ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγή... 1

Περιεχόμενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγή... 1 1.1 Ιστορική αναδρομή...1 1. Μικροδομή του χάλυβα...19 1.3 Τεχνολογία παραγωγής χάλυβα...30 1.4 Μηχανικές ιδιότητες χάλυβα...49 1.5 Ποιότητες δομικού χάλυβα...58 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Bάσεις σχεδιασμού... 69.1 Εισαγωγή...69. Στατιστικές κατανομές μιας μεταβλητής...70.3 Στατιστικές κατανομές περισσοτέρων μεταβλητών...76.4 Συντελεστής ασφαλείας...78.4 Βασική σχέση ελέγχου...81.5 Προσδιορισμός αντιστάσεων σχεδιασμού από πειράματα...84.6 Οριακές καταστάσεις και βασική ανίσωση ελέγχου...91.7 Είδη δράσεων και επιμέρους συντελεστών ασφαλείας...94.8 Συνδυασμοί δράσεων...96.9 Κανονισμοί...99 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Μέθοδοι ανάλυσης και ελέγχου... 105 3.1 Γενικά...105 3. Γραμμική ελαστική ανάλυση (LA)...109 3.3 Πλαστική ανάλυση (ΜΝA)...11 3.4 Γεωμετρικώς μη γραμμική, ελαστική ανάλυση (GΝA)...163 3.5 Γεωμετρικώς μη γραμμική, πλαστική ανάλυση (GΜΝA)...184 3.6 Μη γραμμικές αναλύσεις σε φορείς με ατέλειες (GΝΙA, GΜΝΙA)...187 3.7 Μέθοδοι σχεδιασμού και κριτήρια αστοχίας...191 3.9 Στρέψη...199 iii

iv Περιεχόμενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Προσδιορισμός αντιστάσεων διατομών με ελαστική ανάλυση... 09 4.1 Γενικά...09 4. Αξονικές δυνάμεις Ν...11 4.3 Ροπές κάμψης Μ...16 4.4 Ροπές κάμψης Μz...17 4.5 Δίροπο Μw...18 4.6 Συνδυασμός Ν, Μ, Μz και Μw... 4.7 Τέμνουσες Vz...8 4.8 Τέμνουσες V...34 4.9 Ροπές στρέψης κατά St Venant, ή πρωτεύουσες ροπές στρέψης Μtp...37 4.10 Ροπές στρέψης εκ στρέβλωσης, ή δευτερεύουσες ροπές στρέψης...43 4.11 Συνδυασμός Vz, V, tp και ts...46 4.1 Συνδυασμός όλων των εντατικών μεγεθών Ν, Μ, Μz, Μw Vz, V, tp και ts...51 4.13 Κέντρο διάτμησης...55 4.14 Προϋποθέσεις ανάπτυξης της ελαστικής αντοχής (διατομές Κατηγορίας 3)...59 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Προσδιορισμός αντιστάσεων διατομών με πλαστική ανάλυση... 67 5.1 Γενικά...67 5. Αξονικές δυνάμεις Ν...70 5.3 Ροπές κάμψης Μ...71 5.4 Ροπές κάμψης Μz...77 5.5 Δίροπο Μw...79 5.6 Συνδυασμός Ν, Μ...8 5.7 Συνδυασμός Ν, Μ, Μz και Μw σε διατομές Ι διπλής συμμετρίας...86 5.8 Συνδυασμός Ν, Μ και Μz σε κοίλες ορθογωνικές διατομές διπλής συμμετρίας...305 5.9 Κοίλη κυκλική διατομή...30 5.10 Λοιπές διατομές...3 5.11 Τέμνουσες Vz και V...33 5.1 Ροπές στρέψης κατά St Venant...33 5.13 Ροπές στρέψης εκ στρέβλωσης...34

