ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ:2 ο - ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ: Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ: ο - ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ:.. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 4 5 Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός 8575 Β (Αναρτήθηκ 8 4 ) ίνονται τα σηµία Α(,) και Β(5,6). α) Να βρίτ την ξίσωση της υθίας που διέρχται από τα σηµία Α και B. (Μονάδς ) β) Να αποδίξτ ότι η µσοκάθτος του υθυγράµµου τµήµατος ΑΒ έχι ξίσωση την y = + 7 (Μονάδς 5) α) Χριαζόµαστ τον συντλστή διύθυνσης της ΑΒ και ένα σηµίο, έστω το Α. y y Μ τη βοήθια του τύπου λ ΑΒ =,µ θα υπολογίσουµ τον συντλστή διύθυνσης. 6 λαβ = =, άρα η υθία ΑΒ θα έχι ξίσωση 5 ΑΒ : y = ( ) y= + y= Μ, =, 4. β) Έστω µέσο Μ του τµήµατος ΑΒ, τότ οι συντταγµένς του θα ίναι: Έστω () η µσοκάθτη της υθίας ΑΒ, ΑΒ λ λ = λ =,αφούλ = πιδή ΑΒ ΑΒ Εποµένως η ξίσωση της υθίας () θα δίνται από τον τύπο: : y 4 y 4 y 7 = = + + = + 66 Β (Αναρτήθηκ 5 4) ίνται τρίγωνο ΑΒΓ µ κορυφές τα σηµία Α(,), Β(,) και Γ(,4). α) Να βρίτ την ξίσωση της πλυράς ΑΓ. (Μονάδς 7) β) Να βρίτ τις ξισώσις του ύψους Β και της διαµέσου ΑΜ. (Μονάδς 8) 4 α) Ο συντλστής διύθυνσης της ΑΓ ίναι λ= = = Άρα η ξίσωση της ΑΓ ίναι:αγ : y = ( ) y= + 9+ y= + β) Αφού Β : ύψος θα ισχύι: Β ΑΓ ποµένως θα πρέπι: λβ λαγ = λ Β =,αφούλαγ = Άρα η ξίσωση του ύψους Β ίναι: 4 y = (+ ) y= + + y= + Έχουµ ΑΜ: διάµσος του τριγώνου ποµένως Μ: µέσο της ΒΓ Οι συντταγµένς του µέσου Μ της ΒΓ ίναι Μ = = και yμ = =, άρα 5 Μ,.

2 Εποµένως ο συντλστής διύθυνσης της διαµέσου ΑΜ θα ίναι: 5 λ= = =. 5 5 Και η ξίσωση της διαµέσου ΑΜ θα ίναι: 9 4 y = ( ) y= + + y= ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β (Αναρτήθηκ 5 4) Θωρούµ µια υθία () και ένα σηµίο Α(6, -) κτός της (). Έστω Μ(, ) η προβολή του Α στην (). Να βρίτ: α) Την ξίσωση της υθίας (). (Μονάδς ) β) Το συµµτρικό του Α ως προς την (). (Μονάδς ) α) Για να βρούµ την ξίσωση της υθίας () χριαζόµαστ ένα σηµίο και συντλστή διύθυνσης ym ya ( ) λαμ = = = =. M A 6 4 Γνωρίζουµ ότι το Μ ίναι η προβολή του Α στην (), ποµένως η ΑΜ θα ίναι κάθτη στην () και θα ισχύι ότι AM () λαμ λ = λ = αφού λαμ =. Μ τη βοήθια του τύπου: y yo = λ ( o ) υπολογίζουµ την ξίσωση της υθίας () y = ( ) y= 4+ y= β) Έστω Α το συµµτρικό του Α ως προς την (), τότ το σηµίο Μ θα ίναι µέσο του υθύγραµµου τµήµατος ΑΑ. Εποµένως θα ισχύι : + 6+ M = = 4= 6+ A A = και y + y + y ym = = = + y y = A A A A A A A A Άρα το συµµτρικό του Α ως προς την () ίναι το Α ( -, )

