Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Έστω Α, Β, Κ, Λ και Μ τυχαία σημεία του χώρου Α ισχύει η σχέση ΑΚ + ΜΑ = ΚΒ 2ΑΒ + ΒΛ, να αποδείξετε ότι: α) τα σημεία Κ, Λ και Μ είναι συνευθειακά, β) ΚΛ ΚΜ, γ) ΚΛ = ΚΜ 2 Έστω ΑΒΓΔ ένα τυχαίο τετράπλευρο και Κ, Λ τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΓΔ αντίστοιχα α) να αποδείξετε ότι 2ΚΛ = ΑΓ + ΒΔ β) Να προσδιορίσετε σημείο Μ τέτοιο, ώστε ΜΑ + ΜΒ+ ΜΓ + ΜΔ = 0 Έστω για τα διαφ ορε τικ ά α νά δύ ο σ ημεία Α, Β, Γ ισχύει: λ 1 ΜΑ + ΜΒ = λμγ, για κάθε λ 0, 1 α Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά β Να βρείτε το λ ώστε το σημείο Γ να είναι μέσο του ΑΒ γ Αν ΜΓ = 1 να αποδείξετε ότι: ( ΜΑ ) + ( ΜΒ) 2 4 Έστω για τα διανύσματα α, βγ, ισχύει η σχέση: α β + 2γ = 0 i Αν τα α, βγ, είναι τα διανύσματα θέσης ως προς το Ο των σημείων Α, Β, Γ αντίστοιχα, να δείξετε ότι τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά ii Να βρείτε τη σχετική θέση των σημείων Α, Β, Γ του ερωτήματος i iii Αν α = 7 και β = γ = 1, να βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων β, γ 167

5 Έστω τα σημεία Α, Β στο επίπεδο με ΑΒ = 5 ΡΑ+ 2ΡΒ α Να βρείτε σημείο Θ τέτοιο ώστε: ΡΘ =, όπου Ρ τυχαίο σημείο στο επίπεδο 5 β Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ για τα οποία ισχύει: ΜΑ ΑΒ + 2ΜΒ ΑΒ = 0 6 Δίνονται τα διανύσματα u = ( x 2 + 1, y 2 + 1 ) α) τις τιμές των x και y, β) τον συντελεστή διεύθυνσης του u, και v= ( 2 y,2x) Αν u = v, να βρείτε: γ) τη γωνία που σχηματίζουν τα διανύσματα u και u με τον άξονα x' x 7 Σ ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ είναι Α(1, 4), Β(6, 5) και Γ(, 2) Να βρείτε: α) τις συντεταγμένες της κορυφής Δ, β) το κέντρο Κ του παραλληλογράμμ, ου γ) το σημείο Μ για το οποίο ισχύει ΜΑ + ΜΒ + ΜΓ + ΜΔ = 0 8 Δίνονται τα διανύσματα α = ( x,8 ) και β = ( 2, x) α) είναι α // β, β) είναι α β, γ) το διάνυσμα u = α + β έχει μέτρο 6 Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες: 9 Δίνονται τα διανύσματα α = ( 2, ) και β = ( 1, 2) α Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος ν = α 5β και τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x'x β Να γράψετε το διάνυσμα u = j ως γραμμικό συνδυασμό των α, β και να βρείτε τις συνιστώσες που αναλύεται το u από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη στο α και η άλλη στο β 10 Έστω το διάνυσμα ν που έχει μέτρο 2 και σχηματίζει με τον άξονα 2 διάνυσμα u = ( x, x + 1) α Να βρείτε το διάνυσμα ν β Να δείξετε ότι για κάθε x το διάνυσμα u, i δεν είναι συγγραμμικό του ν ii δεν είναι κάθετο στο ν x' x γωνία 2 π και το 168

11 Έστω τα σημεία Α(, ), Β(0, ) και το σημείο Ρ για το οποίο ισχύει ΑΡ = 2ΡΒ α Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Ρ β Να βρείτε σημείο Μ πάνω στον άξονα y' y ώστε το τρίγωνο ΑΜΡ να είναι ορθογώνιο στο Μ γ Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα ΡΟ με τον άξονα x' x 1 12 Έστω το διάνυσμα α = α, 2 α Να βρείτε το α και τη γωνία που σχηματίζει το α με τον x' x β Να βρείτε το διάνυσμα β που είναι αντίρροπο του α και έχει μέτρο 4 γ = x,2 να είναι κάθετο στο α γ Να βρείτε το x ώστε το διάνυσμα 1 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(1, 2), Β(2, 0) και Γ(5, 6) Έστω σημείο Δ της πλευράς ΒΓ ώστε (ΒΔ) = 2(ΔΓ) και το μέσον Μ της πλευράς ΑΓ α Να βρείτε το διάνυσμα ΜΔ συν ΜΒ, ΜΔ β Να υπολογίσετε το 14 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με 0 Α= 60 και σημείο Δ της πλευράς ΒΓ ώστε ΒΔ = 2 ΔΓ Αν ΑΒ= α, ΑΓ = β και β = 2α = 2 α Να αποδείξετε ότι: ΑΔ = 1 ( 2 ) α + β β Να βρείτε το συν ( ΑΒ, ΑΔ) 15 Δίνονται τα διανύσματα α, β και u = 2α β έτσι, ώστε α β α = 6 α) Να αποδείξετε ότι β = 1 β) Να βρείτε το μέτρο του u 16 Δίνονται τα διανύσματα α και β καθώς και τα διανύσματα α β u = ( α γ) β ( α β) γ και ν = β α 2 α, ( α + 2β) ( α β) και 169

Να αποδείξετε ότι: α) u α β) ν α 17 Θεωρούμε τα μοναδιαία διανύσματα α και β με u = 2α + 4β και ν = α β Να βρείτε: α) το εσωτερικό γινόμενο των α και β, β) τα μέτρα των u και ν, γ) το εσωτερικό γινόμενο u v, δ) τη γωνία θ των u και ν 2π ( α, β ) = 18 Δίνονται τα διανύσματα α, β και γ για τα οποία ισχύει α = α 2β + γ = 0 α) Να αποδείξετε ότι α β = 4 β) Να βρείτε την τιμή της παράστασης Α = α β + β γ + γ α 19 Δίνονται τα διανύσματα α = (1, 2 και β = α) Να βρείτε α + β β) Να υπολογίσετε το α β γ) Να βρείτε την προβολή του β πάνω στο α 20 Δίνονται τα διανύσματα α = 1, 1, ) ( 7, 4) β = ( 2, 4) και δ = β α, β = 2 καθώς και τα διανύσματα, γ = 1 α) Να βρείτε τη γωνία ω που σχηματίζει το α με τον άξονα x' x β) Να βρείτε το διάνυσμα δ γ) Να βρείτε ένα διάνυσμα γ κάθετο στο α δ) Να αναλύσετ ε το δ σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες, από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη στο α 21 Θεωρούμε τα διανύσματα α, β, γ και x, με 1 + α β 0 α γ α) Να αποδείξετε ότι α x = 1 + α β β) Να εκφράσετε το διάνυσμα x ως συνάρτηση των α, β και γ x+ x α β = γ και και 170

22 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και οι προβολές Ε και Ζ της κορυφής Δ πάνω στις ευθείες ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα Να αποδείξετε ότι 2 ΑΓ ΑΖ ΑΒ ΑΕ=ΑΔ 2 Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα ΑΜ ΑΜ 2ΑΒ = 11 α) Να αποδείξετε ότι το σημείο Μ κινείται σ έναν κύκλο β) Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του παραπάνω κύκλου ΑΒ με ΑΒ = 5 και μεταβλητό σημείο Μ τέτοιο, ώστε 24 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = α β, ΑΓ = α + β και ΑΜ η διάμεσός του Έστω ότι τα διανύσματα α, β είναι μοναδιαία και κάθετα α Να βρείτε το ΑΜ β Να υπολογίσετε το συν ( ΑΓ, ΑΜ) γ Να βρείτε την προβολή του διανύσματος ΑΓ πάνω στο διάνυσμα ΑΜ συναρτήσει των α, β 25 Έστω τα διανύσματα α, β με α = 2 β = 2 x // α 2β α x β και 2π αβ = και το διάνυσμα x για το οποίο ισχύει, (, ) α Να βρείτε το διάνυσμα x β Να υπολογίσετε τη γωνία των διανυσμάτων x και α 26 Δίνονται τα διανύσματα α = ( 1 β,1) και β = ( 1, α 1) α Να δείξετε ότι: α β = α β β Να δείξετε ότι: α β 27 Αν για τα μη μηδενικά διανύσματα α, βγ, ισχύει ότι α + β + γ = 0 και β = λα να αποδειχτούν: 1 β γ 2 α β Κατόπιν να βρεθούν τα β, γ συναρτήσει του α, = ( + 1) γ λ α, 171

28 Σ ένα τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΑΒ ΓΔ είναι ΑΒ= α και ΔΓ = α Έστω ΔΑ = β και Ε σημείο τέτοιο, ώστε ΔΕ= ΕΒ α) Να εκφράσετε τα διανύσματα ΔΒ, ΒΓ, ΑΕ και ΕΓ ως γραμμικό συνδυασμό των α και β β) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Ε και Γ βρίσκονται στην ίδια ευθεία γ) Να αποδείξετε ότι ΕΓ = ΑΕ 29 Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ, ένα μεταβλητό σημείο Μ και το διάνυσμα ΑΔ είναι διάμεσος του τριγώνου ΑΒΓ και Κ είναι το μ έσο της ΑΔ, τότε: α) να εκφράσετε το διάνυσμα u ως πολλαπλάσιο του ΜΚ, β) να αποδείξετε ότι αν u = 2 ΑΔ, τότε το Μ κινείται σε κύκλο u = 2ΜΑ+ΜΒ+ΜΓ Αν 0 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, το μέσο Δ της πλευράς ΑΒ και το σημείο Ε της πλευράς Α Γ τέτοιο, ώστε ΑΕ = 2ΕΓ Οι ευθείες ΔΕ και ΒΓ τέμνονται στο σημείο Μ Αν ΔΜ= xδε, ΒΜ = yβγ, ΑΒ= β και ΑΓ = γ, τότε: α) να εκφράσετε τα διανύσματα ΑΔ, ΔΕ και ΒΓ ως γραμμικό συνδυασμό των β και γ, β) να εκφράσετε το διάνυσμα ΑΜ ως συνάρτηση των β και γ με δύο τρόπους, γ) να αποδείξετε ότι 2 y x 1 2 x y β + γ = 0, 2 δ) να αποδείξετε ότι x = και y = 2, 1 Αν ΟΑ + 2ΟΒ ΟΓ = 0, ΟΑ = ΟΒ = 1 και ΟΓ = α να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά β να βρείτε τη σχετική θέση των Α, Β, Γ γ να αποδείξετε ότι τα διανύσματα ΟΑ, ΟΒ είναι ορθογώνια δ να αποδείξετε ότι η γωνία των ΟΑ, ΟΓ είναι οξεία 5, 2 Έστω τα διακεκριμένα σημ εία Α, Β, Γ κα ι το διάνυσμα ν =ΜΑ 4ΜΒ+ ΜΓ 172

α Να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε σημείο Μ, το διάνυσμα ν είναι σταθερό β Αν το διάνυσμα ν είναι το μηδενικό διάνυσμα, i να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ ανήκουν σε μια ευθεία ε ii να βρείτε τη σχετική θέση των Α, Β, Γ πάνω στην ευθεία ε iii και ισχύει ΑΡ = xβγ, να βρείτε το x ώστε το Ρ να είνβαι το μέσον του ΑΒ Αν α 0 Να δείξετε ότι: i x α ii x α iii x = α και ισχύει ότι: x α x= x+ α α 4 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = α + 2β, ΑΓ = 2α + β και ΑΔ το ύψος του Αν τα διανύσματα α, β είναι μοναδιαία και κάθετα τότε: α να βρείτε το ΒΓ β να εκφράσετε το διάνυσμα ΒΔ συναρτήσει των α και β γ να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ 5 Δίνεται το μοναδιαίο διάνυσμα α και το διάνυσμα x για τα οποία ισχύουν: 2 x + 4= 4α x i Να αποδείξετε ότι x = 2α ii Αν β = 4 και προβ β = x να βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων β, x α 6 Έστω τα διανύσματα α = ( 1, 2), β = (2, 0) και x για τα οποία ισχύουν: x // ( α + 2β ) α x β α Να βρείτε το διάνυσμα x συν β,x β Να υπολογίσετε το 7 Δίνονται τα διανύσματα α και β με 2α = β = 2 Έστω ότι για το διάνυσμα x ισχύουν: x 2 α // β και ( x β )// α 2π αβ = και (, ) 17

i Να εξετάσετε αν τα α, β είναι συγγραμμικά ii Να αποδείξετε ότι: x = 2α + β x, α iii Να βρείτε τη γωνία 8 Α Έστω τα μη μηδενικά διανύσματα α, β 2 Να αποδείξετε ότι για κάθε λ α λ 2λ α β + β 0 Πότε ισχύει το <<=>> ; Β Αν τα διανύσματα α, β είναι μη συγγραμμικά, να αποδείξετε ότι: α + β > 2 α β 9 Σ ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με υποτείνουσα ΒΓ είναι ΑΒ < ΑΓ Στην πλευρά ΑΓ θεωρούμε σημείο Δ τέτοιο, ώστε ΓΔ = ΑΒ Έστω επίσης Μ το μέσο του ΑΔ και Ν το μέσο του ΒΓ α) Να σχεδιάσετε το τρίγωνο στο καρτεσιανό επίπεδο με κατάλληλο σύστημα αξόνων β) Να εκφράσετε τις συντεταγμένες των σημείων Δ, Μ,Ν ως συνάρτηση των συντεταγμένων Β και Γ γ) Να βρείτε το διάνυσμα ΜΝ και τον συντελεστή διεύθυνσής του δ) Να αποδείξετε ότι ΓΜΝ = 45 ο 40 Έστω γωνία xoy και σημεία Α, Γ στην πλευρά Ox και Β, Δ στην Oy, τέτοια ώστε ΟΑ = ΟΒ = λ και ΟΓ + ΟΔ = 2λ Να αποδειχτεί ότι τα Α, Β και το μέσο Μ του ΓΔ είναι συνευθειακά 41 Έστω τα μη συγγραμμικά και μη μηδενικά διανύσματα α, β για τα οποία ισχύει ότι 2 x x α + α β β α + e β = α β + e β 2 α α + β Να βρεθεί ο x που επαληθεύει την παραπάνω σχέση, αφού πρώτα δειχτεί ότι τα α, β έχουν ίσα μέτρα 174