A. Να αποδείξετε ότι, αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο x 0, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. Μονάδες 8

Transcript

1 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΘΕΜΑ o ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 9 ΜΑΪΟΥ 3 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ A. Να αποδείξετε ότι, αν μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο x, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. Μονάδες 8 Β. Τι σημαίνει γεωμετρικά το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού; Μονάδες 7 Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Αν z ένας μιγαδικός αριθμός και _ z ο συζυγής του, τότε ισχύει z = z = z. Μονάδες β. Έστω μία συνάρτηση συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δύο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Αν (x)> για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η είναι κυρτή στο Δ. Μονάδες ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

2 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ γ. Για κάθε συνάρτηση, παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ, ισχύει ( x)dx= (x) + c, c IR. Μονάδες δ. Αν μια συνάρτηση είναι κυρτή σε ένα διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται «πάνω» από τη γραφική της παράσταση. Μονάδες ε. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η είναι παραγωγίσιμη στο x και (x )=, τότε η παρουσιάζει υποχρεωτικά τοπικό ακρότατο στο x. ΘΕΜΑ ο Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί όπου α,β IR ο συζυγής του z. Μονάδες z=α+βi, και w=3z i _ z _ +4, όπου z είναι α. Να αποδείξετε ότι Re(w)=3α β+4 Ιm(w)=3β α. Μονάδες 6 β. Να αποδείξετε ότι, αν οι εικόνες του w στο μιγαδικό επίπεδο κινούνται στην ευθεία με ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

3 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ εξίσωση y=x, τότε οι εικόνες του z κινούνται στην ευθεία με εξίσωση y=x. Μονάδες 9 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

4 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ γ. Να βρείτε ποιος από τους μιγαδικούς αριθμούς z, οι εικόνες των οποίων κινούνται στην ευθεία με εξίσωση y=x, έχει το ελάχιστο μέτρο. Μονάδες ΘΕΜΑ 3ο Έστω η συνάρτηση (x) = x 5 +x 3 +x. α. Να μελετήσετε την ως προς την μονοτονία και τα κοίλα και να αποδείξετε ότι η έχει αντίστροφη συνάρτηση. Μονάδες 6 β. Να αποδείξετε ότι (e x ) (+x) για κάθε x IR. Μονάδες 6 γ. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο σημείο (,) είναι ο άξονας συμμετρίας των γραφικών παραστάσεων της και της. Μονάδες 5 δ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της, τον άξονα των x και την ευθεία με εξίσωση x=3. Μονάδες 8 ΘΕΜΑ 4ο Έστω μια συνάρτηση συνεχής σ ένα διάστημα [α,β] που έχει συνεχή δεύτερη παράγωγο στο ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

5 ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ (α,β). Αν ισχύει (α) = (β) = και υπάρχουν αριθμοί γ (α,β), δ (α,β), έτσι ώστε (γ) (δ)<, να αποδείξετε ότι: ΤΕΛΟΣ 5ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

6 ΑΡΧΗ 6ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ α. Υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης (x)= στο διάστημα (α,β). Μονάδες 8 β. Υπάρχουν σημεία ξ, ξ (α,β) τέτοια ώστε (ξ )< και (ξ )>. Μονάδες 9 γ. Υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της. Μονάδες 8 ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζόμενους). Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, κατεύθυνση, εξεταζόμενο μάθημα). Τα θέματα δεν θα τα αντιγράψετε στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Δεν επιτρέπεται να γράψετε καμιά άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Κάθε απντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. Διάρκεια εξέτασης: Τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: Μετά την.3 πρωινή. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ 6ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

7 ΑΡΧΗ 7ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Θέμα ο Α. Θεωρία βιβλίου σελ. 7 Β. Θεωρία βιβλίου σελ. 47 Γ. α. Σ β. Σ γ. Σ δ. Λ ε. Λ Θέμα ο α) z=α+βi z = a βi α, β R w=3(α+βi)-i(α-βi)+4=3α+3βi-αi-β+4= (3α-β+4)+i(3β-α) Re(w)=3α-β+4 Im (w)=3β-α β) Έστω w=x+yi οπότε ισχύει y=x- () x, y R x = 3a β + 4 () αλλά 3β α = 3α β + 4 y = 3β α 4α-4β=8 α-β= β=α- δηλαδή οι εικόνες του z κινούνται στην ευθεία με εξίσωση y=x- γ) z=α+βi και είναι σημείο της y=x- Ελάχιστο μέτρο θα έχει ο μιγαδικός που έχει εικόνα το σημείο τομής της (ε) και της κάθετης από το στην (ε) η οποία έχει εξίσωση y=-x ως κάθετη στη προηγούμενη y = x x = x x = y = x y = x y = Σημειο τομής (, -) δηλαδή z=-i Θέμα 3 ο ορίζεται στο R, είναι συνεχής και παραγωγίσιμη ως πολυωνυμική α) (x)=5x +3x +> για κάθε x R στο R (x)=x 3 +6x=x(x +3) ΤΕΛΟΣ 7ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

8 ΑΡΧΗ 8ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ! " κοίλη στο (-, ] κυρτή στο [, + ) γνησίως μονότονη στο R είναι - άρα έχει αντίστοφη συνάρτηση β) (e x ) (+x), x R e x +x, x R που ισχύει γιατί: Θέτω g(x)=e x -x- για κάθε x R και είναι g (x) =e x - g (x)= x= g(x) g(), x R e x -x- e x x+, x R - + g - + g γ) Η εφαπτομένη της C στο (,) έχει εξίσωση y () = ()( x ) y = x () = και () = που είναι προφανώς άξονας συμμετρίας των και - δ) C - 3 y=x x=3 Βρίσκω τα όρια ολοκλήρωσης - (x) = ( - (x))=() δηλαδή x=() x= H - είναι - αφού αντιστρέψιμη άρα δεν έχει άλλες ρίζες E( Ω ) = 3 ( x) dx () ΤΕΛΟΣ 8ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

9 ΑΡΧΗ 9ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ - διατηρεί πρόσημο στο [,3] ως συνεχής - (3)=> - > 3 () ( x) dx Θέτω x=(u) () u ( ) ( u) du x= (u)= 4= x=3 (u)=3 4= [ u ( u) ] ( u) du = () 5 3 = u ( u) du = ( ) du 6 u ()- 6 4 u + 4 u + = = 3 = 5 Θέμα 4 ο α) Προφανώς γ δ (Αν ήταν γ=δ τότε (γ)< άτοπο) Χωρίς περιορισμό της γενικότητας υποθέτω γ<δ, συνεχής στο [γ,δ] [α,β] (γ) (δ)< Άρα από θ Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ρίζα x (γ,δ) της δηλ. (x )= β) x x x x 4 x 3 α γ δ β Επειδή (γ) (δ)< υποθέτω: (γ)< και (δ)> (Σε αντίθετη περίπτωση η απόδειξη είναι όμοια) συνεχής στο [ α, γ ] παραγ. στο ( α, γ ) Υ πάρχει τουλάχιστον x ( a, γ ).. Τ ( γ ) ( a) ( γ ) ( x) = = < γ α γ α Θ Μ συνεχής στο [ γ, x ] παραγ. στο ( γ, x ) Υ πάρχει τουλάχιστον x ( γ, x ).. Τ ( x ) ( γ ) ( γ ) ( x ) = = > x γ x γ Θ Μ ΤΕΛΟΣ 9ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

10 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ συνεχής στο [ x, x παραγ. στο ( x, x ) ] Θ.. Μ Τ Υπάρχει τουλάχιστον ξ ( x, x και άρα ξ ( α, β ) ( x ) ( x) ( ξ) = > x x ) Όμοια με ΘΜΤ στα [δ,β], [x,δ] εξασφαλίζω την ύπαρξη σημείων: x 3 (δ,β): (x 3 )< x 4 (x,δ): (x 4 )> οπότε με ΘΜΤ στο [x 4,x 3 ] υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (x 4,x 3 ) και άρα ξ (α,β): ( x3 ) ( x4 ) ( ξ ) = < x3 x4 Άρα υπάρχουν ξ,ξ (α,β): (ξ ) (ξ )< γ) Από το (β) διαπιστώνω ότι: συνεχής στο κλειστό διάστημα με άκρα ξ,ξ (ξ ) (ξ )< Άρα από Θ. Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ μεταξύ των ξ,ξ για το οποίο ισχύει (ξ ) δηλαδή (ξ,(ξ )) είναι πιθανό σημείο καμπής Προσοχή Η παραπάνω προσέγγιση δίνει πιθανό σημείο καμπής. Σε καμία περίπτωση δεν εξασφαλίζει την ύπαρξη ενός τουλάχιστον σημείου καμπής. Αυτό δεν μπορεί να αποδειχθεί αφού υπάρχουν συναρτήσεις που ικανοποιούν τις προϋποθέσεις όλες και δεν εμφανίζουν σημείο καμπής. Σύμφωνα όμως με τα δημοσιεύματα του τύπου η παραπάνω προσέγγιση βαθμολογείται με το άριστα δηλαδή 8μ. ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