3 4 5 7 Β (Αναρτήθηκ 5 4) ίνονται τα σηµία Α(, ), Β(-, 5) και Γ(-, -4). α) Να αποδίξτ ότι σχηµατίζουν τρίγωνο. (Μονάδς 8) β) Να βρίτ το συµµτρικό του Β ως προς το µέσο Μ της ΑΓ. (Μονάδς ) α) Για να δίξουµ ότι τα σηµία Α, Β, Γ σχηµατίζουν τρίγωνο, αρκί να δίξουµ ότι δν ίναι συνυθιακά σηµία. Υπολογίζουµ τις συντταγµένς των διανυσµάτων Έχουµ, ΑΒ= ( B A, yb ya) = (, 5 ) = (, ) και BΓ=, y y = ( ), 4 5 = (, 9). Γ Β Γ Β Ελέγχουµ την ορίζουσα των συντταγµένων των δυο διανυσµάτων αν ίναι διάφορη του µηδνός. det( AB, BΓ) = = ( 9) ( ) = 7+ = 9 9 Άρα τα διανύσµατα AB και BΓ ίναι µη συγγραµµικά, δηλαδή τα Α, Β, Γ ίναι µη συνυθιακά, ποµένως σχηµατίζουν τρίγωνο. β) Έχουµ Μ: µέσο ΑΓ. Άρα οι συντταγµένς του θα ίναι : A + Γ M = = = ya + yγ 4 ym = = = Άρα Μ, µέσο της ΑΓ. Αφού :συµµτρικό του Β ως προς το Μ θα πρέπι το Μ να ίναι το µέσο και του Β. Εποµένως θα ισχύι : Β+ + M = = και = + = y M y + y 5+ y = = Β = 5+ y y = 6 Οπότ το συµµτρικό του σηµίου Β ως προς το Μ ίναι το (, - 6) γ) Παρατηρούµ ότι το σηµίο Μ διχοτοµί τα υθύγραµµα τµήµατα ΑΓ και Β, ποµένως το ττράπλυρο ΑΒΓ ίναι παραλληλόγραµµο.

4 4 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β (Αναρτήθηκ 8 4 ) ίνονται οι παράλληλς υθίς : y 8=, : 4y+ = και το σηµίο Α της που έχι ττµηµένη το 4. α) Να βρίτ τις συντταγµένς του σηµίου Α. (Μονάδς 5) β) Να βρίτ την ξίσωση της υθίας η οποία διέρχται από το σηµίο Α ίναι κάθτη στην υθία (Μονάδς ) γ) Αν Β ίναι το σηµίο τοµής των υθιών, τότ να βρίτ τις συντταγµένς του Β.(Μονάδς ) α) Το Α ίναι σηµίο της, ποµένως οι συντταγµένς του θα πρέπι να παληθύουν την ξίσωση της υθίας. Έχουµ λοιπόν: 4 y 8= y= 4 y= ποµένως οι συντταγµένς του ίναι: Α(4, ) β) Ψάχνουµ ξίσωση υθίας, µ λ λ = λ =,αφούλ = = Εποµένως η ξίσωση της θα ίναι: : y ( ) = ( 4) y= + 6 γ) Για να βρούµ τις συντταγµένς του σηµίου Β θα πρέπι να λύσουµ το σύστηµα των ξισώσων των υθιών. Είναι: 4y + = ( + ) 6 5y + 6 = 5y = 6 = y = και y+ 6= 5 Εποµένως ίναι 7 6 Β, = = = Β (Αναρτήθηκ 8 4 ) ίνονται οι υθίς : 8 y+ 6= και : y = οι οποίς τέµνονται στο σηµίο Μ. Αν οι υθίς τέµνουν τον άξονα y ' y στα σηµία Α και B αντίστοιχα, τότ: α) να βρίτ τις συντταγµένς των σηµίων Μ, A και B (Μονάδς ) β) αν Κ ίναι το µέσο του τµήµατος ΑΒ, να βρίτ τον συντλστή διύθυνσης του διανύσµατος ΜΚ (Μονάδς 5) α) Για να βρούµ τις συντταγµένς του σηµίου Μ θα λύσουµ το σύστηµα των ξισώσων των υθιών. Είναι: 8y+ 6= 6y ( + + = ) 7y 7= y= και + y+ 5= + y+ 5= 8 + 6= + 8= = 8 Εποµένως οι συντταγµένς του σηµίου Μ ίναι Μ( 8,).

