Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Θεωρία - Μέθοδοι

Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχολογική Κατεύθυση Θεωρία - Μέθοδοι

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Μάθημα ο ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Η εξίσωση x δε έχει λύση στο σύολο τω πραγματικώ αριθμώ, αφού το τετράγωο κάθε πραγματικού αριθμού είαι μη αρητικός αριθμός Για α ξεπεράσουμε τη «αδυαμία» αυτή, διευρύουμε το σύολο σε έα σύολο, το οποίο θα έχει τις ίδιες πράξεις αλλά και τις ίδιες ιδιότητες τω πράξεω αυτώ με το, και στο οποίο θα υπάρχει μία τουλάχιστο ρίζα της εξίσωσης x, δηλαδή έα στοιχείο i, τέτοιο, ώστε i Στο σύολο, δεχόμαστε ότι η εξίσωση x επιλύεται ως εξής: x i x ή x i Σύμφωα με τις παραδοχές αυτές το διευρυμέο σύολο θα έχει ως στοιχεία: Όλους τους πραγματικούς αριθμούς Όλα τα στοιχεία της μορφής β i, δηλαδή όλους τους αριθμούς που είαι που είαι γιόμεα τω στοιχείω β του με το i και τα οποία καλούται φαταστικοί αριθμοί Το σύολο τω φαταστικώ αριθμώ συμβολίζεται με», δηλαδή»{βi, όπου β και i } Όλα τα αθροίσματα της μορφής α + βi, με α και β πραγματικούς αριθμούς Τα στοιχεία του λέγοται μιγαδικοί αριθμοί και το σύολο τω μιγαδικώ αριθμώ Επομέως: Το σύολο τω μιγαδικώ αριθμώ είαι έα υπερσύολο του συόλου τω πραγματικώ αριθμώ, στο οποίο: Επεκτείοται οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού έτσι, ώστε α έχου τις ίδιες ιδιότητες όπως και στο, με το μηδέ (0) α είαι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης και το έα () το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού, Υπάρχει έα στοιχείο i τέτοιο, ώστε i, Κάθε στοιχείο του γράφεται κατά μοαδικό τρόπο με τη μορφή α + βi, όπου α, β

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ Μάθε καλά τα επόμεα Κάθε μιγάδας έχει τη μορφή α + βi με α, β Είαι λοιπό αλγεβρικό άθροισμα δυο αριθμώ, του πραγματικού α και του φαταστικού αριθμού β i Ο α λέγεται πραγματικό μέρος του και σημειώεται Re( ) Ο β λέγεται φαταστικό μέρος του και σημειώεται Im( ) Στο σύολο στο, κάθε πραγματικός αριθμός α εκφράζεται ως α + 0i, εώ κάθε φαταστικός αριθμός β i εκφράζεται ως 0 + βi Στη συέχεια, ότα λέμε ο μιγαδικός α + βi, εοούμε ότι οι α και β είαι πραγματικοί αριθμοί και το γεγοός αυτό δε θα τοίζεται ιδιαίτερα Καθαρός μιγαδικός λέγεται ο α + βi, ότα α 0 και β 0 Το σύολο τω καθαρώ μιγαδικώ το συμβολίζουμε με - Ισότητα Μιγαδικώ Αριθμώ Επειδή κάθε μιγαδικός αριθμός γράφεται με μοαδικό τρόπο στη μορφή α + βi, δύο μιγαδικοί αριθμοί α + βi και γ + δi είαι ίσοι, α και μόο α α γ και β δ Δηλαδή ισχύει: α + βi γ + δi α γ και β δ Επειδή 0 0 + 0i, έχουμε α + βi 0 α 0 και β 0 Μετά το ορισμό της ισότητας μιγαδικώ αριθμώ δημιουργείται το ερώτημα α διατάσσοται οι μιγαδικοί αριθμοί Γωρίζουμε ότι, κατά τη επέκταση από το Õ στο Ÿ, οι πράξεις, η διάταξη και οι ιδιότητες αυτώ οι οποίες ισχύου στο Õ, μεταφέροται και στο Ÿ Τα ίδια συμβαίου και για τις επεκτάσεις από το Ÿ στο και από το στο Στη επέκταση, όμως, από το στο, εώ οι πράξεις και οι ιδιότητες αυτώ που ισχύου στο εξακολουθού α ισχύου και στο, ε τούτοις η διάταξη και οι ιδιότητές της δε μεταφέροται, δηλαδή οι έοιες >,, <, μεταξύ δυο μιγαδικώ ή δυο φαταστικώ, ή μεταξύ εός μιγαδικού και εός φαταστικού δε έχου όημα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Πρόσεξε λοιπό ότι α ισχύει η σχέση α + βi γ + δi, αυτό θα σημαίει ότι βρίσκεσαι στους πραγματικούς αριθμούς, οπότε: β δ 0 και α γ Ατίστοιχα συμπεράσματα έχουμε και στις σχέσεις α + βi > γ + δi, α + βi γ + δi, α + βi < γ + δi Επίσης δε υπάρχου θετικοί ή αρητικοί μιγαδικοί ή φαταστικοί αριθμοί Πρόσεξε λοιπό ότι α ισχύει η σχέση α + βi 0, αυτό θα σημαίει ότι βρίσκεσαι στους πραγματικούς αριθμούς, οπότε: β 0 και α 0 Ατίστοιχα συμπεράσματα έχουμε και στις σχέσεις α + βi > 0, α + βi 0, α + βi < 0 Γεωμετρική Παράσταση Μιγαδικώ Kάθε μιγαδικό αριθμό α + βi μπορούμε α y το ατιστοιχίσουμε στο σημείο M( α, β) εός καρτεσιαού επιπέδου και ατίστροφα, M(α,β) ή Μ() β κάθε σημείο M( α, β) του καρτεσιαού αυτού επιπέδου μπορούμε α το ατιστοιχίσουμε στο μιγαδικό α + βi Το σημείο M λέγεται εικόα του μιγαδικού α + βi A θέσουμε Ο a x α + βi, τότε το σημείο M( α, β) μπορούμε α το συμβολίζουμε και με M () Έα καρτεσιαό επίπεδο του οποίου τα σημεία είαι εικόες μιγαδικώ αριθμώ θα ααφέρεται ως μιγαδικό επίπεδο Ο άξοας x x λέγεται πραγματικός άξοας, αφού αήκου σε αυτό τα σημεία M( α,0) που είαι εικόες τω πραγματικώ αριθμώ α α + 0i, εώ ο άξοας y y λέγεται φαταστικός άξοας, αφού αήκου σε αυτό τα σημεία M(0, β ) που είαι εικόες τω φαταστικώ β i 0 + βi Έας μιγαδικός α + βi παριστάεται επίσης και με τη διαυσματική ακτία, OM, του σημείου M( α, β) Οι πράξεις στο σύολο σύολο τω μιγαδικώ αριθμώ Σύμφωα με το ορισμό του, η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός δύο μιγαδικώ αριθμώ γίοται όπως ακριβώς και οι ατίστοιχες πράξεις με διώυμα α + βx στο, όπου βέβαια ατί για x έχουμε το i Έτσι:

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ Για τη πρόσθεση δύο μιγαδικώ αριθμώ α + βi και γ + δi ( α + βi) + ( γ + δi) ( α + γ) + ( β + δ)i έχουμε: Για παράδειγμα, ( 3 + 4i) + (5 6i) (3 + 5) + (4 6)i 8 i Για τη πρόσθεση ισχύου οι γωστές ιδιότητες: Ατιμεταθετική, δηλαδή + +, για κάθε, Προσεταιριστική, δηλαδή + ( + 3) ( + ) + 3, για κάθε,, 3 3 Έχει ουδέτερο στοιχείο το 0, δηλαδή + 0 0 +, για κάθε 4 Για κάθε μιγαδικό αριθμό υπάρχει μοαδικός μιγαδικός αριθμός τέτοιος ώστε α ισχύει: + + 0 Ο καλείται ατίθετος του και συμβολίζεται με Ισχύει λοιπό ότι + ( ) ( ) + 0 Α α + βi, τότε α βi, δηλαδή Re( ) Re() και Im( ) Im() Για τη αφαίρεση του μιγαδικού αριθμού γ + δi από το α + βi, επειδή ο ατίθετος του μιγαδικού γ + δi είαι ο μιγαδικός γ δi, έχουμε: ( α + βi) ( γ + δi) ( α + βi) + ( γ δi) ( α γ) + ( β δ)i Δηλαδή ( α + βi) ( γ + δi) ( α γ) + ( β δ) i Για παράδειγμα ( 3 + 4i) (5 6i) (3 5) + (4 + 6)i + 0i Α M ( α, β) και M ( γ, δ) είαι οι εικόες τω α + βi και γ + δi ατιστοίχως στο y μιγαδικό επίπεδο, τότε το άθροισμα ( α + βi) + ( γ + δi) ( α + γ) + ( β + δ)i παριστάεται με το σημείο M( α + γ, β + δ) M (γ,δ) M(α+γ,β+δ) Επομέως, OM OM + OM, δηλαδή: Ο M (α,β) x Η διαυσματική ακτία του αθροίσματος τω μιγαδικώ α + βi και γ + δi είαι το άθροισμα τω διαυσματικώ ακτίω τους

