Μέση τιμή Για να βρούµε τη µέση τιµή ενός συνόλου παρατηρήσεων, προσθέτουµε όλες τις παρατηρήσεις και διαιρούµε µε το πλήθος των παρατηρήσεων αυτών.

ΜΕΡΟΣ Α 4.5 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ-ΔΙΑΜΕΣΟΣ 185 4.5 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ-ΔΙΑΜΕΣΟΣ Μέση τιμή Για να βρούµε τη µέση τιµή ενός συνόλου παρατηρήσεων, προσθέτουµε όλες τις παρατηρήσεις και διαιρούµε µε το πλήθος των παρατηρήσεων αυτών. Δηλαδή: Μέση τιμή άθροισμα παρατηρήσεων πλήθος παρατηρήσεων Διάμεσος Όταν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι περιττός αριθµός, παίρνουµε ως διάµεσο τη µεσαία παρατήρηση. Όταν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι άρτιο, παίρνουµε ως διάµεσο το µέσο όρο των δύο µεσαίων παρατηρήσεων. Μέση τιμή ομαδοποιημένης κατανομής Eποµένως, για να βρούµε τη µέση τιµή οµαδοποιηµένης κατανοµής: Βρίσκουµε τα κέντρα των κλάσεων. Πολλαπλασιάζουµε το κέντρο κάθε κλάσης µε τη συχνότητα της κλάσης αυτής. Προσθέτουµε όλα τα γινόµενα. ιαιρούµε το άθροισµα αυτό µε το άθροισµα των συχνοτήτων. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1. Να κυκλώσετε τις σωστές απαντήσεις: Το άθροισµα 5 παρατηρήσεων είναι. Η µέση τιµή είναι: 1 Α: 5 Β: 5 Γ: : ΑΠΑΝΤΗΣΗ Η μέση τιμή είναι. Άρα είναι το Δ. 5. Η µέση τιµή παρατηρήσεων είναι 8,. Το άθροισµα των παρατηρήσεων είναι: Α:,8 Β: 8 Γ: 8 :,8 ΑΠΑΝΤΗΣΗ A Αν Α είναι το άθροισμα των παρατηρήσεων τότε 8, A 8. Άρα είναι το Γ.

18 ΜΕΡΟΣ Α 4.5 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ - ΔΙΑΜΕΣΟΣ 3. Η µέση τιµή µιας κατανοµής είναι 3 και το άθροισµα των παρατηρήσεων είναι. Το πλήθος των παρατηρήσεων είναι: Α: 5 Β: Γ: 18 : 3 ΑΠΑΝΤΗΣΗ Αν Π είναι το πλήθος των παρατηρήσεων τότε 3 3Π Π. Άρα είναι το Β. Π 4. Από τις παρακάτω παρατηρήσεις, που είναι τοποθετηµένες σε αύξουσα σειρά µεγέθους, λείπει η 5η κατά σειρά παρατήρηση 3 5 7.. 14 14 15 α) Αν η διάµεσος είναι 7, η παρατήρηση που λείπει είναι :Α:7 Β:8 Γ:9 : β) Αν η διάµεσος είναι 8, η παρατήρηση που λείπει είναι: Α:7 Β:8 Γ:9 : γ)αν η διάµεσος είναι 8,5, η παρατήρηση που λείπει είναι :Α:7 Β: 8Γ:9 ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Η παρατήρηση που λείπει είναι το 7,γιατί το πλήθος των παρατηρήσεων είναι άρτιο και η διάμεσος είναι ο μέσος όρος των δύο μεσαίων παρατηρήσεων. Δηλαδή 7. Άρα είναι το Α. 7 + 7 β) Η παρατήρηση που λείπει είναι το 9, γιατί το πλήθος των παρατηρήσεων είναι άρτιο και η διάμεσος είναι ο μέσος όρος των δύο μεσαίων παρατηρήσεων. Δηλαδή 8. Άρα είναι το Γ. 7 + 9 γ) Η παρατήρηση που λείπει είναι το, γιατί το πλήθος των παρατηρήσεων είναι άρτιο και η διάμεσος είναι ο μέσος όρος των δύο μεσαίων παρατηρήσεων. Δηλαδή 8, 5. Άρα είναι το Δ. 7 + 5. ίνεται η κατανοµή συχνοτήτων του διπλανού πίνακα. Η µέση τιµή είναι ίση µε: + + 3. +.3 + 3.4 Τιμές Συχνότητα A : Β : 3 3 3 + + 3. +.3 + 3.4 3 4 Γ : Δ : 9 9 ΑΠΑΝΤΗΣΗ. +.3 + 3.4. +.3 + 3.4 Η µέση τιµή είναι ίση µε. + 3 + 4 9 Άρα είναι το Δ.