5 4 5 Από την ξίσωση της υθίας για = παίρνουµ 8y+ 6= y= άρα η υθία τέµνι τον άξονα y' y στο σηµίο Α(,) Από την ξίσωση της υθίας για = παίρνουµ y+ 5= y= 5άρα η υθία τέµνι τον άξονα y' y στο σηµίο Β(, 5) β) Το µέσο Κ του ΑΒ έποµένως οι συντταγµένς θα ίναι: + y + y Κ, Α Β Α Β δηλ. Κ, Το διάνυσµα ΜΚ έχι συντταγµένς: 5 ΜΚ = ( Κ Μ, yκ yμ) = ( 8), = 8, Άρα ο συντλστής διύθυνσης του ΜΚ 5 5 ίναι = Β (Αναρτήθηκ 8 4 ) ίνονται οι υθίς :8 + y 8 = : y + = οι οποίς τέµνονται στο σηµίο Μ. α) Να βρίτ τις συντταγµένς του σηµίου Μ και, στη συνέχια, να βρίτ την ξίσωση της υθίας που διέρχται από το Μ ίναι κάθτη στον άξονα ' (Μονάδς ) β) Να αποδίξτ ότι οι υθίς που διέρχονται από το Μ και έχουν συντλστή διύθυνσης λ έχουν ξίσωση την: λ y λ+ 4=, όπου λ R (Μονάδς 5) Λύση α) Για να βρούµ τις συντταγµένς του σηµίου Μ, θα λύσουµ το σύστηµα των ξισώσων των υθιών Είναι: 8+ y 8= 8 + (+ ) 8= 9 = 7 = y+ = y= + y= + y= 4 Άρα οι υθίς τέµνονται στο σηµίο Μ(, 4). Η υθία που διέρχται από το σηµίο Μ ίναι κάθτη στον άξονα ' έχι ξίσωση = β) Έστω (η) µια υθία που διέρχται από το σηµίο Μ(,4) και έχι συντλστή διύθυνσης λ, τότ η ξίσωση της θα δίνται από τον τύπο: y 4= λ( ) y 4= λ λ λ y λ+ 4= 6 Β (Αναρτήθηκ 5 4) Θωρούµ το υθύγραµµο τµήµα ΑΒ µ µέσο Μ και Α(, ), Μ(, 5). α) Να βρίτ τις συντταγµένς του σηµίου Β. (Μονάδς ) β) Να βρίτ την ξίσωση της µσοκαθέτου του υθυγράµµου τµήµατος ΑΒ, καθώς και τα κοινά σηµία αυτής µ τους άξονς και y y. (Μονάδς 5) 5

6 4 5 α) Έχουµ Μ µέσο του τµήµατος ΑΒ ποµένως θα ισχύι: Α + Β + Μ = Β = 4= + Β Β = 5. yα + yβ + yβ yμ = = + y 5 = Β yβ = Β 5,. Άρα: β) Υπολογίζουµ αρχικά τον συντλστή διύθυνσης της υθίας ΑΒ yβ y Α ( ) 4 7 λαβ = = = =. 5 6 Β Α Ψάχνουµ ξίσωση υθίας () ώστ: ΑΒ λ λαβ = λ 7 =,αφού λαβ= 7 Εποµένως η ξίσωση της µσοκαθέτου θα δίνται από τον τύπο: ( ) : y 5= ( ( ) ) 7y 5= + 6 7y+ 4= 7 4 Από την ξίσωση της υθίας για y= παίρνουµ + 4= = άρα η υθία τέµνι τον άξονα ' στο σηµίο 4 Γ, Από την ξίσωση της υθίας για = παίρνουµ άξονα y' y στο σηµίο, y+ 4= y= άρα η υθία τέµνι τον 7 65 Β (Αναρτήθηκ 5 4) ίνται η υθία : + y + = και το σηµίο Α(5,). α) Να βρίτ την ξίσωση της υθίας η, η οποία διέρχται από το Α ίναι κάθτη προς την υθία. (Μονάδς 9) β) Να βρίτ την ξίσωση της υθίας η, η οποία διέρχται από το Α ίναι παράλληλη προς τον άξονα. (Μονάδς 7) γ) Να βρίτ το σηµίο τοµής των υθιών ηκαι ηκαι την απόστασή του από την αρχή των αξόνων. (Μονάδς 9) α) Έχουµ: ( ) : + y+ = µ λ =. = Είναι : η λη λ Η ξίσωση της υθίας ηίναι: ( η ) : y ( 5) λ = η λη =. = y = 5 y 4=. 6

