Problemas resueltos del teorema de Bolzano 1 S e a la fun ción: S e puede af irm a r que f (x) está acotada en el interva lo [1, 4 ]? P or no se r c ont i nua f (x ) e n x = 1, la f unció n no e s c ont i nua e n e l int e r v a l o ce r r a d o [1,4 ], c omo c on se cue ncia no p odemos a f irmar q ue la f u nc ión e st é a cot a d a e n d ich o int e r v a lo. 2 Dada la f u n ción f (x ) = x 3, e s t u diar s i e s t a a cotada s u pe rio rm e n t e e inferiorm e n t e e n e l interva lo [1, 5 ] e in di ca s i a l canza s u s v a lo res m á x im o s y m ínim o s. L a f unc ió n e s c ont i nua e n e l i nt e r v a lo [1, 5 ], com o co nse c ue n cia p odemos a f irmar que e s t á acotada e n d ic ho int e r v a lo. P or se r co nt in ua e n e l i nt e r v a lo [1, 5 ] se cum p le e l t e o rema de W eiers t rass, q ue a f irma q ue se a lcanza a l m e n o s u n m á x im o y u n m ínim o a bs o lutos e n e l int e r v a lo [1, 5]. 3 S e a la f u n ción f (x )= x 2 + 1. S e puede a f irm a r que la f u n c ión t o m a t o dos los valores de l intervalo [1,5 ]? x 2 + 1 = 1 x = 0 x 2 + 1 = 5 x = 2 L a f unci ón e s cont i nua e n t oda R po r se r una func ión p oli nómica. P a r t icu larment e e n e l int e r v a lo [0,2 ] d onde se v e r ifica q ue f (0 ) = 1 y f(2 )= 5.
P or la propieda d de D a rboux, la f unci ón a l canz a t odos lo s v a lore s comprendid os e n e l int e r v a lo [1,5 ]. 4 Demuestra que la f u n ción f (x) = x 2-4 x + 2 cort a a l e j e de las a bs cis a s e n e l interva lo [0,2 ]. Se puede de c ir lo m is m o de l a fun ción:? L a p r i m e r a f unc ión e s co nt in ua en t oda. f (0 ) = 0 2-4 0 + 2 > 0. f (2 ) = 2 2-4 2 + 2 < 0. Como se cum p le e l t e o rema de B o lzano, e x ist e a l m e nos un c q ue p e r t e ne ce a l int e r v a lo (0, 2) q ue c orta al eje d e a b sci sas. = 1. N o p odemos a f irmar l o m ism o d e la se g und a f un ci ón y a q ue no e s con t inua e n x 5 U t ilizando el t e o rema de B o lzano, de m o s t rar que la e cuación: x 3 + x 5 = 0, t iene al m e n o s una s o lución x = a t a l que 1< a <2. f (x ) e s cont inu a e n [1,2 ] f (1 ) = 1 3 + 1 5 = 3 < 0 f (2 ) = 2 3 + 2 5 = 5 > 0 P or cum p l irse las t r e s p r op iedades a nt e r iores se g ún e l t e o rema de B o lzano, e x ist e c (1,2 ) t a l que : f (c) = 0 c 3 + c 5 = 0. P or tant o exist e a l menos u na solu c ión r e a l a la ecuac ió n x 3 + x 5 = 0. 6
S e a la f u n ción f (x ) = x 3 x 2 + x. S e puede a f i rm a r que e x is t e a l m e n o s u n punto c en el interio r de l intervalo [1,2] t a l que f(c) = 0? f (x ) e s cont inu a e n [1,2 ]. f (1 ) = z 3 1 2 + 1 = 1 > 0. f (2 ) = 2 3 2 2 + 1 = 5 > 0. N o pue d e a p licar se e l t e o rema de B o lzano p orque n o cambia de sig n o. 7 J u s t ificar que la f u n c ión p o lin ó m ica f (x) = x 3 + x + 1 t iene u n ce ro comprendido entre -1 y 0. P or se r p ol in ómica la func i ó n e s co nt in ua en e l int e r v a lo [ -1, 0]. f(-1 ) = ( -1) 3 + (-1 ) + 1 = -1 < 0. f (0 ) = 0 + 0 + 1. P or cum p l irse las t r e s p r o p iedade s a nt e r iores se g ún e l t e o rema de B o lzano, e x ist e c ( 1, 0) t a l que : f (c) = 0 8 Demostrar que la ecua ción e - x + 2 = x t iene a l m e n o s una s o lu ció n real. L a f unci ón e s cont i nua e n e l int e r v a lo [0, 3]. f (0 ) = e 0 + 2 0 = 3 > 0. f (3 ) = e 3 + 2 3 = 3 < 0. P or cum p l irse las t r e s p r o p iedade s a nt e r iores se g ún e l t e o rema de B o lzano, e x ist e c (0, 3) t a l que : f (c) = 0 e - c + 2 = c.