Περιεχόμενα v 5.14 Συνδυασμός τεμνουσών στρεπτικών ροπών σε τοιχώματα διατομών...35 5.15 Συνδυασμός ορθών και διατμητικών τάσεων...36 5.16 Συνδυασμός όλων των εντατικών μεγεθών σε διατομές Ι διπλής συμμετρίας...37 5.17 Συνδυασμός όλων των εντατικών μεγεθών σε κοίλες ορθογωνικές διατομές διπλής συμμετρίας...334 5.18 Προϋποθέσεις εφαρμογής ελαστικής πλαστικής ανάλυσης (Κατηγορία )...338 5.19 Προϋποθέσεις εφαρμογής πλαστικής πλαστικής ανάλυσης (Κατηγορία 1)...345 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Ευστάθεια μεμονωμένων μελών... 349 6.1 Γενικά...349 6. Μέλη υπό αξονική θλίψη...35 6.3 Μέλη υπό κάμψη...386 6.4 Μέλη υπό θλίψη και κάμψη...4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Φορείς... 445 7.1 Συνεχείς δοκοί...445 7. Δικτυώματα...451 7.3 Σύνθετα υποστυλώματα...458 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Κοχλιωτές συνδέσεις... 509 8.1 Γενικά...509 8. Κοχλίες και εξαρτήματα...510 8.3 Ανοχές οπών...514 8.4 Διάταξη κοχλιών...516 8.5 Εκτέλεση των κοχλιώσεων...517 8.6 Aντοχή κοχλιών...519 8.7 Ομάδες κοχλιών...57 8.8 Ομάδα κοχλιών υπό κεντρική αξονική δύναμη...533 8.9 Ομάδα κοχλιών υπό συνεπίπεδη ροπή...543 8.10 Ομάδα κοχλιών υπό έκκεντρη δύναμη...550 8.11 Παραμορφώσεις φορέων λόγω αρχικής ολίσθησης κοχλιών...55 8.1 Συμπεριφορά κοχλιώσεων για δυνάμεις παράλληλες στον άξονα των κοχλιών...556

vi Περιεχόμενα 8.13 Αποκαταστάσεις μελών...57 8.14 Aπλές συνδέσεις δοκών...581 8.15 Κόμβοι σε συνδέσεις ροπής δοκών υποστυλωμάτων...584 8.16 Συμπεριφορά συνδέσεων ως προς τη στρέψη...589 8.17 Πείροι...59 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Συγκολλήσεις... 597 9.1 Γενικά...597 9. Μέθοδοι συγκολλήσεων...598 9.3 Είδη ραφών συγκόλλησης...604 9.4 Παραμένουσες τάσεις λόγω συγκολλήσεων...610 9.5 Παραμορφώσεις λόγω συγκολλήσεων...614 9.6 Διαδικασία συγκολλήσεων...63 9.7 Συγκολλησιμότητα, πλακοειδής απόσχιση...69 9.8 Εξασφάλιση ποιότητας και ασφάλεια συγκολλήσεων...637 9.9 Ανάλυση και έλεγχοι συγκολλήσεων...639 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Oριακή κατάσταση λειτουργικότητας... 649 10.1 Γενικά...649 10. Παραμορφώσεις...650 10.3 Ταλαντώσεις...658 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ... 683 Ευρετήριο συμβόλων... 689 Βιβλιογραφία... 695

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Προσδιορισμός αντιστάσεων διατομών με πλαστική ανάλυση 5.1 Γενικά Κατά τον προσδιορισμό της πλαστικής αντίστασης διατομών δεν τίθεται περιορισμός ως προς τις ανηγμένες παραμορφώσεις του χάλυβα. Αυτό σημαίνει ότι επιτρέπεται η πλαστικοποίηση τμήματος ή του συνόλου της διατομής, ανακατανομή δηλαδή των τάσεων μεταξύ των ινών της διατομής. Είναι προφανές, ότι ο έλεγχος των διατομών δεν γίνεται πλέον σε επίπεδο τάσεων αλλά σε επίπεδο εντατικών μεγεθών. Επομένως, η σύγκριση αφορά τα δρώντα εντατικά μεγέθη σχεδιασμού με τα αντίστοιχα εντατικά μεγέθη αντοχής σχεδιασμού. Στην περίπτωση όπου δρουν περισσότερα εντατικά μεγέθη, εξετάζεται και η επιρροή της μεταξύ τους αλληλεπίδρασης. Οι τιμές των λαμβόμενων υπόψη επιμέρους συντελεστών ασφαλείας είναι οι ίδιες με αυτές της ελαστικής ανάλυσης, όπως παρουσιάστηκαν στα προηγούμενα Κεφάλαια. Για τον προσδιορισμό των πλαστικών εντατικών μεγεθών, είναι απαραίτητη η γνώση της καμπύλης τάσεων παραμορφώσεων του χάλυβα στην πλαστική περιοχή. Για τους συνήθεις μαλακούς χάλυβες, η καμπύλη αυτή εμφανίζει κατ αρχήν μια σαφή περιοχή διαρροής, όπου οι τάσεις παραμένουν περίπου σταθερές, την οποία διαδέχεται μια περιοχή κράτυνσης, όπου οι τάσεις αυξάνουν μεν, αλλά με μικρότερο ρυθμό απ ότι στην ελαστική περιοχή (Σχ. 5.1). Στη συμβατική πλαστική ανάλυση, όπως παρουσιάζεται στο παρόν Κεφάλαιο, το διάγραμμα τάσεων παραμορφώσεων του χάλυβα θεωρείται δι-γραμμικό, με την τάση να μην αυξάνει πέραν του ορίου διαρροής. Η επιρροή της κράτυνσης αγνοείται, θεωρώντας την ως ένα πρόσθετο, κρυμμένο, στοιχείο ασφαλείας στην κατασκευή. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο εισάγεται, σε περιπτώσεις όπου δεν υπάρχουν κίνδυνοι αστάθειας και η οριακή κατάσταση αντιστοιχεί στη διαρροή, ένας επιμέρους συντελεστής ασφαλείας γ Μ0 = 1,0 (αντί 1,10). Η τιμή αυτή δίνει την εντύπωση ότι δεν προβλέπεται καθόλου ασφάλεια στην πλευρά των αντιστάσεων. Κάτι τέτοιο όμως δεν συμβαίνει, διότι λόγω της κράτυνσης οι οριακές τάσεις είναι μεγαλύτερες από το όριο διαρροής. 67

68 ΣΙΔΗΡΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ σ d ε Σχήμα 5.1 Πραγματικό και ιδεατό διάγραμμα τάσεων - παραμορφώσεων του χάλυβα Για καθένα εντατικό μέγεθος μπορεί να προσδιοριστεί η μέγιστη τιμή, πέραν της ο- ποίας δεν είναι δυνατή η παραλαβή του από τη διατομή. Η οριακή αυτή τιμή ονομάζεται τιμή πλήρους πλαστικοποίησης, ή πλαστικό εντατικό μέγεθος. Με εφαρμογή του επιμέρους συντελεστή ασφαλείας των αντιστάσεων, προκύπτει η τιμή του πλαστικού εντατικού μεγέθους σχεδιασμού. Αξίζει να σημειωθεί, ότι η επίτευξη του πλαστικού εντατικού μεγέθους δε συνεπάγεται κατ ανάγκη πλήρη πλαστικοποίηση της διατομής. Αυτό, που φαίνεται κατ αρχή περίεργο, θα δειχθεί με τη βοήθεια ενός απλού παραδείγματος. Για το σύστημα του Σχήματος 5.α, αποτελούμενο από μια απολύτως στερεά δοκό και δύο ελατήρια, η ελαστο-πλαστική συμπεριφορά των οποίων δίνεται στο Σχήμα 5.β, ζητείται η οριακή αξονική δύναμη. Το απλό αυτό σύστημα μπορεί να αντιπροσωπεύει μια διατομή της οποίας οι κορμοί (τα ελατήρια δηλαδή) έχουν π.χ. διαφορετικό όριο διαρροής. Είναι προφανές ότι η μέγιστη τιμή της δύναμης για την οποία δεν προκύπτει στροφή της δοκού είναι Ν u = P1. Η οριακή αυτή δύναμη προκαλεί μερική πλαστικοποίηση του συστήματος, διότι το ελατήριο δεν έχει εισέλθει στην πλαστική περιοχή. Φυσικά η μέγιστη δυνατή δύναμη είναι ίση με Ν max = P 1 P, συνοδεύεται όμως από στροφή της δοκού δ δ 1 ϕ =. Για να αναπτυχθεί η Ν max χωρίς τέτοια στροφή, πρέπει να εφαρμόζεται έκκεντρα στη δοκό. Η κατάσταση αυτή αντιστοιχεί στην εφαρμογή μιας δύναμης Ν max και μιας ροπής Μ= P P ) ( 1.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΠΛΑΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΤΟΜΩΝ 69 Είναι χαρακτηριστικό ότι η ροπή αυτή στηρίζει την αξονική δύναμη, και εμποδίζει τη στροφή. Επομένως η δύναμη Ν max δεν μπορεί να αναπτυχθεί ως κεντρική αξονική δύναμη, αλλά μόνο με συνοδεία ροπής, πρόκειται δηλαδή για περίπτωση αλληλεπίδρασης (Ν,Μ). To ανωτέρω αποτελεί πρόβλημα με ελεγχόμενη ένταση. Στα προβλήματα αυτού του τύπου εφαρμόζουμε δυνάμεις, ροπές ή συνδυασμό αυτών και προσδιορίζομε την απόκριση του συστήματος από πλευράς παραμορφώσεων. Ας εξετάσουμε τώρα το αντίστοιχο πρόβλημα με ελεγχόμενες παραμορφώσεις. Στα προβλήματα αυτού του τύπου εφαρμόζομε μια προκαθορισμένη μορφή παραμορφώσεων και προσδιορίζουμε την απόκριση του συστήματος από πλευράς έντασης, δηλαδή δυνάμεις, ροπές ή συνδυασμό αυτών. Στη συγκεκριμένη περίπτωση εφορμόζουμε μια παράλληλη μετατόπιση της δοκού και ζητούμε την απόκριση του συστήματος από πλευράς δυνάμεων και ροπών. Είναι προφανές ότι η απόκριση αυτή δίνει το συνδυασμό (Ν = P 1 P, Μ= ( P P1 ) ), για τον οποίο επέρχεται πλήρης πλαστικοποίηση του συστήματος. Ο προσδιορισμός των πλαστικών εντατικών μεγεθών, ή συνδυασμών αυτών, αντιμετωπίζεται ως πρόβλημα ελεγχόμενης έντασης [5.13]. Ο λόγος είναι ότι επιβάλλουμε ένα συγκεκριμένο εντατικό μέγεθος, π.χ. μία αξονική δύναμη, ή συνδυασμό εντατικών μεγεθών σε μια συγκεκριμένη αναλογία, για τα οποία ζητούμε τη μέγιστη τιμή. Η παρατήρηση αυτή δεν έχει ληφθεί πάντα υπόψη από τις προτεινόμενες διατάξεις κανονισμών, π.χ. του Ευρωκώδικα 3, και οδηγεί σε υπερεκτίμηση της αντοχής, όπως θα δειχθεί στη συνέχεια.