7 β) Έχουµ η / / ποµένως θα πρέπι: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 4 5 λη = όποτ η ξίσωση της υθίας ηίναι της µορφής :, y = 5, ποµένως θα έχουµ: y= y, όπου (, y) ένα τυχαίο σηµίο της υθίας, άρα ( ) ( η ) : y= y =. γ) Για να βρούµ το κοινό σηµίο Κ των ηκαι ηλύνουµ το σύστηµα των ξισώσων των δυο υθιών, δηλ.: y 4= y 4= 4= = 5. y = y = y = y = K 5,. Εποµένως οι συντταγµένς του Κ θα ίναι: Η απόσταση του Κ από την αρχή των αξόνων θα δίνται από τον τύπο: ΟK = 5 + = Β (Αναρτήθηκ 8 4 ) ίνονται οι υθίς : y+ 5= : + y 5= α) Να αποδίξτ ότι οι υθίς ίναι κάθτς µταξύ τους. (Μονάδς 9) β) Να βρίτ τις συντταγµένς του σηµίου τοµής Α των υθιών (Μονάδς 9) γ) Να βρίτ την ξίσωση της υθίας που διέρχται από το σηµίο Α και την αρχή Ο των αξόνων. (Μονάδς 7) Λύση α) Οι υθίς έχουν συντλστές διύθυνσης λ Επιδή λ λ = προκύπτι ότι = και λ = αντίστοιχα. β) Για να βρούµ τις συντταγµένς του σηµίου τοµής Α των υθιών θα λύσουµ το σύστηµα των ξισώσων των δυο υθιών. Είναι: y+ 5= = y 5 = y 5 = + y 5= (y 5) + y 5= y = y= Άρα οι υθίς τέµνονται στο σηµίο Α(,) γ) Ο συντλστής διύθυνσης της υθίας ΟΑ ίναι: λ= = πιδή διέρχται από την αρχή Ο των αξόνων η υθία θα ίναι της µορφής: y= λ, ποµένως y= η ζητούµνη ξίσωση. 7