ΜΕΡΟΣ Α 4.5 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ-ΔΙΑΜΕΣΟΣ 187. ίνεται η κατανοµή συχνοτήτων του διπλανού πίνακα. Η µέση τιµή είναι ίση µε: Τιμές Συχνότητα - + + 3. +.1+ 3.3 A : Β : - 1 3-3 3 5. + 15.1+ 5.3 + + + + + 3 Γ : Δ : ΑΠΑΝΤΗΣΗ 5. + 15.1+ 5.3 5. + 15.1+ 5.3 Η µέση τιµή είναι ίση µε,όπου 5, 15, + 1+ 3 5 είναι τα κέντρα των κλάσεων (-),(-), (-3) και, 1, 3 οι συχνότητες αντίστοιχα Άρα είναι το Γ. Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ ΑΣΚΗΣΗ 1 Να υπολογισθεί η µέση τιµή των αριθµών κάθε γραµµής. α) 7 7 7 7 7 7 β) 1 3 4 5 7 8 9 γ) -3 - - 1 1 1 1 1 1 1 1 1 δ) 3 4 5 3 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 4 α ) 7. 1+ + 3 + 4 + 5 + + 7 + 8 + 9 + 55 β ) 5,5-3 - - + + 1+ 1+ 1 4 γ ) 7 7 1 1 1 1 1 1 3 3 15 1 17 + + + + + + + + + + δ) 3 4 5 3 ΑΣΚΗΣΗ Να βρείτε τη διάµεσο των αριθµών κάθε γραµµής: α) 4 3 1-1 - β) 4 3 3 1 17 3.

188 ΜΕΡΟΣ Α 4.5 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ - ΔΙΑΜΕΣΟΣ γ) 1 99 98 1 3 δ) -5-1 3-4 α) Τοποθετούμε τις παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά και έχουμε: -,-1,1,,3,4. Επειδή το πλήθος των παρατηρήσεων είναι άρτιος αριθμός η διάμεσος είναι ο μέσος όρος των δύο μεσαίων παρατηρήσεων, δηλαδή 1+ 1,5. β) Τοποθετούμε τις παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά και έχουμε: 1,,,,3,3,4. Επειδή το πλήθος των παρατηρήσεων είναι περιττός αριθμός η διάμεσος είναι η μεσαία παρατήρηση,διαγράφοντας εναλλάξ από την αρχή και το τέλος από μία παρατήρηση, τελικά διαπιστώνουμε ότι η διάμεσος είναι ο αριθμός. γ) Τοποθετούμε τις παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά και έχουμε: 98,99,,1,1,,3. Επειδή το πλήθος των παρατηρήσεων είναι περιττός αριθμός η διάμεσος είναι η μεσαία παρατήρηση, διαγράφοντας εναλλάξ από την αρχή και το τέλος από μία παρατήρηση, τελικά διαπιστώνουμε ότι η διάμεσος είναι ο αριθμός 1. δ) Τοποθετούμε τις παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά και έχουμε: -5,-4,-,,1,3. Επειδή το πλήθος των παρατηρήσεων είναι άρτιος αριθμός η διάμεσος είναι ο μέσος όρος των δύο μεσαίων παρατηρήσεων, δηλαδή + 1. ΑΣΚΗΣΗ 3 Η βαθµολογία σε 14 µαθήµατα του πρώτου τετραµήνου δύο µαθητών της Β Γυµνασίου είναι: Α μαθητής 18 17 1 19 1 17 19 18 18 19 18 19 17 Β μαθητής 19 19 18 18 19 18 17 18 19 18 19 18 α) Nα βρείτε τον µέσο όρο της βαθµολογίας κάθε µαθητή. β) Να εκτιµήσετε ποιος µαθητής έχει καλύτερη επίδοση. γ) Να βρείτε τη διάµεσο της βαθµολογίας κάθε µαθητή. α) Ο Μ.Ο της βαθµολογίας του Α μαθητή είναι: 18 + 17 + 1 + 19 + + 1 + 17 + 19 + 18 + 18 + 19 + 18 + 19 + 17 51 17,93 14 14 Ο Μ.Ο της βαθµολογίας του Β μαθητή είναι:

ΜΕΡΟΣ Α 4.5 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ-ΔΙΑΜΕΣΟΣ 189 19 + 19 + 18 + 18 + 19 + + 18 + 17 + 19 + 19 + 18 + 19 + 18 + 14 1 18,4 14 β) Ο μαθητής με την καλύτερη επίδοση είναι ο Β. γ) Για τον μαθητή Α τοποθετούμε τις παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά και έχουμε: 1,1,17,17,17,18,18,18,18,19,19,19,19,. Επειδή το πλήθος των παρατηρήσεων είναι άρτιος αριθμός η διάμεσος είναι ο μέσος όρος των δύο μεσαίων παρατηρήσεων, δηλαδή 18. 18 + 18 Για τον μαθητή Β τοποθετούμε τις παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά και έχουμε: 17,18,18,18,18,18,19,19,19,19,19,19,,. Επειδή το πλήθος των παρατηρήσεων είναι άρτιος αριθμός η διάμεσος είναι ο μέσος όρος των δύο μεσαίων παρατηρήσεων, δηλαδή 18. 18 + 18 ΑΣΚΗΣΗ 4 Το ύψος των 1 παικτών της οµάδας µπάσκετ της ΑΕΚ είναι σε cm: 19, 197, 197, 198, 198,,, 1, 1, 4, 5,. α) Να βρείτε το µέσο ύψος της οµάδας. β) Να βρείτε τη διάµεσο των υψών της οµάδας. γ) Αν ο παίκτης µε ύψος 19 cm αντικατασταθεί από άλλον ύψους cm, ποιο είναι το νέο µέσο ύψος της οµάδας; α) Το µέσο ύψος της οµάδας της ΑΕΚ είναι: 19 + 197 + 197 + 198 + 198 + + + 1+ 1+ 4 + 5 + 399 1 199,9 cm 1 β) Για τους παίκτες της ομάδας της ΑΕΚ τοποθετούμε τις παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά και έχουμε: 19,197,197,198,198,,,1,1,4,5,. Επειδή το πλήθος των παρατηρήσεων είναι άρτιος αριθμός η διάμεσος είναι ο μέσος όρος των δύο + μεσαίων παρατηρήσεων, δηλαδή cm. γ) Εάν αντικαταστήσουμε ένα παίκτη ύψους 19 cm με ένα παίκτη ύ- ψους cm τότε για να βρούμε το νέο άθροισμα υψών των παικτών Σ το οποίο ισούται με το προηγούμενο Σ αυξημένο κατά 8 cm O νέος μέσος όρος

19 ΜΕΡΟΣ Α 4.5 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ - ΔΙΑΜΕΣΟΣ Σ Σ + 8cm Σ 8cm x + x +,7cm 199,9cm +,7cm,59cm 1 1 1 1 ΑΣΚΗΣΗ 5 1. Από τις Στατιστικές ενός µαιευτηρίου πήραµε τον παρακάτω πίνακα: Κλάσεις Καπνίστριες Βάρος παιδιών σε κιλά Μη Καπνίστριες μητέρες μητέρες -1 7 1-15 -3 15 111 3-4 5 73 4-5 3 4 Να βρείτε το μέσο βάρος των παιδιών που η µητέρα τους κάπνιζε και των παιδιών που η µητέρα τους δεν κάπνιζε. Τι παρατηρείτε; Το μέσο βάρος των παιδιών που η μητέρα τους κάπνιζε ήταν:,5.7 + 1,5.15 +,5.15 + 3,5.5 + 4,5.3 57,35 kg. 7 + 15 + 15 + 5 + 3 Το μέσο βάρος των παιδιών που η μητέρα τους δεν κάπνιζε ήταν:,5. + 1,5. +,5.111 + 3,5.73 + 4,5.4 57,835 kg. + + 111+ 73 + 4 Παρατηρούμε ότι το μέσο βάρος των παιδιών που η μητέρα τους δεν κάπνιζε ήταν μεγαλύτερο κατά gr. ΑΣΚΗΣΗ Η θερµοκρασία το µεσηµέρι κάθε ηµέρας του Ιανουαρίου στον Άλιµο είναι: 14 1 1 14 18 1 17 14 1 1 17 1 14 14 1 1 14 18 14 14 1 18 1 1 14 14 α) Να κατασκευάσετε πίνακα συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων. β) Να βρείτε τη µέση θερµοκρασία και τη διάµεσο των θερµοκρασιών. α) Κλάσεις Συχνότητα Σχετική συχνότητα -1 5 1,13 1-14 5 1,13 14-1 3, 1-18 8 5,81 18-3 9,7 Σύνολα 31