70 ΣΙΔΗΡΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ δ 1 δ δ 1 P P P 1 1 δ α) β) δ 1 δ γ) Ν δ) P 1 P P 1 P 1P P 1 δ 1 δ δ Σχήμα 5. α) Εξεταζόμενο σύστημα, φόρτιση, β) συμπεριφορά ελατηρίων, γ) απόκριση δοκού, δ) αναπτυσσόμενη ροπή Στη συνέχεια θα δοθούν οκτώ πλαστικά εντατικά μεγέθη σχεδιασμού, κατ αντιστοιχία με αυτά της ελαστικής ανάλυσης, καθώς και οι σχέσεις της μεταξύ τους αλληλεπίδρασης για ορισμένες συνήθεις διατομές. 5. Αξονικές δυνάμεις Ν Κατά την εφαρμογή αξονικών δυνάμεων, προκαλείται στο όριο πλήρης πλαστικοποίηση της διατομής (Σχ. 5.3). Επομένως, η πλαστική αξονική δύναμη σχεδιασμού είναι ίδια με αυτήν της ελαστικής ανάλυσης και δίνεται από τις εξισώσεις (4.7) και (4.11). Ο έλεγχος της διατομής γίνεται με τη βοήθεια των σχέσεων (4.8) ή (4.13). Για διατομές χωρίς οπές ισχύει επομένως:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΠΛΑΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΤΟΜΩΝ 71 NSd n = 1 (5.1) N,Rd 5.3 Ροπές κάμψης Μ Κατά την επιβολή ροπής, συνεχίζει η ισχύς της υπόθεσης Bernoulli, χωρίς τον περιορισμό του μεγέθους των τάσεων, και επομένως των ανηγμένων παραμορφώσεων. Οι τάσεις στην οριακή κατάσταση πλήρους πλαστικοποίησης είναι ίσες με το όριο διαρροής σχεδιασμού,d =,k / γ Μ0. Λόγω της ροπής, προκαλείται ένα ζεύγος, ίσων και αντίθετων, δυνάμεων, οι οποίες προκύπτουν ως συνισταμένες των θλιπτικών και ε- φελκυστικών τάσεων (Σχ. 5.3). Από την ισορροπία των δυνάμεων και των οριακών τάσεων: Z =, d Az = D =, d Ad (5.) προκύπτει ισότητα εμβαδών της θλιβομένης και εφελκυομένης ζώνης και επομένως η συνθήκη προσδιορισμού της θέσης του πλαστικού ουδέτερου άξονα: Α d = A z = A / (5.3) d d S Αd Αz - ed ez D Z [N] d [] Σχήμα 5.3 Τάσεις και δυνάμεις στη διατομή λόγω αξονικής δύναμης Ν και ροπής κάμψης Μ Παρατηρείται δηλαδή ότι ο πλαστικός ουδέτερος άξονας δεν ταυτίζεται κατ ανάγκη με το κέντρο βάρους της διατομής. Η οριακή ροπή προκύπτει ως το άθροισμα των επιμέρους ροπών των δύο ως άνω δυνάμεων, δηλαδή: = Z e D e, Rd z d (5.4)