8 8595 Β (Αναρτήθηκ 8 4 ) ίνονται οι υθίς : + y+ = : + y 4= ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 4 5 α) Να βρίτ τις συντταγµένς του σηµίου τοµής Α των υθιών (Μονάδς 8) β) Αν η υθία τέµνι τον άξονα y ' y στο σηµίο Β και η υθία τέµνι τον άξονα ' στο σηµίο Γ, τότ: i) να βρίτ τις συντταγµένς των σηµίων Β και Γ. (Μονάδς 8) ii) να αποδίξτ ότι η υθία που διέρχται από τα σηµία Β και Γ έχι ξίσωση την 4y = (Μονάδς 9) α) Για να βρούµ τις συντταγµένς του σηµίου σηµίο τοµής Α, θα λύσουµ το σύστηµα των ξισώσων των υθιών Έχουµ λοιπόν, y 6 y 6 ( + ) + = = 5= = = + y= 4 + y= 4 + y= 4 y= ( ) + 4 y= Α, Άρα το σηµίο τοµής ίναι το β) i) Αφού η υθία και θα παληθύι την ξίσωση της. ηλαδή yβ yβ τέµνι τον άξονα y' y στο σηµίο Β, τότ αυτό θα έχι συντταγµένς Β(, y ) + + = =, ποµένως Β(, ) Οµοίως αφού η υθία τέµνι τον άξονα ' στο σηµίο Γ, τότ αυτό θα έχι συντταγµένς Γ( Γ, ) και θα παληθύι την ξίσωση της. ηλαδή Β+ 4= Β 4= Β = 4, άρα Γ( 4, ) ii) Βρίσκουµ αρχικά τον συντλστή διύθυνσης της υθίας ΒΓ, αυτός θα ίναι yγ y Β ( ) λ= = =. Γ Β 4 4 Εποµένως η ξίσωση ΒΓ θα ίναι: y ( ) = ( ) 4y+ = 4y = 4 86 Β (Αναρτήθηκ 8 4 ) Θωρούµ την υθία που τέµνι τους άξονς ' και y ' y στα σηµία Α(,) και Β(,6) αντίστοιχα. α) Να βρίτ την ξίσωση της υθίας (Μονάδς 8) β) Αν ίναι η υθία που διέρχται από την αρχή των αξόνων ίναι κάθτη στην, τότ να βρίτ: i) την ξίσωση της υθίας (Μονάδς 9) ii) τις συντταγµένς του σηµίου τοµής των υθιών (Μονάδς 8) Β 8

9 4 5 α) Ο συντλστής διύθυνσης της υθίας που διέρχται από τα σηµία Α και Β θα ίναι: yβ yα 6 6 λ = = = =. Β Α Εποµένως η ξίσωση της ίναι: : y = y= y 6= β) i) Η διέρχται από την αρχή των αξόνων ποµένως θα έχι ξίσωση της µορφής: y= λ Έχουµ: λ λ = λ = αφούλ = Εποµένως η υθία έχι ξίσωση: : y= λ y= y= y= ii) Έστω K( K, y K) το σηµίο τοµής των. Για να βρούµ το σηµίο τοµής Καρκί να λύσουµ το σύστηµα των ξισώσων. Έχουµ λοιπόν, y 6 4 y + = = + = + = 5= 5 5 y= y= y= 6 y= y= Άρα το σηµίο τοµής Κ έχι συντταγµένς K, Β (Αναρτήθηκ 8 4 ) Έστω Μ(,5) το µέσο υθυγράµµου τµήµατος ΑΒ µ Α(,). α) Να βρίτ: i) τις συντταγµένς του σηµίου Β. (Μονάδς 6) ii) την ξίσωση της υθίας που διέρχται από τα σηµία Α και Β. (Μονάδς 7) β) Να βρίτ τις συντταγµένς σηµίου Κ του άξονα ' έτσι, ώστ να ισχύι (ΚΑ) = (ΚΒ). (Μονάδς ) α) i) Έχουµ Μ µέσο ΑΒ ποµένως θα ισχύι: Α+ Β + Β Μ = = + Β = 6 Β = 5 και yα+ yβ + yβ yμ = 5= + yβ = yβ = 9 B 5,9 Εποµένως το σηµίο B ίναι το ii) Ο συντλστής διύθυνσης της υθίας που διέρχται από τα σηµία Α και Β ίναι: yβ yα 9 8 λab = = = λab =. 5 4 Β Α 9

10 4 5 H ζητούµνη υθία διέρχται από το σηµίο Α(, ) και έχι συντλστή διύθυνσης λ=. Εποµένως έχι ξίσωση, AB : y = ( ) y = y = β) Έχουµ Κ σηµίο του, άρα θα έχι συντταγµένς Κ( Κ,) Ξέρουµ ότι: ( ΚΑ) ( ΚΒ) ( ) ( y y ) ( ) ( y y ) Εποµένως έχουµ Κ(, ). = + = + Α Κ Α Κ Β Κ Β Κ ( ) ( ) ( 5 ) ( 9 ) Κ Κ Κ + = = Κ Κ Κ Κ + = 6 8 = 4 = Κ Κ 86 Β (Αναρτήθηκ 8 4 ) ίνται η υθία (): y+= και το σηµίο Α(,-4). α) Να βρίτ την ξίσωση της υθίας που διέρχται από το Α ίναι κάθτη στην (). (Μονάδς ) β) Να βρίτ την προβολή του σηµίου Α πάνω στην υθία (). (Μονάδς 5) α) Ψάχνουµ ξίσωση υθίας (η) της µορφής : y y = λ ( ),όπου: (, y ) = (, 4) Κ () (η) λ λη = λη = αφούλ = (() : y= + ) Άρα: y ( 4) = ( ) y+ 4= y 6= β) Η προβολή του Α στην υθία () ίναι το σηµίο τοµής των (), (η). Λύνουµ το σύστηµα των δυο ξισώσων και έχουµ: y + = = + = = 7 = y= 6 y= y= 6 y= 6 y= 7 5 Άρα η προβολή του Α πάνω στην () ίναι το σηµίο M,

11 (Αναρτήθηκ 8 4 ) ίνται η ξίσωση: + y+ y 6 6y+ 8= α) Να αποδίξτ ότι η ξίσωση παριστάνι γωµτρικά δύο υθίς γραµµές οι οποίς ίναι παράλληλς µταξύ τους. (Μονάδς 7) β) Αν : + y = και : + y 4=, να βρίτ την ξίσωση της µσοπαράλληλης των (Μονάδς 8) γ) Αν Α ίναι σηµίο της υθίας µ τταγµένη το και Β σηµίο της υθίας µ ττµηµένη το, τότ: i) να βρίτ τις συντταγµένς των σηµίων A και Β (Μονάδς ) ii) να βρίτ τις συντταγµένς δύο σηµίων Γ και της υθίας έτσι, ώστ το ττράπλυρο ΑΓΒ να ίναι ττράγωνο. (Μονάδς 8) α) Θωρούµ το πρώτο µέλος της () τριώνυµο µ µταβλητή το y: y + 6 y+ 6+ 8= Η διακρίνουσα του τριωνύµου ίναι: = = = 4> Άρα, η ξίσωση θα έχι δύο ρίζς πραγµατικές και άνισς: β± 6 ± 4 6 ± y, = = = α + 6+ y = y = y y = + = Συνπώς, η () παριστάνι δύο υθίς µ ξισώσις : + y = : + y 4= οι οποίς ίναι παράλληλς, αφού έχουν ίδιο συντλστή διύθυνσης. β) Έστω σηµίο M(, y ) της µσοπαράλληλης () των ( ), ( ), τότ θα ισχύι: d( M, ) = d( M, ) + y + y 4 = y = + y 4 + y = + y 4 ή + y = + y 4 = 4 αδύνατη ή + y = y+ 4 + y 6= + y =

12 γ) i) Έστω A( A,) το σηµίο πάνω στην, άρα την παληθύι: : + = = άρα, Α(,). A Έστω B(, yb) το σηµίο πάνω στην, άρα την παληθύι: : + y 4= y = άρα, Β(,) B ii) Έστω (κ, λ) σηµίο της υθίας (), τότ θα ισχύι: κ+ λ = κ= λ Το ΑΒΓ ίναι ττράγωνο αν και µόνο αν ίναι ορθογώνιο και ρόµβος. Για να ίναι ορθογώνιο θα πρέπι να ισχύι: Α Β κ,λ κ, λ = A B ( + ) ( ) = κ, κ κ,κ κ κ + κ κ+ = κ κ κ + κ= κ κ = Οπότ, Για κ= ίναι λ=-+= Για κ= ίναι λ=-+= κ κ = κ κ = κ= ή κ= ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 4 5 Άρα, (, ) ή (, ). Αν (, ), τότ Γ(, ) και αντίστροφα. Επιπλέον, ΑΒ = (ΒΓ) = (Γ ) = ( Α) =, άρα το Α ΒΓ ίναι και ρόµβος και τλικά ίναι ττράγωνο.

13 (Αναρτήθηκ 8 4 ) ίνονται τα σηµία Α(λ+,λ-), Β(, ) και Γ(4,6), λ R. α) Να βρίτ την µσοκάθτο του τµήµατος ΒΓ. (Μονάδς 7) β) Αν το σηµίο Α ισαπέχι από τα σηµία Β και Γ, να βρίτ την τιµή του λ. (Μονάδς 8) γ) Για λ=4,να βρίτ σηµίο ώστ το ττράπλυρο ΑΒ Γ να ίναι ρόµβος. (Μονάδς ) α) Έστω Μ το µέσο του ΒΓ. Οι συντταγµένς τότ του Μ θα ίναι: Μ, = (,4) Ο συντλστής διύθυνσης της υθίας ΒΓ ίναι, 6 4 λβγ = = =, 4 Ψάχνουµ ξίσωση υθίας : ΒΓ λ λβγ = λ = Η ξίσωση της µσοκαθέτου του υθύγραµµου τµήµατος ΒΓ ίναι, y 4= ( ) y 8= + + y = β) Έχουµ ότι το Α ισαπέχι από τα σηµία Β, Γ, ποµένως θα πρέπι να ανήκι στην µσοκάθτο του ΒΓ, οπότ οι συντταγµένς του θα παληθύουν την ξίσωση της: + y =, δηλαδή λ+ + ( λ ) = λ = λ= 4, άρα Α( 5, ) γ) Έστω (, y ) οι συντταγµένς του σηµίου, τότ το σηµίο Μ θα ίναι και µέσο του Α, ποµένως θα ισχύι: + 5+ και Άρα,5 ya+ y + y ym = 4= 8= + y y = 5 A M = = =

14 86 (Αναρτήθηκ 8 4 ) : κ κ y κ ίνονται οι υθίς ( + ) + = και ζ : + κ + κ y+ 6κ = ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 4 5 α) Να ξτάστ αν υπάρχι τιµή του κ, ώστ οι υθίς να ίναι παράλληλς. (Μονάδς ) β) Να βρίτ την αµβλία γωνία που σχηµατίζουν οι υθίς () και (ζ ). (Μονάδς 5) α) Για να ίναι παράλληλς οι δυο υθίς θα πρέπι να έχουν τον ίδιο συντλστή διύθυνσης (αν ορίζονται) ή να ίναι παράλληλς στον άξονα y y (αν δν ορίζονται ). Για κ έχουµ: λ Α κ κ = = = Β + κ κ+ Α + κ + κ Για κ έχουµ: λζ = = = Β κ κ Για κ και κ για να ίναι παράλληλς οι δυο υθίς θα πρέπι: κ + κ λ = λζ = κ ( κ) = ( κ+ ) ( + κ) κ κ = κ+ κ + + κ 5κ + κ+ = κ+ κ 4 6 κ, ζ = = < άρα για κάθ R { } ίναι ( ) / / = έχουµ ( ) : y = y = και Γιακ ζ : 4 4 = = άρα ( ) / / ( ζ ) Αν κ= τότ ( ) : + 4= = και ( ζ ) : y+ 8= + y 4= άρα ( ) / / ( ζ ) Εποµένως για κάθ κ Rέχουµ ( ) / / ( ζ ) β) Θωρούµ τα διανύσµατα: δ = ( + κ, κ) και δ = ( κ,+ κ) ώστ δ / /( ) Αρκί λοιπόν να υπολογίσουµ τη γωνία των δυο διανυσµάτων δ και δ δ δ ( + κ)( κ) + κ( + κ) συν( δ,δ) = = = δ δ + κ + κ κ + + κ κ + κ+ 6κ = = + κ+ κ + 4κ κ+ κ + + 6κ+ 9κ 5κ κ + + = = 5κ + κ+ κ + 4κ+ 5κ κ = + + = 5κ + κ+ 5κ + κ+ 5κ κ 5κ κ = = 5κ + κ+ ( 5κ + κ+ ) = ο Άρα η αµβλία γωνία των δυο διανυσµάτων άρα και των δυο υθιών θα ίναι 5 (δώ βρήκαµ την οξία γωνία τους δ,δ = 45 ) ο ( ) και δ / /( ζ) 4