο πίπδο Ρ, τότ και το πίπδο ίναι κάθτο στο πίπδο Ρ. Αν µια υθία ίναι κάθτη σ ένα πίπδο, τότ και κάθ πίπδο που πριέχι την υθία αυτή, ίναι κάθτο στο πίπδο. ' '

3 Στοιχία Γωµτρίας του Χώρου Σχτικές θέσις δύο πιπέδων (2) Έστω η υθία κάθτη στο πίπδο Ρ στο σηµίο. Αν θωρήσουµ ότι η ανήκι στο πίπδο τότ το ίναι κάθτο στο Ρ. Αν δυο πίπδα ίναι κάθτα µταξύ τους, τότ κάθ υθία που ανήκι στο ένα και ίναι κάθτη στην τοµή τους, ίναι κάθτη στο άλλο. Έστω δύο πίπδα Ρ και κάθτα µταξύ τους, που τέµνονται κατά την υθία. Αν θωρήσουµ την υθία κάθτη στην, τότ η ίναι κάθτη στο Ρ. '

4 Στοιχία Γωµτρίας του Χώρου Σχτικές θέσις δύο πιπέδων (3) Αν δύο πίπδα ίναι κάθτα σ ένα τρίτο πίπδο, τότ η τοµή τους ίναι υθία κάθτη στο πίπδο αυτό. Στο σχήµα τα Ρ και τέµνονται κατά την και ίναι κάθτα στο Q. Η ίναι η πίσης κάθτη στο Q. Αν τα πίπδα Ρ και δν έχουν κοινά σηµία τότ ίναι παράλληλα µταξύ τους. Λ Q Q

5 Στοιχία Γωµτρίας του Χώρου Σχτικές θέσις δύο πιπέδων (4) Αν µια υθία δν ίναι κάθτη σ ένα πίπδο, τότ υπάρχι ένα και µόνο πίπδο που την πριέχι και ίναι κάθτο στο πίπδο αυτό. Έστω ότι η υθία δν ίναι κάθτη στο Ρ. Αν από τυχαίο σηµίο της Α θωρήσουµ την υθία, κάθτη στο Ρ, τότ υπάρχι ένα και µόνο πίπδο, το οποίο πριέχι τις και και ίναι κάθτο στο Ρ. Αν δύο πίπδα Ρ και δν έχουν κοινό σηµίο τότ ίναι παράλληλα. ' Ρ Q

6 Στοιχία Γωµτρίας του Χώρου Σχτικές θέσις δύο πιπέδων (5) Από ένα σηµίο που δν ανήκι σ ένα πίπδο διέρχται ένα και µόνο πίπδο παράλληλο προς το πίπδο αυτό. Αν δύο τµνόµνς υθίς ίναι παράλληλς προς ένα πίπδο, τότ το πίπδο που ορίζουν ίναι παράλληλο προς το πίπδο αυτό. Οι τοµές παράλληλων πιπέδων προς τρίτο πίπδο ίναι υθίς παράλληλς. Απόσταση δύο παράλληλων πιπέδων, ονοµάζται η απόσταση κάθ σηµίου του νός πιπέδου από το άλλο. ' Ρ Q

7 Στοιχία Γωµτρίας του Χώρου Τοµή υθιών από παράλληλα πίπδα σ µέρη ανάλογα Έστω τα πίπδα Ρ1, Ρ2, Ρ3 τα οποία τέµνουν τις υθίς 1 και 2 στα σηµία Α1, Β1, Γ1 και Α2, Β2, Γ2 αντίστοιχα. Ισχύι Α1Β1 / Β1Γ1 = Α2Β2 / Β2Γ2 1 2 Ρ1 Α1 Α2 Ρ2 Β1 Β2 Γ1 Γ2 3

8 Στοιχία Γωµτρίας του Χώρου Προβολή σχήµατος σ πίπδο Έστω ένα πίπδο Ρ και ένα σηµίο έξω από αυτό. Αν θωρήσουµ την υθία που διέρχται από το και ίναι κάθτη στο Ρ στο σηµίο, τότ το ονοµάζται «ορθή προβολή του σηµίου στο πίπδο Ρ». Η ονοµάζται «προβάλλουσα» το σηµίο στο πίπδο Ρ. Ο γωµτρικός τόπος των προβολών των σηµίων νός σχήµατος σ ένα πίπδο ονοµάζται «προβολή του σχήµατος στο πίπδο». Το πίπδο ονοµάζται «πίπδο προβολής» ή «προβολικό πίπδο». Μ Ν Λ Λ Μ Ν

9 Στοιχία Γωµτρίας του Χώρου Πλάγια προβολή Πλάγια προβολή σηµίου στο πίπδο Ρ ονοµάζται το ίχνος µιας πλάγιας υθίας, η οποία διέρχται από το και τέµνι το Ρ στο σηµίο. Η πλάγια προβολή σχήµατος σ πίπδο ίναι το σύνολο των ιχνών των πλαγίων, οι οποίς διέρχονται από κάθ σηµίο του σχήµατος και ίναι παράλληλς προς ορισµένη διύθυνση. Λ Μ Ν χ Λ Μ Ν

10 Στοιχία Γωµτρίας του Χώρου λίση υθίας ως προς πίπδο Έστω υθία που δν ίναι κάθτη σ πίπδο Ρ. Η προβολή της στο Ρ ίναι η υθία. Η γωνία που σχηµατίζι η µ την προβολή της ονοµάζται κλίση της υθίας ως προς το πίπδο Ρ ή γωνία της και του Ρ. Η κλίση της προς το Ρ ίναι γωνία µικρότρη από όλς αυτές, τις οποίς σχηµατίζι η µ τυχαία υθία του Ρ που διέρχται από το ίχνος της. Αν η υθία ίναι κάθτη στο πίπδο Ρ τότ η προβολή της ίναι ένα σηµίο το ίχνος της στο Ρ. Αν η υθία ίναι παράλληλη προς το πίπδο Ρ τότ η προβολή της ίναι υθία παράλληλη στην. Η προβολή µιας ορθής γωνίας σ πίπδο που ίναι παράλληλο σ µια πλυρά της γωνίας ίναι ορθή γωνία. Ισχύι και το αντίστροφο: αν µια ορθή γωνία προβάλλται στο πίπδο Ρ κατά ορθή γωνία, τότ µια από τις πλυρές της ίναι παράλληλη στο πίπδο Ρ. Η προβολή µιας οξίας (αλλά και µιας αµβλίας) γωνίας σ πίπδο ίναι γωνία οξία (ή αµβλία αντίστοιχα). Ισχύι και το αντίστροφο. φ Ρ