Ζεύγος δυνάµεων Κύλιση - Κρούση Οµογενής σφαίρα µάζας Μ=2kg και ακτίνας R=0,5m ηρεµεί πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο, µε την κατακόρυφη διάµετρό της να απέχει απόσταση s=60,5m από λείο κατακόρυφο τοίχωµα. Από την χρονική στιγµή t=0 και µετά ασκούνται σε σηµεία της κάθε φορά κατακόρυφης διαµέτρου που ισαπέχουν κατά x από το κέντρο, δύο οριζόντιες σταθερές δυνάµεις και, οι οποίες έχουν ίσα µέτρα(f 1 =F 2 =F) και αντίθετες κατευθύνσεις, προκαλώντας συνολική ροπή ως προς το κέντρο Ο µέτρου 2Ν. m. α) Να υπολογιστούν το µέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου µάζας και της γωνιακής επιτάχυνσης της σφαίρας. β) Να βρεθεί το µέτρο της γωνιακής ταχύτητας της σφαίρας την χρονική στιγµή t=2s. Την χρονική στιγµή t 1 =2s, η δύναµη καταργείται και ταυτόχρονα εκτοξεύεται η σφαίρα µε ταχύτητα, ώστε αµέσως µετά να αρχίσει να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει, υπό την επίδραση µόνον της. γ) Να υπολογιστεί το µέτρο της ταχύτητας u o,cm. δ) Να υπολογιστεί η απόσταση των φορέων των δυνάµεων και το µέτρο των δυνάµεων αυτών. Η δύναµη ασκείται µέχρι και λίγο πριν η σφαίρα συγκρουστεί µε το λείο τοίχωµα. Να βρεθούν: ε) η χρονική στιγµή t 2 της σύγκρουσης της σφαίρας µε το τοίχωµα στ) το έργο της δύναµης από την χρονική στιγµή t=0 µέχρι την κατάργησή της. ζ) τα µέτρα των ταχυτήτων του σηµείου επαφής της σφαίρας µε το δάπεδο και του ανώτερου σηµείου της περιφέρειας της σφαίρας αµέσως µετά την κρούση. ίνεται η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της = www.ylikonet.gr 1
Λύση: α) Οι δυνάµεις και αποτελούν ζεύγος δυνάµεων οπότε υπό την δράση τους η σφαίρας αρχίζει να εκτελεί µόνο περιστροφική κίνηση γύρω από νοητό άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας της. Οπότε για την επιτάχυνση του κέντρου µάζας ισχύει:, = ενώ µε εφαρµογή του Θεµελιώδους Νόµου της Στροφικής υπολογίζουµε την γωνιακή επιτάχυνση: =, = 2 5 #, #, = 5 2 = 5 2 2 2 0,5 %&',=()*/, β) Την χρονική στιγµή t 1 =2s, η σφαίρα έχει αποκτήσει γωνιακή ταχύτητα µέτρου - =,. =10 2 & =()*/, γ) Την χρονική στιγµή t 1 =2s το σηµείο επαφής της σφαίρας µε το οριζόντιο δάπεδο έχει γραµµική ταχύτητα µέτρου 0 1 =- =102/3 και µε φορά προς τα αριστερά, οπότε για να αρχίσει να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει αµέσως µετά την ίδια στιγµή πρέπει να εκτοξευτεί µε ταχύτητα 0 4, =102/3 και µε φορά προς τα δεξιά ώστε η συνολική ταχύτητα, λόγω µεταφορικής και στροφικής κίνησης του σηµείου επαφής µε το δάπεδο, να είναι µηδέν. δ) Έστω x η απόσταση του φορέα της δύναµης από το κέντρο Ο της σφαίρας. Από τον Θεµελιώδη Νόµο της Μηχανικής για την κίνηση της σφαίρας µετά την χρονική στιγµή t 1 =2s, έχουµε: =5 #, #, = 5 και από την εφαρµογή του Θεµελιώδους Νόµου της Στροφικής έχουµε: =, 6= 2 5 5 #, #, = 56 25 Επειδή η σφαίρα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει θα πρέπει να ισχύει:, =, 5 = 56 25 6=2 5 6=0,22 www.ylikonet.gr 2