P or tant o exist e a l menos u na solu c ión r e a l a la ecuac ió n e - x + 2 = x. 9 Demostrar que exis t e al gún núm e ro real x t a l que s e n x = x. C o n s ide remos la función f(x ) = s e n x x. Es co nt i nua e n t oda. f(-π ) = se n ( -π ) ( - π ) = 0 + π = π > 0 f (π ) = se n (π ) (π ) = 0 π = π < 0 P or cum p l irse las t r e s p r o p iedade s a nt e r iores se g ún e l t e o rema de B o lzano, e x ist e c ( π. π) t a l que : f (c) = 0 se n c = c P o r t a n t o exis t e al m e n o s una s o lución real a l a ecua ción s e n x = x. 10 Dada la fun ción: Demuestra que e x is t e u n punto de l interva lo a b iert o (2, 4 ) e n e l que f t o m a el valor 1. L a f unci ón e x p one ncia l e s p os i t iv a p a r a t oda x, p or t a nt o e l d e n omin a d or d e la func ió n no se p ue d e a nula r. S ólo hay d uda d e la co nt in uidad e n x = 0, q ue e st á f ue r a d e l i nt e r v a lo a e st udiar, p or tant o f(x ) e s c ont i nua e n [2. 4]. T omemos la func ió n g d e f inida por g (x ) = f (x ) 1.
g e s cont i nua en e l int e r v a l o [2. 4]. Como se c um p len l a s t r e s p r op iedades a nt e r i ores se g ú n e l t e o rema de B o lzano, exist e c (2, 4) t a l que : 11 P robar que la f u n c ión f (x ) = x + s e n x 1 e s continua par a t o da y proba r q u e exis t e al m e n o s una raíz rea l de la ecua ción x + s e n x 1 = 0. L a f unci ón e s cont i nua p o r se r la su m a d e f uncio ne s co nt in ua s. f (0 ) = 0 + se n 0 1 = 1 < 0. f(π /2 ) = π /2 + se n π /2 1 = π /2 > 0. P or cum p lir se e l t e o rema de B o lzano, p odemos a f irmar q ue a l m e no s e x ist e u n v a lor c q ue p e r t e ne ce a l int e r v a lo (o, π/2 ) t a l que : f (c) = 0 c + se n c 1 = 0 P or tant o e x is t e al m e n o s u n a s o l u ción real a la ecua ció n x + se n x 1 = 0. 12 S e a n f y g dos fun ciones continu a s e n [a, b ] y t a les que f(a) > g (a) y f (b ) < g( b). Demostrar q u e c (a, b ) t a l que f(a ) = g( c). S e a la funció n h d e f i nida por h(x ) = f (x ) g (x ). P or se r c ont i nuas f y g e n [a, b], la f unci ón h t a m b ién lo es. f (a) > g (a) h (a) = f (a) g (a ) > 0
f (b) < g (b) h (b) = f (b ) g (b) < 0. P or cum p l irse la s t r e s p r o p iedade s a nt e r iores se g ún e l t e orema d e B olz a no, e x ist e c (a, b) t a l que : h(c ) = 0 f (c) g (c ) = 0 f (c) = g (c )