ΜΕΡΟΣ Α 4.5 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ-ΔΙΑΜΕΣΟΣ 191 β) Κλάσεις Κέντρο κλάσης Συχνότητα (Συχνότητα).(κέντρο κλάσης) -1 11 5 11.555 1-14 13 5 13.55 14-1 15 15.15 1-18 17 8 17.813 18-19 3 19.357 ΣΥΝΟΛΑ 31 43 Οπότε η µέση θερµοκρασία είναι: 14, 94 31 Αν οι θερμοκρασίες τοποθετηθούν κατά αύξουσα σειρά θα είναι 5 στην κλάση (-1) συν 5 στην κλάση (1-14) συν στην κλάση (14-1) άρα η 1 η παρατήρηση θα είναι στην κλάση (14-1) άρα η διάμεσος θα είναι το κέντρο της κλάσης δηλαδή το 15. ΑΣΚΗΣΗ 7 Σε µία πόλη παιδιά εµφανίζουν αλλεργική αντίδραση σ ένα φάρµακο, σύµφωνα µε τον παρακάτω πίνακα: Ηλικία παιδιών Συχνότητα - 5-4 4 4- -8 3 8- -1 α) Να γίνει ο πίνακας συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων της κατανοµής. β) Να βρείτε τη µέση ηλικία των παιδιών. α) Ηλικία παιδιών Συχνότητα Σχετική συχνότητα% - 5 5-4 4 4-3 -8 3 15 8-5 -1 5 Σύνολα β)

19 ΜΕΡΟΣ Α 4.5 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ - ΔΙΑΜΕΣΟΣ Κλάσεις Κέντρο (Κέντρο κλάσης) Συχνότητα κλάσης.(συχνότητα) - 1 5 1.55-4 3 4 3.41 4-5 5.3-8 7 3 7.3 8-9 9.9-1 11 11.1 Σύνολα 88 Επομένως η μέση ηλικία των παιδιών είναι: 88 4, 4 έτη. ΑΣΚΗΣΗ 8 Το ποσοστό των αυτοκινήτων που παράγει µια αυτοκινητοβιοµηχανία σ ένα έτος, σε σχέση µε τον κυβισµό τους, παρουσιάζεται στο παρακάτω ιστόγραµµα. 45 4 35 αυτοκίνητα 3 5 15 5-13 13-15 15-17 17-19 19- -3 α) Να γίνει ο πίνακας συχνοτήτων. β) Να βρείτε τη µέση τιµή της κατανοµής. α) Κυβισμός Συχνότητα -13 13-15 15-17 4 17-19 19- -3 Σύνολα

ΜΕΡΟΣ Α 4.5 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ-ΔΙΑΜΕΣΟΣ 193 β) Κλάσεις Κέντρο (Κέντρο κλάσης) Συχνότητα κλάσης (συχνότητα) -13 5 5. 13-15 14 14.8 15-17 1 4 1.44 17-19 18 18.3 19-. -3. Σύνολα 17 17 Επομένως η µέση τιµή της κατανοµής είναι: 17 κυβικά. ΑΣΚΗΣΗ 9 Το παρακάτω ιστόγραµµα σχετικών συχνοτήτων παριστάνει την κατανοµή των µαθητών ενός Γυµνασίου ανάλογα µε το βαθµό του απολυτηρίου τους. Με βάση το ιστόγραµµα να βρείτε: Σχετική συχνότητα 35 3 5 15 5 3 5 15 (-) (-1) (1-14) (14-1) (1-18) (18-) Βαθμός απολυτηρίου α) Το ποσοστό των µαθητών µε απολυτήριο µεγαλύτερο ή ίσο του 1. β) Το πλήθος των µαθητών, αν η κλάση -1 έχει συχνότητα 1. α) Το ποσοστό των µαθητών µε απολυτήριο µεγαλύτερο ή ίσο του 1 είναι με βάση το ιστόγραμμα 5%+15%4% β) Επειδή στη κλάση -1 η συχνότητα είναι 1 και η σχετική συχνότητα % ή,1 έχουμε ότι: συχνότητα σχετική συχνότητα οπότε είναι πλήθος μαθητών

194 ΜΕΡΟΣ Α 4.5 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ - ΔΙΑΜΕΣΟΣ 1,1,1. Π 1 Π 1,όπου Π είναι το πλήθος των Π μαθητών. Άρα οι μαθητές είναι 1. ΑΣΚΗΣΗ Οι ηλικίες ενός δείγµατος φιλάθλων που παρακολουθούν έναν αγώνα τένις είναι: Ηλικία Συχνότητα 9-15 4 15-1 48 1-7 5 7-33 3 33-39 4 39-45 1 ΣΥΝΟΛ Ο Να βρείτε τη µέση τιµή των ηλικιών των φιλάθλων. Κλάσεις Κέντρα (Κέντρο κλάσης) Συχνότητα κλάσεων (συχνότητα) 9-15 1 4 1.488 15-1 18 48 18.4884 1-7 4 5 4.51344 7-33 3 3 3.38 33-39 3 4 3.484 39-45 4 1 4.154 ΣΥΝΟΛΟ 4944 Οπότε η µέση τιµή των ηλικιών των φιλάθλων είναι: 4944 4,7 χρόνια ΑΣΚΗΣΗ 11 Μια ένωση καταναλωτών κατέγραψε την τιµή πώλησης ενός προϊόντος (σε ) σε διαφορετικά σηµεία πώλησης: 5 47 51 45 54 49 4 5 48 5 51 49 5 49 47 5 54 5 49 53 α) i) Nα παρασκευάσετε τα δεδοµένα αυτά σε πίνακα συχνοτήτων.

