Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ. οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους ν με k.

Transcript

1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ ΘΕΜΑ Α A Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση () είναι παραγωγίσιμη στο R με () Α Έστω k οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους ν με k α Τι είναι η σχετική συχνότητα που αντιστοιχεί στην τιμή β Τι εκφράζει η αθροιστική συχνότητα N που αντιστοιχεί στην τιμή γ Να αποδείξετε ότι: ) 0 για κάθε k ) k k ; k ; (7 μονάδες) (8 μονάδες) Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στον αριθμό που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση Το εύρος των τιμών μιας μεταβλητής ισούται με τη διαφορά της ελάχιστης παρατήρησης από την μέγιστη παρατήρηση Η τυπική απόκλιση των παρατηρήσεων ενός δείγματος πλήθους ν δίνεται από τον ( ) τύπο s Αν για τα ενδεχόμενα Α Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει A B τότε P(B) 4 Για δύο ενδεχόμενα Α Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει P(A B) Στο ιστόγραμμα συχνοτήτων το άθροισμα των εμβαδών των ορθογωνίων ισούται με (0 μονάδες) ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνάρτηση () 6 R Γνωρίζουμε ότι η C έχει δύο σημεία στα οποία οι εφαπτόμενες είναι παράλληλες στον άξονα (h ) ( ) αντίστροφοι αριθμοί Αν lm 6 τότε: h 0 h Β Να βρείτε τα α και β και οι τετμημένες των σημείων αυτών είναι (7 μονάδες) Β Να βρείτε το όριο () lm 8 ( μονάδες)

2 Β Να μελετήσετε την ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα (7 μονάδες) Β4 Να βρείτε για ποια τιμή του ο ρυθμός μεταβολής της γίνεται ελάχιστος (6 μονάδες) ΘΕΜΑ Γ Από μια έρευνα που έγινε σχετικά με τους μισθούς των εργατών μιας επιχείρησης προέκυψε ότι το % των εργατών έχουν μηνιαίο μισθό μικρότερο από 00 ευρώ ενώ το 84% των εργατών έχουν μισθό το πολύ 800 ευρώ Υποθέτουμε ότι η κατανομή των μισθών είναι περίπου κανονική Γ Να βρείτε τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση των μισθών (4 μονάδες) Γ Να βρείτε το ποσοστό των εργατών με μισθό που δεν ξεπερνά τα 600 ευρώ ( μονάδες) Γ Αν στους εργάτες με μισθό κάτω από 600 ευρώ γίνει μείωση ευρώ στους εργάτες με μισθό από 600 έως 800 γίνει μείωση 0 ευρώ και στους υπόλοιπους γίνει μείωση 00 ευρώ να βρείτε το νέο μέσο μισθό Γ4 Έστω ότι 90 εργάτες έχουν μισθό από 00 έως 700 ευρώ α) Nα βρείτε πόσοι εργάτες έχουν μισθό που ανήκει στο σύνολο A [60700] [70800] β) Αν σε κάθε εργάτη που είναι παντρεμένος δοθεί μηνιαίο επίδομα 40 ευρώ τότε ο μέσος ΘΕΜΑ Δ μισθός αυξάνεται κατά 4% Να βρείτε πόσοι είναι οι παντρεμένοι εργάτες Δίνονται τα ενδεχόμενα Α Β τα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω και η συνάρτηση () ln 0 (6 μονάδες) (6 μονάδες) (6 μονάδες) Δ Να αποδείξετε ότι η παρουσιάζει ελάχιστο (4 μονάδες) Δ Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία το ελάχιστο της παίρνει την μέγιστη τιμή του (4 μονάδες) Δ Να αποδείξετε ότι: P(A B) P( ) P(B) P(O') Δ4 Αν για κάθε (4 μονάδες) R ισχύει () () και η εφαπτομένη της C στο σημείο με τετμημένη είναι κάθετη στην ευθεία y τότε: α) να βρείτε το λ και την πιθανότητα του Α ( μονάδες) β) να αποδείξετε ότι ln P(A B) P(A B) (4 μονάδες) γ) να βρείτε την πιθανότητα του Β αν επιπλέον γνωρίζουμε ότι η μέση τιμή των πιθανοτήτων των ενδεχομένων B A B AB είναι ίση με τη διάμεσο αυτών (4 μονάδες)

3 Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ ΘΕΜΑ Α Α Σχολικό βιβλίο σελίδα 8-9 Α α) Σχολικό βιβλίο σελίδα 6 β) Σχολικό βιβλίο σελίδα 66 γ) Σχολικό βιβλίο σελίδα 6 Α Σωστό Λάθος Λάθος 4 Σωστό Λάθος ΘΕΜΑ Β Β Η είναι παραγωγίσιμη στο R με () Β Έστω ( ) ( ) στον άξονα B τα σημεία της C στα οποία οι εφαπτομένες είναι παράλληλες Άρα () 0 και ( ) 0 Τα είναι ρίζες της εξίσωσης 0 άρα σύμφωνα με τους τύπους του Vta είναι Επίσης τα είναι αντίστροφοι αριθμοί άρα (h ) ( ) Είναι lm 6 h 0 h (h ) ( ) Επίσης lm ( ) άρα ( ) h 0 h () 6 lm lm 8 8 Η ταυτότητα της διαίρεσης του 6 με το είναι 6 ( )( ) Άρα () ( )( ) 4 6 lm lm lm 8 ( )( 4) Β Είναι () () Το πρόσημο της και η μονοτονία της σημειώνονται στον διπλανό πίνακα

4 Άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο και στο [ ) και γνησίως φθίνουσα στο 7 Η παρουσιάζει τοπικό μέγιστο το και τοπικό ελάχιστο το () 7 Β4 Ο ρυθμός μεταβολής της είναι η παράγωγος της () 0 Είναι () 6 0 () Το πρόσημο της και η μονοτονία της σημειώνονται στον διπλανό πίνακα Άρα ο ρυθμός μεταβολής της γίνεται ελάχιστος για ΘΕΜΑ Γ Γ Έστω Χ ο μηνιαίος μισθός των υπαλλήλων Η κατανομή είναι κανονική άρα το % των παρατηρήσεων είναι μικρότερες του 84% είναι το πολύ ίσο με s s και το Άρα s 00 και s 800 Λύνοντας το σύστημα των δύο αυτών σχέσεων προκύπτει ότι 700 και s 00 Γ Οι παρατηρήσεις που δεν ξεπερνούν τα 600 ευρώ αποτελούν το 00% 68% 6% Γ Έστω ν το πλήθος των εργατών Οι εργάτες με μισθό κάτω από 600 αποτελούν το 6% οι εργάτες με μισθό από 600 έως 800 αποτελούν το 68% και οι υπόλοιποι το 6% Ο νέος μέσος μισθός είναι: 6% 68% 0 6% 00 6% 68% 0 6% ευρώ 9% Γ4 Μισθό από 00 έως 700 ευρώ έχουν το 47% των εργατών Άρα 47%

5 α) Λόγω συμμετρίας το ποσοστό των παρατηρήσεων που ανήκουν στο [ 60700] είναι ίσο με το ποσοστό των παρατηρήσεων που ανήκουν στο [70070] Άρα το ποσοστό των παρατηρήσεων που ανήκουν στο [ 60700] [70800] είναι ίσο με το ποσοστό των παρατηρήσεων που 68% ανήκουν στο [ 70070] [70800] [700800] το οποίο είναι 4% και αντίστοιχα το πλήθος είναι 4% εργάτες β) Έστω κ το πλήθος των παντρεμένων εργατών Ο νέος μέσος μισθός είναι: % 4% 4% ΘΕΜΑ Δ Δ Η () ln () 0 ορίζεται για κάθε R και είναι παραγωγίσιμη στο R με () 0 () 0 () αφού 0 αφού 0 Το πρόσημο της και η μονοτονία της σημειώνονται στον διπλανό πίνακα Άρα η είναι γνησίως φθίνουσα στο (0] γνησίως αύξουσα στο [ 0 ) και παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το (0) ln Δ Έστω g ( ) ln 0 Είναι g ( ) ln 0 g ( ) 0 ln 0 ln g ( ) 0 ln 0 ln 0 g ( ) 0 Το πρόσημο της g και η μονοτονία της g σημειώνονται στον διπλανό πίνακα Άρα το ελάχιστο της γίνεται μέγιστο για

6 Δ Είναι P( ) και P(O ) P( ) Επίσης P( ) P(B) P( ) P(B) 0 Η είναι γνησίως φθίνουσα στο (0] άρα P(A B) P(B) ) P(A B) P( ) P(B) P(O') Δ4 α) Είναι () και () () () 0 0 Άρα () και () Η εφαπτομένη της C στο σημείο με τετμημένη έχει συντελεστή διεύθυνσης Η ευθεία y y έχει συντελεστή διεύθυνσης Είναι κάθετες άρα ln 0 ln ) P(AB β) Είναι ln P(A B) ln P(A B) P(A B) P(AB) ln P(A B) P(AB) ln Αφού (ln ) ln ln Είναι A B A 0 P(A B) Η είναι γνησίως αύξουσα στο 0 ) Οπότε η () ισχύει άρα και η αρχική P(A B) ln [ άρα P(A B) P(A B) () γ) Είναι AB B AB P( ) P(A B) P(B) P(A B) P( ) Άρα η μέση τιμή είναι P(O) P(A B) P( ) P(A B) P( ) 0 P(A B) P( ) P(A B) P(A B) P( ) P(B) P(A B) P(B) ln Η διάμεσος είναι ίση με τη μεσαία παρατήρηση οπότε P(B) Είναι P(B) ln ln P( ) P(B) P(B) ln P(B) H λύση είναι δεκτή αφού ln 0 ln ln ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΘΕΜΑΤΩΝ : Κανελλάκης Ιάσονας Καρλέτσης Νάσος Καστανάς Γιώργος Παπακωνσταντινοπούλου Έλενα