7. ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΟΙ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ ΤΟΥΣ

7. ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΟΙ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ ΤΟΥΣ Πολλές οικονομικές χρονοσειρές αποτελούνται από συνιστώσες οι οποίες όταν μελετηθούν μεμονωμένα μας παρέχουν χρήσιμες πληροφορίες για την κατανόηση της συμπεριφοράς της χρονοσειράς με αποτέλεσμα να κάνουμε καλύτερες προβλέψεις. Οι συνιστώσες αυτές είναι η τάση, η κυκλικότητα, η εποχικότητα και η τυχαιότητα και μπορούν να απομονωθούν με τη διαδικασία διάσπασης της χρονοσειράς στις επιμέρους συνιστώσες της. Η διάσπαση αν και είναι η αρχαιότερη μέθοδος ανάλυσης και πρόβλεψης χρονοσειρών, είναι εντούτοις διαχρονική αν και σήμερα χρησιμοποιείται για εποπτικούς κυρίως λόγους. 7.1 ΤΑΣΗ Παράδειγμα 7.1 Στο αρχείο C:\Forecasting Lab Data\New Drivers.MTW υπάρχουν 33 ετήσια δεδομένα για το πλήθος των νέων οδηγών που πήραν δίπλωμα την περίοδο 1960 έως 1992 σε μία περιοχή. Για να προσαρμόσουμε τη γραμμική τάση στα δεδομένα: 1. Από τη γραμμή μενού επιλέγουμε Stat Time Series Trend Analysis. 2. Στο πλαίσιο διαλόγου Trend Analysis που εμφανίζεται: (α) Διπλοπατάμε C1 New Drivers από τον αριστερό κατάλογο για να εμφανιστεί στο πλαίσιο Variable: (β) Κάτω από το Model Type επιλέγουμε Linear. (γ) Επιλέγουμε το Generate Forecasts και στο πλαίσιο Number of forecasts δίνουμε 2. Η επιλογή αυτή θα υπολογίσει προβλέψεις για τις χρονικές περιόδους 34 και 35 (έτη 1993 και 1994). (δ) Πατάμε στο κουμπί Options και στο πλαίσιο διαλόγου Trend Analysis Options που εμφανίζεται και στο πλαίσιο Title πληκτρολογούμε Γραμμική τάση για τη χρονοσειρά νέων οδηγών. Ιωάννης Ι.Γεροντίδης, Καθηγητής 99

(ε) Πατάμε δύο φορές ΟΚ, οπότε στο Graph Window εμφανίζεται η γραφική παράσταση της χρονοσειράς μαζί με την προσαρμοσμένη τάση και τις προβλέψεις για τα έτη 1993 και 1994. Στη συνέχεια θα δημιουργήσουμε ένα πίνακα με τις παρακάτω πληροφορίες. H στήλη C1 θα περιέχει τη μεταβλητή Υ, η στήλη C2 τα ημερολογιακά έτη, η στήλη C3 τη χρονική περίοδο t, η στήλη C4 την πρόβλεψη της γραμμικής τάσης και η στήλη C5 το σφάλμα της πρόβλεψης. 1. Από τη γραμμή μενού επιλέγουμε Calc Make Patterned Data Simple Set of Numbers. 2. Στο πλαίσιο διαλόγου Simple Set of Numbers που εμφανίζεται: (α) Στο πλαίσιο Store patterned data in: πληκτρολογούμε C2. (β) Στο πλαίσιο From first value: δίνουμε 1960. (γ) Στο πλαίσιο From last value: δίνουμε 1992. (δ) Στο πλαίσιο In steps of: δίνουμε 1 και μετά ΟΚ. Ιωάννης Ι.Γεροντίδης, Καθηγητής 100