ΜΕΡΟΣ Α 4.5 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ-ΔΙΑΜΕΣΟΣ 195 ii) Να βρείτε τη µέση τιµή πώλησης Μ του προϊόντος. β) i) Να οµαδοποιήσετε τα δεδοµένα σε κλάσεις, όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα. Κλάσεις Συχνότητες α) i) 45 4 47 49......... ii) Να βρείτε τη µέση τιµή πώλησης Μ' των οµαδοποιηµένων παρατηρήσεων του πίνακα αυτού. iii) Ποια είναι η πραγµατική µέση τιµή (Μ ή Μ'); Τιμή πώλησης Συχνότητα 45 1 4 1 47 48 1 49 4 5 3 51 5 3 53 1 54 ΣΥΝΟΛΟ ii) Οπότε η μέση τιμή πώλησης Μ του προιόντος είναι: 45.1+ 4.1+ 47. + 48.1+ 49.4 + 5.3 + 51. + 5.3 + 53.1+ 54. Μ 45 + 4 + 94 + 48 + 19 + 15 + + 15 + 53 + 8 998 49,9

19 ΜΕΡΟΣ Α 4.5 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ - ΔΙΑΜΕΣΟΣ β) i) Κλάσεις Κέντρα κλάσεων Συχνότητες (Κέντρο κλάσης).(συχνότητα) 45 47 4 4.9 47 49 48 3 48.3144 49-51 5 7 5.735 51-53 5 5 5.5 53-55 54 3 54.31 ΣΥΝΟΛΟ 8 Οπότε η µέση τιµή πώλησης Μ' των οµαδοποιηµένων παρατηρήσεων 8 είναι : Μ 5, 4. ii) Η πραγματική μέση τιμή είναι η Μ,γιατί η Μ έχει προέλθει από εκτίμηση(θεωρήσαμε ότι τιμές πώλησης του προιόντος σε κάθε κλάση αντιπροσωπεύονται από το κέντρο της κλάσης). ΑΣΚΗΣΗ 1 Ο µέσος όρος δεν είναι το παν! ίνονται οι βαθµοί των γραπτών εξετάσεων και τεστ, τεσσάρων µαθητών της ίδιας τάξης της Β Γυµνασίου στο µάθηµα των Μαθηµατικών στη διάρκεια µιας χρονιάς. Μαρία Νίκος Γιώργος Ελένη 14 1 8 14 19 13 14 1 19 1 8 1 1 14 14 14 14 15 1 14 14 1 19 1 1 14 7 17 11 1 19 18 8 1 11 19 7 α) Να υπολογίσετε το µέσο όρο των βαθµών κάθε µαθητή. β) Να υπολογίσετε τη διάµεσο των βαθµών κάθε µαθητή. Είναι ισοδύναµοι αυτοί οι µαθητές; γ) Τα σχόλια του καθηγητή των Μαθηµατικών προς τους γονείς που αντιστοιχούν στους µαθητές αυτούς ήταν:

ΜΕΡΟΣ Α 4.5 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ-ΔΙΑΜΕΣΟΣ 197 Σχόλια καθηγητή Α. Έκανε σοβαρή και επίµονη προσπάθεια σ όλη τη διάρκεια της χρονιάς και βελτιώθηκε θεαµατικά. Μαθητής Μαρία B. Έχει σταθερή αλλά µέτρια επίδοση. ιαβάζει λίγο και αποδίδει λίγο. Νίκος Γ. Πολύ καλό µυαλό, αλλά ασταθής. Πρέπει να σοβαρευτεί και να κάνει πιο επίµονη και σταθερή προσπάθεια Γιώργος. Μετά από ένα πολύ καλό ξεκίνηµα, έχει χαµηλή απόδοση εξαιτίας της έλλειψης, έστω και ελάχιστης, µελέτης. Ελένη Να αντιστοιχίσετε τα σχόλια του καθηγητή µε κάθε έναν από τους µαθητές ανάλογα µε τη βαθµολογία τους. 14 + 14 + 13 + 1 + 14 + 15 + 1 + 14 + 1 + 1 14 α ) Μ.Ο ΜΑΡΙΑΣ 14 1 + + 14 + 8 + 14 + 1 + 19 + 7 + 19 + 11 14 Μ.Ο ΝΙΚΟΥ 14 8 + + 1 + 1 + 14 + 14 + 1 + 17 + 18 + 19 14 Μ.Ο ΓΙΩΡΓΟΥ 14 + 19 + 19 + 1 + 14 + 14 + 1 + 11+ 8 + 7 14 Μ.Ο ΕΛΕΝΗΣ 14 β) Τοποθετούμε τους βαθμούς της Μαρίας σε αύξουσα σειρά και έχουμε: 1,1,13,14,14,14,14,15,1,1. Επειδή το πλήθος των παρατηρήσεων είναι άρτιος αριθμός η διάμεσος είναι ο μέσος όρος των δύο μεσαίων παρατηρήσεων, δηλαδή 14. 14 + 14 Τοποθετούμε τους βαθμούς του Νίκου σε αύξουσα σειρά και έχουμε: 7,8,11,1,14,14,1,19,19,. Επειδή το πλήθος των παρατηρήσεων είναι άρτιος αριθμός η διάμεσος είναι ο μέσος όρος των δύο μεσαίων 14 + 14 παρατηρήσεων, δηλαδή 14.

198 ΜΕΡΟΣ Α 4.5 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ - ΔΙΑΜΕΣΟΣ Τοποθετούμε τους βαθμούς του Γιώργου σε αύξουσα σειρά και έχουμε: 8,,1,1,14,14,1,17,18,19. Επειδή το πλήθος των παρατηρήσεων είναι άρτιος αριθμός η διάμεσος είναι ο μέσος όρος των δύο μεσαίων 14 + 14 παρατηρήσεων, δηλαδή 14. Τοποθετούμε τους βαθμούς της Ελένης σε αύξουσα σειρά και έχουμε: 7,8,11,1,14,14,1,19,19,. Επειδή το πλήθος των παρατηρήσεων είναι άρτιος αριθμός η διάμεσος είναι ο μέσος όρος των δύο μεσαίων 14 + 14 παρατηρήσεων, δηλαδή 14. Άρα όπως φαίνεται οι μαθητές αυτοί είναι ισοδύναμοι. γ) Το Α πάει στον Γιώργο, γιατί όπως φαίνεται από τους βαθμούς του από το 8 και το έφτασε σε βαθμούς 17,18,19 στο τέλος της χρονιάς. Το Β πάει στην Μαρία που σε όλη τη χρονιά οι βαθμοί της κυμάνθηκαν στο διάστημα από 1 έως 1. Το Γ πάει στον Νίκο ο οποίος όπως φαίνεται από τους βαθμούς του δεν έχει σταθερότητα. Το Δ πάει στην Ελένη η οποία ενώ ξεκίνησε εντυπωσιακά στο τέλος της χρονιάς έπεσε σε πολύ χαμηλά επίπεδα βαθμών.

ΜΕΡΟΣ Α 4.5 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ-ΔΙΑΜΕΣΟΣ 199 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 1. Μετρήσαμε το ύψος 3 μαθητών μιας τάξης Γυμνασίου και πήραμε τα ακόλουθα αποτελέσματα: 15 145 15 1 1 15 17 155 15 155 1 15 15 15 15 15 15 155 17 155 145 1 15 17 15 15 15 15 155 155 α) Να κατασκευάσετε τον πίνακα κατανομής συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων. β) Από τον πίνακα αυτό να βρείτε το ποσοστό των μαθητών που έχουν ύψος i) Λιγότερο των 175 cm. ii) Τουλάχιστον 17 cm αλλά και το πολύ 18 cm. α) Πρώτα φτιάχνουμε κλάσεις πλάτους 5 cm. Κατόπιν κάνουμε διαλογή των παρατηρήσεων και βρίσκουμε τις συχνότητες. Οι σχετικές συχνότητες είναι:,7 ή,7%, 3 3 3,1 ή% 3 Κλάσεις Ύψη μαθητών σε cm, ή %, 4 3 9,133 ή13,3%, 3,3 ή 3% Διαλογή Συχνότητες Σχετικές συχνότητες % 145-15,7 15-155 155-1 1-15 4 13,3 15-17 9 3 17-175 3 ΣΥΝΟΛΑ 3 β) i) Είναι %,γιατί όλες οι παρατηρήσεις είναι μικρότερες των 175cm. ii) Είναι %, γιατί τόσοι είναι οι ευρισκόμενοι στην κλάση 17-175.. Στο παρακάτω πίνακα συχνοτήτων δίνεται η κατανομή του αριθμού των παιδιών 5 οικογενειών. Να βρείτε τον αριθμό και το ποσοστό των οικογενειών που έχουν: α) Τουλάχιστον παιδιά.