Εφόσον τα σηµεία εφαρµογής Κ και Λ των δυνάµεων είναι συµµετρικά ως προς το κέντρο Ο της σφαίρας, για τον µοχλοβραχίονα του ζεύγος δυνάµεων ισχύει: d=2x *=,7 Για την ροπή του ζεύγους δυνάµεων ισχύει: τ=f d =;< ε) Για την επιτάχυνση του κέντρου µάζας µετά την κατάργηση της F 2 ισχύει:, = 5 =5 2 =2,52/3 Όταν η σφαίρα φτάνει στο κατακόρυφο τοίχωµα έχει διατρέξει απόσταση x cm =s-r=60,5-0,5=60m Για την µετατόπιση του κέντρου µάζας µέχρι η σφαίρα να φτάνει στο κατακόρυφο τοίχωµα ισχύει: =6 =0 4, =.+ 1 2 #, =. 60=10 =.+ 1 2 2,5 =. =. +8 =. 48=0 Από την λύση της παραπάνω δευτεροβάθµιας εξίσωσης προκύπτει: και επειδή t=t 2 -t 1 έχουµε: t=4s C =D, στ) Στο χρονικό διάστηµα 0-2s, η γωνία στροφής είναι E = 1 2,. = 1 2 10 2 =20F#G oπότε σ αυτό το χρονικό διάστηµα το έργο της της ισούται µε το έργο της ροπής της H = I E = 6 E =5 0,2 20=20J Στο χρονικό διάστηµα 2-6s, η γωνία στροφής ισούται µε E = =6 = 60 0,5 =120F#G Οπότε σ αυτό το χρονικό διάστηµα, επειδή η έχει µεταφορικό και στροφικό ρόλο, το έργο της ισούται µε το άθροισµα του µεταφορικού, θεωρώντας ότι η δύναµη ασκείται στο κέντρο µάζας της σφαίρας, και του www.ylikonet.gr 3
στροφικού, δηλαδή: H =H I,KLM +H I,NM1 = =6 + 6 E =5 60+5 0,2 120=420J άρα το συνολικό έργο της είναι O PQ =77R ζ) Λίγο πριν την κρούση η ταχύτητα του κέντρου µάζας λόγω της µεταφορικής κίνησης, λίγο πριν την κρούση είναι: 0 =0 4, +#, =.=10+2,5 4 0 =202/3 και η γωνιακή ταχύτητα λόγων της στροφικής κίνησης έχει µέτρο -=- +, =.=- + 56 5 5 0,2 25 =.=20+ 2 2 0,5 4=20+20=40F#G/3 Παρατηρούµε ότι πριν την κρούση u cm =ωr, κάτι αναµενόµενο εφόσον η σφαίρα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Η δύναµη που δέχεται η σφαίρα κατά την διάρκεια της κρούσης µε τον τοίχο έχει φορέα που διέρχεται από το κέντρο µάζας της, που σηµαίνει ότι η δύναµη αυτή µεταβάλλει την ταχύτητα του κέντρου µάζας, αλλά επειδή η ροπή της ως προς το κέντρο Ο είναι µηδενική, η γωνιακή ταχύτητα της σφαίρας παραµένει σταθερή(εξάλλου µετά την ανάκλαση µε τον τοίχο η δύναµη έχει καταργηθεί, οπότε εν προκαλεί γωνιακή επιτάχυνση). Οπότε, αµέσως µετά την κρούση η ταχύτητα του κέντρου µάζας αντιστρέφεται επειδή η κρούση είναι ελαστική, ενώ η γωνιακή ταχύτητα παραµένει σταθερή(κατά µέτρο και κατεύθυνση) και ίση µε αυτή που έχει η σφαίρα λίγο πριν την κρούση. Οπότε αµέσως µετά την κρούση το σηµείο επαφής έχει ταχύτητα: 0 T =0 +- U =7/, µε φορά προς τ αριστερά www.ylikonet.gr 4
Ενώ το ανώτερο σηµείο της περιφέρειας της σφαίρας έχει ταχύτητα 0 V =0 - W = Επιµέλεια: Πέτρος Καραπέτρος www.ylikonet.gr 5