7 ΣΙΔΗΡΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ όπου e z, e d = αποστάσεις των κέντρων εφαρμογής των δυνάμεων Ζ και D, δηλαδή των κέντρων βάρους των eμβαδών Α z και A d, ως προς τον πλαστικό ουδέτερο άξονα. Λαμβάνοντας υπόψη την (5.), η εξ. (5.4) γράφεται = ( A e / A e / ), Rd z d d (5.5) ή κατ αναλογία της εξ. (4.18) Μ,,Rd =, d W, = W, / γ 0 (5.6) όπου W = S S, z d = ( ez ed ) A / = πλαστική ροπή αντίστασης της διατομής (5.7) S z, S d = στατικές ροπές του εφελκυόμενου και του θλιβόμενου τμήματος της διατομής ως προς τον πλαστικό ουδέτερο άξονα. Για διατομές συμμετρικές ως προς τον άξονα, οι αποστάσεις e z και e d, οπότε και οι στατικές ροπές, είναι ίσες και ο πλαστικός ουδέτερος άξονας διέρχεται από το κέντρο βάρους της διατομής. Η πλαστική ροπή αντίστασης δίνεται τότε από τη σχέση: W, = S (5.8) όπου S = στατική ροπή της μισής διατομής ως προς το κέντρο βάρους. Είναι προφανές ότι ο, μεγαλύτερος ή ίσος της μονάδας, λόγος W, α = (5.9) W, el εξαρτάται από το σχήμα της διατομής, γι αυτό και ονομάζεται συντελεστής σχήματος. Ο έλεγχος έναντι καμπτικής ροπής γίνεται με βάση τις σχέσεις:, Μ,,Rd (5.10) Sd ή εναλλακτικώς:, Sd m = 1 (5.11),, Rd Στη συνέχεια θα προσδιοριστούν η πλαστική ροπή αντίστασης και ο συντελεστής σχήματος ορισμένων συνήθων διατομών των σιδηρών κατασκευών.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΠΛΑΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΤΟΜΩΝ 73 Ορθογωνική διατομή (Σχ. 5.4α) b t Σχήμα 5.4α Ορθογωνική διατομή Η διατομή είναι συμμετρική ως προς τον άξονα. Επομένως εφαρμόζεται η εξ. (5.8). t t S = b και 4 W, b t = (5.1) 4 b t / 4 α = = 1,5 (5.13) b t / 6 Διατομή δύο ίσων πελμάτων (Σχ. 5.4β) Α Α Σχήμα 5.4β Διατομή δύο πελμάτων

74 ΣΙΔΗΡΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ Η διατομή είναι συμμετρική ως προς τον άξονα. Επομένως εφαρμόζεται η εξ. (5.8). A A S = και W, = = W, el (5.14) και έτσι α = 1. Διατομής I διπλής συμμετρίας (Σχ. 5.5) z b t t w z Σχήμα 5.5 Διατομή I διπλής συμμετρίας Για τα εμβαδά ισχύει: Εμβαδόν διατομής: A = A A w Εμβαδόν πελμάτων: A = b t Εμβαδόν κορμού: A w = t w Τα ανηγμένα εμβαδά γράφονται: Πέλματα: α = A / A (5.15α) Κορμός: α w = A w / A = 1- α (5.15β) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5.1) και (5.14) προκύπτει για τη ροπή αντίστασης: W, A t w = (5.16) 4 ή λαμβάνοντας υπόψη τις εξ. (5.15)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΠΛΑΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΤΟΜΩΝ 75 1 α W, = A (5.17) 4 Εξάλλου η ελαστική ροπή αντίστασης γράφεται: A t w 1 α W,el = = A (5.18) 6 6 έτσι ώστε για το συντελεστή σχήματος να ισχύει: 3 1 α α = (5.19) 1 α Από την (5.19) προκύπτουν ως ειδικές περιπτώσεις: για την ορθογωνική διατομή, όπου για τη διατομή δύο πελμάτων, όπου α = 0: α = 1: α = 1,5 α = 1,0 Είναι προφανές ότι οι σχέσεις (5.17) έως (5.19) εφαρμόζονται με κατάλληλη προσαρμογή και για διατομές μορφής U ή κιβωτοειδείς διατομές. Προσοχή πρέπει να δίνεται στην εφαρμογή των ανωτέρω σχέσεων, όταν πρόκειται για πρότυπες διατομές Ι ή U. Οι πρότυπες διατομές έχουν ακτίνες συναρμογής πελμάτωνκορμού και η προσομοίωσή τους με τις κεντροβαρικές γραμμές μόνο δεν είναι απολύτως ακριβής. Στις πρότυπες διατομές, οι πλαστικές ροπές αντίστασης δίνονται από πίνακες. Διατομής I απλής συμμετρίας (Σχ. 5.6) Αo Αw Αu Σχήμα 5.6 Διατομή I απλής συμμετρίας