ΜΕΡΟΣ Α 4.5 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ - ΔΙΑΜΕΣΟΣ β) Λιγότερα από 3 παιδιά. γ) Ακριβώς 1 παιδί. δ) Από έως 3 παιδιά. Φτιάχνουμε τον πίνακα σχετικών συχνοτήτων Αριθμός παιδιών 5 οικογενειών Αριθμός παιδιών Συχνότητα Αριθμός παιδιών Συχνότητα 1 1 18 3 7 4 3 ΣΥΝΟΛΟ 5 Σχετική συχνότητα % 1 4 1 18 3 3 7 14 4 ΣΥΝΟΛΟ 3 5 α) Τουλάχιστον παιδιά έχει το 3%+14%+%5% των 5 οικογενειών. β) Λιγότερα από 3 παιδιά έχει το 4%+%+3%8% των 5 οικογενειών. γ) Ακριβώς 1 παιδί έχει το % των 5 οικογενειών. δ) Από έως 3 παιδιά. Έχει το 3%+14%5% των 5 οικογενειών. 3. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα Τιμές Συχνότητες Σχετικές συχνότητες 1 ν 1 % ν 18 3% 3 ν 3 15 3% 4 ν 4 7 14% ΣΥΝΟΛΑ 5 % ν1 ν 3, ν1,.5,,3 ν3 5 5,3.5 15 Επομένως ν 5--15-75-318 και 7,3 ή 3%,14 ή 14% 5 5 %+3%+3%+14%%

ΜΕΡΟΣ Α 4.5 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ-ΔΙΑΜΕΣΟΣ 1 4. Στο διπλανό κυκλικό διάγραμμα φαίνονται τα Δ Α αποτελέσματα των εκλογών, για την ανάδειξη φ του Προέδρου ενός συλλόγου. Έλαβαν μέρος φ μέλη του συλλόγου. Γ Β Από τους τέσσερις υποψήφιους Α, Β, Γ και Δ, ο υποψήφιος Α συγκέντρωσε 4 ψήφους. Η γωνία του κυκλικού τομέα που αντιστοιχεί στον υποψήφιο Γ είναι 1. Πόσες ψήφους συγκέντρωσε ο κάθε υποψήφιος; Η επίκεντρη γωνία που αντιστοιχεί στον υποψήφιο Α είναι: 4 θ.3 7. Επομένως για να βρούμε την γωνία φ έχουμε: φ + φ + 7 + 1 3 φ + φ 3 7 1 3φ 1 φ 54 Οπότε οι επίκεντρες γωνίες για τους υποψηφίους Α, Β, Γ και Δ είναι αντίστοιχα 7, 8, 1 και 54. Τώρα μπορούμε να βρούμε πόσες ψήφους συγκέντρωσε ο κάθε υποψήφιος ως εξής: 8 3. ψήφους o B, 1 3. 7 ψήφους 54 o Γ, 3. 3 ο Δ 5. Οι αριθμοί x, x-1, 8, α-1, α-, x-1, 1, 7x+1, α-1 έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά μεγέθους και έχουν μέση τιμή και διάμεσο 14. Να βρείτε τους αριθμούς α και x. Εφόσον έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά μεγέθους η διάμεσος είναι ο 5 ος από τους 9 αριθμούς (το πλήθος των αριθμών είναι περιττό) άρα α-14 και α14+1. Επίσης επειδή η μέση τιμή είναι 14 έχουμε: x + x 1+ 8 + 1 1+ 1 + x 1+ 1+ 7x + 1+ 3 1 14 9 x + x + x + 7x 1 8 1 + 1 1 + + 1 1 1 3 + 1+ 1 1x 38 x,375

ΜΕΡΟΣ Α 4.5 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ - ΔΙΑΜΕΣΟΣ. Η μέση βαθμολογία ενός μαθητή σε 4 διαγωνίσματα Φυσικής είναι 15 και σήμερα γράφει και ένα πέμπτο διαγώνισμα! α) Αν στο πέμπτο διαγώνισμα ο μαθητής γράψει 11 ποια θα είναι η νέα μέση βαθμολογία; β) Ποιος είναι ο μικρότερος και ποιος ο μεγαλύτερος δυνατός μέσος ό- ρος που μπορεί να έχει ο μαθητής αυτός και από τα πέντε διαγωνίσματα; γ) Τι βαθμό πρέπει να γράψει στο πέμπτο διαγώνισμα για να ανεβάσει τη βαθμολογία του κατά μία μονάδα; α) Ο νέος μέσος όρος θα προκύψει αν πάρουμε τα 4 διαγωνίσματα με βαθμό 15 και διαιρέσουμε με το νέο πλήθος των βαθμών που είναι το 4+15. 4.15 + 11 71 14, 5 5 β) Ο μικρότερος μέσος όρος θα προκύψει αν ο μαθητής γράψει, οπότε 4.15 + 1 και ο μεγαλύτερος αν γράψει, δηλαδή: 5 5 4.15 + 8 1. 5 5 γ) Αν υποθέσουμε ότι πρέπει να γράψει x θα έχουμε: 4.15 + x 1 + x 8 x 8 x. 5 7. Ο μέσος μηνιαίος μισθός ν εργαζομένων σε μια επιχείρηση είναι 1. Αν προσληφθούν άλλοι 5 εργαζόμενοι με μέσο μηνιαίο μισθό, τότε ο μέσος μισθός όλων των εργαζομένων γίνεται 115. Να βρείτε το ν. Η νέα μέση τιμή θα προκύψει αν πάρουμε τους ν με μισθό 1 και τους 5 με μισθό και διαιρέσουμε με το νέο πλήθος που θα είναι ν+5. ν.1 + 5. 115 1ν + 5 115ν + 575 ν + 5 1ν 115ν 575 5 5ν 75 ν 15 8. Το μέσο ύψος καλαθοσφαιριστών μιας ομάδας είναι 4 cm. Ο προπονητής για να αυξήσει το μέσο ύψος της ομάδας παίρνει δύο ακόμη παίκτες με ύψη cm και cm. Ποιο είναι τώρα το μέσο ύψος της ομάδας; Το νέο ύψος των 1 καλαθοσφαιριστών θα είναι:

ΜΕΡΟΣ Α 4.5 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ-ΔΙΑΜΕΣΟΣ 3.4 + + 4 + 41 45 4,7 cm. 1 1 1 9. Η μέση τιμή 9 αριθμών είναι ίση με 4. Ποιον αριθμό πρέπει να προσθέσουμε σ αυτούς ώστε η νέα μέση τιμή να γίνει ίση με 5; Αν Σ ονομάσουμε το άθροισμα των 9 αριθμών τότε θα έχουμε: Σ 4 Σ 3 άρα το άθροισμα του είναι 3. 9 Αν ώρα ονομάσουμε x τον αριθμό που πρέπει να προσθέσουμε τότε: 3 + x 5 3 + x 5 x 5 3 x 14. ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 1: Σε μια έρευνα ρωτήθηκαν 3 κάτοικοι μιας μεγάλης πόλης: «Ποιο θεωρείται ποιο σημαντικό πρόβλημα για την πόλη μας;» Τα αποτελέσματα φαίνονται στο παρακάτω ραβδόγραμμα. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΠΟΛΗΣ Ποσοστά % 35 3 5 15 5 Ύδρευση Αποχέτευση Εκληματικότητα Μόλυνση Κυκλοφοριακό Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση Α Β Γ Δ 1 Η σχετική συχνότητα της τιμής «Ύδρευση» 35% % 3% 15% είναι: Η συχνότητα της τιμής «Εγκληματικότητα» 5 75 15 είναι: 3 Η συχνότητα της τιμής «κυκλοφοριακό» είναι: 3 8 9 4 Το ποσοστό των κατοίκων που δεν θεωρεί 15% 85% 3% % σημαντικό πρόβλημα την «αποχέτευση» είναι: 5 Αν κατασκευάσουμε κυκλικό διάγραµµα, η επίκεντρη γωνία που αντιστοιχεί στην τιμή «Μόλυνση» θα είναι: 5 45 7

4 ΜΕΡΟΣ Α 4.5 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ - ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΑΣΚΗΣΗ : α) Να βρείτε τη μέση τιμή και τη διάμεσο των παρατηρήσεων: 15 18 13 19 1 1 1 14 β) Να βρείτε τη μέση τιμή και τη διάμεσο της κατανομής συχνοτήτων: Τιμές 3 7 4 Συχνότητες 4 8 5 ΑΣΚΗΣΗ 3: Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι ηλικίες των 5 εργαζομένων μιας επιχείρησης: 8 8 34 35 54 43 34 45 4 34 38 3 45 34 3 8 9 7 45 45 4 49 48 35 39 43 3 8 3 4 41 4 43 44 5 5 53 55 5 7 45 48 53 5 55 45 49 44 5 α) Να συμπληρώσετε τον πίνακα: Κλάσεις -3 3-4 4-5 5- Κέντρο κλάσης Διαλογή Συχνότητες Σχετικές Συχνότητες β) Να εκτιμήσετε τη μέση ηλικία των εργαζομένων της επιχείρησης: