ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ µηχανικές ταλαντώσεις H ταλάντωση θα συνεχίζεται χωρίς αλλαγές; όχι Γιατί; Έχουµε απώλειες ενέργειας λόγω τριβών Παρατήρηση: οι τριβές εδώ δενείναι είναι της µορφής: Τ=µΝ Ειδική περίπτωση: : δυνάµεις τριβής της µορφής F=-bυ Όπου b: σταθερά απόσβεσης (από τι εξαρτάται;) Σχήµα µέγεθος του ταλαντευόµενου σώµατος Ιδιότητες του µέσου Για έναν ταλαντωτή, ο οποίος χωρίς απόσβεση θα ήταν αρµονικός θα ίσχυε δηλαδή ΣF= - Dx η παρουσία της δύναµης F αντ = - bυ οδηγεί στην εξίσωση: ΣF= Dx bυ
Αποτελέσµατα µελέτης των φθινουσών ταλαντώσεων: Α) ) για bσταθερό => Τ σταθερό => Τ σταθερό Τ x = 0 A e Λt Β) ) για το τοπικά µέγιστα x = 0 A e A A 0= 1=... = σταθερό <=> Α A A κ =Α 0 e -Λt όπου t=κτ µε κ ℵ 1 2 Αξίζει να προσέξουµε ότι καθώς οι τιµές του χρόνου Το Λ εξαρτάται από τα: b, m Λt αυξάνουν µε αριθµητική πρόοδο, οι τιµές του πλάτους µειώνονται µε φθίνουσα γεωµετρική πρόοδο x=a 0 e -Λt ηµ(ωt+φ)
Γ) αν b => γρήγορη µείωση του πλάτους ) για bπολύ µεγάλο => απεριοδική κίνηση
Ε) αν b => T Προσοµοίωση µιας φθίνουσας Α.Α.Τ., στην οποία µπορεί να µεταβληθεί η σταθερά απόσβεσης x=a 0 e -Λt
Πρακτικές εφαρµογές; Όταν τα αµορτισέρ φθείρονται η τιµή του b ελαττώνεται οπότε ο χρόνος ταλάντωσης είναι ; µεγαλύτερος CD Ερωτήσεις: 1.17, 1.18, 1.19, 1.24 Άσκηση: 1.32 Ηλεκτρικές ταλαντώσεις Ερωτήσεις Α. Είναι αµείωτες οι ταλαντώσεις σεένα κύκλωµα LC; Όχι Β.Πού οφείλονται οι απώλειες ενέργειας σεένα κύκλωµα LC; Στην ωµική αντίσταση και στην εκποµπή η/µ κυµάτων Γ. Ποια είναι η αντίστοιχη εξίσωση της Α κ =Α 0 e -Λ t στις ηλ. ταλαντ.; Q=Q 0 e -Λt. Ποια σταθερά αντιστοιχεί στην bγια τις ηλεκτρικέςταλαντώσεις; (F=-bυ V=RI) R Ε.Απότι εξαρτάται τολγια τιςηλ. ταλαντώσεις; R, L Ερώτηση: 1.20
Μάζα (m) Σταθερά D Πλάτος (Α) υ= Μηχανικές ταλαντώσεις x t Αποµάκρυνση x=αηµ(ωt+φ) Ταχύτητα υ=υ max συν(ωt+φ) Ηλεκτρικές ταλαντώσεις Συντελεστής αυτεπαγωγής (L) Αντίστροφο χωρητικότητ. (1/C) Μέγιστο φορτίο (Q) q i= t Φορτίο q=qηµ(ωt+φ) Έντ. ρεύµατος i=iσυν(ωt+φ) υ max =ωα I =ωq 1 υναµική ενέργεια: U= Dx 2 Ενέργεια ηλ. πεδίου: U E = 1 q 2 2 2 Κινητική ενέργεια: Κ= mυ 2 1 C 2 Ενέργεια µαγ. πεδίου: U B = Li 2 Περίοδος: T= 2π m Περίοδος: T= 2π LC υ D F=m t Ε=-L t i Α Ε: U+K=U max =K max =E Α Ε: U E +U B =U Emax =U Bmax =E Αποσβέσεις: F=-bυ Λ(b,m) 1 2 Τάση: V=RI Λ(R,L)
Εφαρµογές 7