76 ΣΙΔΗΡΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ Από την ισότητα των εμβαδών της θλιβόμενης και της εφελκυόμενης ζώνης προκύπτει ότι η απόσταση του πλαστικού ουδέτερου άξονα από το μέσο του κορμού είναι ίση με: A A A z w o u 0 = (5.0) Οι αποστάσεις των κέντρων βάρους των δύο εμβαδών της διατομής από τον πλαστικό ουδέτερο άξονα είναι ίσες με: w 0 o w 0 0 o o t ) z ( A t ) z ( ) z ( A e = (5.1α) w 0 u w 0 0 u u t ) z ( A t ) z ( ) z ( A e = (5.1β) και από την εξ. (5.7), η πλαστική ροπή είναι ίση με: A ) e (e W u o, = (5.1γ) Στον Πίνακα 5.1 δίνονται οι πλαστικές ροπές αντίστασης και οι συντελεστές σχήματος διαφόρων συνήθων διατομών.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΠΛΑΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΤΟΜΩΝ 77 Διατομές e W W el α e1 e e 0,3905 0,0976 b 0,0417 b,34 b e 0,3333 0,0833 b 0,0417 b,00 b r e 3 0,8488 r 1,3333 r π r 4 3 1,70 e 0,5 0,5 b 0,1667 b 1,50 b t r e 4 r π 4 t r π t r 1,7 t << r 1,11-1,18 F F F 1,00 F Πίνακας 5.1 Ροπές αντίστασης και συντελεστές σχήματος διατομών

78 ΣΙΔΗΡΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ 5.4 Ροπές κάμψης Μ z Τα ανωτέρω εκτεθέντα για τις ροπές ως προς τον ισχυρό άξονα, ισχύουν κατ αναλογία και για τον ασθενή άξονα. H πλαστική ροπή σχεδιασμού δίνεται από τη σχέση: Μ z,,rd =,d Wz, = Wz, / γ (5.) 0 Ο έλεγχος έναντι καμπτικής ροπής γίνεται με βάση τις σχέσεις: Μ z,,rd (5.3) z,sd ή εναλλακτικώς: z,sd mz = 1 (5.4) z,,rd Η πλαστική ροπή αντίστασης και ο συντελεστής σχήματος ως προς τον ασθενή άξονα δίνονται από τις σχέσεις (5.7) έως (5.9), με αντικατάσταση του δείκτη από το δείκτη z. Διατομής I διπλής συμμετρίας (Σχ. 5.5) Είναι προφανές ότι η διατομή συμπεριφέρεται ως προς τον ασθενή άξονα ως μια διατομή αποτελούμενη από τις δύο λεπίδες των πελμάτων για την οποία ο συντελεστής σχήματος είναι ίσος με 1,5. H πλαστική ροπή αντίστασης δίνεται επομένως από τη σχέση: b t Wz, = 1,5 Wz,el = (5.5) 4 Διατομής I απλής συμμετρίας (Σχ. 5.6) Η πλαστική ροπή αντίστασης δίνεται από τη σχέση: bo t o bu t u Wz, = Wz,,o Wz,,u = (5.6) 4 Διατομή U (Σχ. 5.7) t tw b Σχήμα 5.7 Διατομή U

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΠΛΑΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΤΟΜΩΝ 79 Για τη διατομή αυτή εφαρμόζεται η εξ. (5.1), όπου τίθενται A w = b t A u = Α = t και A w ο = 0. Επομένως είναι: W z, A A A A = w w (5.7) w A 5.5 Δίροπο Μ w Κατά την επιβολή του δίροπου συνεχίζει να ισχύει η παραδοχή Wagner σε ότι αφορά τις ανηγμένες παραμορφώσεις, χωρίς όμως περιορισμό του μεγέθους τους. Το δίροπο * αναλύεται για ανοικτές διατομές σε ένα ζεύγος εγκάρσιων ροπών κάμψης z στα πέλματα, σύμφωνα με τη σχέση (4.33) (Σχ. 4.8). Η οριακή κατάσταση αντιστοιχεί * στην επίτευξη της οριακής ροπής z,,rd. Tο πλαστικό οριακό δίροπο σχεδιασμού δίνεται τότε από τη σχέση: Μ w,,rd = * z,,rd = min W (5.8) z,,, d Ο έλεγχος έναντι του δίροπου γίνεται με βάση τις σχέσεις: Μ w,,rd (5.9) w,sd ή εναλλακτικώς: w,sd mw = 1 (5.30) w,,rd Διατομές Ι διπλής συμμετρίας (Σχ. 5.8α) min W z,,, = W z, / = 0,75 W z,el οπότε ισχύει: Μ w,,rd = z, / (5.31) Διατομές Ι απλής συμμετρίας (Σχ. 5.8β) Είναι: b t * u u z,,rd = min Wz,,,d = (5.3) 4 γ 0

