MyΤeachers.gr ΟΝΟΜΑ : ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:./../.. ΒΑΘΜΟΣ : /100 ΔΙΑΡΚΕΙΑ : 180 ΛΕΠΤΑ ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑΤΑ Α1. Έστω μια συνάρτηση η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα. Αν σε κάθε εσωτερικό σημείο του, τότε να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο. Μονάδες 8 Α2. Έστω μία συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα διάστημα. Να διατυπώσετε τον ορισμό της αρχικής συνάρτησης ή παράγουσας της f στο. Α3. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει στο x 0 A (ολικό) μέγιστο, το f(x 0 ); Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. Σελίδα 1 από 5
(α) Αν f(x) = α x, α > 0, τότε ισχύει (α x ) =xα x 1 (β) Υπάρχουν συναρτήσεις που είναι 1 1, αλλά δεν είναι γνησίως μονότονες. (γ) Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα [α, β] και ισχύει f(x)<0 για κάθε x [α, β], τότε το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της f, τις ευθείες x=α, x=β και τον άξονα ( ) f ( x )dx (δ) Αν μια συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο IR και στρέφει τα κοίλα προς τα άνω, τότε κατ ανάγκη θα ισχύει f ( x ) > 0 για κάθε πραγματικό αριθμό x. (ε) Η εικόνα f(δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς συνάρτησης f είναι διάστημα. ΘΕΜΑ Β Σελίδα 2 από 5 Μονάδες 10 Β1. Έστω συνάρτηση f: (0, + ) R, για την οποία ισχύει : f(x y) = f(x) f(y) + xy x y 1 για κάθε x, yεr. (α) Να βρεθεί το f(1) (β) Εάν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x =1 με f (1) = 3 να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο (0, + ) και να βρεθεί ο τύπος της. (γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=2x στο (0,2)
Β2. Δίνεται η συνάρτηση h(x) = x 3 + 3x 2 + 3x (α) Να δείξετε ότι αντιστρέφεται και να βρείτε την h -1 Μονάδες 6 (β) Να βρείτε το εμβαδόν που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της h και την γραφική παράσταση της h -1 ΘΕΜΑ Γ Μονάδες 7 Γ1. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = xln 2 x + 2x και έστω F μια αρχική της f για x>0 με F(1)=0 (α) Να δείξετε ότι η F είναι γνησίως αύξουσα και κυρτή 3 (β) Να δείξετε ότι F(x)dx > 1 (γ) Nα λυθεί η ανίσωση F(x 2 ) F(x + 2) < e x+2 e x2 4 Γ2. Μια συνάρτηση h είναι συνεχής στο (0, + ) και ισχύει h(10) = 1 και h(x) h(h(x)) = 1. Να βρείτε το h(5) 200 Μονάδες 7 Σελίδα 3 από 5
Γ3. Δίνεται συνάρτηση g: R R η οποία είναι γνησίως μονότονη στο R και ισχύει η σχέση g(e x ) + g(x + 1) = e x 1 για κάθε x R (α) Να δείξετε ότι είναι γνησίως αύξουσα στο R (β) Να βρείτε το πρόσημό της. ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f :R R, η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις: f (x) f (x) = (4x + 2)e x, για κάθε x R (1) f (0) = f (0) = 0 (2) Δ1. Να αποδείξετε ότι f (x) = x 2 e x, x R Δ2. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f Δ3. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Δ4. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ1, ξ 2 ( 1, 1) τέτοια, ώστε f (ξ1 ) f (ξ 2 ) = 3 Δ5. Να υπολογίσετε το όριο lim x x x 1 f(t)dt Σελίδα 4 από 5
ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζόμενους) 1.Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα. Στο εσώφυλλο πάνω-πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά στοιχεία μαθητή. Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω-πάνω την ημερομηνία και το εξεταζόμενο μάθημα. Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και να μη γράψετε πουθενά στις απαντήσεις σας το όνομά σας. 2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό με μελάνι που δεν σβήνει. Μολύβι επιτρέπεται, μόνο αν το ζητάει η εκφώνηση, και μόνο για πίνακες, διαγράμματα κλπ. 4.Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. Διάρκεια εξέτασης: Τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!!! Σελίδα 5 από 5