1. Ένα σύστηµα εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση, στην οποία η αντιτιθέµενη δύναµη είναι ανάλογη της ταχύτητας. Τότε α. η µηχανική ενέργεια του συστήµατος παραµένει σταθερή. β. το πλάτος της ταλάντωσης µειώνεται εκθετικά µε το χρόνο. γ. η περίοδος του συστήµατος µεταβάλλεται. δ. ο λόγος δύο διαδοχικών µεγίστων αποµακρύνσεων προς την ίδια κατεύθυνση µειώνεται. (Οµογ. 2002) 2. Σε µία φθίνουσα ταλάντωση ο λόγος δύο διαδοχικών µεγίστων αποµακρύνσεων προς την ίδια κατεύθυνση παραµένει σταθερός. Στην περίπτωση αυτή το πλάτος της ταλάντωσης α. µειώνεται εκθετικά µε το χρόνο. β. µειώνεται ανάλογα µε το χρόνο. γ. παραµένει σταθερό. δ. αυξάνεται εκθετικά µε το χρόνο. (Οµογ. 2003) 8
3. Σε µια φθίνουσα ταλάντωση της οποίας το πλάτος µειώνεται εκθετικά µε το χρόνο α. το µέτρο της δύναµης που προκαλεί την απόσβεση είναι ανάλογο της αποµάκρυνσης. β. ο λόγος δύο διαδοχικών πλατών προς την ίδια κατεύθυνση δεν διατηρείται σταθερός. γ. η περίοδος διατηρείται σταθερή για ορισµένη τιµή της σταθεράς απόσβεσης. δ. το µέτρο της δύναµης που προκαλεί την απόσβεση είναι σταθερό. (Επ. Ηµερ. 2004) 9
4. Όταν ένα σύστηµα εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση στην οποία η αντιτιθέµενη δύναµη είναι ανάλογη της ταχύτητας, τότε α. η περίοδος µεταβάλλεται. β. η µηχανική ενέργεια παραµένει σταθερή. γ. ο λόγος δύο διαδοχικών µεγίστων αποµακρύνσεων προς την ίδια κατεύθυνση αυξάνεται. δ. το πλάτος µειώνεται εκθετικά µε το χρόνο. (Επ. Εσπερ. 2004) 5. Με την πάροδο του χρόνου και καθώς τα αµορτισέρ τα αυτοκινήτου παλιώνουν και φθείρονται α. η τιµή της σταθεράς απόσβεσης b αυξάνεται. β. η τιµή της σταθεράς απόσβεσης b µειώνεται. γ. το πλάτος της ταλάντωσης του αυτοκινήτου, όταν περνά από εξόγκωµα του δρόµου, µειώνεται πιο γρήγορα. δ. η περίοδος των ταλαντώσεων του αυτοκινήτου παρουσιάζει µικρή αύξηση. (Επαν. Ηµερ. 2005) 10
6. Σε φθίνουσα µηχανική ταλάντωση της οποίας το πλάτος µειώνεται εκθετικά µε τον χρόνο, για ορισµένη τιµή της σταθεράς απόσβεσης, η περίοδος της ταλάντωσης µε την πάροδο του χρόνου α. αυξάνεται. β. διατηρείται σταθερή. γ. µειώνεται γραµµικά. δ. µειώνεται εκθετικά. (Ηµερ. 2009) 7. Στη σχέση Α=Α 0 e -Λt, η σταθερά Λ εξαρτάται από α. τη σταθερά απόσβεσης b και τη µάζα του ταλαντούµενου σώµατος. β. τη σταθερά απόσβεσης b και την πυκνότητα του ταλαντούµενου σώµατος. γ. την ταχύτητα ταλάντωσης και τη σταθερά απόσβεσης b. δ. την ταχύτητα του ταλαντούµενου σώµατος. 11
8. Σε µια φθίνουσα ταλάντωση, όπου η δύναµη που αντιτίθεται στη κίνηση είναι της µορφής F αντ = bυ, όπου b θετική σταθερά και υ η ταχύτητα του ταλαντωτή, α. όταν αυξάνεται η σταθερά απόσβεσης η περίοδος µειώνεται. β. το πλάτος διατηρείται σταθερό. γ. η σταθερά απόσβεσης εξαρτάται από το σχήµα και το µέγεθος του αντικειµένου που κινείται. δ. η ενέργεια ταλάντωσης διατηρείται σταθερή. (Ηµερ. 2011) 12
9. Σε µία φθίνουσα µηχανική ταλάντωση η δύναµη αντίστασης έχει τη µορφή F αντ = bυ. Αρχικά η σταθερά απόσβεσης έχει τιµή b 1. Στη συνέχεια η τιµή της γίνεται b 2 µε b 2 > b 1. Τότε: α. Το πλάτος της ταλάντωσης µειώνεται πιο γρήγορα µε το χρόνο και η περίοδός της παρουσιάζει µικρή µείωση. β. Το πλάτος της ταλάντωσης αυξάνεται πιο γρήγορα µε το χρόνο και η περίοδός της παρουσιάζει µικρή αύξηση. γ. Το πλάτος της ταλάντωσης µειώνεται πιο γρήγορα µε το χρόνο και η περίοδός της παρουσιάζει µικρή αύξηση. δ. Το πλάτος της ταλάντωσης αυξάνεται πιο γρήγορα µε το χρόνο και η περίοδός της παρουσιάζει µικρή µείωση. (Επαν. Ηµερ. 2012) 13
10. ίνονται οι γραφικές παραστάσεις που απεικονίζουν την ταλάντωση που εκτελούν τα συστήµατα ανάρτησης τριών αυτοκινήτων που κινούνται µε την ίδια ταχύτητα όταν συναντούν το ίδιο εξόγκωµα στο δρόµο. Α. Το αυτοκίνητο του οποίου το σύστηµα ανάρτησης λειτουργεί καλύτερα είναι το: α. Ι. β. ΙΙ. γ. ΙΙΙ. Β. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (Εσπερ. 2006) 14
11. Το πλάτος µιας φθίνουσας ταλάντωσης δίνεται από τη σχέση Α=Α 0 e -Λ t. Ο χρόνος που απαιτείται ώστε η ολική ενέργεια της ταλάντωσης να γίνει η µισή της αρχικής (Ε=Ε 0 /2) είναι: α. t= ln2/λ. β. t=ln2/2λ. γ. t= Λ/ln2. Ποια είναι η σωστή πρόταση; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 15
12. Σώµα µάζας 1kg εκτελεί φθίνουσα αρµονική ταλάντωση και το πλάτος µειώνεται µε το χρόνο σύµφωνα µε τη σχέση Α=0,1e -Λt (S.I.), µε t=nτ (Ν=0,1,2,3, ), όπου Τ είναι η περίοδος της φθίνουσας ταλάντωσης. Τη στιγµή t=0 η ενέργεια της ταλάντωσης του σώµατος είναι ίση µε 2J, ενώ τη στιγµή t 1 το πλάτος της ταλάντωσης είναι το µισό του αρχικού. Να βρεθούν: α. Το πλάτος της ταλάντωσης τη χρονική στιγµή t 2 =4t 1. β. Η περίοδος Τ της ταλάντωσης. γ. Το ποσοστό % της αρχικής ενέργειας που µετετράπη σε θερµότητα κατά τη διάρκεια της φθίνουσας ταλάντωσης από την αρχή µέχρι τη χρονική στιγµή t=2t 1. α. Α 2 = 1/160 m, β. Τ = π/10 s, γ. 93,75%. 16