80 ΣΙΔΗΡΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ Kλειστές ορθογωνικές διατομές (Σχ. 5.8γ) To δίροπο αναλύεται σε δύο ζεύγη ροπών στα τοιχώματα της διατομής. Το πλαστικό οριακό δίροπο σχεδιασμού δίνεται από τη σχέση: 1 t w 1 b t Μ w,,rd = min,d, * *,d (5.33) μ 4 μz 4 όπου οι τιμές των * * µ z και µ δίνονται από τις εξ. (4.36) _ d _ d bu tu Σχήμα 5.8 Πλαστική κατανομή τάσεων έναντι δίροπου Παράδειγμα 5.1: Ζητούνται τα πλαστικά εντατικά μεγέθη της διατομής του παραδείγματος., Χάλυβας S 35 (Σχ. 5.9). Σχήμα 5.9 Διατομή παραδείγματος 5.1 (και 4.)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΠΛΑΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΤΟΜΩΝ 81 Αξονική δύναμη Ν N,Rd = 107,5 3,5 /1,1 =. 97 kn (Παράδειγμα 4.) Ροπή Η απόσταση του πλαστικού ουδέτερου άξονα από το μέσο του κορμού είναι ίση με:,5 45 41,5 z 0 = = 11,67 cm 40 Παρατηρούμε ότι ο πλαστικός ουδέτερος άξονας βρίσκεται πιο κοντά στο ισχυρότερο, άνω, πέλμα απ ότι το κέντρο βάρους της διατομής. Οι αποστάσεις e o και e u είναι ίσες με: 41,5 41,5 1 45 ( 11,67) ( 11,67) e o = = 8,3 cm εξ (5.1α) 41,5 45 ( 11,67) 1 και e u 41,5 41,5 1,5 ( 11,67) ( 11,67) = =,85 cm εξ. (5.1β) 41,5,5 ( 11,67) 1 Πλαστική ροπή αντίστασης: 107,5 W, = (8,3,85) = 1.675 cm 3 εξ. (5.1γ) Συντελεστής σχήματος: α = 1675 / 13 = 1,37 Πλαστική ροπή σχεδιασμού: Μ,,Rd = 1675 3,5/1,1 = 35. 784kNcm = 358 knm Ροπή z εξ. (5.6): W z, Συντελεστής σχήματος: α = 41,9 / 53 = 1,67 30 1,5 15 1,5 = = 337,5 84,4 = 41,9 cm 3 4

8 ΣΙΔΗΡΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ Πλαστική ροπή σχεδιασμού: Μ z,,rd = 41,9 3,5 /1,1 = 9. 013kNcm = 90,1 knm Δίροπο w εξ. (5.8): Μ w,,rd = 84,4 41,5 3,5/1,1 = 74. 88 kncm = 7,5 knm 5.6 Συνδυασμός Ν, Μ Διατομή από δύο ίσα πέλματα Τα πλαστικά εντατικά μεγέθη της διατομής είναι ίσα με: = A και A = (5.34) Η διατομή υποβάλλεται σε αξονική δύναμη Ν και ροπή κάμψης Μ (Σχ. 5.10). Οι τάσεις στα πέλματα είναι: λόγω της αξονικής δύναμης σ = (5.35α) A λόγω της ροπής κάμψης σ = ± (5.35β) A Για ταυτόχρονη επιβολή των Ν και Μ ισχύει στην οριακή κατάσταση: σ σ = ή λαμβανομένων υπόψη των εξ. (5.34) και (5.35): = 1 Ο έλεγχος έναντι της συνδυασμένης καταπόνησης γίνεται για να δειχθεί ότι: Sd, Rd Sd, Rd 1 (5.36) (5.37) Εναλλακτικώς ο έλεγχος γράφεται υπό τη μορφή: Sd, Rd (5.38) όπου Μ N,Rd είναι η μειωμένη λόγω της αξονικής δύναμης οριακή ροπή, ίση με:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΠΛΑΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΤΟΜΩΝ 83, Rd Sd =, Rd (1 ) (5.39). Rd Όπως παρατηρείται από το Σχήμα 5.10, κατά την ταυτόχρονη επιβολή αξονικής δύναμης και καμπτικής ροπής δεν επιτυγχάνεται στην οριακή κατάσταση πλήρης πλαστικοποίηση της διατομής, αλλά μόνο του ενός πέλματος. Α σn σ N Α σn σ Σχήμα 5.10 Διατομή από δύο ίσα πέλματα υπό θλίψη και κάμψη Ορθογωνική διατομή Τα πλαστικά εντατικά μεγέθη προσδιορίζονται από τις σχέσεις: = t και = t / 4 (5.40) Από την κατανομή των τάσεων στη διατομή προκύπτει για τα επιβαλλόμενα εντατικά μεγέθη (Σχ. 5.11): = t και = ( 1 ) t 1 (5.41) Εξάλλου ισχύει η γεωμετρική σχέση = 1. Συνδυάζοντας τη σχέση αυτή με τις εξ. (5.39) και (5.40), προκύπτει μετά την εκτέλεση των πράξεων: = 1 Ο έλεγχος για τη συνδυασμένη καταπόνηση παίρνει τη μορφή: (5.4) Sd, Rd Sd, Rd 1 (5.43)

