ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 3 Ευθεία - Επίπεδο ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ/

Transcript

1 ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΔΙΥ 3 Ευθία - Επίπδο ΣΧΛΗ ΠΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΝΙΚΩΝ/00-.(α) Τα διανύσματα Β = (,, ), Γ = (,, 3) ίναι μη συγγραμμικά και παράλληλα προς το πίπδο Π, νώ το σημίο (,,3) μ διάνυσμα θέσης r = (,,3) ίναι σημίο του πιπέδου. Άρα η ξίσωση του πιπέδου ίναι: x y z 3 ( r r, Β, Γ ) = 0 = 0... x 5y+ 4z 4= 0. 3 (β) Το διάνυσμα η = (,, 3) ίναι κάθτο προς το πίπδο Π (αφού ίναι η Q ). Άρα η ξίσωση του πιπέδου ίναι: ( r r ) η = 0 ( x, y, z ) (,, 3) = 0 x y+ 3z 7 = 0 (γ) Η υθία έχι παράλληλο διάνυσμα i j k η = η η = = i + 4j + 3k, 3 0 το οποίο ίναι κάθτο προς το πίπδο Π. Επιπλέον το (3,-,) Π. Άρα η ξίσωση του πιπέδου Π ίναι : ( r r ) η = 0 ( x, y+, z ) (, 4,3) = 0 x+ 4 y+ 3z 5 = 0..(α) Το πίπδο Π πριέχι το σημίο μ διάνυσμα θέσης = O και έχι παράλληλα διανύσματα τα, Γ = c, που ίναι μη συγγραμμικά για c 0. Άρα η ξίσωση του πιπέδου ίναι(δς σχήμα ) r = + λ + μ( c), λ, μ [ διανυσματική παραμτρική ξίσωση ] ή ( r,, c) = 0 [διανυσματική ξίσωση ] Π Γ Σχήμα Σχήμα (β) Τα διανύσματα, ίναι παράλληλα προς το πίπδο Π και ακόμη η αρχή των αξόνων (0,0,0) ανήκι στο Π(σχήμα ). Άρα η ξίσωση του πιπέδου Π ίναι : r = 0 + λ+ μ( ) λ, μ ή ( r,, ) = 0.

2 3. Το ίναι το διάνυσμα θέσης νός σημίου της υθίας, νώ το η ίναι ένα παράλληλο διάνυσμα προς την υθία. Θέτοντας x = 0 στις ξισώσις των αναζητούμ το σημίο της τομής των πιπέδων yoz (x = 0). Έχουμ το σύστημα { } Π, Π Π Π που βρίσκται στο πίπδο, y+ z =, 3y z = y = 0, z =, οπότ το σημίο (0,0,) Π. Το σημίο δν ίναι μοναδικό, αφού το σύστημα των ξισώσων των δύο πιπέδων έχι άπιρς λύσις. Επιπλέον το διάνυσμα η = η η, όπου η (,,) Π και η (4, 3, ) Π, ίναι παράλληλο προς την υθία. Είναι δηλαδή η = (,5, 7), αλλά και κάθ διάνυσμα λη, λ ίναι παράλληλο προς την υθία. 4. Η υθία πρνάι από το σημίο (3,0,0) και έχι παράλληλο διάνυσμα το α = (0,,), νώ η υθία πρνάι από το σημίο (,, ) και έχι παράλληλο διάνυσμα το α = ( 3,,). Τότ = (5,,) και πιπλέον έχουμ, ασύμβατς, α, α μη συνπίπδα (, α, α) 0, 5 που ισχύι, αφού (, α, α) = 0 = Κ α = (0,,), α = (3,, ). Σχήμα 3 Το τυχόν σημίο Κ της έχι συντταγμένς (3, t+ 0, t), t, το τυχόν σημίο Λ της έχι συντταγμένς (3s, s, s ), s, νώ το τυχόν διάνυσμα μ άκρα πάνω στις υθίς, έχι συντταγμένς (3s 5, s+ t, s t ). Ζητάμ τα Κ,Λ που ικανοποιούν τις σχέσις: 3 α 0 5t s t ΚΛ ΚΛ = = = 9, ΚΛ ΚΛ α = 0 t+ s = s = 9 οπότ θα ίναι Κ(3, 8, 3 ), Λ ( 33, 5, 5 ) και dmin = ΚΛ = Λ

