ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ Γωνιακή Μετατόπιση & Ταχύτητα Περιστροφική Κινητική Ενέργεια & Ροπή Αδράνειας Υπολογισμός Ροπής Αδράνειας Στερεών Σωμάτων Θεώρημα Παραλλήλων Αξόνων (Steine) ΚΥΛΙΣΗ, ΡΟΠΗ και ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ Μεταφορά και Περιστροφή Δυνάμεις της Κύλισης ΦΥΣΙΚΗ Ι ΤΜΗΜΑ Α Ευστάθιος Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟN ΑΘΗΝΩΝ,, 6 7 Στροφορμή Συστήματος Σωματιδίων Δεύτερος Νόμος του Newton σε Γωνιακή Μορφή ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ Αρμονική Ταλάντωση Στερεού Σώματος Stathis STILIARIS, UoA 6-7
ΦΥΣΙΚΗ Ι ΤΜΗΜΑ Α Ευστάθιος Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟN ΑΘΗΝΩΝ,, 6 7 ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΩΝ Περιστροφή Στερεού Σώματος ALONSO FINN.,.,. GIANCOLI HALLIDAY RESNICK WALKER YOUNG FREEDMAN. έως.. έως. 9. έως 9.6 Κύλιση, Ροπή και Στροφορμή Αρμονική Ταλάντωση Στερεού Σώματος.4,.5. έως.6. έως.. έως.6. έως.6 4. έως 4.6 5. έως 5.7. έως.6 Stathis STILIARIS, UoA 6-7
ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ R v ω R v θ α Η κυκλική κίνηση στο χώρο μπορεί να περιγραφεί από το διάνυσμα θέσης. Όπως είναι προφανές από το παραπάνω σχήμα ισχύει γενικά: v ω v ω sinα ω(sina) ωr Stathis STILIARIS, UoA 6-7 R dθ
ΓΩΝΙΑΚΗ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΙ ΤΑΧΥΤΗΤΑ Συσχετίζοντας Γραμμικές και Γωνιακές Μεταβλητές ds dθ s θ v ω Η γραμμική επιτάχυνση ενός σημείου σε περιστρεφόμενο στερεό έχει δύο συνιστώσες: Ακτινική συνιστώσα a Εφαπτομενική συνιστώσα a t dv dω a t a Γ a v ω Stathis STILIARIS, UoA 6-7 4
ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ Για ένα σύνολο σωματιδίων που περιστρέφονται με την ίδια γωνιακή ταχύτητα ω : K m + + + v mv mv... miv i i K ( ω ) m ω miv i m i i i i i i i K Iω όπου Ι mi i i I: Ροπή Αδράνειας Σώματος (συνεχής κατανομή μάζας) Ι dm Stathis STILIARIS, UoA 6-7 5
ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ Ροπήαδράνειαςλεπτήςομογενούςράβδουωςπροςκάθετοάξοναπου διέρχεται από το κέντρο βάρους L x dx I M x dm + L/ x L/ ρsdx ρs + L/ x L/ dx + L/ x L L L I ρs ρs ρs ρs 4 4 L/ ( ρsl) L ML I ML Stathis STILIARIS, UoA 6-7 6
ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ Ροπήαδράνειαςλεπτήςομογενούςράβδουωςπροςκάθετοάξοναπου διέρχεται από τη μία άκρη της x L dx I x dm x ρsdx M L ρs L x dx + L x L L I ρs ρs ρs ρs 4 ( ρsl) L ML I ML Stathis STILIARIS, UoA 6-7 7
ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ Ροπή αδράνειας ομογενούς δίσκου ως προς κάθετο άξονα που διέρχεται απότοκέντροτου d I dm ρhπd M R πρh R d 4 R 4 I πρh πρhr 4 ( ) πr hρ R MR I MR Stathis STILIARIS, UoA 6-7 8
ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ Stathis STILIARIS, UoA 6-7 9
ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ Θεώρημα Παραλλήλων Αξόνων (Steine) Εάν η ροπή αδράνειας στερεού σώματος μάζας M ως προς άξονα διερχόμενο από το κέντρο μάζας του (σημείο Ο) είναι I CM, τότε η ροπή αδράνειας Ι ως προς παράλληλο άξονα μετατοπισμένο κατά h (σημείο P) δίνεται από τη σχέση: Ι I CM + Mh Απόδειξη Θεωρήματος Steine Θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων με αρχή το κέντρο μάζας του σώματος. Το σημείο P έχει στο σύστημα αυτό συντεταγμένες (a,b) και ισχύει h a +b. Η ροπή αδράνειας του σώματος ως προς άξονα διερχόμενο από το P υπολογίζεται ως ακολούθως: M: Μάζα στερεού σώματος h: απόσταση του άξονα P από τον άξονα του κέντρου μάζας Ο. Stathis STILIARIS, UoA 6-7
ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ Θεώρημα Παραλλήλων Αξόνων (Steine) [ (x a) + (y b) ] I dm dm I b ) dm (x + y )dm + (a + a xdm b όμως xdm & y dm Αλλά όμως y dm επειδή το κέντρο μάζας του σώματος βρίσκεται στο σημείο (x, y)(, ), οπότε: Ι I CM + Mh h: απόσταση του άξονα P από τον άξονα του κέντρου μάζας Ο, με h a + b. Stathis STILIARIS, UoA 6-7
ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ Θεώρημα Παραλλήλων Αξόνων (Steine) x L dx Όπως υπολογίσθηκε προηγουμένως, η ροπή αδράνειας λεπτής ομογενούς ράβδου μήκους L και μάζας Μ ως προς κάθετο άξονα που διέρχεται από τη μία άκρη της είναι: I ML Η εφαρμογή του θεωρήματος των παραλλήλων αξόνων καταλήγει στο ίδιο αποτέλεσμα: Ι I CM + Mh L I ICM + Mh ML + M + ML 4 ML Stathis STILIARIS, UoA 6-7
ΔΕΥΤΕΡΟΣ ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ NEWTON Ο Δεύτερος Νόμος του Newton στην περιστροφή στερεού σώματος έχει τη μορφή: τ NET Ia Γ όπου τ η ασκούμενη ροπή δυνάμεων στοστερεόσώμακαιa Γ ηγωνιακή του επιτάχυνση. Απόδειξη τ Ft (mat ) m(a Γ ) τ ma Γ (m )a Γ Ia Γ Stathis STILIARIS, UoA 6-7
ΔΕΥΤΕΡΟΣ ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ NEWTON Υπολογισμός επιτάχυνσης στο σύστημα βάρους τροχαλίας τ NET Ia Γ - RT MR a Γ T MRa Γ Αλλά T T - mg Ma ma οπότε a g m M + m Stathis STILIARIS, UoA 6-7 4
ΜΕΤΑΦΟΡΙΚΗ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ Stathis STILIARIS, UoA 6-7 5
ΚΥΛΙΣΗ: ΜΕΤΑΦΟΡΑ & ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ Stathis STILIARIS, UoA 6-7 6
ΚΥΛΙΣΗ: ΜΕΤΑΦΟΡΑ & ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ Φωτογραφία τροχού ποδηλάτου που κυλάει Stathis STILIARIS, UoA 6-7 7
ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΥΛΙΣΗΣ Κινητική ενέργεια κυλιόμενου τροχού: K I ω P I I + P CM MR K (I + CM MR )ω Περιστροφική και μεταφορική κινητική ενέργεια K ICMω + Mv CM Stathis STILIARIS, UoA 6-7 8
ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ L mv L mvsinφ L p p mv L Stathis STILIARIS, UoA 6-7 9
ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ dl τ dl d Απόδειξη + ( mv) m v m d dv dl m ( v v) + m ( a) + ( ma) F dl τ Stathis STILIARIS, UoA 6-7
dl ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ Αρχή Διατήρησης Στροφορμής Αν η συνολική εξωτερική ροπή που ασκείται σε σύστημα είναι μηδέν, τότε η στροφορμή του συστήματος παραμένει σταθερή. τ L const I ω i ι I f ω f Stathis STILIARIS, UoA 6-7
ΜΕΤΑΦΟΡΙΚΗ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ Αντιστοίχηση Δυναμικών Μεγεθών Μεταφορικής και Περιστροφικής Κίνησης ΔΥΝΑΜΗ F ΟΡΜΗ p ΡΟΠΗ τ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ L Stathis STILIARIS, UoA 6-7
ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Αρμονική Ταλάντωση Υλικού Σημείου Η απομάκρυνση x(t) υλικού σημείου που εκτελεί αρμονική ταλάντωση ικανοποιεί την διαφορική εξίσωση d x + ω x Παράδειγμα Η ασκούμενη δύναμη ελατηρίου σε σημειακή μάζα m δίνεται από τη σχέση: όπου: d x d x F -kx m + kx + k k ω ω και m m k m π T ω x π m k Stathis STILIARIS, UoA 6-7
ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Αρμονική Ταλάντωση Υλικού Σημείου Ησυνάρτησηx(t) A sin(ωt) αποτελεί μια απλή λύση της διαφορικής αυτής εξίσωσης: Απόδειξη x d x + ω d + ω x [ Asin( ωt) ] + ω [ Asin( ωt) ] x d [ A ωcos( ωt) ] + ω [ Asin( ωt) ] d Aω sin ( ωt) + ω Asin( ωt) Stathis STILIARIS, UoA 6-7 4
ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ Αρμονική Ταλάντωση Στερεού Σώματος Κατ αντιστοιχία, στη στροφική κίνηση ενός στερεού σώματος, όταν ικανοποιείται η σχέση μεταξύ της ροπής τ και της γωνιακής απομάκρυνσης θ(t): d θ τ -kθ Ia Γ kθ Ι kθ d θ τότε το στερεό σώμα εκτελεί αρμονική ταλάντωση με περίοδο: + k I θ k k ω ω και I I π T ω π I k Η σταθερά k ταυτίζεται στην περίπτωση αυτή με το άθροισμα όλων των ασκούμενων στο στερεό σώμα ροπών τ με μοχλοβραχίονα την απόστασή των σημείων εφαρμογής των δυνάμεων από το κέντρο περιστροφής. Stathis STILIARIS, UoA 6-7 5
ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ τ -mgh sinθ τ Παράδειγμα Αν το στερεό σώμα του σχήματος εκτραπεί κατά μικρή γωνία θ, τότε η ασκούμενη ροπή του βάρους F g ως προς τον άξονα περιστροφής Ο είναι: -mghθ και η εξίσωση κίνησής του δίνεται από τη σχέση: d θ d θ mgh Ia Γ mghθ Ι mghθ + θ I Άρατοσώμαεκτελείαρμονικήαρμονική ταλάντωση με γωνιακή ταχύτητα ω και περίοδο T: mgh mgh ω ω και I I π T ω π I mgh Η ροπή αδράνειας I αναφέρεται στον άξονα περιστροφής Ο ενώ το τ mgh είναι η μοναδική ασκούμενη ροπή του βάρους με μοχλοβραχίονα το h, δηλαδή την απόσταση του κέντρου μάζας (C) από τον άξονα περιστροφής (Ο). Stathis STILIARIS, UoA 6-7 6