84 ΣΙΔΗΡΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ Ο έλεγχος γράφεται υπό τη μορφή της εξ. (5.39), όπου η μειωμένη λόγω της αξονικής δύναμης οριακή ροπή είναι ίση με: Sd, Rd =, Rd 1 (5.44), Rd d 1 N 1 t d Σχήμα 5.11 Ορθογωνική διατομή υπό θλίψη και κάμψη Το Σχήμα 5.11 δείχνει, ότι σε αντίθεση με την προηγούμενη διατομή από δύο πέλματα, στην ορθογωνική διατομή υπάρχει στην οριακή κατάσταση πλήρης πλαστικοποίηση κατά την ταυτόχρονη επιβολή αξονικής δύναμης και καμπτικής ροπής. Εισάγοντας τους λόγους n Sd = και, Rd οι εξ. (5.37) και (5.43) γράφονται: m Sd =,, Rd n m 1 (5.45α) και αντιστοίχως n m 1 (5.45β) Η γραφική παράσταση των εξισώσεων αλληλεπίδρασης (5.45) παρουσιάζεται στο Σχήμα 5.1 σε μορφή καμπυλών αλληλεπίδρασης. Οι καμπύλες αλληλεπίδρασης τέμνουν προφανώς τους άξονες στην τιμή 1. Μια συγκεκριμένη εντατική κατάσταση παρίσταται στα διαγράμματα ως ένα σημείο. Ο έλεγχος ικανοποιείται αν το σημείο βρίσκεται εντός της επιφάνειας που περικλείεται από την καμπύλη αλληλεπίδρασης, οπότε ισχύει το σύμβολο < (μικρότερο). Σημεία επί της καμπύλης αλληλεπίδρασης ικανοποιούν την ισότητα (=), ενώ για σημεία που βρίσκονται εκτός της καμπύλης ι- σχύει το > (μεγαλύτερο) και ο έλεγχος δεν ικανοποιείται.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΠΛΑΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΤΟΜΩΝ 85 1 m 0.8 0.6 0.4 0. ορθωγων ική διατομή διατομή δύο πελμάτων 0 0 0. 0.4 0.6 0.8 1 n Σχήμα 5.1 Πλαστικές καμπύλες αλληλεπίδρασης δύο διατομών και/ή ελαστική και πλαστική καμπύλη αλληλεπίδρασης ορθογωνικής διατομής για αξονική δύναμη και κάμψη Παρατηρείται ότι για πλαστική ανάλυση η μορφή των καμπυλών αλληλεπίδρασης εξαρτάται από το σχήμα της διατομής. Η μη γραμμικότητα της πλαστικής ανάλυσης φαίνεται και από το καμπύλο σχήμα των καμπυλών αλληλεπίδρασης. Η γραμμική μορφή της καμπύλης αλληλεπίδρασης της διατομής από δύο πέλματα δείχνει, ότι η εφαρμογή ελαστικής και πλαστικής ανάλυσης στη διατομή αυτή οδηγούν στο ίδιο αποτέλεσμα. Αυτό εξάλλου πιστοποιείται και από το γεγονός ότι ενώ η διατομή βρίσκεται ολόκληρη στην πλαστική περιοχή όταν n = 1 ή m = 1, στα ενδιάμεσα σημεία όπου υπάρχουν ταυτόχρονα n και m δε συμβαίνει πλήρης πλαστικοποίηση. Οι δύο καμπύλες του σχήματος 5.1 μπορούν να θεωρηθούν ότι αντιπροσωπεύουν και διαφορετικές οριακές καταστάσεις μιας ορθογωνικής διατομής. Η ευθεία αντιστοιχεί στην ελαστική οριακή κατάσταση, η καμπύλη στην πλαστική οριακή κατάσταση. Η διατομή βρίσκεται στην ελαστική περιοχή για εντατικές καταστάσεις κάτω από την ευθεία και στην ελαστοπλαστική περιοχή για εντατικές καταστάσεις μεταξύ της ευθείας και της καμπύλης. Η ευθεία αντιστοιχεί στην πρώτη διαρροή, η καμπύλη στην πλήρη πλαστικοποίηση. Εντατικές καταστάσεις εκτός της καμπύλης δεν είναι αποδεκτές. Η τελευταία παρατήρηση ισχύει φυσικά για το διγραμμικό διάγραμμα σ ε του Σχήματος 5.1, όπου δε λαμβάνεται υπόψη η κράτυνση του χάλυβα. Σε αντίθετη περίπτωση επιτρέπονται εντατικές καταστάσεις και εκτός της καμπύλης. Οι ανωτέρω παρατηρήσεις συνοψίζονται ως ακολούθως: