Χρονοεξαρτώµενη «Δυναµική Ενέργεια» Άσκηση Σώµα µάζας m στερεώνεται στο ένα άκρο ιδανικού ελατηρίου του οποίου το άλλο άκρο Ζ εκτελεί αρµονική ταλάντωση της µορφής x1 = Bηµω t. Να βρεθεί η εξίσωση κίνησης του σώµατος. Λύση F = k l+ x x 1 όπου l η αρχική παραµόρφωση του ελατηρίου (αν υπάρχει) και x η αποµάκρυνση από τη θέση ισορροπίας του σώµατος πριν αρχίσει η κίνηση. (Το x 1 µετριέται από την αρχική θέση του άκρου Ζ που θεωρείται και αυτή και όχι από την θέση του σώµατος m) Η δύναµη που ασκεί το ελατήριο πάνω στο σώµα είναι ( ) Παίρνοντας την αρχική συνθήκη ισορροπίας του σώµατος και θεωρώντας για ευκολία (µιας κα τα συµπεράσµατα που θα βγάλουµε δεν έχουν σχέση µε αποσβέσεις) ότι δεν υπάρχουν αποσβέσεις, εύκολα καταλήγουµε στη διαφορική m = F m kx k t ολ = + Βηµω (1) Στη διαφορική εξίσωση (1), η «δύναµη επαναφοράς» είναι η χρονοεξαρτηµένη δύο προσθετέων F = kx+ k Βηµω t () επαν Για λόγους που θα γίνουν εµφανείς σε λίγο, θεωρούµε την F επαν ως συνισταµένη «δύο δυνάµεων», της χωροεξαρτηµένης δύναµης kx και της χρονοεξαρτηµένης δύναµης kβ ηµω t κάποιου «υποθετικού διεγέρτη». ηλαδή η κίνηση x1 = Bηµω t του άκρου Ζ του ελατηρίου φαίνεται να δρα στο σώ- µα ως «διεγέρτης» kβ ηµω t Αποτέλεσµα αυτού είναι ότι η εξίσωση της κίνησης του σώµατος στο άκρο του ελατηρίου να είναι ίδια µε εκείνη της εξαναγκασµένης αρµονικής ταλάντωσης χωρίς απόσβεση. Καλούµε k k ω = > και ρ = Β = ω Β > (3) m m οπότε η διαφορική εξίσωση (1) που συνδέεται µε την κίνηση του σώµατος είναι η + ω x= ρηµωt (4) 1
Από τις τρεις ισοδύναµες µορφές που µπορεί να πάρει η λύση της (4) επιλέγουµε την ρ x( t ) = A ηµ ( ωt+ ϕ) + ηµωt µε A> και φ<π (5) ω Αν x και υ είναι η αρχική θέση και η αρχική ταχύτητα του σώµατος (η θέση και η ταχύτητα του σώµατος τη χρονική στιγµή t= δηλαδή) τότε υ Α = x + = x + (6) ω ω( ω ) ω ω ρ ω υ Βω ω µε x ηµϕ = και A υ Βωω συνϕ = µε φ<π (6α) Aω A( ω ) Συνεπώς η εξίσωση κίνησης του σώµατος είναι υ Βωω ω Β x( t ) = x + ηµ ( ωt ϕ) ηµωt + + (7) ω ω ω µε x ηµϕ = και A υ Βωω συνϕ = µε φ<π (7α) Aω A( ω ) Αυτό σηµαίνει ότι κρατώντας τις υπόλοιπες παραµέτρους του προβλήµατος σταθερές και αλλάζοντας µόνο την ω θα δούµε το σώµα m να πραγµατοποιεί γενικά µια πολύπλοκη κίνηση (Σχήµα 1): Σχήµα 1
Καθώς όµως η διαφορά ω θα γίνεται όλο και πιο µικρή (σε σχέση µε τις ω και ω ) θα οδηγούµαστε σε όλο και πιο εµφανή διακροτήµατα (Σχήµα ). Σχήµα Στην περίπτωση που ω=ω θα παρουσιαστεί το φαινόµενο του συντονισµού, οπότε οι µέγιστες αποστάσεις του σώµατος από τη θέση x= θα αυξάνονται συνεχώς µέχρι απειρισµού τους (Σχήµα 3). Σχήµα 3 Αυτός ο βαθµιαίος απειρισµός των µεγίστων αποστάσεων, σηµαίνει ότι το σύστηµα τελικά θα «διαλυθεί» (εδώ θα χαλάσει τελείως η κίνηση αφού ένα ελατήριο δεν έχει απεριόριστες δυνατότητες συσπείρωσης και έκτασης). Ερώτηση Αφού η διαφορική εξίσωση (1) είναι ίδια µε τη διαφορική εξίσωση του εξαναγκασµένου αρµονικού ταλαντωτή χωρίς απόσβεση, µπορούµε να χαρακτηρίσουµε την κίνηση του σώµατος εξαναγκασµένη αρµονική ταλάντωση χωρίς απόσβεση; 3
Απάντηση Κατά τη γνώµη µου όχι! Ας το δικαιολογήσουµε: Αν το ελεύθερο άκρο Ζ του ελατηρίου ήταν ακίνητο, η διαφορική εξίσωση που θα περιέγραφε την κίνηση του σώµατος m θα ήταν η δηλαδή η m = kx (8) ( ) m = k x (8α) Αν το άκρο Ζ του ελατηρίου ταλαντώνεται, η διαφορική εξίσωση που περιγράφει την κίνηση του σώµατος είναι η (1), δηλαδή η m = kx+ k Βηµω t η οποία γράφεται ( Βηµω ) m = k x t (9) Συγκρίνοντας τις σχέσεις (8α) και (9) διαπιστώνουµε τα εξής: Όταν το άκρο Ζ δεν ταλαντώνεται, η δύναµη που επιβάλλεται στο σώµα είναι η δύναµη επαναφοράς F επ = k x, η οποία είναι δύναµη συντηρητική και έχει σταθερό ελκτικό κέντρο στο x=. Η κίνηση αυτή είναι απλή αρµονική ταλάντωση µε ελκτικό κέντρο το x=. επ Όταν το άκρο Ζ ταλαντώνεται, η δύναµη που επιβάλλεται στο σώµα είναι η «δύναµη επαναφοράς» F = k( x Βηµωt ), η οποία έχει µεταβλητό (χρονοεξαρτηµένο) ελκτικό κέντρο τη θέση Βηµωt µετρούµενη από τη θέση x= του σώµατος. ηλαδή η ταλάντωση Βηµωt του άνω άκρου Ζ του ελατηρίου, δηµιουργεί µεταβλητό ελκτικό κέντρο στο κάτω άκρο του ελατηρίου, όπου βρίσκεται το σώµα m. Η κίνηση λοιπόν του σώµατος δεν είναι µια απλή κίνηση και προπάντων δεν είναι απλή αρµονική ταλάντωση. Η µεταβολή του ελκτικού κέντρου κάνει τη θεωρητική αντιµετώπιση του προβλήµατος εννοιολογικά πιο δύσκολη, µιας και µας βάζει στον πειρασµό εισαγωγής χρονοεξαρτώµενης µεταβλητής δυναµικής ενέργειας µε περιορισµούς στις µορφές των δυνάµεων που υπεισέρχονται στο φαινόµενο, ώστε να αποκτήσουν νόηµα και συνέπεια οι βασικές εξισώσεις της θεωρίας µας. Αυτό ταράζει αρκετά τα πράµατα γιατί, ας µη ξεχνάµε, ότι έχουµε εισάγει την έννοια της δυναµικής ενέργειας ως χρονοανεξάρτητου φυσικού µεγέθους για συντηρητικές δυνάµεις επίσης χρονοανεξάρτητες. 4
Ας γίνω πιο σαφής: Όταν το άκρο Ζ δεν ταλαντώνεται, η δύναµη που επιβάλλεται στο σώµα είναι η δύναµη επαναφοράς F επ = k x, η οποία είναι δύναµη συντηρητική, είναι χρονοανεξάρτητη, έχει σταθερό ελκτικό κέντρο το x= και συνδέεται µε χρονοανεξάρτητη 1 δυναµική ενέργεια U = kx. du Ισχύει Fεπ = U ή πιο απλά F = r επ i dx Η ενέργεια Κ+U στην περίπτωση αυτή διατηρείται r και επίσης curl F =. Όταν το άκρο Ζ ταλαντώνεται, η δύναµη που επιβάλλεται στο σώµα είναι η «δύναµη επαναφοράς» Fεπ = k( x Βηµωt ), η οποία δεν είναι δύναµη συντηρητική (εξ ορισµού), είναι χρονοεξαρτηµένη και έχει µεταβλητό (χρονοεξαρτηµένο) ελκτικό κέντρο τη θέση Βηµωt µετρούµενη από τη θέση x= του σώµατος. Αυτό µας βάζει στον πειρασµό να θεωρήσουµε ότι η δύναµη επαναφοράς Fεπ = k( x Βηµωt ) συνδέεται µε «χρονοεξαρτηµένη δυναµική ενέργεια» U = 1 k( x Bηµω t) (1) Επειδή όµως η παραπάνω «δυναµική ενέργεια» έχει τα x και t σαφώς διαχωρισµένα µεταξύ τους σε δύο (ξεχωριστούς) προσθετέους, ισχύει πάλι du Fεπ = U ή πιο απλά F = r r επ i και curl F = dx Η ενέργεια Κ+U στην περίπτωση αυτή όµως δε διατηρείται....... Επιπλέον παρατηρήσεις: α) Η ταλάντωση Βηµωt του πάνω άκρου Ζ του ελατηρίου δηµιουργεί µεταβλητό ελκτικό κέντρο στο κάτω άκρο του ελατηρίου, όπου και βρίσκεται το σώµα. Έτσι παρόλο που το σώµα δέχεται τη δύναµη του ελατηρίου ουσιαστικά δεν εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση. β) Και για το σώµα m που εξετάζουµε και για τον (κλασικό) εξαναγκασµένο αρ- µονικό ταλαντωτή χωρίς τριβή ισχύει η ίδια διαφορική εξίσωση + ω x= ρηµωt (4) Όµως στον εξαναγκασµένο αρµονικό ταλαντωτή χωρίς τριβή, στη συντηρητική δύναµη επαναφοράς F= Dx προσθέσαµε και τη µη συντηρητική F 1 =F ηµωt, µε απο- 5
τέλεσµα η διαφορική να οφείλεται σε µια δύναµη επαναφοράς F= Dx σταθερού ελκτικού κέντρου x= και στη δύναµη του διεγέρτη F 1 =F ηµωt. Στο παράδειγµα όµως που εξετάζουµε η διαφορική αυτή οφείλεται στη µεταβλητότητα των ελκτικών κέντρων των δυνάµεων των ελατηρίων και εποµένως και της θέσεως ισορροπίας του σώµατος. Καµιά καινούρια δύναµη δεν προσθέσαµε. εν επιβάλλαµε από έξω συντηρητικές δυνάµεις. ύναµη ελατηρίου είχαµε και έχουµε κανονικά συντηρητική. Εκείνο που κάναµε ήταν να πειράξουµε το ελκτικό κέντρο της δύναµης του ελατηρίου και συνεπώς να κάνουµε τη δύναµή του µη συντηρητική. Για το σώµα που κινείται στην άκρη του ελατηρίου του οποίου η άλλη άκρη Ζ κάνει ταλάντωση και για τον εξαναγκασµένο αρµονικό ταλαντωτή χωρίς τριβή, µπορεί η διαφορική εξίσωση να είναι ίδια, µπορεί οι εξισώσεις κίνησης να είναι ίδιες όµως οι κινήσεις τους είναι διαφορετικές γιατί αρκετά από τα στοιχεία που τις αφορούν δεν είναι ίδια. Ισχύει δηλαδή αυτό που έχουµε ξαναπεί σε άλλες αναρτήσεις: Η εξίσωση κίνησης δεν είναι η κίνηση. Ίδιες εξισώσεις κίνησης σηµαίνει ίδιες ταχύτητες και ίδιες επιταχύνσεις, αλλά όχι και ίδιες κινήσεις. Για παράδειγµα, ο υπολογισµός των διαφόρων µεγεθών και οι έννοιες που συνοδεύουν τις δύο κινήσεις δεν είναι ίδιες. Έτσι λοιπόν στον (κλασικό) εξαναγκασµένο ταλαντωτή έχουµε µια σαφώς καθορισµένη και γνωστή χρονοανεξάρτητη σχέση για τη δυναµική ενέργεια 1 U = m ω x (1) Για το σώµα m που εξετάζουµε στην άκρη κινούµενου ελατηρίου έχουµε µια χρονοεξαρτηµένη «δυναµική ενέργεια» 1 U = m ( x B t ) ω ηµω (11) Το ίδιο συµβαίνει και µε τη «δυναµική ενέργεια» λόγω του ελατηρίου που είναι χρονοεξαρτηµένη. Αυτό µε τη σειρά του σηµαίνει ότι µπορεί να έχουµε ίδιες διαφορικές, αλλά οι ε- νέργειες είναι τελείως διαφορετικές Ενέργεια εξαναγκασµένου χωρίς απόσβεση 1 1 E = kx m + υ Ενέργεια σώµατος δεµένου στην άκρη ελατηρίου του οποίου η άλλη άκρη Ζ ε- κτελεί αρµονική ταλάντωση Βηµωt E = 1 k x B t + 1 m ( ) ηµω υ 6
Συµπεράσµατα: 1) Ακόµη κι αν οι διαφορικές είναι ίδιες, ακόµη κι αν οι εξισώσεις κίνησης είναι ίδιες δεν σηµαίνει ότι οι κινήσεις είναι ίδιες. Σε τέτοιες περιπτώσεις ίδια είναι µόνο η θέση, η ταχύτητα και η επιτάχυνση. Τίποτε άλλο! ) Η χωρίς αποσβέσεις κίνηση σώµατος στην άκρη ιδανικού ελατηρίου του ο- ποίου η άλλη άκρη Ζ εκτελεί αρµονική ταλάντωση Βηµωt, δεν είναι ίδια µε εκείνη ενός εξαναγκασµένου αρµονικού ταλαντωτή χωρίς απόσβεση. 3) Η κίνηση σώµατος στην άκρη ελατηρίου του οποίου η άλλη άκρη εκτελεί αρ- µονική ταλάντωση Βηµωt «διαλύει» τις έννοιες δυναµική ενέργεια και όλα όσα είναι συνδεδεµένα µε αυτή (χωροεξαρτηµένες συντηρητικές δυνάµεις κ.λ.π.) και µας βάζει στον πειρασµό να εισάγουµε χρονοεξαρτηµένες δυναµικές ενέργειες «βάζοντας σε ρίσκο» τους ορισµούς µας. 4) Η δύναµη του ελατηρίου (ή καλύτερα η «δύναµη επαναφοράς») γίνεται µη συντηρητική γιατί το ελκτικό της κέντρο είναι χρονοεξαρτηµένο 5) Η διάταξη του σχ.1.7 της σελίδα του σχολικού δεν είναι απλά µια προβλη- µατική πειραµατικά «ανεφαρµογή», αλλά κυρίως µια «παράξενη» θεωρητική αντιµετώπιση γιατί οδηγεί σε χρονοεξαρτηµένες δυναµικές ενέργειες. Πήλιο, Σάββατο 3 Αυγούστου 14 Θρασύβουλος Κων. Μαχαίρας Φυσικός Γενικού Λυκείου Αγριάς 7