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Επίσης, η διαφορά ( α + βi) ( γ + δi) ( α γ) + ( β δ)i παριστάεται με το σημείο N( α γ, β δ) y Ο Μ (γ,δ) Μ (α,β) x Επομέως, ON OM OM, δηλαδή: Η διαυσματική ακτία της διαφοράς τω μιγαδικώ α + βi και γ + δi είαι η διαφορά τω διαυσματικώ ακτίω τους Για το πολλαπλασιασμό δύο μιγαδικώ α + βi και γ + δi έχουμε: ( α + βi)( γ + δi) α( γ + δi) + βi( γ + δi) αγ + αδi + βγi + ( βi)( δi) αγ + αδi + βγi + βδi αγ + αδi + βγi βδ ( αγ βδ) + ( αδ + βγ)i Δηλαδή, ( α + βi)( γ + δi) ( αγ βδ) + ( αδ + βγ) i Για παράδειγμα, Μ 3 ( γ, δ) Ν(α γ,β δ) ( 3 + 4i) ( 5 6i) 5 8i + 0i 4i ( 5 + 4) + ( 0 8)i 39 + i α + βi Τέλος, για α εκφράσουμε το πηλίκο, όπου γ + δi 0, στη μορφή γ + δi κ + λi, πολλαπλασιάζουμε τους όρους του κλάσματος με το συζυγή του παροομαστή και έχουμε: α + βi ( α + βi)( γ δi) ( αγ + βδ) + ( βγ αδ)i αγ + βδ βγ αδ + i γ + δi ( γ + δi)( γ δi) γ + δ γ + δ γ + δ Δηλαδή, α + βi γ + δi γ αγ + βδ + δ βγ αδ + i γ + δ Για παράδειγμα: + i ( + i)( + 3i) + 6i + i + 3i 3i ( 3i)( + 3i) + 9 + 7i 0 Δύαμη Μιγαδικού Οι δυάμεις εός μιγαδικού αριθμού με εκθέτη ακέραιο ορίζοται ακριβώς όπως και στους πραγματικούς, δηλαδή ορίζουμε:,,, και γεικά, για κάθε θετικό ακέραιο, με > Επίσης, α 0, ορίζουμε 0, για κάθε θετικό ακέραιο 0 + 7 0 i

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ Για τις δυάμεις τω μιγαδικώ αριθμώ ισχύου οι ίδιες ιδιότητες που ισχύου και για τις δυάμεις τω πραγματικώ αριθμώ Ιδιαίτερα για τις δυάμεις του i έχουμε: 0 3 i, i i, i, i i i i Στη συέχεια, παρατηρούμε ότι είαι: i 4 i i, i 5 4 i i i i, i 6 i 4 i i, i 7 i 4 i 3 i 3 i, 4 δηλαδή, μετά το i οι τιμές του i επααλαμβάοται Άρα, για α υπολογίσουμε συγκεκριμέη δύαμη του i, γράφουμε το εκθέτη στη μορφή 4 ρ + υ, όπου ρ το πηλίκο και υ το υπόλοιπο της ευκλείδειας διαίρεσης του με το 4, οπότε έχουμε:, α υ 0 4ρ+υ 4ρ υ 4 ρ υ ρ υ υ i, α υ i i i i (i ) i i i -, α υ i, α υ 3 4 3 4+ Για παράδειγμα: i i i i 6 i 4 4+ 0 Ο συζυγής εός μιγάδα i 0 9 4 4+ 3 3, i i i i 4 5+, i i i i Έστω ο μιγαδικός αριθμός α + βi Το μιγαδικό με το ίδιο πραγματικό μέρος και ατίθετο φαταστικό, δηλαδή το α βi το λέμε συζυγή του α + βi και το συμβολίζουμε α + βi α + βi Ιδιότητες Συζυγώ Επειδή οι συζυγείς μιγαδικοί, όπως θα δούμε στις επόμεες παραγράφους, μας διευκολύου στη μελέτη τω μιγαδικώ αριθμώ, θα ααφερθούμε ιδιαιτέρως σε αυτούς Ειδικότερα, έχουμε: ( α + βi)( α βi) α + β, δηλαδή α + β Επειδή είαι και α βi α + βi, οι α + βi, α βi λέγοται συζυγείς μιγαδικοί Πρόσεξε ότι ισχύει η σχέση Επίσης ισχύει α + β, α + βi και α βi

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόες M( α, β) και M ( α, β) δύο συζυγώ μιγαδικώ α + βi και α βi είαι σημεία συμμετρικά ως προς το πραγματικό άξοα y Ο M() x Για δύο συζυγείς μιγαδικούς αριθμούς α + βi και α βi μπορούμε εύκολα, με εκτέλεση τω πράξεω, α διαπιστώσουμε ότι: + α Re() και βi Im() Α α + βi και γ + δi είαι δυο μιγαδικοί αριθμοί, τότε: M () + + 3 4 Οι ιδιότητες αυτές μπορού α αποδειχτού με εκτέλεση τω πράξεω Για παράδειγμα έχουμε: + ( α + βi) + ( γ + δi) ( α + γ) + ( β + ) i δ ( α + γ) ( β + δ)i ( α βi) + ( γ δi) + Οι παραπάω ιδιότητες και 3 ισχύου και για περισσότερους από δυο μιγαδικούς αριθμούς Είαι δηλαδή: Α είαι Για παράδειγμα, + + + + + + και, τότε η τελευταία ισότητα γίεται: ( ) ( ) 3i 4 + 5i 3 3i 4 + 5i 3 3 + 3i 4 5i Μέθοδος Να ξέρεις ότι α τότε και ατίστροφα Να ξέρεις ότι α τότε» και ατίστροφα Απόδειξη Έστω α + βi, οπότε α βi

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ Α Α α + βi α βi βi 0 β 0 α + βi ( α βi) α + βi α + βi α 0 α 0» Επίλυση της Εξίσωσης α +β+γ0 με α,β και α 0 Επειδή i και ( i) i, η εξίσωση x έχει στο σύολο τω μιγαδικώ αριθμώ δύο λύσεις, τις x i και i Ομοίως, η εξίσωση x 4 έχει στο σύολο τω μιγαδικώ αριθμώ δύο λύσεις, τις x i και x i, αφού 4 i 4 (i) i ή i Εύκολα, όμως, μπορούμε α διαπιστώσουμε ότι και κάθε εξίσωση δεύτερου βαθμού με πραγματικούς συτελεστές έχει πάτα λύση στο σύολο C Πράγματι, έστω η εξίσωση α + β + γ 0, με α, β, γ και α 0 Εργαζόμαστε όπως στη ατίστοιχη περίπτωση στο και τη μετασχηματίζουμε, με τη μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώω, στη μορφή: β Δ +, όπου Δ β 4αγ η διακρίουσα της εξίσωσης α 4α Έτσι, έχουμε τις εξής περιπτώσεις: Δ > 0 Tότε η εξίσωση έχει δύο πραγματικές λύσεις: Δ 0 Tότε έχει μια διπλή πραγματική λύση: Δ < 0 Tότε, επειδή γράφεται: Δ ( )( Δ) i x β α Δ), 4α 4α (α) ( β ± Δ α i Δ, η εξίσωση α β i Δ + Άρα οι λύσεις της είαι: α α β ± i Δ,, οι οποίες είαι συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί α Για παράδειγμα, η εξίσωση 5 + 6 0 έχει Δ 5 4 > 0 και οι λύσεις 5 + 5 της είαι: 3, Όμως, η εξίσωση + 0 έχει Δ 4 8 4 < 0 και οι λύσεις της είαι οι συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί: + i 4 i 4 + i, i ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Παρατηρούμε ότι και εδώ ισχύου οι σχέσεις: (Τύποι του Vietta) β + και α γ α