3 Γ 5. ( α) Ε( ΒΓ ) = Ε( ΒΔΓ ) = Β Γ Δ Β = ( ) ( c ) = c c = c+ c +. Σχήμα 4 (β) Το πίπδο Π τέμνι τους άξονς x ' xyyzzστα, ', ' σημία ( α,0,0), Β(0, α,0) και Γ(0,0, 3 α), αντιστοίχως. Έτσι έχουμ Β = ( α, α,0), Γ = ( α,0, 3 α) και 7 ΕΒΓ ( ) = Β Γ= 6αι+ 3α j + k =. x 0 y : =, z = 3 και 6. Γράφουμ x- y : =, z = 0 3 Έστω (,0,0). H 3 που πρνάι από το έχι ξισώσις: x y =, z = 0. Το πίπδο Π έχι ξίσωση z = 0. Θωρούμ Μ (4,6,3) και φέρουμ υθία 4 Π. Β(4,6,0). Κ(8,,0) Η 4 έχι ξισώσις x= 4, y = 6 και Σχήμα 5 τέμνι το Π στο σημίο Β(4,6,0). x 4 y 6 Η υθία η κάθτη από το Β προς την έχι ξισώσις =, z = 0 και τέμνι την στο σημίο Κ(8,,0). Η ΚΛ, Λ έχι ξισώσις x= 8, y = και ίναι Λ(8,,3). 7. Έστω P '( α, βγ, ) το συμμτρικό του P ως προς την Τότ το μέσον M του PP 'ανήκι στην υθία u(,, ) + β γ + 3, οπότ το σημίο M (,, ) ικανοποιί Ρ(, 0, 3) τις ξισώσις της υθίας, δηλαδή α + β γ + 3 = = = = (). Ρ α, β, γ Μ Επιπλέον PP ' = ( α, β, γ 3) u(,, ), όπου το διάνυσμα u ίναι παράλληλο προς την υθία, οπότ θα ισχύι: Σχήμα 6 ( α ) + β ( ) + ( γ 3) ( ) = 0 α β γ = Λ Μ ( ) : x y z ( )

4 7 4 πό () και () έχουμ: α =, β =, γ = (i), συνπίπδς PP,, ( r r,, ) =0. (ii) Η προβολή του PP πάνω στο διάνυσμα ( ) PP = ( ) ΛΚ συνπίπδα ( PP,, ) = 0 ίναι το διάνυσμα ΛΚ, οπότ ( r r) ( ) =± ΛΚ ( r r,, ) ( r r,, ) = ΛΚ d = ΛΚ =. ( Είναι 0, αφού οι, ίναι ασύμβατς.) Ρ Λ Ρ Β Ρ Κ Σχήμα 7 Σχήμα 8 (iii) Είναι d =ΚΛ, όπου ΚΛ. Θωρούμ πί της σημίο τέτοιο, ώστ P = και σχηματίζουμ το παραλληλόγραμμο PPΒ. Τότ έχουμ ( r r) Ε(PP Β ) = P ΚΛ = d d =. Ρ 9. Θωρούμ σημίο Β τέτοιο ώστ Β = u. Επίσης θωρούμ το παραλληλόγραμμο ΜΒΝ. Τότ ΕΜΒΝ ( ) = d( Μ, ) u και Ε(ΜΒΝ)= Μ u = ( rm ) u, ( rm ) u οποτ d( Μ, ) =. u Εφαρμογή: Είναι r = (,, ), u =Β= (,,), M Ν Β Μ r Μ u Σχήμα 9

5 r = (,3, 5),( r ) u = i 3 j 5k και M M 55 dm (, ) = Να αποδίξτ ότι το μβαδόν Ε της ορθογώνιας προβολής του παραλληλογράμμου ΒΓΔ μ Β = u, Δ = v πάνω σ ένα πίπδο μ κάθτο διάνυσμα n, n =, δίνται από την ισότητα Λύση ( ος τρόπος) Ε = ( u v) n. Το πίπδο Π στο σχήμα ταυτίζται μ το πίπδο της ορθής προβολής BΓΔ. Η ορθή προβολή BΓΔ του παραλληλογράμμου BΓΔ ίναι παραλληλόγραμμο, γιατί οι απέναντι πλυρές του ίναι παράλληλς, ως τομές παράλληλων πιπέδων από το πίπδο Π. Έτσι, αν ονομάσουμ B = u, Δ = v, τότ το μβαδόν Ε της ορθογώνιας προβολής του ΒΓΔ ίναι: Ε = u v. Στη συνέχια κατασκυάζουμ το παραλληλπίπδο ΒΓΔΒΓΔπου ορίζται από τα διανύσματα u, v και n του οποίου ο όγκος V δίνται από τον τύπο V = ( u, v,n) = ( u v) n () Σύμφωνα μ γνωστό θώρημα της Στρομτρίας, (δς Γωμτρία Λύκίου, ΕΜΕ) ο όγκος V μπορί να δοθί και ως ξής: V = μβαδνκθτηςτομς ό ά ή μκοςπαρπλυρηςακμς ή ά ή ( ) ( ) ( ) V=Ε ΒΓ Δ n =Ε =Ε () πό τις () και () προκύπτι η ισότητα Ε = ( u v) n. ος τρόπος πό το γνωστό τύπο της προβολής διανύσματος πάνω σ διάνυσμα, κφράζουμ τα διανύσματα B = u, Δ = v συναρτήσι των διανυσμάτων Β = u, Δ = v και n. Έτσι έχουμ

6 un ( ), vn u = = = u n u u n n v v n= v ( v n) n, n n αφού ίναι n =. Εύκολα διαπιστώνουμ ότι: u n= u n και v n= v n και από τις ιδιότητς του μικτού γινομένου προκύπτι u v n = u v n = u v n = u v n γιατί = ( ) ( ) ( ) ( ) = ( v u) n = ( v u) n = v ( u n) = ( ) = ( ) = ( ) = u v n cos ( u v, n) = u v =Ε, cos ( u v, n ) =±, u v u n v u n u v n n και αφού τα v και n ίναι συγγραμμικά.