Στη στήλη C2 του Worksheet εμφανίζονται τα έτη 1960 1992. Δίνουμε στη C2 τον τίτλο Year. 3. Από τη γραμμή μενού επιλέγουμε Calc Make Patterned Data Simple Set of Numbers. 4. Στο πλαίσιο διαλόγου Simple Set of Numbers που εμφανίζεται: (α) Στο πλαίσιο Store patterned data in: πληκτρολογούμε C3. (β) Στο πλαίσιο From first value: δίνουμε 1. (γ) Στο πλαίσιο From last value: δίνουμε 33. (δ) Στο πλαίσιο In steps of: δίνουμε 1 και μετά ΟΚ. Στη στήλη C3 του Worksheet εμφανίζονται οι χρονικές περίοδοι 1-33. Δίνουμε στη C3 τον τίτλο Time Period. 5. Από τη γραμμή μενού επιλέγουμε Stat Time Series Trend Analysis. 6. Στο πλαίσιο διαλόγου Trend Analysis που εμφανίζεται: (α) Διπλοπατάμε C1 New Drivers από τον αριστερό κατάλογο για να εμφανιστεί στο πλαίσιο Variable: (β) (γ) Κάτω από το Model Type επιλέγουμε το Linear. Πατάμε στο κουμπί Storage και στο πλαίσιο διαλόγου Trend Analysis Storage που εμφανίζεται επιλέγουμε τα Fits (trend line) και Residuals (detrended data). Πατάμε δύο φορές ΟΚ, οπότε στο Graph Window εμφανίζεται η γραφική παράσταση της χρονοσειράς μαζί με την τάση. 7. Από τη γραμμή μενού επιλέγουμε Window New Drivers.MTW. Εμφανίζεται το Worksheet που τώρα περιέχει στη στήλη C4 FITS1 τις προβλέψεις της γραμμικής τάσης και στη στήλη C5 RESI1 τα σφάλματα των προβλέψεων. Για να προσαρμόσουμε την δευτεροβάθμια (καμπυλόγραμμη) τάση στα δεδομένα New Drivers.MTW: 1. Από τη γραμμή μενού επιλέγουμε Stat Time Series Trend Analysis. 2. Στο πλαίσιο διαλόγου Trend Analysis που εμφανίζεται: (α) Διπλοπατάμε C1 New Drivers από τον αριστερό κατάλογο για να εμφανιστεί στο πλαίσιο Variable: (β) Κάτω από το Model Type επιλέγουμε Quadratic. (γ) Επιλέγουμε το Generate Forecasts και στο πλαίσιο Number of forecasts δίνουμε 2. (δ) Πατάμε στο κουμπί Options και στο πλαίσιο διαλόγου Trend Analysis Options που εμφανίζεται και στο πλαίσιο Title πληκτρολογούμε Δευτεροβάθμια τάση για τη χρονοσειρά νέων οδηγών. (ε) Πατάμε δύο φορές ΟΚ, οπότε στο Graph Window εμφανίζεται η γραφική παράσταση της χρονοσειράς μαζί με την προσαρμοσμένη τάση και τις προβλέψεις για τα έτη 1993 και 1994. Με βάση το κριτήριο του MSD η δευτεροβάθμια τάση δίνει καλύτερη περιγραφή της χρονοσειράς απ ότι η γραμμική. Ιωάννης Ι.Γεροντίδης, Καθηγητής 101

Παράδειγμα 7.2 Στο αρχείο C:\Forecasting Lab Data\ Exponential Sales.MTW περιέχονται δεδομένα για τις πωλήσεις κάποιου προϊόντος την περίοδο 1991-1997. Για να προσαρμόσουμε την εκθετική τάση στα δεδομένα: Ιωάννης Ι.Γεροντίδης, Καθηγητής 102

1. Από τη γραμμή μενού επιλέγουμε Stat Time Series Trend Analysis. 2. Στο πλαίσιο διαλόγου Trend Analysis που εμφανίζεται: (α) Διπλοπατάμε C2 Sales από τον αριστερό κατάλογο για να εμφανιστεί στο πλαίσιο Variable: (β) Κάτω από το Model Type επιλέγουμε Exponential Growth. (γ) Επιλέγουμε το Generate Forecasts και στο πλαίσιο Number of forecasts δίνουμε 2. (δ) Πατάμε στο κουμπί Options και στο πλαίσιο διαλόγου Trend Analysis Options που εμφανίζεται και στο πλαίσιο Title πληκτρολογούμε Εκθετική τάση για τη χρονοσειρά πωλήσεων. (ε) Πατάμε δύο φορές ΟΚ, οπότε στο Graph Window εμφανίζεται η γραφική παράσταση της χρονοσειράς μαζί με την προσαρμοσμένη τάση και τις προβλέψεις για τα έτη 1998 και 1999. 7.2 ΕΠΟΧΙΚΟΤΗΤΑ Παράδειγμα 7.3 Στο αρχείο C:\Forecasting Lab Data\Marine Sales.MTW, περιέχονται τριμηνιαία δεδομένα για τις πωλήσεις σκαφών αναψυχής την περίοδο 1984-1996. Στο εργαστήριο 4 είχαμε διαπιστώσει με την ανάλυση της αυτοσυσχέτισης ότι η χρονοσειρά έχει εποχικότητα περιόδου ίση με 4. Στη συνέχεια θα αναλύσουμε τα δεδομένα αυτά με τη μέθοδο της διάσπασης. 1. Από τη γραμμή μενού επιλέγουμε Stat Time Series Decomposition. 2. Στο πλαίσιο διαλόγου Decomposition που εμφανίζεται: (α) Διπλοπατάμε C1 Sales από τον αριστερό κατάλογο για να εμφανιστεί στο πλαίσιο Variable: (β) Κάτω από το Model Type επιλέγουμε Multiplicative. (γ) (δ) Κάτω από το Model Components επιλέγουμε Trend plus seasonal. Επιλέγουμε το Generate Forecasts και στο πλαίσιο Number of forecasts δίνουμε 4. (ε) Πατάμε στο κουμπί Options όπου στο πλάισιο First obs. Is in seasonal period δίνουμε 1 και μετά ΟΚ. Ιωάννης Ι.Γεροντίδης, Καθηγητής 103

(ζ) Επανερχόμαστε στο πλαίσιο διαλόγου Decomposition όπου πατάμε στο κουμπί Storage. Στο πλαίσιο διαλόγου Decomposition - Storage που εμφανίζεται επιλέγουμε τα: Trend line, Detrended data, Seasonals και Seasonally adjusted data. (η) Πατάμε δύο φορές ΟΚ. Στο Graph Window εμφανίζεται το πολλαπλό διάγραμμα Seasonal Analysis of Sales που περιλαμβάνει το ιστόγραμμα των εποχικών δεικτών, το διάγραμμα κουτί - μουστάκι (Box-plot) των δεδομένων μετά την αφαίρεση της τάσης ανά εποχή, το ιστόγραμμα της ποσοστιαίας διακύμανσης ανά εποχή και το διάγραμμα κουτί μουστάκι των υπολοίπων ανά εποχή. Ιωάννης Ι.Γεροντίδης, Καθηγητής 104

Από τη γραμμή μενού επιλέγουμε Window, οπότε μεταξύ άλλων έχουμε και τις παρακάτω επιλογές με χρήσιμες πληροφορίες: Επιλέγοντας Session παίρνουμε πληροφορίες για τις συνιστώσες της χρονοσειράς όπως την εξίσωση της προσαρμοσμένης τάσης T ˆ 271.412 0.462483 t t, τους εποχικούς δείκτες ( SI ), SI 1 = 0.709 70.9%, SI 2 = 1.024 102.4%, SI 3 = 1.156 115.6%, SI 4 = 1.112 111.2%, τα μέτρα καλής προσαρμογής, MAPE = 15.78, MAD = 44.93 και MSD = 3131.21 και τις προβλέψεις για τις επόμενες 4 εποχικές περιόδους Yˆ 53 209.726, Yˆ 54 303.582, Yˆ 55 342.951 και Yˆ 56 330.520. Ιωάννης Ι.Γεροντίδης, Καθηγητής 105

Επιλέγοντας Time Series Decomposition Plot for Sales παίρνουμε το συνδιασμένο διάγραμμα της χρονοσειράς με τις προσαρμοσμένες τιμές, την τάση καθώς και τις προβλέψεις για τις επόμενες 4 εποχές. Επιλέγοντας Windows Decomposition Component Analysis for Sales παίρνουμε το πολλαπλό διάγραμμα που περιλαμβάνει τη χρονοσειρά, τις παρατηρήσεις μετά την αφαίρεση της τάσης, τα εποχικά προσαρμοσμένα δεδομένα και τα εποχικά προσαρμοσμένα δεδομένα μετά την αφαίρεση της τάσης. Ιωάννης Ι.Γεροντίδης, Καθηγητής 106

Τέλος επιλέγοντας Marine Sales.MTW παίρνουμε το περιεχόμενο του Worksheet το οποίο εκτός από τα δεδομένα της χρονοσειράς περιέχει επιπλέον τις στήλες Στη στήλη C1 TREN1 παρατίθενται τα δεδομένα της προσαρμοσμένης τάσης. Επειδή δηλώθηκε ότι η 1 η χρονική περιόδος είναι το 1 ο τρίμηνο του 1984, από τη στήλη C2 TREN1 προκύπτει ότι η τιμή της προσαρμοσμένης τάσης που αντιστοιχεί σε αυτό είναι 271.875, ενώ οι επόμενες τιμές αυξάνουν διαδοχικά κατά 0.463 ανά τρίμηνο. Στη στήλη C3 DETR1 παρατίθενται τα δεδομένα της χρονοσειράς μετά την αφαίρεση της τάσης. Για παράδειγμα στο 1 ο τρίμηνο του 1984 αντιστοιχεί η τιμή Y 147.6 0.543 T 271.875. Στη στήλη C4 SEAS1 παρατίθενται οι δείκτες εποχικότητας, ενώ στη στήλη C5 DESE1 παρατίθενται τα εποχικά προσαρμοσμένα δεδομένα. Για παράδειγμα στο 1 ο τρίμηνο 1984 αντιστοιχεί η τιμή Y 147.6 208.264 CI 0.70872. 1 7.3 ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΕΠΟΧΙΚΗΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΆΣ Κατά την πρόβλεψης μιάς εποχικής χρονοσειράς η διαδικασία της διάσπασης αντιστρέφεται έτσι ώστε οι επί μέρους συνιστώσες συνδιάζονται για τον υπολογισμό των προβλέψεων των μελλοντικών περιόδων. Για να υπολογίσουμε τις προβλέψουμε τις προβλέψεις για τα 4 τρίμηνα του 1997 εργαζόμαστε ώς εξής: 1. Υπολογίζουμε την προσαρμοσμένη τάση από τη σχέση T ˆ 271.412 0.462483 t t η οποία δίνει Tˆ 53 271.412 0.462483(53) 295.236. 2. Υπολογίζουμε την εποχικότητα που είναι SI 1 = 0.70872. 3. Υπολογίζουμε την κυκλική συνιστώσα. Επειδή υποθέτουμε ότι η κυκλική συνιστώσα περιέχεται στην τάση, βάζουμε C 1. 4. Υπολογίζουμε την τυχαία συνιστώσα που περιέχει τις τυχαίες διακυμάνσεις που δεν μπορούν να εκφράσουν οι άλλες συνιστώσες. Εδώ βάζουμε I 1. Τελικά έχουμε Y ˆ 53 T (295.9236)(0.70872)(1.0)(1.0) 209.240 53 S53 C53 I53 που είναι η τιμή της πρόβλεψης που δίνεται στο Session Window για την περίοδο 53. Ιωάννης Ι.Γεροντίδης, Καθηγητής 107

7.4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Στο αρχείο C:\Forecasting Lab Data\Goodyear Sales.MTW υπάρχουν τριμηνιαία δεδομένα (σε εκατομμύρια ) για τις πωλήσεις των ελαστικών της εταιρείας Goodyear την περίοδο 1985 έως 1996. Να αναλύσετε τη χρονοσειρά με τη μέθοδο της διάσπασης στις επιμέρους συνιστώσες της. (α) Τι θα χρησιμοποιούσατε για τον υπολογισμό των προβλέψεων; Tην τάση, την εποχικότητα η και τα δύο; (β) Να υπολογίσετε τις προβλέψεις για το 1 ο και 2 ο τρίμηνο του 1997. 2. Στο αρχείο C:\Forecasting Lab Data\Cavana Sales.MTW υπάρχουν μηνιαία δεδομένα για τις πωλήσεις της εταιρείας Cavana. (α) Να εφαρμόσετε το πολλαπλασιαστικό μοντέλο διάσπασης της χρονοσειράς υποθέτοντας Y T S I. (β) Θα χρησιμοποιούσατε την τάση η την εποχικότητα η και τα δύο για τον υπολογισμό των προβλέψεων; (γ) Να υπολογίσετε τις προβλέψεις για τους μήνες Ιούνιο και Ιούλιο 2002. (δ) Aφού μετασχηματίσετε τη χρονοσειρά σε ln(sales), έτσι ώστε η πρώτη τιμή να είναι ln(154) = 5.037, να εφαρμόσετε το πολλαπλασιαστικό μοντέλο διάσπασης για τη χρονοσειρά ln(sales) υποθέτοντας Y T S I. (ε) Ποιά από τις παραπάνω συνιστώσες θα χρησιμοποιούσατε στις προβλέψεις; (ζ) Να υπολογίσετε τις προβλέψεις ln(sales) για τους μήνες Ιούνιο και Ιούλιο 2002. (η) Να υπολογίσετε τον antilog = exp των προβλέψεων στο (ζ) και να τις συγκρίνετε με τις προβλέψεις στο (γ). 3. Στο αρχείο C:\Forecasting Lab Data\Disney Sales.MTW υπάρχουν τριμηνιαία δεδομένα (σε εκατομμύρια ) για τις πωλήσεις των προϊόντων της εταιρείας την περίοδο 1980 1995. (α) Να εφαρμόσετε το πολλαπλασιαστικό μοντέλο διάσπασης για τη χρονοσειρά. (β) Να σχολιάσετε την ύπαρξη της τάσης η/και της εποχικότητας. (γ) Να υπολογίσετε την πρόβλεψη για το τελευταίο τρίμηνο του 1995. 4. Στο αρχείο C:\Forecasting Lab Data\Oil Sales.MTW υπάρχουν μηνιαία δεδομένα για τις πωλήσεις πετρελαίου (σε χιλιάδες βαρέλια/ημέρα) της Κορεάτικης εταιρείας Yukong Oil Company. (α) Αφού κάνατε το διάγραμμα της χρονοσειράς να διερευνήσετε την ύπαρξη αθροιστικού η πολλαπλασιαστικού μοντέλου διάσπασης. (β) (γ) Να διασπάσετε τη χρονοσειρά στις συνιστώσες της. Να προβλέψετε τη ζήτηση πετρελαίου για τους τρεις τελευταίους μήνες του 1996. Ιωάννης Ι.Γεροντίδης, Καθηγητής 108