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΦΑΡΜΟΓH Για τις διάφορες τιμές του θετικού ακέραιου α υπολογιστεί το 3 άθροισμα S i + i + i + + i ΛΥΣΗ Οι προσθετέοι του αθροίσματος έχου πλήθος και είαι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο i και λόγο επίσης i Επομέως, i S i, οπότε, λόγω της ισότητας 4 ρ + υ της ευκλείδειας διαίρεσης του i με το 4, έχουμε τις εξής περιπτώσεις: υ 0 Τότε 4 ρ, οπότε S i 0 i i υ Τότε 4 ρ +, οπότε S i i i i i i(i + ) υ Τότε 4 ρ +, οπότε S i i i i i i υ 3 Τότε 4 ρ + 3, οπότε S i i i ΕΦΑΡΜΟΓH Να βρεθεί το σύολο τω εικόω τω μιγαδικώ στις περιπτώσεις κατά τις οποίες ο αριθμός είαι α) φαταστικός β) πραγματικός i ΛΥΣΗ Α x + yi, τότε: i (x ) + yi x + (y )i (x x + y x y) + i(x + y ) + (y ) x x + y y x + y + i x + (y ) x + (y ) Επομέως: x x + y y α) Ο αριθμός είαι φαταστικός, α και μόο α 0, i x + (y ) δηλαδή, α και μόο α x x + y y 0 και x + (y ) 0 ή, ισοδύαμα, 5 x + (y ) και ( x, y) (0,) 4 Άρα, το σύολο τω εικόω του είαι τα σημεία του κύκλου με κέτρο 5 K, και ακτία, με εξαίρεση το σημείο ( 0,)

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ x + y β) Ο αριθμός είαι πραγματικός, α και μόο α 0, i x + (y ) δηλαδή, α και μόο α x + y 0 και x + (y ) 0 Άρα, το σύολο τω εικόω του είαι τα σημεία της ευθείας με εξίσωση x + y 0, με εξαίρεση το σημείο ( 0,) ος Τρόπος Για α ορίζεται το κλάσμα αρκεί i 0 i x + yi 0 + i Για α ισχύει αυτό αρκεί α μη ισχύει ταυτόχροα ότι x 0 και y α) Για α είαι ο αριθμός φαταστικός αρκεί και πρέπει i i i i i i i + ( )( + i) ( i)( + ) i + i i + i + i i + + i i ( + ) + i( ) 0() + i i 0 Ξέρουμε ότι α x + yi τότε x + y, + x και yi, οπότε ατικαθιστώτας στη () έχουμε: (x + y ) x + iyi 0 x + y x 4y 0 και διαιρώτας και τα δυο μέλη δια του, έχουμε x + y x y 0 που είαι εξίσωση του κύκλου 5 x + (y ) Όμως το σημείο (0,) επαληθεύει τη εξίσωσή του 5 5 διότι 0 + ( ) + 4 4, οπότε πρέπει α το εξαιρέσουμε β) Για α είαι ο αριθμός πραγματικός αρκεί και πρέπει i i i i i i i i + i ( )( + i) ( i)( ) i + i + i i i + i + i + i 4i 0 ( ) + i( + ) 4i 0 () Ξέρουμε ότι α x + yi τότε x + y, + x και yi, οπότε ατικαθιστώτας στη () έχουμε: yi + ix 4i 0 i(y + x ) 0 x + y 0 Όμως το σημείο (0,) επαληθεύει τη εξίσωση γιατί 0 + 0, οπότε πρέπει α το εξαιρέσουμε

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ Μάθημα ο ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Ορισμός Έστω ο μιγαδικός αριθμός x + yi Ορίζουμε ως μέτρο του και συμβολίζουμε, το μη αρητικό αριθμό x + y 0 Τι εκφράζει γεωμετρικά το μέτρο εός μιγαδικού; Α M (x, y) η εικόα του μιγαδικού x + yi στο μιγαδικό επίπεδο, τότε το μέτρο εκφράζει το μήκος της διαυσματικής ακτίας OM του σημείου Μ, δηλαδή εκφράζει τη απόσταση του σημείου Μ από τη αρχή τω αξόω, οπότε OM x + y 0 y β Ο a M(x,y) x Για παράδειγμα, 3 4i 3 + ( 4) 5 Ότα ο μιγαδικός είαι πραγματικός, δηλαδή είαι της μορφής x + 0i x, τότε x + 0 x, που είαι η γωστή μας απόλυτη τιμή του πραγματικού αριθμού x Ότα ο μιγαδικός είαι φαταστικός, δηλαδή είαι της μορφής 0 + yi y, τότε 0 + y y Πρόσεξε! ότι α, δηλαδή α δυο μιγαδικοί είαι ίσοι τότε και τα μέτρα τους θα είαι ίσα Πρόσεξε! ότι το ατίστροφο δε ισχύει, δηλαδή α δυο μιγαδικοί έχου ίσα μέτρα, τότε δε είαι κατ αάγκη ίσοι Αυτό σημαίει ότι: από ισότητα μιγάδω περάμε άφοβα σε ισότητα μέτρω, από ισότητα μέτρω δε περάμε σε ισότητα μιγάδω!

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ξέρουμε ότι στο σύολο τω πραγματικώ αριθμώ η εξίσωση λύση x ρ ή x ρ Πρόσεξε! τώρα το εξής: x ρ, με ρ > 0, έχει Στο σύολο τω μιγαδικώ η ατίστοιχη εξίσωση ρ, με ρ > 0, έχει για λύση όλους τους μιγαδικούς αριθμούς τω οποίω οι εικόες βρίσκοται πάω στο κύκλο με κέτρο τη αρχή τω αξόω Ο και ακτία το θετικό αριθμό ρ, δηλαδή η εξίσωση ρ με ρ > 0, είαι εξίσωση γεωμετρικού τόπου και μάλιστα κύκλου! Απόδειξη ος τρόπος (αλγεβρικός): ρ x + y ρ x + y ρ ος τρόπος (γεωμετρικός): ρ OM ρ, οπότε αφού η εικόα Μ του μιγαδικού απέχει από τη αρχή τω αξόω απόσταση ρ, συμπεραίουμε ότι ο γεωμετρικός τόπος τω εικόω Μ είαι ο κύκλος κέτρου Ο και ακτίας ρ > 0 Ποιες ιδιότητες έχει το μέτρο εός μιγαδικού αριθμού;,, 3 0, 4, 5, 6, 7 Επίσης, από τη γωστή μας τριγωική αισότητα και από τη γεωμετρική ερμηεία του αθροίσματος + και της διαφοράς δύο μιγαδικώ προκύπτει ότι: y M ( ) M ( ) M( + ) + + Ο x Είαι OM ( OM ) + και N( ) M 3 ( )

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ ON M M ( M M ) Σχόλιο: Μάθε τα ακόλουθα πάρα πολύ καλά!!! Το μέτρο του διαύσματος ON είαι ίσο με το μέτρο του διαύσματος M M Επομέως: Το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικώ είαι ίσο με τη απόσταση τω εικόω τους, δηλαδή: M M ) ( Έστω η εξίσωση ( + i) 3 () Α καλέσουμε Μ τη εικόα του και Κ τη εικόα του + i, τότε η σχέση () παίρει τη μορφή (ΜΚ)3, που σημαίει ότι η εικόα Μ του απέχει από το σημείο Κ σταθερή απόσταση ίση με 3, άρα η () είαι εξίσωση κύκλου με κέτρο το σημείο K (,) και ακτία ρ 3 y K(,) Ο x Γεικά, η εξίσωση: 0 ρ, ρ > 0, παριστάει το κύκλο με κέτρο το σημείο K( 0 ) και ακτία ρ Α λοιπό καλέσεις x + yi και 0 α + βi, τότε η εξίσωση του κύκλου είαι ( x α) + (y β) ρ Το κύκλο αυτό μπορεί α το βρίσκεις και αλγεβρικά ως εξής: 0 ρ (x + yi) ( α + βi) ρ ( x α) + (y β) i ρ ( x α) + (y β) ρ (x α) + (y β) ρ εξίσωση του κύκλου με κέτρο Κ(α,β) και ακτίας ρ > 0, που ως γωστό είαι Πρόσεξε! Α σου δίεται εξίσωση της μορφής λ 0 κ, κ > 0 και λ 0, τότε και αυτή είαι εξίσωση κύκλου, που θα τη επεξεργάζεσαι ως εξής: κ λ 0 κ λ( 0 κ λ 0 κ 0, η οποία είαι λ λ λ λ εξίσωση κύκλου με κέτρο το σημείο Κ που είαι η εικόα του μιγαδικού κ 0 και έχει ακτία ρ Η αλγεβρική της εξίσωση είαι: λ λ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ α β x y κ + λ, όπου x + yi και 0 α + βi λ λ y Έστω η εξίσωση ( + i) ( + 3i) () Α καλέσουμε Μ τη εικόα του, Α τη B(,3) εικόα του + i, Β τη εικόα του + 3i,τότε η σχέση () παίρει τη μορφή (ΜΑ)(ΜΒ), που σημαίει ότι η εικόα Μ του ισαπέχει από τα σημεία Α(,) και Β(-,3), άρα η εξίσωση αυτή είαι εξίσωση της μεσοκαθέτου του ευθύγραμμου τμήματος K Λ A(,) Ο x Τη εξίσωση της μεσοκαθέτου θα τη βρίσκουμε αλγεβρικά ως εξής: Έστω x + yi, α + βi και γ + δi, έχουμε: 3 Γεικά, η εξίσωση παριστάει τη μεσοκάθετο του τμήματος με άκρα τα σημεία A( ) και B( ), εφόσο (x + yi) ( α + βi) (x + yi) ( γ + δi) ( x α) + (y β) (x γ) + (y δ) (x α) + (y β) (x γ) + (y δ ) x αx + α + y βy + β x γx + γ + y δy + δ ( γ α)x + ( δ β)y 0 ( γ α)x + ( δ β)y 0 (3), η οποία εφόσο, θα είαι τουλάχιστο έας από τους αριθμούς γ α και δ β θα είαι διάφορος του μηδεός οπότε η (3) θα είαι εξίσωση ευθείας, δηλαδή η εξίσωση της μεσοκαθέτου του τμήματος με άκρα τα Α ( α, β) και Β ( γ, δ) Πρόσεξε! Α σου δίεται εξίσωση της μορφής λ λ και λ 0, τότε και αυτή είαι εξίσωση μεσοκαθέτου, τη οποία τη βρίσκεις ως εξής: λ λ λ λ, που είαι η λ λ λ λ εξίσωση της μεσοκάθετης του τμήματος με άκρα τα σημεία A και λ B λ Πρόσεξε! Τέλος η εξίσωση λ κ με κ, λ 0 και κ λ, είαι εξίσωση κύκλου (Απολλώιος Κύκλος), τη οποία θα τη βρίσκεις μόο αλγεβρικά!

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ 4 Στις ασκήσεις που έχου μέτρα και θέλουμε α απαλλαγούμε από αυτά, αφού εξασφαλίσουμε ότι και τα δυο μέλη είαι ομόσημα, υψώουμε στο τετράγωο (μέθοδος του τετραγωισμού) και χρησιμοποιούμε τη ιδιότητα, για κάθε μέτρο μιγάδα που είαι υψωμέο στο τετράγωο Τη σχέση αυτή τη χρησιμοποιούμε ότα θέλουμε α περάσουμε από μια σχέση που περιέχει το ή το σε μια σχέση που περιέχει μόο το 5 Ότα έας μιγάδας έχει μέτρο κ, με κ > 0, α ξέρεις ότι: κ κ κ κ ή Συήθως μας δίεται ότι, οπότε: ή () κ κ κ () Πρόσεξε! μη κάεις το λάθος και θεωρήσεις ότι, επειδή στους πραγματικούς ισχύει η σχέση η ατίστοιχη σχέση x x, θα ισχύει και στους μιγαδικούς, γιατί δε ισχύει! Θυμήσου ότι ισχύει Πρόσεξε! 6 Α α, τότε ο είαι πραγματικός και ατίστροφα, εώ, τότε ο είαι φαταστικός και ατίστροφα! Απόδειξη 0 Α 0 ( ) 0 ή 0 Α + 0 ( + ) 0 ή»